发现E-mini S&P未来的灵活性在过去十年中没有增加，但保持不变的ata值非常接近临界值| |Φ| |=1。值得注意的是，Hardimanet al.在他们的研究中还提供了霍克斯核存在高频截止效应（即参数β）的经验证据-1在等式（63）中，时间以指数形式快速减少，这可能与交易频率的增加有关。在最近的一篇论文中，Filimonov和Sornette[32]回顾了在缓慢增量核的情况下与| |Φ| |估计相关的所有缺陷。他们已经证明，异常值、边缘效应或非平稳效应的存在可能会导致显著的偏差。由于一些重要的组织也与模型参数化的方式有关（尤其是高频正则化的选择），Hardiman和Bouchaud[35]提出了一种简单的分支比| |Φ| |的非参数近似，该近似依赖于公式（23）。实际上，通过在z=0中考虑这个方程，可以将相关函数的积分^c（0）与| |Φ| |联系起来。当T足够大时，一个大小窗口中的事件数变成^c（0）\'T-1V[NT]因此得到| |Φ| |\'1-V[NT]E[NT]1/2. （64）这个公式可以非常直观地解释反应的程度：相关事件的发生意味着Nt相对于其平均值的方差增加（对于泊松过程，两个量相等，因此一个直接得到| |Φ| |=0）。Hardiman和Bouchaud[35]利用这种无模型估计器证实了他们之前的说法，即在过去十年中，标准普尔500指数的未来似乎具有稳定的波动水平，接近临界水平。

我们注意到这个公式只适用于一维Hawkes过程，在多元情况下没有简单的延拓。除了对反映参数及其真实行为的最合适估值器的争论之外，菲利莫诺夫和索内特的开创性工作提供了一个定量框架，允许研究市场波动与霍克斯过程的内生性。他们显著地表明，这种方法可用于研究特定事件，如2010年4月和5月的金融危机[31]。他们的结果可能有助于设计警告工具，以预测内源性的极端下降。沿着这条道路的前景和应用是多种多样的。一个重要的问题是，通过计算其他类型的事件，如订单簿事件（见第6节）来扩展此类研究。4价格模型描述最新时间尺度上的价格波动，尤其是改善波动性和协方差估计的目标，是金融计量经济学的核心问题。微观结构噪声的概念被许多作者认为是一种附加噪声，叠加在标准差异上，可以解释特征图的小规模行为。事实上，众所周知，signatureplotC（τ）=TT/τXi=0P（i+1）τ- πτ这对应于中等价格Ptat标度τ的二次变化，当τ→ 0（见图7）。沿着同一条线，所谓的Epps效应解释了当回报尺度τ为零时，成对资产回报之间的协变量消失。Bacry等人在[3]中提出，作为标准“潜在价格”模型的替代方案，直接解释价格变化的离散性。他们是第一个在霍克斯过程框架内描述中间价Pt逐点变化的人。

为了做到这一点，这些作者认为两个计数过程Nt和Nt分别与价格上涨和下跌的到达时间有关，并设置为：Pt=P+Nt- Nt，t>0其中，这对（Nt，Nt）是一个二维霍克斯模型。由于在第一个近似值中，向上移动和向下移动的动力学预期是相同的，因此自然可以将矩阵核Φ视为等式（5）中考虑的矩阵核Φ，其对角线项φ（s）（t）和反对角线项φ（c）（t）相等。众所周知，在微观结构层面，价格基本上是均值回复，因此在[3]中，作者考虑了“纯均值回复情景”，即φ（s）（t）=0的情况，并为φ（c）（t）选择指数形状。在这个简单的框架中，Bacry等人为签名图提供了一个封闭形式的表达式。他们利用欧洲联邦储备银行和欧洲Bobl未来数据的MLE或GMM估计对模型进行校准，结果表明，该模型能够再现特征图的标度行为（见图7）。Bacry等人还考虑将之前的模型自然扩展到四维Hawkes模型，以描述一对资产的联合中间价动态，并重现EPP效应[3]。让我们回顾一下，在参考文献[4]中，作者确定，在一般条件下，多元霍克斯过程的经验协变量收敛于其预期值，可以很容易地用公式（23）给出的霍克斯协方差矩阵c（t）表示。该结果允许在Bacry等人的Hawkes-price模型中，根据Hawkes矩阵核Φ[3,4]，为特征图、超前-滞后行为和Epps效应提供分析表达式。

我们还要提到，在[21]中，沿着前面模型的思路，考虑了对称情况，即“纯趋势跟踪场景”：φ（s）（t）=0和φ（c）（t）指数形状。作者将这一情景与“纯均值回复情景”进行了比较，并使用差异公式（53）对每日波动率进行了估算。他们表明均值回复（趋势跟踪）情景低估（或高估）了波动性，并得出结论，同时包含交叉项和自项的“完整”模型更现实，应该导致更好的波动性估计。让我们注意到，在[2,7,6]中进行的非参数估计证实了不可忽略的对角项和反对角项的存在。人们还期望所涉及的内核不是指数函数。事实上，正如许多著作所示（如参考文献[2]），以及上文第。3.1，经验自激核更接近幂律，而不是指数。It0。0250.030.0350.040 50 100 150 200C（τ）τ[秒]适合于实验图7：使用Bacry等人的二维Hawkes模型在微观结构水平上再现中等价格行为。与Bacry等人的模型相比，这些图代表了欧元的经验特征图。。鉴于Jaisson和Rosenbaum[42]开发了我们在Sec第二部分中已经描述过的独特框架，该图从参考文献[3]中复制。2.3.6. 它是同一节第一部分开发的更经典的布朗运动分歧框架的替代框架。在论文的第二部分中，Jaisson和Rosenbaum使用他们的框架构建了二维Hawkes模型的一个版本，该模型最初由[3]引入，在很大程度上收敛于赫斯顿价格模型[39]，该模型显示了波动性聚集。

这项工作可以被视为迈向“跨尺度”统一模型的第一步，该模型将同时满足宏观结构的价格标准化事实（即具有强均值回归的点过程）和“差异”的标准化事实（波动性聚类和多重分形）。从这个意义上说，这是一项非常有前途的工作。我们还可以提到Bacry等人在[3]中介绍的模型的一个非常有趣的推广。在[69]中，Zheng等人引入了一个最佳出价和要价的耦合动力学模型。它首先使用Bacry等对每个最佳价格进行编码。模型导致了一个四维价格模型。主要的困难在于，我们需要在模型中编码这样一个事实，即要价必须严格高于出价。这是通过一个传播点过程实现的，该过程的动力学与两个最优价格的动力学相结合。它用于测量卖出价和卖出价之间的距离（单位：滴答声）：卖出价（卖出价）组件向上跳（卖出价）组件或卖出价（卖出价）组件向下跳（卖出价）组件时，价差分别增加（卖出价）1。最后，在霍克斯模型中引入了一个非线性项：当价差过程等于1时，买卖价格向下（或向上）跳跃的强度被设置为0。[69]的作者为这个受约束的非线性霍克斯模型开发了一个全新的严格框架，在这个框架中，他们能够建立几个属性（包括一个不同的极限）。它们对真实数据进行最大似然估计（使用指数核），并表明它们能够很好地再现特征图。最后，让我们引用Fauth和Tudor在[30]中的工作，作者建议在标记的多元霍克斯模型框架内描述一项资产（或几项资产）的买卖价格。

受经验观察（2012年1月30日至2012年3月10日期间的高频欧元/美元和欧元/GPB汇率）的影响，随着交易量的增加，交易持续时间减少，作者建议除了考虑指数霍克斯核，一个乘法标记（第2.2.1节中的函数χ），对应于体积的幂律函数：χ（v）=Cv。因此，他们的模型将与买卖增加/减少相对应的事件描述为以交易量为标志的四维霍克斯过程。通过添加适当的约束以避免有限的利差，他们用最大似然法在外汇汇率数据上校准了模型。Fauth和Tudor通过复制考虑因素的特征图和高频对相关函数（Epps效应）的行为，表明他们的模型与经验数据一致。5影响模型5。1市场影响建模市场影响建模是市场微观结构文献中的一个长期问题，显然对理论家和从业者都很感兴趣（最近的综述见[13]）。对于前者，市场影响反映了增强市场效率的机制，允许价格反映基本信息，而对于后者，它代表了执行订单时需要小心最小化的成本。对于交易者来说，市场影响会导致每笔交易产生额外的成本，这些成本需要加到市场直接收取的费用中，迫使他拆分大订单，并以小订单的顺序递增地进行交易。

任何这样的订单序列都被称为元订单，量化它们对价格的影响是市场微观结构监管讨论的核心。由于日内数据可用性的增加，市场价格形成理论以及订单流量和价格变化之间的关系在过去十年中取得了重大进展[14]。许多实证研究表明，价格影响在许多方面具有普遍性，是价格变化的主要来源。这证实了价格波动的“内生”性质，这与经典情景形成了对比，根据经典情景，信息的“外生”流动将价格推向基础价值[14]。如果元订单在t=0时下单并一直执行到t=t时，则可以通过直接或间接导致的价格变化的代理来定义相关的市场影响曲线。人们通常区分两个阶段：在执行元顺序期间（即，在区间[0，T]）增加（凹）部分，然后是衰减（通常凸）弹性部分。永久性冲击的存在，即市场冲击曲线的非零渐近值（在很大一段时间内）是一个仍在争论的核心问题。市场影响曲线的典型形状如图8所示，由Bacry等人[5]在一个大型经纪人元订单数据库上通过平均经验影响曲线得出。让我们在这里集中讨论元订单的影响，而不是单个订单的影响，或者贸易不平衡的影响，这在文献中也引起了相当大的兴趣。美国指出，这种类型的市场影响衡量无法使用非真实的市场数据获得（即，人们无法轻易识别给定对象的元顺序）。

这一点，加上价格信号相对于其统计函数的强度极为缓慢，是这方面的实证结果仅在最近几年才获得的原因。05100 0.5 1 1.5 2E[Pt- P0]t/t实证图8：经纪人元订单的大型数据库上的平均经验市场影响曲线（时间标准化）。使用脉冲模型进行测试。该图摘自[5]。Bacry和Muzy最近提出了一个基于Hawkes过程的价格影响模型[7]。他们建议直接解释中间价和市场秩序发生的联合动态。更准确地说，他们的Hawkes模型的四个维度对应于中间价格的上涨和下跌以及买卖市场订单流量（他们没有考虑订单量和价格上涨幅度）。然后，矩阵核Φ可以分解为大小为2×2的四个子块。第一个描述了市场订单流的自我兴奋，第二个描述了价格的自我兴奋，第三个描述了交易对价格的（市场）影响，而最后一个描述了价格变动对市场订单流强度的反馈影响。通过直接从匿名高频数据校准模型（使用附录C.2中所述的Wiener-Hopf非参数估计技术，对2009年至2012年800个交易日内欧洲斯托克和欧洲联邦期货合约的最具流动性到期日进行评估），[7]的作者能够从市场订单的影响中分离出中间价变化的自激和交叉激励动态。特别是，他们已经表明，市场影响主要是对角的：买入（或卖出）订单主要是触发向上（或向下）价格波动。此外，对角函数的形状在t=0附近非常局部化。

这意味着市场订单在很短的延迟后（即小于0.1秒）不再直接影响价格。他们还表明，反馈子块主要是反对角的，带有轻微的负对角核函数（有关负核函数的简短讨论，请参见第2.2.4节）。这表明价格的上升（或下降）会增加卖出（或买入）市场订单流动的强度，并降低买入（或卖出）市场订单流动的强度。参与市场指令流自激或价格上涨的内核形状证实了在低维模型中进行的估计：交易迹象的长期相关性，主要是价格的长期均值回归。所有这些结果都在[6]的工作中得到证实（使用一个精度更高的数据库）（见第6.1节）。Bacry和Muzy确定，在他们的框架内，可以通过考虑“裸”直接局部显著影响和主要涉及交易幂律自激的“修饰”影响来确定某些元秩序的整体影响。他们为这条曲线提供了解析表达式，尤其是在冲击函数的增加和减少阶段，以及它与市场秩序事件自激核心的幂律行为之间的关系，都得到了显著的证实。使用前面描述的经验发现，他们已经表明，可以恢复图8所示的典型形状。在[5]中，一个基于二维霍克斯价格模型的影响模型，如Sec示例1所述。2.1（其中只保留了平均回归影响，即φ（s）（t）=0）已被引入。

它考虑了外生（购买）元订单策略r（t）的影响，其中r（t）对应于单位时间内（购买）策略的交易率（因此r（t）dt对应于时间t和t+dt之间的股票购买数量）。更准确地说，这样得到的霍克斯碰撞模型（HIM）写的是λt=u+φ（s）？dNt+φ（I）？f（rt）和λt=u+φ（s）？dNt+φ（x）？f（r），（65），其中dNt（分别为dNt）编码价格的向上（分别为向下）跳跃，f（r（t））dt（f（0）=0）编码批量（t）dt的采购订单的微小影响。函数f对应于瞬时冲击函数，φ（I）和φ（x）分别对应于冲击核和交叉冲击核（后者描述了购买订单对向下跳跃的影响，当然，我们预计| |φ（x）|<<| |φ（I）| |）。根据[7]的经验发现，脉冲HIM模型对应于脉冲（超定域）碰撞核φ（I）（t）=δ（t）的特定选择，即狄拉克分布。此外，对于φ（x）的选择，脉冲HIM模型认为市场对新到达的订单的反应就像它触发了一个向上的跳跃：φ（x）（t）=Cφ（s）（t）| |φ（s）| |。常数C>0是一个非常直观的参数，可以量化“反向”反应（即冲击衰减）和“羊群”反应（即冲击放大）的比率。获得了市场影响曲线的分析公式，并在[5]中区分了三种对C感兴趣的情况：C=0对应于无反转反应（强永久性影响），C=1对应于“强”（就标准而言）的反转反应，与放牧反应（无永久性影响）一样，最后是C∈]0，1[对应于一个反向反应，它不是零，但严格小于羊群反应。

图8显示了使用该模型的经验市场影响曲线的fit，该模型具有幂律微观结构核（φ（s）（t）~ T-γ、 当t→ +∞), 在这种情况下，市场影响曲线被证明以幂律t衰减为永久市场影响值-(γ+1).让我们指出，在一个完全不同的框架中，Jaisson[41]在Jaisson和Rosenbaum[42]中定义的渐近极限（见第2.3.6节）中，联系了市场秩序波动中自激核心的幂律指数和市场影响衰减的幂律指数。他得出了（s）和（c），（I）代表冲击，（x）代表交叉冲击的结果。在市场订单流的二维霍克斯模型（只有自激核）中，来自（i）价格鞅假设和（ii）线性市场影响假设。5.2最优执行价格影响模型的自然应用是确定最优清算策略。休利特[40]是第一个使用霍克斯模型解决这个问题的人。他建议使用二元指数霍克斯过程对外汇市场上买卖市场订单的发生进行建模。他发现这些事件大多是自我激发的，买卖事件之间的交叉激发强度可以忽略不计。利用等式（47），休利特确定了预期的未来贸易不平衡，在线性价格影响模型中，可以确定预期的未来价格回报和相关风险。然后，他证明，这种方法允许oneto设计一种清算策略，使均值-方差效用函数最大化。阿方西和布兰克[1]最近也考虑了霍克斯模型在最优执行中的应用，他们利用流动性接受者的线性影响对价格过程进行建模。

更准确地说，价格分解为“基本”价格和“暂时”价格之和，基本”价格的变化与贸易不平衡的一小部分成比例，而“暂时”价格由贸易不平衡的剩余部分移动，但带有一个阻尼项，代表由做市商行为引起的市场弹性。Alfonsi和Blanc提供了最优清算策略（即预期成本最小的策略）的明确表达式，当影响价格的买入/卖出市场订单流为泊松处理器或具有对称指数核矩阵的二维Hawkes过程时。它们显著地表明，泊松模型总是存在价格操纵策略（即预期成本为负的清算策略），而霍克斯模型可以排除价格操纵策略，前提是其参数满足某些特定条件。根据这些条件，自激应精确地补偿价格弹性，从而得到一个鞅价格。另一个条件是确定霍克斯模型中内生订单的比例，以及价格行为的瞬时部分所涉及的市场订单的比例。6订单簿模型忠实地描述订单簿中各种类型订单的发生情况，以了解价格形成、波动性和流动性变化的起源机制，这可能是金融计量经济学中Hawkes过程应用所面临的主要挑战。虽然这一目标远未实现，但一些作者已经解决了这个问题，并在这些问题上取得了重大进展。6.1一级帐簿模型一级帐簿描述仅涉及在订单簿的最佳出价和最佳出价级别发生的事件。

即使这种方法丢弃了大部分账簿信息，但由于最佳出价或最佳询价值与资产ID价格直接相关，且市场订单主要影响一级账簿，因此可以预期这种级别的描述足够丰富，足以捕捉大多数市场特征。Biais等人[11]的研究确实证实，订单簿的大部分活动都发生在接近最佳报价的地方，而Cont等人[19]指出，价格动态的实质部分可以通过演化的最佳出价和最佳出价来解释。Hawkes模型在Iwas级别的订单书建模中的第一个应用是由Large[46]完成的，他正式定义了书籍弹性的概念，即订单书在被大量交易耗尽后的补充能力。慷慨被建议通过大型交易改变未来订单发生强度的方式来量化弹性。为此，他引入了响应内核Gij（t）：Gij（t）dt=EhdNitF、 dNj=1i- EdNitF. （66）Gij（t）简单地描述了在时间t=0时，j型事件的发生直接或间接导致i型事件的未来条件强度的增加。在核矩阵Φ的霍克斯过程中，大证明Gij满足等式（17）定义ψ（t）中的积分方程。换句话说，矩阵ψ（t）可以解释为在时间0发生某个事件后的滞后后预期事件数的增加。大型然后考虑来自伦敦经济学院的订单簿数据，建模为一个10维霍克斯过程，其中bookevents根据是否移动中间价进行分类：移动中间价的市场和限制订单（如果区分买卖，则为4个组件）、保持账簿不变的市场和限制订单（4个组件）和取消订单（2个组件）。

然后研究了“攻击性”指令对即将到来的事件发生率的影响。经过处理的数据包括2002年1月22个交易日内以1s分辨率标记的伦敦证券交易所股票数据（巴克莱股票）。为了估计ψ，Large在指数核类中使用了极大似然估计。他的研究结果使他能够对书中发生的主要事件提供一种“因果”解释（大的倾向于使用“降水”一词，而不是“原因”）。他主要发现，激进的限价指令主要是由激进的市场指令引起的，从而衡量市场在各个方面的弹性、规模、交易方向和特征时间。与之前的研究一致，Large估计，所研究的股票价值在不到40%的案例中具有弹性，如果是这种情况，账面补货会在20秒左右的时间范围内发生。他还表明，市场秩序动态主要是自激的，并在很长一段时间内相互关联。由于“流动性竞争”，激进的限价指令也会触发激进的市场指令。Bacryet等人最近对一级订单数据进行了类似的分析[6]。这些作者对所有图书事件（市场、限价和取消订单）进行了略微不同的分类，这些事件保持了中间价不变（6个部分考虑了买卖双方），而对中间价上升或下降的事件（2个部分）进行了区分。这些事件发生的动力学随后被建模为8维霍克斯过程。与Large不同，Bacry等人使用第节中描述的方法对核矩阵进行了非参数估计。C.2。他们认为图书数据的时间戳ata时间分辨率为10-6秒，分析的时间间隔为几分钟。

因此，人们在近80年的时间尺度上考虑了事件动力学。作者报告的主要结果是，书中的事件动力学主要是自激的，除了中间价格变化外，交叉激励效应在其中占主导地位。图9说明了这一点，其中使用颜色映射报告了估计的核范数的值：可以看到，结果矩阵主要是对角的，价格子块除外，即反对角。关于价格变化事件的观察结果主要是C（b）C（a）L（b）L（a）T（a）P（b）P（a）P（b）T（a）T（a）T（b）T（b）L（a）C（b）BUNDC（b）C（a）L（b）L（a）T（b）T（a）T（a）T（a）P（b）T（a）T（b）T（b）L（a）L（b）DAX）-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81.0图9：一级图书事件8维模型中霍克斯核心规范矩阵的经验确定。P代表中间价变动事件，T代表交易事件，L代表限价订单事件，C代表取消事件。上标（a）（b）表示活动的方向、要求或出价。该图来源于[6]。由价格变化事件触发的结果与之前报告的大量结果一致。此外，Bacry等人的观察结果证实了之前报道的经验事实，即这种触发效应主要是反对角线的，即当前价格变化影响未来价格变化的相反方向。之前使用低维模型得出的关于内核形状的发现也得到了证实：市场是高度内生的，无论人们考虑的事件类型是什么，所有主导内核（保持价格不变的订单的对角线内核和中间价格移动的反对角线内核）都在缓慢下降，如等式（63）中的幂律行为所描述。

[6]中霍克斯模型的丰富性使作者能够解释比以往工作更丰富的动力学行为，并描述和量化所有类型事件之间的高频影响。他们显著地描述了价格变化对账面事件流量的影响，而事实证明，账面事件流量对资产价格变动非常敏感（根据中间价变动的概率估计）。他们还提供了一些证据，证明一些霍克斯谷粒的负值会产生一些抑制作用。例如，有人观察到，对于一个大的tick资产（如欧元债券期货），价格上涨不仅会触发即将进行的买入交易，还会抑制卖出方的跨盘交易。Muni Toke和Pomponio[56]将之前的大型模型限制为以最佳出价和最佳出价的市场订单流，研究了通过订单进行贸易的动力学。如果部分订单在次优限额下执行，则Amarket订单是通过交易完成的。因此，为了达到这个目的，他们使用了方程式（53）中描述的二维霍克斯过程（含指数烯烃）。虽然对于某些资产（如欧元期货）来说非常罕见，但在其他合同中，通过交易可能相当频繁。例如，在BNP股票[56]上，平均每天有400笔交易。已在Euronextstocks上使用指数核上的MLE进行参数估计，将日内时间限制在上午9点30分至11点30分，以避免非常强烈的日内季节性影响。fit优度测试证实，对于完整的市场订单流，二维Hawkes核的主要组成部分是自激励核。6.2完整订单书模型在[55]中，穆尼·托克将[64]中引入的零情报模型推广到霍克斯框架。

在后一个模型中，作者为订单簿建立了一个完整的模型，其中所有涉及的流动（即任何级别的限制和市场订单）都是独立的纯泊松过程。这显然是一个非常粗略的近似值，市场订单是长期依赖的（见第3.1节），因为大型元订单的拆分。此外，由于做市商与市场接受者互动的事实，人们预计限价指令不仅与市场指令流高度相关，而且也与市场指令流高度相关。在[55]中，引入了一个双代理模型。它由以下代理组成：o流动性提供者：–通过使用纯均匀泊松过程或带有指数alkernel的一维Hawkes过程对限额订单的到达进行建模（取消被视为零智能模型，即每个订单都有一个生命周期，这是一个i.i.d.指数随机变量，其参数是预先确定的）–新限额订单的价格水平是随机选择的，首先以1/2的概率选择（买入或卖出）一方，然后从学生分布o流动性接受者中取样，使用纯齐次泊松过程或具有指数核的一维霍克斯过程建模。限价订单和市场订单的所有数量都是i.i.d.和指数分布变量。霍克斯过程使用指数核，通过最大似然估计进行参数估计。毫不奇怪，与纯齐次泊松过程（HP）相比，用一维霍克斯过程（称为MM，因为所涉及的唯一霍克斯内核是一个处理市场订单对自身影响的内核）对市场订单的交易时间进行建模要好得多。同样，用一维霍克斯过程（LL）模拟限时指令比用HP模拟限时指令要好得多。

同样的道理，图10的左面板显示，给定的市场订单和该市场订单之后的限价订单的首次到达时间之间的间隔时间，由二维Hawkes（称为MM+LL+LM）模型更好地再现，该模型具有市场订单（MM）和限价订单（LL）的自激核，以及与过去市场订单对未来的影响相对应的单个交叉激励核限价订单（LM）。图中显示为00。10.20.30.40.50.60.70 0.2 0.4 0.6 0.8概率密度p（t）时间t00。050.10.150.20.250.30.350 0.05 0.1 0.15 0.2概率密度p（s）Spread SempiricalHPMM+LLMM+LL+LMEmpiricalHPMM+LLMM+LL+LM图10：（左面板）给定市场指令和该市场指令后第一次到达的限价指令之间持续时间分布的经验密度函数。对于经验BNPP时间序列和三种不同的模型（使用最大似然法）显示了密度函数，这三种模型适用于这些数据，即：市场订单和限制订单的纯齐次泊松模型（HP）、限制订单的纯泊松过程模型和市场订单的一维霍克斯过程（MM），一个模型包含两个独立的1维霍克斯过程，用于限制和市场指令（LL+MM），最后一个模型包含一个交叉激励项，描述过去市场指令对未来限制指令（LM）的影响。（右图）买卖价差分布的经验密度函数。

密度函数显示在螺旋BNPP时间序列上，对于三种不同的模型（使用最大似然法）对这些数据进行拟合，即：市场和限制订单的纯齐次泊松模型（HP）、限制订单的纯泊松过程模型和市场订单的一维霍克斯过程模型（MM），一个模型，包含两个独立的限价和市价指令的一维霍克斯过程（LL+MM），最后一个模型包含一个交叉激励项，该项描述了过去市价指令对未来限价指令（LM）的影响。这些图摘自参考文献[55]。具有两个独立的霍克斯模型（MM+LL）且没有交叉激励核（LM）的模型性能不佳。在[55]中，Muni Toke声称另一个交叉激励内核（描述过去限价指令对未来市场指令的影响的内核）可以忽略不计。因此，订单动态似乎主要由流动性接受者代理而非流动性提供者驱动，即，在第一种近似情况下，做市商策略基本上包括对流动性接受者做出反应，而流动性接受者独立于做市商做出决策。最后，图10的右面板显示了经验数据、纯齐次泊松（HP）模型、MM+LLHawkes模型和MM+LL+LM模型的投标报价分布。同样，后一种模型是最符合经验数据的模型。让我们提到杰迪迪和阿伯格尔[43]的一项理论工作，其中研究了基于霍克斯的整个订单簿动力学的马尔可夫框架。7其他型号7。1系统性风险模型肖克斯模型也被用于资产价格主要不同的较粗时间尺度。例如，它们可以用于混合模型，以考虑扩散过程中发生的跳跃。

这就是Ait-Sahalia等人[63]开发的模型的精神，该模型提出通过将多变量自激过程叠加到标准的多变量连续扩散模型，来描述危机在全球所有市场的蔓延。根据该模型，作者称之为“相互激励跳跃扩散”，对数价格向量满足：dXt=ut+σtdWt+ZtdNt（67），其中wt是D维布朗运动，σ是一个随机波动和Ntisa D变量霍克斯过程，它解释了价格跳跃的自激性质（ZT是一个解释跳跃方向和强度的随机变量）。文献[63]提出了一种GMM估计方法，该方法基于指数Hawkes核的一元和二元情况下与收益变化相关的一些矩的闭合形式表达式。这一估计已应用于五个分别与美国、欧洲、亚洲、太平洋和拉丁美洲地区相关的国际股票指数数据。作者发现，jumpsterms具有显著的自激成分，就“传染”效应而言，美国股票似乎是对其他市场影响最大的股票。在参考文献[29]中，Errais等人提出将证券组合中的信用违约事件建模为相关点过程。更具体地说，他们认为这类事件的动力学是由指数烯烃的标记霍克斯过程描述的。由道具陈述的。在这种情况下，这对过程（λ，N）是马尔科夫过程。多亏了Dynkin公式，作者为标记和计数过程的条件分布提供了明确的表达式。

这一结果被用于为指数和分期付款掉期等信用衍生品的投资组合定价。然后，他们的模型根据2008年9月的指数和掉期数据进行了校准，该数据见证了几次信用违约，尤其是雷曼兄弟的违约。作者已经证明，通过捕捉违约事件的相关性，他们的模型提供了良好的市场数据，这与在此期间失败的标准方法不同。Errais等人强调，具有指数核的marked Hawkes模型属于Duffee等人提出的更一般的单点过程[26]。一个单点过程涉及一个随机强度向量，它是一个带有漂移、扩散和跳跃项的马尔科夫过程。Errais等人[29]已经表明，他们的方法在提供更丰富的跳跃交互结构的有效单点过程中仍然易于处理。让我们也引用Dassios和Zhao[23]最近的类似工作，他们在所谓的“动态传染过程”框架内解决了违约风险建模和传染传播问题，这是一个指数标记的霍克斯模型，但泊松外生事件（“移民”）被散粒噪声取代（构建为具有不同标记概率密度的同一指数霍克斯模型的第一代）。作者建立了这一新过程（即阿马尔科夫过程）的理论分布性质，并给出了其概率生成函数的解析表达式。正如Errais等人[29]所述，他们证明了他们的方法特别适合于用动态关联对到达事件的依赖结构建模，并提出了信用风险的应用，7.2会计新闻[61]，Rambaldi等人。

使用霍克斯过程建模新闻对EBS（外汇市场）报价时间序列的影响，包括报价时间戳列表。让我们注意到，由于EBS数据受到限制（聚集在0.1s的窗口下），因此使用了随机化程序进行均匀化。报价到达时间的模型是一个一维霍克斯模型，涉及双指数或幂律（表示为15个指数之和，以便有一个方便的最大似然估计程序）。新闻的影响（在引用时间序列上）可以被视为局部非平稳性的特定实例。因此，Rambaldi等人引入了一个外生核φ（news）（一个指数函数），它解释了新闻的特殊性的影响，从而产生了一个模型：λt=u+φ？dNt+φ（n）（t）- t） ，（68）其中是特定新闻的发生时间。让我们指出φ（n）（其中（n）代表新闻）允许有一个非因果成分（即φ（n）（t）对于t<0是非零的），以解释预期效果。在考虑的新闻周围的3小时内进行估计（使用常规最大似然估计程序）。虽然结果非常嘈杂，但作者表明，该模型很好地捕捉了新闻影响的幅度和时间尺度。不同新闻的形式| |φ（n）| |的分布范围很广（超过1），这清楚地反映了市场上新闻的不同影响。此外，兰巴迪等人使用一些代理来量化特定新闻的意外程度，清楚地表明，规范| |φ（n）| |不仅与新闻影响有关，还与其意外程度有关。从形式上讲，该模型可以被视为Eq的二维价格影响模型的一维版本。

（65）其中f（rt）被以时间t为中心的狄拉克分布所取代，δ（t- t） .7.3高维模型建模共跳。在[12]中，Bormetti等人对一篮子股票中极端回报的复杂动态进行了建模。他们首先阐述了从1分钟收益时间序列中识别极端收益（本文中称为“跳跃”，与异常值相对应）的详细程序。在一篮子N=20支意大利股票中，他们发现一支股票在整个周期（88天）内最多跳280次，所有股票每天最多跳505次。他们清楚地确定了一些跳跃在同一时间到达，即在同一时间窗内。这就避免了将整个过程建模为anN维Hawkes过程：在这样一个框架中，如果不在内核中引入一个脉冲组件，就无法发生协同跳跃。Bormetti等人最后提出了以下模型o使用一维霍克斯过程来模拟共跳到达时间。霍克斯过程的核心被选为指数函数之和每一次t发生一次共同跳变，每只股票i，彼此独立，都有一个概率皮托跳变。这些概率是根据实际数据进行经验估计的对于每个股票i，使用一维霍克斯过程来模拟该股票的特质跳跃，即，与o跳跃不对应的跳跃。同样，霍克斯过程的核被选为指数函数之和。在他们的论文中，Bormetti等人开发了一个精确的程序来对该模型进行估计，结果表明该模型非常稳健。此外，他们还表明，它能够同时捕获跳跃的时间聚类和跨资产跳跃的高度同步。使用图模型进行聚类。

在[49]中，林德曼和亚当斯开发了一个概率模型，将霍克斯过程与随机图模型结合起来，并应用于S&P100数据。霍克斯内核的每个组成部分都对给定资产在一周内最后交易价格的变化（超过0.1%）进行编码。由此得到一个包含182.037个事件的100维点过程。核被选择为φij（t）=AijWijhθij（t），（69），其中A是一个随机二元（0或1）值矩阵，W是一个具有正项的随机矩阵，hθ（t）是一个参数核（参数θ），使得rhθ=1（选择了具有两个参数的对数正态密度）。日内季节性使用u=m+νey（t）形式的外生强度进行建模，其中ν是恒常矩阵，y（t）是单变量高斯过程。随机图模型通过矩阵A和W的先验分布来反映不同网络结构的概率。它们基本上取决于一个潜在距离，这个潜在距离构成了一个总体稀疏度（20%）和一个特征距离标度。因此，每个股票k对应于一个潜在坐标xkin-rth，该坐标通过完全贝叶斯并行推理算法进行估计。显示一个图形，其中每个股票在潜在的二维空间中表示为一个点，颜色编码对应于其相应的扇区（在六个扇区中）。林德曼德·亚当斯（Lindermand Adams）指出，一些行业，尤其是能源和金融行业，倾向于聚集在一起，这表明同一行业的股票之间相互作用的可能性增加。其他行业，如消费品，分布广泛，这表明这些股票受该行业其他部门的影响较小。

人们可以认为，这种方法将在多元Hawkes过程的框架下，为非常有前途的应用铺平道路，在这些应用中，人们将处理与大量相互作用的组件/代理相关的大量数据，以便对金融市场的复杂性有新的认识。最后，让我们注意到，Mastromatteo和Marsili[52]试图通过将高维Hawkes过程映射到一个图形（Ising）模型来克服估计高维Hawkes过程的问题，从而在集合中描述交易时间的聚类。2003年，他们利用机器学习技术重建了纽约证券交易所D=100个交易量最大股票的互动网络，并报告了权重矩阵W的整体比例∝ D-1.他们的研究证明存在矩阵a的大型集体市场模式，将市场活动的总体水平推向临界点。8.总结Remarks Hawkes过程是一种用途极其广泛的过程，可被视为建模时间相关离散事件发生的构造块，与自回归模型在描述连续值信号时所起的作用相同。在一个相对简单的数学框架内，它们允许人们精确描述不同类别事件之间的相互作用，并解释它们的因果关系。从统计角度来看，它们可以通过相对简单的模拟算法生成，而有几种有效的估计方法可以对它们进行校准。霍克斯过程已被证明在许多领域非常有用，例如地震建模、神经元或社会网络活动。

由于它们能够描述单个事件的分辨率数据，并解释内源性触发、传染和交叉激发现象，因此它们自然在高频金融领域得到了应用。在本文中，我们对许多涉及各种问题的此类应用进行了概述。从金融市场的内生性水平问题到订单簿事件的建模，包括影响、风险传染建模、最优执行策略的设计，我们看到霍克斯模型已被用于解决大量问题。这篇综述绝非详尽无遗，而是对一个有望迅速演变和发展的主题的“快照”。我们提到的许多研究都可以被视为开创性的工作，预示着更重要的结果和对微观结构层面市场动态的深入理解。在即将进行的研究中，我们将探索出一些可行的途径，其中一些是可以轻易预见的。由于中大型市场中的几个典型事实可能源于市场微观结构，微观到宏观的转变是一个重要问题。在这方面，了解霍克斯过程的长期行为和可能出现的不稳定性非常重要。人们可能不仅希望在更大的时间内恢复已知的模型，还希望解释微观结构碰撞等真正的新现象。

除了人们在通常情况下预期的布朗极限之外，由于在临界点附近模型的丰富性，以及由于经验数据似乎表明市场在接近这一不稳定阈值的情况下运行，阐明接近不稳定极限的霍克斯过程的新兴性质似乎是一个有希望的研究领域。高维体系中霍克斯模型的研究和估计也是一个具有挑战性的前景，因为金融市场的复杂性主要是由大量组成部分（市场参与者、代理人、资产、信息流等）之间的相互作用造成的。在大数据社区和跨社交网络病毒扩散研究的推动下，这方面取得了许多进展。人们可以期待这些方法在未来的高频融资中有许多有趣的应用。附录A各讨论文件中的财务应用表下表列出了本文中讨论的涉及财务数据数值实验的学术著作。除了明确的列名外：D代表霍克斯模型的维数，T代表用于校准模型的历史数据的长度，dt代表数据的时间分辨率，Φ（T）代表霍克斯核的形状。N-Exp表示次幂和，PL表示“幂律”，NP表示“非参数”。Fitted Hawkeds NTT合同dtΦ（T）注释第2节[15]Bowsher 1-2交易股票2个月1s 2-Exp+季节性[18]查韦斯等人1极端P股票1年1ms 2-Exp标记[42]Jaisson等人8一级期货1年1us NP第3节[2]Bacry等人1交易期货3.5个月1ms NP2价格期货3.5个月1ms NP[8]Bacry等人1交易期货4.5年1ms NP[21]Da Fonseca等人。

1贸易股票未来2年1 MS Exp 2中等价格股票未来2年1 MS Exp[27]Embrechts等人2极端P指数17年1日经验标记1极端P指数14年1h Exp 3d标记[31]菲利莫诺夫等人1期中价期货13年1s Exp[32]菲利莫诺夫等人1期中价期货15年1s Exp 1期中价期货15年1s PL[34]哈迪曼等人1期中价期货14年1ms N-Exp 1期中价期货1年1ms NP[35]哈迪曼等人1期中价期货16年1s Exp 1期中价期货16年1ms NP[45]拉鲁瓦切等人1贸易外汇3个月0.1s 2-Exp第4[3]Bacry等人2个价格期货2个小时经验[30]Fauth等人4个交易汇率2个月经验标记[69]Zheng等人2个交易外汇10天0.1s经验限制第5[7]Bacry等人4个价格+交易期货3.75年NP[5]Bacry等人2个价格股1年PL[40]Hewlett 2个交易外汇2个月经验6[46]大型一级股票22天经验[56]Muni Toke等人2通过股票交易5个月1ms Exp[55]Muni Toke 2订单股票15天1ms ExpSection 7[12]Bormetti等人1×20价格股票88天1M Exp合作跳跃[29]Errais等人1违约信用21天1day Exp[49]Linderman等人100极端P股票1周1s Exp固定十年随机图[52]Mastromatteo等人100交易股票1年1s Exp[61]Rambaldi等人1报价外汇1年0.1s N-Exp新闻[63]Sahalia等人1-2价格指数[22,33]年1day Exp传染NB模拟模拟霍克斯过程有两个主要框架：基于强度的框架和基于集群的框架，取决于它是直接使用强度回归方程（2）还是霍克斯过程的聚类表示（见第2.3.7节）。

最流行的方法当然是基于强度的细化方法，最初由Lewis[48]在非齐次泊松过程的一般背景下引入，后来由Ogata[58]修改。变薄了。细化算法是一个增量过程，其中连续的跳跃时间是按顺序生成的。它可以很容易地适应多维语境，并且可以推广到有标记的情况。在其最简单的版本中（对于减少核数有效），给定一个开始时间t，它基本上包括对候选跳变时间t+进行采样t使用指数分布的随机变量参数为λ（tot）的t=PDk=1λkt。然后在区间[0，λ（tot）t]内均匀地画出一个随机变量U。如果U<λ（tot）t-λ（tot）t+t、 跳转被拒绝。如果没有被拒绝，跳转将被分配给组件i，其中i是满足U的最大索引≥ λt-圆周率-1k=1λkt+t、 让我们指出，在指数核的情况下，算法的复杂性可以大大降低。时间变化模拟非均匀泊松过程的另一种常见的基于强度的方法使用了以下众所周知的事实：如果一个定义了累积强度函数Ft=Rtλudu，那么NF-1是强度为1的均匀泊松过程。因此，为了进行模拟，我们需要知道如何模拟F-1tm+1- F-1tmwhere tm+1- TMI呈指数分布。例如，该算法已应用于[24]中的指数核。事实上，在这种更简单的情况下，可以解析地反转函数F。聚类算法聚类方法基本上包括模拟第节中描述的分支结构。2.3.7. 因此，该算法在代索引n中是顺序的，而不是在实时t中。

例如，我们可以看到[54]，它描述了如何使用分支结构模拟标记的霍克斯过程。在最近的工作[24]中可以找到一个简短的调查和一个更全面的参考列表。统计推断。1参数估计最大似然估计。霍克斯过程参数估计最常用的技术是极大似然估计（MLE），Ogata在[60]中首次引入该技术。非均匀多维泊松分布的对数似然，如式（2）所示，readslog L（u，Φ）=-DXi=1ZTdtλit+MXm=1logλkmtm，（70），其中耦合{（tm，km）}Mm分别为事件时间和分量。给定一个依赖于一组参数θ的Hawkes核θ，可以通过求解问题（u）从等式（70）估计它*, θ*) = argmax（u，θ）对数L（u，Φθ）。（71）在一般霍克斯过程的情况下，可能性（或其梯度）的计算为O（MD）级，其中M是跳跃的总数。当核函数是指数函数时，它减少到O（md）的事实是指数核（或指数核之和）仅在参数框架中使用的主要原因之一[27,55,56,12,61,69]。基于EM的估计。在[67]中，作者使用了一种基于期望最大化（EM）的技术，这是一种迭代过程，包括期望（E）和最大化（M）两个步骤的交替，以利用第节中描述的霍克斯过程的聚类表示。2.3.7. 给定Hawkes核Φθ的参数化和一组参数（u，θ），每个迭代包括：oE步（u，θ）→ {pmm}：对于所有有序跳跃对（tm，tm）（tm<tm），在以秒为单位描述的集群框架内，估计概率pmmthat。