期权定价傅里叶方法的误差分析

2022-5-7 18:49:13

期权定价的傅里叶方法中的误差分析。我们提供了当标的股票遵循指数L’evy动态时，使用傅里叶方法对欧式期权定价时所犯错误的界限。期权的价格由部分积分微分方程（PIDE）描述。将傅里叶变换应用于PIDE可产生一个普通微分方程（ODE），该方程可根据theL’evy过程的特征指数进行解析求解。然后，通过数值逆傅里叶变换，我们可以得到期权价格。我们给出了误差的界，并使用该界来设置数值方法的参数。我们分析了边界的性质，并证明了边界的最小化，以选择数值傅里叶变换方法的参数，从而有效地求解期权价格。1.简介evy流程在数学金融领域形成了一个丰富的领域。它们允许用可能不连续的动态对资产价格进行建模。一个早期且可能最著名的涉及列维过程的模型是默顿（1976）模型，它推广了布莱克和斯科尔斯（1973）模型。最近，我们看到更复杂的模型在寻找更一般的资产价格动态。此类模型的例子包括Kou（2002）模型（另见Dotsis等人（2007））、正态逆高斯模型（Barndor ff-Nielsen（1997）；Rydberg（1997）），方差伽马模型（Madan and Seneta（1990）；Madan等人（1998年），以及Carr-Geman-Madan-Yor（CGMY）模型（Carr等人（2002年、2003年））。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 18:49:16

关于金融中的跳跃过程，我们参考了Cont和Tankov（2004）（另见Raible（2000）和Eberlein（2001））。标的资产由L’evy过程驱动的欧洲期权价格是偏积分微分方程（PIDEs）的解（Nualart et al.（2001）；布里亚尼等人（2004年）；Almendral和Oosterlee（2005）；Kiessling和Tempone（2011））通过引入非局部积分项来解释资产价格的不连续性，从而推广了Black-Scholes方程。这种方法也被扩展到期权价格具有路径依赖性的情况，例如Boyarchenkoand Levendorski（2002）dHalluin等人（2004）和Lord等人（2008）。L’evy-Khintchine公式明确表示了L’evy过程的特征函数（参见Tankov（2004））。因此，可以导出相关PIDE解的傅里叶变换的精确表达式。使用反向快速傅里叶变换（iFFT）方法，可以有效地同时计算一系列资产价格的期权价格。此外，在EuropeanDate:2015年12月1日。2法比安·克罗切、朱霍·哈珀·奥拉、乔纳斯·基斯林和拉乌尔·坦波内看涨期权的情况下，可以使用Dupire（1997）提出的二元性，并有效地计算各种履约价格的期权价格。尽管Fourier方法在期权定价中很受欢迎，但对于这些方法的误差分析和相关参数的选择却鲜有研究。误差界不仅为选项的精确值提供了一个区间，而且还提供了一种选择数值方法参数的方法。这方面的一项重要工作是Lee（2004）的工作，其中考虑了一组相当普遍的模型的几个支付函数，其特征函数被假定为已知的。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 18:49:20

Feng和Linetsky（2008）提出了误差分析的框架和理论方法，并建立了期权价格近似值的多项式收敛速度。关于各种傅里叶变换相关方法中的错误，我们请读者参考Boyarchenko和Levendorski（2011），该方法通过变形复平面上的积分计数，扩展了经典傅里叶变换方法，研究了在De Innocentis和Levendorski（2014）中研究的离散监控屏障选项。在这项工作中，我们提出了一种方法来研究和界定使用FT方法计算期权价格时犯下的错误。我们还提供了一种系统的方法来选择数值方法的参数，以最小化严格的误差界限，从而保证遵守预先描述的误差容限。我们关注的是指数L'evy过程，它可能是离散的，也可能是纯跳跃的。我们的贡献是推导出一个严格的误差界，当pricingoptions处于风险中性的L’evy动力学下时，傅里叶变换方法的误差界。我们推导了一个简化的界限，该界限将支付和过程的贡献分离为一种易于处理和扩展的产品形式，该产品形式独立于极端价格和执行参数下期权价格的渐近行为。我们还证明了数值计算中存在使所提出的误差界最小化的最佳参数。将我们的工作与Lee的工作进行比较时，我们发现Lee的工作比我们的工作更具普遍性，因为他研究的过程范围更广，另一方面，我们的结果适用于更大的薪酬类别。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 18:49:23

在具有实际相关性的测试示例中，我们还发现，所给出的边界比文献中先前给出的边界产生了可比或更好的结果，且计算成本可以接受。本文分为以下几个部分：在第2部分中，我们介绍了风险中性资产定价背景下的Pideset；我们展示了用L’evy过程进行资产定价的相关PIDE的傅里叶表示，并将该表示用于衍生定价。在第3节中，我们推导了数值误差的表示，并将其分为求积和截断贡献。我们还描述了选择数值参数以获得FT方法最小误差界的方法。在第4节中，数值例子支持了这种推导，这些例子使用了相关的测试用例，包括离散和纯跳跃L’evy过程。在第5.2节中，数字后面是结论。期权定价的傅里叶方法考虑一种资产，其在t时的价格由随机过程S=（St）建模，由St=SeXt定义，其中X=（Xt）∈ 假设R是一个L′evy过程，其fft和PIDES 3jump测度νsatifieszr\\{0}min{y，1}ν（dy）<∞（1）假设St的风险中性动态，t=t时的价格- 带支付和到期时间T的欧式期权的τ由∏（τ，s）=e给出-rτE（G（ST）|ST-τ=s），其中r是我们假设为常数的短速率，τ：0≤ τ ≤ 是成熟的时候了。对非恒定确定性短期利率的扩展非常简单。列维过程X的最小生成元由（见Applebaum，2004）LXf（X）给出≡ 林→0E（f（Xt+h）|Xt=x）- f（x）h=γf（x）+σf（x）+ZR\\{0}f（x+y）- f（x）- y1 | y|≤1f（x）其中（γ，σ，ν）是L’evy过程的特征三元组。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 18:49:26

（St）的风险中性假设意味着（3）Z|y|>1eyν（dy）<∞并将L’evy过程的漂移项（见Kiessling和Tempone（2011））γ固定为γ=r-σ-ZR\\{0}嗯- 1.- y1 | y|≤1.ν（dy）（4）因此，X的最小生成元可以在风险中性假设下写成lxf（X）=R-σf（x）+σf（x）+ZR\\{0}f（x+y）- f（x）- （哎- 1） f（x）ν（dy）（5）将g视为原木价格中的奖励函数（即，由g（x）=g（性别）定义）。现在，将f定义为asf（τ，x）≡ E（g（XT）|XT-τ=x）然后f解出以下PIDE：(τf（τ，x）=LXf（τ，x）f（0，x）=g（x），（τ，x）∈ [0，T]×f和∏通过（6）与∏（τ，性别）=e相关-rτf（τ，x）考虑由fα（τ，x）=e定义的f的阻尼版本-αxf（τ，x）；我们看到了τfα=e-αxLXf（τ，x）。4法比安·克罗切、朱霍·哈珀·奥拉、乔纳斯·基斯林和拉乌尔·坦波涅这是傅里叶变换的不同约定。这里我们考虑算子F，使得F[F]（ω）≡ZReiωxf（x）dx（7）为函数f定义，对于函数f，前面的积分收敛。我们还使用^f（ω）作为f[f]（ω）的简写符号。为了恢复原始函数f，我们定义了逆傅里叶变换asF-1[f]（x）=2πZRe-iωxf（ω）dω我们有F-1h^fi（x）=F（x）。将F应用于Fα，我们得到^Fα（ω）=^F（ω+iα）。还可以观察到，应用于LXf（τ，x）的傅里叶变换给出了ψ(-iω）^f（τ，ω），其中ψ（·）是过程X的特征指数，满足ezXt= etψ（z）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

点击查看更多内容…

2022-5-7 18:49:29

ψ（·）的显式表达式是（8）ψ（z）=R-σz+σz+ZR（ezy）- 1.- （哎- 1） z）ν（dy）根据前面的考虑，可以得出以下结论（9）τ^fα=ψ（α- iω）^f（ω- iα）现在^f（ω）- iα）=^fα（ω），因此^fα满足以下ODE（10）τ^fα（τ，ω）^fα（τ，ω）=ψ（α- iω）^fα（0，ω）=^gα（ω）显式求解前一个常微分方程，我们得到（11）^fα（τ，ω）=eτψ（α）-iω）^gα（ω）观察到上述等式右侧的第一个因子是Ee（α）-iω）Xτ,（即，ν）(-iα- ω）），式中φτ（·）表示随机变量xτφτ（ω）的特征函数≡ E（τψ（iω））（12）现在，为了获得值函数，我们使用逆傅里叶变换，toobtain（13）fα（τ，x）=f-1h^fαi（τ，x）=2πZRe-iωx^fα（τ，ω）dω或（14）fα（τ，x）=πZ+∞热河-iωx^fα（τ，ω）idω，因为通常不可能解析地计算傅里叶逆变换，我们通过使用梯形傅里叶变换和PIDES 5求积（13）离散和截断积分域来近似它。考虑以下近似值：fα，ω、 n（τ，x）=ω2πn-1Xk=-氖-i（k+）ωx^fατ,k+ω（15）=ωπn-1Xk=0ReE-i（k+）ωx^fατ,k+ω（16）在f（τ，x）byf的近似值中，有界并因此最小化误差ω、 n（τ，x）≡ eαxfα，ω、 n（τ，x）是本文的重点，将在下一节中讨论。备注2.1。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

何人来此

2022-5-7 18:49:34

虽然我们主要关注期权定价，当支付函数可以阻尼以保证Lsense中的规律性时，我们注意到我们的主要结果自然可以扩展到包括期权的希腊人。事实上，我们通过（11）得到了thatf（t，x）=2πZRe（α）-iω）x^fα（τ，ω）dω（17），因此期权的Delta和Gamma相等（t，x）≡f（t，x）x=2πZR（α- iω）e（α）-iω）x^fα（τ，ω）dω（18）Γ（t，x）≡f（t，x）x=2πZR（α- iω）e（α）-iω）x^fα（τ，ω）dω（19）由于表达式只涉及x的偏导数，本文的结果适用于通过对支付函数的修改：gα，（ω） =^gα（ω）（α）- iω）（20）^gα，Γ（ω）=^gα（ω）（α）- iω）（21）当傅里叶空间支付函数呈现指数衰减时，引入ω中的多项式系数不会以显著改变以下分析的方式改变^g的规律性。最后，我们注意到，由于我们在x的网格上对PIDE进行分析，我们也可以在一个目标中计算期权值，并使用衍生工具的有限差分方法获得几乎没有额外影响的希腊值。2.1. 同时计算多个x值的方法评估。快速傅里叶变换（FFT）算法提供了一种高效的方法，可以同时计算x的等距网格值。Lord等人（2008年）就是考虑到这种广泛扩展的工具的例子；Jackson等人（2008年）；Hurdan Zhou（2010）和Schmelzle（2010）。类似地，我们可以将傅里叶频率ω定义为支付所依赖的某些外部参数的共轭变量。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 18:49:37

特别是，对于实际相关的6 FABI’AN CROCCE、JUHO H¨APP¨OL¨A、JONAS KIESSLING和RA¨UL TEMPONEcase看涨期权，我们可以将对数走向表示为k，将x视为常数，并写下：~fk，α（ω）≡ZRe（α+iω）kfk（x）dk（22）使用此约定，时间依赖性由fk，α（τ，x）=e（iω+α+1）xτ（ω）给出- i（α+1））（iω+α）（iω+α+1）（23）与x空间解^fk，α（τ，x）=e（iω）的对比-α+1）kаτ（ω+iα）（iω+α）（iω+α+1）（24）我们注意到，对于看涨期权支付，我们要求（23）中的α为正。忽略（23）和（24）中分别包含x和k依赖关系的指数因子，我们可以使用映射α7从（23）到（24）→ -α-1.由于这一点，很多关于x空间变换的分析以一种简单的方式推广到k空间变换。3.误差范围本节的目的是计算用fα近似期权价格f（τ，x）时的误差范围，ω、 n（τ，x），定义在（15）中。考虑（25）fα，ω（τ，x）=ω2πXk∈泽-i（k+）ωx^fατ,k+ω总误差E可分为两项之和：求积误差和截断误差。前者是（13）中的积分与（25）中的有限和近似的误差，后者是由于有限和的截断。利用三角形不等式，我们得到：=|f（τ，x）- Fω、 n（τ，x）|≤ EQ+EF（26），其中EQ=eαx | fα（τ，x）- fα，ω（τ，x）| EF=eαx | fα，ω（τ，x）- fα，ω、 n（τ，x）|观察到每个E、eqa和ef依赖于三种参数：o模型和支付的基础参数，如波动率和执行价格。我们称之为物理参数与数值格式有关的参数，如α和n.o在推导误差界的过程中引入的辅助参数。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 18:49:42

这些参数不包括在期权价格的计算中，但它们需要被适当地选择，以便有尽可能严格的界限。我们首先分析正交误差。FFT和PIDES 73.1。正交误差。用Aa表示，当a>0时，围绕实际线的宽度为2a的条带：Aa≡ {z∈ C:|Im[z]|<a}下面的定理给出了正交误差在谱速率为ω为零。在本节后面，我们将讨论更简单的条件，以验证假设，并更详细地分析当过程X是一个独立过程或存在“足够小的跳跃”时的情况定理3.1。假设a>0:H1。随机变量Xhas的特征函数是setAa的一个解析扩展- αi≡ {z∈ C:|Im[z]+α|<a}H2。gα（x）的傅里叶变换在带Aa和H3中是解析的。存在一个连续函数γ∈ L（R）这样^fα（τ，ω+iβ）< γ（ω）表示所有ω∈ R和所有β∈ [-a、 a]那么正交误差的范围是eq≤ eαxMα，a（τ，x）2πe2πa/ω- 1.其中Mα，a（τ，x）由Mα给出，a（τ，x）：=xβ∈{-a、 a}ZRE-i（ω+iβ）x^fα（τ，ω+iβ）dω（27）Mα，a（τ，x）等于函数ω7的哈代范数（定义见（28））→ E-i（ω+iβ）x^fα（τ，ω+iβ），它是有限的。定理3.1的证明是Stenger（1993）中定理3.2.1的一个应用，为了便于阅读，我们包含了相关部分。使用Stenger（1993）中的表示法，HAais是函数族w，在Aa中是解析的，因此（28）| | w | HAa:=limε→0ZAa（ε）|w（z）|d|z |∞a（ε）=Z∈ C:|Re[z]|<ε，|Im[z]|<a（1）- ε)引理3.2（Stenger（1993）中的定理3.2.1）。让我们∈ HAa，然后定义：I（w）=ZRw（x）dx（29）J（w，h）=hNXj=-Nw（jh）（30）ζ（w，h）=I（w）- J（w，h）（31）8法比安·克罗切、朱豪·哈珀·奥拉、乔纳斯·基斯林和拉乌尔·坦波内坦|ζ（w，h）|≤E-πah | | w | | HAa2sinhπ啊（32）定理3.1的证明。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

何人来此

2022-5-7 18:49:46

首先观察H1和H2意味着函数w（z）=e-伊克斯+ω/2^fα（τ，z+ω/2）在Aa中是解析的。H3允许我们使用支配收敛定理来证明| | w | | HAais fine并与Mα，a（τ，x）重合。应用引理3。2.证明已完成。关于定理3.1的假设，接下来的命题提供了更简单的条件，分别表示H1和H2。提议3.3。如果α，a和ν是（33）Zy>1e（α+a）yν（dy）<∞ 安齐<-1e（α）-a） yν（dy）<∞然后，定理3.1中的H1被填满。证据通过φ（·）表示X的特征函数，我们想证明z7→ψ（z+αi）在Aa中是解析的。考虑到ψ（z+αi）=eψ（iz-α）证明的唯一重要部分是验证（34）z 7→Zp（z，y）ν（dy）在Aa中是解析的，其中p:Aa×R→ C由p（z，y）=ey（iz）给出-α)- 1.- （哎- 1）（伊兹）- α）为了证明这一事实，我们证明了我们可以应用主要结果和唯一的定理Emin Mattner（2001），在给定测度空间的情况下(Ohm, A、 u）和开子集G C、确保f（·ω）du（ω）的分析性，前提是f:G×Ohm → C满意度：f（z，·）是所有z的A-可测量值∈ Gf（·ω）是所有ω的全息图∈ Ohm; andR | f（·ω）| du（ω）是局部有界的。在我们的例子中，我们认为测度空间是R，具有Borelσ-代数和Lebesgue测度，G=Aa和f=p。很明显，p（x，·）是Borel可测的，p（·，y）是全纯的。还有待验证Z 7→锆*|p（z，y）|ν（dy）是局部有界的。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 18:49:49

为此，我们假设Re[z]<b（并且，由于z∈ Aa，Im[z]<a），并在|y |>1和0<|y |中拆分积分域≤ 1证明两个积分一致有界。关于| y |>1中的积分，我们观察到（35）| p（z，y）|≤ y<y时的ey（α+Im[z]）+1+（ey+1）（α+a+b）-1我们有ey（α+Im[z]）<ey（α-a）而对于y>1，我们有ey（α+Im[z]）<ey（α+a）。利用前面的边界和假设，以及（1）和（3），我们得到了需要的边界。对于0<| y |中的积分≤ 1，注意，表示f（z，y）=| p（z，y）|，对于每个z，我们有，f（z，0）=0，yf（z，0）=每z为0，且|yyf（z，y）|<c代表z∈ Aa，Re[z]<FFT和PIDES 9b，|y |<1。从这些观察结果中，我们得到了y7的一次麦克劳林多项式→ f（z，y）对于每个z都是空的，我们可以用余项约束f（z，y），在我们感兴趣的区域中，余项以cy为界，得到（36）Z0<| y|≤1 | p（z，y）|ν（dy）≤cZ0<| y|≤1yν（dy），这是由关于ν的假设确定的，它完成了证明。提议3.4。如果对于所有b<a，函数x7→ eb | x | gα（x）在L（R）中，然后在OREM 3.1中充满H2。证据该证明直接应用了里德和西蒙（1975）的定理IX.13我们现在将注意力转向一类更受限制的征税程序。也就是说，使得σ>0或存在λ的过程∈ （0,2）使得（37）中定义的C（λ）严格为正。对于这类过程，我们可以用特征三元组来明确说明我们的主要结果。给定λ∈ （0,2），定义C（λ）为（37）C（λ）=infκ>1（κλZ0<y |<κyν（dy）），观察C（λ）≥ 0，根据我们对跳跃度量的假设，C（λ）是有限的。此外，如果λ∈ （0，2）是这样的：（38）lim inf↓0λZ0<| y|<yν（dy）>0，然后C（λ）>0。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 18:49:54

要了解这一点，请注意（38）意味着如此≤(λZ0<| y|<yν（dy））>0If< 1.注意这一点≤≤1(λZ0<| y|<yν（dy））≥Z0<| y|<yν（dy）>0对于第一个不等式，考虑到λ≥ 积分随着. 结合之前的两项研究并考虑|κ|=我们得到C（λ）>0。此外，我们注意到，对于跳跃强度有限的L’evy模型，如满足我们第一个假设的Black-Scholes和Merton模型，所有λ的C（λ）=0∈ (0, 2).定理3.5。假设：α和a是（33）成立的；^gα∈ L∞Aa；对于某些λ，σ>0或C（λ）>0∈ (0, 2). 然后，正交误差以等式为界≤ eαx~Mα，a（τ，x）2πe2πa/ω- 1.10法比安·克罗切、朱霍·哈珀·奥拉、乔纳斯·基斯林和拉乌尔·坦波涅，其中（39）Mα，A（τ，x）=Xc∈{-1,1}ecaxeτψ（ca）|^gα（ca）|ZRe-τσω+|ω|2-λC（λ）1 |ω|>1dω此外，如果σ>0，我们有（40）~Mα，a（τ，x）≤√2πσ√τXc∈{-1,1}ecaxeτψ（ca）| gα（ca）|证明。考虑hα，由（41）hα定义的a（τ，x，ω），a（τ，x，ω）=Xc∈{-1,1}E-i（ω+ica）x^fα（τ，ω+ica）对于β，我们有mα，a（τ，x）=ZRhα，a（τ，x，ω）dω∈ (-a、 a:（42）E-i（ω+iβ）x^fα（τ，ω+iβ）= eβx^fα（τ，ω+iβ）= eβxeτψ（α+β）-iω）| ^gα（ω+iβ）|对于包含特征指数的因子，我们有（43）eτψ（α+β）-iω）= eτRe[ψ（α+β）-现在，观察re[ψ（α+β- iω）＝（α+β）R-σ+σ(α + β)- ω+ZR\\{0}e（α+β）ycos(-yω）- 1.- （α+β）（ey）- 1)ν（dy）（44）If |ω|≤ 1.我们去了cos(-yω）乘以1，gettingRe[ψ（α+β- iω）]≤ (α + β)R-σ+σ(α + β)- ω+ZR\\{0}e（α+β）y- 1.- （α+β）（ey）- 1)ν（dy）=ψ（α+β）-σω（45）FFT和PIDES 11假设|ω|>1。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 18:49:57

用它来表示|x |<1，它认为cos（x）<1-x/4，我们可以用以下方式限定积分的第一项：ZR\\{0}e（α+β）ycos（yω）ν（dy）≤Z0<|y |<1/|ω| e（α+β）y1.- ωy/4ν（dy）+Z|y|≥1/|ω| e（α+β）yν（dy）≤ZR\\{0}e（α+β）yν（dy）-|ω|2-λ|ω|λZ0<|y |<1/|ω| yν（dy）≤ZR\\{0}e（α+β）yν（dy）-|ω|2-λC（λ）（46）将（46）插入到（44）中，我们得到[ψ（α+β- iω）]≤ (α + β)R-σ+σ(α + β)- ω+ZR\\{0}e（α+β）y- 1.- （α+β）（ey）- 1)ν（dy）-|ω|2-λC（λ）=ψ（α+β）-σω-|ω|2-λC（λ）考虑到前面的考虑，在R中对ω积分，我们得到（39）。最后，观察C（λ）≥ 0并以0为界，通过计算积分得到界（40）。备注3.6。在看涨期权的情况下，假设H2暗示了条带宽度参数a和阻尼参数α之间的依赖关系。我们知道，当且仅当α>1时，看涨期权的阻尼收益在L（R）中，因此，适当的裂缝宽度参数选择由0<a<a给出- 1.对于看跌期权的情况，一个类似的论点成立，对于看跌期权，傅里叶变换的阻尼付息与看跌期权相同，区别在于α<0。在这种情况下，我们需要-α.二元期权的支付具有有限支持（G（x）=1[x-,我们可以设置任何∈ R（即，根本不需要阻尼，即使选择了这种阻尼，也不会影响a的适当选择）。备注3.7。我们为正交误差提供的界自然是正的，并且在ω. 它以光谱速率衰减为零ω减小到0.3.2。频率截断误差。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 18:50:00

频率截断误差由ef=eαx给出ωπ∞Xk=nReE-i（k+）ωx^fατ,k+ω12 FABI’AN CROCCE、JUHO H¨APP¨OL¨A、JONAS KIESSLING和RA’UL TEMPONEIf A函数c:（ω，∞) → (0, ∞) 满意度（47）重新E-i（k+）ωx^fατ,k+ω≤ Ck+ω对于每一个自然数k，我们就有了它≤eαxωπ∞Xk=n重新E-i（k+）ωx^fατ,k+ω≤eαxωπ∞Xk=nck+ω此外，如果c是一个非增凹可积函数，我们得到（48）EF≤eαxπZ∞Nωc（ω）dω当^gα∈ L∞[ω,∞)σ>0或C（λ）>0，那么（47）中的函数C可以变成（49）C（ω）=k^gαkL∞[ω,∞)eτψ（α）e-τσω+|ω|2-λC（λ）1 |ω|>1为了证明这个函数满足（47），我们可以使用我们在定理3.5的顶部发现的相同界限，β=0，得到[ψ（α- iω）]≤ Ψ (α) -σω-|ω|2-λC（λ）1 |ω|>1从这里得到的结果很简单。3.3. 注定会犯完全错误。在本节中，我们总结了在不同假设下获得的误差范围，并分析了它们的中心性质。一般来说，本文给出的界的形式为（50）E=Eαxπ\'Me2πa/ω- 1+Z∞Nωc（ω）dω其中M是Mα的上界，a（τ，x）定义在（27）中，c是非递增的、可积的和可满足的（47）。M和c可能取决于模型参数和艺术参数，但它们独立于ω和n。通常可以消除某些参数的依赖性，简化表达式，但获得不太紧的界限。在分析束缚态的行为时，我们可以观察到，当ω变为0。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 18:50:03

如果n，第二项为零ω发散，但如果没有进一步的假设，我们无法确定收敛速度。一旦获得了误差界的表达式，就出现了如何选择数值方法的参数来最小化误差界的问题，假设一个人愿意使用一个约束条件。数值方法的计算效果仅取决于n。因此，我们旨在找到FFT和PIDES 13使固定n的界限最小化的参数。以下结果表明，所获得的界限，作为ω、具有唯一的局部最小值，即全局最小值。提案3.8。固定α、a、n和λ，并将界E视为ω.存在一个最优解ω*∈ [ωn，∞) 使得E在（ωn）中减少，ω*) 并不断增加(ω*, ∞); 因此，E的全局最小值在ω*.此外，最佳的ω是ω 7→ p（n）ω、 b）-c（n）ω），带有（51）中定义的p，改变符号，或ω=ωnif p（ω，b）- c（ω）>0。证据让我们通过调用y=n来简化表示法ω、 b=2πanE=πE-αxE。我们想证明y的存在*: Y*≥ ω使得ω<y<y时，E（y）减小*并且随着y>y而增加*. 我们有)E（y）=Meb/y- 1+Z∞yc（ω）dω。第一项相对于y是可区分的，如果y的话，则为0→ 0+. 这允许我们将其表示为其导数的积分。然后，我们可以将E（y）表示为E（y）=E（ω）+Zyωb′Meb/ωeb/ω- 1.ω- c（ω）！d（ω）上一个等式右侧的第一项是常数。现在我们继续证明被积函数随着y的增加而增加，如果y大，则为正。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 18:50:07

用（51）p（y，b）=b’Meb/y表示eb/y- 1.考虑到c是可积的，我们可以计算c中被积函数的极限∞, 获得利米→+∞p（y，b）- c（y）=Mb>0让我们证明，对于所有的b>0，p（y，b）都随着y增加，这使得p（y，b）- c（y）也随y增加。p对y的导数如下所示：yp（y，b）=b’Meb/y（b/y）eb/y- 2eb/y+b/y+2Yeb/y- 1.其中分母和分子中的第一个因子明显为正。为了证明剩余因子也是正的，观察xex- 如果x>0，则2ex+x+2>0。3.4. 明确的错误界限。对于某些λ，当σ>0或C（λ）>0时∈ （0，2）我们可以给出（50）的一个显式版本。用（49）中给出的函数替换定理3.5和c中定义的M，我们得到=EQ+EF（52）14 FABI’AN CROCCE、JUHO H¨APP¨OL¨A、JONAS KIESSLING和RA¨UL TEMPONEwhereEQ=Xc∈{-1,1}eαxecaxeτψ（ca）|^gα（ca）|πe2πaω- 1.ZRe-τσω+|ω|2-λC（λ）1 |ω|>1dω（53）EF=eαxπk^gαkL∞Reτψ（α）Z∞Nωe-τσω+|ω|2-λC（λ）1 |ω|>1dω（54）这再现了Feng和Linetsky（2008）中定理6.6的基本特征，可以通过替换k^gαkL进一步改进界（54）∞Rby k^gαkL∞[n]ω,∞).备注3.9。观察正交误差和截断误差的界限由一个完全取决于支付的因素和另一个取决于资产动态的因素的乘积给出。这一特性使得在不同的资产价格动态下评估特定期权的界限变得容易。在第4小节。4.我们分析了与支付函数有关的条件，这些条件适用于所有期权的特定情况。备注3.10。从（53）中可以明显看出，解析函数的梯形规则的指数收敛速度由被转换函数为解析函数的条带的宽度决定。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

大多数88

2022-5-7 18:50:10

因此，在小误差公差的限制下，希望设置尽可能大的误差，以获得最佳速率。然而，非交感误差公差通常与实际相关，在这些情况下，最优速率和常数项| gα|之间的权衡变得非常重要。作为一个例子，对于默顿模型的特殊情况，我们知道a的任何有限值都可以。然而，这种谱收敛速度的提高被常数项中的发散所补偿。在某些情况下，（53）和（54）中的积分可以用解析法计算，也可以用一个封闭形式的表达式从上面限定。例如，考虑具有有限跳跃强度的耗散模型。这些模型的特点是σ>0，C（λ）=0。因此，积分可以用累积正态分布Φ：ZRe表示-τσωdω=r2πτσ，（55）Z∞e-τσωdω=r2πτσ1.- Φ√τσ（56）现在我们考虑纯跳跃过程（即σ=0）的情况，对于某些λ满足条件C（λ）>0∈ (0, 2). 在这种情况下，积分可以用不完全伽马函数γ来表示。首先，让我们定义辅助积分：I（a，b）≡ E-a+a-bγb、 a对于a，b>0。利用这个积分，积分变成：（57）ZRe-τ|ω|2-λC（λ）1 |ω|>1=21+IτC（λ），2- λFFT和PIDES 15（58）Z∞e-τ|ω|2-λC（λ）1 |ω|>1=我τC（λ），2- λ+ 1.- <1Iτ2-λC（λ），2- λ ≥ 1 Carr等人（2002年、2003年）提出的CGMY模型是之前分析工作的一个过程示例，该模型适用于Y>0的状态。最后，当C（λ）和σ都为正时，（53）和（54）中的积分可以用一个更简单的表达式来限定。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 18:50:13

考虑相同积分的以下两个辅助边界，其中≥ 1:Z∞e-τσω+|ω|2-λC（λ）dω≤ E-τσZ∞e-τ|ω|2-λC（λ）dω（59）=e-τσIτ2-λC（λ），2- λZ∞e-τσω+|ω|2-λC（λ）dω≤ E-τ2-λC（λ）Z∞e-τσωdω（60）=r2πτσe-τ2-λC（λ）1.- Φ(√τσ)我们得到了b（），定义为之前两个方程的右手边的最小值，b（）=min（e-τσIτ2-λC（λ），2- λ,r2πτσe-τ2-λC（λ）1.- Φ√τσ)是积分的一个界。记住这一点，我们必须-τσω+|ω|2-λC（λ）1 |ω|>1dω≤ 2Φ√τσ- 1+2b（1）（61）和Z∞e-τσω+|ω|2-λC（λ）1 |ω|>1dω≤b（）（62）前提是≥ 1.4. 边界的计算和最小化在本节中，我们使用文献中已知的实际模型给出了上一节中给出的边界的数值例子。我们使用耗散过程和纯跳跃过程来衡量界的紧密性，并将其与真实误差进行比较。我们还证明了使用边界表达式作为选择傅里叶反演数值参数的工具的可行性。16法比安·克罗切、朱霍·哈珀·奥拉、乔纳斯·基斯林和拉乌尔·坦波涅4。1.方差伽马模型中的看涨期权。方差伽马模型提供了一个测试用例，用于在纯跳跃设置中评估边界。我们注意到，在给出的两个数值例子中，σ=0和c（λ）=0表示0<λ<2，这表明定理3.5尤其不适用。VG模型的L′evy度量由以下公式给出：νVG（dy）=dyy> 0Ke-η+yy- 1y<0Keη-yyMadan等人（1998）的公式（7）给出了相应的特征函数：ητ（ω）=1.- iθχω+σχ-τχK=χ-1η-=rθχ+σν-θχ!-1η+=rθχ+σν+θχ！-1通过命题3.3我们得到a<min{η-- α、 η++α}（63），结合gα的要求∈ L（R）（参见注释3.6），意味着：a<min{η+- α, η-+ α, α - 1} （64）a<min{η+- α, η-+ α, -α} 分别用于看涨期权和看跌期权。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

大多数88

2022-5-7 18:50:18

我们注意到（13）中积分的计算对于α也是可能的∈ （0,1）和α<0。事实上，积分计数和看跌期权奇偶性之间存在对应关系。α<0的积分会产生看跌期权价格，而不是看涨期权价格。关于这一点的进一步讨论，我们参考Lee（2004）orBoyarchenko和Levendorski（2011），其中利用积分轮廓的共形变形来提高数值精度。在Lee（2004）和我们的计算中，参数等于η+=39.7840，η-= 20.2648和K=5.9311。表1给出了具体参数，并将VG模型的界限与Lee（2004）获得的结果进行了比较。根据该表，我们注意到，对于Madan等人（1998）提出的VG模型，与Lee的研究相比，我们可以达到相当或更好的误差范围。为了评估界限，我们通过依赖SciPy软件包中提供的克伦肖-柯蒂斯求积方法，对（27）和（48）进行积分。为了补充表1中的大范围n，我们给出了与图1中的真实误差相比的界的大小。在图1中，我们看到傅里叶反演数值参数的选择对数值方法的误差有很大影响。人们通常无法获得真正的解决方案。因此，需要使用FFT和PIDES 171011010310优化参数-1010-810-610-4 NerrorEE2图1。在VG模型测试用例的Money选项中评估的真实错误和错误范围。到了极限。回想一下E=E（α，ω、 a，n）和E=E（α，ω、 n）分别表示真实误差和估计误差。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

大多数88

2022-5-7 18:50:21

保持正交点的数量固定，welet（α，ω、 a）和（α，ω）分别表示估计误差和真实误差的最小值（α，ω、 a）=arg inf E（65）（α，ω） =arg inf E（66）我们进一步让E和E注意到真实误差是参数最小估计值和真实误差的函数，分别为E=E（α，ω）（67）E=E（α，ω）（68）在图1中，我们看到，当优化到界而不是真实误差时，真实误差增加了大约一个数量级，转化为给定公差所需的正交点数量的两倍差异。与理论最小值相比，EAN和边界之间的差异大约是另一个数量级，并且需要其他两倍数量的正交点。在图2中，我们给出了表1中两个测试用例的傅里叶方法的真实误差。我们注意到，虽然最小化误差界限会产生次优结果，但最小化界限的数值参数是真正最优参数的良好近似值。当然，这是误差界在性质上与真实误差相似的结果，尤其是当人们离真正的最优参数越来越远时。用n和n的数值方法得到了计算真实误差的参考值ω，使精度达到10级-10.18法比安·克罗切、朱豪·哈珀·奥拉、乔纳斯·基斯林和拉乌尔·坦波涅4 6 8 10 12 16101520253035ωαn=84 6 8 10 12 14 16101520253035ωn=3210-410-310-210-图2。表1中给出的两个VG测试用例的真实误差E和界限最小配置（白圈）（α，ω）举个例子。备注4.1。在实践中，系数M中的哈代范数可简化为沿宽度2a条带的两个边界评估一个Lnorm。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 18:50:25

我们发现，出于实际目的，SciPy library提供的QUADPACK library的克伦肖-柯蒂斯求积性能非常好，能够在几分之一秒内评估边界。例如，在配备2.6 GHz Intel Core i5处理器的2014年年中Macbook Pro上，表1中的边界评估只需约0.3秒，而无需尝试优化或并行化实现，也无需检查输入健全性因素，例如对作为允许条带子集的域中的特征函数的评估。我们相信，通过优化例程，跳过输入的健全性检查，并使用较低级别的计算例程，这可以进一步优化，即使在需要大量评估时，也能保证快速性能。备注4.2。和许多其他作者一样，我们注意到FT方法的特殊保证精度，只有几十个正交点。这在一定程度上是由于欧洲期权价格的规则性。许多基于傅立叶变换的方法已经被开发用于路径相关期权的定价。为了实现的普遍性，人们可能也会尝试将这些方法用于欧洲方案，以纠正缺乏早期锻炼机会的问题。这当然可以做到，但由于规律性减弱，所需的正交点数量很容易达到数千个，即使不需要严格的误差界限。我们提出了一个比较点，即Jackson等人（2008）表2中的欧式期权定价示例，它表明了期权定价的若干正交点在数千个范围内。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 18:50:30

通过介绍该方法，保证了E≈ 10-3.即使没有优化，n=64也很有效。FFT和PIDES 19K 80 90 100 110 12012τ=1α-16.9-13.8 21.6 29.10 36.3a 3.33 6.45 18.1 9.77 3.52N=32Ωmax229 229 363 363 424E 3.35×10-40.00334 0.00562 3.97 × 10-47.33 × 10-6E*6 × 10-40.0032 0.0058 6 × 10-41 × 10-412τ = 4α -13.8-13.8 22.1 23.7 29.10a 6.11 6.11 17.9 15.2 8.75N=8Ωmax62。4 42.4 84.9 126 126E 3.99×10-40.00312 0.00398 3.57 × 10-41.33 × 10-5E*1.3 × 10-30.0057 0.0055 9 × 10-41 × 10-4表1。选择示例的VGmodel中欧洲看涨期权/看跌期权的错误范围。参考结果E*来自Lee（2004）K8090100110120E2.67×10-43.49 × 10-44.43 × 10-45.52 × 10-46.77 × 10-4α -1.57-1.57-1.57-1.57-1.57Ωmax22。9 22.8 22.6 22.5 22.4E*0.34 0.26 0.21 0.17 0.13E+6.87×10-41.90 × 10-32.82 × 10-32.72 × 10-32.29 × 10-表3.2。Kou模型边界的数值性能，以Toivanen（2007）中的测试案例（另见d’Halluin等人（2005））为例，正交点的数量设置为n=32。比较的重点是E*指使用Lee（2004）第6.1至6.4章所述方法计算的相应界限。在E+中，使用计算强度更高的克伦肖-柯蒂斯求积，而不是期权价格上界呈指数衰减的渐近参数，来计算截断误差。4.2. 动态下的看涨期权。为了与上面给出的纯跳跃过程进行对比，我们还测试了Kou模型的界的性能，并在第2章中测试了相关结果。该模型与第一个例子的不同之处在于，它不仅具有耗散性，而且具有规律性，就目前的情况而言，域的最大宽度要窄得多。Kou模型中的L′evy测度由νKou（dy）=λ给出体育课-ηyy>0+qeηyy<0p+q=1。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 18:50:33

对于Toivanen（2007）中给出的特征，根据特征指数的表达式（见Kou和Wang（2004））ψ（z）=z，将值设置为λ=0.1，r=0.05τ=0.25 S=100p=0.3445，η=3.0465η=3.077520 FABI\'AN CROCCE，JUHO H¨APP¨OL¨A，JONAS KIESSLING，和RA\'UL TemponesR-σ- λζ+zσ+λpηη- z+qηη+z- 1.这很容易看出 {z∈ C:Imz∈ (-3.0465，3.0775）}这个范围比之前考虑的要窄得多。在行权空间中转换期权价格的情况下，期权价格的相关表达式以及误差范围包含一个指数因子k。这一点的实际含义是，对于资金深度看涨期权，利用看跌期权平价并计算资金深度看涨期权通常是有益的。然而，在本案中，条纹宽度不允许这种奢侈。因此，通过广泛的货币性，使界限最小化的参数几乎是相同的，这表明使用FFTalgorithm立即评估一系列期权的期权价格。4.3. 默顿模型中的二进制选项。对于默顿模型的特殊情况，L′evy测度由ν默顿（dy）=λ给出√2πσexp-（y）- rj）2σj！特征指数由ψ（z）默顿=z表示R-σz+σz+λezrj+σjz- 1.- Zerj+σj- 1.我们可以对相关积分采用快速半闭形式求值，而不是采用求积方法。我们选择默顿模型作为例子来说明这种模型的数值方法的误差。这些参数取自安徒生和安德烈森（2000）标准普尔500指数的估计参数：S=100，λ=0.089，σ=0.1765，r=0.05，rj=-0.8898，σj=0.4505在图3中，我们给出了默顿模型的界和真误差，以证明另一耗散模型的界。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 18:50:36

提供的选项是一个二进制选项，在[95105]上有明确的支持；不需要或不使用阻尼。我们注意到，就像上面提到的纯跳跃模的情况一样，我们的界再现了真实误差的定性行为。通过优化边界得到的配置非常接近真实误差。这种行为在最实际的范围内是一致的。4.4. 看涨期权。在第3.4小节中，提供了约束E的明确表达式。为了评估这些界限，有必要计算k^gαkL∞兰德k^gαkL∞Aa。根据Mark 3.9，一旦我们计算出这些值，我们就可以对任何模型使用它们，前提是它们满足此处考虑的条件。或许最实际的相关收益是看涨期权。考虑人：g（x）=（性别）- K） +=Sex公司- 埃克+FFT和PIDES 210 10 20 30 40 5010-910-710-510-310-1 NerrorEE110 20 30 40 50 6012345nω10-710-610-510-410-310-210-1图3。耗散默顿模型的真误差E和界E，对于一系列正交点n，以及与真误差相对应的最小界配置。因此，需要选择阻尼参数α>0，以使阻尼payoff在L（R）中，并确保傅里叶变换的存在。在这种情况下，我们有^gα（ω）=SZRexp（（1- α+iω）x）- exp（k+（iω）- α） x）dx（69）=Sexp（1- α+iω）k）（1+iω- α）（iω）- α）（70）和| gα（ω）|=Se2（1）-α） k（α+ω）(1 - α)+ ω（71）很容易看出，前面的表达式随着|ω|的增加而减少。这个yieldsk^gαkL∞R=|gα（0）|=Se（1）-α） kα- α（72）和k^gαkL∞[,∞)= | ^gα（）|（73）在复杂平面的条带中|gα|的最大化更微妙。表示^gα（η，ρ）=^gα（η+iρ），我们寻找满足η| gα|=0。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

何人来此

2022-5-7 18:50:41

这就是4η+2η4ρα + 2α- 2ρ - 2α + ρ+ 1= 0.（74）对于ρfixed，|gα|在最多三个点处对η有一个消失导数。在导数的三个根中，只有η=0的根是局部最大值，这给了我们调用选项k^gαkL的最大值∞Aa=supρ∈[-a、 a]| gα（0，ρ）|（75）22法比安·克罗切、朱霍·哈珀·奥拉、乔纳斯·基斯林和拉乌尔·坦波诺观察到| gα（0，ρ）|是ρ的可微分实函数，其导数由以下二次多项式给出：p（ρ）≡ Kρ + α - 2ρα - α- ρ- 2α - 2ρ+1（76）我们得出结论：k^gαkL∞Aa=最大ρ∈B{| gα（0，ρ）|}（77），其中B是由a组成的不超过四个元素的集合；-A.而p的真正根源在于(-a、 a）。备注4.3。到目前为止，我们假设正交点n的数量为常数。然而，在实际应用中，情况往往并非如此。通常，用户可能希望选择一个最小的n，该n足以保证误差在预先定义的误差容限内。在这种情况下，我们提出了以下非常简单的方案来优化数值参数，并选择合适的n来满足小于:（1）选择n=nand optimize以查找相关配置（2）查看EQ+EF<, 如果不是，从预先确定的递增序列n=NJ中选择n，增加n，并重复该过程。特别是在使用FFT算法计算傅里叶变换时，我们提出了j=2jn。我们进一步注意到，nj+1正交点优化配置的最佳配置通常与优化nj边界的配置没有太大差异。5.结论我们将指数L’evy模型资产定价所需的傅里叶逆变换数值评估中的误差分解为截断误差和正交误差。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 18:50:44

对于一大类指数L’evy模型，我们给出了一个∞-注定要出错。误差界与Lee（2004）中提出的早期工作不同，因为它不依赖于极端敲打或期权价格下期权支付的渐近行为，允许对各种非标准支付函数进行定价，如Suh和Zapatero（2008）中的函数。然而，边界并没有考虑路径相关选项。我们认为，允许评估美国、百慕大或Knockoff选项的方法的错误要复杂得多，产生的错误要大得多，因此在性能重要的实施中，如校准，对于欧式期权，使用美式期权定价方法是不合理的。该界限还提供了一个通用框架，在该框架中，截断误差使用求积方法进行评估，无论期权价格函数的渐近行为如何，求积方法都保持不变。界限的结构允许模块化实现，将系统动态和支付产生的误差分量分解为一大类模型（包括所有耗散模型）的乘积形式。在选定的例子中，我们还展示了与相关比较点相比的性能。FFT和PIDES 23我们重点研究了界的最小化，作为最小化数值误差的代理。这样，对于给定的模型参数化，我们可以得到一个严格的L∞在解决欧式期权价格问题上犯下的错误注定要失败。我们已经证明，这个界再现了实际误差的定性行为。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 18:50:47

这支持了以最小化边界的方式选择数值参数的论点，证明了这种选择除了保证数值精度外，还将与实际的最小化配置相结合，而实际的最小化配置往往无法以可接受的计算成本实现。该界限可用于为给定的一组物理和数值参数的期权价格的数值估计建立严格误差界限的原始设置中，或作为数值方案的一部分，由此最终用户希望在单个点上或在达到预定误差容限的域中估计期权价格。将来，所给出的误差范围可用于需要对傅里叶变换进行多次评估的工作中。这类应用的例子包括多维傅里叶变换（可能在稀疏张量网格中），以及用于美国和百慕大选项的时间步算法。这类应用对所使用的误差范围非常敏感，因为任何数值格式都需要多次运行，无论是高维还是多个时间步（或两者兼而有之）。确认H–app–ol–a、Croce是成员，Tempone是KAUST不确定性量化战略研究发起人。我们要感谢一位匿名审稿人的评论，他们的评论显著提高了手稿的质量。7.利益声明作者报告没有利益冲突。只有作者负责论文的内容和写作。参考Almendral，A.和Oosterlee，C.W.（2005），“基础跳跃期权的数值估值”，应用数值数学53（1），1-18。Andersen，L.和Andreasen，J.（2000），“跳跃扩散过程：波动率微笑和期权定价的数值方法”，衍生品研究综述4（3），231–262。阿普尔鲍姆，D。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 18:50:51

（2004），《列维过程与随机微积分》，剑桥高等数学研究第93卷，英国剑桥。Barndor ff-Nielsen，O.E.（1997），“正态逆高斯分布和随机波动率建模”，斯堪的纳维亚统计杂志24（1），1-13。Black，F.and Scholes，M.（1973），《期权定价与公司负债》，政治经济学杂志，第637-654页。Boyarchenko，S.和Levendorski，S.（2011），“fourier transformmethod在期权定价应用中的新有效版本”，可在SSRN 1846633.24 FABI\'AN CROCCE，JUHO H¨APP¨OL¨A，JONAS KIESSLING，和RA\'UL TEMPONEBoyarchenko，S.和Levendorski，S.（2002），“指数型常规l\'evy过程下的障碍期权和触出期权”，应用概率的年鉴。1261–1298.Briani，M.，Chioma，C.L.和Natalini，R.（2004），“金融理论中产生的积分微分退化抛物问题粘性解的数值模式的收敛性”，Numerische Mathematik 98（4），607–646。Carr，P.，Geman，H.，Madan，D.B.和Yor，M.（2002），“资产回报的精细结构：实证调查”，《商业杂志》75（2），第305-333页。Carr，P.，Geman，H.，Madan，D.B.和Yor，M.（2003），“l’evyprocess的随机波动性”，数学金融13（3），345–382。Cont，R.和Tankov，P.（2004），《带跳跃过程的金融建模》，查普曼和霍尔/CRC金融数学系列，查普曼和霍尔/CRC，博卡·拉顿，佛罗里达州因诺琴蒂斯，M.和列文多斯基，S.（2014），《在l’evy过程下离散障碍期权和信用违约掉期的定价》，量化金融14（8），1337-1365。d\'Halluin，Y.，Forsyth，P.A.和Vetzal，K.R.（2005），“跳跃扩散过程下未定权益的稳健数值方法”，IMA数值分析杂志25（1），87-112。Dotsis，G.，Psychoyios，D.和Skiadopoulos，G。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝