金融学中的霍克斯过程

2022-5-7 15:16:09

霍克斯的金融流程包括Bacry、Iacopo Mastromatteo和Jean-Fran,cois Muzy1、数学中心、CNR、理工学院、UMR 7641、91128 Palaiseau、Francoire Sciences Pour l’Environment、CNR、科塞大学、UMR 6134、20250 Cort’e、，Franciabstractin在本文中，我们对最近致力于霍克斯过程在金融中的应用的学术文献进行了概述。霍克斯过程是一类特殊的多元点过程，在过去十年里，它在经验高频金融中非常流行。在提醒人们霍克斯过程的主要定义和特性后，我们回顾了它们的主要经验应用，以解决高频金融中的许多不同问题。由于它们的灵活性和多功能性，我们证明，它们成功地参与了各种各样的问题，如在交易数据层面估计波动性、估计市场稳定性、考虑系统性风险传染、设计最佳执行策略或捕捉完整订单的动态。1简介在过去几十年中，高频金融数据的可用性使经验金融能够设计和校准市场微观结构的模型，旨在最详细地说明日内市场动态。直到最近，关于高频价格变化的连续时间模型还很少。大多数方法都依赖于离散时间模型，这些模型要么在规则时间网格的间隔上聚合动态，要么考虑离散时间事件（如交易）的连续性（这些模型通常被称为“tradingtime”或“business time”模型）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 15:16:12

the Ineties中的Hasbrouck[36]、Engle和Russel[28]率先倡导在连续时间“点过程”框架内对交易层面的财务数据进行建模。从那时起，点过程在金融中的应用在计量经济学文献中一直是一个非常活跃的话题。我们建议读者参考鲍恩斯和豪奇[9]关于这个主题的最新评论。在市场微观结构背景下提出的第一类点过程是Engle和Russel[28]引入的ACD模型。到目前为止，该模型及其方差仍然是高频计量经济学中最常用的模型[9]。在这类模型中，过程通过其“危险函数”来定义，该函数规定了事件间（或持续时间）间隔的条件法则。然而，点过程（或计数过程）也可以用其“强度函数”来表示，该函数表示近期事件发生的条件概率密度（参见[22]了解点过程数学性质的综合教科书）。在一项开创性的工作中，Bowsher[15]认识到了使用可由传统强度向量指定的多元计数过程的灵活性和优势。更具体地说，他引入了一个双变量霍克斯过程，以模拟纽约证券交易所交易和中间价格变化的联合动态。Hawkes过程是一类多元点过程，由a.G Hawkes[37,38]在70年代引入，主要用于模拟发生的地震事件。它们涉及一个强度向量，它是过去事件的简单线性函数（参见[10,9]了解动态强度点过程的其他示例）。霍克斯模型在高频金融领域越来越流行。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 15:16:16

正如Bowsher[15]所预期的那样，这种流行首先可以通过其巨大的简单性和灵活性来解释。这些模型可以很容易地考虑各种类型事件的相互作用、某些密集因素的影响（通过分数）或非平稳性的存在。它们易于统计推断，在某些特定情况下可以得到封闭式公式。此外，由于它们的参数有一个直接的解释（尤其是通过集群表示），它们导致对现代电子市场复杂动态的许多方面有一个非常简单的解释。在这篇论文中，我们提出了一个在金融背景下使用霍克斯过程的近期学术研究调查。正如我们已经解释过的，有很多这样的研究。为了展示它们之间的关系，我们必须按“主题”对它们进行分组。当然，这些主题的界限并不明确（例如，一些研究属于几个主题），因此我们所做的选择不可避免地是任意的。然而，我们认为，这有助于捕捉金融领域霍克斯模型的“画面”。这项调查的组织如下。秒。2致力于霍克斯过程理论。它介绍了本文将使用的主要定义和一般特性。以下各节重点介绍霍克斯流程在融资中的应用。秒。3从文献中可以找到的主要单变量模型开始。这包括市场活动或风险模型（例如，一维市场订单流量模型、极端回报模型）。价格模型（中间价或最高限价）见第。4.鉴于第。第5章专门讨论影响模型。在本节中，我们不仅讨论市场秩序波动对价格变动的影响，还讨论与最优执行相关的问题。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 15:16:20

涉及更多订单流的模型见第。6.讨论了所谓的一级模型（即“仅”处理最佳极限的动态）以及全订单模型。最后，在前面的章节中没有明确说明的各种研究将在第二节中介绍。7（例如系统性风险模型、高维模型或新闻模型）。更多资料见附录。在附录A中，我们论文中讨论的所有学术工作，以及涉及数值实验的财务数据，都列在一个表格中。此表总结了每项工作中使用的模型和数据的一些基本特征。最后，两个附录总结了关于霍克斯过程模拟（附录B）和估计（附录C）的主要结果。2霍克斯过程正如引言中提到的，霍克斯过程是霍克斯在70年代早期[37,38]引入的一类多元点过程，其特征是随机强度向量。如果NTI是在时间t的计数过程的向量，则其强度向量λ根据启发式定义为（参见[22]中的严格定义）：λt=lim→0-1E新界+- 新界英尺（1）如果过滤F代表时间t之前（但不包括）的可用信息，则对于Hawkes过程，λ只是此后规定的过程过去跳跃的线性函数。2.1定义我们考虑一个D变量计数过程Nt={Nit}Di=1，其相关强度向量表示为λt={λit}Di=1。定义1（霍克斯过程）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 15:16:24

霍克斯过程是一个计数过程，因此强度向量可以写成λit=ui+DXi=1ZdNjtφij（t- t），（2）其中，数量u={ui}Di=1是外生强度的向量，Φ（t）={φij（t）}Di，j=1是矩阵值核，因此：o它是分量正的，即φij（t）≥ 每个1对应0≤ i、 j≤ D、 o这是成分方面的因果关系（如果t<0，φij（t）=0表示每个1≤ i、 j≤ D）每个分量φij（t）都属于L-可积函数站1（卷积）的空间。我们可以采用更紧凑的表示法来重写等式。（2） λt=u+Φ* dNt，（3）通过定义* 运算，对应于用卷积代替普通乘积的矩阵乘法。符号2（事件时间）。通过引入耦合{（tm，km）}Mm=1，其中tmm表示事件数m和km的时间∈ [1，…，D]表示其分量，式（2）也可以改写为λit=ui+MXm=1φi，km（t- tm），（4）图1以多变量霍克斯过程的具体实现为例。尽管等式（2）中定义的过程通过满足上述三个条件的任意核Φ（t）的选择得到了很好的定义，但以下描述的平稳情况在霍克斯过程的大多数金融应用中具有特别的相关性（一些显著的例外情况见第2.2节）。计数过程是一个随机过程{Nt}t≥0，其值为正、整数和递增。按惯例N=0。严格来说，这个定义只要求φij（t）∈ LLOCB但这篇论文对此不感兴趣。i=1i=2i=3。i=D0 5 10 15 20时间T12345NIT图1：多元霍克斯过程的实现。点代表个人事件，而不同的行代表不同的i坐标。命题1（平稳性）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

点击查看更多内容…

2022-5-7 15:16:27

如果核满足假设，则过程n为渐近平稳增量，λ为渐近平稳，也被认为是稳定条件：（H）矩阵| |Φ| | |={| |φij | | Di，j=1的谱半径小于1。符号3（光谱半径）。在这里和接下来的讨论中，给定一个标量函数f（t），我们用符号| | f | |表示其L-范数，定义为| f（t）|。对于矩阵F={fij}，符号| | F | |将表示其谱半径。最后，对于函数矩阵F（t）={fij（t）}Di，j=1，我们将写出| | F | | |={| | fij |}Di，j=1。从现在开始，我们将始终考虑（除非特别说明）假设（H）成立，并且霍克斯过程处于渐近稳定状态。特别是，稳态下的平均值将用E[…]表示，而方差将被写为V[…]。下一小节将全面探讨平稳消费（H）的后果。在这里，我们将首先提供一个霍克斯过程的简单实现，其原型版本是核函数φij（t）是指数函数的过程。示例1（指数内核）。考虑一个二元Hawkes过程，其中核矩阵的形式为Φ（t）=φ（s）（t）φ（c）（t）φ（c）（t）φ（s）（t）（5）其中，核分量具有指数形式φ（s/c）（t）=α（s/c）β（s/c）e-β（s/c）tt∈R+，（6）其中，如果x为真，则1xis是等于1的指示函数，否则为零。上述函数是L-可积的，因此选择α（s/c）、β（s/c）>0可确保相关的霍克斯过程得到很好的定义。为了使过程稳定，还需要另外要求光谱范数满足| |Φ| |=| |φ（s）| |+| |φ（c）|<1。由于α（s/c）=R∞φ（s/c）（t），稳定条件为α（s）+α（c）<1。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 15:16:31

（7） α（s/c）参数可以解释为设定相互作用的整体强度的参数，而β（s/c）控制从过去到未来事件引起的扰动的弛豫时间。具有指数核的霍克斯过程有几个有利的性质，因为它允许人们计算Nt任意函数的期望值（见第2.3.4节和参考文献[29]），直接模拟（见附录B），或高效地计算其可能性（见附录C.1）。这些性质中的大多数是由阿马尔科夫性质衍生而来的，阿马尔科夫性质最简单的形式如下：命题2（指数核的马尔可夫性质）。考虑一个具有指数核φij（t）=αijβeβtt的Hawkes过程∈R+。那么这对（Nt，λt）就是阿马尔科夫过程。特别是，强度λt的公式（2）可以用马尔可夫形式asdλt=-βλtdt+αβdNt（8）该性质可以扩展到以下情况：（i）各分量的系数βijarenon常数，以及（ii）核Φ包含指数的有限和。在这个更一般的设置中要付出的代价是引入一个辅助过程{λ（A）t}Aa=1的额外集合，适当地选择，以便得到（A+1）-uple（Nt，＠λ（1）t，λ（A）t）是马尔可夫的。在非指数情况下，霍克斯过程通常不能映射到阿马尔科夫过程，这意味着有必要跟踪其过去的所有历史，以便进行精确的模拟和估计。非指数核的一个特别著名的例子是幂律核，在参考文献[59]中提出，以描述地震活动的时间集群。例2（幂律内核）。现在让我们考虑D=1的情况，并假设核由正则幂律Φ（t）=αβ（1+βt）1+γt参数化∈R+（9）大写字母（s）（resp.（c））代表单词self（resp.cross），因为它描述了self（resp.cross）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 15:16:34

两个组件的交叉激励。同样，在这种情况下，对于α、β>0的情况，该过程也有很好的定义。对于α<γ，（10）满足平稳性条件in，这表明幂律核的尾部指数γ对于过程的增量是平稳的应该是正的。2.2一些扩展尽管上一节中定义的模型最初是在[37,38]中介绍的，并且在文献中使用最广泛，但此后提出了一些概括。2.2.1标记的霍克斯工艺。（4）通过赋予每个事件一个标记变量，可以丰富霍克斯过程的定义，从而获得事件时间、成分和标记序列{（tm，km，ξm）}Mm=1。可以进一步假设标记有不同标记的事件对未来强度有不同影响，导致λtof类型λit=ui+MXm=1φi，km（t- 最后，我们需要为标记引入一种生成机制，它通常被假定为与每个事件一起绘制的i.i.d.随机变量，并从公共分布p（ξ）中取样。交互核的一个典型选择是一个φij（t，ξ）=φij（t）χij（ξ），其中一个对标记的影响采用因子形式。该机制用于描述不同权重的事件，最初用于模拟不同震级地震的发生[59]。在财务方面，可以使用标记来模拟不同体积ξm（如[30,5]，见第4节和第5节）或下降强度（如[27,18]，见第3.1节）在Tm时形成的交易。在更一般的情况下，请注意，多元霍克斯过程也可以被视为具有相互作用标记的霍克斯过程的一个例子[51]。2.2.2外生非平稳性外生强度u可以推广为时间u（t）的确定函数。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 15:16:37

这种选择允许对一个非平稳系统建模，其中interactionkernel确实独立于时间。在金融方面，当人们想对连续几天的日内季节性（见综述文章[9]）和/或溢出效应（如[15]）进行建模时，就会出现这种情况。2.2.3内生非平稳性也考虑了| |Φ| | |>1和|Φ| | |=1的情景，以便对内生相互作用引起的非平稳性进行建模。这两种情况确实存在一个重要差异：前者的平均强度随时间呈负增长，而后者的过程可能具有有限的平均事件率。第二类非平稳性，我们称之为准平稳性，由于条件| |Φ| |这一事实，引起了人们对文献的浓厚兴趣≈ 1根据实际财务数据校准霍克斯流程时，经常会遇到这种情况（见第3节的详细讨论）。Br|emaud和Massouli|e在[17]中分析了| |Φ| | |=1的霍克斯过程的极限行为，其中特别指出：命题3（临界短程霍克斯的简并性）。设Nt为等式（2）中的单变量Hawkes过程，使得| |Φ| | |=1且u=0。那么如果∞dt tΦ（t）<∞ （12）条件强度的平均值为0或0+∞.因此，在D=1的情况下，短程内核总是导致琐碎的过程。下一个结果显示，更大范围的互动允许她的行为。定理1（临界平稳性的存在性）。现在让我们考虑一个| |Φ| |=1，u=0和SUPT的霍克斯过程≥0t1+γΦ（t）≤ R（13）极限→∞t1+γΦ（t）=r（14），其中r，r>0和γ∈ ]0, 1/2[.

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 15:16:42

那么，这种过程的平均强度是有限的。综上所述，对于Φ（t）尾部指数的特定值，存在| |Φ| | |=1的非平凡单变量Hawkes过程，其要求位于区间γ∈ ]0，1/2[.注意，即使在D=1中，准平稳的短程Hawkes过程总是退化的，参考文献[42]描述了Ntin的标度制度，它可能在极限| |Φ| |下获得非退化过程→ 1.通过适当选择过程的观察时间表。这种行为将在不安全的情况下进行审查。2.3.6.在多元设置中，参考文献[51]表明，即使存在满足短程条件等式（12）的核Φ，也有可能在大维极限下定义一个非平凡的准静态霍克斯过程。特别地，参考文献[51]假设核的分解形式为φij（t）=αijf（t），（15），其中| | f | |=1，并考虑D→ ∞ 过程的限制。当| |Φ| | | |=| |α|时，这种限制机制也被很好地定义----→D→∞1，前提是矩阵α在临界点| |α| |=1附近具有足够低的特征值密度。因此，作为大量成分之间相互作用的结果，也可以得到霍克斯过程的非退化准平稳极限。2.2.4非线性霍克斯过程的非线性推广已经被几位学者考虑过[16,65,62,69]。非线性情况下的强度函数写成λit=hui+DXi=1ZdNjtφij（t- t）！，（16）其中h（·）是一个非线性函数，在R+中有支撑。h的典型选择包括（x）=1x∈R+和h（x）=ex。注意，Br’emaud和Massouli’e在[16]中研究了各种函数sh的稳定性条件。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 15:16:45

该扩展引入的主要优点是，可以通过负值Ernels对抑制进行建模，尽管必须付出的代价是，该过程的大多数属性失去了数学可处理性。然而，即使在这种情况下，模型的模拟和校准也是可能的[33,8]。正如我们将看到的，负值内核是在金融环境中发现的（例如，见第6.1节）。在本节结束时，我们只提到了霍克斯原始模型最常见的扩展，但提出了许多进一步的推广，如混合扩散霍克斯模型[29,18]，具有散粒噪声外生事件的霍克斯模型[23]，具有世代相关核的霍克斯过程[53]。2.3性质霍克斯过程的随机强度λtof的线性结构允许我们以完全解析的方式表征其许多性质。值得注意的是，它的一阶和二阶属性特别容易计算，而过程的聚类表示可以用于获得霍克斯过程的有用特征。下一节将对这些特性进行回顾。2.3.1一阶和二阶属性假设假设（H），则可以根据核Φ的拉普拉斯变换明确写出模型的一阶和二阶属性。为了做到这一点，有必要引入定义如下的函数ψ：定义2（核反转）。考虑一个带有平稳增量的霍克斯过程。我们将ψ（t）定义为方程Φ（t）+ψ（t）的因果解* Φ（t）=ψ（t）（17）作为（H）的结果，ψ（t）存在并可表示为有限卷积ψ（t）=Φ（t）+Φ（t）* Φ（t）+Φ（t）* Φ（t）* Φ（t）+。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 15:16:48

（18）矩阵函数ψ可以用核Φ的拉普拉斯变换进行分析表征，我们定义如下：符号4（拉普拉斯变换）。给定一个标量函数f（t）∈ L(-∞, +∞), wedenote的拉普拉斯变换为^f（z）=z∞-∞dt f（t）ezt（19）向量和矩阵拉普拉斯变换是通过应用上述变换分量定义的。在拉普拉斯域中，等式（18）被映射到代数关系^ψ（z）=（I-^Φ（z））-1.- I，（20）其中I表示单位矩阵，允许我们陈述与霍克斯过程的线性性质有关的主要结果：命题4（一阶和二阶统计量）。对于具有静态增量的霍克斯过程，下列命题成立：1。平均强度∧=E[dNt]/dt等于∧=（I+^ψ（0））u（21）2。线性相关矩阵xc（t）的拉普拉斯变换- t） =EdNtdNTt- E[dNt]EdNTtdtdt（22）等于^c（z）=（I+^ψ）(-z）（∑（I+^ψT（z）），（23）其中，∑是一个非零元素等于∑ii=∧I的对角矩阵。霍克斯过程的线性特性的这一有用表征，在[37,38]中进行了计算，然后在[8]中完全推广，允许（I）获得给定μ和Φ作为输入的霍克斯模型的线性预测，（ii）通过反转关系式（21）和（23）非参数地校准经验数据中的核Φ（见附录C.1）。让我们指出，在参考文献[4]中，作者已经确定，在一般条件下，多元Hawkes过程的经验协变量向其预期值收敛，可以很容易地用公式（23）给出的Hawkescovenance矩阵c（t）表示。例3（指数核）。让我们再次考虑由等式（5）描述的二元情形，在平稳情形1>α（s）+α（c）中。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 15:16:52

在这种情况下，内核^Φ（z）的拉普拉斯变换为：^Φ（z）=1 11 -1.^φ（s）（z）+^φ（c）（z）0^φ（s）（z）-^φ（c）（z）1 11 -1.,（24）表示在对称和反对称组合N±t=2中，核矩阵是对角的-1/2（Nt±Nt）。核的各个分量的拉普拉斯变换是^Φ（z）=α（s/c）1- z/β（s/c），（25），由于等式（5）的对角线形式，逆核^ψ（z）可以直接计算。如果假设u=（u，u），则上述关系意味着∧=（λ，λ），其中∧=u1- α（s）- α（c）。（26）对称和反对称组合X±（t）的滞后互相关的拉普拉斯变换，定义为asc±（t）- t） =E（dNt±dNt）（dNt±dNt）2dtdt- Λ. （27）结果^c±（z）=∧（1）-^φ（s）(-z）^φ（c）(-z））（1-^φ（s）（z）^φ（c）（z））。（28）上述表达式可以显式反转，以获得实空间中的滞后互相关。在更简单的情况下，β（s）=β（c）=β，可以得到例如c±（t）=∧δ（t）+β（α（s）±α（c））（2- α（s） α（c））（1- α（s） α（c））e-(1-α（s）α（c））β| t|. （29）注意，t=0时，由于单位跳变（dN）=dN的假设，出现了一个奇异分量。上述公式还表明，通过将谱范数| |Φ| |=α（s）+α（c）移到不稳定点| |Φ| |=1附近，相关函数的对称模的衰减变得越来越慢。图2说明了模式N±t的自相关函数的结果。-0.100.1-10-5.0.5.10c±（t）紧相关11。21.40 2 4 6 8 10V[N±（t）]/t标准化变量模式+模式-模式+模式-图2：组合N±t的自相关函数（左）和标准化方差（右），使等式（5）中出现的交互核痛苦化。我们使用参数集α（s）=0，α（c）=0.1，u=β=1，以模拟长度T=10的过程的单一实现。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 15:16:55

对于这样的T值，理论预测（虚线）几乎完全叠加到模拟结果上。为了清晰起见，交叉协方差函数中的δ（t）分量已在左面板中指定。例4（幂律内核）。现在让我们再次考虑维D=1的幂律交互内核的情况。对于由等式（9）参数化的核，空间变换读取^Φ（z）=αe-z/β(-z/β）γΓ(-γ, -z/β），（30），其中Γ（n，z）是不完全伽马函数。逆核^ψ（t）可以在拉普拉斯域中表示为^ψ（z）=αe-z/β(-z/β）γΓ(-γ, -z/β）1- αe-z/β(-z/β）γΓ(-γ, -z/β）。（31）如第。2.1，在这种情况下，光谱半径| |Φ| |等于| |Φ| |=|^Φ（0）|=α/γ，因此模型对于α<γ是稳定的。在此假设下，平均强度结果∧=uγγ - α. （32）对于外生强度u的固定值，该关系在等于外生强度的原子强度（在非相互作用的情况下，α=0）和α接近不稳定点α=γ时事件数量越来越多之间插值。滞后互相关矩阵的拉普拉斯变换结果^c（z）=∧（1-^Φ(-z））（1-^Φ（z））。（33）上述表达式不能从分析上颠倒。我们确实可以将相关性的尾部行为与^c（z）的小z行为联系起来，这多亏了同义词。尤其是对于βt 1有：c（t）~E-(γ-1） βt或γ>1（βt）-γ-1对于γ<1（34），这种行为如图3所示，我们比较了几个单变量霍克斯过程与幂律核和不同尾指数的自相关函数。最后，我们注意到，对于γ<1/2，并且接近不稳定点α=γ，函数c（t）服从中间渐近c（t）~ t2γ-1，与βt一样长Γ(1 - γ)γ/α - 1.1/γ.

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 15:17:00

（35）在这个特定的区域，霍克斯过程产生了一个明显的赫斯特指数H=1/2+γ。这种极限行为是准平稳性条件| |Φ| | |=1的结果，参考文献[17]对此进行了分析，第。2.2.3.2.3.2二阶统计量的表征本节解释了为什么霍克斯过程可以被认为是交互点过程的最简单示例。事实上，它完全以一阶和二阶特性为特征：均值和相关性通过维纳-霍普夫系统的解唯一地决定了阿霍克斯过程。1101000.1 110 100E[dNtdN0]/dt2- ∧2t自相关γ=2γ=1γ=0.5γ=0.25图3：一组单变量Hawkes过程的自相关函数与由等式（9）参数化的幂律核的比较。我们使用u=β=1、α=0.9γ的值，以及长度T=5·10（对于γ=0.25和0.5）、T=10（对于γ=1）和T=5·10（对于γ=2）的模拟过程，以获得曲线图中显示的曲线。该图像显示了从β>1的指数相关性到β<1的幂律行为的交叉。让我们从定义条件强度矩阵g（t）开始，我们定义fort>0 asgij（t）=EhdNitdNj=1idt- ∧i，t>0。（36）那么我们可以直接从等式（23）证明C（t）=∑gT（t），t>0（37），这与条件平均数和滞后互相关有关。因此由usingEq。（37）和（23），可以证明[8]：定理2（维纳-霍普夫方程）。考虑由满足平稳性假设（H）的等式（1）定义的霍克斯过程。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 15:17:05

那么矩阵函数χ（t）=Φ（t）是维纳-霍普夫系统的唯一解g（t）=χ（t）+χ（t）* g（t）t>0（38），使得组成部分χij（t）是因果的，并且χij（t）∈ Li、 j.该性质意味着，当使用平均强度向量∧和传统期望g（t）时，最多存在一个与这些观测值一致的霍克斯过程。事实上，这种过程并不总是存在的，因为阿霍克斯过程不一定重现与抑制相关的系统的线性特性。这个结果与等式（23）所表示的结果相反：虽然该等式表示，通过定义内核Φ（t）和外生强度u，相关性是唯一确定的，但上述定理表明，相关性和平均强度唯一地决定了相互作用。虽然[37]首次证明了直接结果，但[8]使用维纳霍普夫分解技术证明了相反的结果。最后请注意，维纳-霍普夫系统（38）在经验数据的应用中非常有用，因为它允许我们在给定一组经验观测值的情况下，非参数地估计霍克斯过程的相互作用核（见附录C.2）。2.3.3自回归投影具有固定增量的霍克斯过程始终可以通过适当定义的自回归过程线性近似。尤其是[51]：命题5（自回归投影）。考虑满足平稳性假设（H）的等式（2）定义的霍克斯过程。然后由N（AR）t=（Iδ（t）+ψ（t））定义的卷积N（AR）t* （ut+∑1/2Wt），（39），其中ψ（t）是Hawkes核的有限卷积，由等式给出。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 15:17:08

（18）是标准的D维布朗运动，满足∧（AR）=∧（40）c（AR）（t）=c（t），（41），其中∧和c分别表示Nt的平均强度和滞后互相关矩阵。因此，通过使用维纳过程的卷积，始终可以将平稳Hawkes过程的一阶和二阶性质与相互作用核Φ相匹配。另一方面，高阶矩不能以同样的方式匹配。2.3.4除二阶矩外，一阶矩和二阶矩不是霍克斯过程中唯一可以通过分析计算的矩。特别是，Jovanovi\'c等人[44]最近开发了一种组合程序，允许计算霍克斯过程任意阶数的累积量（以及因此产生的矩）。更准确地说，给定一组组件∈ {1，…，D}和tS={t，…，t|S}的其中一次，可以确定霍克斯过程的累积量密度北区（S）= dt-|S | Xπ（|π|- 1!)(-1)|π|-1YB∈π*Yi∈BdNiti+，（42）其中总和在S的所有分区π上运行，|π|表示它们的块数，B分别标记π的块。上述方程概括了| S |=1时恢复的平均强度和|S |=2时获得的滞后互相关函数的定义。力矩密度可以通过写*Yi从上面的表达式中得到∈SdNiti+dt-|S |=XπYB∈πkN（B）. （43）参考文献[44]展示了如何将等式（42）表示为整数项之和，可以用u和ψ（t）明确表示。由于每一个这样的加法器都可以被解释为一个拓扑上不同的有根树，带有| S |标记的叶子，因此可以系统地对等式（42）的所有贡献进行计数。在具有指数核的Hawkes过程的特殊情况下，Errais等人得到了一个有用的结果。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 15:17:11

[29]利用第节所述标记框架中的Dynkin夫妇公式（N，λ）。2.2.1. 特别是，它们能够用一个普通微分方程的解来表示耦合（N，λ）的母函数。虽然可能有必要对生成函数的方程进行数值求解，闭式表达式适用于Nt的特定矩（参见Dassios和Zhao[23]的工作，了解关于Hawkes过程的轻微推广的类似结果）。2.3.5鞅表示式（2）定义的过程允许一个方便的鞅表示式，只要引入适当定义的补偿器rtdsλis[22]。定理3（鞅表示）。给定一个霍克斯过程（2），D随机过程yt=Nt-ztdλs（44）是关于过程Nt的正则过滤的鞅[22]。此外，在稳定条件（H）下，随机强度λt表示λt=u+Ztψ（t- s） uds+Ztψ（t- s）戴斯。（45）虽然上述结果即使在非平稳区域也有效，但在大t的渐近区域，等式（45）的形式特别简单，可以写成λt---→T→∞∧+Ztψ（t）- s） dYs（46）多亏了等式（21）。霍克斯过程的鞅性质在确定上节讨论的一阶和二阶性质中起着重要作用，这些性质是通过[2,8]中的等式（46）推导出来的。公式（45）的表示法对于预测霍克斯过程的强度也特别有用，因为霍克斯过程具有历史过滤性。例5（强度预测）。假设，给定一个满足平稳条件（H）的霍克斯过程，人们有兴趣计算预测器Eλt财政司司长对于t>s（参见参考文献。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 15:17:16

[40,41]用于金融领域的直接应用）。然而，通过天真地应用霍克斯过程的定义，我们可以得到这种类型的动物性方程λt财政司司长= u+ZsΦ（t- u） dNu+ZtsduΦ（t- u） Eλu财政司司长（47）可以使用鞅表示式（45）来写出明确的表达式λt财政司司长= u+Ztψ（t- s） uds+Zsψ（t- s）戴斯。（48）2.3.6过程的缩放极限霍克斯过程的结构自然适合于描述坐标NTI中跳跃的离散性质相关的系统，使该模型特别适用于建模高频数据。事实上，在许多应用中，还需要在相反的低频率范围内控制系统的限制行为，在低频率范围内忽略事件的粒度，并且需要知道NTS的时间尺度。偏离布朗运动。[4]中首次证明的以下结果使我们能够确定，在适当的假设下，经过适当的重新缩放后，霍克斯过程在很大程度上表现为维纳过程的线性组合。定理4（大数定律）。考虑方程（2）中满足平稳性假设（H）的霍克斯过程。Thensupu∈[0,1]| | T-1螺母- u∧| |----→T→∞0（49）几乎肯定是L-范数。上述结果为Hawkes过程建立了一个大数定律，对任何静止的核都是有效的。事实上，在其他假设下，也可以建立相应的泛函中心极限定理。定理5（中心极限定理）。假设我，j≤ D核Φ（t）满足∞dt t1/2φij（t）<∞ . （50）那么对你来说∈ [0，1]对于目的论来说，一个有以下趋同规律：T1/2T-1螺母- u∧----→T→∞（I+| |ψ| | |）∑1/2Wu，（51），其中WT表示标准的D维布朗运动。例6（指数内核）。考虑一下二元霍克斯过程。2.1.

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 15:17:19

Eqs。（5）上面的（51）则暗示了那颗坚果----→T→∞∧uT（52）+（λT）1/2（1）- α（s））- （α（c））1.- α（s）α（c）α（c）1- α（s）武武,根据组合N±t=2-1/2（Nt±Nt）读数SN±uT----→T→∞（1±1）1/2∧uT+（∧T）1/21- α（s） α（c）W±u.（53）图4总结了这种行为，我们在图中比较了不同时间尺度下的重新定标过程N±u。-2020年0.25 0.5 0.75 1T=1000u-202T=100-202T=10Z±u=1-α（s）α（c）（λ0T）1/2N±uT- ∧±uT图4：对于与图2相同的参数选择，该图显示了过程的形状N±uTat different timescalesT=101001000。根据公式（53）对过程进行了重新调整，以获得极限T内的标准维纳过程Wu→ ∞. 该图说明了离散跳跃的存在，在小时间内清晰可见，如何在标度极限T中变得无关紧要→ ∞.其他标度限制众所周知，价格形成过程中涉及的许多微观观察结果在大尺度上（例如，在每日，甚至每月的时间尺度上）不适用于布朗运动动力学。例如，交易活动（即市场订单流量）似乎是长期依赖的[14]，而波动性显示的集群可能持续数月。正如我们将在下一节中看到的那样，霍克斯过程倾向于很好地模拟金融时间序列的高频动力学，因此，很自然地，我们会试图理解是否可以找到比定理5所描述的更大的扩散极限。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

能者818

2022-5-7 15:17:23

在Jaisson和Rosenbaum[42]最近的一项研究中，一系列重新定标的单变量Hawkes过程z（T）u=1- aTTN（T）uT（54）由时间刻度参数T索引，其中∈ 当T→ +∞, 在以下主要条件下，朝向综合Cox、Ingersoll、Ross过程[20]o相应的核序列φ（T）（T）满足φ（T）（T）=aTφ（T），其中φ是可微分的，并且| |φ| |=φ（0）=1，φ（0）<+∞, ||φ||∞<+∞ 和| |φ| |<+∞,o 支柱的临界状态（H）。1是在特快专车上遇到的→+∞(1 - aT）T=k，k>0。（55）因此，即使准平稳的短程霍克斯过程总是退化的，我们也可以通过合理地选择观测时间尺度T来检测重标计数函数的非平凡行为~ (1-||Φ（T）| |）-1.让我们指出，上述条件不允许φ具有指数严格小于2的幂律衰减（在极限t内）→ +∞). 如第二节所述。3.一些研究倾向于表明，对于许多金融时间序列（例如，市场订单流量时间序列），相关的核函数具有幂律尾，指数高于1，但非常接近1。因此，严格来说，前面的框架不适合描述这种行为。使用相同的渐近性（T→ +∞), Jaisson[41]研究了具有幂律核的一维Hawkes过程的相关函数的渐近极限，幂律核随指数1+γ和γ而减小∈ ]他证明了霍克斯过程的自相关函数以指数1的幂律渐近递减- 2γ，即导致长期依赖。2.3.7聚类表示Hawkes过程的另一个有用特性是聚类特性，它是等式（2）线性化的结果。这种特性允许（i）为该过程构建高效的模拟算法（见应用。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 15:17:26

B），（ii）介绍不同事件中的亲子关系概念（见下文第2.3.8节），（iii）从经验数据推断连续事件中的亲子关系（见附录C.2中有关EM方法的段落）。命题6（聚类表示）。考虑一个正整数D和一个（不一定是有限的）时间间隔[0，T]，在此时间间隔中，我们根据以下程序定义事件序列{（tm，km）}Mm=1：o对于每个1≤ 我≤ D、考虑一组移民事件{（t（0）m，i）}m（0）im=1，在区间[0，t]内以均匀泊松速率uii提取。对于相应定理的精确表述，我们请读者参考[42]。让我们注意到[7]在二维框架中也给出了类似结果的定性论证对于类型为j的每个移民事件，用（t（0）m，j）标记，并且对于每个1≤ 我≤ N、生成一系列第一代事件{（t（1）m，i）}m（1）im=1，用时间相关泊松速率φij（t）采样- tm）在[t（0）m，t]区间内从第n代开始迭代上述规则-1到生成n，从而获得事件序列{（t（n）m，k（n）m）}m（n）m=1，直到[0，t]中不再生成事件。然后所有事件的并{（tm，km）}Mm=1=∞[n=0{（t（n）m，k（n）m）}m（n）m=1（56）对应于在时间间隔[0，t]内由霍克斯过程（2）生成的一个。请注意，上述构造（如图5所示）可以等效地作为霍克斯过程的定义，一旦编码生成n的信息通过所有事件的并集被丢弃。事实上，这种更丰富的定义i=1i=2时间t聚类表示图5：霍克斯过程的聚类表示：虽然上面板表示二元霍克斯过程的分支结构，但下面板显示了通过忽略聚类结构获得的投影。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

nandehutu2022

2022-5-7 15:17:30

不同的成分∈ {1,2}以不同的颜色显示，而上面板中的连接结构表示三个不同的簇。更透明地刻画平稳性条件（H）：考虑T=∞ 在上述构造中，可以将上述Hawkesprocess的分支结构映射到具有平均o | |Φ| |的Galton Watson树上。模型的定性行为实际上由父事件生成的平均事件数决定，即toR∞φ（t）=φ（0）=Φ。霍克斯过程的三个阶段（平稳|Φ| | | | | |<1、非平稳| |Φ| |>1和准平稳| |Φ| |=1）对应于高尔顿-沃特森分支过程的三个阶段，更精确地说：1。对于| |Φ| |<1，我们有一个次临界阶段，在该阶段中，每个父事件平均生成少于一个子事件。这意味着，每个事件的总后代是a.s.物种，灭绝前的平均世代数是a.s.物种。2.对于| |Φ| |>1，我们有一个超临界阶段，在该阶段中，每个父事件生成多个子事件。在这种情况下，一次事件的总后代可能具有有限的概率。3.对于| |Φ| |=1（临界情况），子代总数为a.s.有限，但子代的总大小有很大的变化，导致灭绝前的平均世代数出现差异。2.3.8因果关系通过使用霍克斯过程的聚类表示引入的亲子关系允许我们在此背景下讨论因果关系问题。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 15:17:33

特别是，根据上面描述的分支过程构造霍克斯过程后，可以引入计数函数SNI←0t=（外源性产生的i型事件）（57）Ni←jt=（具有j型直系祖先的i型事件）（58）Ni←J*t=（i型事件和j型最古老祖先）（59）因此←0t+PjNi←jt=Ni←0t+PjNi←J*t=Nit。因此，这些量可以用来表示给定类型j的电容器产生的i型事件的总数。特别是，很容易证明：命题7（因果关系）。对于平稳的Hawkes过程，Ni的平均增量←0吨，镍←JT和Ni←J*皮雷表示再见dNi←0t/dt=ui（60）EhdNi←jti/dt=^φij（0）∧j（61）EhdNi←J*ti/dt=^ψij（0）uj.（62）上述性质可用于估算霍克斯过程中特定成分引起的事件（直接或间接）的平均分数。还研究了点过程因果关系的其他概念。特别是，Granger因果关系的概念已扩展到[57,25]中的点过程。3单变量模型3。1市场活动和风险模型霍克斯过程在高频金融中的首次直接应用可能是为了模拟所谓的波动性聚集现象。由于波动性，交易水平可直接与给定类型事件（交易、中间价格变动等）的数量相关霍克斯过程的自激性质提供了一个非常简单的图景，可以解释波动性波动的相关性质。Bowsher[15]首先提出了这一想法，他利用纳斯达克和纽约证券交易所的日内股票数据，用混合指数核校准了一个单变量霍克斯模型。在参考文献[2]中，Bacry等人。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 15:17:37

最近提出了一种基于希尔伯特变换对协方差矩阵进行谱分解的多元对称Hawkes过程的非参数估计方法。通过将一维霍克斯模型与2009年75个交易日内10年期欧元期货合约的交易发生率进行校准，他们发现了两个重要的事实：（i）该模型非常接近其稳定阈值| |Φ| |=1；（ii）经验核Φ（t）在广泛范围内得到了很好的描述，由幂律函数等式（9）Φ（t）=αβ（1+βt）1+γ（63）加上γ\'0。第一个观察结果直接关系到金融市场的内生性水平和稳定性，这是一个问题，如下一节所讨论的，菲利莫诺夫和索内特或哈迪曼等人后来已经解决了这个问题。[31, 32, 34, 35]. 指数为γ\'0的霍克斯内核的幂律性质已被随后的研究所证实，尤其是哈迪曼等人关于E-mini S&P500期货[34]的中间价格变化的研究，或Bacry和Muzy关于EuroStoxx指数期货交易的研究[8]。图6的曲线图是直接从这些论文中提取出来的：它们以对数刻度表示E-miniSP期货中间价变化事件和EuroStoxx市场订单事件的估计Hawkes核。我们可以看到，与不同的数据、不同的市场和不同的估计方法相对应的两个估计核非常相似。这表明γ和C=αβ具有某种普遍性-式（63）代数衰变中的γ参数。这种幂律行为的起源，尤其是α和γ值的起源，仍然是一个悬而未决的问题。之前的实证结果推动了Jaisson[41]的工作（另见参考文献[7]和等式前面的部分）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 15:17:40

（35）），他证明了，在一个特定的渐近线内（包括核收敛到1的形式），一个指数为1+γ的幂律衰减的一维核∈]0，0.5[）导致流量的自协方差函数，其为指数为1的幂律- 2γ，即流量的长期依赖性（另见第2.3节公式（34）中的讨论）。霍克斯核的代数衰变可以让人想到一个简单的价格模型，其中的价格被建立为独立的随机冲击的总和。在这种情况下，T标度的波动率与（NT）1/2成正比。本文给出了rf的实证结果。[68]从经验上证实了这一观察，使我们能够更准确地确定每笔交易的影响和波动性之间的关系。更准确地说，Bowsher考虑了Hawkes过程的推广，以解释在高频下观察到的特定非平稳性，如日内季节性和隔夜间隙。10-510-410-310-210-110010110210-310-210-1100101102103内核Φ[s]-1] 时间t[s]内核比较mini（1998）E-mini（2006）E-mini（2009）FXSEFigure 6：单变量霍克斯过程的推断内核Φ（t）描述了E-mini s&P500的中点变化，以及欧洲斯托克不同年份的贸易抵达，分别从参考文献中复制。[8] 和[34]。引人注目的是，考虑到这些研究中考虑的不同市场、交易合同、事件类型和时间周期，Φ（t）的形状几乎是相同的。与波动性聚类特性相关。请注意，在交易时间模型[14]中，价格和需求的长期性质主要是通过订单分割动力学来解释的，并得到了[66]等实证结果的支持，其中分析了经纪人解析的数据，以区分订单流的羊群效应和分割成分。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 15:17:43

因此，观察到的内核缓慢增长的本质很可能是元序分裂的直接结果。然而，这一假设仍有待于定量论证和实证观察的证实。除了这些基本问题之外，霍克斯核的幂律性质仍然是一个坚实的经验事实，这至少让人们质疑所有基于指数霍克斯模型的方法。在之前引用的研究中，Da Fonseca和Zaatour[21]对具有αβexp形式指数核的一维Hawkes过程进行了参数估计（使用GMM方法，见第C.1节）(-βt）在（未签署的）市场订单流量数据上。正如预期的那样，市场秩序聚类的β值相当低∈ [0.02,0.1]（取决于财务时间序列），发现内核的形式非常接近临界状态，即α≥ 0.9（而且经常≥ 0.95). 我们还可以引用Lallouache和Challet[45]的工作，他们使用两个指数函数之和作为Hawkes核，对市场订单进行了最大似然估计。他们研究外汇EBS数据，这些数据被限制（在0.1秒内收集市场订单），这需要进行其他复杂的去噪预处理。利用拟合优度检验，他们得出结论，尽管该模型在适用于1小时特定的日间（3个月内平均每天）时表现良好，但（主要）异源强度u的日间季节性不允许一整天都表现良好。霍克斯过程也被用来模拟极低频率的极端价格波动。在参考文献[27]中，Embrechts等人在每小时（14年）的时间框架内研究了3个指数（道琼斯指数、纳斯达克指数和标普指数）的等权投资组合。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 15:17:47

只保留收益的最大分位数（最小和最大的1%分位数），导致一维点过程，其跳跃对应于三个指数中任何一个的极值。然后使用三维标记标记跳跃，对每个索引相对于相应的1%分位数的多余部分进行编码。利用三维Hawkes过程（具有指数核）对所获得的点过程进行建模，该过程由三维伽马分布i.i.d.随机变量标记。进行了极大似然估计，测试结果表明，该模型非常适合建模极端价格变动。让我们指出，在同一项工作中，对一个（自制的）股票指数的每日对数收益率进行了一个非常类似的实验，这次使用了一个带有一维标记的二维Hawkesprocess（用于编码正极端跳变或负极端跳变）。本着同样的精神，在参考文献[18]中，查韦斯·德穆林和麦克·吉尔为超过给定阈值的资产价格的过度行为建立了一个模型。该模型将霍克斯过程与帕累托分布标记相结合，以确定超额发生率。在这种方法中，作者的目标是通过霍克斯过程的自激动力学来描述大规模下降事件的聚集。通过对股票日内数据进行回溯测试，他们表明，与基于极值理论的标准非参数方法相比，该模型能够很好地捕捉极端日内事件。3.2测量股票市场的内生性在最近的一系列论文[31,32,34,35]中，一些作者在霍克斯模型的框架内讨论了所谓“波动性模糊”的重要问题，即观察到的市场波动无法用经典经济理论解释的事实。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝