风险敏感基准资产管理的博弈论方法

2022-5-7 21:39:35

上述判据yieldsJT，h=E[F（T，h）]-θV ar（F（T，h））+O（θ）从这个表达式可以清楚地看出，这个标准在使投资组合收益最大化的同时使风险最大化。最优期望效用函数依赖于θ，是效用优化的传统随机控制方法的推广，即现在投资者的风险规避程度通过θ显式参数化，而不是通过外生效用函数将其引入问题。θ>0 cor的值对应于风险厌恶型投资者，θ<0对应于ris k-seeking投资者，θ=0对应于风险中立型投资者，后者最大化jt，h:=E[F（T，h）]关于有限时间范围内的遍历问题已有大量研究：max′J∞“J”在哪里∞= lim inft→∞-θt-1日志E[E]-θF（t，h）]尽管这类问题本身很有趣，但由于最优控制的非唯一性，它们不容易适用于实际的资产管理。在过去十年中，风险敏感控制在资产管理中的应用激增。Lefebvre和Montulet[12]首次将风险敏感控制应用于解决公司财务问题。Fleming[8]首次表明，一些投资优化模型可以重新表述为风险敏感的控制问题。Bielecki和Pliska[2]考虑了一个具有n个证券和m个经济因素且没有交易成本的模型。他们是最早将连续时间风险敏感控制作为实用工具应用于解决“现实世界”投资组合选择问题的公司。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

nandehutu2022

2022-5-7 21:39:39

他们考虑了一个长期资产配置问题，并提出将投资者财富的对数作为回报函数，因此投资者的目标是最大化其投资组合的风险敏感（对数）回报。在严格假设证券和经济因素具有独立噪声的情况下，他们推导了最优控制，并求解了相关的哈密顿n-Jacobi-Bellman（HJB）偏微分方程。在[3]中，Bielecki和Pliska继续研究风险敏感资产管理标准的经济属性，然后在[4]中将资产管理模型扩展为跨期CAPM。Fleming和Sheu[7]分析了一个类似于Bielecki和Pliska[2]的投资模型。然而，在他们的模型中，因子过程和证券价格过程是相互关联的。黑田东彦（Kuroda）和长井（Nagai）[11]做出了重大贡献，他们提出了一种基于测量参数变化的优雅解决方法，将风险敏感控制问题转化为二次调节器的线性指数。他们在有限的时间范围内解出了相关的HJB P DE，然后研究了与“J”相关的erg-odic HJB PDE的性质∞.最近，Davis和Lleo[6]应用这种度量方法的变化来解决有限期和无限期内的风险敏感基准投资问题（RSBAM），投资者在该问题中选择一个集合配置，以超过给定的财务基准。在黑田东彦和长井模型中，θ代表投资者对总风险的敏感性，而在RSBAM模型中，θ代表投资者对主动风险的敏感性，即投资者为了跑赢基准而愿意承担的额外风险。很明显，为了跑赢随机基准，投资者必须修改其最佳交易策略。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 21:39:43

那么，我们感兴趣的问题是：“投资者对反对仓促基准的最坏策略是什么？”？。具体来说，人们甚至可以从黄疸的角度认为，基准将追溯到最坏的情况。例如，如果一个投资组合基金经理的表现优于挫折基准，委托人可能会在最坏情况下，将其重新标记为最佳表现或较差表现。因此，在本文中，我们将在Davis和Lleo[6]的基准框架内考虑这个问题的博弈论版本。在本文中，我们考虑了两个参与者之间的随机差异，即投资者（拥有电力设施）和代表市场的第二个参与者，后者试图最小化投资者的预期收益。我们明确地描述了资产的最优配置和基准指数的最优选择。在本文中，我们考虑了根据可控扩散过程发展的事前基准过程。我们将这种方法与Heath和Platen[10]的方法进行了对比。在他们的方法论中，他们将增长最优投资组合本身作为一个更接近数字投资组合概念的基准。尽管将风险敏感型最优控制应用于金融问题已有很长的历史，但文献中缺少对这类问题的博弈论版本。我们打算现在进一步阐述这一点。在下一节中，我们简要描述了与所需博弈（P1）对应的风险敏感零和随机微分的框架（参见2.8a）。在第三节中，我们重新表述了二次调节器问题（P2）的线性指数下的客观标准（参考3.11）。在第四部分中，我们提供了一个mma验证，它将帮助我们解决这个游戏公关问题。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 21:39:47

在第五节中，我们推导了最优控制，并获得了游戏相关价值的显式表达式。这篇文章照常以评论和对未来工作方向的指示作为结束。广义而言，我们的目标是推导博弈的鞍点平衡对（P1）。为了实现这一点，我们首先获得了博弈的鞍点策略（P2）。然后我们证明了（P2）的鞍点均衡也是（P1）的鞍点均衡。2风险敏感的零和随机微分对策我们考虑了一个由m+1组成的市场≥ 2有n的证券≥ 1.影响因素。我们假设证券价格包括一种债券，其价格由O DEdSt=rtStdt，S=S（2.1）决定，其中rti是t的确定函数。其他证券价格和因素假定满足以下条件：SDE\'sdSit=Sit{（a+AXt）idt+n+mXk=1σikdWkt}，Si=Si，i=1。。。，m，（2.2）其中因子过程满足，dXt={（b+BXt）dt+dWt}，X=X∈ Rn（2.3）这里Wt=（Wt）k=1，。。。，n+mis定义在过滤概率空间上的n+m维标准布朗运动(Ohm, F、 P，Ft）。因子过程可以代表宏观经济指标，如GDP、通货膨胀和市场指数数据。股票价格动态受因素过程的调节。因此，人们可以通过使用因子过程Xt调节的股票价格预测，将宏观经济指标的影响纳入投资优化问题。模型参数A、B和∧分别为m×n、n×n、n×（m+n）常数矩阵和A∈ Rm，b∈ 注册护士。常数矩阵（σik）{i=1,2…，m；k=1,2…，（n+m）}将用∑表示，如下所示。在黑田和长井[11]中，假设因子过程和股价过程没有独立的噪声，即∑∧′6=0。这一假设与Bielecki和Pliska[2]相反，他们假设∑∧′=0。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

点击查看更多内容…

2022-5-7 21:39:50

我们假设∑∧′6=0。设Gt=σ（Su，Xu，Lγu；u≤ t）由基础股票定价过程、因子过程和基准过程Lγ到bγ生成的西格玛场，随后定义到时间t。表示总财富在ITH证券投资中的比例分配的投资策略，用hitfor i=1表示。。。，m、策略（ht，ht）0≤T≤据说这是T时代的一种投资策略。我们设置S′t:=（St，St，…，Smt）′，h′t:=（ht，…，hmt）′。控制空间H（T）由投资者的Rm值控制组成，如下所示：H（T）是{B[0，T]的集合 Gt}{t≥0}-逐步可测量的随机过程，例如PMI=1hit+ht=1，其中P（RT | hs | ds<∞) = 1. T<∞ E[eRTθh′s∑′hsds]<∞.对于给定的h∈ H（T），过程Vt=vht表示投资者在T时间T控制下的财富，并满足以下SDE动态，dVhtVht=（rt+H′T（（a+AXt）- rt1）dt+h′t∑dWt；Vh=vwhich可以重写为，dVhtVht=（rt+h′tdt）dt+h′t∑dWt；Vh=v（2.4），其中dt，a+AXt- rt1。从方程（2.4）可以看出，如果a+AXt=rt1，即dt=0，则投资组合财富过程的漂移等于无风险利率rt。我们在此假设证券价格波动矩阵∑是一个满秩矩阵。如果它不是满秩，那么对于某些h6=0，h′∑=0。因此，当h′d 6=0导致套利时，市场包含冗余资产，投资组合价值过程的增长率将不同于无风险利率RTH′d 6=0。如果投资组合包含两个或多个冗余资产，例如股票和同一股票的期权，则会出现这种情况。因此，我们移除冗余，直到生成的matr ix∑为满秩，从而确保不存在通过在resultant投资组合中交易进行套利的进一步可能性。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 21:39:53

在我们的基准模型中，我们通过一个新的优化标准来表达目标，该标准对应于一个回报函数F，该函数表示资产组合相对于基准的对数收益率，并给出了asF（t；h，γ）=logVhtLγtF（0；h，γ）=log fWe，现在正式陈述了我们解决的风险敏感基准资产管理问题（RSBAM）。问题：风险敏感基准资产管理（RSBAM）我们首先定义了客观标准IAS，J（f，x，h，γ；T），-2θloge[exp[-θF（T，h，γ）]=-2θloge[VhTLγT-θ/2]=-2θloge[U（VhTLγT）]（2.5），其中效用函数U（·）是U:x→ 十、-θ. 基准过程的动力学是一个扩散过程，由一个（马尔可夫）控制γg调节，由dlγtLγt=（αt+βtXt）dt+γ′tdWt（2.6）驱动，其中αt∈ R和β∈ R1×n.控制空间Γ（T）由γ表示的市场控制组成，γ为Rn+m值。Γ（T）由逐步可测量的控制组成，可测量w.r.T至{B[0，T] Gt}t≥其中P（RT |γs | ds<∞) = 1. T<∞ E[EθRTγ′sγsds]<∞ .通过伊藤公式的简单应用，我们得到：dF（t，h，γ）=d log（VhtLγt）=F（t，h，γ）{[rt+ht′（a+AXt- rt1）- （αt+βtXt）-h′t∑′ht+γ′tγt]dt+（h′t∑）- γ′t）dWt}（2.7）我们现在可以正式陈述这个游戏的博弈论版本。对于给定的θ>0，我们考虑两个参与者之间的随机差异博弈，即投资者（具有幂效用）U和调节给定γ的收益的人∈ Γ（T）通过控制h∈ H（T）。另一方面，第二方，比如说市场，通过调整给定控制h的控制γ，为投资者设定一个基准，使其表现出与投资者相反的行为。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

mingdashike22

2022-5-7 21:39:58

这可以被概念化为一方投资者与另一方市场之间的风险敏感零和随机微分博弈，并被形式化为以下问题（P1）获得^h∈ H（T）和^γ∈ Γ（T）使得J（f，x，^h，^γ；T）=suph∈H（T）infγ∈Γ（T）-2θloge[（VhTLγT）-θ] =infγ∈Γ（T）suph∈H（T）-2θloge[（VhTLγT）-θ] （2.8a）这可以解释为RSBAM问题的博弈论版本。备注2.1：问题设置（P1）是黑田东彦和长井[11]以及戴维斯和莱奥[6]的延伸。然而，前者不考虑基准版本，即基准指数实际上是[11]中的一个，而Davis a和Lleo[6]虽然有一个基准投资组合标准，但他们解决了一人优化问题，而不是两人鞍点问题。根据刚才讨论的数学预备知识，我们正式阐述了解决零和随机微分对策（P1）的计划。第一步，我们将原客观标准重新表述为幂效用函数，再转化为积分函数的指数。第2步定义与积分函数指数相关的新路径函数I（f，x，h，γ，t；t）（参考等式（3.9））。定义u（t，x）为上限值函数，而u（t，x）为与I相关的游戏的下限值函数。将与该目标函数相关的游戏表示为（P2）。第3步根据游戏（P2）推导HJBI PDE c（参考3.11）。第4步，制定一个候选值函数应该满足的条件，使游戏中的目标函数I有一个值。这构成了mma的验证。步骤5求解步骤3中导出的HJBI PDE，同时获得最佳控制的表达式。这个最优控制对将构成（P2）的s addle点平衡。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 21:40:01

满足验证引理所有条件的候选值函数是（P2）的期望值函数。第6步返回到原始问题（P1），使用第4步中导出的事实证明，具有客观标准nj的游戏现在也有一个值，实际上是u（0，x）。在下一节中，我们重新制定了客观标准，并对我们的博弈问题进行了恶意化。3问题重组步骤1我们将首先将效用优化问题（2.5）转化为优化指数积分性能标准。期望下的标准我们的第一个目标是仅根据因子过程编写客观标准J。最后我们将函数g（x，h，γ，r；θ）定义如下：g（x，h，γ，r；θ）=（θ+1）h′∑h′- R- h′（a+Ax）- r1）+（α+βx）-θ（h′∑γ+γ′∑h）+（θ）- 1） γ′γ（3.1）来自（2.7）和（3.1），因此我们有d exp(-θF（t；h，γ））=θg（Xt，ht，γt，rt；θ）- （h′t∑）- γ′t）∑dWt-θ（h′t∑）- γ′t）∑∑′（∑′ht）- γt）dt（3.2）因此我们有，exp(-θF（t；h，γ））=F-θ/2exp{θZtg（Xs，hs，γs，r；θ）ds-θZt（h′s∑）- γ′s）dWs-（θ） Zt（h′s∑）- γ′s）（h′s∑- γ′s′ds}（3.3），其中Vh=v，Lγ=L，f=VhLγ=vl。被测物Ph值的变化，γ为测量值(Ohm, F）定义为，dPh，γdP | Ft=\'Xt，（3.4），其中\'Xt由\'Xt=E（θZ（h\'）∑给出- γ′）dW）t（3.5），其中E（·）表示Doleans-Dade或marting-ale指数。从容许控制空间H（T）和Γ（T）的假设可以清楚地看出，Kazamaki条件E[eRtθH′s∑-γ′sdWs]<∞T∈ [0，T]被满足，因此Ph，γ是一个概率度量。i、 e.e[e（θZ（h′∑）- γ′）dW）T]=1。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

nandehutu2022

2022-5-7 21:40:05

（3.6）我们注意到，Wh，γt，Wt+θZt（h′s∑）- 根据Girs-anov公式，γ′s）ds（3.7）是在Ph、γ和因子过程满足度（dXt=（b+BXt）下的标准布朗运动-θ∑′ht- γt）′dt+dWh，γt（3.8）步骤2 HJB方程取期望值w.r。t乘以物理量P，并将等式（3.3）的两边乘以-2θ之后是（3.4-3.5）的度量参数的变化，我们认为新的路径函数定义为asI（f，x，h，γ，t，t）=log f-θlogeh，γ[exp{θZT-tg（Xs，hs，γs，rs+t；θ）ds}]（3.9），然后对应于新路径函数I的游戏的uppe r值函数和低值函数u和u分别由以下公式给出：\'\'u（t，x）=suph∈H（T）infγ∈Γ（T）I（f，x，h，γ，T，T）（3.10a）u（T，x）=infγ∈Γ（T）suph∈H（T）I（f，x，H，γ，T，T）（3.10b）u（T，x）=u（T，x）=u（T，x）（3.10c）如果一对控制满足（3.10c），那么对应于新路径函数I的博弈具有值u，并且控制的部分构成了关于I的博弈的鞍点策略。Le T指数变换函数I被定义为I=exp(-θI）a和u（t，x）：=exp(-θu（t，x））。我们现在考虑的问题是确定对应于newpath泛函I的对策的鞍点平衡。我们称这个问题（P2），它的形式化表述如下：问题P2获得^h∈ H（T）和^γ∈ Γ（T）使得，~u（T，x）=infh∈H（T）supγ∈Γ（T）~I（f，x，h，γ，T，T）=supγ∈Γ（T）infh∈H（T）~I（f，x，H，γ，T，T）=E^H，γ[exp{θZT-tg（Xs，^hs，^γs，rs+t；θ）ds}f-θ/2]（3.11）我们现在为这个游戏提供一个验证引理。让我们首先定义过程Yh，γ（t）bydYh，γ（t）=dtdXt=dt（b+BXt）-θ（h′t∑）- γ′t）dt+dWh，γt让y，（t，x）。ω的控制过程为h（t）=h（t，ω）和γ（t）=γ（t，ω）∈ Ohm 可以假设是马尔可夫的。设O=（0，T）×Rn。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

可人4

2022-5-7 21:40:08

那么过程Yh，γ（t）是一个马尔可夫过程，它的生成元Ah，γ是一个函数u（t，x）∈ C（[0，T]×Rn）由，~Ah，γ~u（T，x）给出=~u（t，x）t+（b+Bx）-θ∧∑′h- γ））\'Du（t，x）+tr（∧∧∧*Du（t，x））（3.12），其中Du（t，x）( ~u（t，x）十、 ~u（t，x）xn）′和Du（t，x）是由Du（t，x）定义的矩阵[~u（t，x）xixj]，i，j=1，2。。。，n、步骤3通过应用Feynman-Kac公式，可以从（3.11）中推断出，HJBI Pdeforu（t，x）的计算公式为：~A^h，^γ+θg（x，^h，^γ，r；θ）~u（t，x）=0（3.13）反转指数变换，除以-（θ/2）~u（t，x），我们可以从（3.13）中推断，u（t，x）的hjbi偏微分方程是h的∈ Rmandγ∈ R（m+n）byA^h，^γu（t，x）=0（3.14），其中算符Ah，γ由Ah，γu（t，x）给出=u（t，x）t+（b+Bx）-θ∧∑′h- γ））′Du（t，x）+tr（∧∧′Du（t，x））-θ（Du（t，x））′∧∧′Du（t，x）- g（x，h，γ，r；θ）（3.15）在下一节中，我们根据标准函数I为游戏提供验证引理。4为游戏提供验证引理P 4我们现在提供与游戏相关的验证引理（PII）。提议4.1。假设w∈ C1,2（O）∩ C（\'O）（是O上关于x的两次可微分函数的s步，一次是O上关于t的连续可微分函数，并且在\'O\'上是连续的）。假设存在一个（马尔可夫）控制^h（y），^γ（y），使得1。（~Ah，^γ（y）+θg（x，h，^γ（y），r；θ））[（w（y））]≥ 0 H∈ Rm；2.（~A^h（y），γ+θg（x，^h（y），γ，r；θ））[（w（y））]≤ 0 γ ∈ Rm+n；3.（~A^h（y），^γ（y）+θg（x，^h（y），^γ（y），r；θ））[（w（y））]=0 Y∈ O；4.（~w（T，XT））=f-θ/2.定义，Z（s）=Z（s）（h，γ）=θZsg（Xτ，hτ，γτ，rt+τ；θ）dτ(4.1)5.

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

可人4

2022-5-7 21:40:11

呃，γ[RT-tD~w′（t+s，Xs）∧e~ZsdWh，γs]=0 H∈ Rm， γ ∈ Rm+nNow，为每个y定义∈ O和h∈ H（T）和γ∈ Γ（T），~I（f，x，h，γ，T，T）=exp(-θI（f，x，h，γ，t，t））=Eh，γ[exp{θZT-tg（Xs，hs，γs，rs+t；θ）ds}f-θ/2]，那么（^h（y），^γ（y））是一个最优（马尔可夫）控制，也就是说，~w（0，x）=~u（0，x）=~i（f，x，^h，γ，0，T）=infh∈H（T）{supγ∈Γ（T）[I（f，x，h，γ，0，T）]}=supγ∈Γ（T）{infh∈H（T）[I（f，x，H，γ，0，T）]}=supγ∈Γ（T）~I（f，x，^h，γ，0，T）=infh∈H（T）~I（f，x，H，^γ，0，T）=~I（f，x，^H，^γ，0，T）证明将伊藤公式应用于~w（s，Xs）e~Zs得到（~w（T+s，Xs）e~Zs）=e~Zs（~Ah，γ+θg（Xs，hs，γs，rs+t；θ））[（~w（t+s，Xs））]ds+e~Zs（D~w（t+s，Xs））dWh，γs~w（t，XT）-t）中兴通讯-t=~w（t，x）+ZT-t（~Ah，γ+θg（Xs，hs，γs，rs+t；θ））~w（t+s，Xs））e~Zsds+ZT-t（D~w′（t+s，Xs）∧）e~ZsdWh，γs（4.2）根据命题陈述的条件（4），我们得到~w（t，XT）=f-θ/2. 取关于Ph，γ，s e tting t=0的期望值，并使用命题we g etEh，Γ[~w（t，XT）e~ZT]的条件（1）和（5）≥ ~w（0，x），因为这个不等式适用于所有h∈ 我们有∈H（T）Eh，Γ[f-θ/2eZT]≥ 所以我们有，supγ∈Γ（T）infh∈H（T）Eh，γ[f-θ/2eZT]≥ infh∈H（T）Eh，Γ[f-θ/2eZT]≥ ~w（0，x）（4.3）同样地，设置t=0，我们得到，利用命题的条件（2），我们得到下面的下界，E^h，γ[~w（t，XT）E~ZT]≤ ~w（0，x），因为该不等式适用于所有γ∈ Γ（T）我们有supγ∈Γ（T）E^h，γ[f]-θ/2eZT]≤ 所以我们有，infh∈H（T）supγ∈Γ（T）Eh，γ[f-θ/2eZT]≤ supγ∈Γ（T）E^h，γ[f]-θ/2eZT]≤ w（0，x）（4.4）同样，设置t=0，使用命题的条件（3），使用（3.11）中u的定义，我们得到，E^h，E^γ[~w（t，XT）EZT]=~w（0，x）=E^h，E^γ[exp{θZTg（Xs hs，γs，rs+t；θ）ds}f-θ/2]（4.5）supγ自动成立∈Γ（T）infh∈H（T）Eh，γ[f-θ/2eZT]≤ infh∈H（T）supγ∈Γ（T）Eh，γ[f-θ/2eZT]。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 21:40:19

（4.6）相反地，从（4.3）、（4.4）和（4.5）我们得到∈H（T）supγ∈Γ（T）Eh，γ[f-θ/2eZT]≤ ~w（0，x）≤ 怎么了∈Γ（T）infh∈H（T）Eh，γ[f-θ/2eZT]（4.7）因此我们有fr om（4.6）和（4.7），supγ∈Γ（T）infh∈H（T）Eh，γ[f-θ/2eZT]=infh∈H（T）supγ∈Γ（T）Eh，γ[f-θ/2e~ZT]=w（0，x）=E^h，^γ[f-θ/2eZT]（4.8）推论4.2（3.11）给出的指数变换问题的容许（最优）策略也适用于（3.10c）问题。形式上，u（0，x）=suph∈H（T）{infγ∈Γ（T）[I（f，x，h，γ，0，T）]}=infγ∈Γ（T）{suph∈H（T）[I（f，x，H，γ，0，T）]}=infγ∈Γ（T）I（f，x，^h，γ，0，T）=suph∈H（T）I（f，x，H，^γ，0，T）=I（f，x，^H，^γ，0，T）证明了值函数u和u通过严格单调连续变换u（T，x）=exp(-θu（t，x））。因此，指数变换问题的可容许（最优）策略也是问题（3.1 0c）的可容许（最优）策略。5解决风险敏感的零和随机微分博弈步骤5我们寻求找到（3.12）中定义的博弈的值函数u。我们猜想一个解是C1,2类（（0，T）×Rn）的解，并证明该猜想满足命题4.1给出的验证方程的所有条件。验证引理的条件（1）-（4）可以用压缩形式assuph编写∈H（T）infγ∈Γ（T）Ah，γu（T，x）=0；u（T，x）=logf（5.1）根据黑田东彦和长井[11]中的结果，我们将寻找由u（T，x）=x′Qtx+q′tx+kt给出的u，其中q是n×n对称矩阵，q∈ Rnand k是一个标量。将此形式代入（3.15）我们得到，γu（t，x）=x′dQtdtx+dqtdt′x+dqtdt+b+Bx-θ∧∑′ht- γ（t））′（Qtx+qt）+（λ∧′QtQ′t∧′t∧）-θ（Qtx+kt）′∧∧′（Qtx+kt）-（θ+1）h′t∑′ht+rt- （αt+βx）+h′t（a+Ax）- rt1）+θ（h′t∑γ+γ′∑ht）-(θ- 1） γ′tγt（5.2）注释5.1，因为所考虑的博弈是针对风险规避投资者θ>0。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

大多数88

2022-5-7 21:40:22

此外，根据（5.5）中^γ的表达式，θ6=2。这就剩下两种可能性：θ∈ （0，2）或θ∈ (2, ∞). 为了使最优策略（^h，^γ）成为博弈的鞍点均衡，我们希望h中的二次项为负定义，而γ中的二次项为正定义。事实上，对于选择θ>0，h中的二次项是负定义，而对于θ<2，γ中的二次项是正定义。在我们的例子中，θ的有效范围在0和2之间，排除了θ范围的其他两种可能性。我们现在求解^γ的一阶条件，使整个γ上的A^h，γu（t，x）最小化∈ Rn+m:（2）- θ） ^γt- θ∑′ht- ^γ′）du（t，x）=0（5.3）^h的一阶条件，它使整个h上的Ah，^γ（y）~u（t，x）最大化∈ u（t，x）的Rmin项是，^ht=（θ+2）（∑′）-1[dt+θ∑∑γt-θ∑∧′Du（t，x）]（5.4）将（5.4）中得到的^h代入（5.3）得到^γt=θ2- θ∑′ht- ∧′Du（t，x）]（5.5）最优控制^ht是全局最大值，而^γ是t的全局最小值≤ [0，T]。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 21:40:26

我们将（5.1）中的^hfrom（5.4）和（5.5）中的^γ替换为a^h，^γu（t，x）=0；u（T，x）=logf（5.6）然后，我们将得到的所有二次项、线性项和常数组合在一起，从而得出结论，选择u（T，x）=x′Qtx+q′tx+kt确实是HJBI PDE（5.1）的解决方案，前提是：，q和k满足以下微分方程组：o一个与四次项系数有关的矩阵李卡蒂方程，用于确定对称非负矩阵Qt，给定为dqtdt=QtKQt+k′Qt+QtK+22- θ(2 - θ） A′（∑∑）-1)-1A=0≤ T≤ T、 QT=0（5.7），其中k=-θ2(2-θ)ΛΛ′+2θ(2-θ)(2-θ)ΛΣ′(ΣΣ′)-1∑∧′K=B-2θ(2-θ） A′（∑′）-1∑∧′o以下线性常微分方程由n元素列向量q（t）dqtdt+（K′+QtK）qt+q′tb+（a- r（t）1′（∑′）-1[-2θ(2 - θ） ∑∧′Q（t）+（2）- θ)(2 - θ） A]- βtqT=0（5.8）o以下线性常微分方程由常数ktdktdt+tr（∧∧′Qt）+rt满足：- αt-2θ(2 - θ）（a）- r（t）1′（∑′）-1∑∧′q（t）+2- θ(2 - θ）（a）- r（t）1）-1(ΣΣ′)-1（a）- r（t）1）+θ（2）- θ)(2 - θ） q′（t）∧∑′（∑∑′）-1∑∧′q（t）-θ4(2 - θ） q′（t）∧∧′q（t）kT=log f（5.9）命题4.1中的条件4就u施加了（5.9）中的终端条件。如果Kis为正定义，则Riccati方程（5.7）的唯一解Qt适用于所有t≤ T正不确定性的这一特性源于将解qt解释为卡尔曼滤波器观测值的协方差矩阵，用于估计动态系统的状态（详见定理4.4.1 inDavis[5]）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 21:40:29

QT的唯一性遵循一阶微分方程的标准存在唯一性理论（见Davis[5]中的命题4.4.2）。如果≈u=exp，则很容易看到(-θu）用于选择提案4.1中的u满足条件（5）。命题5.2 Eh，γ[RT-te~Zs（D~u′（t+s，Xs）∧）dWh，γs]=0。根据（3.11）中u的定义证明，对于属于Γ（T）的任何最优控制，策略^h≡ 0是次优的，因此将提供u的上界。进一步，对于零基准情况，即710;γ≡ 0，我们现在就可以得到<<u>>u（t，x）=infh的上界∈H（T）Eh，^γ[exp{θZT-tg（Xs，hs，^γs，rs+t；θ）ds}f-θ/2]≤ E0，^γ[exp{θZT-tg（Xs，0，^γs，rs+t；θ）ds}f-θ/2]∴ ~u（t，x）≤ E0,0[exp{θZT-tg（Xs，0，0，rs+t；θ）ds}f-θ/2]=exp(-θZT-trs+tds）f-θ/2 now Q和Q是o.d.e系统的解，因此是有界函数的积分。HenceQ和q是时间t的连续函数∈ [0，T]，因此在[0，T]上有界。矩阵∧是阿肯恩常数。根据随机微分方程的标准存在唯一性结果（参考Oksendal（[14]），我们有X∈ L(Ohm, F、 Ph，γ）。因此，从上界o nu，注释3.1和tDu（t，Xt）=QtXt+qtis在L中的事实来看(Ohm, F、 Ph，γ），我们有Eh，γ（[Du∧eZ，Du∧eZ]t）<∞ T∈ [0，T]。我们有呃，γ[RT]-tD~u′（t+s，Xs）∧e~ZsdWh，γs]=0。。很明显，我们的g=exp(-θu）满足提案N4.1的条件（1）-（5）。因此，我们的选择u实际上是博弈（P2）的值，而控制ls^h，^γ是该博弈的鞍点均衡。引理5.2对于控制空间H（T）和Γ（T）的选择，我们有[E]-θZ[（QtXt+qt）∧+（h′t∑- γ′t）]dWtT] =1（5.10）证明：根据Kazamaki条件，参考（Oksendal[14]），（5.10）保持ifE[exp（Rtθ（（QsXs+qs）λ+（h′s∑）-γ′s）dWs）]∞ T∈ [0，T]。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 21:40:32

因此，通过应用柯西-施瓦茨不等式，我们得到了E[exp（Ztθ（（QsXs+qs）λ+（h′s∑）- γ′s）dWs）]≤ （E[eRtθ（QsXs+qs）∧dWs]）1/2（E[eRtθ（h′s∑）-γ′s）dWs]）1/2然而对于E[eRtθ（QsXs+qs）∧dWs]<∞ 要保持不变，就足以证明[eRTθ（QsXs+qs）∧∧′（QsXs+qs）ds]给出的Novikov条件<∞ 持有参考（Oksendal[14]）。由于X是高斯过程，而qt和qt是确定性的，（QtXt+qt）λ是高斯的，因此通过完成下面OREM 5.3中详述的平方参数，我们得到了E[eRTθ（QsXs+qs）λ′（QsXs+qs）ds]<∞ 保持，因此E[eRtθ（QsXs+qs）∧dWs]<∞ T∈ [0，T]已验证。（E[eRtθ（h′s∑）-γ′s）dWs]）1/2<∞ 通过CauchySchwartz不等式的类似应用，以及之前在定义控制空间H（T）和Γ（T）时所做的假设，验证了该方法的有效性。因此，Kazama-ki条件成立，结论如下。定理5.3如果（5.7）存在解Q，则策略（^h，^γ）定义为^ht=（θ+2）（∑∑′）-1[dt+θ∑γt-θ∑∧′（QtXt+qt）]（5.11）^γt=θ2- θ∑′ht- ∧′（QtXt+qt）]（5.12），其中q是（5.8）的解，可容许，即h∈ H（T）和γ∈ Γ（T）和对于有限域对策问题（P1）是最优的，即u（0，x）=suph∈H（T）infγ∈Γ（T）J（f，x，h，γ，T；θ）=infγ∈Γ（T）suph∈H（T）J（f，x，H，γ，T；θ）=infγ∈Γ（T）J（f，x，^h，γ，T；θ）=suph∈H（T）J（f，x，H，^γ，T；θ）=J（f，x，^H，^γ，T；θ）=x′Qx+q′x+k第5节（^H，^γ）中导出的控制形成（P2）博弈的鞍点平衡。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 21:40:35

Weaim证明了这些控制实际上对于问题（P1）也是可容许的和最优的。根据（5.11）和（5.12）中的^h和^γ表达式，我们注意到-θ（QtXt+qt）∧+（^h′t∑- ^γ′t）可以在Xtas X′tvt+vt中提前写入，其中，常数vt和vt由，vt=-θQ′（t）∧+θ（θ）- 1)(2 - θ） A′（∑′）-1ΣΛ′+θ(θ - 1)2 - θQ′（t）∧∑′（∑∑′）-1（a）- r1）-2θ(θ - 1)(2 - θ)(2 - θ） Q′（t）∧∑′（∑∑′）-1∑∧′q（t）-θ(2 - θ） Q′（t）∧∧′Q（t）。vt=-θq′（t）∧+θ（θ）- 1)(2 - θ）（a）- r1）′（∑∑′）-1∑∧′q（t）-θ(θ - 1)(2 - θ)(2 - θ） q′（t）∧∑′（∑∑′）-1∑∧′q（t）-θ(2 - θ） q′（t）∧∧′q（t）因为X满足SDE，dXt=（b+BXt）dt+dWt，所以E | Xt |≤ E | X（0）|+| b | T+| b | RtE | Xs | ds。根据Gronwall不等式，因此E | Xt |≤ （E | X（0）|+| b | T）exp（|b | T）和Cov（Xt）=∧′T.让φ（T），vtXt+vt.我们现在显式地计算E[Eδ|φT |]对于一些δ>0，因为第12节引理2中的注释2（Gihman和Skorokho d[9]）暗示诺维科夫的条件成立。设Rt=e-BtXt+e-bt.因此dRt=e-Bt∧dWt。因此Rtis是高斯过程，因此φtis是带漂移的高斯过程。也就是ut=E[|φt |]≤ sup0≤T≤T | vt |（E | X |+|b | T）exp（|b | T）+sup0≤T≤T | vt |和∑T=Cov（φT）≤ v′t∧′vt。因此，平均值为u和协变数nc e∑皮重，以t为界。我们使用以下平方等式完成：z′Az+b′z+c=（z+A-1b）′A（z+A）-1b）+c-b\'A-1b。E[Eδ|φt |]=ZRn2πn/2 |∑t∑t | 1/2eδ|φ| te-(φ-ut）′（∑t∑t）-1(φ-ut）DX。。。dxn=2πn/2 |∧∑t∧∑′t | 1/2ZRne-φ′(-2δI+（△∑t△∑′t）-1)-1φ+2u′（t）（∑t∑t）-1φ-u′t（∑t∑t）-1utdx。。。。dxn=|（|∑′t∑t）|-1/2|(-2δI+（△∑t△∑′t）-1)-1|-1/2×e-u′t（∑t∑t）-1ut+4u′t（∑t∑t）-1(-2δI+（△∑t△∑′t）-1)-1（△∑t△∑′t）-1utMatrix（△∑t△∑t）-1是具有最低e igen值的对称正定义，比如λmin。那么很容易证明，对于δ<λmin，矩阵(-2δI+（△∑t△∑′t）-1)-1这是积极的定义。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

可人4

2022-5-7 21:40:40

以及由此得出的事实，即utand∑t以t为界≤ 因此存在常数C，使得e[eδ|φT |]≤ C.因此，最优控制^h，^γ属于各自的容许类，即。H（T）和Γ（T）。最优性定义的证明，Zs=Zs（h，γ）=θZsg（Xτ，hτ，γτ，rt+τ；θ）dτ- （h′τ∑）- γ′τ）dWτ-θ（h′τ∑）- γ′τ′（h′τ∑）- γ′τ）dτ（5.13）还定义了χ（t，x）=-θ（u（t，x）- logf）和Lu（t，x）=tr（∧∧′Du（t，x））+（b+Bx）′Du（t，x），因此我们有χ（t+s，Xs）=-θ(Ut+Lu）（t+s，Xs）ds-θDu（t+s，Xs）′∧dWsHence，d exp{χ（t+s，Xs）}exp{χ（t+s，Xs）}=-θ(Ut（t，x）+Lu（t+s，Xs）-θDu（t+s，Xs）′∧dWs+θDu′∧′Du（t+s，Xs）dsand so，d exp{χ（t+s，Xs）}exp{Z（s）}exp{χ（t+s，Xs）}exp{Z（s）}-θ(Ut（t，x）+Lu（t+s，Xs）-θDu（t+s，Xs）′∧dWs+θDu′∧∧′Du（t+s，Xs）ds+θg（Xs，hs，γs，rs+t；θ）ds-θ（h′（s）∑- γ′（s））dWs+θ（h′（s）∑- γ′（s）∧′Du（t+s，Xs）dsfr-om（3.15），我们有exp{χ（t，X（t- t））+Z（t- t） }=exp（χ（t，x））expZT-T-θ（Ah，γu（t+s，Xs））ds-ZT-tθ[Du（t+s，Xs）′∧+（h′t∑- γ′t）]dWt-ZT-tθ[Du（t+s，Xs）′+（h′t∑- γ′t）[du（t+s，Xs）′+（h′t∑- γ′t）]ds（5.14）我们已经证明，美国满足命题4.1的条件（1）-（5），因此符合命题4的条件（4）。1，我们有χ（T，x）=0。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 21:40:43

现在设置t=0，并考虑到γ=^γ和任何h的Pro位置4.1的条件（1）∈^H（T）我们从（5.14）中看到（VhTLγT）-θ/2≥ E-θu（0，x）exp-ZTθ[Du（s，Xs）′∧+（h′s∑- Γ′s）]dWs-ZTθ[Du（s，Xs）′+（h′s∑- γ′s）[du（s，Xs）′+（h′s∑- Γ′s）]ds现在，通过对上述方程两边的物理概率测度P取期望w.r.t，并使用引理5.2，我们得到了j（f，x，h，γ，t）≤ u（0，x）这一性质适用于所有h∈ 所以我们有∈H（T）J（f，x，H，γ，T）≤ u（0，x）因此我们有，infγ∈Γ（T）suph∈H（T）J（f，x，H，γ，T）≤ 嘘∈H（T）J（f，x，H，γ，T）≤ u（0，x）（5.15）同样，设置t=0，并考虑命题4.1中的条件（2），对于h=^h和任何γ∈ Γ（T）我们看到j（f，x，^h，γ，T）≥ u（0，x）这一性质适用于所有h∈ H（T）so:infγ∈Γ（T）J（f，x，^h，γ，T）≥ u（0，x）因此我们有，suph∈H（T）infγ∈Γ（T）J（f，x，h，γ，T）≥ γ干扰素∈Γ（T）J（f，x，^h，γ，T）≥ u（0，x）（5.16）因此我们有fr om（5.15）和（5.16），suph∈H（T）infγ∈Γ（T）J（f，x，h，γ，T）≥ u（0，x）≥ γ干扰素∈Γ（T）suph∈H（T）J（f，x，H，γ，T）（5.17）此外，设置T=0，并考虑命题4.1中的条件（3）来计算H=H，γ=Hγ（从而∈ H（T）和^γ∈ 我们看到j（f，x，h，γ，T）=u（0，x）（5.18）通常是正确的∈H（T）（infγ）∈Γ（T）J（f，x，h，γ，T））≤ γ干扰素∈Γ（T）（补充）∈H（T）J（f，x，H，γ，T））（5.19）因此结合（5.17）和（5.19）我们推断出博弈（P1）有一个值和isu（0，x）的最终结论。6结论在本文中，我们在风险敏感的基准资产管理问题的背景下提供了一个两人零和随机微分博弈。我们得到了双方最优策略的显式表达式。未来的工作可能会指向在有限范围内限制一个博弈论基准问题，即风险敏感的生物。参考文献[1]Bensoussan，A。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 21:40:46

（1992）《部分可观测系统的随机控制》，剑桥大学出版社。[2] Bielecki，T.和Pliska，S.R.（1999）风险敏感的动态资产管理，应用数学和优化，39337-360。[3] Bielecki，T.和Pliska，S.R.（2003）投资组合管理风险敏感标准的经济性质。会计和财务回顾，2（2），3-17。[4] Bielecki，T.和Pliska，S.R.（2004）风险敏感跨期CAPM，应用于固定收益管理。IEEE自动控制学报，49（3），420-432。[5] 戴维斯，M.H.A.（1977）线性估计和随机控制（查普曼和霍尔：伦敦大学）。[6] Davis，M.H.A和Lleo，S.（2008）风险——敏感的基准资产管理，定量金融，8（4），415-426。[7] Fleming，W.and Sheu，S.J.（2002）风险敏感控制与最优投资模型II，应用概率年鉴，12（2），730–767。[8] 弗莱明W.（1995）最优投资模式ls和风险敏感随机控制。在MathematicalFinance，IMA《数学及其应用》卷，65、75–88页，纽约州斯普林格·韦拉格。[9] Gihman，I.I.和Skorokhod，A.（1972）随机微分方程，卷纽约。Spr ingerVerlag。[10] Heath，D.和Platen，E.（2006）定量金融的基准方法Springer Finance。[11] 黑田东彦，M和Nagai，H.（2002）有限时间范围内的风险敏感投资组合优化，随机和随机回购，73309–331。[12] Lefebvre，M.和Montulet，P.（1994）风险敏感最优投资政策。国际系统科学杂志，22183-192。[13] Mataramvura，S.和ksendal，B.（2008）风险最小化投资组合和随机微分博弈的HJBI方程，随机性概率与随机过程国际期刊，80（4），317–337。[14] 克森达尔，B。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝