基于广义Gamma卷积的多元隶属度

2022-5-7 15:05:20

广义伽马卷积的多元隶属度及其在方差伽马过程和期权定价中的应用*Boris Buchmann+Benjamin KaehlerRoss Maller§Alexander Szimayer*2021年6月28日摘要我们统一并扩展了与构建多元Madan Seneta方差伽马期权定价模型相关的许多方法。作为Grigelionis（2007）类的补充，通过将多元布朗运动从属于Thorin（1977）类广义伽马卷积的从属子，导出了一个总体模型。P’errez Abreu和Stelzer（2014）、Semeraro（2008）和Guillaume（2013）开发的多变量类是子模型。这些类在Esscher变换下是不变的，并且非常明确*该研究得到了ARC基金DP1092502、DP0988483和DP160104037的部分支持。+澳大利亚国立大学金融、精算研究与统计研究学院，澳大利亚ACT 0200，电话（61-2）61257296，传真（61-2）61250087，电子邮件：Boris。Buchmann@anu.edu.au——澳大利亚国立大学约翰·柯廷医学研究院，澳大利亚ACT 0200，电子邮件：Benjamin。Kaehler@anu.edu.au§澳大利亚国立大学金融、精算研究与统计研究学院，堪培拉，ACT，澳大利亚，电子邮件：Ross。Maller@anu.edu.au¨大学工商管理系-汉堡，20146德国汉堡，电子邮件：Alexander。Szimayer@wiso.uni-汉堡。得到了规范测度的解表达式，它允许使用PIDE或基于树的方法进行期权定价等应用。

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2022-5-7 15:05:23

我们用欧洲和美国关于两种资产的最佳选择和最差选择来说明。2000年理学硕士学科分类：主要：60G51、60F15、60F17、60F05次要：60J65、60J75关键词：列维过程、方差伽马、多元隶属度、广义伽马卷积、托林测度、埃舍尔变换、埃舍尔不变性、叠加、期权定价。1简介Madan和Seneta[44]介绍了单变量“方差伽马”（VG）过程，作为金融资产价格过程的一个模型，特别着眼于在标准几何布朗运动（GBM）模型之外，对资产进行更准确的期权定价。事实证明，V G模型在该应用中非常成功，许多金融机构普遍使用它作为GBM模型的替代品，尽管它未能适应随机波动性或杠杆效应，或允许绝对值和/或对数回报平方的时间依赖性。尽管如此，马达南和塞内塔还是将V G模型[44]扩展到了多资产版本，再次着眼于金融领域的重要应用（“彩虹期权”），方法是将多变量布朗运动与单变量Gammaprocess相关联（另见[19,20,21,55]）。这种构造将边缘过程保留为单变量方差伽马过程。但是，组件依赖于常见的时间变化。Semeraro[54]概括了Madan和Seneta[44]的多资产版本，以考虑多元从属关系。这使得资产价格之间的依赖结构能够以更灵活的方式建模。多元从属关系背后的经济推论是，每项资产都可能有其自身的活动时间和一个共同的风险因素的非同步风险，所有资产都有一个共同的活动时间。

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2022-5-7 15:05:26

在特定情况下，可以为每个单一资产维护V gprocess，参见Luciano和Semeraro[40,41,42]中的[54]和相关应用，尽管这可能是为了更灵活的相关性建模，如Guillaume[25]。巴洛塔和邦菲格利奥尼[3]给出了基于L’evy财务流程的建模的最新描述。综上所述，基于布朗运动的单变量或多变量伽马从属关系，已经提出了各种各样的多资产模型。然而，当一类过程被要求是稳定的次内敛解时，关于这类过程的一般刻画，文献中仍然存在空白。此外，还需要理论结果，如特征函数公式、L’evy测度，以及在可能的情况下，过渡密度，以全面描述关键特性。作为现实世界与风险中性测度之间的一个重要联系，我们提倡Esscher变换，以获得一个等价的鞅测度。Kallsen和Shiryaev[33]以及Eberlein、Papapantoleon和Shiryaev[17]的开创性论文对这种方法进行了严格的研究。Esche和Schweizer[18]表明，多元L’evy过程的最小熵鞅测度保持了L’evy性质，因为它对应于Esscher变换。R¨uschendorf和Wolf[51]为多元L’evy过程的Esscher参数的存在提供了明确的必要条件，并进一步证明了多元Esscher参数存在时是唯一的。

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2022-5-7 15:05:31

Tankov[57]介绍了指数L’evy过程中的定价理论。本文的目的是通过提出一类一般的Rd值随机过程来填补上述空白，这类随机过程是由一类合适的多元从属函数构成的从属多元布朗运动。我们的目的是设计一个适合未来发展的系统配方。对于新的过程，我们提供了上一段中提到的公式，并通过计算Esscher变换将现实世界与定价措施联系起来。为了说明实际可能性，我们展示了如何使用显式公式为美国和欧洲多资产期权定价。我们考虑的最一般的从属类是Thorin[58,59]的广义Gamma卷积类。我们把它称为GGC类的从属函数，并把布朗运动的从属过程称为方差广义伽马卷积（V GG）过程。Grigelionis[24]构造了这样一个VGG类，我们在本文中称之为V GGd。V GGd，1类包含Madan-Seneta\'sV G以及特殊情况下的多元广义双曲分布[4]。作为对Grigelionis的V GGd，1类的补充，我们介绍了V GGd，L’evy过程的D类。我们的vggd，dclass包括各种先前衍生的模型，如Semeraro的α过程[54]和Guillaume的过程[26]。一般的vgg=vggd，1∪ vggd，dclass以多种方式扩展vgclass。特别是，V GG类允许有限的变化和重尾。图1描述了各个下属类之间的连接。V Gd--我和GGd，1。。。。。。ΓdL--I GGCdLVαΓd--I V GΓd--我是VΓdS--我vggd，d--IV MΓdS--图1：多元L’evy过程类之间的关系。

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2022-5-7 15:05:34

马丹塞内塔的VG[44]是格里戈里奥尼斯[24]V GGd的一个子类，1类；ΓdL GGCdLGamma过程及其基于P’errez Abreu和Stelzer[49]的相关广义卷积过程；Semeraro[54]的VαΓd-类，Guillaume的V GΓd-类[26]，VΓdS=基于P’errez-Abreu和Stelzer[49]的多元伽马从属函数的方差伽马过程，V GGd，基于P’errez-Abreu和Stelzer[49]的GGCd从属函数的dclass；V MΓd=方差矩阵伽马（完全支持的托林度量）。--我指向概括的方向；··表示包含在特殊情况下。Thorin[58,59]广义伽马卷积提供了一个非常自然的分布类，我们的多元VG推广基于该分布。正如我们将要展示的那样，它们有助于构造一类非常一般的从属函数和相应的多元L’evy过程，这些过程是作为从属维布朗运动得到的。我们的新类补充了[24]，包含了目前已知的多变量VG过程的许多版本，并以多种重要方式对其进行了显著扩展。虽然在外观上相当技术化，但我们的方法在很大程度上是针对该方法的实际使用。特征函数或拉普拉斯变换的显式表达式，以及L′evy测度或密度，都是我们所有过程的推导和展示。

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2022-5-7 15:05:38

正如我们通过一个例子所展示的那样，这使得期权定价程序的编程变得简单，特别关注二元基础上美式期权的定价；这是一个不常在这种情况下解决的棘手问题。V GG类及其一些子类在Esscher变换下被证明是不变的，因此，作为特定成员的Schcher变换构造的风险中性分布也在V GG类中，其实际含义是，可以在风险中性测度下计算价格，并通过校准市场数据来估计模型参数。利用这些概念，我们建立了一个市场模型，并展示了基于多种资产的期权是如何定价的。为了说明这一点，我们将自己限制在V GG类的另一个子类中，它是V MΓd过程的术语。这个类中的模型的优点是允许坐标过程之间存在一般的依赖结构。例如，我们使用基于树的算法对欧洲和美国看跌期权中的最佳和最差进行定价。本文的组织结构如下。第二部分是理论。在2.1小节中，我们修改了Madan Seneta V G模型，并给出了两个主要扩展：方差单变量GGC和方差多变量GGC类。这就需要首先回顾伽马从属函数的一些基本事实，然后概述索林的GGC类。第2.2小节给出了一些关于新过程的矩和样本路径的结果，包括Blumenthal-Getoor指数的计算。在第2.3小节中，我们调查了我们的V GG类和不可完全整除分布的各种多元类之间的关系，如P’errez Abreu和Stelzer[49]中介绍的，我们称之为ΓdL GGCdL课程。第2.4小节计算Esscher变换，说明两个V GG类保持不变的事实。

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2022-5-7 15:05:42

第2.5小节介绍了Variance-MΓd-子类，我们在第3节中建立了期权定价模型。最后，第2.6小节收集了我们的从属类的进一步属性，包括与文献中发生的属性的比较。第3节包含应用程序。这里介绍了市场模型，讨论了风险中性估值，在第3.3小节中，我们对一些欧洲和美国类型的交叉依赖敏感期权进行了定价。这里还提供了一些模型允许的依赖类型的示例。第2.1-2.4小节的证明和必要的方法学工具被归入第4节，其中简要介绍了度量的极性分解和从属关系。2.理论2。1方差广义伽马卷积（V GG）初步研究。RDI是d维欧氏空间；Rdarecolumn向量x=（x，…，xd）的元素。设hx，yi表示欧氏乘积，k·kE：=hx，xi为欧氏范数，并将kxk∑：=hx，∑xi设为x，y∈ Rdand∑∈ Rd×d.一年让A*= A\\{0}。1表示指示器功能。总质量为x的狄拉克量度∈ Rdisδx.I:R→ R表示恒等式函数。X=（X，…，Xd）=（X（t））t≥0是一个d维L’evy过程，如果X是独立的、平稳的增量，X（0）=0，样本路径为7→ X（t）∈ RDL是c`adl`ag函数。L′evy过程X的规律是由其特征函数决定的，其特征函数为Eeihθ，X（t）i=exp{tψX（θ）}，L′evy指数为t≥ 0, θ ∈ Rd，ψX（θ）=i hγX，θi-kθk∑X+ZRd*eihθ，xi-1.-i hθ，xi1kxk≤1.πX（dx）。（2.1）这里是γX∈ Rd，∑X∈ Rd×dis是一个对称的非负有限矩阵，∏Xisa是Rd上的一个非负Borel测度*令人满意的*kxk∧ 1∏X（dx）<∞, （2.2）k·k是Rd上的一个给定范数。

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2022-5-7 15:05:46

我们写X~ Ld（γX，∑X，∏X），当X是具有正则三重态（γX，∑X，∏X）的d维L′evy过程时；BMd（γ，∑）：=Ld（γ，∑，0）指漂移γ和协方差矩阵∑的布朗运动。当∑X=0且z0<kxk时，X的路径具有（局部）有限变化（F Vd）≤1kxk∏X（dx）<∞. （2.3）在这种情况下，我们写X~ F Vd（DX，πX），其中DX表示X:DX:=γX的漂移-R0<kxk≤1x∏X（dx）∈ d.具有非减量分量的d维L’evy过程称为d维从属过程，可能带有漂移DT，写为T~ Sd（DT，πT）。一个一般的L’evy过程~ Ld（γX，∑X，∏X）是具有漂移DXif且仅当X的从属函数~F Vd（DX，πX）与DX∈ [0, ∞)d∏x集中在[0，∞)D*.我们写XD=Y和X~ 当L（X）=L（Y）和L（X）=Q时，L（X）分别表示随机变量或随机过程X的规律。在完全可除分布和Lèevy过程X之间存在对应关系：对于所有t≥ 0 X（t），P（X（t）定律∈ dx）是完全可分的。反之亦然，RDM上的任何完全可除的Borel概率测度Q唯一地确定了L’evy过程viaX（1）的分布~ 问：本文通篇使用了这种联系。例如，我们写T~ qs表示T是T（1）的从属项~ Q.参见[2,8,12,15,39,52]了解列维过程的基本性质及其在金融中的应用。从属关系。[6]中介绍了各种从属关系（详见第4.2小节）。在本文中，我们将使用两种极端情况：单变量和（严格）多变量从属。LetX=（X，…，Xd）是一个d维的L′evy过程。X是下属。给定一个独立于X的单变量从属变量T，定义一个d维L’evy过程，表示为Xo T，通过设置（Xo T）（T）：=（X（T（T）），Xd（T（T）），T≥ 0 .

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2022-5-7 15:05:51

（2.4）在续集中，我们表示X定律o T乘L（X）o L（T）。我们将这种类型称为单变量从属（参见[52]第6节）。假设X有独立的分量X，除息的。设T=（T，…，Td）是一个d维从属函数，独立于X，并通过设置X定义一个d维全维过程odT:=（X）o T除息的o Td）。（2.5）X定律odT用L（X）表示odL（T）。备注2.1。在处理严格的多元从属关系时，我们必须将可容许的从属类X限制为具有独立成分的L’evy过程。这是必要的，如果我们要留在L’evy过程的类别中。例如，让B~ BM（0，1）是一个单变量标准BM。那么X=（B，B）是一个L′evy过程，但t7→ （B（t），B（2t））不是。2.主从。用Γ（α，β）表示参数α，β>0的伽马分布，即R上的Borel概率测度，相对于Lebesgue测度绝对连续，由Γ（α，β）（dx）=1（0，∞)（x） βαΓ（α）xα-1e-βxdx，x∈ R（2.6）我们写G~ γ过程G=（G（t））t的ΓS（α，β）≥参数α，β>0的0，也就是说，G是一个具有边际分布G（t）的单变量从属变量~ Γ（αt，β），t>0。此外，对于λ>-β、 t>0，记得吗-λG（t）=(β(β + λ)αt=expn- tZ∞1.- E-λrαe-βrdrro（2.7）（第一个公式是众所周知的，第二个恒等式是弗鲁拉尼积分，见[8]中的第16页和第73页）。特别是，伽马过程具有零漂移，其L’evy度量允许Lebesgue密度∏G（dr）=1（0，∞)（r） αe-βrdrr、对于α=β，我们有E[G（1）]=1。G也被称为标准Gammaprocess，brie fly G~ ΓS（α）：=ΓS（α，α）。马丹·塞内塔诉GDV。Madan和Seneta[44]（对于广泛的调查和评论，参见[19,20,21,37,38,43,55]）建议，布朗运动服从伽马过程。

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2022-5-7 15:05:54

对于该模型的参数，我们假设为u∈ Rd，b>0和∑∈ Rd×d，∑为对称非负定义。让B~ BMd（u，∑）是d维布朗运动，G~ ΓS（b）独立于b。当YD=b时，L′evy过程Y是一个参数为b，u，∑的d维方差伽马（V Gd）-过程oG、这很容易~ vGd（b，u，∑）：=BMd（u，∑）o ΓS（b）。（2.8）（a）注意，V-Gd过程具有零漂移，且变化有限。（b） Y的拉普拉斯变换有一个明确的形式，直接来自条件作用：对于t≥0, λ∈rdkλk∑-hu，λi<b，E exp{-hλ，Y（t）i}=nb。（b+hu，λi）-kλk∑obt。（2.9）（c）如果∑是可逆的，对于t>0，Y（t）的分布相对于勒贝格测度是绝对连续的，密度如下：fY（t）（Y）=（2）-d） /2bbtexp{h∑-1u，yi}πd/2（det∑）1/2Γ（bt）kyk∑-12b+kuk∑-1.（2吨）-d） /4×K|2bt-d |/2q（2b+kuk∑）-1） kyk∑-1., Y∈Rd.（2.10）此外，在det∑6=0的情况下，Y的标准L’evy测度相对于勒贝格测度和满足度是绝对连续的：d∏Ydy（Y）=B2（2-d） /2exp{h∑-1u，yi}πd/2（det∑）1/22b+kuk∑-1kyk∑-1.d/4×Kd/2q（2b+kuk∑）-1） kyk∑-1., Y∈ Rd.（2.11）这里Kν是第二类修正贝塞尔函数（见[23]），它们的方程（3.471）–9和（8.469）–3；还有[15]，他们的附录）。关于第二类修正贝塞尔函数Kν，可以方便地修正以下事实：对于δ，γ>0，ν∈ R2（δ/γ）ν/2K |ν|pδγ=Z∞rν-1exp- （δ/r）- γr博士（2.12）对于较大的x值（见[23]，其方程式（8.451）–6），Kν（x）~ K1/2（x）=√πe-x/√2x，x→ ∞. （2.13）我们使用一个由bkν（r）定义的Kν变体：=rνKν（r），r，ν>0。（2.14）备注2.2。我们从（2.7）中得到，位移伽马过程eg（t）=at+G（t），t≥ 0，带G~ ΓS（α，β）对λ有拉普拉斯变换≥ 0-日志Ee-λeG（t）=λat+αt logβ+λβ=λat+tZ（0，∞)log（1+（λ/y））αδβ（dy）。对于独立过程G。

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2022-5-7 15:05:58

，gngk=ΓS（αk，βk），1≤ K≤ n、通过Egk（t）=akt+Gk（t），t介绍相关的移位伽马过程≥ 0, 1≤K≤n、从λ的独立性出发≥ 0-日志Ee-λPni=1eGi（t）=-nXk=1log Ee-λeGi（t）=tλa+tZ（0，∞)log（1+（λ/y））Tn（dy），其中a=Pnk=1，Tn=Pnk=1αkδβkis是与递增函数Un（y）=Pnk=1αk[βk]相关的离散度量，∞)（y），y>0。利用上一次显示中的显示，并在分布中采取适当的限制，我们可以在广义伽马卷积类中进行分析。在第2.5–2.6小节中的多变量设置中，我们将在MΓd类的背景下采用完全支持的权限度量，如上述TN。2广义伽马卷积子（GGC）。这类伽马分布在卷积下是不封闭的。为了扩展MadanSeneta V Gd类，可以方便地使用对应于广义伽马卷积（GGC）的Horin类[58,59]的从属函数。这是包含所有伽马分布的最小分布类，但在卷积和弱收敛下是闭合的（参见[10,11,24,30,53,56]；多元扩展参见[5,11,49]）。GGC分布类是自分解分布的一个子类，因此分布是完全可分的。d维Thorin测度T是[0]上的Borel测度，∞)D*z[0，∞)D*1+对数-kxk∧kxkT（dx）<∞. （2.15）（整个x=x+- 十、-表示扩展实数x的分解∈ R分为正负两部分。）从属子T是带有参数A和T的GGCd从属子，inbrief T~ GGCdS（a，T），当T是d维托林测度时，a∈[0, ∞)丹德，无论如何≥ 0, λ ∈ [0, ∞)D- 日志E exp{-hλ，T（T）i}=T ha，λi+tZ[0，∞)D*日志kxk+hλ，xikxkT（dx）。（2.16）Thorin从属项的分布由a和T决定。

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2022-5-7 15:06:03

AnyThorin测度T允许极性表示T=αpK相对toSd+：={x∈ [0, ∞)d:kxk=1}（见下面的引理4.1）。这允许我们指定相应的L’evy度量。对于T~ T=α的GGCdS（a，T）pK我们没有~ 带d∏T=ZSd+Z的Sd（a，∏T）∞δrsk（s，r）drrα（ds），（2.17）k（s，r）=Z（0，∞)E-rτK（s，dτ），r>0，s∈ Sd+，（2.18）分别参见[5,49]，他们的定理F和命题4.3。方差——单变量GGC（vGGD，1）。作为GDV模型的首次扩展，我们将回顾Grigelionis[24]的课程。格里格里奥尼斯使用单变量隶属度o 以及带有一元GGC子序数的从属布朗运动。对于他的模型参数，我们采用u∈ Rd，a>0和∑∈ Rd×d，∑是对称的非负定义。此外，这可能是一个单变量的托林测度。让B~ BMd（u，∑）是d维布朗运动，T~ GGCS（a，T），独立于B。给定这样的B和T，我们称之为形式为YD=B的L’evy过程o T参数为a，u，∑，T的一维方差单变量广义伽马卷积（vggd，1）过程。我们写这封信~ vggd，1（a，u，∑，T）：=BMd（u，∑）o GGCS（a，T）。（2.19）下一个定理给出了特征函数和L’evy密度。第（a）部分（我们的方程式（2.21））在第4.3小节中得到了证明。（b）部分出现在[24]中（见他的命题3）。（在（2.20）中，log:C\\(-∞, 0] → C表示对数的主分支。）定理2.1。让我来~ vggd，1（a，u，∑，T）。（a）对于所有θ∈ Rd，t≥ 0，我们有E exp{i hθ，Y（t）i=exp{tψY（θ）}，其中ψY（θ）=ia hu，θi- （a/2）kθk∑-Z（0，∞)对数τ-i hu，θi+kθk∑τT（dτ）。（2.20）（b）假设det∑6=0，t6=0。

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2022-5-7 15:06:07

那么∏i对于Rd上的d维勒贝格测度是绝对连续的*, 在哪里，为了你∈ 研发部*,d∏Ydy（y）=2（2）-d） /2π-d/2（det∑）-1/2kyk-d/2∑-1exp{Σ-1u，y} ×（2.21）×Z（0，∞)（2τ+kuk∑）-1） d/4Kd/2q（2τ+kuk∑）-1） kyk∑-1.T（dτ）。除此之外，我们还有∏Y=RSdER∞δrsgY（s，r）dr/rαd，E（ds）在欧几里德极坐标系中，Lebesgue曲面测度αd，Eon SdE（对于d=1的Weinterpetαd，Eas为计数测度），对于r>0，s∈ SE，gY（s，r）=2（2）-d） /2π-d/2（det∑）-1/2ksk-d∑-1exp{rΣ-1u，s} ×（2.22）×Z（0，∞)bKd/2（2τ+kuk∑）-1） 1/2rksk∑-1.T（dτ）。备注2.3。在这两个类中，vgd和vggd，1，我们用一个单变量的从属变量来从属布朗运动。因此，这些过程的组成部分必须同时跳跃。为了让这些分量彼此独立地跳跃，我们必须使用布朗运动的多元从属关系。这激发了我们的下一步，引入我们的GGd，d-class。2方差——多元GGC（V GGd，d）。接下来，我们给出了V-Gd模型的另一种修正，该模型由多元隶属关系构建od、对于该模型的参数，我们假设一个d维钍测量，u∈ Rd，a∈ [0, ∞)dand∑∈ Rd×d，其中∑=diag（∑，…，∑dd）具有非负项。（我们对布朗运动施加了独立分量的要求，以便保持在L’evy过程类中，见备注2.1。）让B~ BMd（u，∑）是布朗运动。让我们~ GGCdS（a，T）独立于B。给定这样的B和T，我们称之为formYD=B的L′evy过程odT a d维方差多元广义伽马进化（vggd，d）-参数为a，u，∑，T的过程。我们写这封信~ vggd，d（a，u，∑，T）：=BMd（u，∑）odGGCdS（a，T）。（2.23）为了说明该工艺特征的公式，定义外部-y=（y，…，yd），z=（z，…，zd）的乘积∈ Rdand∑∈ Rd×dasy z:=（yz，yz。

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2022-5-7 15:06:11

，ydzd）∈ Rd，（2.24）∑ z:=diag（z，…，zd）∑∈ 我们可以分解[0，∞)D*=s6=J{1，…，d}cj为半锥，其中cj:=nXj∈Jxjej:xj>0表示所有j∈ 乔， 6=J {1，…，d}，（2.25）和Ei是单位坐标向量。类似地，我们可以分解Rd*=s6=J{1，…，d}VJinto VJ:={Pj∈Jxjej:xj6=0表示所有j∈ J对于 6=J{1，…，d}。设#J为J的基数。我们需要一系列参考度量。用`表示单变量Telebsgue测度定义`J:=Ndk=1`J，kas表示具有以下因子的乘积测度：`J，k:=1J（k）`+1{1，…，d}\\J（k）δ，1≤ K≤ D（2.26）观察“J（Rd*-VJ）=0。最后，为了在欧几里德极坐标中提供（2.22）的模拟，让αJ，Edenote在SdE上测量勒贝格曲面∩ VJJ 6=. （在离散情况下，我们解释αJ，Eas计数度量）。下一个定理给出了Y的特征函数及其L′evy测度的表达式。第4.3小节对此进行了证明。定理2.2。让我来~ vggd，d（a，u，∑，T）。（a）对于所有θ∈ Rd，t≥ 0，我们有E exp{i hθ，Y（t）i}=exp{tψY（θ）}，其中ψY（θ）=i hu a、 θi-kθk∑A.-Z[0，∞)D*logkxk- 我是hu x、 θi+kθk∑xkxkT（dx）。（2.27）（b）始终∏Y=P6=J{1，…，d}∏J，带∏J（Rd）*- VJ）=0表示 6=J{1，…，d}。如果T（CJ）=0，则∏J≡ 否则，如果T（CJ）>0且det∑>0，则∏Jis相对于`Jand绝对连续，对于y∈ VJ，d∏Jd`J（y）=2（2）-#J） /2π-#J/2exp{Σ-1u，y} ×（2.28）ZCJT（dx）Qj∈J∑1/2jjx1/2j（2kxk+hu x、 ∑-1uiPj∈Jyj/（xj∑jj））#J/4×K#J/22kxk+u x、 ∑-1uXj∈Jyj/（xj∑jj）1/2!,而in∏J=RSdE∩VJ（R）∞δrsgJ（s，r）dr/r）αJ，E（ds），对于r>0，s∈ SdE∩VJ，gJ（s，r）=2（2）-#J） /2π-#J/2exp{rΣ-1u，s} ×（2.29）ZCJT（dx）Qj∈J∑1/2jjx1/2jnXj∈Jsj/（xj∑jj）o-#J/2×bK#J/2r×n2kxk+u x、 ∑-1uXj∈Jsj/（xj∑jj）o1/2.2.2矩和样本路径在2.6小节中，我们看到两个V GG类都支持具有有限变化和有限矩的纯跳跃过程。

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2022-5-7 15:06:14

在命题2.1–2.2中，我们提供了关于Thorin测度的条件，可用于检查∏和∏Yas的局部可识别性以及力矩的存在性（证明见第4.4小节）。设置k·k:=|·|和k·kd:=k·k.命题2.1。设t>0，0<q<1，p>0，t~ GGCD（a，T）。然后：（a）R0<kzk≤1kzkq∏T（dz）<∞ <=>Rkxk>1T（dx）/kxkq<∞.（b） E[kT（t）kp]<∞ <=>R0<kxk≤1T（dx）/kxkp<∞.提议2.2。让k∈{1，d}和Y~vggd，k（a，u，∑，T）。然后我们有：（a）设0<q<2。如果zkxkk>1T（dx）/kxkq/2k<∞ （2.30）然后z0<kyk≤1kykq∏Y（dy）<∞. （2.31）此外，如果det∑>0，则（2.30）和（2.31）是等效的。（b）设p，t>0。If（R[0,1]d*T（dx）/kxkp/2k<∞ 当u=0R[0,1]d时*T（dx）/kxkpk<∞ 当u6=0（2.32）时，则烯[kY（t）kp]<∞. （2.33）此外，如果qdk=1uk6=0，或u=0且det∑>0，则（2.32）和（2.33）是等效的。备注2.4。从广义逆高斯（GIG）的从属布朗运动中得到一类广义双曲L’evy过程（详细说明[4,7,16]）。Halgren[27]将单变量GIG分布识别为广义伽马卷积，这意味着相关的超字母L’evy过程[4]构成了V GGd的一个子类，1-类（参见[10]和[24]，他的示例1）。由于命题2.2，我们可以将分析局限于从属阶级。对于（α，β，γ）∈ R×（0，∞)∪ (0, ∞)× {0} ∪ (-∞, 0) × {0} × (0, ∞)GIG（α，β，γ）-分布在（0，∞)GIG（α，β，γ）（dx）=Cα，β，γxα-1e-βx-（γ/x）dx，x>0。这里Cα，β，γ是一个归一化常数。对于γ=0，恒等式GIG（α，β，0）=Γ（α，β）成立，对于λ<β，指数矩E[EλT（1）]是有限的，只要β>0，它就扩展到其他参数α，β，γ。

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2022-5-7 15:06:19

对于β=0和α<0，观察GIG（α，0，γ）=invΓ(-α、 γ）是反γ分布，只有p阶的有限p-矩<|α|。我们将Blumenthal Getoor指数[9]确定为相关GIG下级活动的指标，有关潜在应用，请参见[1,60]。在（2.7）中，noteR（0,1]xq∏G（dx）=αRxq-1e-βxdx对于所有0<q<1的情况都是有限的，这迫使GIG（α，β，0）=Γ（α，β）的Blumenthal-Getoor指数退化为零。对于剩余参数，其中γ>0，我们计算λ>0时GIG（α，β，γ）的拉普拉斯变换{-λα，β，γ（λ）}=Z∞E-λxGIG（α，β，γ）（dx）=Cα，β，γCα，β+λ，γ=2γα/2Cα，β，γK |α|（2pγ（β+λ））（β+λ）α/2~√πCα，β，γγ（2α-1） /4exp{-2pγ（β+λ）}（β+λ）（2α+1）/4，λ→ ∞,如下（2.12）-（2.13）。观察∧α，β，γ（λ）~ 2.√γλasλ→ ∞ 安塔斯√π∏α，β，γ（（x，∞)) ~ ∧α，β，γ（1/x）~ 2pγ/x as x↓ 0，由Tauberiantherom（见[8]，第75页）和相关的Blumenthal Getoor指数1/2。2标记2.5。VG类的其他可能扩展包括一系列可能的样本路径行为。在[45]中，单变量CGMY-过程被确定为从属布朗运动，并且也知道相关的从属子是GGC从属子（参见[31]，其示例8.2）。如[13]所述，CGMY过程的Blumenthal-Getoor指数耗尽了整个时间间隔（0,2）。特别是对于任何给定的q∈ （0,1）存在具有Blumenthal-Getoor indexq的GGC从属函数，后者由命题2.2（a）部分确定（多元CGMY模型见[40]）2标记2.6。通过（2.15）的直接验证∞是（0，∞), 哪里∞（dx）：=1（0,1/e）（x）dxx对数（1/x）+1（e，∞)（x） dxlog（x）。AsRx>1T∞（dx）/xq=R0<x≤1T∞（dx）/xp=∞ 对于0<q<1和p>0，我们分别从命题2.1得到，任何相关的GGC（a，T∞)从属函数具有有限的p-矩，Blumenthal-Getoor指数等于1。

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2022-5-7 15:06:22

根据命题2.2，也可以是任何vggd，1（0，0，0，∑，T∞)-det∑>0的过程具有有限的p-矩，其Blumenthal-Getoor指数等于2。22.3通过极性分解的L’evy过程类基于L’evy测度的极性分解（见引理4.1），P’errez Abreu和Stelzer[49]在锥上构造自分解分布类，生成有限变化（F Vd）的L’evy过程类，超越从属过程，包括伽马和GGC过程的版本。多元伽马过程。我们复制了[49]中的模型（第3节）。回忆Sd:={x∈ Rd:kxk=1}，设β：Sd→ (0, ∞) be aBorel函数，以及SDS上的αa有限Borel度量，使得zSDLog1+β（s）β（s）α（ds）<∞. （2.34）我们将d维L’evy过程X称为参数α和β为X的Γd过程~ ΓdL（α，β），当X~ F Vd（0，∏X）和∏X=ZSdZ∞δrse-β（s）rdrrα（ds）。（2.35）假设α、β满足（2.34），[49]中显示，（2.35）中的RHS定义了一个L’evy度量（见其命题3.3）。ΓdL类在很大程度上遵循了我们第2.2小节的精神，它包含了具有有限时刻的过程，以及其他内容（参见[49]，示例3.14、3.15和3.16）。多元伽马从属。回忆Sd+：=[0，∞)D∩ Sd，让β：Sd+→ (0, ∞) 是一个Borel函数，在Sd+上的α有限Borel度量（2.34）是满意的，但用Sd+代替了SDR。我们把一个d维的从属子T称为参数为α和β的Γd-从属子，写为T~ ΓdS（α，β），无论何时，对于所有λ∈ [0, ∞)D- 日志Ee-hλ，T（T）i=tZSd+logβ（s）+hλ，siβ（s）α（ds）。

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2022-5-7 15:06:28

（2.36）如（2.7）中的弗鲁拉尼恒等式所示，（2.36）中的RHS匹配ZSd+logβ（s）+hλ，siβ（s）α（ds）=ZSd+Z∞1.- E-rhλ，siE-rβ（s）drrα（ds），因此~ ΓdS（α，β）成立的充要条件是T~ Sd（0，∏T）与∏Tasin（2.35），但分别用Sd+和∏T取代了SDA和∏X。很明显，一个ΓdS从属是一个ΓdL过程，包含不减损的组件：Sd∩ΓdL=ΓdS。在单变量情况下，我们有ΓS（αδ，β）=ΓS（α，β（1））。与我们的GGC类的联系是ΓdS（α，β）=GGCdS（0，α）pΔβ（·））。因此，相关的VΓdS类是我们的V GGd，d类的一个子类。作为补充，可以将VΓdS类设计为一类与[49]的矩阵伽马正态类相关的LΓevy过程（见第5.3.2小节）。多元伽马卷积过程。在[49]中（见其定义4.4和第4.4小节），还展示了如何描述与锥体相关的多元广义伽马卷积的相关类别。有可能引入GGCdL类F Vd工艺，将极性分解从[0，∞)D*到*, 正如我们在包含ΓdS的上下文中所示 ΓdL。特别是，我们有Sd∩ GGCdL=GGCdS。我们通过在图1中确定进一步的内容来结束本小节，将此类进一步调查推迟到第2.6小节。方差伽马（VG）再访。假设是Y~ V Gd（b，u，∑）这样~ vggd，1（0，u，∑，T），T=bδbin（2.19）。

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2022-5-7 15:06:32

如果d=1，∑6=0，则（2.22）退化为，对于r>0，s∈ SE={±1}，gY（s，r）=b expnrsu- （2b∑+u）1/2 | s|/∑o.| s |，在（2.35）中我们有~ ΓLb（δ）-1+ δ), ±1 7→（2b∑+u）1/2 u/Σ,可与[43]中作为独立伽马从属函数差异的单变量VG过程的表示相比较。对于d>1和可逆∑，我们从（2.13）和（2.22）得到，对于s∈ SdE，作为r→ ∞,gY（s，r）=2b（2π）d/2exp{r h∑-1u，si}（det∑）1/2kskd∑-1×bKd/2（2b+kuk∑）-1） 1/2rksk∑-1.~b（2b+kuk∑）-1）（d）-1） /4（2π）（d）-1） /2（det∑）1/2×r（d）-1） /2ksk（d+1）/2∑-1×expnrΣ-1u，s- （2b+kuk∑）-1） 1/2ksk∑-1.o、最后一次显示的渐近等价性不匹配（2.35），消除了Y是ΓdL过程的可能性。在他的vggd中，一级格里戈里奥尼斯（见[24]，他的命题3）表明，只要d=1或d，任何vggd，1（0，u，∑，T）-过程都是自分解的≥ 2和u=0。假设一个可逆的∑并对T施加进一步的力矩条件，这些条件在T=bδb等度量中得到充分满足，他表明他的结果是尖锐的：如果u6=0和d≥ 那么vggd，1（0，u，∑，T）-过程不能自分解。因此，V-Gd（b，u，∑）工艺与d≥ 2，u6=0，可逆∑不能自分解，更不用说是ΓdL的一个元素了 GGCDL类。显然，bK1/2是完全单调的。通过在整数符号下微分（2.12），我们发现BKD/2（0+）<0。

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2022-5-7 15:06:36

特别是，如果≥ 2，然后bkd/2不再是完全单调的，并且a V Gd与d一起处理≥ 2，u=0和可逆∑不能是GGCdL过程。提供一份关于vggd，k（k）的详细研究是很有意思的∈ {1，d}）-类和ΓdL GCCdL类，但这超出了本文的范围。2.4指数矩和埃舍尔变换我们使用符号，因此所有t>0，DY={λ∈ Rd:Eehλ，Y（t）i<∞} = {λ ∈ Rd:Zkyk>1ehλ，yi∏Y（dy）<∞}.（2.37）DY是Rd的凸子集，包含原点（见[52]，第165页），类似地，我们引入了DT。此外，我们需要引入λ：={x∈ [0, ∞)D*: kxk>hλ，xi}，λ∈ Rd，（2.38）和a变换λ（x）=kxk-hλ，xikxkx，x∈ 研发部*. （2.39）我们提供了关于Thorin度量的条件，以确保相关GGC/V GG模型的指数矩的完整性（参见第4.5小节）。提议2.3。设t>0，k∈ {1，d}，λ∈ Rd，T~ GGCD（a，T）安迪~ vggd，ka，u，∑，T）。然后：（a）{0}∪ ([0, ∞)D*\\Oλ）是Rd的凸紧子集，Sλ是从Oλ到[0]的连续函数，∞)D*.（b） λ∈ DT<=> 同时，T（[0，∞)D*\\Oλ=0和zoλ对数-kSλ（x）kT（dx）=ZOλlog-kxk-hλ，xikxkT（dx）<∞. （2.40）（c）对于λ∈ dtt约束的图像度量Oλ（·）：=T（Oλ∩ ·)在映射Sλ下，用Tλ表示：=（TOλ）o s-1λ是[0]上的一个很好的托林度量，∞)D*.（d）不限制（a，u，∑，T）：λ∈ DY<=> qλ，k∈ DT，其中qλ，k=hλ，ui+kλk∑，如果k=1，λ u +Σ(λ λ），如果k=d。（2.41）假设Y~ Ld（γY，∑Y，∏Y）是一个关于底层随机基的L′evy过程(Ohm, F、 {Ft}，P）。fty上关于Y的埃舍尔变换由dqyλ，tdP=exp hλ，Y（t）iEPexp hλ，Y（t）i，t给出≥ 0 , λ ∈ DY.（2.42）代表t≥ 0和λ∈ DYin（2.37）众所周知，QYλ，t:Ft→ [0,1]定义了一个概率度量，相当于P:Ft→ [0, 1].

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2022-5-7 15:06:40

除此之外，{Y（s）：0≤ s≤ t} 在新的量度QYλ，t下仍然是一个L’evy过程。接下来，我们证明了两个V GG类在Esscher变换下是不变的（有关证明，请参见第4.5小节）。我们在本文的剩余部分提供了更多具体示例，更具体地请参见定理2.4、第2.6小节和第3节。定理2.3。让我们≥0，k∈{1，d}。如果~ 带λ的vggd，k（a，u，∑，T）∈ DYthen q:=qλ，k∈ DTand{Y（s）：0≤s≤t} |QYλ，t~ 带qλ，k的vggd，k（a，u+λ，∑，Tq）∈ RK和TQA在命题2.3.2.5 V MΓd-类中，在本小节中，我们仅限于严格支持的Thorin度量，并考虑V GGd的相应子类d.MΓd-从属。让n∈ N={1，2，…}，B*= （b，…，bn）∈ (0, ∞)n、 M=（mkl）1≤K≤d、一,≤L≤N∈ Rd×nhaving柱M，锰∈ [0, ∞)D*还有letG~ ΓS（b），Gn~ ΓS（bn）是独立的标准伽马过程。我们把一个d维的从属函数T称为参数为n，b的MΓd-从属函数*, M、布里弗莱特~ MΓdS（b*, M），providedTD=M（G，…，Gn）=nXl=1GlMl。（2.43）接下来，我们证明了MΓd-从属是GGCd从属，但具有零漂移a=0，并且具有严格支持的Thorin测度：引理2.1。让我们~ MΓdS（b*, M） n=dim b*. 然后是T~ Sd（0，T）=GGCdS（0，TT），其中同时∏T=nXl=1blZ（0，∞)δrMlexp{-blr}drr，（2.44）TT=nXl=1blδblMl/kMlk，（2.45）DT=n\\l=1{λ∈ Rd:hMl，λi<bl}（2.46），对于t≥ 0, λ ∈ DT，- logeehλ，T（T）i=tnXl=1blog（基本法）- hMl，λi）bl. （2.47）证据。由（2.16），（2.47）直接从（2.45）开始。命题（4.1）的（a）部分适用于（2.43）给出∏T=Pnl=1∏GlMl，对于tta和DT分别有类似的叠加和交集。仍需验证（2.44）-（2.46）中的公式，但n=1，M=M，b=G=G~ ΓS（b）。带∏：=bR（0，∞)δrMe-brdr/r和λ∈ rdhλ，Mi<b*(1-ehλ，xi）π（dx）=bZ∞1.- 呃λ，miE-单元格边框颜色R

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2022-5-7 15:06:43

（2.48）另一方面，E exp hλ，G（t）Mi=E exp{hλ，MiG（t）}，其中我们可以用（2.7）代替G的特征指数。通过（2.48），结果表达式与（2.44）-（2.45）中的表达式匹配。2对于剩下的部分，我们将回顾伽马分布的一些性质。引理2.2。设c，α，β，α，αn，β，βn>0。让Z~ Γ(α, β). 让我，zn可以独立于Zk~ Γ（αk，βk）为1≤ K≤ n、然后我们有了CZ~ Γ（α，β/c）及其等价性（i）<=>（ii）式中：（i）Pnk=1Zk~Γ（a，b）对于某些a，b>0；（ii）β=···=βn.如果（i）或（ii）满足，则b=β，a=Pnk=1αk.证明。注aδb=Pnk=1αkδβkholds当且仅当b=β=…=βnand a=Pnk=1αk，以及等价物（i）<=>（ii）根据伽马分布的描述。我们在（2.36）中引入了ΓdS（α，β），它与GGC类的联系是ΓdS（α，β）=GGCD（0，α）在单变量情况下（d=1），pΔβ（·））与单位ΓS（αδ，β）=ΓS（α，β（1））相同。正如我们接下来所阐明的，给定的MΓdS从属词不需要有gamma marginals，也不需要是ΓdS从属词。引理2.3。设T=（T，…，Td）~ MΓdS（b*, M） n=dim b*.（a）然后（i）<=> （ii），其中（i）Tk~ ΓS（pk，qk）表示某些pk，qk∈ (0, ∞);（ii）存在1≤L≤n对于mk，l>0，使得blmk，l=blmk，lf对于所有1≤L≤n和mk，l6=0。（b）（一）<=> （ii\'），其中（i\'）T~ ΓdS（α，β）对于某些α，β；（ii）所有1≤k、 l≤n、以下含义为holdskMlkMk=kMkkMl=> kMlkbk=kMkkbl。（2.49）此外，如果（i）或（ii）中的一个成立，那么我们有qk=bl/mk，land pk=Pmk，l6=0bl。此外，如果满足（i\'）或（ii\'）中的一个，则α=Pnl=1blδMl/kMlk和β（Ml/kMlk）=bl/kMlk（1≤L≤n）。证据

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2022-5-7 15:06:46

（a）根据引理2.2，我们可以将T在（2.43）中的第k个分量分解为n个单变量伽马子的和。（b） \"(ii)=>(i):~ ΓdS（α，β）和x∈ [0, ∞)在欧几里德范数kxke=hx，xi=1的情况下，引入一个单变量从属函数SxbySx（t）：=X0<s≤t{αx:α>0}(S（S））hx，S（S）i，t≥ 0 . （2.50）为了确定L’evy测度∏xof Sx，让A (0, ∞) 是一个Borel集，注意∏x（a）=E[#{0≤ T≤ 1 : S（t）∈ {αx:α>0}和hx，S（t）i∈ A} ]=πS（{τ）∈ [0, ∞)D*: τ ∈ {αx:α>0}和hx，τi∈ A} ）。当r>0时，1{αx:α>0}（rs）=1{αx:α>0}（s）=1{x/kxk}（s）∈ S+d，我们从（2.35）得到，最后一个显示中的RHS与∏x（A）=ZSd+Z匹配∞A（rhx，si）1{x/kxk}（s）e-β（s）rdrrα（ds）=α（{x/kxk}）Z∞A（r/kxk）e-β（x/kxk）rdrR在最后一个显示屏的右侧替换r=rkxk，则从（2.7）得出Sx=0或Sx~ ΓS（α（{x/kxk}），kxkβ（x/kxk））。就这样准备好了，让我们~ MΓdS（b*, M）在（2.43）中，对于独立的标准伽马从属函数G，格恩。让Txbe定义为（2.50），但S替换为T。特别是，TMk/kMkkED=XkMlkMk=kMkkMlGlhMk，Mli/kMkkE，1≤ K≤ N另外，假设T~ ΓdS（α，β）。那么TMk/kMkkEmust要么是退化的，要么是单变量伽马从属。因此，根据引理2.2，对于1，我们必须有blkMkkE=bkhMk，Mli≤ L≤ n，其中kMlkMk=kMkkMl。后者相当于（ii\'），完成了（ii\'）的证明=>(i)\"。（i）的预防=>（ii）与之类似。2方差–MΓ（V MΓd）。参数为b*= （b，…，bn）∈ (0, ∞)nand M∈ 为MΓd-从属函数设置Rd×nas，此外，取u=（u，…，ud）∈ Rd和一个对角矩阵∑=具有非负项的diag（∑，…，∑dd）。无论何时YD=BodT，其中B，T是独立的，B~ BMd（u，∑）是布朗运动，而T~ MΓdS（b*, M），我们称Y为方差MΓ（VMΓd）-过程，用下面的asY编写~ V MΓd（b*, M、 u，∑）：=BMd（u，∑）odMΓdS（b*, M）。

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2022-5-7 15:06:51

（2.51）对于一般情况，当det∑6=0时，我们给出了规范L’evy度量∏Y的公式。对于每一列，我们都关联一个维度1≤dl≤d bydl:=#{1≤ K≤ d:mkl>0}，1≤ L≤ n，以及σ-有限Borel测度`*l:=Ndk=1`*l、作为一种产品，kon RDA的衡量标准如下：`*l、 k:=1（0，∞)（mkl）`+1{0}（mkl）δ，1≤K≤d、一,≤L≤N（2.52）对于1≤ L≤ n、我们设置βl:=2bl+Xmk，l6=0mkluk∑kk=2bl+u Ml，∑-1u,αl：=(2-dl）/2π-dl/2blβdl/4lYmkl6=0∑1/2kkm1/2kl。（2.53）下一个定理给出了Y的L’evy测度和拉普拉斯指数的公式，其具有有限的变化（回忆（2.3）），并且在Esscher变换下形式不变。定理2.4。假设是Y~ V MΓd（b*, M、 u，∑），n=dim b*. 然后：（a）我们有Y~ V GGd，d0，u，∑，TT=Pnl=1blδblMl/kMlk。（b）总是这样~ F Vd（0，Y∏）。此外，当det（∑）>0时，则对于allBorel，A 研发部*,πY（A）=nXl=1αlZAKdl/2qβlPmkl6=0yk/mklPmkl6=0yk/∑kkmkl）dl/4expXmkl6=0ukyk/平方公里∑kk`*l（dy）。（c）我们有=λ ∈ Rd:hu Ml，λi+kλk∑Ml<bl，1≤ L≤ N,对于t≥0和λ∈ 迪，- logeehλ，Y（t）i=tnXl=1blognbl-hu Ml，λi-kλk∑毫升/blo，（2.54）和{Y（s）：0≤s≤t} |QYλ，t~ V MΓd（b*, Mλ，μλ，∑）。这里，μλ=u+σλ，和Mλ∈ [0, ∞)d×nhas为以下列Mλ，Mλn:Mλl=blbl- hu Ml，λi-kλk∑MlMl，1≤ L≤ N（2.55）证据。（a）遵循引理2.1和（2.51）。MΓd-从属项没有零漂移。此外，R0<kxk≤1kxk1/2∏T（dx）是MΓd-从属T的定义。因此，Y~ 由引理4.2的（c）部分得到的fv（0，Y）。（命题2.2的（A）部分给出了一个更强的结果。）鉴于（a）部分，其余（b）（c）部分遵循定理2.2-2.3以及命题2.3。2标记2.7。如果~ V MΓd（b*, M、 u，∑），n=dim b*thenYD=nXl=1Yl，（2.56）作为（2.54）的含义。这里是Y，YnYl是独立的过程~ V-Gd（bl，u） Ml，∑ Ml）1分钟≤ L≤ N

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2022-5-7 15:06:55

因此，可以通过叠加独立的Madan Seneta V GD过程来构造V MΓd过程。Wang[61]得出了类似的结论，并通过叠加合适的V-Gd过程，构造了带有V-G分量的多元L′evy过程，就像（2.56）的右侧一样。2跃迁密度。对于MΓd-类的一个子类，可以获得跃迁密度的公式，如我们接下来所示。让b*= （b，…，bd+1）∈ (0, ∞)d+1和M∈ [0, ∞)d×（d+1）使得同时M=（mkl）1≤K≤d、一,≤L≤d+1=诊断（m，…，mdd），Md+1anddYk=1mkkmk（d+1）6=0。（2.57）t>0定义*t:=C*t（b）*, M）：=nbtbd+1d+1Γ（待定+1）odYk=1btbkkΓ（tbk）mtbkk，k, (2.58)β*:= β*（b）*, M）：=-bd+1+dXk=1bkmk，d+1mkk。（2.59）下一个结果的证明来自[36]第48.3.1节中的类似分析。（我们无法通过积分d+1独立伽马随机变量的联合密度，对积分（2.60）进行实质性简化。然而，使用[48]中的结果，可以根据劳里切拉函数展开积分。）引理2.4。设t>0和t~ MΓdS（b*, M）我满意（2.57）。然后T（T）允许勒贝格密度fT：对于τ=（τ，…，τd）∈ Rd，fT（t）（τ）=C*t（0，∞)d（τ）exp-dXk=1bkτkmkk×Zmin1≤K≤dτk/mk，d+1eβ*sstbd+1-1dYk=1（τk）-mk（d+1）s）待定-1ds。（2.60）接下来，我们为相关的V MΓd模型说明这些公式。设u=（u，…，ud）和∑=diag（∑，…，∑dd）为基础布朗运动的参数。为了确保V MΓd过程存在Lebesgue跃迁密度，我们需要额外假设∑是可逆的，即。

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2022-5-7 15:07:00

所有∑kk>0。借助于（2.58）和（2.59）定义：=1（2mk（d+1）∑kk，bak:=mk（d+1）（bk/mkk）+（uk/（2∑kk）），ck:=2bk+mkkuk/∑kk，bck:=pck/∑kkmkk）。此外，对于t>0，我们设置ct:=C*t（b）*, M）（2dπddet∑）-1/2dYk=1mtbk-k（d+1）=nbtbd+1d+1d/2πd/2Γ（待定+1）odYk=1BTBKMTBK-k（d+1）∑1/2kkΓ（tbk）MTBKK,cd+1:=2bd+1+dXk=1mk（d+1）uk∑kk，Dt:=2π-dc（d）-2bd+1t）/4d+1d+1Yk=1bbktkΓ（bkt）××dYk=1nc（1-2bkt）/4k∑-（3+2bkt）/4Km-（1+2bkt）/4Km-1/2k（d+1）o。定理2.5。假设是Y~ V MΓd（b*, M、 u，∑），其中det∑6=0和（2.57）。然后Y（t）定律允许t>0时的勒贝格密度fY（t）：fY（t）（Y）=CtexpdXk=1ukyk∑kk×（2.61）Z∞eβ*党卫军-d+2-tPd+1k=1bkdYk=1Zexp-阿库克斯-巴克苏(1-u） tbk-1utbk+du ds=DtexpdXk=1ukyk∑kk×（2.62）ZRdK | 2bd+1t-d |/2qcd+1Pdk=1zk（∑kkmk（d+1））Pdk=1zk（∑kkmk（d+1））（d）-2bd+1t）/4dYk=1K | 2bkt-1 |/2（bck | yk）- zk |）dzk | yk- zk |（1）-2bkt）/2对于y=（y，…，yd）∈ 研发证明。因为我们有YD=Bo独立B的dT~ 骨密度（u，∑）和T~ MΓd（b）*M），（2.61）是引理2.4的引理，通过将Y（t）=B（t（t））条件化为t（t）的值（参见引理4.2的（B）部分）。鉴于备注2.7，我们可以将YD=Y+Y写为独立过程Yan和Y。这里，d维过程yh是独立的组件，其中kTh组件是一个VG（bk，ukmkk，∑kmkk）-过程（1≤K≤d）。此外，Ys是V Gd（bd+1，u Md+1，∑ Md+1）-过程。（2.62）中的公式通过卷积从（2.10）中导出。22.6 GGC次类在本小节中，我们回顾了文献中出现的次类，并将其与我们的公式联系起来。GGCd、Γd和MΓd子排序器类分别在2.1和2.5小节中介绍，其中一个连接是ΓdS（α，β）=GGCd（0，αpΔβ（·））。根据定义（2.43），在引理2.1中，MΓd-类被确定为漂移a=0的GCD从属子类，具有完全支持的Thorin测度T。

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2022-5-7 15:07:03

正如我们在引理2.3的（b）部分所阐明的，给定的MΓd-从属不需要是Γd-从属。另外两个类别，如塞梅拉罗[54]和纪尧姆[26]提出的类别，如图2所示与它们相关。（比较图2和图1。）在单变量情况下，d=1，注意αΓS=ΓS=ΓS.αΓdS--I GΓdS--IMΓdS--我--IΓdS--IGGCD图2：箭头指向文本中描述的不同Bordinator类的概括方向表示包含在特殊情况中。佩雷斯·阿布雷乌和斯特尔泽的Γd-从属。基于[49]的ΓdS从属类别在（2.36）中定义。在单变量情况下，我们观察到ΓS（αδ，β）=ΓS（α，β（1））。与我们的GGC类的联系是ΓdS（α，β）=GGCdS（0，α）pΔβ（·））。让我们~ ΓdS（α，β），λ∈ Rd，q=qλ∈ DTA（2.41）。我们从命题2.3的（a）部分得到，同时，α{β（·）≤ hq，·i}）=0和（2.34）保持不变，β替换为βλ（·）：=β（·）-hq，·i.在命题2.3的（c）部分中，观察（αpΔβ（·））λ=αpΔβλ。因此，在定理2.3的解释中，在埃舍尔变换下，附属布朗运动的相关VΓdS类是封闭的。塞梅拉罗的α-从属。Semeraro[54]介绍了另一种多元伽马从属函数的方法（另见[40,41,42]）。该模型的参数如下：设a，b∈ (0, ∞), α*= （α，…，αd）∈ (0, ∞)同时，对于所有1≤ K≤ d、让我们，Sd+1独立，如SK~ ΓSbαk- a、 bαk, 1.≤ K≤ d，Sd+1~ ΓS（a，b）。我们把T称为α从属，简而言之就是T~ αΓdS（a，b，α*), 提供Tk=Sk+αkSd+1的Td=（T，…，Td）。（2.63）任何αΓd-从属T都允许标准伽马边际分布：Tk~ ΓS（b/αk）。因此，相关的VαΓdS过程（在[54]中称为αvg）具有vg-边际分布。我们在（2.63）中给出了T的另一种表示形式。

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2022-5-7 15:07:07

引入参数b*= （b，…，bd+1）∈ (0, ∞)d+1和独立的标准GammasSubordinator G，Gd+1，Gk~ ΓS（bk）为1≤K≤d+1，通过设置bk:=bαk- a，1≤ K≤ d，bd+1:=a，和S，Sd+1as以上，Gk:=bb-aαkSk，1≤ K≤ d，Gd+1:=baSd+1。对于（2.63）中的T，我们得出结论：~ MΓdS（b*, M（a，b，α）*)), 在我们的符号M中（a，b，α*) :=诊断（b）-aα，B-aαd），aα*B∈ [0, ∞)d×（d+1）*. （2.64）通过考虑以下二元例子，我们证明了VαΓdSprocess在Esscher变换下不是封闭的。在定理2.4的（c）部分，我们有λ：=（1，0）∈ 对于u=（0,0），∑：=diag（1,1）和t~ αΓS（1,2，（1,1））=MΓS(1, 1, 1),1/2 0 1/20 1/2 1/2,而且，回忆（2.55），M（1,0）=（M（1,0），M（1,0），M（1,0））=2/3 0 2/30 1/2 2/3.在埃舍尔变换下，T的第一个分量读取TD=（2/3）G+（2/3）gf表示独立的G，G~ ΓS（1）by（2.43）。然而，正如Emma 2.2所暗示的，（2/3）G+（2/3）G~ ΓS（2，3/2）和t不能是标准的伽马过程。因此，在定理2.3的解释中，在埃舍尔变换下，附属布朗运动的相关VαΓdS类不是封闭的。纪尧姆的下属。纪尧姆[26]将塞梅拉罗的αΓd-类扩展如下：让α*= （α，…，αd），a*= （a，…，ad），β*= （β，…，βd）∈(0, ∞)d、 c，c>0。让我们，Sd+1独立，如SK~ ΓS（ak，βk），1≤ K≤ d，Sd+1~ ΓS（c，c）。我们把T称为GΓd从属，简而言之就是T~ GΓdS（α）*, A.*, β*, c、 c），假设TD=（T，…，TD）与Tk:=Sk+αkSd+1。有了S，Sd+1以上，引入独立的标准伽马从属函数G~ ΓS（a），Gd~ ΓS（ad），Gd+1~ ΓS（c）通过设置gk:=βkakSk，1≤ K≤ d，Gd+1:=ccSd+1。我们的结论是~ MΓdS（b*, M（α）*, A.*, β*, c、 c），在我们的符号中，b*= （a，…，ad，c）∈ (0, ∞)d+1和m（α*, A.*, β*, c、 c）：=诊断（a/β。

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