然后，对于一些ε>0足够小的情况，当τ趋于0时，渐近等价性si（τ）~ 经验-f（yp）τ1-βp+f（yp）τ（1）-βp）/2+f′（yp）2f′（yp）！y（1-p） pZyp+εyp-εexp-qf′（yp）（y）- yp）τ（1）-βp）/2-f′（yp）qf′（yp）dy~ 经验-f（yp）τ1-βp+f（yp）τ（1）-βp）/2+f′（yp）2f′（yp）！y（1-p） pZ∞-∞经验-qf′（yp）（y）- yp）τ（1）-βp）/2-f′（yp）qf′（yp）dy=exp-f（yp）τ1-βp+f（yp）τ（1）-βp）/2+f′（yp）2f′（yp）！τ(1-βp）/2y（1）-p） ps2πf′（yp）。持有因此，当τ趋于零时：τβpZLBSk、 yτβp，τζpyβpdy=exp-c（t，p）τ1-βp+c（t，p）τ（1）-βp）/2c（t，p）τc（t，p）h1+Oτ1-βpi、 从引理3.4我们知道τβpZ∞磅k、 yτβp，τζp（y/βp）dy=Oexp-2ξt（1）- p）L1-pτ（1）-βp）/2- y1-P!!.选择L>max1.2ξt（1）- p） f（yp）1/(2-2p），yp使尾项指数次优于τ-βpRLBS（k，y/τβp，τ）ζp（y/βp）dy，完成了引理的证明。3.1.3. 病例：p=1。在对数正态情况下，p=1，随机变量log（V）为高斯分布，均值为u（定义为（2.3）），方差为ξt。证明类似于第3.1.2节，但我们需要通过τ| log（τ）|重新缩放方差。我们在引理3.6中证明了尾部估计，并在引理3.7.20中导出了期权价格的渐近性。随着τ趋于零（在（2.3）中定义的u），以下尾部估计适用于p=1和L>0:Z∞磅k、 yτ| log（τ）|，τζyτ| log（τ）|dy=Oexp(-2ξt日志Lτ| log（τ）|- u)!.证据在没有套利的情况下，买入价总是有一个上限，所以z∞磅k、 yτ| log（τ）|，τζyτ| log（τ）|dy≤Z∞Lζyτ| log（τ）|dy.替换为q=ξ√t[log（y/（τ| log（τ）|）-u），引理遵循互补高斯分布函数的界[67，第14.8节]。引理3.7。设p=1。当τ趋于零时，以下扩展适用于期权价格：C（k，τ）=C（t，1）exp- c（t，1）h（τ，p）+c（t，1）h（τ，p）τc（t，1）| log（τ）|c（t，1）1+O|对数（τ）|,函数c，c。。。，c、 手放在表1中。证据

设eτ：=τ| log（τ）|。用y替换→ y/eτ，使用（3.1），期权价格由c（k，τ）=Z给出∞BS（k，y，τ）ζ（y）dy=eτZ∞学士学位k、 叶τ，τζ叶τdy=eτ（ZLBS）k、 叶τ，τζ叶τdy+Z∞磅k、 叶τ，τζ叶τdy）=:C（k，τ）+C（k，τ），对于某些L>0。以第一学期为例。利用引理A.1和eτ=τ| log（τ）|，当τ趋于零时，我们得到了BSk、 yτ| log（τ）|，τ= 经验-k | log（τ）| 2y+ky3/2k | log（τ）| 3/2√2π1+O|对数（τ）|.预测（k，τ）=ek/21+O|对数（τ）||对数（τ）|3/2ξk2π√tZLexp-k | log（τ）| 2y-日志yτ| log（τ）|- u2ξty1/2dy=expK-（对数（τ）+对数|对数（τ）|）+u2ξt-u（对数（τ）+对数|对数（τ）|）ξtI（τ）h1+O|对数（τ）|iξk2π√t | log（τ）| 3/2，其中I（τ）：=RLg（y）e xp(-g（y）| logτ|+g（y）log | log（τ）|）dy，以及（2.11）和g（y）中定义的gand gde：=√y经验ulog（y）ξt.被积函数的主要贡献是| log（τ）|项；在y达到的最小gis*givenin（2.10）和g′（y*) = 4/（ξtk）>0。SetI（τ）：=Z∞-∞经验-（y）- Y*)q|log（τ）|g′（y）*) -g′（y）*) log | log（τ）|p | log（τ）|g′（y*)!dy=s2πg′（y）*)|对数（τ）|。CEV随机环境中的BLACK-SCHOLES，然后对于某些ε>0，当τ趋于0时，L>y的渐近等价性*,I（τ）~Zy*+y*-g（y）e xpn- g（y）| log（τ）|+g（y）log | log（τ）|体~ g（y）*)E-g（y）*)|对数（τ）|+g（y）*) log | log（τ）| Zy*+y*-e-g′（y）*)（y）-Y*)|对数（τ）|+g′（y）*)（y）-Y*) log | log（τ）| dy~ g（y）*) 经验-g（y）*)|对数（τ）|+g（y）*) log | log（τ）|+（g′（y）*) log|log（τ）| 2g′（y）*)|对数（τ）|I（τ）=g（y）*) 经验-g（y）*)|对数（τ）|+g（y）*) log | log（τ）|+（g′（y）*) log|log（τ）| 2g′（y）*)|对数（τ）|s2πg′（y）*)|对数（τ）|。持有因此，当τ趋于零时：C（k，τ）=C（t，1）exp- c（t，1）h（τ，1）+c（t，1）h（τ，1）τc（t，1）| log（τ）|c（t，1）1+O|对数（τ）|,函数c，c。。。，c、 手放在表1中。

为了便于计算，我们注意到C（t，1）=√Y*经验K-u2ξt+ulog（y*)ξtkξ√2πtpg′（y）*)=|k |ξt3/2expK-u2ξt+ulog（y*)ξt√π.现在通过引理3.6，C（k，τ）=τ| log（τ）| Z∞磅k、 yτ| log（τ）|，τζyτ| log（τ）|dy=τ| log（τ）| Oexp(-2ξt日志Lτ| log（τ）|- u)!.因为对于一些B>0的人，我们有这个经验-2ξt日志Lτ| log（τ）|- u!≤ B（τ| log（τ）|）ξt（log（L）-u）exp-2ξth（τ，1）,选择L，使log（L）>uyieldsOexp(-2ξt日志Lτ| log（τ）|- u)!= O经验-2ξth（τ，1）.然后，HenceC（k，τ）指数次优于紧致部分sinceexpc（t，1）h（τ，1）- c（t，1）h（τ，1）Oexp(-2ξt日志Lτ| log（τ）|- u)!= OE-c（t，1）h（τ，1）,结果如下。3.2. 定理2.8的证明。引理A.2和（3.1）在τ趋于一致时产生以下渐近性：（3.4）C（k，τ）=1- mt+mt（1）- ek）+τ-1/2ek/2L（τ）（1+O（τ）-1） ，式中L（τ）：=R∞q（z）e-τzdz，我们设置q（z）≡ -8ζp（8z）/√πz.当z趋于零时，第一类阶η[1，第9.6.10节]：Iη（z）=Γ（η+1）的修正贝塞尔函数的下列渐近性Zη1+OZ.22 ANTOINE JACQUIER和PATRICK Roomeu利用这个渐近式和（2.5）中密度的定义，我们得到了密度的以下渐近式，当p<1时，y趋于零，当p<1/2时，在原点吸收：（3.5）ζp（y）=yyy1-2p | 1- p|ξtΓ（|η|+1）（2（1）- p） ξt）|η| exp-y2（1）-p） 2ξt（1）- p） !！1+Oy2（1）-p）.类似的论证得出，当p<1/2且原点反映时，当y趋于零时，（3.6）ζp（y）=y-2p | 1- p |ξtΓ（η+1）（2（1- p） ξt）ηexp-y2（1）-p） 2ξt（1）- p） !！1+Oy2（1）-p）.为了将沃森引理[61，第2部分，第2章]应用于L，必须要求q（z）=O（ecz）对于某些c>0A，z趋于完整。这显然表明他是从林茨来的↑∞ζp（z）=0。我们还要求Q（z）=azl（1+O（zn））对于s ome l>-1，n>0。当p≥ 1，可以证明ζPis指数小，需要使用不同的方法。

当p<1且密度如（3.5）所示时，则L=1- 2p-所以我们需要p。类似地，当p<1/2且密度为（3.6）时，l=-2p-我们需要p。沃森引理与（3.4）结合的应用产生了定理2.8。附录A.Black-Scholes渐近性本附录收集了（2.8）中定义的Black-Scholes C所有价格函数的一些有用展开式。引理A.1。设k，y>0，eτ：（0，∞) → (0, ∞) 是一个连续函数，使得limτ↓0τeτ（τ）=0。然后k、 叶τ（τ），τ=y3/2k√2πτeτ（τ）3/2exp-k2yeτ（τ）τ+k1+Oτeτ（τ）, 从τt en ds到z ero。证据设k，y>0并设置τ*(τ) ≡ τ/eτ（τ）。根据假设，τ*（τ） 趋向于零，（2.8）意味着Bk、 叶τ，τ= BS（k，y，τ）*（τ） ）=N（d*+(τ)) - ekN（d）*-（τ） ），我们在那里设置了d*±(τ) := -k/（pyτ）*（τ） ）±pyτ*(τ). 注意，d*倾向于-∞ 因为τ趋于零。交感神经扩张1-N（z）=（2π）-1/2e-z/2Z-1.- Z-3+O（z）-5), 适用于大z（[1，第932页]），yie ldsBSk、 叶τ（τ），τ= ND*+(τ)- ekND*-(τ)= 1.- N-D*+(τ)- 埃克（1）- N-D*-(τ))=√2πexp-D*+(τ)/2D*-(τ)-D*+（τ） +d*+(τ)-D*-（τ） +OD*+(τ),正如τ趋向于ze-ro，在这里我们使用了identityd*-(τ)- k=d*+(τ). 当τ趋于零时，引理由下列展开式得出：-D*+(τ)= 经验-k2yτ*+K（1+O（τ）*（τ） ）），d*-(τ)-D*+（τ） +d*+(τ)-D*-（τ） =y3/2τ*（τ） 3/2k（1+O（τ）*(τ))) .引理A.2。设y>0和k∈ R.那么，当τ趋于完整时，BS（k，y，τ）=1-√2πτyexp-yτ+k1+O（τ）-1).CEV随机环境中的BLACK-SCHOLES证明。让y>0。那么BS（k，y，τ）=ND*+(τ)-ekND*-(τ), d在哪里*±(τ) := -k/(√yτ）±√yτ，因此d*“倾向于”∞ asτ趋于完整。与前面引理的证明类似，BS（k，y，τ）=ND*+(τ)- 埃克1.- N-D*-(τ)= 1.-√2πexp-D*+(τ)D*+(τ)-D*-（τ） +d*-(τ)-D*+（τ） +OD*+(τ),正如τ趋向于完整性，我们在其中使用了identityd*-(τ)- k=d*+(τ).

然后，引理由以下展开式得出，τ趋于完整：exp-D*+(τ)= 经验-yτ+k1+O（τ）-1),D*+(τ)-D*-（τ） +d*-(τ)-D*+(τ)=√2πτy1+O（τ）-1).参考文献[1]M.Abramowitz和I.Stegun。数学函数手册，包括公式、图表和数学表格。纽约：多佛出版社，1972年。[2] E.Al\'os、J.Le\'on和J.Vives。关于随机波动率跳跃扩散模型隐含波动率的短期行为。《金融与随机》，11（4），571-5892007。[3] M.Avellaneda，A.Levy和A.Par\'as。在波动不确定的市场中对衍生证券进行定价和对冲。《应用数学金融》，2:73-881995。[4] P.巴拉德。向前微笑。2006年全球梵蒂冈会议。[5] C.拜耳、P.弗里兹、P.加斯亚特、J.马丁和B.斯坦珀。粗糙波动性的规则结构。arXiv:1710.074812017。[6] C.拜耳、P.弗里兹和J.加泰尔。剧烈波动下的定价。《定量金融》，16（6）：2015年1月18日。[7] C.拜耳、P.弗里兹、A.古利萨什维利、B.霍瓦思和B.斯坦珀。在粗糙分数随机波动率模型中，货币附近的短时间偏差。arXiv:1703.05132，2017年。[8] M.Bennedsen、A.Lunde和M.S.Pakkanen。布朗半平稳过程的混合格式。《金融与随机》，21（4）：931-9652017。[9] M.Bennedsen、A.Lunde和M.S.Pakkanen。解耦随机波动的短期和长期行为。arXiv:1610.003322017。[10] B.伯库和A.鲁奥。Ornstein-Uhlenbeck过程的大偏差。暹罗概率论及其应用，46:1-192002。[11] 贝戈米。《微笑动力学I.风险》，2004年9月。[12] F.布莱克和M.斯科尔斯。期权和公司负债的定价。《政治经济学杂志》，81（3）：637-659，1973年。[13] D.R.布莱彻和A.E.林赛。CEV过程的模拟和局部鞅性质。

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