马尔可夫定价核的马丁积分表示

2022-5-8 00:43:05

马尔可夫模型的马丁积分表示*纽约大学库兰特数学科学研究所注册日期：2014年11月25日第一版：2015年4月1日摘要本文的目的是描述当给出风险中性度量时，市场参与者对马尔科夫环境下客观度量的所有可能信念。为了实现这一点，我们使用马尔可夫定价核的马丁积分表示。然后，我们讨论这一代表性的经济和财务影响。这种表述用于分析市场中状态变量的长期行为。罗斯恢复定理和cas-h-flows的长期行为作为应用进行了讨论。1导言反融资理论涉及两个相关的概率模型：风险中性度量和客观度量。风险中性指标决定或有目标的市场价格。索赔的价格是预期的贴现现金流，预期为风险中性。它不同于客观指标，客观指标描述了市场的实际随机动态，或者至少是参与者对市场的信念。目标测度上的定价核（或数值）由风险中性测度和目标测度之间的关系确定。我们用Lt表示定价核的倒数。在本文中，将在定价核中假设一种特殊形式，称为马尔可夫结构；Lt=eβtφ（Xt）φ-1（X）对于某些正函数φ，实数β和马尔可夫扩散状态变量Xt。φ函数被称为市场的主函数。这个马尔可夫结构*hyungbin@cims.nyu.edu, hyungbin2015@gmail.c在资产定价理论的许多研究中，定价核被广泛接受。

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2022-5-8 00:43:08

例如，在[4]，[15]中基于消费的资本资产定价模型（CCAPM）中，pricingkernel具有马尔可夫结构。本文的目的是描述在马尔可夫环境下，当给出风险中性度量时，市场参与者对客观度量的所有可能信念。为了实现这一点，我们采用了马尔可夫核的马丁积分表示。然后，我们讨论这种代表性的经济和财务影响。这种代表性有助于分析市场中状态变量的长期行为。作为应用，讨论了罗斯恢复定理和现金流的长期行为。我们将证明主函数可以由以下两个性质表征。首先，β和φ满足以下二阶偏微分方程（1.1）NXi，j=1aij（x）ijφ（x）+NXi=1ki（x）iφ（x）- r（x）φ（x）=-βφ（x），其中Xt和r（·）满足第2节中的假设1、2和3。第二，eβt-Rtr（Xs）dsφ（Xt）φ-1（X）是风险中性测度下的鞅。任何满足两个性质的函数φ都将被称为容许函数，并且可以作为主函数。因此，描述客观度量的问题转化为确定可容许函数的问题。马丁积分表示理论有助于描述容许函数。任何容许函数φ都可以用φ（x）=ZΓk（x；y）dΓφ（y）表示，其中k是马丁核，Γ是最小边界上的容许马尔特，Γφ是Γ上相应的有限测度。相反，对于Γ上支持的任何有限度量u，φ（x）≡ZΓk（x，y）du（y）是一个容许函数。综上所述，对Γ的客观度量和有限度量之间存在一对一的对应关系。

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2022-5-8 00:43:11

每个客观指标都可以通过Γ上相应的确定指标来确定。这种表示有助于分析客观测度下状态变量的长期行为。当XTT在客观指标下进入细化时，XTT的“极限分布”可以用相应的指标u来描述。如果一个过程是正循环的，那么极限分布的意义是明确的。然而，如果X是暂时的，那么通常意义上的极限分布并不存在。在研究长期行为的同时，这种现象使瞬态过程更难研究。马丁表示法有助于克服这一问题。事实上，度量u可以被视为限制分布的“扩展含义”。我们将在第6节中看到这个主题。作为应用，罗斯恢复定理将在第7节中讨论。最近，许多作者研究了回收文献中的马尔可夫定价内核。Ross[24]认为，在马尔可夫结构下，从风险中性度量中唯一确定客观度量是可能的。他假设t是一个状态变量，在离散时间t上有无数个状态∈ 作者综合运用了经济论证和数学分析。根据风险中性度量确定马尔可夫环境下客观度量的理论称为罗斯恢复理论。许多作者将原始的R oss恢复定理推广到具有时间齐次马尔可夫扩散过程的连续时间集，该过程具有状态空间R或RN。他们发现（β，φ）满足上述二阶微分方程（1.1）。因此，恢复定理转化为一个问题，即寻找φ（·）>0的特定微分方程的特定解对（β，φ）。

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2022-5-8 00:43:14

如果这样的解决方案对是唯一的，那么我们可以成功地恢复客观度量。不幸的是，这种方法显然无法实现恢复，因为这样的解决方案对从来都不是唯一的。我们在第4节讨论这个问题。许多作者将罗斯模型推广到连续时间环境，并面临非唯一性问题。为了克服非唯一性问题，他们在模型上使用了更多的条件，使得微分方程（1.1）有一个满足条件的唯一解对。Carr和Yu[6]假设该过程是一个有界区间上的一维时间齐次马尔可夫扩散，在两个端点都有规则的边界。Dubynskiyand Goldstein[9]研究了带有反射边界条件的马尔可夫扩散模型。瓦尔登[25]将Carr和Yu的结果推广到XT是无界过程的情况。瓦尔登证明，如果过程在客观条件下是重复的，那么恢复是可能的。Qin和Linetsky[23]证明，如果在客观测度下XT是重复的，Mokovian-Borel-rightprocess XT的恢复是可能的。Borovicka、Hansen和Scheinkman[2]表明，如果过程在客观测度下是随机稳定的，则恢复是可能的。Borovicka、Hansen和Scheinkman[2]、Qin和Linetsky[23]以及Walden[25]的论文在Xt上假设了一个共同的条件。具体而言，XTI在客观衡量标准下再次出现。该条件的数学原理是克服微分方程（1.1）的非唯一性问题。事实上，如果存在，方程（1.1）有一个唯一的解对（β，φ）满足这个条件。我们将在第7节中回顾这一点。有一些关于瞬态过程Ross恢复的研究。

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2022-5-8 00:43:18

Par k【19】证明，如果已知β，并且在客观测度下X不被吸引到左（或右）边界，则一维马尔可夫扩散X的恢复是可能的。作者还以图解的方式理解了罗斯恢复定理。在本文中，作为Martin积分表示法的一个应用，我们将研究在客观测度下瞬时的多维Makovian扩散恢复。在研究多维过程时，我们首先讨论为什么短暂恢复是不可避免的。然后，我们将证明Ross恢复等价于选择一个数β和一个有限测度uo nΓβ，其中Γβ是最小边界中相应的容许值。对于另一个应用，我们在第8节中研究了现金流的长期行为。Borovicka、Ha nsen和Scheinkman在[2]中研究了现金流的长期衰减（或增长）率。在这篇文章中，我们从马丁代表的角度来研究他们的工作。以下是本文的概述。我们首先在第2节中建立了马尔可夫经济模型，然后在第3节中研究了风险中性度量和客观度量之间的关系。第4节探讨了重现性/瞬时性的概念。第5节，我们研究了马尔可夫定价核的马丁积分表示。状态变量的长期行为见第6节。第7节，作为马丁理论的应用，讨论了罗斯恢复。此外，我们将在第8节探讨现金流的长期行为。最后一部分对本文进行了总结。2马尔可夫定价核风险中性金融市场定义为概率空间(Ohm, F、 Q）具有无量纲标准布朗运动Wt:=（W（t），W（t），···，WN（t）），过滤系数F=（Ft）∞t=0由Wt生成。

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2022-5-8 00:43:21

本文中的所有过程都被假定为适应过滤。Q被称为该市场的风险中性度量。我们假设市场中存在一个状态变量XT和一个短期利率过程RTI。设P是市场上关于风险中性测度Q的任何等价测度。在本文中，测度P起到了客观测度的作用。假设3中Q和P之间有一个特殊的关系。将Radon Nikodym导数b设置为∑t:=dQdP我们知道，1/1∑是Q下的鞅ale。利用鞅表示定理，我们可以用SDE格式∑t=∑tρt·d对于某些ρt。众所周知，由（2.1）dBt定义的b=-ρt·dt+dwt是P.假设1下的N维布朗运动。短期利率由Xt决定。更准确地说，有一个连续的正函数r（·），使得rt=r（Xt）。通过Lt=eRtr（Xs）ds/σt确定定价核的倒数。然后（2.2）dLtLt=（r（Xt）+ρt |）dt+ρt·d Bt=r（Xt）dt+ρt·dwt。我们定义了一个定价运算符Ptby（2.3）Pt（f）：=EQhe-Rtr（Xs）dsf（Xt）i.假设2。状态变量Xt=（X（t），X（t），···，XN（t））是一个满足以下随机微分方程的N维时间齐次马尔可夫扩散过程。dXi（t）=ki（Xt）dt+σi（Xt）·dwt，对于i=1，2，··，N，其中σi（·）=（σi1（·），σi2（·），··，σiN（·））。设aij:=Pkσikσkj。我们假设pricingoperator在域D上引导极小的生成器L RNLh（x）=NXi，j=1aij（x）ijh（x）+NXi=1ki（x）ih（x）- r（x）h（x）满足aijand Kia对于所有i，j on D和thatPi是连续的，jaij（x）vivj>0对于所有x∈ D和v∈ 注册护士- { 0}.假设3。（马尔可夫定价核）假设Q和P之间的关系由正函数φ决定∈ C（RN）和一个数β。

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2022-5-8 00:43:24

更精确地说，LTI由（2.4）Lt=eβtφ（Xt）φ表示-1（X）。等价地，∑写了再见-βt+Rtr（Xs）dsφ-1（Xt）φ（X）。在这种情况下，我们说β，φa分别是关于测度p的p ri ncipal因子和主函数。这对（β，φ）被称为与度量P相对应的主对。例如，CCAPM的标准参数表示pricingkernel由t=eβtU′（c）U′（ct）表示，其中U是代表性代理的可用性，β是折扣因子，CTI是聚合消费过程。3转化测度在本节中，我们研究转化测度的概念。首先，我们看到主对满足一个二阶偏微分方程。将Ito公式应用于（2.4），我们得到了DLTLT=βdt+NXi，j=1aij(ijφ）φ-1+NXi=1ki(iφ）φ-1.（Xt）dt+NXi=1(iφ）φ-1.我！（Xt）·dw与（2.2）相比，我们知道dltlt=r（Xt）dt+ρt·d Wt。通过比较这两个方程，我们得到（3.1）Lφ（x）=-βφ（x），ρt=NXi=1(iφ）φ-1.我！（Xt）=σ*·φφ（Xt）。定理3.1。设（β，φ）为主对。然后（β，φ）满足Lφ=-βφ.然而，任何h>0的解对（λ，h）都不能作为主对。参考下面的定理3.2。Transfor med测量值的定义如下。设（λ，h）为任意解对Lh=-λh，h>0。很容易检查eλt-Rtr（Xs）dsh（Xt）h-1（X）是Q下的局部鞅。当这是一个鞅时，（λ，h）可以通过将Radon-Nikodym导数设为eλt来导出一个新的测度-Rtr（Xs）dsh（Xt）h-1（X）。这项新措施可以作为一项客观的措施。定义3.1。我们说一个解对（λ，h）为lh=-λp是容许对，或者我们说h是关于λ的容许f函数，如果eλt-Rtr（Xs）dsh（Xt）h-1（X）是鞅。定理3.2。主函数是容许函数。

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2022-5-8 00:43:28

相反，可容许函数可以用作主函数。定义3.2。设（λ，h）为容许对。由风险中性测量Q通过Radon Nikodym导数·dQ获得的测量值Ft=eλt-Rtr（Xs）dsh（Xt）h-1（X）称为关于容许函数h或容许对（λ，h）的变换测度。我们通过（2.1）和（3.1）得到以下命题。建议见3.1。由DBT定义的过程BTT=-σ*·啊（Xt）dt+dwt是关于h的变换测度下的布朗运动。此外，XtfollowsdXi（t）=基爱·啊（Xt）dt+σi（Xt）·dBtwhere ai=（ai1，·aiN）。即使当eλt-Rtr（Xs）dsh（Xt）h-1（X）不是鞅，我们可以考虑与运算符l+a对应的微分过程·hh·其中L=L+r定义3.3。与运算符L+a相对应的扩散过程·hh·被称为由h.4重现和瞬变引起的扩散过程。作为一个数学预备，我们回顾了重现/瞬变和临界之间的关系。本节归功于[21]。为了方便起见，我们把G=Gλ=L+λ。必要的=H∈ C（D）| Gh=0，h（·）>0.定义4.1。我们说（i）G是次临界的，如果它具有格林函数，（ii）G是临界的，如果它不是次临界的，但cg不是空的，（iii）G是超临界的，如果它既不是临界的，也不是次临界的。定理4.1。如果G是临界的，那么cg是一维的。我们感兴趣的是Lh=-λh与正函数h.定理4.2。存在一个数值β>0，即L+λ对于λ<β是亚临界的，对于λ>β是超临界的，对于λ=β是临界的或亚临界的。r（·）是非负的假设对于这个定理是必要的。请参见Pinsky第148页以获取证据。因此，Lh=-λh始终是h>0的解对（λ，h）。我们将临界性的概念与重现性和反应性的概念结合起来。

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2022-5-8 00:43:31

对于RN中的o笔集U，我们设置σU:=inf{t≥ 0 | Xt/∈ U} 。定义4.2。如果Probx（σB（y）<∞) = 1对于所有x，y∈ D和>0。定义4.3。对于所有x，扩散过程Xton D称为瞬态if∈ D、 Probx（Xtis最终在Dn中）=1，对于所有n=1，2，··，其中{Dn}∞n=1是一系列满足Dn的域 Dn+1和Dn Dn+1和∪∞n=1Dn=D。众所周知，扩散过程要么是周期性的，要么是短暂的，但不能两者兼而有之。临界性和次临界性分别与重现性和瞬时性密切相关。定理4.3。如果G是临界的，那么Xt在相应的变换测度下是循环的。如果G是次临界的，那么在相应的变换测量下，Xt是瞬态的。5马丁积分表示作为一个数学预备，我们回顾了马丁积分表示定理。本节的目的是理解定理5.4。这一节的大部分内容被引用到Pinsky[21]5.1中，Martin kernelAssume认为G是次临界的，并用G（x，y）表示格林函数。对于固定ξ，定义马丁内核byk（x；y）=G（x，y）G（ξ，y），y6=x，y6=ξ，0，y=ξ，x6=ξ，1，y=x=ξ。序列{yn}∞n=1，在D中没有累积点，当n接近所有x的极限时，如果k（x；yn）收敛，则称为马丁序列∈ D.众所周知，limitlimn→∞k（x；yn）在CG中。如果{yn}∞n=1和{y′n}∞n=1是Martin序列和limn→∞k（x；yn）=limn→∞k（x；y′n），则两个马丁序列称为等价t。这样的等价类集合称为马丁边界，并用. 马尔丁边界上的一点用γ表示。对应于γ的cg元素由k（x；γ）表示，t为，k（x；γ）=limn→∞k（x；yn），其中{yn}∞n=1是等效等级γ的任何代表。

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2022-5-8 00:43:35

有时，马林边界点可视为D中的曲线，用t 7表示→ y（t），即k（x；γ）=limt→∞k（x；y（t））。对于D中的有界连通开集U，定义ρ：（D）∪) ×（D）∪) → [0, ∞) 由ρ（z，z）=ZU | k（x；z）- k（x；z）| 1+|k（x；z）- k（x；z）|dx。定理5.1。ρ是（D）上的一个度量∪). 由ρ导出的D上的相对拓扑y等价于欧几里德拓扑。在ρ下，D是开放的，是D和（D）的边界∪) 它很紧凑。（D）上的拓扑∪ ) 通过ρ，我们称之为马丁拓扑。我们将使用符号“Lim”来表示马丁拓扑中的收敛，并将其与用“Lim”表示的欧几里德拓扑中的收敛区分开来。u中的一个函数∈ 当v∈ CGV和CGV≤ u、对于某些常数c，v=cu∈ （0,1）.一个点γ 如果k（x；γ）是极小的，则称为极小马丁边界点。所有最小马丁边界点的集合称为最小马丁边界，并用∧表示。以下定理被称为马丁积分表示定理。定理5.2。让G是次临界的。然后每小时∈ CG，在边界∧中的最小集市上存在一个唯一的单位度量u，使得h（x）=Z∧k（x；y）duh（y）。相反，对于最小边界∧，h（x）上支持的每个有限度量u≡Z∧k（x；y）du（y）以CG表示。推论5.3。U∈ 当且仅当某些γ的u（x）=k（x；γ）时，cg最小∈ ∧5.2容许边界我们对一个容许函数感兴趣，它是Lh=-λh如此之多λt-Rtr（Xs）dsh（Xt）h-1（X）是鞅。为此，我们排除了不产生鞅的正解。设τDbe为进程从域D退出的时间。

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2022-5-8 00:43:38

然后，它是一个鞅，当且仅当由xth引起的扩散过程没有爆发，即Prob（τD=∞) = 1.符号h将用于解决Lh=-λh，h>0，符号φ将用于元素集合γ的容许函数∈ 使k（x；γ）可容许的∧称为G的可容许极小边界，并用Γ表示。以下定理是本文的主要结果。定理5.4。（马尔可夫定价核的马丁积分表示）对于任何可容许函数φ，在可容许极小边界Γ上存在唯一的有限测度Φ，使得φ（x）=ZΓk（x，y）dΓφ（y）。相反，对于Γ上支持的每个有限度量u，φ（x）≡ZΓk（x，y）du（y）是一个容许函数。任何可容许函数都可以写成关于可容许极小马丁边界上的有限测度的可容许极小函数的积分。6限制分配在本节中，我们将在允许边界Γ上展示度量u的经济或财务意义。当一个过程是正循环的时，Xtas t的有限分布接近完整性的意义是明确的。然而，如果XT是暂时的，那么限制分布在通常意义上并不存在。在研究极限行为时，这种现象使我们更难研究瞬态过程。马丁代表有助于克服这一点。事实上，度量u可以被视为限制分布的“扩展含义”。定理6.1。让γ∈ 设k（x；γ）为CG中相应的可容许极小函数。设P是关于k（x；γ）的变换测度。

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2022-5-8 00:43:42

然后极限→∞Xt=γ= 1.这意味着，当市场的主函数是可容许的最小函数时，状态变量XT的长期行为渐近等于相应的马丁曲线。我们现在研究任意主函数的长期行为。我们知道，根据定理5.4，任何主函数都可以写成关于有限测度u的可容许最小函数的积分。在这种情况下，状态变量在客观测度下的长期分布可以用以下方式表示。定理6.2。设φ为主函数，设Φ为对应的有限测度。用P表示关于φ的转换度量。然后极限→∞Xt∈ A.= φ-1（x）·ZAk（x；y）dΓ中任何可测集合A的φ（y）。总之，度量u是市场参与者对客观度量的长期信念。有关限制分布的更多详细信息，请参阅Pinsky。7罗斯恢复奥莱明这一节，我们从马丁表示的角度研究罗斯恢复定理。罗斯恢复定理的目的是在假设1、2和3的前提下，在假设XT的Q动态和利率函数r（·）事先已知的情况下，找到客观度量。7.1多维状态变量我们首先探索具有多维状态变量的罗斯恢复定理。根据定理4.1和4.3，我们有以下命题。建议见7.1。如果存在，这里有一个唯一的容许对（β，φ），使得XT在变换测度下与该对（β，φ）对应是循环的。定理7.1。如果根据客观标准，XT是反复出现的，那么恢复是可能的。在用多维状态变量Xt研究Ross恢复时，由于以下两个原因，t r回复是不可避免的。

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2022-5-8 00:43:45

首先，如果XT中至少有一个组件是瞬态的，那么进程XT就是瞬态的。在实际金融市场中，状态变量的至少一个组成部分通常是暂时的。例如，考虑一个状态变量xt=（X（t），X（t），X（t）），其中X（t）是标准普尔500指数，X（t）是X（t）的波动率，X（t）是利率过程，在这种情况下，X（t）在客观指标下是暂时的。这一观察结果为研究瞬时恢复提供了一个状态变量示例。第二，即使XT是组件式的循环，XT也可能是暂时的。更准确地说，即使每个分量Xi（t）对于所有i都是重复的∈ {1,2，··，N}，过程本身可能是重要的。众所周知，N维布朗运动bt=（B（t），B（t），·BN（t））对N是瞬态的≥ 3尽管XT在成分上是反复出现的。考虑状态变量Xt=（X（t），X（t），X（t）），其中X（t）是一只股票的波动性，X（t）是另一只股票的波动性，X（t）是利率。我们希望找到一个客观的衡量标准，使得每一个XT都是按组成部分重复出现的，因为利率和波动在实际市场中是重复出现的。这一点表明，当状态变量为多维时，研究瞬态恢复是不可避免的。关于多维瞬态状态变量Xt的罗斯恢复定理的研究很少。我们认为这是因为多维瞬态生态更难研究。从这个意义上说，马丁的表现可以是一个聪明的想法。定理7.2。如果状态变量在客观测度下是瞬态的，则Rossrecovery等价于选择一个带有β的数字β≤β和β上的有限度量单位u。

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2022-5-8 00:43:48

在这种情况下，对市场前景的长期信念由P表示极限→∞Xt∈ A.= φ-1（x）·ZAk（x；y）dΓ中任何可测集合A的φ（y）。任何确定客观度量的信息都包含主因子β和最终度量u。相反，最小边界上的一个数和一个有限测度决定了客观测度。这个定理意味着，当状态变量XT在目标测度下是瞬态的时，我们需要知道在目标测度下，XT在Mart in拓扑中的β值和极限分布。在客观测量下，人们可能知道马丁地形图中X的“极限分布”，但偶尔也会知道“极限分布”。为了了解这一点，我们研究了以下示例。例7.1。（多维布朗运动）我们研究了当状态变量是（标度）多维布朗运动时，马丁表示如何应用于罗斯恢复。有关详细信息，请参见[20]。Xt=√2 Wt=√2（W（t），··，WN（t））。假设利率为常数且β值已知。设λ：=-r+β。相应的二阶方程为Gh=h+λh=0。如果λ=0且N≥ 3，则马丁边界仅由一个点组成。如果λ<0，则SN-1是马丁边界，即实体中的球体。对于任何γ∈ 锡-1={z∈RN:|z |=1}，k（x；γ）=e√-λγ·xis对应的最小函数和对应的马丁曲线为t7→ γt。可以证明，每个马丁边界都是一个可容许的极小边界。因此，根据定理5.4，φ是可容许的，当且仅当SN上存在有限测度u时-那么φ（x）=ZSN-1e√-λγ·xdu（γ）。假设N=2，利率为r=1，λ=-1 + β < 0.

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2022-5-8 00:43:51

设X（t）为股价的对数，设X（t）为汇率的对数。在风险中性测度下，假设X（t）=√2 W（t）和X=√2W（t）。我们有理由相信，在客观衡量标准下，X（t）随着t的变化而变化，X（t）是反复出现的。这意味着，在目标测度下，XT的极限分布在拓扑中的MART中是isP极限→∞（X（t），X（t））=γ= 式中，γ产生马丁曲线t7→ （t，0）。很明显，这个P是唯一一个能够满足合理信念的转化度量。相应的最小函数是φ（x）=e√-λxx=（x，x）。Bt:=Wt- (√-λt，0）是关于φ的变换测度下的布朗运动。因此，我们得到了在客观测度下，XtfollowsXt=√2 Wt=√2 Bt+(√-2λt，0）。例如，假设N=2，利率为r=1，λ=-1 + β < 0.设X（t）为一个股价的对数，设X（t）为另一个股价的对数。在风险中性测度下，假设X（t）=√2w（t）和X=√2W（t）。这是一个合理的猜测，在客观度量下，当t接近于完整性时，bot h X（t）和X（t）进入完整性。满足此条件的容许函数的数量是有限的，因此我们需要更多信息来恢复y。假设长期比率q=limt→∞X（t）X（t）已知为p，q>0，p+q=1。这意味着在客观测度下，X在马丁拓扑中的极限分布是极限→∞（X（t），X（t））=γ= 式中，γ产生马丁曲线t7→ （pt，qt）。显然，这个P是唯一一个满足条件的转换度量。相应的最小函数是φ（x）=e√-λ（px+qx），其中x=（x，x）。因此，在客观尺度下，XtfollowsXt=√2 Wt=√2 Bt+(√-2λpt，√-2λqt）。例7.2。

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2022-5-8 00:43:54

（具有常数系数的状态变量）任何具有常数系数的椭圆算子都可以简化为 + λ、其中λ是一个常数，通过适当的变换保持Mart在边界上。因此，MARTIN bo undary要么是球体SN-1或一点。通过同样的论证，存在一个唯一的容许函数，使得在相应的变换测度下，X是分量递归的。在本例中，马丁边界是一个点。存在一个唯一的容许函数，使得X（t）在t接近于完整性时变为完整性，并且当β值已知时，X（t），·······，XN（t）在相应的变换测度下（成分）递归。在这种情况下，t7→ （t，0，··，0）isa corr-espo-nding-Martin曲线。存在一个唯一的容许函数，使得X（t），···，Xk（t）趋于一致，接近于长期比率pi+1=limt的一致性→∞Xi（t）Xi+1（t）表示i=1,2，·k- 当β值已知时，1和Xk+1（t），····，XN（t）在相应的变换度量下（分量）是循环的。在这种情况下，t7→ （pt，···，pkt，0，···，0）是已知β值时的相应马丁曲线。例7.3。（二维OU过程）这个例子归功于[7]。考虑一个二维O rnstein-Uhlenbeck过程。dXt=dWt+BXtdt，其中B是2×2非奇异矩阵。我们假设利率是一个常数，与β值相等。对应的二阶方程是gh（x）=h（x）+<Bx，h（x）>=0。尽管XT是一个高斯过程，但直接计算马丁边界似乎并不容易。

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2022-5-8 00:43:59

如果B的两个特征值都有非正实部，则Xt是循环的。发电机G至关重要。如果B的两个特征值都有正实部，则最小马丁边界为，最小马丁曲线的形式为7→ γ的eBt·γ∈ 设CB:=R∞E-疯牛病-B*由zand z表示B的两个特征值。定义kb（x，t；γ）：=e（z+z）texp-（eBtγ- 十）*C-1B（eBtγ）- 十）- γ*C-1γ.然后，求出对应于γ的最小函数∈ SiskB（x；γ）=c-1γZ∞-∞KB（x，s；γ）ds，其中cγ=R∞-∞KB（0，s；γ）ds。当B有一个正特征值和一个负特征值时，情况更复杂。设z<0<z。通过改变坐标的正交变化，B可以变成三角形，因此我们可以假设B=zb z.定义B=-zb z,然后可以证明，对于mt 7，最小Martin边界是最小Mart in曲线→ e^Bt·γ代表γ∈ S.对应于γ的极小函数∈ Sisk^B（x；γ）=^c-1γZ∞-∞K^B（x，s；γ）ds，其中^cγ=R∞-∞K^B（0，s；γ）ds。总之，马丁边界要么是球体SN-1或一点。让我们批评一下。通过同样的论证，存在一个唯一的容许函数，使得X（t）到单位，s（t）接近单位，并且当β值已知时，X（t），···，XN（t）在相应的变换测度下（分量）是循环的。在这种情况下，t7→ （t，0，·，0）是对应的马丁曲线。存在一个唯一的容许函数，使得X（t），···，Xk（t）趋于一致，接近于长期比率pi+1=limt的一致性→∞Xi（t）Xi+1（t）表示i=1,2，·k- 当β值已知时，1和Xk+1（t），····，XN（t）在相应的变换度量下（分量）是循环的。在这种情况下，t7→ （pt，···，pkt，0，···，0）是已知β值时的相应马丁曲线。根据这些观察，我们得到以下定理。定理7.3。

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2022-5-8 00:44:02

让G是次临界的。假设马丁边界是SN-1.如果X（t）goesto in finity和X（t），···，XN（t）在客观指标下反复出现，则恢复是可能的。现在我们将注意力转移到主因子β的选择上。当XT是瞬时的，为了恢复客观度量，我们面临一个确定β值的问题。我们如何选择价值？一种方法是使用债券的长期收益率，这是由利姆特确定的→∞-t·log方程-Rtr（Xs）dsi.参考文献参见[17]和[23]。我们可以使用经验数据来计算β。发现β对pic在金融和经济方面具有重要意义。有大量的文献研究和理论与实践方法的发现；班萨尔和亚隆[1]，布里登[4]，坎贝尔和科克伦[5]。通过这些方法，我们可以获得β7.2一维状态变量的适当经验数据。我们探索了一维状态变量Xt的罗斯恢复定理。在这种情况下，马丁边界非常简单，因此可以很容易地分析罗斯恢复。我们可以从所有可行的复苏中挑选出一种独特的复苏，这种复苏也具有经济意义（接近一个边界）。关于不使用马丁理论的一维情况的基本方法，请参阅[19]。定理7.4。设N=1和G=L+β为次临界。那么马丁最小边界是∧={-1, 1}.分别用a和b表示XT范围的左边界和右边界y。由最小函数k（x；1）诱导的微分过程是瞬态的，并进入右边界b。很明显，k（x；1）是CG中唯一一个在t到达单位时诱导扩散过程向右边界移动的函数。类似地，最小函数k（x；-1）是瞬变的，并到达左边界a.定理7.5。（瞬时恢复）假设我们知道β值，让G=L+β为次临界值。

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2022-5-8 00:44:06

如果只有k（x；1）和k（x；-1）是可容许的，那么我们可以从风险中性测度中恢复客观测度。我们研究了另一种短暂恢复的方法。当主f因子β已知时，如果它存在，则存在一个唯一的容许函数，使得当t在相应的变换测度下接近完整时，XT进入右（或左）边界。相应的马丁边界点为{1}（或{-1}).定理7.6。（瞬时恢复）假设我们知道β的值。如果在客观测度P下，当t接近完整性时，XT到达右边界（或左边界），那么我们可以从风险中性测度中恢复客观测度f。当状态变量是股票价格时，这个定理很有用。股票价格的左右边界为0和∞, 分别是（例如，布莱克-斯科尔斯模型）。股票价格过程通常在客观测度下趋于一致，因此当β值已知时，我们可以恢复客观测度。如果我们在客观尺度下达到两个边界，我们需要更多的信息来恢复。设p，q为两个正数，p+q=1。然后，如果存在，则存在一个唯一的容许函数，使得XT以概率p到达左边界，XT以概率q到达右边界{-1,1}满足度u(-1） =p和u（1）=q.8现金流的长期行为。调查了[2]中现金流的长期衰减（或增长）率。在这一部分中，我们将从马丁尼代表的角度来研究他们的工作。建议见8.1。假设G是次临界的，let（D）∪) 是对应的空间。设φ为容许函数，用φ表示相应的测度。

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2022-5-8 00:44:09

如果g是（D）上的连续函数∪ ), 特林姆→∞EP[g（Xt）]=φ（x）ZΓg（y）k（x；y）Φ（y），其中P是关于φ的变换测度。很明显，对于（D）中的任何可测量集B，g=χB∪ ) 根据定理6.2。pro由密度参数完成。设φ为Gφ=Lφ+βφ=0的容许函数，并设相应的变换测度。然后（2.3）中的定价算子变成了comespt（f）（x）：=EQxhe-Rtr（Xs）dsf（Xt）i=φ（x）e-βt·EP[（φ-1f）（Xt）]。根据前面的命题，我们得到了以下定理。定理8.1。If（φ）-1f）（γ）：=Limx→γ(φ-1f）（x）适用于所有γ∈ , 特林姆→∞eβtpt=ZΓ（φ-1f）（y）k（x；y）Φ（y），其中pt=pt（f）（x）。因此，如果可以找到一个可容许对（β，φ），使得（φ-1f）（γ）适用于所有γ∈ 在Φ的支撑下，And不等于零，则得到了长期衰变（或增长）经验率。致谢本文作者得到了纽约大学库兰特研究所麦克克拉肯奖学金的支持。9结论我们描述了在马尔可夫环境下，当给出风险中性度量时，市场参与者对客观度量的所有可能信念。为了实现这一点，我们采用了马尔可夫定价核的马丁积分表示法，然后研究了该表示法的经济和金融含义。作为应用，讨论了罗斯恢复理论和现金流的长期行为。我们用在客观测量下短暂的多维Makovian扩散研究了Ross恢复。此外，作为特例，对一维状态变量进行了分析。Ross恢复相当于在β上选择一个主因子β和一个有限度量u，其中β是对应的Marin容许边界。

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能者818

2022-5-8 00:44:12

作为另一个应用，我们从艺术表现的角度研究了现金流的长期行为。本文为多维瞬态罗斯恢复提供了一种理论方法。通常，很难获得多维情况下的精确马丁边界。对于未来的研究，为aspeci fic多维模型找到精确的Martin边界将是一件有趣的事情。参考文献[1]Bansal，R.，Yaron，A.：长期风险：资产定价的潜在解决方案。J.Finance 59（4），1481-1509（2004）[2]Borovicka，J.，Hansen，L.P.，Scheinkman，J.A.：不当回收。工作文件（2014）[3]Borovicka，J.，Hansen，L.P.，Hendricks，M.，Scheinkman，J.A.：风险价格动态。《金融计量经济学杂志》9，3-65（2011）[4]布莱登，D.T.：一个具有随机消费和投资机会的跨期资产定价模型。J.Financ。经济部。7，265-296（1979）[5]坎贝尔，J.，科克伦，J.：《习惯的力量：基于消费的集合股票市场行为解释》。J.波利特。经济部。107（2），205-251（1999）[6]卡尔，P.，于，J.：风险，回报和罗斯恢复。J.导数20（1），38-59（2012）[7]克兰斯顿，M.，奥利，S.，罗斯勒，U.：二维Alornstein-Uhlenbeck过程的马丁边界。概率、统计和分析，伦敦数学。Soc。课堂讲稿系列7963-78。剑桥大学出版社（1983）[8]达维多夫，D.，莱恩茨基，V.：标量微分的期权定价：特征函数展开法。运营研究，185-290（2003）[9]杜宾斯基，S.，G奥尔德斯坦，R.：从金融衍生品中恢复漂移和偏好参数。工作文件。（2013）[10]Eliason，S.B.，White，L.W.：关于二阶椭圆偏微分方程的正解。广岛数学。J

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2022-5-8 00:44:16

12,46 9-484（1982）[11]古德曼，J.，帕克，H.：价格决定客观指标吗？沃金纸。（2014）[12]Gorovoi，V.，Linetsky，V.：Black的利率模型、期权、特征函数扩张和日本利率。数学财务部。14（1），49-78（2004）[13]Hansen，L.P.，Scheinkman，J.A.：长期风险：运营商方法。《经济计量学》77177-234（2009）[14]约根斯，K.：二阶普通微分算子的谱理论。阿胡斯大学，马特马蒂斯克学院。（1964）[15]Karatzas，I.，Shreve，S.E.：数学金融学方法。斯普林格·维拉格。纽约。（1998）[16]Linetsky，V.：期权价值的光谱分解。Int.J.理论应用。金融7（3），337-384（2004）[17]马丁，I.，罗斯，S.：长期债券。工作文件。（2013）[18]朴，H.：长期期权的定价和套期保值。工作文件。（2014）可在http://arxiv.org/abs/1410.8160[19] 帕克，H.：罗斯恢复，包括电流和瞬态过程。工作文件。（2014）预印本可在http://arxiv.org/abs/1410.2282[20] Pinchover，Y.：“光谱理论和数学物理：纪念巴里·西蒙60岁生日的节日”中关于二阶椭圆型和抛物型偏微分方程正解理论的主题。《纯粹数学中的符号现象》76期，美国数学学会，普罗维登斯，国际扶轮，2007年，329-356。http://arxiv.org/abs/math/0512430[21]宾斯基，R.G.：正调和函数和扩散。剑桥大学出版社。（1995）[22]秦，L.，林茨基，V.：长期风险：鞅方法。工作文件。（2014a）[23]秦，L.，Linetsky，V.：马尔可夫定价算子的正特征函数：Hansen-Scheinkman因子分解和Ross恢复。沃金纸。（2014b）[24]罗斯，S.A.：恢复定理。J

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