例如，四种两种资产期权的定价，特别是欧洲和美国的最佳和最差输出期权，可以按照我们在第3.3小节中的说明进行操作。定理2.4（b）中给出的L’evy测度的精确形式是这里的一个重要组成部分。3.1 V MΓd市场模型我们采用V MΓd过程对金融市场风险资产的对数价格进行建模。潜在的潜在风险因素用过程描述~ V MΓd（b*, M、 u，∑）-关于给定随机基的过程(Ohm, F、 {Ft}，P）。风险因素驱动了k维价格过程，其中i（t）=Si（0）eRi（t），对于t≥ 0和i=1。。。，k、 用k维对数过程R=（m- q+κ）I+AY={R（t）：t≥ 0}给定byR（t）=（m- q+κ）t+ay（t）=（m）- q+κ）t+X（t），t≥ 0，（3.1）其中m∈ RK是资产的预期总回报率，q∈ RK是资产的分割收益率，A∈ Rk×D，带行Ai∈ RDAI∈ DY，i=1。。。，k、 确定相应日志返回过程的因子加载，以及κ∈ Rk是由κi=-日志EeXi（1）=-logeehai，Y（1）是ESi（t）=Si（0）e（mi-qi）t，t≥ 0，i=1。。。，k、 雷卡利：[0，∞) → [0, ∞) 表示标识函数。命题3.1给出了R（t）矩的公式和调整向量κ的显式形式。备注3.1。风险因素过程Y的依赖结构是有限的，因为∑必须是对角矩阵，才能保持在l′evy过程类中。矩阵A将这些风险因素映射到特定的资产价格，并生成更丰富、可能更现实的依赖结构，类似的参数和设置见[40,47,54]。因此，AY和R不一定是V MΓk过程，但当然是LΓevy过程。2职位3.1。让我们≥ 如（3.1）中的0和R，n=尺寸b*.

然后：（a）ER（t）=（m）- q+κ+APnl=1u Ml）t，t≥ 0.（b）Cov（R（t））=AhPnl=1bl（u） 毫升（u） Ml）+∑ 毫升iAt，t≥ 0.（c）κi=Pnl=1BLOLGbl- hu Ml，Ai0i-kAi0k∑毫升/bl, i=1。。。，k、 证据。随后对拉普拉斯变换进行了区分（见OREM 2.4中的（2.54））。2ρER（1）ER（1）Var（R（1））Var（R（1））Cor（R（1），R（1））0.30 0.0917 0.0782 0.1296 0.2104 0.36510.00 0.0921 0.0780 0.1260.2114 0.0329-0.30 0.0919 0.0785 0.1276 0.2092-0.3076表1:A=（1，ρ；ρ，1）0.5，ρ∈ {-0.30,0,0.30}，Y~ V MΓd（b*, M、 参数n=3，d=k=2，M=（0.1,0.1），q=（0,0），b*= （5,5,10），M=（0.5,0,0.5；0,0.5,0.5），u=(-0.14, -0.25，∑=diag（0.0144,0.04）。我们研究了参数R的分布：d=k=2，m=（0.1,0.1），q=（0,0），b*= （5,5,10），M=（0.5,0,0.5；0,0.5,0.5），u=(-0.14,-∑=diag（0.0144,0.04）和A=（1，ρ；ρ，1）0.5和ρ∈ {-0.3, 0, 0.3}.表1列出了ρ的预期值、波动率（方差平方根）和R（1）的相关性∈ {-0.3, 0, 0.3}. 这些数字有助于更好地理解潜在的抽象模型参数，并在第3.2小节讨论埃舍尔变换时作为比较的基础。两个坐标的预期值均低于m=（0.1,0.1），并且在改变ρ时具有鲁棒性。ρ=0时，第一个坐标的期望值最大，而第二个坐标的关系则相反。这种影响由术语APnl=1u决定 Mlin提案3.1（a）。对于挥发率也可以观察到类似的行为，然而，在这里坐标的作用是交换的。最值得注意的是，相关性与依赖性参数ρ存在显著差异。这种差异的主要驱动力是第一组分AhPnl=1bl（u 毫升（u） Ml）iAinProposition 3.1（b）。

根据u输入的符号，该端子会增加或减少相关性。对于ρ∈ {-0.30,0,0.30}，在两个坐标中，Au都有负项，因此增加了ρ以上的相关性。当降低相关参数ρ时，这种影响减弱。图3显示了t的R密度∈ 改变ρ时{0.01,0.25}∈ {-0.30, 0, 0.30}. 利用快速傅里叶反演，从定理2.2（2.27）中给出的特征函数中获得密度。当t=0.01时，叠加过程AuT支配A∑1/2^BodT，在哪里~ MΓdS（b*, M） ^B是d维标准布朗运动。对于ρ=0，大多数概率质量位于x轴和y轴附近。对于ρ=0.30，另外，质量出现在第一和第三象限的两条直线周围（正相关）。对于ρ=-另外，质量出现在第二象限和第四象限的两条直线周围（负相关）。当t=0.25时，密度接近正常值，水平线接近椭圆形。然而，请注意，对于ρ=0，密度不是对称的，而是向左侧和较低的值倾斜。备注3.2。多元分布参数化的一个理想特性是能够区分描述边缘分布的参数和描述相关性的参数。然而，对于V MΓd来说，这通常是不可能的。每一个参数都至少呈现一个边际分布。这是伽马分布族在卷积下不稳定的结果，除了奇点情况；参见引理2.2。这些是[54]分析的案例。参见[35]了解L’evy过程和相关应用的相关信息。23.2通过Esscher Transformal期权定价的风险中性估值要求风险中性度量作为风险中性估值的基础。

在一般的列维过程设置中，不保证存在此类措施，而且，如果存在，则通常不是唯一的。但在定理2.4的（c）部分，我们证明了在ρ=0.30ρ=0.00ρ=-0.30t=0.01t=0.25-0.03-0.02-0.01 0 0.01 0.02 0.03-0.06-0.04-0.0200.020.040.06-0.03-0.02-0.01 0 0.01 0.02 0.03-0.06-0.04-0.0200.020.040.06-0.03-0.02-0.01 0 0.01 0.02 0.03-0.06-0.04-0.0200.020.040.06-0.15-0.1-0.05 0 0.05 0.1 0.15-0.3-0.2-0.100.10.20.3-0.15-0.1-0.05 0 0.05 0.1 0.15-0.3-0.2-0.100.10.20.3-0.15-0.1-0.05 0 0.05 0.1 0.15-0.3-0.2-0.100.10.20.3图3:R（t）=（m）的密度水平线- q+κ）t+AY（t）表示t∈{0.01,0.25}，A=（1，ρ；ρ，1）0.5，ρ∈ {-0.30,0,0.30}，Y~ V MΓd（b*, M、 u，∑），参数与表1相同。Esscher变换，这里我们遵循常规做法，采用Esscher变换来识别风险中性度量，请参见[15,22,57]。对于（3.1）和h中的过程R、X、Y∈ DR=DX=day埃舍尔变换由（见（2.42））dQRh，tdP=ehh，R（t）iEP[ehh，R（t）i]=ehh，X（t）iEP[ehh，X（t）i]=ehAh，Y（t）iEP[ehAh，Y（t）i]，t≥ 0，（3.2）使得∈ DR=DX=DAY，dQRh，tdP=dQXh，tdP=dQYAh，tdP，对于t≥ 0 . （3.3）根据定理2.4的（c）部分，当DR=DX=DAY时，我们观察到DR=nh∈ Rk:hu Ml，Ahi+kAhk∑Ml<bl，1≤ L≤ 不。同样，通过在定理2.4中用Ah替换λ，可以从（3.3）得出{Y（s）：0≤ s≤ t} | QRh，t~ V MΓd（伯克希尔哈撒韦）*, Mh，uh，∑h），h∈ t博士≥ 0，与bh*= B*, uh=u+ΔAh，∑h=Δ，MHL=blbl- hu Ml，Ahi-卡克∑MlMl，1≤ L≤ N接下来，我们总结埃舍尔变换下的风险中性定价：命题3.2。假设h？∈ 那是什么？，ei+h？∈ DR=DX=DAY，1≤ 我≤ K

然后，对于价格过程为S=erIandSi=Si（0）和Si（0）的市场∈ R+，1≤ 我≤ k、 埃舍尔变换QRh？关于数字S:QRh的鞅测度是否等价？，T~ Pand eqiISi/Sare QRh？，T-鞅，对于1≤ 我≤ k和T>0当且仅当ifmi- r=∧AY（1）（ei）+∧AY（1）（h？）- ∧AY（1）（ei+h？），一个人≤ 我≤ k，（3.4），其中∧Xis是Rd值随机变量X的累积量母函数，即∧X（u）=log Eehu，Xi，u∈ {v∈ Rd:Eehv，Xi<∞}.证据让h∈ 这样h+ei∈ 一天，一天≤我≤ k、 那么Qh:=QRh，这是很好的定义和EQh | eqitSi（t）/S（t）|<∞, 一个人≤我≤k和0≤T≤T注意，eqiISi/Sis是L’evy过程的指数，在P和QRh，t下，因此为1≤ 我≤ k和0≤ T≤ 是这样吗eqiTSi（T）/S（T）英尺=eqitSi（t）S（t）eqiEQhSi（1）/Si（0）S（1）/S（0）T-t=eqitSi（t）S（t）emi+κi-代表艾希，艾（1）艾希，X（1）iEP[ehh，X（1）i]！T-t=eqitSi（t）S（t）emi+κi-代表ehei+h，AY（1）i哎呀我！T-t=eqitSi（t）S（t）e（mi+κi-r+AY（ei+h）-∧AY（h））（T-t） 。回忆κi=-logeehai，Y（1）i=-log Eehei，AY（1）i=-∧AY（ei）看到Eqiisi/Sis是一个Qh鞅，i=1。。。，k、 当且仅当h满足（3.4）。2标记3.3。参数h？被称为Esscher参数。对于一般的潜在evy市场模型，[33]中的定理4.4-4.5（也见[51]，其定理2.6）指出h？是独一无二的，前提是在[52]第24.16条定义的意义下，驾驶L’evy过程不会在P下退化。应用这一结果得出，我们的市场模型（3.1）允许一个唯一的h？，提供等级（A）≥ k、 排名（米）≥ d和det∑>0。2下一步，我们将利率设置为r=0.05，并保持第3.1小节中的剩余模型参数。表2中提供了由此产生的Esscher参数、AdjustedDisk neutral参数和一些基本统计数据。第一行表示三种不同的情况，即ρ∈ {-0.30, 0, 0.30}.

第二行是Esscher参数h？被视为具有负分量，其ρ在增加。h组分的符号？正如预期的那样，因为P下的模型对应于“看涨”市场，预期回报率m=m=0.1超过无风险率r=0.05，h？必须平衡这种影响。第三行给出了转换后的参数uh？在P的情况下，它倾向于低于原始参数，并且ρ也在增加。将伽马从属分布到坐标Mh的矩阵？显示在第四行。这些元素都大于M的元素，依赖参数ρ越负，这种影响就越强。分布的结果特征显示在第5行到第8行中。这些数字可以与表1中P下的数字进行比较。R（1）在Protcher鞅测度下的预期值低于在P下的预期值。波动率总体上增加了近1%。对于相关性，可以观察到同样的情况；将Esscher数与P下的原始数进行比较时，发现增加了约1%。以ρ=0.30ρ=0.00ρ=-0.30小时？(-2.5626, -0.5351)(-2.9662, -1.0410)(-3.8416, -1.8390）uh？(-0.1776, -0.2867)(-0.1827, -0.2916)(-0.1907, -0.2994）Mh？0.5217 00 0.51260.5171 0.51710.5251 00 0.51450.5198 0.51980.5309 00 0.51760.5241 0.5241嗯？R（1）（0.0408,0.0268）（0.0412,0.0264）（0.0409,0.0266）Var1/2h？R（1）0.13650.1334 0.1359Var1/2h？R（1）0.2178 0.2195 0.2185科赫？（R，R）0.3751 0.0492-0.2864表2:A=（1，ρ；ρ，1）0.5，ρ的Esscher参数和由此产生的基本统计数据∈ {-0.30,0,0.30}，r=0.05，Y~ V MΓd（b*, M、 u，∑），参数与表1相同。当我们从P变为Qh？时会起皱？。

那么在定价措施Qh下呢？波动性形式的风险需要比P项下的风险溢价更高的风险溢价，例如在为看涨期权或看跌期权定价时。此外，在定价措施下，多元化效应不太明显，例如对一揽子期权要求更高的溢价。3.3卖出期权的最佳和最差定价上述金融市场模型可以捕捉不同资产价格之间的广泛差异。作为一个例子，我们为一些欧洲和美国风格的交叉依赖敏感选项定价。欧式期权可以通过傅立叶方法方便地定价[14]。因此，我们可以利用定理2.2中提供的结果来计算欧式期权价格。美式期权的定价可以通过有限差分法、离散化各自的定价部分积分差分方程或使用基于树的方法进行。关于指数L’evy过程模型中数值方法的最新调查，请参见[28]。这两种方法都需要对我们在定理2.4中提供的L’evy测度进行重新计算。作为一个例子，我们考虑具有各自早期执行值χbop，k（t）=k的看跌期权的最佳/最差-k_i=1Si（t）！+，χwop，k（t）=k-k^i=1Si（t）！+，（3.5）对于0≤ T≤ T，其中T是到期日，K∈ R+行使价格。风险中性参数为：n=3，d=k=2，b*= （5，5，10），M=（0.5，0，0.5；0，0.5，0.5），∑=diag（0.0144，0.04），u=(-0.14, -0.25），m=（0.1,0.1），q=（0,0）和A=（1，ρ；ρ，1）0.5和ρ∈ {-0.3, 0, 0.3}. 请注意，与第3.2小节相比，我们在这里设置了r=0.1，结果是h？=0和qh？=P这使我们能够解释期权价格对参数ρ的依赖关系，而不会将其与埃舍尔变换对期权溢价的影响混淆。为了计算美式期权价格，我们根据[46]使用[32,34]中概述的treeapproach。

欧洲期权价格是作为该程序的副产品获得的。如定理2.4所述，我们使用的重组多项式树计算的概率权重来自于L’evy测度。选项参数设置为T=0.25和K∈ {90, 95, 100, 105, 110}. 该树直接对二元过程Y=（Y，Y）进行建模，其中卖出价格的指数ρKBest最差于卖出价格的欧美0。3 90 0.04 0.05 0.75 0.810.3 95 0.18 0.24 1.76 1.900.3 100 0.71 1.06 3.74 4.030.3 105 2.17 5.00 7.00 7.490.3 110 4.98 10.00 11.32 11.980 90 0.01 0.02 0.76 0.820 95 0.09 0.13 1.83 1.980 100 0.44 0.77 3.96 4.270 105 1.63 5.00 7.48 7.960 110 4.27 10.00 12.01 12.62-0.3 90 0.00 0.01 0.77 0.83-0.3 95 0.03 0.06 1.85 2.01-0.3 100 0.24 0.53 4.14 4.45-0.3 105 1.19 5.00 7.94 8.42-0.3 110 3.66 10.00 12.63 13.20表3：T=0.25，K的看跌期权的最佳和最差价格∈{90,95,100,105,110}，A=（1，ρ；ρ，1）0.5，ρ∈ {-0.30,0,0.30}，r=0.10，Y~ V MΓd（b*, M、 u，∑），参数与表1相同。转换以获得价格过程。在树的每个节点上，进程在一个127×127的规则矩形网格上分支。最小步长为4.92×10-3和8.37×10-3分别为扬和我。然后获得的价格精确到三个重要数字。时间增量为1。25 ×10-3.通过在一个时间增量后截断树的空间维度的传播，可以减少运行时间。允许树木进一步生长不会影响结果。结果如表3所示。正如预期的那样，看跌期权价格在行权价格K中增加。此外，最差的看跌期权价格高于相应的最好的看跌期权价格，这与无套利一致。对于非现金期权，最坏的看跌期权的早期行权溢价比最好的看跌期权更高。

在这两种情况下，货币期权的早期行使溢价大致相似。因为在货币期权中，最佳看跌期权的提前行权溢价高于最差看跌期权。相关性参数ρ影响预期的期权价格。看跌期权的收益增加了两个价格过程共同下跌的可能性，因此期权溢价在ρ中增加。如果至少有一个价格过程下跌，最差看跌期权的收益就会增加，因此期权溢价在ρ4中降低。1u的度量值的极性分解，ν为σ-有限度量值，u ν表示相应的唯一∑fine产品度量。A中d维钻孔B（Rd）的轨迹场∈ B（Rd）用BdA表示，Sd={x∈ Rd:kxk=1}是Rd上给定范数k·k的单位球。我们说Borel度量u相对于B是局部有限的∈ B（Rd），提供u（C）<∞ 适用于所有紧凑型子TSC B.设K:Sd×B（0，∞)→ [0, ∞] 是相对于（0，∞): 同时，s 7→ K（s，B）是Borel可测的；B 7→ K（s，B）是一个Borel度量，相对于（0，∞). 存在唯一的测度α K:B（Sd） B（（0，∞)) → [0, ∞], 局部有限相对标准差×（0，∞) 满意（α） K） （A×B）=A的RAK（s，B）α（ds）∈ B（Sd），B∈ B（（0，∞)) （例如参见[29]第三章练习3.24）。定义α主键：B（右）*) → [0, ∞] 作为α的形象在Sd×（0，∞) 3（s，r）7→rs∈ 研发部*. 通过构造，αpK是相对于Rd的局部有限Borel测度*满足感*f（x）（α）pK（dx）=RSdR（0，∞)f（rs）K（s，dr）α（ds）对于非负Borel函数f。接下来我们提供了Rd上的极分解*作为pfor Borel测度满足附加可积条件。

结果直接适用于L’evy和Thorin测度，如引理4.1中，我们可以选择w（r）=r∧1和w（r）=（1+log-r）∧（1/r）分别针对（2.2）和（2.15）。我们省略了证据。可以分别修改[5]、引理2.1和[50]、命题4.2中的论点。引理4.1。假设0<RRd*w（kxk）u（dx）<∞ 对于Borel测量值uonRd*和一个连续函数w：（0，∞)→(0, ∞). 然后我们有：（a）u是相对于Rd的局部有限值*带u（Rd）*) ∈ (0, ∞].（b） 存在一对（α，β），同时，（i）α是Sd上的有限Borel测度；（ii）K:Sd×B（（0，∞)) 是一个Borel核，相对于（0，∞);（iii）0<Rw（r）K（s，dr）<∞ 为了所有的人∈ Sd；（iv）u=αpK。（c） 如果（α，K）是另一对，同时满足（i）-（iv），则存在一个Borel函数c:Sd→ (0, ∞) 使得α（ds）=c（s）α（ds）和c（s）K（s，dr）=K（s，dr）。4.2从属与分解 Ld（γX，∑X，∏X）是一类具有独立分量的L′evy过程。设Ld，1（γX，∑X，∏X）：=Ld（γX，∑X，∏X），d∈ N.对于一个Borel测量值V*还有z∈ [0, ∞)d、 我们定义了一个Borel度量z安路*（V）在哪里z） （A）：=Pdl=1zlV（A）∩为了一个Borel a 研发部*. 这里1,1:=R和Ad，l:={x=（x，…，xd）∈ Rd:xm=0表示m6=l}，表示d≥ 2,1 ≤ L≤ d、 回顾（2.24），介绍d:= 和o:= o. 当z∈ [0, ∞),Y∈ Rd，∑∈ Rd×dand V是Rd上的一个Borel测度*, 我们把它们放在一起z：=zy，∑z:=z∑和Vz:=zV。召回（2.4）-（2.5）。我们收集了X的相关规范三元组的一些公式okT（单变量从属关系见[52]中的定理30.1；多变量从属关系见[6]中的定理3.3）。引理4.2。让k∈ {1，d}。让X~ Ld，k（γX，∑X，∏X）。让我们~ Sk（DT，πT）与X无关。

然后我们有：（a）XokT~ Ld（γX）okT，∑XokT∏XokT）与γXokT=γXkDT+Z[0，∞)K*Z0<kxk≤1个P（X（s）∈ dx）∏T（ds），∑XokT=∑XkDT∏XokT（dx）=（πX）kDT（dx）+Z[0，∞)K*P（X（s）∈ dx）∏T（ds）。（b） 尽管如此，t≥ 0P（十）okT）（t）∈ dx=Z[0，∞)kP（X（s）∈ dx）P（T（T）∈ ds）。（c） 如果，另外，DT=0和r[0,1]k*ktk1/2d∏T（T）<∞ 然后XokT~F Vd（0，πX）okT）。在引理4.2的（a）部分中，T的依赖性以线性方式进入公式。因此，如果一个过程X是独立的从属过程的叠加，那么它可以写成（不分布）独立过程的总和：命题4.1。让n≥ 1，k∈ {1，d}和X~ Ld，k（γX，∑X，∏X）。让X，T。，与Tl保持独立~ 1的Sk（DTl，∏Tl）≤L≤n、 LetT:=Pnl=1，Y:=XokT。然后我们有：（a）T~ 带DT=Pnl=1DTland∏T=Pnl=1∏Tl.（b）Y的Sk（DT，πT）~ Ld（γY，∑Y，∏Y），γY=Pnl=1γXokTl，∑Y=Pnl=1∑XokTland∏Y=Pnl=1∏XokTl。（c） 如果X，Xnare是X的独立副本，也是独立的，Tn，然后YD=Pnl=1XlokTl。（d） 此外，如果两个HPNL=1R[0,1]k*ktk1/2d∏Tl（t）<∞ 和pnl=1DTl=0，然后Y~ F Vd（0，Y∏）和XokTl~ F Vd（0，πX）okTl）适用于所有1人≤ L≤ d、 证据。（a） 这是众所周知的，但也可以从拉普拉斯变换推导出来。（b） 根据引理4.2的第（a）部分，从第（a）部分开始。（c） 以下是第（二）部分。（d） 作为引理4.2第（c）部分的含义，从（a）部分开始。24.3定理2.1第2.1小节的证明。（a） 让YD=Bo T~ vggd，1（a，u，∑，T），其中T，B与T独立~ GCC（a，T）和B~ 骨密度（u，∑）。观测值（2.16）延伸到λ∈ 小于λ的C≥ 0.这源于施瓦兹的反射原理：[52]中定理24.11的证明可以适应我们的情况。让θ∈ Rd和集合λθ：=kθk∑-i hu，θi，使得Eeihθ，B（t）i=exp(-tλθ）。

现在（2.20）通过T（T）上的条件从（2.16）得到：E[exp（IHθ，Yti）]=E[E-Ttλθ]=exp-taλθ-tZ（0，∞)对数[（x+λθ）/x]T（dx）.在这里，右边与（2.20）中的公式相匹配。（b） （2.21）如[24]所示（他的命题3.3），而（2.22）与（2.22）中的gy（s，r）=rdd∏Ydy（rs）一样成立（r>0，s）∈ Sd）和任何Borel集 R*（见[24]，他的方程式（4））我们有∏Y（A）=ZAd∏Ydy（Y）dy=ZSdEZ∞A（rs）d∏Ydy（rs）路-1dr-ds。定理2.2的证明。（a） 我们省略了这个证明，因为它类似于定理2.1第（a）部分的证明。（b） 我们将T分解为独立的从属项T=PJ的叠加{1，…，d}tjt其中:= aI和Tjt:=X0<s≤tCJ(Ts）t，t≥ 0 ,  6=J {1，…，d}，（4.1）和（2.25）中的CJA。在这里T（T）=T（T）-T（T-) 对于t>0。还有，I:[0，∞) →[0, ∞)) 表示身份。根据命题4.1，我们得到YD=PJ{1，…，d}yjj，其中（YJ）是一类独立的L′evy过程D=Bod（aI）和YJD=BodTJ~ Ld（γJ，0，πJ）与TJ~ J6的Sd（0，∏JT=. 对于J6=我们有T（CJ）=0<=> TJ≡ 0=> YJ=0<=> πJ≡ 0.若要查看（2.28），假设det∑>0且J6= T（CJ）>0。NoteTJ~ Sd（0，πJT），使用其极性表示，d∏JT=1CJ∩Sd+（s）1（0，∞)（r） k（s，r）α（ds）drr，其中k（s，r）是（2.17）-（2.18）中的数量。从引理4.2来看，∏J（dx）=ZCJPu  t+（∑） t） 1/2Z∈ dxπJT（dt），其中Z是d维标准法向量。由于∑>0和∏JT（CJ）>0，因此∏jy必须绝对连续于`J，允许y具有以下密度：∈ VJ，d∏Jd`J（y）=ZCJ∩Sd+Z∞Z∞经验-rτ-基尼-ru skJ，rsr（2πr）#J/2Qj∈J∑1/2jjs1/2jdr K（s，dτ）α（ds）。这里我们设置kxkJ，c:=Pj∈c的Jxj/（c∑jj）∈ CJ，x∈ 在指数yieldsky中展开一个平方-ru skJ，rs=2rkykkJ，s-Xj∈Jyjuj∑jj+rku skJ，s，以便使用第二类修改贝塞尔函数K的恒等式（2.12）计算内部dr积分。

为了你∈ 研发部*我们得到了∏Jd`J（y）=2（2）-#J） /2π-#J/2expXj∈Jujyj/σjj×（4.2）×ZCJ∩Sd+Z（0，∞){2τ+Xj∈Jsjuj∑jj}/kykJ，s#J/4×K#J/22τ+Xj∈Jsjuj/σjj1/2kykJ，sK（s，dτ）α（ds）Qj∈J∑1/2jjs1/2j，其中（4.2）的RHS匹配（2.28）。在（2.28）中，观察者#J（d∏JY/d`J）（rs）=gJ（s，r），r>0，s∈ SdE∩ RHS匹配的VJ（2.29）。这就完成了（b）部分的证明。24.4第2.2小节命题2.1的证明。（a） 设0<q<1。选择ε>0，这样，对于所有τ>0，ετ-qτ>1≤ ετ-qZτrq-1e-rdr≤ 1.∧ τ-q、 （4.3）通过（2.17）-（2.18），我们从Fubini定理和一个简单的替换得到z0<kzk≤1kzkq∏T（dz）=ZSd+Z0<r≤1Z（0，∞)rqkskqe-rτK（s，dτ）drrα（ds）=Z[0，∞)D*Zrq-1e-kxkrdr T（dx）=Z[0，∞)D*kxk-qZkxkrq-1e-rdr T（dx）。（4.4）鉴于（2.15）和（4.3）–（4.4），Rkxk>1T（dx）/kxkqis有限当且仅当ifR0<kzk≤1kzkq∏T（dz）为，完成（a）的证明。（b） 设p，t>0。选择ε>0，这样，对于所有τ>0，ετ-p0<τ≤1.≤ ετ-pZ∞τrp-1e-rdr≤ 10<τ≤1τ-p+1τ>1e-τ. （4.5）使用（a）部分证明中类似的论点，我们从（2.17）-（2.18）中得到，Fubini定理和一个简单的替换thatZkzk≥1kzkp∏T（dz）=Z[0，∞)D*kxk-pZ∞kxkrp-1e-rdr T（dx）。（4.6）鉴于（2.15）和（4.5）-（4.6），我们看到了thatRkzk≥1kzkp∏T（dz）在且仅在ifR0<kxk时是有限的≤1T（dx）/kxkpi，完成（b）的证明。2.提案2.2的否决。让k=d~ BMd（u，∑），其中∑为绝热矩阵。设Z=（Z…，Zd）∈ RDB可以是标准法向量，也就是具有独立标准法向量分量的向量。对于s∈[0, ∞)D介绍B*（s） ：=（∑） s） 1/2Z。B的自相似性- uI我们可以写B（s）D=us+B*（s） =us+（∑）s） 1/2Z适用于所有（但固定的）s∈ [0, ∞)d、 对于x=（xk）1≤K≤D∈ rdm=（mkl）1≤k、 l≤D∈ Rd×d最大范数用kxk表示∞= maxk | xk |和kMk∞= 分别为maxk、l | mkl |。设k·kopbe为k·k的算子范数。

有限维规范的等价性适用于Rd和Rd×d：我们找到了一个共同的常数∞∈ [1, ∞) 这样k·k∞≤ C∞k·k和k·科普≤ C∞k·k∞. 此外，k·Ke表示RDCE上的欧几里德范数，因此存在∈ (0, ∞) 这样的k·k≤ 切克。（a） 设0<q<2，引入函数h:[0，∞)D*→ [0,1]byh（s）：=E[kB（s）kq（0,1]（kB（s）k）]，s∈ [0, ∞)D*.‘(2.30)=>（2.31）“：我们从B的自相似性中得到- uI thath（s）≤ E[kB（s）kq]=Eu  s+（∑） s） 1/2ZQ, s∈ [0, ∞)因此，当C=2q时∨1C2q∞kukq+E[k∑1/2Zkq],h（s）≤ 第二季度∨1.k·skqopkukq+k·s1/2kqopE[k∑1/2Zkq]≤ 第二季度∨1Cq∞k·skq∞kukq+k·s1/2kq∞E[k∑1/2Zkq]= 第二季度∨1Cq∞kskq∞kukq+kskq/2∞E[k∑1/2Zkq]≤ C0<ksk≤1kskq/2+1ksk>1kskq, s∈ [0, ∞)D*.由于h的全局边界为1，因此存在C∈ (0, ∞) 这样的话≤ C（kskq/2）∧1） 对于s∈ [0, ∞)D*. （2.31）由此和0<ksk的完整性得出≤1kskq/2∏T（ds）。（回忆∏Y（dy）=P（B（s）∈ dy）T（ds）byLemma 4.2.）该证明由命题2.1的（a）部分完成。”(2.31)=>（2.30）\'：假设det∑6=0。对于s∈ [0, ∞)D*观察k∑sk∞=maxk∑kksk>0和P（Z）∈ 研发部*) = P∑1/2Z∈ 研发部*) = P（B）*（s）∈ 研发部*) = 1这样，自从kZkE~ χd=Γ（d/2，1/2），对于任何ρ∈ R、 Pexp{ρkB*（s） 凯}B*（s）q0<kB*（s） k<1）=0= P{kB*（s） k≥ 1}≤ P{kZkE≥ （CEk∑sk）∞)-1} < 1 . （4.7）对于λ：-Σ-1u和s∈ [0, ∞)D*我们从Girsanov定理得到*（s）-u s=B*（s） +（∑）s） λ~ LB*（s）经验hλ，B*（s） 我-kλk∑sP,通过B的自相似性- uI，h（s）=Eku s+B*（s） kq0<kus+B*（s） k≤1.= 经验- kλk∑s/2E经验{-hλ，B*（s） i}kB*（s） kq0<kB*（s） k≤1.≥ kskq/2exp{-ksk∞kλk∑/2}h（s/ksk）≥ kskq/2exp{-C∞kλk∑/2}h（s/ksk），（4.8）对于s∈ [0, ∞)D*当ksk<1时。

（注ksk）∞≤ C∞ksk≤ C∞为了ksk≤ 1.）这里是h:Sd+→ [0, ∞) 定义为H（s）：=E经验{-kλkEkB*（s） kE}kB*（s） kq0<kB*（s） k<1.当P（Q∑1/2kkZk6=0）=1，s7→ 1（0,1）（kB）*（s） k）在Sd+上是下半连续的，几乎可以肯定（开集的指示函数是下半连续的）。因此，他的下半连续由Fatou引理和紧域Sd+构成。特别是，它在某些情况下保持其全局最小值∈ Sd+。注h（s）>0乘以（4.7）。总之，我们从（4.8）中得到h（s）≥Ckskq/20<ksk<1适用于s∈ [0, ∞)D*C:=h（s）exp{-C∞kλk∑/2}∈(0, ∞). 该证明通过应用命题2.1（a）部分完成，使用了与证明（2.30）中类似的论点=>(2.31)’.（b） t，p>0。回忆YD=Bo独立B和T的dT(2.32)=>（2.33）\'：集C:=2p∨1C2p∞. 如第（a）部分的证据注释[kB（s）kp]≤ Ckskpkukp+kskp/2E[k∑1/2Zkp](4.9)≤ CE[k∑1/2Zkp]+kskp（kukp+E[k∑1/2Zkp]）（4.10）对于s∈ [0, ∞)d、 如果u=0，则根据（4.9）得出E[kY（t）kp]=E[E[kB（t（t））kp | t（t）]]≤ CE[k∑1/2Zkp]E[kT（t）kp/2]，并且LHS是有限的，E[kT（t）kp/2]是有限的。否则，如果u6=0，我们得到（4.10）thatE[kY（t）kp]≤ CE[k∑1/2Zkp]+E[kT（t）kp]kukp+E[k∑1/2Zkp]},如果E[kT（t）kp]为，则LHS是有限的。鉴于命题2.1的（b）部分，这就完成了（2.30）的证明=>(2.31)’.‘(2.33)=>（2.32）\'：假设u=0。定义g:Sd+→ [0, ∞) 由g（s）：=E[kB*（s） kpkB*（s） k>1]。采用（a）部分证明中的类似论点，我们发现∈ 使infSd+g=minSd+g=g（s）>0，因此E[kB（s）kp]=E[kB*（s） kp]=kskp/2E[kB*（s/ksk）kp]≥ g（s）kskp/2，代表s∈ [0, ∞)D*. 这扩展到了E[kB（s）kp]≥ g（s）kskp/2用于s∈ [0, ∞)d、 包括起源。特别是，这意味着不等式E[kY（s）kp]≥g（s）E[kT（t）kp/2]通过在t（t）上调节。鉴于命题2.1的（b）部分，这就完成了u=0的证明。假设kkuk6=0。

通过范数的等价性，我们得到了k·k≤ Ck·k∞为了一些C∈ (0, ∞) 这样，对于∈ [0, ∞)d、 ksk≤ Cmink |uk |貂皮|uk | ksk∞≤ Ck1/微克∞ku sk∞≤ C∞Ck1/微克∞ku sk，和，带C:=（C∞Ck1/微克∞)p1∨p、 利用B的自相似性- uI，kskp≤ （C）∞Ck1/微克∞)pE[ku s+B*（s）- B*（s） [kp]≤ CE[kB（s）kp]+CE[kB*（s） [kp]≤ CE[kB（s）kp]+Ckskp/2其中C:=C2p∞CE[k∑1/2Zkp]。因此，我们可以找到∈ (0, ∞) 这样的话[kB（s）kp]≥ kskp- Ckskp/2≥ kskp/2适用于s∈ [0, ∞)dwith ksk>r。总结一下，我们有kskp≤ 2CE[kB（s）kp]+RPS∈ [0, ∞)因此，EkT（t）kp≤ 2CE[kY（s）kp]+rp，通过条件作用，完成证明（2.33）=>(2.32)’.（我们省略了k=1相似但更简单的证明。）24.5提案2.3第2.4小节的证明。（a） 设Cλ：={0}∪ ([0, ∞)D*\\Oλ）。直接检验了Cλ在取凸组合下是封闭的。福尔克斯∈ Cλ我们有kxk≤ hλ，xi≤ CkλkEkxk，因此，kxk≤ CkλkEby the Cauchy-Schwarz不等式（k·Ke表示欧氏范数，C∈ (0, ∞)k·kE有常数吗≤ 因此，Cλ是Rd的一个有界子集。特别是，Cλ是Rd的一个紧子集，因为它也是Rd的一个闭子集。Sλ的连续性是明显的。为了x∈ Oλ我们有kxk- hλ，xi>0，Sλ（x）∈ [0, ∞)D*, 如你所愿。（b） 让λ∈ Rd.我们从Fubini定理和（2.17）得出，zkxk>1ehλ，xi∏T（dx）=ZSd+Z（0，∞)Z∞er（hλ，si）-τ）drrK（s，dτ）α（ds）=Z[0，∞)D*Z∞扩展- rkxk- hλ，xikxkodrrT（dx）。（4.11）因此，如果T（[0，∞)D*\\Oλ）>0则λ/∈ DT。对于剩下的部分，假设T（[0，∞)D*\\Oλ）=0，并选择ε>0，以便对于所有τ>0εlog-(τ) ≤ εZ∞τe-rdrr≤ 日志-（τ） +e-τ. （4.12）注意zoλexp{（hλ，xi- kxk）/kxk}T（dx）≤ 小吃∈Sd+ehλ，si×ZOλe-kxkT（dx）。（4.13）在（4.13）中，从（2.15）的角度看，右侧是固定的。第（a）部分的证明通过组合（4.11）、（4.12）和（4.13）完成。（c） 假设λ∈ DT。

（b）我们有T（[0，∞)D*\\Oλ=0。）从第（a）部分来看，Sλ：Oλ→ [0, ∞)D*波雷尔是可测量的。特别是imagemeasure，由Tλ=（TOλ）o s-λ下T到Oλ的限制值的1λ是Rd上定义良好的Borel测度*对于（2.39）中的Sλ，注意有一个常数C∈ (1, ∞) 这样，对于x∈ Oλ与kSλ（x）k≥ 1，kxkkSλ（x）k=1+hλ，xikxk- hλ，xi≤ 1+| hλ，xi | kxk- hλ，xi≤ 1+| hλ，xi | kxk≤ C（4.14）因此，根据变换定理Z[0，∞)D*（1+对数）-kxk）∧kxkTλ（dx）=ZOλ（1+log-kSλ（x）k）∧kSλ（x）kT（dx），≤ CZOλ（1+log）-kxk）∧kxkT（dx）+ZOλ对数-kSλ（x）kT（dx）。（4.15）（为了表示不等式，将Oλ分解为{x∈ Oλ：kSλ（x）k<1}∪ {x∈ Oλ：kSλ（x）k≥ 1} 回忆一下（4.14）中的C>1。）鉴于（2.15）和（2.40），第（4.15）条中的条款已确定，完成证明。（d） 让λ∈ Rd，t>0。如果k=d，那么我们有TD=Bo独立和B的dT~ 骨密度（u，∑）。条件作用于T（T）yieldsE exp hλ，Y（T）i=E exp hλ，B（T（T））i=E exp{hu T（T），λi+kλk∑T（T）}=E exp hqλ，d，T（T）i.（4.16）否则，如果k=1，则E exp hλ，Y（T）i=E exp{qλ，1T（T）}。无论哪种方式，这都完成了（d）部分的证明。2.定理2.3的证明。设k=d，t>0，λ∈ DY.设q:=qλ，d∈ Rdasin（2.41）。Asλ∈ DY，我们必须有q∈ 根据提案2.3的（d）部分。设a=0。根据[52]中定理25.17的证明改编论点，例如，我们从（2.16）中得到∈干熄焦- <Z∈ [0, ∞)d、 E exp hz，T（T）i=expn- tZ[0，∞)D*logkxk- hz，xikxkT（dx）o.（4.17）让Oqas进入（2.38），但用λ替换q。观察T（[0，∞)D*\\Oq）=0，命题2.3第（b）部分中的后者。注意Sq（x）/kSq（x）k=x/（kxk）-总部，xi）代表x∈ Oq。

设置μλ=u+σλ。由于（4.16）也扩展了，我们从（4.17）中得到，仍然是a=0，Eehλ+iθ，Y（t）iEehλ，Y（t）i=expn- tZOqlogkxk- xi总部- i hλ x、 θi+kθk∑xkxk- hq，xiT（dx）o=expn- tZOqlogkSq（x）k- i hλ Sq（x），θi+kθk∑Sq（x）kSq（x）kT（dx）o。接下来，将变换定理应用于TOq和Sq:Oq→ [0, ∞)D*观察最后一次显示的RHS匹配（2.27），但分别用a，u，T替换为0，uλ，Tq，其中Tq是命题2.3第（c）部分中定义良好的托林度量，但λ替换为q。根据（2.27），如果a 6=0，则可以分解YD=B+yinto独立B，Ywhere B~ 骨密度（u）a、 ∑a） 还有Y~ vggd，d（0，u，∑，T）。利用独立性，通过注意E exp hλ+iθ，B（t）i/E exp hλ，B（t）i=exp，完成了k=d的证明ti hθ，μλ 人工智能-tkθk∑A., θ ∈ Rd.其余情况的证明，其中k=1，是类似的，但更简单。这就完成了定理的证明。2感谢编辑、助理编辑和两位推荐人仔细阅读了本文，并提出了许多有益的建议。此外，我们很高兴地感谢克里斯蒂安·劳对本手稿早期版本的评论。参考文献[1]Ait-Sahalia，Y.和Jacod，J.（2012）确定了离散观测过程的连续BlumenthalGetoor指数。安。统计学家。40, 1430–1464.[2] Applebaum，D.（2004）列维过程和随机演算。剑桥高等数学研究93。剑桥大学出版社。[3] Ballotta，L.，Bonfiglioni E.（2014）使用L’evy过程和应用的多元资产模型。即将到来的欧洲J.金融。[4] Barndorff Nielsen，O.E.（1977）粒径对数的指数递减分布。过程。R.Soc。隆德。A.353、401–419。[5] Barndorff Nielsen，O.E.，Maejima，M.和Sato，K。

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