积分表示意味着极限必须是Lipschitz函数。为了说明任何流体极限必须满足（7），我们注意到（7a）直接遵循到达过程的大数函数定律。身份（7b）来自于初始过程的相应声明：ifPk>kqb（k，s）> > 时间间隔为s时为0∈ （t）- , t+), 然后对于所有足够大的n，Pk>kQb，n（k，ns）>n/2>0，因此Jβ（ns）K>K，Tβ，n（K，ns）没有增加。标识（7c）保持不变，因为最右边的出价（最左边的询问）最终总是在初始过程中的一个箱子中，所以这在限制中必须是正确的。恒等式（7d）也有类似的原因：初始队列是非负的，因此限制也是非负的。恒等式（7e）是（7d）的一个推论：一个在t处总是非负的、可微分的、在t处等于0的过程必须有导数0。最后，初始队列的标识（7f）和（7g）来自（6a）-（6d）。更准确地说，出价队列大小的变化速率如下：如果最低ask高于bin k，那么出价以pb（k）的速率到达队列；如果最高出价在k箱中，那么到达k以下价格的所有请求都会耗尽k箱中的队列。因为最高出价或最低出价的位置不会显示在流量限制中，weinstead使用当地时间tβ和tα。我们引入符号πβ（k，t）=tτβ（k，t），πα（k，t）=tτα（k，t）。液体限制排水。现在，我们将在一个LOB中展示这一点，该LOB以JκbK+1中的许多出价开始，并以JκaK中的请求开始- 1，流体限制队列大小会流失，即在从JκbK+1到JκaK的容器上收敛到0- 1.我们假设料仓宽度（因此pb（k）、pa（k））都很小。这是本文争论的重点。定理4.6（流体限制排水）。

考虑一个对应于带N个箱子的装箱LOB的流体限制。假设到达过程是对称的（pb（k）=pa（N）- k） ，概率pa，b（k）在下面有界，pb（k）在k中减少（pa（k）在k中增加）。假设一开始在JκbK+1中有很多bids，在JκaK中有很多ask- 1.那么，对于JκbK+2，队列的流体极限可以用qa，b（k，t）来描述≤ K≤ JκaK- 对于jκbK+1，当地时间的流体极限可以用πa，b（k，t）来描述≤ K≤ JκaK- 1.让流体极限的初始状态满足k（qb（0），qa（0）k≤ 1.存在 = （N）→ 0作为N→ ∞, 时间T取决于{pa（k），pb（k），料仓宽度}，因此对于所有料仓，满足Jκb+的kK<K<Jκa- K、 而且一直都是t≥ T，qb（k，T）=0，qa（k，T）=0，T≥ T.进一步，在区间Jκb+K<K<Jκa- K代表t≥ 导数πβ（k，T）满足二阶微分方程K1.- Fb（k）pa（k+1）·KFa（k）pb（k）πβ（k）= πβ（k+1），其中基斯由k（f）=f（k+1）- f（k）。初始条件满足yfa（Jκb+K） pb（Jκb+K） πβ（Jκb+（K）≤ 1.Jκb+KFa（k）pb（k）πβ（k）≤ 0.类似的等式适用于asks。作为N→ ∞, 微分方程的解收敛于常微分方程（5a）的解，初始条件由（5b）给出。注意，κa和κ暴露了具有有限起始状态的LOB的阈值；具有INFITEBID和ask指令的LOB可以被认为具有不同的阈值κb<κ带κa>κa。对于大N，引理3.1意味着κb≈ κ带κa≈ κa.证明。证据证据分阶段进行。第0阶段。设xbe由Fa（x）=Fb（κa）给出- Fb（x），让ybe由1给出- Fb（x）=（1）- Fa（κb））-(1 - Fa（y））。

相当地，Fa（x）+Fb（x）=2x=Fb（κa），因此x=Fb（κa），y=（1+Fa（κb））。索赔0.1：κb≤ x<y≤ κa.证明：注意，当存在任何出价时，Fa（κb）是出价偏离马尔可夫链速率的下限，而Fb（κb）- Fb（κa）是投标到达率的上界。因此，ifFa（κb）>Fb（κb）- Fb（κa），那么整个区间（κb，κa）上的投标数量将是随机边界的，而它应该以随机游动的形式进行缩放。一个类似的论点给出了答案≤ 最后，Fb（κa）=（1）- Fa（κb））<（1+Fa（κb）），因为命题4.2中κb>0。权利要求0.2：存在T=T（M），使得T在任何时候都存在≥ Tand全流体模型，PJyK-1k=JxK+1（qb（k，t）+qa（k，t））=0。证明：由于这些过程是绝对连续且非负的，因此有必要证明，只要区间中存在任何流体顺序（并且定义了所有导数），区间中的流体顺序数就会以低于以下界限的速率减少。通过（7f）和（7g），我们可以看到Q（t）=PJxK+1≤K≤JκaK-1qb（k，t），Q（t）≤（0，Q（t）=0PJκbK-1k=JxK+1pb（k）-主键≤JxK+1pa（k）<Fb（κb）- Fb（x）- Fa（x）- , Q（t）>0。因此，经过一定时间Tb，0后，箱子中不会有流体投标≥ JxK+1。同样，经过一定时间Ta，0后，垃圾箱中也不会有液体≤ JyK- 1.我们可以取T=max（Tb，0，Ta，0）。索赔0.3：存在> 0，以便始终≥ Tand所有流体模型，Pk≤JxKπβ（k，t）≥ andPk≥JyKπα（k，t）≥ .

（这一结果要求垃圾箱足够小。）证明：注意等式（7f）和（7g）在任何时候都成立，即使容器中没有流体订单；因此，对于t≥ 坦然接受∈ [JxK+1，JyK- 1] 我们有pb（k）Xk>kπα（k，t）=πβ（k，t）Xk≤kpa（k）Xk<kπβ（k，t）=πα（k，t）Xk≥kpb（k）。为了清楚起见，省略对t的依赖，这些方程，连同Pkπα（k）=Pkπβ（k）=1的观察结果，可以重新排列，得到πα（k）和πβ（k）的两个解耦二阶微分方程。我们滥用符号来写Fa（k）=Pk≤kpa（k）和类似的Fb（k）。（8a）K1.- Fb（k）pa（k+1）·KFa（k）pb（k）πβ（k）= πβ（k+1），JxK+1≤ K≤ JyK- 1.（当然，πa有一个对应的方程。）如果我们对这个二阶微分方程有两个初始条件，我们就能求解它。不幸的是，一般来说我们没有这样的初始条件，但我们对它们有界，即（8b）Fa（JxK）pb（JxK）πβ（JxK）≤ 1.JxKFa（k）pb（k）πβ（k）≤ 0.这些不平等性在不同的限价订单簿L中同样成立，在限价订单簿中，我们将相同的价格分配给JxK+1的所有料仓，并将相同的高价分配给JyK的所有料仓- 1.向上。（Wenonetheless跟踪包含最高出价和最低要求的箱子。）推论4.4表明，在JxK+1上（8）的解决方案≤ K≤ JyK- 1从上到下被L的解所限定。

（结果是在连续空间中，但参数对于差分方程也同样有效。）我们把!L的解称为!πβ和!πα。利用k的∧πβ（k）上的平凡上界≥ JyK，我们发现（9）Xk≤JyK-1πβ（k）≤JyK-1Xk=JxK+1πβ（k）+JκaK-1Xk=JyKpb（k）Fa（k）。注意，πβ必须等于（Fa（k））-1pb（k）表示J)κbK+1≤ K≤ JxK，因为投标者不会在这些箱子里排队。因此，对于（9）右侧的第一项，我们有边界JYK-1Xk=JxK+1πβ（k）≤ 1.-JxKXk=J)κbK+1pb（k）Fa（k）≤ 1.-JκaK-1Xk=JyKpb（k）Fa（k）- ,只要箱子够窄就行。实际上，请注意x- ~kκb>x- κb=κa- y（从L的单调性与∧L和对称性来看），分母在k中增加，出价到达密度随着向右平移而减小。我们要求箱子要足够窄，使总数都不为空。第一阶段。我们现在让Fb（x）定义x，yb-Fb（x）=Fa（x）和Fa（y）-Fa（y）=(1-Fb（y））。与阶段0的参数类似，存在一个时间Tsuch，对于所有t≥ t在[JxK+1，JyK]上将没有流动队列- 1]. 实际上，如果在[JxK+1，JxK]区间内有流体出价，那么当最高出价低于JxK时，实际上就在这个区间内；定义的不平等性意味着这段时间内的投标数量减少，同样地，对于询价也会减少。接下来，我们使用[JxK+1，JyK]上的微分方程描述- 1] 为了证明在T之后，出价最高的人至少花了> 其时间的0低于x。这将需要与不同的受限LOBL进行比较，我们将所有价格合并到JxK+1和JyK- 1.后续阶段。我们现在可以构造一个嵌套的区间序列…<x<x<x<y<y<y<，如果垃圾箱足够窄，不平等性是严格的。这一点有待证明→∞,N→∞xk=κ带limk→∞,N→∞yk=κa（注意N→ ∞, 即

更薄的垃圾箱，对这个容器来说肯定是必要的！）这一结果源于以下事实：我可以被认为是在以下范围内：（10）我≥JxiKXk=JκbK+1pb（k）Fa（k）-JκaK-1Xk=JyiKpb（k）Fa（k）≥Fa（JxiK）-Fa（JyiK）（Fb（JxiK）- Fb（J/κbK+1））。只要xi以远离κb为界（并且箱子宽度足够小），这将以下面为界，然后是xi- xi+1和yi+1- 它将被限制在下面。收敛到颂歌。差分方程的有界解收敛于阳极的解是标准的。上面的论点给出了初始条件的一个不等式，但请注意，当我们接近κB时，初始条件变得精确。的确，Fa（κb+)$b（κb+) =Zκb+$a（x）fa（x）dx→ 1，因为最低的ask永远不会低于κb。而且，（Fa（x）$b（x））|x=κb+= -$a（κb+) = -(1 - Fb（κb+))-1Zκb+$b（x）fb（x）dx→ 0，因为最高出价密度是有界的。将这一结果与命题4.2结合起来表明，对于对称分布pb，pawith pb递减，流体极限πβ（k，t）/pb（k），πα（k，t）/pa（k）将接近，因为→ ∞ 和N→ ∞, ODE（5）在（κb，κa）的紧子集上的一致解。备注7。导致不等式（10）的论点意味着，最高出价和最低出价的联合密度必须至少在支撑边界的一小部分上远离零，即“κa以下没有ask，最高出价在κb+x”事件的概率应该是O（x），而不是O（x）。事实上，[26]中的模拟关节密度在任何地方都远离0，除了最角落（最高出价在κ带，最低出价在κa）。还有一点需要证明，流体极限的稳定性意味着马尔可夫链的正复发。引理4.7（流体稳定性和正复发）。考虑满足定理4.6假设的LOB。

假设在某个区间上，k≤ K≤ k、 初始状态大于1的所有流体极限满足以下条件：存在时间T（取决于{pa（k），pb（k），箱宽}），因此对于所有时间T≥ T，qb（k，T）=0，qa（k，T）=0，k≤ K≤ k、 t≥ T.考虑一个限价订单簿L从bin k中的许多出价开始- 1，在k+1中有很多问题；它的状态是由k箱中队列大小的马尔可夫链描述的≤ K≤ k、 与L相关的马尔可夫链是正循环的。证据证据为了在流体稳定性和正递归之间进行转换，我们使用了乘法福斯特准则[18，定理13.0.1]。LetQ（t）=k（Qb（k，t），Qa（k，t））k≤K≤kk，让C足够大。设Q（0）=Q>C，并考虑流体比例Qa，b（k，t）=Q-1Qa，b（k，qt）。根据定理4.5，如果C和q足够大，则存在流体极限（qa（k，t），qb（k，t），τα（k，t），τβ（k，t））k≤K≤满足kqa（k，t），qb（k，t）k=1，这样(Qa（k，t）- qa（k，t），Qb（k，t）- qb（k，t）> ) ≤  尽管如此，t∈ [0，T]。特别是，P（kQa（k，qT），Qa（k，qT）k>q） <. 进一步注意kQa（k，qT），Qb（k，qT）k≤ A（qT）+B（qT）受到达过程的限制，因此具有所有时刻。因此，我们得出了qq[kQa（k，qT），Qb（k，qT）k]≤ （1+2T）q.选择 < （1+2T）-1完成证明。4.4. 一般订单价格分布。仍然需要消除订单价格分布的额外条件（对称和递减），并完成连续限制订单簿的论证。这需要两个观察结果：（1）回想一下，一个连续的LOB可以由两个具有不同到达价格分布的离散LOB限定（在其中一个LOB中，我们将所有到达的出价向左移动一个bin）。

这种转移的到达分布不再满足绝对连续性条件，但引理3.1表明，当容器大小缩小到0时，所有上述流体比例参数都适用于它。具体地说，我们将投标到达建模为将最右边的投标箱一直向左移动，然后两本书之间的差异是在流动时间间隔[0，T]内最多两个箱子的到达量，如果箱子很窄的话，这将是很小的。这使我们能够得出连续LOB以P（κb）＋的价格多次出价的正复发结论 事实上，很多人都要求价格（κa）-, 假设密度fa，fb上下有界，对称，fb减小。（2） 根据引理3.2，用随机更高价格的另一个分布替换出价-到达价格分布，和/或用随机更低价格的另一个分布替换要价-到达价格分布，会减少一本书中的订单。特别是，如果我们已经证明了一个LOB的正周期性，该LOB具有以p价格提供的有限数量的投标，以及以q价格提供的特定到达分布，那么当我们切换到以更右的投标和更左的请求的到达价格分布时，LOB将保持正周期性。请注意，只要在区间（p，q）内有投标，无论p是否有投标单位供应，它们都会在该区间内演化；同样地，对于请求也是如此。这可以用来表明流体限制在间隔（p，q）的新LOB中排放。在价格分布发生变化的新LOB中，（p，q）可能不接近（△κb，△κa），因此我们希望延长区间，如定理4.6的权利要求0.3所示。

那里的论点没有充分利用对称性和单调性条件；它们仅用于证明其不合格性JPKXK=JκbK+1pb（k）Fa（k）≥JκaK-1Xk=JqKpb（k）Fa（k）+对一些人来说 > 0.对于这个不等式，有（11）Zp^κbfb（x）Fa（x）dx是完全有效的≥Z~κaqfb（x）Fa（x）dx+,对于p和q之间发生的事情没有限制。因此，对于上下边界的一般密度对（fb，fa），我们首先用fb，0，fa，0找到fb，0≥ Fb，Fa，0≤ fa是对称的，fb，0是递减的。（例如，我们可以在大部分时间间隔内取fb，0=fa，0=min（fa，fb），其中fb在0附近取大值，fa在1附近取大值。）我们使用定理4.6来证明流体极限在区间（κb，0，κa，0）上对fb，0，fa，0（因此，通过引理3.2，也对（fb，fa））存在。然后我们修改fb，1on（0，κa，0）和fa，1on（κb，0，1），以找到下一对有界密度（fb，1，fa，1），其中fb，0≥ Fb，1≥ Fb，Fa≤ 法新社，1≤ Fa、0和（11）保持不变。我们已经从单调性中知道，对于（κb，0，κa，0）上的这些分布，流体极限将耗尽，我们使用不等式来表示p≤ κb，0和q≥ κa，0将流体稳定性扩展到更大的间隔（κb，1，κa，1）。我们重复这个过程，直到间隔（κb，n，κa，n）接近（fb，fa）的整个间隔（△κb，△κa）。要知道它确实会接近整个时间间隔，请注意，对LOB的三个阈值真正重要的是Fa、b（x）和κb≤ 十、≤ κa；这些区间之外的FB和fado是无关紧要的，只要它们的积分正确。因此，如果κb，n>κb+, 必须是Fb，n<Fb或Fa，n>Fasomewhere在[κb，n，κa，n]上，这意味着这个过程不会被“卡住”，直到κb，n&~κ带κa，n%~κa.5。讨论在本节中，我们将讨论我们的方法和结果的几个应用。

我们首先讨论市场订单，然后考虑各种简单的交易策略。5.1. 市场订单。到目前为止，我们考虑过的订单，每一个都附有价格，叫做limitorders。假设除限价订单外，还有市场订单要求以最佳可用价格中等程度地供应。假设限价订单的出价和出价分别作为利率v b，v的独立泊松过程到达；与限价单投标相关的价格，分别是密度为fb（x）和fa（x）的独立同分布随机变量。在不失去普遍性的情况下，我们可以假设x∈ (0, 1). 此外，假设存在独立的市场订单竞价和报价流ub，ua。然后这些对应于极限订单：我们只需将价格1或0分别与市场出价或市场要价关联。请注意，除了市场订单，我们还允许买卖订单之间的到达率不对称。方程（1）背后的直觉导致了推广（12a）νbfb（x）Zκaxπa（y）dy=πb（x）ua+νaZxfa（y）dy（12b）νafa（x）Zxκbπb（y）dy=πa（x）νbZxfb（y）dy+ub虽然现在不能保证满足所需边界条件的这些方程的解的存在性，并且对于解释πb（x）所需的递推性质的推导，πa（x）作为极限密度可能会失败。为了说明一些可能性，我们将通过一个简单的例子来详细说明。假设fa（x）=fb（x）=1，x∈ （0,1），νa=νb=1- λ和ua=ub=λ。因此，一定比例的订单是市场订单。使用符号πb（λ；x）、πa（λ；x）求解满足本例所需边界条件的方程（12）。

然后提供λ<w≈ 0.278，WEW=e的唯一解-1，这个解有πa（λ；x）=πb（λ；1- x） 和（13）πb（λ；x）=1- λ1+λ·πb1 + λ1 - λx-λ1 - λ, 十、∈ (κ(λ), 1 - κ（λ）），其中πb（·）是较早的解（2），κ（λ）=1+λ1- λ·w1+w-λ1 - λ.事实上，如果λ<w，该模型只是早期模型的一个重新缩放版本，分布（13）的支持度从（κ，1）增加- κ） 对于更宽的区间（κ（λ），1- κ(λ)). 在模型中包含市场订单会导致价格分布具有原子，并且彼此之间不是绝对连续的；但是，由于市场订单超出范围（κ（λ），1），早期章节的分析仍然适用- κ(λ)).接下来，我们将这个例子作为λ进行探讨↑ w，支撑成为整个间隔（0，1）。在我们的模型中，市场订单竞价，分别竞价，当没有竞价，分别竞价时到达，订单簿中的限制订单等待，直到可以匹配为止。当λ<w时，有一个有限（随机）时间，在此时间之后，订单簿始终包含两种类型的限制订单，并且没有任何一种类型的市场订单，因此前面章节的分析适用。但如果λ>w，则订单簿中通常不会有询价，订单簿中通常不会有报价，概率为1。现在，极限书中的买卖订单数量之间的差异是一个简单的对称随机游动，因此是空循环的。通常情况下，订单簿的状态包含两种类型的限价订单，并且没有任何一种类型的市场订单，但这种状态不能是正循环的。在上述模型中，无法立即匹配的到达市场订单必须等待，直到可以匹配。

相反，如果此类订单丢失，我们将获得一个模型，该模型可通过第5.2.1节中的方法进行分析：即，我们以0的最终投标订单和1.5.1.1的最终askorder开始LOB。不同的到达率。我们在前面几节中的分析假设出价和出价达到了同一水平。这并没有失去基本的普遍性，因为现在可以方便地用公式（12）的讨论来说明，当fa（x）=fb（x）=1，x时∈ （0,1），νa，νb>0且ua=ub=0。满足所需边界条件的方程（12）的解为（14）πb（x）=κax+对数1.- xx-κa- 日志1.- κaκa, 十、∈ （κb，κa）式中（15）νaκa=νb（1- κb）和κb是唯一的解决方案(1 - κb）κb（νa/νb）- 1+κb）=1+νaνb1.- κb.尽管νa和νb可能有所不同，但前提是它们都是正值，阈值κa和κb都在区间（0,1）内，并确保匹配的出价和请求之间的必要平衡（15）。如果有市场订单，那就是如果ua，ub≥ 0，则这将导致重新缩放分布（14），前提是重新缩放的分布仍包含在间隔（0，1）内。5.1.2。市场影响。作为进一步的说明，考虑fa（x）=fb（x）=1，x的情况∈ （0,1），νa=νb=1和ua，ub≥ 0.使用符号πb（ua，ub；x）、πa（ua，ub；x）求解满足本例所需边界条件的方程（12）。然后提供ua/（1+ub），ub/（1+ua）<w(≈ 0.278）该溶液的πa（ua，ub；x）=πb（ub，ua；1- x） 和（16）πb（ua，ub；x）=πb（（1+ub）x+ua（1- x） ）1+ua+ub，x∈w（1+ub）- uaw+1,1-w（1+微安）- ubw+1其中πb（.）是早期的解决方案（2）。我们数学发展的一个重要假设是，所有的阶数都是针对一个单元的，一个悬而未决的问题是模型可以推广到什么程度。

在实践中，希望购买或出售大量单位的长期投资者可能会选择根据市场的成交量来分散订单，以免不适当地调整价格[8]。我们能够分析一个特别简单的方法的市场影响，当投资者在相对较长的时间内根据独立的泊松过程将订单泄露到市场中，在这段时间内，市场放松到新的均衡动态。因此，大量市场订单的影响将是将参数ub增加到ub+. 像 增加完成订单所需的时间减少，但对分销（16）的影响增加，导致整体交易价格不那么有利。类似地，如果一个大的限价单作为一个独立的泊松过程泄漏到市场中，这也可以通过方程（12）的扰动来建模。在拥有大量订单的参与者相对较少的市场中，市场设计可能具有优势，大型交易可以以固定价格快速安排；[7] 讨论补充大型战略投资者限价指令簿的交易协议。5.1.3. 单边市场。Toke[25]考虑了一种特殊情况，如我们现在所描述的，在这种情况下，各种数量的解析表达式，如给定时间间隔内的预期投标数量，都是现成的。假设fb（x）=1，x∈ （0,1），νa=ub=0和ua>νb>0。因此，所有投标都是限价订单，所有投标都是市场订单，是单边市场。那么πb（x）=νb/ua，x∈ （κb，1）其中κb=1- ua/νb。此外，对于x>κb，区间（x，1）中存在的投标数量，即b（x，1），是一个出生和死亡过程，其平稳分布与平均值νb（1）成几何关系- x） /（微安）- νb（1）- x） ）。

因此，例如，可以容易地计算E[B（x，y）]。如果市场仍然是一边倒的，那么各种概括也很容易理解[25]。例如，假设进入LOB的每个出价在参数θ的独立指数分布时间之后被取消，除非之前已经匹配。那么，区间（x，1）中出现的出价数量又是一个生与死的过程。现在，整个LOB是一个正的循环马尔可夫过程，很容易验证，作为θ↓ 0，κbare左边的bids很少匹配，最右边bid的平稳分布接近πb（x）=νb/ua，x∈ （κb，1），正如我们所料。5.2. 交易策略。接下来，我们考虑几个可以使用我们的模型分析的简单策略。为了简单起见，我们给出了在（0，1）上买卖价格分布相等且一致的情况下的结果，但分析很容易扩展到其他到达分布。推论2.3.5.2.1中确定了该模型最右侧bid和最左侧ask的极限密度。做市。我们首先考虑一个做市商，该做市商在p（分别为q=1）下有固定数量的买入、卖出和下单- p、 其中，κb<p<q<κa。因此，每当q是最低价格时，交易者获得所有达到高于q的价格的出价，每当p是最高出价时，她获得所有达到低于p的价格的出价，从而获得q的利润- p每次出价–要求获得一对。人工调用交易员下达的订单，以将其与自然订单区分开来。

交易者能够匹配其订单的速率与p乘以最右边的出价恰好为p的概率成正比。将有限的出价供应置于κ以下对LOB的演变没有渐进影响。对于p>κ≈ 0.218如果价格低于p，则不接受ask，并且最右边的出价正是p的概率为正（即，价格高于p时没有出价）。为了发现这种可能性，我们考虑了以下替代模型L：投标的有限供应量为0，但价格等价函数P在[0，P]上是常数。（否则，初始状态、到达过程和价格等价函数包含在L和L中。）在L中，p上面的出价和出价将与L一样相互作用，因此，最右边的投标是L中的有限顺序的概率等于最右边的投标是p或p以下的概率。请注意，只有很多位于0的投标会被引理3.1，路径，在任何时候，L中的投标/询价队列大小与没有0投标单位供应的限制订单簿之间的差异都将受到偏离有限供应的投标总数量的限制。因此，0的最终出价与分析最高出价的稳态分布无关，因为在极限t内→ ∞ 这种差异将消失。在L中，价格低于p的询价单不能留在账上，即$a（x）=0换x≤ p、 根据备注5，最高出价$b（x）的密度等于[κb，p]的1/x，等于Cx+log1-xx关于[p，q]（后者在推论2.3中得到）。回想一下$bis continuous，它允许我们确定C和κb（因为$bintegratesto1）。这使我们能够找到κbasκb=pe1.- 聚丙烯C推断最右边的自然出价密度为$b（x）=x、 体育1.- 聚丙烯C≤ 十、≤ PCx+log1- xx, P≤ 十、≤ Q其中C=（1+p log（（1- p） （p）-1.

因此，最右边的自然出价为p或更小的概率为1-C log（（1）-p） 因此，这是模型中最右边的出价正是p的概率，其中许多艺术出价为p，许多艺术要求为q=1- p、 式中，κ<p<1/2<q.为了最大化收益率，我们需要解决优化问题maximize（1- 2p）p1.- C log1- 聚丙烯C在哪里=1+p log1- 聚丙烯-1受制于p∈ [κ, 1/2].最大值在p处达到≈ 0.377，并给出了≈ 0.054.5.2.2. 狙击。接下来，我们考虑一个采用狙击策略的交易者：交易者立即购买每一个以高于q的价格加入LOB的出价，以及每一个以低于p的价格（q=1）加入LOB的请求- p仍然）。现在，交易者的优先权低于已经在排队的订单，但她能为她成功购买的订单获得更好的价格。狙击策略对LOB的影响是确保q以上没有排队竞价，p以下没有排队竞价；对于p<q，在狙击和市场决策模型中（p，q）上的出价和询问集具有相同的分布，因此p是最高出价的概率与市场中的概率相同0。0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06狙击与市场创造者利润图2。来自狙击和做市策略的利益。实线是狙击策略，虚线是做市策略。（p<1/2的狙击显示为完整性；如文中所述，它不会最大限度地提高利润）制作模型。（交易员的利润率各不相同。）但考虑p>q的狙击策略也是有意义的，因为它可以确保区间（q，p）中没有任何形式的排队订单：它们都被交易者狙击。

（到达价格的询问）∈ （q，p）不能与aqueued出价匹配，因为q以上没有排队出价。）交易者在订单sin（q，p）上的净利润为零；狙击他们的目的是增加以高价买入的可能性。总之，如果p>q，那么LOB在p和q之间没有排队顺序。因为所有出价都是低于q的价格，并且那里的ask密度为零，我们从命题4.2中看到，最右边的TBID的密度是$b（x）=1/x【κb，q】；由于$b积分为1，我们发现κb=q/e。请注意，随着q的减小，最右边出价的分布会随机减少，因此以低价A<1/2获得ask的概率会随着q的减小而增加。这表明，在p>1/2时，在q以上和p>1/2时截取出价的得利率严格高于在p以上和p以下截取出价的得利率因此，有必要考虑p>1/2>q的情况。因此，我们解决了1-pκb（1- 2x）logxκbdx，其中κb=1- 受p约束∈ [1/2, 1].最大值为1- p=q=e/（e+1）≈ 0.324，并给出了≈ 0.060.图2显示了做市策略和狙击策略的利润率之间的比较，作为p的函数（回忆一下，p是交易者希望所有交易都低于的价格）——为了完整性，狙击策略也包括p<1/2。5.2.3. 混合策略。可以考虑上述策略的混合：交易者在P处放置一个有限的出价供应（因此，当P为最高出价时，获得所有到达P以下的请求），但除此之外，还试图以x<P的价格截取所有额外的请求。

当p和p都大于到达的ask的价格时，我们假设小目标是两种可能价格中最好的。有几种可能的情况与p、p和1/2的相对排列相对应：（1）如果p<p（这意味着没有额外的要求进行狙击），这将退化为做市商策略，其收益率为（1）- 2P）每次出价——要求购买一对，按图3的价格购买一对。混合策略中的利润率是狙击阈值p和确定投标订单位置p的函数。P log（P/κb）。（最高自然出价低于P的概率为对数（P/κb）；当价格在这里时，买家会以低于P的价格以P的价格到达。）显然，在这种情况下，人们希望P<1/2，否则，结果是负的，所以我们可以将这种情况写成P<P<1/2。（2） 如果P<P<1/2，那么在价格为x、速率为log（x/κb）的情况下，可以获得额外的请求，价格为（1）- 2x），对于从P到P的所有x。（3）如果P<1/2<P，还有两种情况：我们可能有P<1- p或p>1- p、 （a）如果p<1- p<1/2<p<1- P，然后交易者在1之间截取所有订单- p和p表示净资产收益率为0。利益（1）- 2P）根据比率P log（（1）生成与最终订单匹配的出价-要求对- p） /κb）和pro-fit 1- 2x，P≤ 十、≤ 1.- p、 狙击以1+log（x/κb）的速率产生。根据注释5，最高投标密度为（κb，1）上的1/x- p] ，所以κb=（1- p） /e.（b）如果1- p<p<1/2<1- P<P，那么P永远是最好的出价，这意味着交易者得到了所有低于P的请求，以（1）的速度产生利润- 2P）P。在NP和1之间到达的订单- P相互取消，所有的请求在1之间到达- 购买P和P的损失（负利润）为（1- 2x）。（4） 最后，P>1/2的情况是愚蠢的，因为购买的每一个出价-出价对都将是亏本购买。图3显示了双参数空间的性能。

当P=1时，获得最大利润-p=1/4，然后以1/8=0.125的比率获得利润。这对应于交易者在1/4的价格下最后一个订单（从而以1/4的价格购买所有到达时价格低于1/4的订单），在3/4的价格下最后一个订单，并以1/4和3/4.5.3之间的价格截取所有加入LOB的订单。交易者之间的竞争。最后，我们评论了当多玩家使用第5.2节中描述的简单策略进行竞争时出现的情况。首先考虑两个相互竞争的交易者的情况，第一个交易者有能力采用第5.2.2节所述的狙击策略，第二个交易者不能迅速采取狙击行动，但有能力采用第5.2.1节所述的做市策略。假设做市商在P处分别下了一定数量的买入和卖出订单1- P，其中P≤ 1/2. 假设狙击手立即以高于q的价格购买加入LOB的每个出价，并以低于1的价格购买加入LOB的每个请求- q、 P在哪里≤ Q≤ 1/2.对于给定的P和q，LOB的行为如第5.2.3节所分析：但对这两个交易者的激励是不同的。考虑到P和q，狙击手isRqP（1- 2x）ln（ex/q）dx和做市商（1）- 2P）PRPq/e1/x dx=（1）- 2P）P log（eP/q）提供P>κb=q/e。如果P<q/e，做市商的排序超出重复性范围（κb，1- LOB的κb）和so不匹配。狙击手跟随做市商是很自然的：也就是说，狙击手观察做市商的选择P，并相应地选择q。狙击手的最大选择是q=pP（1- P）。有鉴于此，做市商的最佳选择是P，即最大化其利润率≈ 0.340.

在这种均衡状态下，做市商的收益率为0.073，狙击手的收益率为0.020。接下来考虑两名或多名交易员使用第5.2.1节的做市策略或第5.2.3节的混合策略的情况。每个交易者都会有一种激励，使其在有限的竞价和询价订单中的价格略有提高，从而为自己从这些订单中获得所有利益。纳什均衡让交易者竞争掉买卖价差和他们所有的利润。该模型成为伯特朗价格竞争模型的一个例子，并且，在那里，结论往往与更现实的假设有关，例如容量限制或成本不对称。接下来，考虑使用第5.2.2节的狙击策略的两个或多个交易者之间的竞争；例如，交易者试图在限价单到达时截取与之完全匹配的限价单。如果多个交易者试图同时狙击到达的订单，其中一个将成功，其他交易者将立即取消自己的订单，因为他们发现自己的订单没有成功。对于能够比其他交易者更快地狙击到达订单的交易者来说，这显然是一个优势，而且这样的交易者确实可以执行第5.2.2节中的最佳狙击策略，并将速度较慢的交易者排除在市场之外。有人认为，在速度上的竞争是浪费（见[3]），有人建议鼓励交易者在价格上而不是速度上竞争，例如在[4]的提案中，一个持续时间的市场被频繁的批量拍卖所取代，这种拍卖可能每秒举行几次。

我们将探讨狙击商人之间的价格竞争的后果，他们都可以对进入LOB的新订单以相同的速度作出反应。在这样一个竞争环境下，交易者将有动机提高他们出价高于的价格q，并将他们狙击要求低于的价格p降低到1/2：他们将避免狙击他们预期会亏损的订单。在纳什均衡下，每个交易者都会狙击所有价格低于1/2的ask和所有价格高于1/2的出价（获得订单的概率与其他交易者相同）。然后，最右边的投标书在（1/（2e）上的密度为1/x，在备注5中为1/2。这导致综合收益率为1/（2e）- （1+e）/（8e）≈ 0.042. 因此，狙击手交易者之间的价格竞争只略微降低了他们的综合利润率，从0.060降至0.042。或者，人们可以将这种减少视为一批产品的影响，而不是一个持续的市场。接下来，我们将讨论交易员对买卖价差的影响。分布（2）的平均值可以计算，简单地说是（1）- κ)/2. 因此，如果没有交易者，LOB中最高出价和最低出价之间的平均价差是κ≈ 0.218，而最大排列为1- 2κ ≈ 0.564. 在纳什均衡条件下，狙击交易者之间的平均价差增加到1/e≈ 0.368，最大排列为1- 1/e≈ 0.632. 相比之下，对于单个狙击交易者，两者都进一步增加，平均值扩大到1- 2（e）- 1） /（e+1）≈ 0.590，最大排列为1- 2/（e+1）≈ 0.762; 在做市交易者和狙击交易者之间达到均衡时，平均价差和最大价差分别低至0.228和0.320。

这些计算当然是针对一个特定的例子，但它们确实说明了模型及其见解的可伸缩性。最后，我们对上述狙击交易者之间纳什均衡下的交易者库存进行了评论。观察到低于1/2的LOB独立于高于1/2的LOB发展，并且这两个过程在其相应阈值内都是正循环的。综合考虑交易双方的净头寸，即他们匹配的所有出价减去他们匹配的所有请求，当LOB为空时观察到。这是一个对称的随机游动，是零循环的。交易者策略的细微变化会缓和这一结论：例如，当净头寸较大时，交易者可能会避免狙击接近1/2的出价。当然，与本文中考虑的到达价格分布可能发生变化的情况相比，这种变化在更长的时间尺度上是至关重要的。致谢。作者感谢达雷尔·杜菲对这项工作的早期宝贵评论，并感谢助理编辑和评审人员的仔细审查。作者感谢扬·斯瓦特（Jan Swart）提请他们注意参考文献[16,19,22]和他的预印本[24]，并指出了定理2.1第一部分早期陈述中的一个错误。（使用不同的方法[24]证明并广泛讨论了定理2.1的第3部分，而定理2.1的第2部分解决了[24]中的开放问题。）第二作者的研究得到了NSF研究生奖学金和NSF拨款DMS-1204311的部分支持。参考文献[1]I.阿丹和G.维斯。两个有限多类型序列的精确FCFS匹配率。运筹学，60:475–4892012。[2] 布拉姆森先生。排队网络的稳定性和重传输极限：St.Floor讲义。斯普林格，2006年。

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