CEV随机环境中的Black-Scholes

2022-5-7 23:52:07

CEV随机环境中的BLACK-SCHOLES Antoine JACQUIER和PATRICK ROOMEAbstract。经典（It^o diffusions）随机波动率模型无法捕捉小到期隐含波动率的陡峭程度。跳跃，尤其是指数L’evy和Affine模型，表现出小成熟度爆炸式的微笑，历史上曾被提出来弥补这一点（见[65]的概述），以及最近的粗糙波动率模型[2,33]。我们在这里提出了一种不同的方法，通过CEV生成的分布将Black-Scholes方差随机化，这使我们能够调节小到期日隐含波动率的爆炸率（通过CEV指数）。利率范围包括类似于指数L’evy模型和分数随机波动率模型的行为。1.引言我们提出了一个简单的股票价格连续路径模型，该模型允许隐含波动率的小型到期爆炸。股票市场上确实存在一个有据可查的事实（例如，见[34，第5章]），即具有连续路径的标准（It^o）随机模型无法捕捉到成熟度变小时微笑左翼的陡度。为了纠正这一点，几位作者建议增加跳跃，要么以独立的列维过程的形式，要么在一个更一般的框架内进行。跳跃（股价动态）意味着小成熟度微笑的爆炸性行为，并且能够更好地捕捉到观察到的小成熟度隐含波动率的陡度。特别是，Tankov[65]表明，对于指数L’evy模型，在整个实线上支持L’e vy度量，平方隐含波动率微笑爆发为στ（k）~ -k/（2τlogτ），因为到期日τ趋于零，其中k代表对数货币性。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 23:52:11

微笑的这种小成熟度行为不仅被基于跳跃的模型所接受，而且也被粗糙波动（非马尔可夫）模型所接受，其中随机波动成分由分数布朗运动驱动，事实上也能够反映数据的这种性质。在一系列论文中，几位作者[2,7,31,33,37,39,47]确实证明了，当分数布朗运动的赫斯特指数在（0,1/2）范围内时，隐含波动率以τH的速率爆炸-1/2成熟度τ趋于零。在本文中，我们提出了另一个框架：我们假设股票价格遵循标准的BlackScholes模型；然而，瞬时方差不是常数，而是从连续分布中取样。我们首先从财务建模的角度得出一些有趣的一般性质，并特别关注其中的一个特定情况，其中方差是由独立的CEV动力学产生的。假设利率和股息为零，让S表示从atS=1开始的股票价格过程，即Sτ=Sτ的随机微分方程的解√VdWτ，对于τ≥ 0，其中W是标准布朗运动。在这里，V是一个随机变量，我们认为它和V一样分布~ Yt，对于部分t>0，日期：2018年11月11日。2010年数学科目分类。60F10，91G99，41A60。关键词和短语。波动性渐近性，随机环境，远期smil e，大偏差。AJ感谢EPSRC Firs t Grant EP/M008436/1.2 ANTOINE JACQUIER和PATRICK RoomeY提供的财务支持，其中Y是CEV dynamics dYu=ξYpudBu的唯一强解决方案，Y>0，其中p∈ R、 ξ>0和b是一个独立的布朗运动（有关精确的陈述，请参见第2.1节）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 23:52:14

本文的主要结果（定理2.3）是，当饱和度τ趋于零时，该模型产生的隐含波动率表现出以下行为：στ（k）~2(1 - p）三,- 2pkξ（1）-p） t2τ1/(3-2p），如果p<1，kξtτ（对数τ），如果p=1，k2（2p-1） τ| logτ|，如果p>1，（1.1）对于所有k6=0。在时间t处使用CEV过程的初始方差会导致小成熟点微笑的不同期限结构，从而提供与陡峭小成熟度微笑相匹配的灵活性。当p>1时，爆炸率与指数L’evy模型相同，情况为p≤ 1/2模拟了分数随机波动率模型的爆炸率。因此，CEV指数p允许用户调节微笑的短暂成熟度。我们并不是说这个模型应该取代分数随机波动模型或指数L’evy模型，主要是因为它的动态结构乍一看太简单了。然而，我们相信它可以作为更复杂模型的有效构建块，特别是对于瞬时方差具有初始随机分布的随机波动模式ls。当我们将这些扩展留给未来的研究时，我们将强调我们的模型在随机波动率模型中为远期起始点定价时是如何自然发挥作用的。在[50]中，作者证明了在赫斯顿模型中，当剩余的到期日（在远期开始日期之后）变小时，小的到期日远期隐含的可用性微笑爆发。这个爆炸率正好对应于p=1/2 in（1.1）的情况。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 23:52:18

这尤其表明，决定爆炸率的关键量是前开始日期的（右尾）方差分布（此处对应于t）。本文的结构如下：在第2.1节和第2.2节中，我们介绍了我们的模型，并将其与其他现有方法联系起来。在第2.3节中，我们使用矩母函数推导了极端打击渐近（对于某些特殊情况），并说明了为什么这种方法不容易适用于小型和大型成熟渐近。第2.4节和第2.5节详细介绍了主要结果，即期权价格的小型和大型到期渐近以及相应的隐含波动率。第2.6节提供了数值示例，第2.7节描述了我们的模型与随机波动模型中远期启动期权定价之间的关系。最后，主要结果的证明汇总在第3节。注释：在整篇论文中~ 符号意味着渐近等价，即左手边和右手边的比率趋于一。2.模型和主要结果2。1.型号说明。我们考虑一个过滤概率空间(Ohm, F、（Fs）s≥0，P）支持标准布朗运动，设（Zs）s≥0表示以下s-tochastic微分方程的解：（2.1）dZs=-Vds+√VdWs，Z=0，其中V是一些随机变量，独立于布朗运动W，尤其是时间零点的布朗过滤（有关详细信息，请参见[51，备注S2.2和2.3]）。过程（Zs）s≥0，在金融领域，CEV随机环境中的BLACK-SCHOLES 3校正了基础股价的对数，以及系数-1/2确保（电动汽车的可集成属性）能够≥0是真正的（Fs）s≥0-鞅。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 23:52:22

在V为离散随机变量的情况下，该模型简化为Brigo和Mercurio[14,15]在高斯情况下分析的混合分布。在随机波动率模型中，瞬时方差过程（Vt）t≥0与资产定价过程不相关，Romano和Touzi[63]的混合结果表明，到期日为τ的欧洲期权的价格与SDE（2.1）评估的价格相同，V=τ-1RτVSD。当τ趋于零时，V的分布接近一个以初始方差V为中心的狄拉克三角洲。隐含波动性的渐近性是众所周知的，经典随机波动率模型的弱点也是有据可查的[34]。尽管这些模型符合（2.1）的框架，但我们在本文中将不再进一步考虑它们。通过Ms确定流程：-s+ws，让（Ts）s≥0由Ts:=sV给出。那么T是一个独立增加的时间变化过程，Z=MTin分布。通过这种方式，我们的模型可以被认为是一种时间变化。现在让N成为一个L’evy过程，这样（eNs）s≥0是a（Fs）s≥0-适应鞅；定义：=τ-1RτVsds，其中V是一个正的独立过程，然后（eNTs）s≥0是一个经典的时变dexponential L\'evy过程，而pr选项是s标准[20，第15.5节]。然而，随着成熟度τ趋于零，V在分布上收敛为Dirac Delta，在这种情况下，渐近性是众所周知的[65]。该模型（2.1）还与Avellanda和Par'as[3]的不确定性波动率模型相关（另见[23，45，56]），其中Black-Scholes波动率允许在两个界限内随机演变。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

点击查看更多内容…

2022-5-7 23:52:26

在这个框架中，次级和次级套期保值策略（对应于最佳和最坏情况）通常是通过Black-Scholes-Barenblatt方程推导出来的，Fouque和Ren[32]最近提供了当两个边界相互失去时的近似结果。人们还可以至少正式地从分数随机波动率模型的角度来看待（2.1），该模型最初由孔德等人在[18]中提出，后来在[6,19,8,5,9,27,41,33,35,37,42,46,58]中发展和复兴。在这些模型中，通过用分形布朗运动代替驱动瞬时波动的布朗运动，对标准的s-tochastic波动模型进行了推广。这保留了股票价格过程的鞅性质，并允许在短期记忆（赫斯特参数H介于0和1/2之间）的情况下，对于短期到期，隐含波动率微笑的陡峭倾斜。然而，分数布朗运动的Mandelbrot-van-Ness表示[57]readsWHt:=ZtdWs（t- s） γ+Z-∞（t）- s） γ-(-s） γdWs，尽管如此≥ 0，其中γ：=1/2-H.这种表示尤其表明，在时间零点，由分数布朗运动驱动的瞬时变化（通过二次积分）包含一些随机性。最后，我们同意，乍一看，将方差随机化可能听起来很不传统。正如导言中所述，我们将该模型视为mor-e相关模型的一个组成部分，特别是具有随机初始方差的短期波动率，对其进行全面研究是正在进行的研究的目的。毕竟，市场数据只为我们提供了股票价格的初始值，而初始的波动水平是未知的，通常作为一个参数进行校准。从这个意义上说，将后者置于随机状态是相当自然的。2.1.1. 矩母函数。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 23:52:30

在[28,29,44]中，作者使用了大偏差理论，特别是G¨artner-Ellis定理，证明了赫斯顿模型中隐含波动性的小成熟度和大成熟度行为，以及更普遍的（在[44]中）有效随机波动性模型。这种方法完全依赖于对基础股票价格的累积量生成函数及其重标度限制4 ANTOINE JACQUIER和PATRICK ROOMEbehaviour的了解。对于任何τ≥ 0，设∧Z（u，τ）：=log E（euZτ）表示Zτ的累积量生成函数，定义在有效域DZτ上：={u∈ R:|∧Z（u，τ）|<∞}; 类似地表示∧V（u）≡ 日志E（euV），只要定义明确。塔的性质在期望值（2.2）∧Z（u，τ）=V中的直接应用u（u）- 1)τ, 为了所有的你∈ DZτ。遗憾的是，V的累积量母函数一般不可用封闭形式。在下面的第2.3节中，我们将看到一些例子，其中有这样一个封闭形式的解决方案，并且可以进行直接计算。我们顺便注意到，这种简单的表示至少在原则上允许使用Roger Lee’sMoment公式[53]对隐含波动率翼的斜率进行向前（数值）计算（另见第2.3.2节）。后者确实是由∧V的有效域的边界（在R中）直接给出的。进一步注意，模型（2.1）可以被视为一个时变布朗运动（带漂移）；表示法（2.2）明确规定了Z是简单指数L’evy过程的情况（在这种情况下∧Z（u，τ）在τ中是线性的）。根据Roger Lee的公式，这也意味着，与Levy的情况相反，在我们的模型中，隐含波动率翼的斜率并不随时间变化。2.2. CEV随机化。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

kedemingshi

2022-5-7 23:52:34

如上所述，本文是将“随机环境”引入期权定价领域的第一步，我们相信，通过一个具体的例子，看到它“在发挥作用”，yetnon-Triple将证明它的潜在威力。从现在起，我们假设V对应于在某个时间t，通过解CEV随机微分方程dYu=ξYpudBu，Y=Y>0生成的随机变量的分布，其中p∈ R、 ξ>0，B是标准布朗运动，与W无关。CEV过程[13,52]是这个随机微分方程的唯一强解，直到停止时间τY:=infu>0{Yu=0}。τYdepe之后的过程行为取决于p的值，下面将讨论d。我们让Γ（n；x）：=Γ（n）-1Rxtn-1e-tdt表示归一化的下不完全伽马函数，mt:=P（Yt=0）=P（V=0）表示原点的质量。确定常数（2.3）η：=2（p- 1），u：=log（y）-ξt.d计算表明，当原点为绝对边界时，密度ζp（y）≡P（Yt）∈ dy）/dy为范数递减，且（2.4）mt=1- Γ-η;y2（1）-p） 2ξ（1）- p） t！>0;否则mt=0，密度ζpis范数保持不变。当p∈ [1/2,1），来源是自然吸收≥ 1，过程Y永远不会达到零P-几乎可以肯定。最后，当p<1/2时，原点是可达到的边界，可以选择吸收或反射。如果要求Y是鞅[43，第三章，引理3.6]，则吸收是强制性的。这里只使用瞬时方差的构建块，因此不需要这样的要求，这样就可以处理这两种情况（吸收和反射）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 23:52:38

介绍函数η：（0，∞) → (0, ∞) 除以η（y）：=y1/2y1/2-2p | 1- p |ξtexp-y2（1）-p） +y2（1）-p） 2ξt（1）- p） !！Iη（yy）1-p（1）- p） ξt,CEV随机环境中的BLACK-SCHOLES 5，其中Iη是第一类阶η的修正贝塞尔函数[1，第9.6节]。碳当量密度ζp（y）：=p（Yt∈ dy）/dy，然后读取ζp（y）=φ-η（y），如果p∈ [1/2,1）或p<吸收，η（y），如果p>1或p<反射，yξ√2πtexp-（对数（y）- u）2ξt, 如果p=1，（2.5）对y有效∈ (0, ∞). 当p≥ 1，密度ζp在原点周围趋近于零，这意味着路径正被推离原点。另一方面，当p<1/2时，ζp在原点向同一方向移动，因此路径倾向于靠近原点。从上面所有的量可以清楚地看出，精确的视界t本身并不是基本的，因为它只出现在乘法常数因子ξ中。通过布朗运动的标度，t可以被视为等于单位，因此在这里是相当不相关的；然而，我们将在符号中保持其明确性，因为在第2.7.2.3节中，将此框架应用于远期启动衍生工具时，它将变得非常有用。矩母函数法。在关于隐含波动率渐近性的文献中，股票价格的矩母函数已被证明是获得精确估计的非常有用的工具。这显然是第2.1.1节中提到的Roger Lee公式中的“微笑之翼”（s trikes）和“s trikes之翼”（s trikes）的情况，但也描述了为ins tancein[44]或[48]开发的短成熟度和大成熟度渐近，通过使用（定义的）G–artner-Ellis定理。在[51]中，作者利用这一特性研究了赫斯顿模型的一个推广版本，其中瞬时波动率的起始值是根据某种分布随机化的。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 23:52:41

它接近于现有模型，但不支持该模型，并充分利用了赫斯顿模型对矩母函数的认识。如第2.1.1节所示，满足（2.1）的股票价格的矩母函数完全由随机变量V的矩母函数决定。然而，即使后者的密度已知于m（方程式（2.5）），矩母函数对于p的一般值也不是t。在p=0（反射或吸收边界）和p=1/2的情况下，一个封闭形式的表达式是可用的，直接计算是可能的。2.3.1. 矩母函数的计算。用∧V0，r，∧V0，a和∧V1/2表示p=0时随机变量V的力矩生成函数（下标‘r’/‘a’表示原点的反射/吸收行为）和p=1/2。以下量可直接从[52，第一部分，第6.4节]计算得出：（2.6）λV0，a（u）=logmt+exp（uξt）- 2y）ue2uyEuξt+yξ√2t+ e2uy- 1.- Euξt- yξ√2t,∧V0，r（u）=对数经验（uξt）- 2y）ue2uyEuξt+yξ√2t+ e2uy+1+Euξt- yξ√2t,∧V1/2（u）=2yu2- uξt，其中E（z）≡√πRzexp(-x） dx是误差函数。请注意，当吸收情况下p=1/2和p=0时，在计算这些计算时，需要考虑（2.4）中0处的质量。2.3.2. 罗杰·李的机翼公式。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 23:52:45

在[53]中，罗杰·李（Roger Lee）提供了一个精确的联系，即机翼中的总隐含斜率与股价矩母函数域的边界之间。更准确地说，对于任何τ≥ 0，设u+（τ）和u-（τ）定义为asu+（τ）：=sup{u≥ 1:|∧Z（u，τ）|<∞} 你呢-（τ）：=sup{u≥ 0:|∧Z(-u、 τ）|<∞}.6 ANTOINE JACQUIER和PATRICK Roome隐含波动率στ（k）然后满足↑∞στ（k）τk=ψ（u+（τ）- 1） =：β+（τ）和lim supk↓-∞στ（k）τ| k |=ψ（u）-(τ))) =: β-（τ），其中函数ψ由ψ（u）=2定义- 4.pu（u+1）- U. 将（2.6）和（2.2）结合起来，得到了当p∈ {0, 1/2}. 很明显，当np=0时，u±（τ）=∞ 对于任何τ≥ 0，因此le ft和右翼的坡度等于零（对于小的和大的打击，总方差为）。在p=1/2的情况下，爆炸将尽快发生u（u）- 1） τξt- 2.= 所以u±（τ）=±r1+ξtτ，和β-(τ) = β+(τ) =ξ√tτpξtτ+16- 4., 对于所有τ>0。左右斜率相同，但乘积ξt可以在被观测的机翼上直接校准。注意，映射τ7→ β±（τ）为凹形，从0增加到2。在[24,25]中，作者强调了微笑的小时间行为与其尾部渐近性之间的一些对称性。我们在这里得到了一些有趣的不对称性，即人们可以观察到相同类型的爆炸率（在p<1的情况下，由（1.1）给出的功率行为），但对于固定的成熟度，其数据行为不同。当τ趋于一致时，β±（τ）收敛到2，因此隐含的波动率微笑不会像通常的情况那样“消失”，因为它是一个有效的随机波动率模型（参见实例[44]）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 23:52:48

在下面的2.5节中，我们通过使用CEV分布方差密度研究隐含波动率的大时间行为，使这一点更加精确。2.3.3. 小时间渐近性。为了研究隐含波动率的小到期行为，我们可以在股票价格的ge ne评级函数以封闭形式可用时（例如在casep中）∈ {0，1/2}），应用[28]中开发的方法。后者基于G¨artner-Ellis定理，该定理本质上包括对累积量生成函数的某些重标度版本进行光滑凸逐点限制（τ趋于zero）。在p=1/2的情况下，很容易证明（2.7）∧Z（u）：=limτ↓0τ1/2∧ZU√τ, τ=0，如果你∈-ξ√t、 ξ√T,+∞, 否则这种限制行为的性质不属于G¨artner-Ellis定理的范围，该定理要求∧Z（u）|随着u接近±2/（ξ）的边界而发散到完整性√t）。很容易看出，任何其他重新缩放都会产生更退化的行为。人们可以修改G¨artner-Ellis定理的证明，就像donein[50]在Heston模型中对远期隐含波动率微笑的小到期行为所做的那样（参见[21]和其中的参考文献，了解更多此类示例）。在案例（2.7）中，我们与[50]中的框架完全相同，在这个框架中，成熟的微笑（平方）确实会爆发为τ-1/2，与（1.1）中的爆炸完全相同。不幸的是，正如我们前面提到的，股票价格的矩生成函数一般不可用，因此这种方法在这里不适用。2.3.4. 大时间渐近性。基于股票价格矩母函数的上述分析，可以用来研究后者的大时间行为。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 23:52:53

在p=1/2的情况下，计算是完全Black-SCHOLES在CEV随机环境中进行的，并且以下逐点极限来自简单的直接操作：limτ↑∞τ-1∧Z（u，τ）=（0，如果u∈ [0, 1],+∞, 否则这种渐近行为的性质同样不在标准大偏差分析的范围内，按照[10,50]的精神，需要进行繁琐的工作来探索这条路线。2.4. 期权价格的小时间行为和隐含波动性。在Black-Scholes模型中=√WSTDWTS从S=1开始，一个S trike EK和到期日T>0的欧洲c all选项值（2.8）BS（k，w，T）=N-K√wT+√wT！- ekN-K√wT-√wT！。对于任何k∈ R\\{0}，T>0，p>1，数量jp（k）：=Z∞学士学位k、 yT，TY-pdy，如果k>0，Z∞埃克- 1+BSk、 yT，TY-如果k<0，则pdy（2.9）定义良好，与T无关。事实上，由于股票价格是从一开始的马丁酒，买入期权总是以一为界，因此，对于k>0，Jp（k）≤苏格兰皇家银行（k，y/T，T）y-pdy+R∞Y-pdy。第二个积分是有限的，因为p>1。当k>0时，渐近行为为k、 yT，T~ 经验-k2y+ky3/2k√当y趋于零时，2π保持不变，所以limy↓0BS（k，y/T，T）y-p=0，因此积分是有限的。当k<0且使用put调用奇偶校验时，类似的分析也适用。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

能者818

2022-5-7 23:52:56

现在确定以下常数：（2.10）βp:=3- 2p，yp：=kξt（1）- p）βp，y*:=kξt，前两个仅在p<1时，注意βp∈ (0, 1); 从（0，∞) 致R:（2.11）f（y）：=k2y+y2（1）-p） 2ξt（1）- p），f（y）：=（yy）（1）-p） ξt（1）- p），g（y）：=k2y+log（y）ξt，g（y）：=log（y）ξt，8 ANTOINE JACQUIER和PATRICK ROOMEas以及以下由p参数化的参数：p<1 p=1 p>1c（t，p）f（yp）1/（2ξt）0c（t，p）f（yp）1/（2ξt）0c（t，p）f（yp）1/（t，p）6- 5p6- 4pg（y）*) -μξt2p- 1c（t，p）0克（y*) -μξt- 2 0c（t，p）ypy（1-p） pexpK-y2（1）-p） 2ξt（1）-p） +f′（yp）2f′（yp）kξq2πf′（yp）texpK-u2ξt+ulog（y*)ξt√π| k|-1ξ-3t-3/22（p- 1） e-y2（p-1） 2ξt（1）-p） J2p（k）（2（1）- p） ξt）η+1Γ（η+1）h（τ，p）τ2（p-1)/(3-2p）对数（τ）+logτ-1.h（τ，p）τ（p）-1)/(3-2p）（log | log（τ）|）| log（τ）| R（τ，p）Oτ(1-p） /（3）-2p）O|对数（τ）|O（τp）-1）表1。常数和函数列表以下定理（在第3.1节中得到证明）是本文的中心结果（尽管从隐含波动性的角度来看，它在下面的等价性更具实用价值）：定理2.1。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

能者818

2022-5-7 23:52:59

以下扩展适用于所有k∈ R\\{0}asτ趋于零：EeZτ- 埃克+= (1 - ek）+exp- c（t，p）h（τ，p）+c（t，p）h（τ，p）τc（t，p）| log（τ）|c（t，p）c（t，p）[1+R（τ，p）]。备注2.2。（i）每当p≤ 1、严格积极的坦诚关怀；函数总是严格正的；p<1时，顺式反应严格阳性；当p=1时，函数cand和ccan可以取正值和负值；（ii）每当p≤ 1，h（τ，p）≤ h（τ，p）表示τ小e nough，因此前导顺序由h提供；（iii）在对数正态情况下，p=1，h（τ，1）~ （对数τ）τ趋于零，因此期权价格的指数衰减由exp(-c（t，1）（对数τ））。利用定理2.1和Black-Scholes-mo-de l的小到期渐近（见[30，推论3.5]或[36]），直接将期权价格渐近转化为隐含波动率的渐近：定理2.3。对于任何k∈ R\\{0}，小到期y隐含波动率微笑表现如下：στ（k）~(1 - βp）kξt（1）- p） 2τβp，如果p<1，kξtτlog（τ），如果p=1，k2（2p- 1） τ| log（τ）|，如果p>1。该定理仅给出了当到期日变小时隐含波动率的前导阶渐近行为。原则上（遵循[17]或[36,38,60]）可以推导出高阶项，但在CEV随机环境中的Black-SCHOLES 9额外计算会影响这种奇异行为的清晰性。在货币k=0的情况下，隐含波动率收敛到一个常数：引理2.4。货币隐含波动率στ（0）收敛于E(√五）因为τ趋于零。引理的证明遵循类似于[50，引理4.3]的步骤，我们在这里给出了细节。事实上，它并不依赖于任何特定的分布形式√五、只要有期待就好。注意，根据定理2.3，当p从下面接近1时，爆炸率a接近τ-1.

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 23:53:04

当p趋于1时，爆炸率为1/（τ| logτ|），而非图d。因此，p=1时存在“不连续性”，实际爆炸率小于这两个极限。作为定理2.1的直接结果，我们有以下推论。定义以下函数：h*（τ，p）：=τ1-βp，如果p<1，对数（τ）-1., 如果p>1，对数（τ）-2，如果p=1，且∧*p（k）：=（c（t，p），如果p≤ 1,2p- 1，如果p>1，其中c（t，p）在表1中定义，并取决于k（throughyp）。推论2.5。任何p∈ R、序列（Zτ）τ≥ 0满足速度h的大偏差原则*（τ，p）与速率函数∧*pasτ趋于零。此外，只有当p<1时，该比率才是好的。回想一下，r e al值序列（Zn）n≥0满足速度n和速率函数∧的大偏差原则（有关该主题的详细介绍，请参见[22]）*如果，对于任何Borel subs et B R、不平等- infz∈Bo∧*（z）≤ 林恩芬↑∞N-1log P（锌）∈ B）≤ 林尚↑∞N-1log P（锌）∈ B）≤ - infz∈B∧*（z） hold，其中B和Bodenote是R中B的闭包和内部。速率函数∧*: R→ R∪ {+∞}, Bydefinition是一个较低的半连续、非负且不完全相同的函数，其水平集{x∈ R:∧*（十）≤ α} 全部关闭≥ 0.当这些水平集是紧致的（在R中）时，它被称为一个go od速率函数。证据定理2.1的证明仅对数字选项进行了少量修改，这些数字选项的概率等价于P（Zτ）形式≤ k）或P（Zτ）≥ k）。为了p∈ (-∞, 1] ，我们可以证明limτ↓0h*（τ，p）对数p（Zτ）≤ k） =-infΛ*p（x）：x≤ K.当k>0且p<1且∧时，该上限为零*（十）≡ 1/（2ξt）是常数。现在考虑一个openinterval（a，b） R

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 23:53:07

因为（a，b）=(-∞, b） (-∞, a] 然后通过∧的连续性和凸性*p、我们得到了limτ↓0h*（τ，p）对数p（Zτ）∈ （a，b））=- infx∈（a，b）∧*p（x）。然后，根据大偏差原则的定义得出推论[22，第1.2节]。当p∈ (1, ∞),唯一非平凡的速度选择是|（对数τ）-1 |，在这种情况下，limτ↓0 |（对数τ）-1 |对数P（Zτ）≤ k） =-（2p）- 1).很明显，常数函数是一个速率函数（水平集，要么是空集，要么是直线，在r中是闭合的），其推论如下。备注2.6。在p=1/2的情况下，如第2.3.4节所述，Z的力矩母函数可用闭合形式。然而，大偏差原理并不遵循G–artner-Ellis定理，因为mgf的逐点重标度极限是退化的（在（2.7）的意义上）。10 ANTOINE JACQUIER和PATRICK ROOME2。4.1. 货币倾斜和凸性的小m自然性。本节的目的是计算当成熟度变小时，微笑的货币倾斜和凸度的渐近性。这些数量对于在真实数据上实际观察它们（或其近似值）的交易者很有用。我们通过-kστ（0）：=limk↑0kστ（k）|k=0和+kστ（0）：=limk↓0kστ（k）|k=0，类似地-kkστ（0）：=limk↑0kkστ（k）|k=0和+kkστ（0）：=limk↓0kkστ（k）|k=0。下面的引理描述了一般情况下的这种短期行为，其中V是[0]上支持的任何随机变量，∞).引理2.7。考虑（2.1）并假设E（Vn/2）<∞ 对于n=-1,1,3和mt:=P（V=0）<1。当τ趋于零时，±kστ（0）~ ±mtE(√V）√π√2τ,-kkστ（0）~ +kkστ（0）~E(√五） τE五、-1/2- E(√V）-1.1.-mt√π.当mt>0时，货币左偏的值会爆炸到-∞ 而货币右倾化的趋势也会爆发+∞.此外，货币凸度下的小到期日倾向于不完整。证据我们首先关注的是资金倾斜。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 23:53:12

通过定义具有对数货币性k和到期时间τ的看涨期权价格，C（k，τ）=BS（k，στ（k），τ），因此kC（k，τ）=kBS（k，στ（k），τ）+kστ（k）wBS（k，στ（k），τ）。同样通过（3.1），Fubini y lds（2.12）的即时应用kC（k，τ）=Z∞kBS（k，y，τ）P（V）∈ dy）+mtK1.- 埃克+,我们首先假设mt=0。然后通过（2.13）给出货币倾斜的平均值kστ（k）|k=0=wBS（k，στ（k），τ）|k=0-1.Z∞kBS（k，y，τ）| k=0P（V）∈ (dy)- kBS（k，στ（k），τ）|k=0.现在请注意，对于任意固定y>0和任意整数N，BS（0，y，τ）=1- N√yτ=+NXn=0αnyn+1/2τn+1/2+OτN+3/2,对于某些显式序列（αn）n≥0，因为τ趋于零，所以C（0，τ）=Z∞BS（0，y，τ）P（V）∈ dy）=+NXn=0αnτn+1/2EVn+1/2+ OτN+3/2.这允许我们重新定义引理2.4，因此，对于任何N，都存在一个序列（σN）N=0，。。。，确保στ（0）=NXn=0σnτn+OτN+1.我们现在对mone y skew的。自从kBS（k，στ（k），τ）|k=0=-N-στ(0)√τ,显然，它承认了与买入价相同的（模符号）扩张，它遵循fr om（2.13），右边的差异将始终为零，引理如下。当mt>0时，我们需要在CEV随机环境11中使用ht导数Black-SCHOLES来计算原子项。自从-K1.- 埃克+|k=0=-kk1.- 埃克+|k=0=-1和+K1.- 埃克+|k=0=+kk1.- 埃克+|k=0=0，引理中的渐近偏差紧随其后。小成熟度凸性遵循类似的论点，我们只概述了这些论点。自从kkC（k，τ）=kkBS（k，στ（k），τ）+2kστ（k）wkBS（k，στ（k），τ）+kστ（k）wwBS（k，στ（k），τ）+kkστ（k）wBS（k，στ（k），τ），kkC（k，τ）=Z∞kkBS（k，y，τ）P（V）∈ dy）+mtkk1.- 埃克+,然后kkστ（0）=wBS（0，στ（0），τ）-1.kkC（0，τ）- kkBS（0，στ（0），τ）=wBS（0，στ（0），τ）-1.Z∞kkBS（k，y，τ）P（V）∈ (dy)- kkBS（0，στ（0），τ）+mtkk1.- 埃克+,这个引理后面是类似于歪斜情况的简单计算。2.5.

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

kedemingshi

2022-5-7 23:53:16

期权价格的大时间行为和隐含波动性。在本节中，我们计算期权价格和隐含波动率的大时间行为。第3.2节给出了证明。事实证明，渐近性是指期权价格以代数方式衰减为其内在价值的德根速率。渐近的结构取决于CEV参数p以及原点是反射还是吸收：定理2.8。确定以下数量：M（η）：=3-6p-ηΓ- 2p√πΓ(1 + η)|1 - p | 2η+1（ξt）η+1exp-y2（1）-p） 2ξt（1）- p）！，η在（2.3）中给出。以下扩展适用于所有k∈ R asτ趋于一致性：（i）如果p<3/4且原点为吸收，则eZτ- 埃克+= 1.- mt+mt（1）- （埃克）+- 8ek/2y- 2pM(-η） 1+Oτ-1.τ2-2p；（ii）如果p<1/4且来源反映了eZτ- 埃克+= 1.- ek/2M（η）1+Oτ-1.τ1-2便士。对于p的其他值，更难推导出渐近性，我们将其留给未来的研究。期权价格的趋同行为与Black-Scholes渐近性（引理A.2）基本不同，目前尚不清楚是否可以推导出隐含波动率的渐近性。例如，固有值不一定匹配，因为τ由于原点的质量而趋于一致。唯一的例外是，当原点是反折射时，在这种情况下，隐含波动率趋于零。这个结果是将定理2.8直接转化为隐含波动率渐近性：定理2.9。如果p<1/4且原点为反折射，则以下逐点限值适用于所有k∈ R:limτ↑∞τlogτστ（k）=8（1- 2p）。证据我们可以通过计算Black-ScholesCall价格B（k，y，τ）的渐近行为直接证明这一说法，因为成熟度τ趋于完整（从点上看，对于任何k>0，y）∈ R），参见L emma A.2，并将其与定理2.8（ii）中的买入价格扩展进行比较。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

可人4

2022-5-7 23:53:19

相反，我们选择应用Tehranchi的12 ANTOINE JACQUIER和PATRICK ROOMEresult[66]，这是第一个完全独立于模型的隐含资产的大成熟度行为研究。假设（a）基础股价exp（Z）是P下的非负局部鞅，以及（b）exp（Zt）c几乎肯定会随着时间趋于一致而趋于零，Tehranchi[66，定理3.1]证明了（2.14）στ（k）=-8日志EeZτ∧ 埃克- 4原木-日志EeZτ∧ 埃克+ 4k- 4 logπ+ε（k，τ）然后在实线的紧致子集上保持一致，因为τ趋于一致，其中函数ε（·）考虑了高阶误差项。显然，我们的模型满足上述两个假设。值得注意的是，（b）相当于随着到期日趋于完整（例如，参见[62，引理3.3]）而收敛到1的看涨期权价格。使用几乎确定等式（eZτ- ek）+=eZτ- eZτ∧ ek，以及（eZτ）τ≥ 0是一个真鞅，那么就可以直接证明定理2.9来自定理2.8（ii）和Tehranchi的扩展（2.14）。备注2.10。事实上，定理2.9的证明实际上提供了高阶项，但为了简洁起见，我们省略了它们。定理2.9（i）的情况表明，调用选择原则收敛到1- mt+mt（1）- ek）+=（1- mt，如果k≥ 0,1 - mtek，如果k<0，则随着成熟度趋于一致。自从mt.以来，这个常数从来都不等于零∈ （0，1），因此Tehranchi的假设（b）（在定理2.9的证明中）失败。虽然我们在这里提供了隐含波动率的大时间行为，但我们无意将此模型用于具有大到期日的期权。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

可人4

2022-5-7 23:53:22

我们的意图（如第1节所述）是将其用作更高级模式ls（如从连续分布中采样初始方差的随机波动率模型）的构建块，以便我们能够更好地匹配stee p小成熟度。在这些更复杂的模型中，大时间行为更多地由所选的s-tochastic volatilitymodel控制，而不是初始方差分布的选择（参见[48,49]示例），尤其是当方差过程具有一些遍历特性时。这也建议使用这类模型引入两个不同的时间尺度：一个匹配小时间微笑（初始变量的分布），另一个匹配中到大时间微笑（所选的随机波动率模型）。我们将这一点留给进一步的（正在进行的）研究，并引导感兴趣的读者阅读第2.7节，在这一节中，我们将更直观地了解如何使用该框架进行前瞻性启动选项。2.6. 数字。我们在这里提供两种类型的数值例子。在第2.6.1节中，我们展示了根据（2.1）随机选择Black-Scholes模型是如何扭曲Black-Scholes隐含的标准曲面的，并且ge-ne认为这是一个逼真的曲面。在第2.6.2节中，我们将隐含波动率微笑的渐近结果与（2.1）生成的真实微笑进行数值比较。2.6.1。Black Scholes CEV表面。这里我们考虑以下值：（2.15）t=1，ξ=20%，p=0.5，y=10%，S=1。在图1中，我们根据（2.15）中给出的值绘制了由（2.1）生成的隐含波动率曲面。首先，请注意，与标准的Black-Scholes模型相反，曲面没有弯曲。第二，也是更重要的一点，当成熟度变小时，微笑变得更加陡峭、更加明显。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

kedemingshi

2022-5-7 23:53:26

这是股票市场上一个广泛认可的事实，似乎验证了本文所允许的方法。请注意，BLACK-SCHOLES在CEV随机环境13中，根据第2.3.2节，可以对CEV分量的参数进行泰勒变换，以匹配微笑翅膀的任何期望（无套利）斜率。图1。BS-CEV隐含波动率面，参数见（2.15）。2.6.2。渐近线。我们使用表示（3.1）和全局自适应GaussKronrod求积方案计算期权价格。然后，我们用一个简单的寻根算法计算微笑。在图2（a）、（b）a和（c）中，我们绘制了不同到期日的微笑和CEV功率p的值。模型参数为y=0.07，ξ=0.2y1/2-pand t=1/2。请注意，我们将ξ设置为每个p的不同值。这是一个参数，以便模型具有可比性：然后用相同的单位给出ξ，并且EV方差动态的二次变化与p的不同值近似匹配。随着成熟度变小，曲线图显示了微笑的陡度，以及p在小成熟度s英里形状中的作用。请注意（如前几节所述），随机方差会对小的到期波动率产生冲击，然后溢出。冲击的形状取决于CEV的功率，p。货币波动率（对于K/∈ [0.9,1.1]）随着p的增加，爆炸速度加快（这可以从定理2.3中看出）。波动性接近于货币K∈ [0.9,1.1]随着p的增加，爆炸性似乎更小，这可以从定理2.3中渐近系数的走向依赖性得到解释。为了将渐近性与真实微笑进行比较，我们使用定理2.1将定理2.1推广到更高阶。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 23:53:29

对于ca sep<1，k6=0，我们发现στ（k）~ a（k）τ-βp+a（k）τ-pβpasτ随着a（k）：=（1）趋于零- βp）kξt（1）- p）βp，a（k）=2f（yp）a（k）k，以及（2.10）-（2.11）中定义的βp，yp和fde。首先，我们看到了与图e 2（d）中真实微笑的密切匹配。应用于前向微笑渐近线。我们现在展示了我们的模型（2.1）和上面推导的隐含波动率的渐近性如何直接转化为随机波动率模型中正向隐含波动性的渐近性。对于给定的鞅过程eX，一个具有resetdate t、到期日t+τ和str-ike-ekis-worth的前向启动期权，在初始时，E（exp（Xt+τ- Xt）- ek）+。在Black-Scholes模型中，增量的平稳性意味着该期权仅等于eX（从X=0开始）上的标准看涨期权，其走向Ek和成熟度τ；因此，我们可以定义远期隐含波动率σt，τ（k），类似于标准隐含波动率（详见[48]）。假设14安托万·杰奎尔和帕特里克·罗姆（a）p=0.2。（b） p=1（c）p=1.3（d）实际与无症状图2。在（a）、（b）、（c）中，我们绘制了k7→ στ（logk）表示1/12（圆形）、1/2（正方形）、1（菱形）、2（三角形）和5（向后三角形）的概率，用于增加CEV功率p的值。在（d）中，我们使用定理2.3绘制了p=0.2和τ=1/100（圆形）的实际小成熟度微笑，以及第零（方形）和第一阶（菱形）微笑。文中给出了模型的参数。对数股价过程X满足以下SDE：（2.16）dXs=-Ysds+pYsdWs，X=0，dYs=ξsYpsdBs，Y=Y>0，dhw，Bis=ρds，带p∈ R、 |ρ|<1和W，B是两个标准的布朗运动。固定向前开始日期t>0，并设置ξu:=（ξ，如果为0≤ U≤ t、 \'ξ，如果u>t，其中ξ>0和\'ξ≥ 0.这包括具有零均值反转的Heston（p=1/2）和3/2（p=3/2）模型，以及SABR模型（p=1）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 23:53:32

设X（t）τ：=Xt+τ-Xt表示远期价格过程，le t CEV（t，ξ，p）是分布，使得Law（Yt）=Law（V）=CEV（t，ξ，p）。那么下面的引理成立：引理2.11。在模型（2.16）中，远期价格过程X（t）·求解以下SDE系统：（2.17）dX（t）τ=-Y（t）τdτ+qY（t）τdWτ，X（t）=0，dY（t）τ=Y（t）τpdBτ，Y（t）~ CEV（t，ξ，p），CEV随机环境中的BLACK-SCHOLES，其中Y（t）独立于布朗运动（Wτ）τ≥ 0和（Bτ）τ≥ 0.这个引理清楚地表明，随机波动率模型中的远期启动期权是股票价格上的欧式期权，其动力学与（2.16）相似，但初始方差是从远期启动日期的方差分布中取样的。当ξ=0时，X（t）·=Z和向前微笑的渐近性紧随其后：推论2.12。如果ξ=0，定理2.1，定理2.3和引理2.4都成立，Z=X（t）·和στ=σt，τ。备注2.13。（i）推论2.12明确地将方差e分布的右尾在向前开始日期的形状和肥度与小成熟向前微笑的渐近形式和爆发率联系起来。例如p>1：右翼的方差密度由多项式y决定-2p和y的指数依赖性是无关的。因此，在这种情况下，p越小，右尾越胖，因此膨胀系数越大。这也解释了远期启动期权价格的代数（而非指数）依赖性。（ii）p>1情况下的渐近性是极端的，对τ的代数依赖性类似于小成熟指数L’evy模型。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 23:53:36

这种极端性质与方差分布右尾的肥满度有关：例如，3/2模型（p=3/2）允许出现瞬时波动率极高的极端路径（参见[26，图3]）。（iii）当p∈ (-∞, 1/2). 直觉上，这是因为吸收或反射主要影响左尾，而小成熟度前向微笑容易受到方差分布右尾形状的影响。（iv）当推论2.12中的p=1/2时，赫斯顿模型的渐近性与[50，定理4.1]中的相同。这表明，决定小到期远期利率的关键数量是远期开始日期的变量分布，而不是股票价格的实际动态。（v）实践者[4,16]指出，赫斯顿模型（p=1/2）产生的小成熟度前向微笑过于凸出和“U形”，与观察结果不一致，但基于SABR或对数正态分布的模型（p=1）产生的小成熟度前向微笑较少凸出或“U形”。我们的研究结果为这种影响提供了理论依据。我们在第2.6节和图2中观察到，随着p的增加，接近货币的罢工的爆炸效应更加稳定。定理2.3中的同情隐含波动率的罢工依赖性由K 7给出→p | log K |对于p=1/2和k7→ |对数K | forp=1。从图表中可以明显看出，对于p≥ 1.3. 校样。1.定理2.1的证明。设C（k，τ）：=E（eZτ）-ek）+。这个函数显然依赖于参数t，但我们在符号中省略了这种依赖性。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

可人4

2022-5-7 23:53:39

塔的性质意味着（3.1）C（k，τ）=Z∞BS（k，y，τ）ζp（y）dy+mt1.- 埃克+,式中，BS在（2.8）中定义，ζpis在（2.5）中给出V的密度，Mt是原点处的质量（2.4）。我们的目标是当τ趋于零时，理解该积分的渐近性。我们将定理2.1的证明分为三部分：在第3.1.1节中，我们证明了情况p>1，在第3.1.2节中，我们证明了情况p∈ (-∞, 1）第3.1.3节我们证明了p=1的情况。我们只证明了k>0时的结果，当k<0时，论点完全成立16 ANTOINE JACQUIER和PATRICK Roomeanalogus。关键的洞察是，在计算渐近性之前，必须根据随机性τ重新调整方差。重定标的性质主要取决于CEV功率p，并且在每种情况下都会产生根本不同的渐近结果。请注意，对于k>0，1.- 埃克+= 0，因此（3.1）中的原子项与分析无关。当k<0时，参数与Put调用奇偶性类似。3.1.1. 病例：p>1。在引理3.1中，我们证明了CEV密度的一个界。这足以让我们在通过τ重新调整方差后，在引理3.2中证明期权价格的符号。这种重定标是至关重要的，因为它是唯一一个使BS（k，y/τ，τ）独立于τ的重定标。设χ（τ，p）：=τ2p | 1- p|ξtΓ（1+|η|）2(1 - p） ξt|η| exp-y2（1）-p） 2ξt（1）- p）！，我们有以下引理：引理3.1。当p>1时，以下界限适用于所有y，τ>0的CEV密度：ζpyτ≥χ（τ，p）y2p（1）-2ξt（1）- p）τy2p-2），ζpyτ≤χ（τ，p）y2p（1+expy2）-2p2（p- 1） tξ！“2ξt（1- p）τy2p-2+ξt（1）- p）τyyP-1#).证据

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 23:53:42

从[55，等式（6.25）]我们知道，对于x>0和ν>-1/2，修改后的贝塞尔函数满足（3.2）Γ（ν+1）十、ν≤ Iν（x）≤exΓ（ν+1）十、ν、因此，（2.5）中CEV密度的表达式意味着对于p>1，χ（τ，p）y2pexp-2ξt（1）- p）τy2p-2.≤ ζpyτ≤χ（τ，p）y2pem（y，τ），其中m（y，τ）：=-2ξt（1）- p）τy2p-2+ξt（1）- p）τyyP-1.对于固定τ>0，注意m（·τ）：R+7→ R+在y=yτ时取最大正值，m（yτ，τ）=y2-2p/（2（p- 1） tξ）。当m（·）>0时，带余数的泰勒定理对某些γ产生em（y，τ）=1+eγm（y，τ）∈ （0，m（y，τ）），因此em（y，τ）≤ 1+em（yτ，τ）m（y，τ）。如果m（·）<0，则em（y，τ）≤ 1+| m（y，τ）|≤1+em（yτ，τ）|m（y，τ）|。上界的结果随后是|m（y，τ）|的三角形不等式。下界仅由不等式1得出- 十、≤ E-x、对x>0和1有效-2ξt（1）- p）τy2p-2.≤ 经验-2ξt（1）- p）τy2p-2.引理3.2。当p>1时，定理2.1成立。CEV随机环境中的BLACK-SCHOLES证明。替代物→ y/τ和（3.1）意味着期权价格读数为C（k，τ）=R∞BS（k，y，τ）ζp（y）dy=τ-1R∞BS（k，y/τ，τ）ζp（y/τ）dy.利用引理3.1和定义（2.9），我们得到以下界限：χ（τ，p）τJ2p（k）-τ2p-22ξt（1）- p） J4p-2（k）≤ C（k，τ），χ（τ，p）τ“J2p（k）+expy2-2p2（p- 1） tξ！τ2p-22ξt（1）- p） J4p-2（k）+τp-1ξt（1）- p） yp-1J3p-1（k）#≥ C（k，τ）。因此，对于τ<1：C（k，τ）τχ（τ，p）J2p（k）- 1.≤ expy2-2p2（p- 1） tξ！J4p-2（k）2ξt（1）- p） J2p（k）+J3p-1（k）ξt（1）- p） yp-1J2p（k）！τp-1证明了引理，因为J2p（k）是严格正的，有限的，与τ无关。3.1.2. 病例：p<1。我们使用（3.1）中的表示法，将积分域分解为紧部分和有限（尾）部分。我们在引理3.4中证明了尾积分是指数次占优的（与紧致部分相比），并在引理3.5中导出了积分的渐近性。这使我们可以将拉普拉斯方法应用于积分。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 23:53:47

我们从第一类修正贝塞尔函数的下界开始，然后在引理3.4中证明尾部估计。引理3.3。以下界限适用于所有x>0和ν>- 3/2:Iν（x）<ν+2Γ（ν+2）十、νe2x。证据让x>0。从[64，定理7，第522页]中，不等式Iν（x）<Iν+1（x）/Iν+2（x）在任何时候都成立≥ -2，因此将其与（3.2）相结合（仅对ν>-1/2），我们可以写出ν（x）<Γ（ν+3）Γ（ν+2）十、νe2x，当ν>-3/2. 然后，引理来自平凡恒等式Γ（ν+3）=（ν+2）Γ（ν+2）。引理3.4。设L>1，p<1。当τ趋于零时，下面的尾部估计成立：Z∞磅k、 yτβp，τζpyτβpdy=Oexp-4ξt（1）- p）L1-pτ（1）-βp）/2- y1-P!!.证据引理3.3和（2.5）中的密度意味着ζpyτβp≤bτ-2pβpy-2exp-2ξt（1）- p）y1-pτβp（1）-p）- y1-P+（yy）1-pτβp（1）-p） ξt（1）- p）！，式中，常数bis由（η+2）|1给出- p|ξtΓ（η+2）2(1 - p） ξtη、响应。(|η| + 2)|1 - p |ξtΓ（|η|+2）2(1 - p） ξt|η|，18 ANTOINE JACQUIER和PATRICK ROOMEif当p<1/2时，起源是反射（吸收）的；然而，bis的准确值与分析无关。现在设定L>1。利用这个上界和无套利不等式BS（·）≤ 1.我们发现∞磅k、 yτβp，τζpyτβpdy≤Z∞Lζpyτβpdy≤bτ-2pβpZ∞利索-2exp-2ξt（1）- p）y1-pτβp（1）-p）- y1-P+（yy）1-pτβp（1）-p） ξt（1）- p） !！dy≤bτ-2pβpZ∞Ly1-2exp-2ξt（1）- p）y1-pτβp（1）-p）- y1-P+（yy）1-pτβp（1）-p） ξt（1）- p） !！dy，自y1以来的最后一行-2p>y-2便士。设置q=y1-p/τβp（1）-p）- y1-P/(ξ√t（1）- p））yie ldsZ∞Ly1-2exp-y1-pτβp（1）-p）- y1-P2ξt（1）- p） +（yy）1-pτβp（1）-p） ξt（1）- p）dy=ξ√t（1）- p） τ2βp（p-1)\"ξ√t（1）- p） Z∞Lτq exp“-q+y1-pqξ√t（1）- p） #dq+y1-pZ∞Lτexp“-q+y1-pqξ√t（1）- p） #dq#，（3.3）带Lτ：=L1-p/τβp（1）-p）- y1-P/(ξ√t（1）- p））>0表示τ足够小，因为L>1和p∈ (- ∞, 1).

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝