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R¨uschendorf和Uckelmann（2002）证明了严格d-CM copula的存在；Lee和Ahn（2014b）。严格的d-CM适用于各种最小化/最大化问题（Lee和Ahn，2014b）。推论1的证明。证明推论1等价于证明对于任何给定的-→w-CM连接词C和C*∈ 令人满意的* C、 意味着C*也是-→w-CM。首先，如果-→w不满足（16），那么C是空的，证明是平凡的。所以我们可以假设-→w satis fies（16）和C不是空的。现在，定义两个SETFC：=-→U∈ [0,1]ddXi=1wiui<dPi=1wi,和QC：=-→U∈ [0,1]ddXi=1wiui<dPi=1wi和u，···，u都是有理数.然后，通过实线中有理数的密集性，我们得到-→十、∈ [0,1]ddXi=1wixi<dPi=1wi=[-→U∈足球俱乐部-→十、∈ [0,1]d-→x<-→U=[-→U∈质量控制-→十、∈ [0,1]d-→x<-→U.这反过来意味着dXi=1wiU*i<dPi=1wi= P-→U*∈-→十、∈ [0,1]ddXi=1wixi<dPi=1wi= P-→U*∈[-→U∈质量控制-→十、∈ [0,1]d-→x<-→U≤十、-→U∈QcP-→U*<-→U= 0.（A.2）其中最后一个不等式成立，因为qc是可数集。类似逻辑derivesPdXi=1wiU*i> dPi=1wi= 0这反过来又以（A.2）结束了证明。