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2022-05-07
英文标题:
《Identification of Atlas models》
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作者:
Robert Fernholz
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最新提交年份:
2015
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英文摘要:
  Atlas models are systems of Ito processes with parameters that depend on rank. We show that the parameters of a simple Atlas model can be identified by measuring the variance of the top-ranked process for different sampling intervals.
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中文摘要:
Atlas模型是Ito过程的系统,其参数取决于等级。我们证明了一个简单的Atlas模型的参数可以通过测量不同采样间隔下排名靠前的过程的方差来识别。
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分类信息:

一级分类:Quantitative Finance        数量金融学
二级分类:Mathematical Finance        数学金融学
分类描述:Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法,包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类:Mathematics        数学
二级分类:Probability        概率
分类描述:Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用:例如中心极限定理,大偏差,随机微分方程,统计力学模型,排队论
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2022-5-7 15:22:03
Atlas模型的识别Lobert FernholzMarch 22,2022摘要Atlas模型是It^o过程的系统,其参数取决于等级。我们表明,通过测量不同采样间隔的顶级过程的方差,可以识别简单Atlas模型的参数。让X,Xnbe是一个Atlas模型,其中dxi(t)=nXi=1gk{Xi(t)=X(k)(t)}dt+σdWi(t),(1)其中σ>0,gk是常数,使得m<n时g+·gn=0和g+·gm<0,(W,…,Wn)是n维布朗运动(见Fernholz(2002)或Banner等人(2005))。LetX(1)(t)≥ ··· ≥ X(n)(t)代表排名的过程Xi(t)。Atlas模型的深度是其中的进程数,在这种情况下,n。让我们假设间隙进程X(k)- X(k+1)处于稳态分布,初始值为X(0)+···+Xn(0)=0。(这里我们需要间隙过程存在稳态分布,但我们似乎不需要这些分布是指数分布的事实——至少在某些情况下——正如Ichiba和Karatzas(2010)和Banner等人(2005)所证明的那样。)设Z(t)是为t定义的连续半鞅≥ 0使EZ(s+t)- Z(s)存在于≥ 0且独立于s。那么变差函数VZof Z是为t>0byVZ(t),E定义的实值函数Z(t)- Z(0)T. (2) (这可能是变异函数的一个不同寻常的定义,但它在我们的环境中很方便,并且包含与经典版本相同的信息。)对于布朗运动B,变异函数是VB(t)≡ 1.这里我们考虑Atlas模型中排名靠前的过程的变异函数VX(1)。由于gk加起来等于零,xi的平均值X将为X(t)=nnXi=1Xi(t)=σnnXi=1Wi(t)=σ√nW(t),其中W是一个新的布朗运动。因此,对于t>0,EX(t)t=σnEW(t)t=σn。
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2022-5-7 15:22:08
(3) 因为间隙过程X(k)- 假设X(k+1)处于稳态分布,我们有X(1)(t)- X(t)= EX(1)(0)- X(0)= C、 对于常数C>0。现在,EX(1)(t)= EX(t)+X(1)(t)- X(t)= EX(t)+ 2EX(t)X(1)(t)- X(t)+ EX(1)(t)- X(t)= EX(t)+ 2EX(t)X(1)(t)- X(t)+ C、 (4)新泽西州普林斯顿帕尔默广场一号英特奇,邮编08542。bob@bobfernholz.com.and,根据柯西-施瓦兹不等式,EX(t)X(1)(t)- X(t)≤ EX(t)EX(1)(t)- X(t),= 总工程师X(t).因此,limt→∞EX(t)X(1)(t)- X(t)t=0,所以(3)和(4)意味着limt→∞EX(1)(t)t=σn.(5)就变异函数而言,(5)变得更小→∞VX(1)(t)=σn,从(1)我们得到VX(1)(0),limt↓0VX(1)(t)=σ。因此,X(1)、eVX(1)(t)、VX(1)(t)VX(1)(0)的相对变异函数满足要求→∞eVX(1)(t)=n,(6),这为模型的深度n提供了一个估计量。模型(1)有几个简单的操作值得注意。首先,如果我们将(1)中出现的参数gian和σ乘以一个正常数a,得到新的参数sag,agn和aσ,(7)那么由新参数生成的Atlas模型是Yi=aXi,我们从(2)中看到,对于所有t,vy(1)(t)=aVX(1)(t),和vy(1)(t)=eVX(1)(t),(8)。第二,如果我们将参数gib乘以一个正常数a,我们将σ乘以√a、 结果在新的参数SAG,然后,由新参数生成的Atlas模型是(1)的时变版本,其行为类似于exi(at)。在这种情况下,它遵循(2)vy(1)(t)=aVX(1)(at),和vy(1)(t)=eVX(1)(at),(10)的所有t。一个简单的Atlas模型是一个单一的增长参数g>0,使得参数g=·gn-1= -g和gn=(n)- 1) g。
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2022-5-7 15:22:11
对于简单的Atlas模型,通过使用(7)和(9)形式参数的连续变换,可以用DXI(t)定义的深度n的标准Atlas模型的变异函数来表示变异函数=n{Xi(t)=X(n)(t)}- 1.dt+dWi(t)。因此,我们有了命题1:一个简单的Atlas模型可以通过其顶级过程的变异函数来识别。为了观察这种方法在实践中的效果,我们模拟了一个简单的Atlas模型,其中n=10,迭代次数超过1000万次。模型(1)的参数如下:,g=-.0001,g=0.0009,σ=0001。(11) 变异函数以2,t=1,2,4,··,524288的幂进行采样,估计的相对变异函数如下图1所示。该值趋于1/10左右,正确地表明模型的深度为10,但用于获得该估计值的1000万次迭代表明,该方法更具理论意义而非实际意义。为同一模型(1)生成第二个变差函数,参数为sg,g=-.0002,g=0.0018,σ=0001,(12),我们在图1中看到,这些新参数的变差函数,由红点表示,收敛到0.1的速度大约是对应于旧参数(11)的变差函数的四倍,如下(8)和(10)所示。这导致了一些可能更有趣的问题:问题1:在一般情况下(1),所有参数g,从Vx(1)(t)的值中恢复GNB?问题2:用重对数定律描述有限Atlas模型X(1)的长期行为。0.2 0.4 0.6 0.8 1.0采样阀间变异1 2 4 8 16 32 64 256 1024 4096 16384 65536 262144图1:估计的相对变异函数Sevx(1),水平线为0.1。参数(11)为黑点;参数(12)为红色圆点。参考Banner,A.,R.Fernholz和I.Karatzas(2005年)。
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2022-5-7 15:22:14
关于股票市场的阿特拉斯模型。应用可能性年鉴15,2296-2330。费恩霍尔茨,R.(2002年)。随机投资组合理论。纽约:斯普林格·维拉格。Ichiba,T.和I.Karatzas(2010)。关于布朗粒子的碰撞。应用概率年鉴20951-977。
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