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不相关SABR模型中的零质量与隐含波动率
可人4
916 24
2022-05-07
英文标题：
《Mass at zero in the uncorrelated SABR model and implied volatility
  asymptotics》
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作者：
Archil Gulisashvili, Blanka Horvath, Antoine Jacquier
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  We study the mass at the origin in the uncorrelated SABR stochastic volatility model, and derive several tractable expressions, in particular when time becomes small or large. As an application--in fact the original motivation for this paper--we derive small-strike expansions for the implied volatility when the maturity becomes short or large. These formulae, by definition arbitrage free, allow us to quantify the impact of the mass at zero on existing implied volatility approximations, and in particular how correct/erroneous these approximations become.
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中文摘要：
我们研究了不相关SABR随机波动率模型中原点的质量，并推导了几个易于处理的表达式，尤其是当时间变小或变大时。作为一个应用——实际上是本文的原始动机——我们推导出了当到期日变短或变大时隐含波动率的小罢工扩展。根据无套利的定义，这些公式允许我们量化零质量对现有隐含波动率近似值的影响，尤其是这些近似值的正确/错误程度。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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mingdashike22
2022-5-7 14:46:25
在不相关的SABR模型中，零质量和隐含的易失性无症状Sarchil GULISASHVILI、BLANKA HORVATH和ANTOINE JACQUIERAbstract。我们研究了不相关SABR随机波动模型中原点处的质量，并推导了几个易于处理的表达式，尤其是当时间变小或变大时。作为一个应用——实际上是本文的原始动机——我们推导出了当到期日变短或变大时隐含波动率的小罢工扩展。通过定义无放射性，这些公式允许我们量化零质量对现有隐含挥发性近似值的影响，尤其是这些近似值的正确/错误程度。1.简介Hagan、Kumar、Lesniewski和Woodward在[24,26]中引入的随机阿尔法、贝塔、rho（SABR）模型现在是利率市场[2,4,7,38]的关键组成部分，并已成为行业标准。它由一对耦合的随机微分方程（1.1）定义，dXt=YtXβtdWt，X=X>0，dYt=νYtdZt，Y=Y>0，dhZ，W It=ρdt，其中ν>0，ρ∈ (-1, 1), β ∈ （0,1），以及W和Z是过滤概率空间中两个相关的布朗运动(Ohm, F、 （Ft）t≥0，P）。它的流行源于隐含波动率的可处理渐近扩展（源自[24]），以及捕捉观察到的波动率微笑的能力；因此，使用上述扩展可以更容易地进行校准。然而，在当今的低利率和高波动性环境中，通过这种扩张获得的隐含波动性可以为（1.1）中的价格过程X产生负密度函数，因此表现出套利。Hagan等人[25]、Balland和Tran[7]以及Andreasen和Greg[2]直接解决了低利率环境中的负密度问题，他们提出了对原始SABR模型的修正。
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mingdashike22
2022-5-7 14:46:30
渐近公式本身有几个条件：在[36]中，Ob l\'oj fine调整了前导顺序，Paulot[37]提供了二阶项。在某些参数范围内，绝对连续部分（0，∞)) 关于X的分布：在不相关的情况下ρ=0，通过应用时变技术，在[3,28]中获得了公式。相关的情况要困难得多，在[3,4]中使用投影方法和[23]中使用几何工具推导了近似值。除计算成本外，SABR过程分布的可用性相当于计算任何欧洲价格。然而，这需要计算，而不仅仅是分布的连续部分（在（0，∞)), 但它的起源也是独一无二的。在原点吸收边界条件确保远期利率过程X是真正的鞅，日期：2016年11月23日。2010年数学科目分类。58J37，60H30，58J65。关键词和短语。SABR模型，渐近展开，隐含波动率。作者要感谢Rama Cont和Josef Teichman发起了ETH帝国学院系列研讨会，该项目就是在这里发起的。伯克希尔哈撒韦感谢莱夫·德奥林和莱昂尼德·迈特尼克对时间变化技术的讨论。伯克希尔哈撒韦公司感谢瑞士国家基金会（SNF）提供的2015年后早期流动补助金165248的财政支持。AJ感谢EPSRC第一批拨款EP/M008436/1的财政支持。
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可人4
2022-5-7 14:46:33
这些数字实现是在协作平台Zanadu（www.Zanadu.io）上进行的。2 ARCHIL GULISASHVILI、BLANKA HORVATH和ANTOINE Jacquie因此，单个零件可以累积质量，这取决于过程的起始值、参数配置和时间范围。当EV指数β接近于零，或者当波动率ν的波动率较大时，对于长期衍生工具，原始的渐近公式通常会失去准确性。参数β控制微笑的动态，当渐近公式失败时，通常会选择较小的参数值，即在远期利率接近于零的市场上，以及在长时间内[7,24]。事实上，原始公式——这是对小值νT的渐近展开——在大到期日时崩溃并不奇怪，但众所周知，SABR公式不一致的原因比这更微妙。我们在这里强调的是，零质量也可以对这种情况下的不规则性负责。当过程保持严格正态时，标准数值方法被证明是可靠的，但计算SABR模型在原点的概率质量是一个更微妙的问题。由于原点的奇异性，在这一点上违反了确保数值技术（有限差分或蒙特卡罗）稳定性的常规规律性假设，并且（目前）还没有对这些方法进行严格的误差分析。此外，对于短时间尺度，生成参考值变得具有计算紧张性。由于SABR模型的流行很大程度上是由于其渐近公式的可处理性，因此在考虑零质量的同时，应着眼于保持它。
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mingdashike22
2022-5-7 14:46:37
参数集ρ=0或β=0是最容易处理的，事实上（如[13]中所观察到的），也是唯一可以预期SABR过程具有某些有利规律性的参数集。因此，我们在这里集中讨论这些区域分布的奇异部分，也就是说，我们研究概率P（XT=0），并提供易于处理的公式和渐近近似。最近的结果[5]强调了这些参数配置的相关性，这表明aso称为“混合”SABR（结合ρ=0和β=0的情况）方法，以无套利的方式处理负利率。从建模角度来看，人们可能会质疑零吸收边界条件在金融环境中的相关性，在金融环境中，实际可能会出现负利率。实际上，从随机分析的角度来看，当β=0时，没有必要施加这样的边界条件。然而，值得注意的是，正如[5]中所指出的，即使在利率为负的市场条件下，利率的历史演变也表明，利率的动态过程遵循概率分布在原点处呈现奇异性的过程，这使得零利率下的质量计算也与这些市场情景相关。另一个应用是直接逼近隐含波动率的左翼。为了理解SABR微笑的小冲击行为，有必要确定原点处的概率质量：隐含波动率的渐近近似值是可用的，不仅适用于小型和大型到期日，也适用于极端冲击。罗杰·李（Roger Lee）著名的时机公式[32]——随后由Benaim and Friz[9]和Gulisashvili[22]重新定义——将小走向K和成熟度T的隐含波动率IT（K）的行为与原点附近的价格过程X的行为联系起来。
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大多数88
2022-5-7 14:46:43
De Marco、Hillairet和Jacquier[12]以及后来的Gulisashvili[20]表明，当基础分布中的一个原子为零时，隐含波动率的小范围行为仅由该质量决定，而与（0，∞). 我们将在（不相关的）SABR模型中，使用概率质量的近似值，在数值上证实这一点，与[6]一致。在第2节中，我们推导了SABR模型中有限时间和不相关情况下大时间的零P（XT=0）质量的显式公式。在此假设下，可以将分布分解为一个CEV分量和一个独立的随机时间变化。在[3,11,28]中，这种时变技术已应用于未相关情况下的SABR模型，以确定（0，∞). 因此，我们的公式通过提供分布的奇异部分来补充这些（关于随机波动模型中的时间变化技术的更多细节，请参见[27,40]）。在第2.2节和第2.3节中，我们从Borodin和Salminen[10]、Gerhold[18]的著作中得到了时变布朗运动密度的渐近展开式，也就是说，在一定时间内，速率“保持”为零，详见[5]。在不相关的SABR模型和隐含的波动性渐近3Matsumoto和Yor[34]中，零质量——我们用它来推导原子在短时间和大时间原点的行为。最后，在第3节中，我们使用这些结果来确定SABR隐含波动率的左翼（小罢工）。利用[12,20]中提供的公式，我们强调了一些广泛使用的展开式在左翼表现出套利的事实，并提出了一种在这个可套利区域对其进行正则化的方法。2.
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