这由图3（c）中的蓝色和红色节点表示。当两个节点在向量（1，1，…，1）T的方向上相邻时，一个属于toR（Y），另一个不属于toR（Y），R（Y）的边界与这两点定义的小子框相交。该算法继续检查子框的其他边。R（Y）是具有序锥Rl+的上集合这一事实可以在上述每个步骤中再次利用。这部分程序如图3（c）-（f）所示。当感兴趣的b盒中的所有点被识别为R（Y）的元素或其补码时，算法终止，见图3（g）。因此，R（Y）的边界位于红色和蓝色表面之间，如图3（h）所示。如果需要凸性，可以使用它的凸圆（红色虚线）作为外部近似，而不是外部多面体近似。同样，如果不能保证凸性，则内凸近似可以替换为内多面体近似（蓝色虚线）。备注4.2。建议的算法可以修改，以利用并行处理的优势。如果实现连续的网格，并行计算是可能的。同样的程序也可用于提高先前导出的近似值的精度。初始步骤（在粗网格上）包括我们上面提出的序列算法。在第二步中，每个包含系统风险度量边界一部分的子框可以在一个更细的网格上用顺序算法重新计算。每个s ub框上的计算可以彼此独立地执行。

根据可用处理器的数量和速度，在一系列网格上连续重新定义的计算可以重复多次。为了提高系统风险度量并行算法的效率，未来可能会利用以下想法：（i）检查节点是否属于系统风险度量，通常需要蒙特卡罗模拟。因此，可以通过实施适当的方差减少技术来提高效率。此外，条件Ym∈ A不需要精确的YM知识。特别是，如果模拟结果表明YM明显位于A的内部或外部，则精度低于边界情况。这种直觉可以通过为模拟程序制定适当的停止规则而变得精确，这些规则受顺序统计结果的启发，例如Siegmund（1985）。（ii）由于系统风险度量值是上（凸）集，因此可以应用图像处理技术来改进计算的最终结果，并进一步确定近似值。备注4.3。该算法也可以用于高维问题——代价是计算时间和所需内存容量大大增加。然而，如例2.1（iv）所述，如果实体可以细分为具有相同资本要求的组，则可以减少维度。如果监管要求取决于公司的类型，那么这种方法是现实的（例如，参见货币监管机构的职能（2014））。备注4.4。如果只计算了EAR，就没有必要确定潜在系统性风险度量的整个边界。（i） 根据L emm a 3.9，目标是使用法线向量Y计算边界中的点→ Rl++。

一个好的策略是在子框上依次应用网格搜索算法，但只关注那些可能包含边界点的框，并用法向量w（Y）支持hy perplane。（ii）利用引理3.9，观察EAR的计算相当于找到凸优化问题的解。这允许应用数值技术，如模式搜索或粒子热方法。5数字案例研究我们在案例研究中说明了建议的系统性风险度量。第5.1节研究了差异聚集函数，见示例2.1（i）和（ii）。对capitallevels不敏感的特例对应于Chen、Iyengar&Moallemi（2013）和Kromer、Overbeck&Zillch（2016）的设置。第5.2节研究了基于艾森伯格和诺伊（2001）基本网络模型扩展的网络模型，参见Cifuntes等人（2005）、阿米尼、菲利波维奇和明卡（2015）、罗杰斯和维拉特（2013）、阿维苏斯和韦伯（2015）、范斯坦（2015）、赫德（2015）。如例2.1（iii）所述，我们包括通过直接信用链接进行的本地互动和由价格影响引起的全球互动。考虑到金融机构同质群体的数量很少，问题的维度就降低了，见例2.1（iv）。5.1聚合函数的比较静态。现在，让我们在例2.1（i）和（ii）中研究不同聚合函数的系统风险度量，参见Chen、Iyengar&Moallemi（2013）和Kromer、Overbeck&Zillch（2016）。（i） 全系统利润和损失：一个简单的例子是聚合函数∧和（x）：=nXi=1xi，其中xi被解释为财务公司i的利润；当然，负利润并不意味着亏损。利润只是在实体之间加总。因此，该系统就像一个投资组合，在不同的资产中多样化。

对于∧sum的选择，示例2.1（i）和（ii）中的两种聚集机制对资本水平不敏感或敏感，都是相同的。（ii）全系统损失：另一个聚合函数只关注道琼斯指数nside，而不关注上行风险：∧损失（x）：=nXi=1-十、-陈、艾扬格和莫阿莱米（2013）的例子1；Kromer、Overbeck&Zillch（2016）的例子3.4，Chen、Iyengar&Moallemi（2013）的例子2；Kromer，Overbeck&Zillch（2016）第1组资本要求1 2 3 4 5 6 7 8 9 10第2组资本要求系统中的示例3.5，-Yloss，+Yexp，-Yexp，+图4：不同聚合函数的资本要求比较1组资本要求0。6 0.7 0.8 0.9 1.1 1.2第2组资本要求0。60.70.80.91.11.2YsumYloss，-Yloss，+Yexp，+图5：区间[0.6,1.2]上不同聚合函数的资本要求比较，其中z-:= 麦克斯(-z、 0）。与前一个例子中的∧sum不同，该聚合函数不允许一家可盈利企业补贴陷入困境的企业的损失。对于∧损失，示例2.1（i）和（ii）中的聚集机制不同。（iii）指数损失：聚合函数∧exp（x）：=nXi=1[1- exp（2x）-i） ]只关注下行风险，但非线性累积损失。如果监管机构倾向于多个小损失，而不是一个大损失，则可以使用它。然而，它将为实体拆分为多个子实体提供监管激励。对于∧表达式，示例2.1（i）和（ii）中的聚集机制不同。在数值案例研究中，我们现在将说明资本要求如何取决于聚合函数∧和∧损失和∧经验的选择。为简单起见，我们假设n=100，即x=（Xi）i=1，。。。，100是具有对数正态边距和高斯copula的随机向量，即Xi~ exp（u+σNi）+b，i=1。

，100，其中N=（Ni）i=1，。。。，100是高斯分布，标准化边缘和80%的共同成对相关性。我们确定σ=1，并选择u和b，使每个实体的最大损失为- 1.发生损失的边际概率为25%；这对应于b=-1和u=Φ-1(0.75) ≈ 0.6745，其中Φ是标准正态分布的累积分布函数。高斯copula不应被视为一种现实选择。它为不存在尾部依赖的潜在因素提供了一个模型。正如我们将看到的那样，系统性互动会产生整体风险。这100家金融公司被分为两个对称组，每组50家。我们假设一组企业的资本水平是相等的，即我们选择函数G（k，k）=（k，k，…，k |{z}，k，k，…，k |{z}）T，与例2.1（iv）类似。我们现在可以指定五个CVM，它们捕捉三个聚合函数和两个聚合机制的随机结果，对资本水平k敏感（用+）或不敏感（用+）标记（标签）=kk:Ysum（k）=∧和（g（k）+X）=∧和（X）+50·（k+k）Yloss，-（k） =损耗（X）+50·（k+k）Yloss，+（k）=∧损耗（g（k）+X）Yexp，-（k） =λexp（X）+50·（k+k）Yexp，+（k）=∧exp（g（k）+X）作为我们数值案例研究的最后一个组成部分，我们需要指定一个关于标量货币风险度量的接受标准。下面我们讨论的定性结果与例2.8（i）中描述的任何选择都非常相似。例如，让我们取一个移位的（因此较少保留的）优化确定性等价物。

定义ρOCE根据例2.8（i）（c）中的u（x）=log（x+1），我们设置了适当的可积随机变量M:ρ（M）=ρOCE（M）- 10，Kromer，Overbeck&Zillch（2016）中的示例3.6第1组资本要求05 10 15 20 25 30 35 40 45 50第2组资本要求SQTT=10%；qTT=10%；qTT=10%；qTT=10%qTT=90%；qTT=35%；qTT=35%；qTT=4%qTT=90%；qTT=50%；qTT=30%；qTT=3%qTT=100%；qTT=9%；qTT=9%；qTT=9%图6：示例5中网络场景A1-A4的资本要求和EAR的比较。3并根据风险度量ρ的可接受集确定可接受性，即A={M|η ∈ R:η+E[log（M- η + 1)] ≥ -10}.图4显示了第一组中每家公司的资本要求与第二组中每家公司的资本要求。由于集团的对称性，资本分配在45%左右是对称的o线这张图表展示了几个要点。首先，如果聚合机制对资本水平（-）不敏感，由于标量风险度量ρ的现金不变性，系统风险度量边界上的最小资本分配形成了一个超平面——在两个维度上：一条线。第二，指数加总对资本水平不敏感（Yexp，-) 他通常非常保守。相比之下，对资本水平敏感的指数聚合（Yexp，+）允许资本显著减少。如果考虑整个系统的损失，这种影响就会逆转。在这种情况下，对资本敏感的聚合（Yloss，+）比对资本不敏感的聚合（Yloss，+）更保守，-), 如图5所示，该图绘制了零件[0.6,1.2]，并放大至图4。这可以理解如下。对于整个系统的损失，资本基本上提供了线性缓解。然而，如果在加总之前增加资本，由于削减系数为零，一小部分资本可能会被忽略。

正式地说，伊洛斯+≤ 伊洛斯，-. 这意味着，与对资本水平不敏感的加总相比，对资本水平敏感的加总会导致更保守的系统性风险度量。指数聚合函数将损失聚合为超线性，这意味着在聚合之前添加资本（Yexp，+）比在聚合之后添加资本（Yexp，+）能提供更多的缓解，-), 只要每个国家的资本水平不太低。第三点是，对于Yloss和Yexp这两种聚合机制，一个集团的资本水平降低到某个水平以下，不能再通过增加另一个集团的资本来实现。对于这两种聚合功能，在聚合机制中都会减少利润，从而防止上行风险对随机结果产生影响。这限制了交易的可能性。5.2网络模型的比较静态。其他示例f或可计算的系统风险度量是最初由Eisenberg&Noe（2001）提出的金融网络模型。如例2.1（iii）所述，我们考虑n+1代理系统{0，1，2，…，n}。实体1，2，n是金融机构，实体0是社会。金融机构被赋予资本金=（k，k，…，kn）T∈ Rn，以及流动资产X=（X，X，…，Xn）和非流动资产S=（S，S，…，Sn）T的随机数。在一个周期的经济中，它们的价值在T=1时显示。继Cifuntes、Shin&Ferrucci（2005）之后，我们假设代理人在时间t=1后立即清算的双边债务协议网络中相互关联。由此产生的付款是流动资产的转移。如果管理层没有持有足够数量的流动资产，她必须出售部分非流动资产的持有。这会引发价格影响。

Awiszus&Weber（2015）对综合模型进行了数学分析，其中包括当前示例作为特例。让我们简要地解释一下清算机制的机制。代理可以是网络中其他代理的债权人或债权人。我们用“pij”表示代理人i对代理人j的名义负债≥ 0.设置“pii=0”，我们定义责任矩阵∏=（“pij）i，j=0,1，。。。，n、 因此，代理人i的名义负债总额为“pi=nXj=0”pij。因此，经济体中代理人的总负债由“p=（”pi）编码∈ Rn+1+。相对性定义为aij=（\'pij\'pi，\'pi>0,0，\'pi=0。我们设置A=（aij）i，j=0,1,2，。。。，如果π>0，则nwithPjaij=1。代理人i=1，2，如果没有足够的资金，n可能会拖欠其承诺的付款'pi；该协会，即代理人0，将不会违背其任何义务。在违约的情况下，义务部分被履行。如果没有代理人持有非流动资产，清算机制将按照艾森伯格和诺埃（2001）的描述进行。如果持有非流动资产，且流动资产不足以支付金融债务，则将出售非流动资产以获得必要的资金。这将触发非流动资产价格的下降，该价格由反向需求函数f:R捕捉+→ R++，将数量映射为每股价格。以下假设保证了平衡点的唯一性。假设5.1。投资需求函数f:R+→ R++是非递增的，并且是y∈ R+7→yf（y）是严格递增函数。调整后的清算机制在Cifuntes，Shin&Fer rucci（2005）中得到了推动。我们参考这些文件，更详细地讨论其经济意义。让x，s∈ Rn+分别表示金融机构持有的流动资产和非流动资产。

我们计算实际支付或结算向量p（x；s）∈ Rn+1+和隐含清算价格π（x；s）∈ 流动资产的R+作为以下定点问题的解决方案：pi（x；s）=pi∧nXj=0pj（x；s）aji+xi+π（x；s）si, i=1，2，n（10）π（x；s）=fnXi=1π（x；s）“圆周率- xi-nXj=0ajipj（x；s）+∧ 硅（11） 如果平衡不是唯一的，人们可以分析最大（或最小）平衡。在本文的背景下，独特性不是一个关键问题。如果捐赠是严格正的，那么根据假设5.1可以证明其唯一性。阿米尼、菲利波维奇和明卡（2016）对此进行了阐述。p（x）=p。我们用（p（x；s），π（x；s））表示（10）和（11）的唯一固定点。Eisenberg&Noe（2001）的特殊情况在于，不将任何捐赠分配给非流动资产，即s=0∈ Rn+。对于任何代理i=0，1，2，n、 债务和权益之和由xj6=ipj（x；s）aji+xi+π（x；s）si给出，其中我们s et x=’和s=0。如果我们减去承诺的义务，我们得到ei（x；s）=Xj6=ipj（x；s）aji+xi+π（x；s）si- π，i=0，1，2，n、 （12）引理5.2。方程（12）中定义的函数在第一个分量中是非递减的、连续的，并且在Rn+×Rn+上从上到下一致有界。此外，x7→ e（x；0）是连续的。在数值案例研究中，我们通过随机网络构建了企业的双边义务。从企业i到企业j的连接概率用qij表示∈ [0, 1]. 我们为所有i设置Qi0=1和q0i=0。连接是独立采样的。连接到从i公司到j公司的抽样定向链接的债务的大小为wij，即。

如果存在链接，i对jequals wij的实际义务，否则为0:\'pij=（wij的概率为qij0的概率为1- 琪琪。由于企业本身没有责任，我们假设所有i的qii=0。为简单起见，我们在分组结构中构造所有图。假设（Tj）lj=1b是集合{1，2，…，n}的一个划分为l个群，我们假设连接概率和权重仅取决于企业所属的群；包含该协会的组是T={0}。通过稍微滥用概念，我们编写了qij=qT（i）T（j）wij=wT（i）T（j）我∈ T（i），j∈ T（j）其中，一号企业的集团标记为（一）∈ {1,2，…，l}。特例l=n是一个一般的随机图结构，例l=1（除了节点0）是一个Erd"os-Rényi随机图。我们假设同一集团内的所有金融公司的资本要求是相等的。例5.3。作为第一个例子，我们考虑两组公司的义务网络。我们假设公司不拥有任何非流动资产。由此产生的清除机制实际上如艾森伯格和诺埃（2001）所述。假设公司总数为n=100。我们假设T包含10家大型企业，其中90家为所有企业。我们比较了不同的企业之间的联系概率，这可以解释为集团内部和集团之间的义务网络密度不同。表1给出了这些概率。在所有案例研究中，以下因素都是固定的：（i）如果存在联系，大型企业相互亏欠10家，小型企业亏欠1家。大公司和小公司之间的联系规模为2。