泊松分布中最优报价时的平稳分布

2022-5-7 14:58:22

（2010），依靠简化假设：仅提交三种主要类型的订单（限额、市场和取消，忽略交易所特定规则和特殊城市）；所有订单流都是泊松过程；所有订单的单位大小都相同。Abergel&Jedidi（2013）表明，在适当的假设下，一些极限定理适用，这样的马尔可夫模型会导致价格的差异方程。Muni Toke（2014）表明，在类似的泊松模型下，即使放松单位体积假设，theorder book的平均形状也是可解析计算的。在描述限价订单簿的重要数量中，最佳报价（出价或要价）下的交易量，即订单簿第一个限价下的可用股份总数，是最基本的。一个原因是，这个数量通常是市场参与者容易获得的唯一信息（称为一级数据）。另一个（相关）原因是，市场参与者在交易策略中大量使用了这个数量：Doyne Farmer等人（2004年）表明，大多数影响价格的市场订单的大小与提交时最佳报价的数量完全相等。然而，最佳报价的数量在一个模型中仍然很难把握，因为市场事件使其差异很大。当最佳报价的数量降至零（因为大量的市场订单或取消取消取消了最佳报价的所有流动性），或者在价差内提交了新的最佳报价时，价格发生变化，最佳报价的数量重置为一个新数量，该数量可能与描述上次提交订单的数量没有任何联系。因此，计算新事件后最佳报价的数量需要跟踪整个订单。最近，Cont&De Larrard（2012）提出了一个模型，其中订单簿被限制在其第一个限制范围内。

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2022-5-7 14:58:25

当价格不变动时，最佳报价下的交易量会根据到达的订单流量明显变化，当该交易量降至零时，价格变动，最佳报价下的交易量会立即重置为某个随机值。因此，最佳报价（买入和卖出）的数量是一个二维过程，其值位于正正正数上，每次到达轴时，都会在正正数内随机跳跃。Cont&De Larrard（2012）表明，在适当的假设下，并使用排队理论中的极限定理，该卷可能近似呈现跳跃扩散行为。然而，这个模型的有效性有一个非常有限的假设：价差必须始终等于一个刻度。事实上，我们不能允许在这项工作中的排列中提交限制指令，因为这将使过程在未到达轴的情况下跳跃。对于流动性很强的股票交易的一些非常繁忙的时期，这样的假设可能是一个合适的模型，但在一般情况下可能不是。在本文中，我们证明了在经典的泊松过程的零智能订货簿模型中，可以分析并计算出在最佳报价下供应量的平稳分布。提出的模型基本但灵活。这并不意味着价差总是等于一个刻度，也就是说，所有类型的事件都会使报价量达到最佳水平：与第一个限额完全匹配的激进市场指令，以及价差内提交的激进限价指令。其主要思想是，在最好的报价下，这种数量的跳跃可以被视为杀死并复活马尔可夫过程（Pakes，1997）。

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可人4

2022-5-7 14:58:29

甚至可以取消所有订单都必须是单位规模的假设，并对市场订单数量进行额外限制。论文的其余部分组织如下。第2节精确地描述了本文使用的带有泊松过程的订单簿的一般零智能模型。回顾了关于杀死和复活马尔可夫过程的主要结果，并对其进行了调整。然后，第3节和第4节探讨了两种类型的限制性假设，这两种假设允许在最佳报价下对交易量的平稳分布进行分析计算：第3节排除部分匹配最佳报价的市场订单，而第4节则允许在一定规模限制下对所有类型的市场订单进行分析计算。最后，第5节提供了所有提出的分析模型的经验设置，并与无限制泊松模型的模拟“最佳效果”进行了比较。2单面订购手册的马尔可夫模型我们考虑电子订购手册的最佳询价（最佳报价的模型严格相同）。以最佳报价提供的数量可能会因市场订单或限价订单的到来以及现有限价订单的取消而改变。首先，我们假设在最佳报价下的限制订单是按照泊松过程提交的，其速率λ和th在最佳报价下限制订单的大小形成一组独立且相同分布的随机变量，其概率分布为（g1，n）n∈N.其次，我们还假设，在提交后的某个随机时间，处于最佳报价的限价单（即每股）的每个单位大小部分都会被取消。假设所有这些随机时间形成一组参数θ>0的指数分布的独立同分布随机变量。

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2022-5-7 14:58:32

第三，我们假设我们观察到“部分”市场订单（部分订单的含义很快就会清楚），这些订单是根据泊松过程提交的，速率为u，并且是单位大小（一份）。我们还假设取消机制和“部分”市场订单不能完全耗尽最佳报价。换句话说，最佳报价的最后一部分不能取消，并且不能与部分市场订单匹配（仅部分匹配最佳报价的“部分”市场订单的名称）。这个小小的假设确保了传统的取消订单和市场订单不会导致价格波动。两种类型的订单可以使价格变动：激进的市场订单和激进的限价订单。第一类订单，即积极的市场订单，根据泊松过程ua提交，其大小等于提交时最佳报价的可用数量。换句话说，积极的市场订单与bestquote提供的所有流动性相匹配。这不是一个不合理的假设：Doyne Farm er等人（2004年）表明，在伦敦证券交易所的16只股票样本中，86%的改变价格的买方市场订单的规模正好等于在最佳要求下的交易量。当提交激进的市场订单时，最佳报价的可用数量降至零，价格上升，最佳限额的可用数量立即重置为订单簿下一个非空限额的可用数量。订单簿的下一个非空限额根据限额订单的提交和取消而演变。为了将来的使用，我们可能已经指定了一个与我们正在建立的马尔可夫环境相一致的模型。

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大多数88

2022-5-7 14:58:35

为此，我们将假设以下情况：极限订单是根据r ateλ的过程上的POIS到达的；这些极限阶的大小形成了一组概率分布（g2，n）为n的独立同分布随机变量∈N在提交后的某个随机时间内，处于下一个非空限额的限额订单（即每股）的每个单位大小组成部分被取消，并且假设所有这些随机时间形成一组独立且相同分布的随机变量，具有指数分布，参数θ>0。第二类移动价格的订单是激进的限价订单。这些是在价差旁边提交的限价订单，即价格低于当前的最低价。我们将假设，主动极限指令是根据泊松过程提交的，其速率为λ，所有主动极限指令的大小形成一组概率分布（g0，n）n的独立且相同分布的随机变量∈N.提交激进限价订单的影响很简单：在提交时，该订单立即成为最佳报价，也就是说，询价价格重置为激进限价订单的价格，最佳报价的可用数量重置为提交的限价订单的数量。总之，连续时间随机过程X={X（t），t∈ [0, ∞)} 以最好的报价描述可用的数量演变如下。设τ为第一次价格变动的随机时间。在时间间隔[0，τ）内，在没有影响价格的事件（积极的市场指令、积极的限价指令）的情况下，X演化为随机过程1+Y={1+Y（t），t∈ [0, ∞)},这是一个（不能取消或执行的最后一个共享）加上微型生成器中队列的大小：-λg1,1λg1,2λg1,3λg1,4。

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2022-5-7 14:58:39

.u + θ-（u+λ+θ）λg1,1λg1,2λg1,3。0 u + 2θ-（u+λ+2θ）λg1,1λg1,2。0 0 u + 3θ-（u+λ+3θ）λg1,1。。。。。。。。。。。。。。。。。。。. （1）现在，在时间τ，由于激进的限制或激进的市场秩序，价格波动。过程X被立即重置为一个新的随机变量Xτ=H，该随机变量取决于价格变动的方向，代表进入的激进限价订单的大小（向下的价格变动），或订单簿中下一个非空限价的数量（向上的价格变动）。那么，如果τ是下一次价格变动的随机时间，[τ，τ]上的X根据最小生成元（1）表现，依此类推。这种机制可以识别出应用于杀死和复活马尔可夫过程的概率。最佳报价量的过程从时间0开始，并根据最小生成元（1）演化然后，在提交激进的限制或市场指令时，它被杀死，并（相当于）恢复为随机变量H，分布（hi）i∈N*,根据之前的动态，它从那里重新开始它的进程。Su ch a机制在Pakes（1997）中进行了研究，其中证明了以下结果。定理1（改编自Pakes（1997））。Le t Z={Zt，t∈ [0, ∞)} 是N上的一个马尔可夫过程，初始分布为（hi）i∈N.假设零态吸收Z.设R={Rt，t∈ [0, ∞)}过程的构造如下：R开始沿着过程Z的某条路径；在某个随机时间（参数β>0呈指数分布），R i被杀死，即重置为0；经过一段随机时间（参数α>0呈指数分布），R被重新计算，即。

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2022-5-7 14:58:43

重新启动流程Z的新路径；等等然后过程R允许平稳分布（πj）j∈N）给出式：π=βα+β- αβ^f（β），πj=απ^fj（β），（2）其中^fjis是序列xi的拉普拉斯变换∈Nhipi，j（t），其中pi，j（t）=P（Z（t）=j | Z（0）=i）是（非终止）过程Z从状态i到状态j的瞬时概率。在我们的订单簿模型中，复活是瞬时的，即α→ +∞ ; 杀戮事件是激进的限制和市场秩序，即β=λ+uAby泊松过程的标准性质；如果没有终止，状态0是不可访问的（经典取消和部分市场订单不能耗尽最佳限制），即^f=0。最后一个事实的另一个结果是分布（hi）i∈N*of H正好代表了在一个积极的事件之后，以最佳报价提供的新卷。因此，该分布是分布（g0，i）i的混合∈N*概率λuA+λ和第二极限处体积的平稳分布，表示为（π2，i）i∈N、概率为uAuA+λ。因此，我们得到了下面的结果。提议1。在本节描述的一般泊松订货本模型中，平稳分布（πj）j∈N*最好的报价是为任何j≥ 1：πj=（λ+uA）^fj（λ+uA）（3）其中^fj（·）是级数xi的拉普拉斯变换∈Nhipi，j（t）其中我∈ N*,hi=λg0，iλ+uA+uAπ2，iλ+uA，（4）和pi，j（t）=P（1+Y（t）=j | 1+Y（0）=i）是（非终止）过程1+Y从状态i到状态j的瞬时概率。这一结果是本工作的核心。在下文中，我们将研究上述通用模型的几种规格，它们都允许以一定成本进行分析处理。区分不同类型模型的第一个标准是是否存在“部分”市场模型。

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2022-5-7 14:58:47

在其t型模型（1型模型）中，我们假设所有市场订单都是积极的市场订单。换句话说，u=0，并且没有“部分”市场订单，只有部分匹配最佳限额。在第二类模型（第二类模型）中，这一限制被取消，即市场订单可能是积极的，也可能不是积极的（u>0），但将增加对数量分布的一些限制。这些不同类型的模型将在接下来的两部分中进行研究。3个具有激进市场订单的模型独家1型模型假设所有市场订单都是激进的，即u=0。在这种情况下，我们能够通过直接方法解析计算过程X的平稳分布π：我们计算转移概率（pi，j（t））i，j∈用标准的生成函数方法，以及平稳分布（π2，i）i∈N*用直接的方法。让我们从瞬态概率（pi，j（t））i，j开始∈N.设pi，j=ri-1，j-1对于任何（i，j）∈（N）*). （ri，j（t））i，j∈计算过程的转移概率Y。Kolmogorov方程适用于任何（i，j）∈ N:r′ij（t）=-（λ+jθ）rij（t）+（j+1）θri，j+1（t）+j-1Xk=0λg1，j-克里，k（t）。（5）设G（z）=+∞Xj=1g1，jzjbe在最佳限制下输入限制订单大小分布的生成函数。通过将该方程乘以j上的zjand求和，我们得到生成函数φi（z，t）=∞Xj=0rij（t）zjis部分微分方程的解：0=~nit（z，t）- θ(1 - z）~niz（z，t）+λ（1）- G（z））φi（z，t），（6）根据初始条件φi（z，0）=zi。对于平稳分布（π2，i）i∈N*, 我们使用第2节中描述的马尔可夫设置d：λ>0是限制指令的到达率，（g2，n）n∈Nis是它们大小的分布，1/θ是书中一份股票的平均寿命。

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2022-5-7 14:58:50

与最佳报价的假设类似，我们假设最后一份股票不能取消，以便队列大小不会降至零（通过定义订单簿的下一个非空限制）。根据这些假设，第二个极限的书的大小是过程{1+Y（t），t∈ [0, ∞)} 微型发电机内-λg2,1λg2,2λg2,3λg2,4。θ-（λ+θ）λg2,1λg2,2λg2,3。0 2θ-（λ+2θ）λg2,1λg2,2。0 0 3θ-（λ+3θ）λg2,1。。。。。。。。。。。。。。。。。。。. （7）该过程为平稳分布（ρ2，i）i∈N、显然π2，i=ρ2，i-1.编写经典平衡方程并求解生成函数ψ（z）的导出常微分方程=+∞Xn=0ρ2，nzn，我们得到：ψ（z）=ρ2,0eλθRz1-G（u）1-udu（8），其中G（u）=∞Xn=0g2，iUI是书中提交的限额订单大小分布的生成函数。因此，如果我们在最佳报价和书内分别指定传入限制订单的分布和大小，并且如果后续计算是可分析可压缩的，那么我们可以解析地导出分布π。我们研究了model1设置的两种变体：oModel 1a:Model 1a假设在最佳报价或书内提交的所有限价单都是单位大小的，即g1,1=g2,1=1和g1，n=g2，n=0，适用于任何n≥ 2.这种假设通常是在零智能模型中做出的，这些模型寻求某种分析的可处理性（参见例如Cont等人，2010年）模型1b：模型1b假设在最佳报价处或书内提交的所有限价单都是几何分布的，参数分别为0<q<1和0<q<1。该假设已在Mun i Toke（2014）中使用，该假设已用于计算订单簿的总体平均形状。现在陈述这两个案例的结果。提议2（模式1a）。

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mingdashike22

2022-5-7 14:58:55

如果在最佳报价或书内的所有限价指令都是单位大小的，那么平稳分布（πj）j∈N*最好的报价是：πj=（λ+uA）∞Xi=1himin（i）-1，j-1） Xk=0我- 1k（j）- 1.- k） !！λθJ-1.-k×Z∞E-（λ+u）te-kθt（1）- E-θt）i+j-2.-2ke-λθ(1-E-θt）dt，（9）andhi=λg0，iuA+λ+uAuA+λe-λθ（λ）i-1（θ）i-1（i）- 1)!. （10）证据。单位尺寸假设给出了G（z）=z，而在等式（6）中，这使得后者可以直接求解为：ηi（z，t）=h1- (1 - z） e-θtiiexpλθZ- (1 - z） e-θt, （11）然后，通过一些计算，使用Leibn-iz微分公式，给出了转移概率：rij（t）=min（i，j）Xk=0i！K（一）- k） !！（j）- k） !！λθJ-柯-kθt（1）- E-θt）i+j-2ke-λθ(1-E-θt）。（12）将两个指数移动1，乘以hi，对i求和，取拉普拉斯方程（9）。此外，仍然使用单位尺寸假设，等式（7）中定义了发生器的过程的平稳分布是参数为λθ的泊松分布。这很容易给出一个公式（10）。提议3。（模型1b）如果在最佳报价和账簿内提交的所有限额订单均为i.i.d.且分别以参数qa和qr进行几何分布，则平稳分布（πj）j∈N*最好的报价是：πj=（λ+uA）”∞Xi=1hiqλθmin（i）-1，j-2） Xk=0我- 1k（j）- 1.- k） !！J-2.-kXl=0J- 1.- 吉隆坡(-1） l×lYα=1λθ- α(1 - q）J-2.-K-lYβ=1λθ+ β(1 - q）×Z+∞(1 - E-θt）i-柯-（l+k）θthq+（1）- q） e-θtiλθ（1）-q）-L-1e-（λ+u）tdt+∞Xi=jhi我- 1j- 1.Z+∞E-（j）-1） θt（1）- E-θt）i-jhq+（1）- q） e-θtiλθ（1）-q） e-（λ+u）tdt#，andhi=λg0，iuA+λ+uAuA+λqλ（1-q） θ（1）- q）我-1（i）- 1)!Γ（i）- 1 +λ(1-q） θ）Γ（λ（1）-q） θ）。（13）证据。书中极限指令大小的几何分布假设g（z）=qz1- (1 - q） z.利用G的这个定义，我们可以解方程（6）得到：φi（z，t）=[1- (1 - z） e-θt]iq+（1）- q）（1）- z） e-θt1- (1 - q） zλθ(1-q）。

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2022-5-7 14:58:58

（14）莱布尼兹微分公式和一些计算导致瞬态概率：rij（t）=qλθmin（i，j-1） Xk=0i！K（一）- k） !！（j）- k） !！(1 - E-θt）i-k+1×j-1.-kXl=0J- 1.- 吉隆坡(-1）乐-（l+k）θthq+（1）- q） e-θtiλθ（1）-q）-L-1×lYα=1λθ- α(1 - q）lYβ=1λθ+ β(1 - q）+ 1j≤我ijE-jθt（1）- E-θt）i-jhq+（1）- q） e-θtiλθ（1）-q）。（15）与前一种情况一样，将指数移动1，乘以hi，对i求和，并采用拉普拉斯变换得到方程（13）。现在，对于在第二个极限处作用的体积的平稳分布，假设极限阶的几何分布大小为G（z）=qz1- (1 - q） z和等式（8）通过推导和一些计算得出：我∈ N、 ρ2，i=qλ（1）-q） θ（1）- q）二！Γ（i+λ（1）-q） θ）Γ（λ（1）-q） θ），（16）因此结果。注意，分布（ρ2，i）i∈Nis是一个具有非整数尺寸参数λ（1）的负二项分布（或多元分布）- q） θ和概率参数q（参见例如Feller，1968年，第六章）。4同时具有部分和积极市场订单的模型PE-2模型允许同时提交部分和积极市场订单，即u>0和uA>0。对于这两种类型的市场订单，上一节的直接方法无法提供分析上可处理的结果。因此，我们提出了不同的策略。在本新闻中，我们可以保持模型的分析可处理性，但前提是假设直接影响最佳报价的ClassicRecorder是单位大小的。这是唯一的限制：在价差内或书内提交的订单可以进行一般分发，而激进的市场订单仍然以相同的方式定义，显然，其大小等于最佳报价的数量。

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2022-5-7 14:59:01

在这个假设下，最好的引用是出生和死亡过程，我们可以计算其转移概率的拉普拉斯变换，可以用连续分数表示。最初的结果可以追溯到Murphy&O’Donohoe（1975年），但在Crawford&Suchard（2012年）中发现了该结果的现代创新。因此，我们能够在最佳报价下研究可用容量的静态分布，并使用最小生成器（1）和u>0计算过程的瞬时概率（据我们所知，这种计算仍然是一个未解决的挑战）。假设以最佳报价提交的部分市场订单和限额订单都是单位规模的。然后，过程Y，在没有任何价格变动的情况下，在最佳报价（minusone）下转换数量的演变，是一个出生和死亡过程，对于任何n，出生移民率λ为常数，死亡移民率u+nθ为线性≥ 0.设（qm，n（t）），（m，n）∈ N、 t∈ [0, ∞)是过程Y的转移概率，和（^qm，n（s）），（m，n）∈ N、 s∈ C他们的Laplacetransform，如果存在的话。让（Bn（s））n∈n由两步递归定义的实序列：（B（s）=1，B（s）=s+λ，Bn（s）=（s+λ+u+（n- 1） θ）Bn-1.- λ（u+（n）- 1） θ）Bn-2，n≥ 2.（17）然后，将Crawford&Soch ard（2012，定理1）改编为我们的特例，我们得到了任意（m，n）∈ 确保我≤ n：^qm，n（s）=λn-m^a^b+^a^b+^a^b+。。。，λn-m^a（s）^b（s）+^a（s）^b（s）+^a（s）^b（s）+。

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mingdashike22

2022-5-7 14:59:05

（18）（符号是定义等式，它为连续分数引入了简化的符号。）在上述等式中，序列（^ai）i∈N*（^bi）我∈N*定义如下：^ai=Bm（s）如果i=1，-λ（u+（n+1）θ）Bn（s）如果i=2，-λ（u+（n+i）- 1） θ）如果我≥ 3、（19）和^bi=Bn+1（s）如果i=1，s+λ+u+（n+i）- 1） θ如果我≥ 2.（20）任意（m，n）的结果∈ 确保我≥ n类似地写为：^qm，n（s）=mYj=n+1（u+jθ）α（s）β（s）+α（s）β（s）+α（s）β（s）+α（s）β（s）+。（21）其中序列（^αi）i∈N*和（^βi）i∈N*定义如下：αi=Bn（s）如果i=1，-λ（u+（m+1）θBm（s）如果i=2，-λ（u+（m+i）- 1） θ）如果我≥ 3、（22）和^βi=Bm+1（s）如果i=1，s+λ+u+（m+i- 1） θ如果我≥ 2.（23）因此，拉普拉斯变换（^qm，n（s）），（m，n）∈ N、 s∈ C是可数值计算的，使用适当的数值方法计算连续函数。如果我们现在回到杀死和复活马尔可夫过程，我们有下面的结果。命题4（2型模型）。如果以最佳报价提交的所有订单都是单位大小的，则以最佳报价提供的数量的平稳分布由等式（3）给出，即πj=（λ+uA）∞Xm=1hm^qm-1，j- 1（λ+uA），其中^qm，n由（18）和（21）给出。如果书中提交的限价单也被假定为单位大小（模型2a），则概率Hm由等式（10）给出。如果假设这些极限阶的大小是几何分布的（模型2b），则概率HM通过等式（13）获得。5经验结果我们现在提供了一项实证研究，允许对前面章节中理论上求解的模型进行比较。5.1数据和主要参数估计2010年1月4日至2月22日期间，我们使用汤森路透的逐笔数据，对巴黎股票交易所交易的11只股票进行了分析。

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能者818

2022-5-7 14:59:09

调查中的11只股票是：AirLiquide（AIRP.PA，化工）、阿尔斯通（Alstom）（也有.PA，运输和能源）、安盛（AXAF.PA，保险）、法国巴黎银行（BNPP.PA，银行）、布伊格（BOUY.PA，建筑、电信和媒体）、家乐福（CARR.PA，零售分销）、达能（DANO.PA，牛奶和谷物制品）、米其林（MICP.PA，轮胎制造）、雷诺（Renault.PA，汽车制造），Sano Fi（SASY.PA，医疗保健），Vinci（SGEF.PA，建筑与工程）。所有这些股票都包含在CAC 40法国指数中，也就是说，它们是巴黎证券交易所市值最大、流动性最强的股票之一。对于每只股票，对于每个可用交易日，我们考虑从上午10:00到下午16:00的数据。m、，即在交易日的中心有六个小时。我们的想法是摆脱繁忙的开盘和收盘期，在这里，平稳模型的假设可能很难实现。众所周知，即使在考虑的六个小时内，一个人也会从事季节性活动（金融活动的U型模式），通过日常的周遭调查，可能会得到更好的“固定”结果。然而，即使使用全天样本，我们的模型也能提供令人满意的结果。对于每只股票，对于每个交易日，我们计算总数量和大小的分布：s区内的限额订单；以最佳报价限制订单；以第二个最低价限购；部分市场订单；尖刻的市场指令。

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2022-5-7 14:59:12

我们还计算了在最佳报价和第二个最佳限值下所提供容量的时间加权经验分布。简单地说，泊松参数λ、λ、λ、u和uA（如果模型需要）的估计量定义为相关事件（激进限价指令、最佳报价时的限价指令、书内限价指令、部分市场指令、激进市场指令）的数量除以时间间隔的长度。对于每种类型的订单，我们还计算它们各自的平均订单大小σ、σ、σ、σu和σuA。至于取消参数，我们没有任何数据允许我们单独跟踪提交的订单，因此我们无法简单地估计平均寿命θ-1和θ-1.取消订单时，以最好的价格在书中注明。然而，我们可以通过使用订单簿的进出流平衡关系得到一个数量级。我们的数据让我们计算出最佳报价和次优报价L下的时间加权平均价值。然后，我们将订单簿中进出股票的平均数量相等，我们设置θ和θ，以便λσ=uσu+uAσuA+θ和λσ=θL。最后，根据我们的理论框架，我们将假设所有部分市场订单都是单位大小的，然后根据平均交易规模重新调整所有规模和数量。由此，我们得到了分布（g0，i），（g1，i），（g2，i）和（π2，i）（如果模型需要）的经验版本，支持度大致包括在1，50（取决于股票的数量级）。5.2拟合模型和基准在上一节中，我们介绍了两种类型的模型（即1型，无部分市场订单，和2型，单位规模部分市场订单），每种类型有两种变体（即a和b）。

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2022-5-7 14:59:15

在变体a中，分布（g2，i）i∈N*, 它代表书中提交的elimit订单的数量，是原子1上的狄拉克分布。在变量b中，它是参数0<q的几何图形≤ 1.分布（g0，i）i∈N*, 代表价差内提交的限额订单数量，目前尚未具体说明。与其他假设一致，我们将在本经验部分中假设该分布是1不变量a上的Dirac分布，以及参数为0<q的几何分布≤ 1在变体b中。我们现在为我们的模型添加了更多的比较元素。首先，对于每种类型的模型，我们都添加了一个变量c，其中两个分布（g0，i）i∈N*（g2，i）i∈N*与精神上的对应物相等。此外，为了强调机制的重要性，th考虑了积极的订单以及随后的最佳价格的上下波动，我们回顾了以下简单的最佳报价模型作为基准，在该模型中，积极的市场和限制订单被忽略，这相当于在我们的设置中假设一个恒定的价格。该基准将被称为0型模型。在0型模型中，极限订单以λ的速率到达，体积分布为（g1，i）i∈Nm市场订单为单位大小，到达率为u；所有常备股票都有一个（i.i.d.）指数寿命，参数θ>0。因此，很容易得出结论，0型模型中最佳报价的成交量是马尔可夫过程，等式（1）中给出了有限生成元。这个过程允许平稳分布（πi）i∈n防止以下复发：0 = -λπ+ (u + θ)π,0 = -（λ+u+nθ）πn+（u+（n+1）θ）πn+1+λnXi=1g1，iπn-i（n）≥ 1），（24）带π=μθZuμθ-1eλθRuH（v）dvdu，-1（25），其中H（u）=1- G（u）1- u、 G是分布（g1，i）i的母函数∈N（参见例如Muni Toke，2014年，第4节）。

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2022-5-7 14:59:18

我们将考虑两种情况：单位大小的限制订单（模型0a）和具有参数q的几何分布大小的限制订单（模型0b）。根据一般模型，可以假设最后一股不能通过改变分配指数（πi）i来取消或执行∈Nby 1（即在N上*).最后，我们通过模拟最佳报价的一般零智能模型，添加了第二个基准，该模型的所有分布与其经验对应的分布相同。这可以被视为零情报机制的“最佳效果”，既有经典的，也有积极的市场和限制订单，以计算以最佳报价提供的数量分布。注意，在这种一般情况下，我们无法解析地求解分布：这种情况下的分布是通过模拟进行数值估计的。该模拟基准将被称为Type-3模型。表1总结了这里正在研究的模型。在图1中，是股票的经验分布。绘制了sp read中提交的限额订单大小的PA及其几何最大似然图。正如预期的那样，几何似然图（用于模型1b和2b）很好地符合模型类型（g0，i）i∈N（g1，i）i∈N（g2，i）i∈N（π2，i）i∈Nu>0？λ> 0，uA>0？模型0a无单位尺寸无是NoModel 0b无几何无是NoModel 1a单位尺寸单位尺寸Poisson无是Model 1b几何负。二项式无YesModel 1c经验几何无经验无YesModel 2a单位大小单位大小单位大小泊松有YesModel 2b几何单位大小几何负。二项式是是是模型2c经验单位规模非经验是模型3经验非经验是稳定1：不同模型及其变体的总结。斜体表示分布（π2，i）i∈N（分别为。

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可人4

2022-5-7 14:59:21

（g2，i）i∈N）在这些变体中，不是自由参数，而是（g2，i）i选择的结果∈N（分别为π2，i）i∈N） .0.10.20.30.40.50.60.71经验模型1b和2B模型1c、2c和31e-141e-121e-101e-081e-060.00010.010 5 10 15 20 25经验模型1b和2B模型1c、2c和3图1：分布（g0，i）i∈在s emi对数标度（右图）中，排列、主体（左图）和尾部提交的限制指令大小的N（经验和几何fit）。这些分布是为库存飞机计算的。但所有研究的股票都给出了类似的结果。0.050.10.150.20.250 5 10 15 20 25经验模型1a和2aModel 1b和2bModel 1c，2c和31e-161e-141e-121e-101e-081e-060.00010.010 5 10 15 20 25经验模型1a和2aModel 1b和2bModel 1c，2c和3图2：分布（π2，i）∈N（经验，模型1和d 2a获得的泊松分布，模型1b和2b获得的负指数）以半对数比例（右面板）在第二个最佳报价、主体（左面板）和尾部得到的体积。这些分布是为Stock AIRP计算的。但所有研究的股票都给出了类似的结果。分布的主体，但其尾部变薄，以重现经验分布（模型1c、2c和3中使用的情况）。在图2中，为股票AIRP的经验分布。绘制了第二个最佳报价中提供的卷的PA及其模型副本。正如所料，经验分布与使用单位大小顺序（模型1a和2a）获得的分布非常不同：经验主体向左移动，其尾部更胖。

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可人4

2022-5-7 14:59:27

使用几何分布的订单大小（模型1b和2b）可以产生更好的fit，具有类似的缺陷，但振幅更小。模型1c、2c和3将使用经验分布作为输入。5.3实证结果对于我们样本中的所有股票，我们计算了所有模型和变量在最佳报价下提供的交易量的分析分布，以及通过模拟模型3获得的分布。在图3中，我们将这些分析分布与其经验分布进行了比较。为简洁起见，只显示了三种股票，但所有股票的结果都相似。主要结果是，用于计算1型和2型模型的分析分布的杀戮和复活机制非常有效，能够产生订单中最佳报价的音量分布的经验合理形状。事实上，所有类型1和类型2的模型都表现出与经验模型以及模型3相似的主要形状。这意味着，以上得到的分析公式是一个很好的替代方法，可以用来计算一个到目前为止仅通过模拟得到的分布。相反，在所有的股票中，基本模型0a和0b不能产生emp IRIC分布。本文概述了在以最佳报价描述交易量时，积极的限价订单和积极的m市场订单的重要性。

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mingdashike22

2022-5-7 14:59:36

这个数量是0。050.10.150.20.250 2经验模型0 AMODEL 0模型1模型1模型1模型2模型2模型2模型2模型31e-141e-121e-101e-081e-060.00010.010 5 10 15 20 25经验模型0 AMODEL 0模型1模型1模型2模型2模型2模型30.050.10.150.250.30 2经验模型0模型1模型1模型2模型231e-141e-121e-101e-081e-060.00010.010 10 15 20 25经验模型0A模型1B模型1C模型2B模型2模型30.050.10.150.20.250 2 4 8 10 12 16经验模型0B模型1B模型1B模型2B模型2模型31e-121e-101e-081e-060.00010.010 10 25经验模型1B模型1B模型1B模型2B模型2B模型2B模型3图3：分布（πi）i∈与三种股票的经验性报价相比，d描述的所有车型的报价都是最好的：航空。PA（上图），BNPP。PA（中）和MICP。PA（底部）。左栏显示了分布的主体，右栏显示了半对数比例的尾部。模型飞机。爸爸也是。爸爸，阿萨夫。巴恩普。巴布伊。帕卡尔。帕达诺。帕0a 5.76E-002 6.23E-002 5.08E-002 7.10E-002 7.06E-002 6.41E-002 5.74E-002。0b 3.32E-002 4.00E-002 4.27E-002 6.08E-002 4.45E-002 3.71E-002 3.30E-002。1a 3.47E-003 3.12E-003 9.81E-004 8.57E-004 4.66E-003 4.65E-003 1.84E-003。1b 1.47E-003 2.03E-003 3.28E-003 4.65E-003 2.31E-003 1.57E-003 5.98E-004。1c 1.55E-003 2.77E-003 1.13E-003 8.33E-004 2.93E-003 9.46E-004 1.02E-003。2a 5.02E-003 6.38E-003 5.58E-003 4.04E-003 6.42E-003 4.50E-003 4.65E-003。2b 8.40E-003 6.37E-003 2.78E-003 3.54E-003 8.18E-003 8.56E-003 5.81E-003。2c 8.52E-003 7.43E-003 4.88E-003 4.20E-003 8.57E-003 7.64E-003 5.41E-003。3d 3.27E-003 1.06E-002 1.53E-003 1.79E-003 9.07E-003 4.66E-003 7.37E-003。

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2022-5-7 14:59:40

模型MICP。帕丽娜。爸爸，萨西。帕·斯格夫。PA平均等级0A。7.20E-002 5.56E-002 4.86E-002 6.73E-002 6.16E-002 90b。4.99E-002 3.42E-002 3.68E-002 3.60E-002 4.07E-002 81a。6.85E-003 2.28E-003 2.50E-003 4.78E-003 3.27E-003 31b。2.73E-003 9.57E-004 4.49E-003 1.41E-003 2.32E-003 21c。3.19E-003 1.42E-003 2.39E-003 1.14E-003 1.76E-003 12a。5.41E-003 4.80E-003 1.66E-003 5.55E-003 4.91E-003 52b。9.08E-003 6.06E-003 4.05E-003 1.04E-002 6.66E-003 62c。9.86E-003 7.13E-003 4.20E-003 9.12E-003 7.00E-003 73d。1.30E-003 5.46E-003 1.42E-004 6.96E-003 4.74E-003 4表2：各种模型预测的最佳报价下的体积分布与经验观察之间的L-范数距离。最后一列列出了从最佳到最差的模型。模型不能由一个带有限价订单、部分取消和部分市场订单的简单队列建模。此外，正如预期的那样，当观察d分布的尾部时，可以观察到模型之间的巨大差异。带有单位大小订单的变体a展示了更薄的尾部。在最佳引用和本书（变体b）中，ord s大小的几何分布允许稍微胖一点的尾巴，但仍然比经验观察到的要薄得多。非常有趣的是，变量c在最佳报价处展示了一个分析分布的尾部，与经验报价相同。这表明，将经验分布用于分布（g0，i）i∈N（积极极限阶）和（π2，i）i∈N（在积极的市场订单之后）有能力在最佳报价时获得厚尾，即使在最佳报价时到达的限制订单的大小分布是细尾的。

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能者818

2022-5-7 14:59:44

这再次强调了我们模型中的杀戮和复活机制所模拟的侵略性秩序的首要重要性。我们通过计算最佳报价下的成交量的经验分布与其在所述所有模型中的分析/数值对应物之间的距离（以L-范数为单位），对样本的所有库存进行进一步比较。然后，我们计算样本的平均距离，并将所有模型从最佳到最差进行排序。表2给出了所有数值结果。首先，类型1模型的拟合质量比类型2模型的拟合质量差得多。回想一下，类型1的模型只有积极的市场订单（没有部分市场订单），但允许在最佳报价下的限制订单具有灵活（几何）规模，而类型1的模型要求在最佳报价下的所有限制订单都是单位规模的。这一观察结果强调了在限额订单簿模型中考虑订单的一般规模可以获得的好处。其次，我们也可能会有点惊讶地观察到，1型模型甚至比3型模型在最佳报价下提供更好的音量，这可能看起来有点违反直觉，因为3型模型是一个模拟的结果，使用了所有可用的零智能参数，而其他模型是有限的。这提醒我们，在数据拟合过程中，许多机制或多或少是隐藏的，但仍然很重要。特别是，在我们的示例中，以时间加权量的形式计算了最佳报价下的平均数量分布。然后，通过第5.1子节中所述的抵消参数，将时间的影响整合到模型中。实际上，取消参数不是直接确定的，而是一种调整变量。

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2022-5-7 14:59:47

事实证明，1型模型在整合这一维度方面做得更好。为了说明这种现象，我们重做了整个经验部分，而不考虑时间，同时计算最佳报价下的平均产量。这意味着我们在“事件时间”中工作，换句话说，考虑到数据的时间戳被删除，并以指数到达时间的相同顺序随机重新生成，这是等效的。在这种情况下，模型3显示了预期的最佳性能：其与经验分布的平均L距离等于2.16×10-3，而1型和2型的模型在4.27×10的距离处跟随-3和更多。6结论本文表明，限价订单簿的基本零智能模型能够准确地描述在最佳报价下提供的交易量的平稳分布，前提是它们包含一个适当的机制，以考虑影响价格的激进订单：在sp read中提交的激进的限价订单，以及激进的市场订单，消除了书中第一级的整体流动性。在这里，我们利用终止和恢复马尔可夫过程的结果（这里，当价格不变时，在最佳报价处数量的演变）对这些激进的顺序进行了建模，这使我们能够提供利益分配的分析公式。在本节结束时，我们将给出最后一个观察结果，这可能会引发关于这一主题的未来工作。图2显示（π2，i）i的理论模型∈n在模拟书中的经验性分布时，与典型的e-0模型在最好的引语中对该卷的描述有相同的缺陷：也就是说，一个身体向右倾斜，尾巴太细。

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2022-5-7 14:59:51

这并不奇怪，因为书中的卷在这里被视为一个整体，没有考虑杀戮和投降（如0型模型）。未来的工作可能包括杀戮和复活，作为一种对抗效果：当价格变动时，书中的所有限制都会改变，即杀戮和投降。参考文献：阿伯格尔、弗里德·埃里克和杰迪·艾曼。2013.订单簿建模的数学方法。《国际理论与应用金融杂志》，16（05）。比亚斯，B.，希利昂，P.，斯帕特，C.1995。巴黎证券交易所限价指令簿和指令流的实证分析。《金融杂志》，50（5），1655-1689。Bouchaud，Jean-Philippe，M\'ezard，Marc和Potters，Marc。2002.股票订单账簿的统计特性：实证结果和模型。定量金融，2（4），251-256。康特、拉玛和德拉拉德、阿德里安。2012.流动市场中的订单动态：极限理论和扩散近似。arXiv预印本arXiv:1202.6412。康特、拉玛、斯托伊科夫、萨沙和塔勒亚、里希。2010.订单动态的随机模型。运筹学，58（3），549-563。克劳福德，福雷斯·W和苏查德，马克·A.2012。一般出生-死亡过程的转移概率及其在生态学、遗传学和进化中的应用。《数学生物学杂志》，65（3），553-580。J.多恩·法默、吉勒莫、拉斯兹洛、利洛、法布里齐奥、迈克、萨博尔克斯和森、阿尼迪亚。2004.是什么导致了价格的巨大变化？定量金融，4（4），383-397。伙计，威廉。概率论及其应用导论：第一卷。第三个edn。约翰·威利父子公司。穆尼·托克，伊昂。2014.订单簿作为排队系统：限制订单规模的平均深度和影响。定量金融。出现。墨菲，J·A和奥多诺霍，1975年。连分式的一些性质及其在马尔科夫过程中的应用。

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