限价订单簿的马尔可夫模型：阈值、递归和

2022-5-8 00:53:37

限价指令簿的马尔可夫模型：阈值、重复和交易策略Frank KELLY和ELENA Yudovinabstract。我们分析了短时间范围内的限制订单簿的可处理模型，其中动态由供需之间的随机波动驱动。我们建立了最高出价和最低ask的限制分布的存在性，其中限制分布限定在两个阈值之间。我们广泛使用流体极限，以建立模型的重现性。我们使用该模型分析了各种高频交易策略，并对高频交易者之间在连续时间内的市场被频繁的批量拍卖所取代时出现的纳什均衡进行了评述。1.导言。限价指令簿（LOB）是单一商品市场的一种交易机制。作为价格形成的模型，这一机制对经济学家来说具有重大意义。它也被用于许多金融市场，并产生了广泛的实证和理论研究：最近的一项调查，见[11]。金融市场LOB的详细历史数据鼓励模型能够复制这些市场的观察统计特性。不幸的是，增加的复杂性通常会降低模型的分析可处理性，而且，除了相对较少的例外，此类模型都是通过模拟或数值方法来探索的。本文的目的是分析一个简单易处理的LOB模型，由[22]提出，由[16]和[19]独立提出。该模型的基本形式明确排除了现实世界市场的一些重要特征。

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2022-5-8 00:53:40

然而，我们将看到，从该模型中，可以在高频交易策略的结构上获得一些非琐碎且深刻的结果。此外，该模型对短时间内竞争激烈、交易量大的市场有着自然的解释，其中排除的特征可能不那么重要。我们认为，该模型可能有助于讨论市场设计，作为一个例子，我们使用该模型来评论当连续时间的市场被频繁的批量拍卖所取代时，高频交易者之间出现的纳什均衡。为了激励模型，考虑一个只有两类参与者的市场。首先，长期投资者出于模型之外的原因下订单，他们认为市场有效地满足了他们的目的，并且他们不会从战略上屏蔽他们的订单。这种长期投资者的供求之间的暂时不平衡将导致价格波动，即使在缺乏有关基础资产基本面的任何新信息的情况下也是如此。我们的第二类参与者，即高频交易员，试图通过在长期投资者之间提供流动性，从这些价格波动中获益。在实践中，我们应该预期这两个极端之间会出现一系列行为。只有长期投资者和高频交易者的极端情况显然是一幅漫画，但我们将看到，它确实允许我们分析各种高频交易策略（例如做市、狙击和这些策略的混合）以及它们之间的纳什均衡。接下来，我们将以一个只涉及长期投资者的例子来描述LOB模型，并概述我们在这个例子中的结果。出价是购买一个单元的命令，而询问是出售一个单元的命令。每个人都有一个价格，一个真实的数字。

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2022-5-8 00:53:43

假设出价和要价作为单位价格的独立泊松过程到达，与出价相关的价格，分别为要价，是密度分别为fb（x）和fa（x）的独立同分布随机变量。如果到达的出价低于LOB中的所有请求，则将其添加到LOB中，或者将其与最低请求匹配，然后两者都离开。同样，如果到达请求高于LOB中的所有出价，则将其添加到LOB中，或者第二作者的研究得到了NSF研究生研究奖学金和NSF拨款DMS-1204311的部分支持。例如，管理他们的投资组合。即使提供了相同的信息，投资者的偏好和估值也可能有所不同，这会从交易中创造潜在收益。与最高出价匹配，两人都离开。因此，t时刻的LOB是一组出价和请求（以及它们的价格），我们的假设暗示LOB是一个马尔可夫过程。对于这个模型，我们证明了存在一个具有以下性质的阈值κb：对于任何x<κb，有一个有限的时间，在此时间之后，没有小于x的到达出价被匹配；对于任何x>κb事件，LOB中没有大于x的出价是经常发生的。类似地，当方向不相等时，存在一个相应的阈值κafor asks。此外，还有一个密度πa（x），分别为πb（x），由（κb，κa）支撑，给出LOB中最低ask，分别为最高出价的极限分布。密度πa，πb解方程（1a）fb（x）Zκaxπa（y）dy=πb（x）Zx-∞fa（y）dy（1b）fa（x）Zxκbπb（y）dy=πa（x）Z∞xfb（y）dy.作为一个具体的例子，如果fa（x）=fb（x）=1，x∈ （0,1），然后κa=κ，κb=1- κ、 πa（x）=πb（1）- x）和（2）πb（x）=（1）- κ)x+对数1.- xx, 十、∈ (κ, 1 - κ）其中κ的值如下所示。设w为wew=e的唯一解-1：那么w≈ 0.278和κ=w/（w+1）≈ 0.218.

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2022-5-8 00:53:46

注意，任何fa=fB的例子都可以通过价格轴的阿莫诺通变换简化为这个例子。使用科尔莫戈罗夫的0-1定律，具有所声称属性的阈值的存在是一个相对简单的结果。为了使声称的分配结果精确，主要的挑战是建立某些分箱模型的正回归：例如，当价格只记录到小数点后的有限位数时，这种模型自然产生。考虑到复发的强烈概念，方程式（1）背后的直觉是直截了当的：在平衡状态下，方程式（1a）的右侧是LOB中的最高出价在x处，并且与aprice小于x的到达ask匹配的概率，左边是LOB中最低要求大于x，且到达的出价以x的价格进入LOB的概率；这些必须平衡，一个关于最低要求的类似论点可以得出等式（1b）。为了建立装箱模型的正递推，我们广泛使用流体极限（见[2]），这是排队网络研究中的一项重要技术。到目前为止，我们所描述的订单被称为限价订单，以区别于要求以最佳可用价格立即完成的市场订单。市场订单可以直接包含在模型中：在刚才描述的特定示例中，我们只需将价格1或0分别与市场出价或市场要价关联。随着市场报价比例接近临界阈值，w≈ 0.278在上面的例子中，极限分布πa，πb的支持增加到接近整个区间（0，1）：高于阈值，模型预测LOB中不存在最高出价或最低出价的周期。

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2022-5-8 00:53:50

对于fa=fb的任何例子，在相同的临界阈值W下，这个结论必然成立。LOB是双边排队的一种形式，对它的研究至少可以追溯到[12]的早期论文，该论文将出租车和旅客同时到达的出租车停靠站建模为对称随机行走。最近的理论进展涉及不同类型的服务器和客户，以及服务器和客户之间可行匹配的限制，应用范围从大型呼叫中心到器官移植的全国等待名单（参见[1,23,27]）。我们对LOB模型的兴趣部分是由于在这个特定应用中匹配的简单性：类型作为实变量是完全有序的，因此当一个错误的顺序可以匹配时，匹配是唯一定义的。接下来，我们将对LOB的上述基本模型中缺少的现实世界市场的几个重要特征进行评论。我们假设（来自投资者的）订单从未被取消，订单的到达流及其价格不取决于LOB的状态。这些假设对于我们的长期投资者来说可能是很自然的，他们认为市场有效地满足了他们的需求。这些假设，以及到达流平稳性的相关假设，对于高交易量市场来说可能也是自然的，因为在高交易量市场中，可能会有大量交易活动，甚至是在没有关于基础资产基本面的新信息可用的加班期。

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2022-5-8 00:53:53

从数学上讲，该模型可以被视为假设在模型中表示的交易时间尺度和基本面发生变化的较长时间尺度之间存在分离。假设所有阶数都是针对单个单元的，这在数学上对推导公式（1）很重要；从经济角度来看，它对应于一个竞争市场的假设，投资者不需要考虑订单规模对市场的影响。我们注意到，长期投资者在执行大额订单时可能会试图采取被动态度，以避免价格对其不利，方法是根据市场的成交量来分配订单；见[8]。然后，随着秩序的传播，自然问题就结束了，模型可以在这里提供见解。然而，我们注意到，当大型投资者完成订单所需的时间增加时，我们对交易时间尺度和基本面变化时间尺度之间的分离的假设，即我们对到达流平稳性的假设，可能不再成立。在参与者相对较少且规模较大的市场中，可能需要采取其他方法；有关补充大型战略投资者订单的交易协议的讨论，请参见[7]。市场可能包含长期投资者以外的交易员，目前对LOB高频交易的影响有相当大的兴趣。重要的是，许多高频交易策略在模型中是向前延伸的，因为能够对LOB中的订单立即做出反应的交易者可能会保持马尔可夫结构不变。

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2022-5-8 00:53:56

首先考虑以下针对单个高频交易者的狙击策略：她立即以高于q的价格购买加入LOB的每个出价，以及以低于p的价格购买加入LOB的每个ASK，其中选择p和q来平衡这些购买的利率。该模型直接适用于我们的框架，我们展示了如何计算高频交易者常数p和q的最佳值。一个交易者可能会表现为做市商，在p和q分别下有限数量的买入、卖出、订单，其中κb<p<q<κA。我们再次能够分析这种情况。狙击策略下的最优利润率可能会超过做市策略下的最优利润率：在上述特定示例中，fa（x）=fb（x）=1，x∈ （0,1），描述了长期投资者的订单流。但第三种策略结合了做市和狙击，通常会击败这两种策略。该模型还允许我们轻松探索当多个高频交易者使用做市或狙击策略进行竞争时出现的均衡。最近，关于多个高频交易者之间竞争的影响，以及旨在放缓市场的提议，已经有了相当多的讨论。一个关键问题是，高频交易者可能会在抢单的速度上进行浪费性的竞争，作为监管部门的回应，Budish等人[3,4]建议用频繁的批量拍卖来取代连续时间的市场，这种拍卖可能每秒举行几次。当有多个高频交易者使用造市和狙击的混合物进行竞争时，我们考虑连续和批量市场中的纳什均衡。做市商之间的竞争降低了报价和交易者的利润率，无论市场是连续的还是批量的。

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2022-5-8 00:53:59

批量市场中狙击交易者之间的竞争导致了一个纳什均衡，交易者狙击高于、分别低于中心价格的出价；成批交易市场的交易者利润率略低于连续交易市场。狙击策略之间的竞争会产生大量被取消的订单，因为如果策略尝试狙击到达的订单失败，那么策略会立即取消自己的订单。真实LOB数据的一个不稳定特征，即相当大比例的订单立即被取消[11]，因此，这是对模型的推断，而不是假设。[22]在其关于证券市场监管的开创性工作中首次提出了该模型的离散版本，该模型由[16]和[19]独立引入。以平稳性为假设，[16]对模型进行了广泛的分析；我们的方程（1）可以从[16，命题1]中推导出来，假设稳态行为，将时间导数设置为零。我们的贡献是确定阈值κa，κ带的存在，以证明一个足够强的递归概念，从而证明方程（1）背后的直觉。之前的研究在数学框架上与本文报道的类似，是由Cont和合著者[6,5]，Simatos和合著者[21,14]在Lakner等人[15]的基础上进行的，以及Toke[25]：正如我们所做的那样，这些作者将LOB描述为交互队列的马尔可夫系统，并且能够获得各种感兴趣量的分析表达式。在[6,5,15,21,14]的模型中，任何给定价格下的订单到达率取决于价格高于或低于当前最佳报价的程度；[15,21,14,25]的模型是片面的，因为所有的出价都是限价订单，所有的询价都是市场订单。高等。

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2022-5-8 00:54:02

[10] 研究[6]模型中LOB形状在标度极限下的时间演化。Maglaras等人[17]研究了一个分散的单边市场，在这个市场中，交易者可以将订单发送到几个交易所之一。Lachappelle等人[13]在Ro,su[20]的基础上，使用了不同的数学框架，即平均场游戏，但与我们的方法有一些重要的特点。特别是，这些作者区分了决策独立于LOB即时状态的机构投资者和因LOB即时状态而进行交易的高频交易员。[5]和[13]的模型仅在最佳出价和最佳askprices下保留关于队列大小的详细信息；[6] 与我们的方法共享整个LOB的马尔可夫描述。在许多市场微观结构文献中，LOB的特征，如较大的买卖价差，被解释为参与者保护自己不受其他拥有高级信息的人影响的结果。虽然这显然是现实世界市场的一个重要方面，但我们注意到，这些功能也可能来自更简单的模型。在我们的方法中，LOB动态的驱动力，如[13,20]所示，不是对称信息，而是供需之间的随机波动。论文的组织结构如下。在第2节中，我们精确地描述了模型和我们的主要结果。第3节阐述了第4节给出的证明所需的模板。在第5节中，我们描述了我们的结果的一些应用：这一节包含我们对市场订单、高频交易策略和纳什均衡的讨论。2.

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2022-5-8 00:54:06

模型和结果。时间t时LOB的状态是R上的一对（Bt，at）（可能是有限的）计数度量；bt表示排队（尚未执行）的投标订单的价格，atr表示排队的询价单的价格。新订单以标记点流程的形式到达；标签记录订单类型（出价或要价）和价格。在不丧失普遍性的情况下，我们假设价格轴已经被不断地重新参数化，使得所有价格都在区间（0,1）（或者，偶尔[0,1]）内下跌。当到达的订单“匹配”书本中已有的订单时，订单离开队列。我们需要几个关于两个价格匹配意味着什么的概念，为了抓住这一点，我们引入了aprice等价函数，这是一个非减损的，不一定是连续的函数P:[0，1]→ [0, 1].如果P（bid），则买卖对是兼容的≥ P（问）。我们将主要考虑两种类型的价格等价函数：P（x）=x，以及将所有价格划分为n个定价箱的函数。我们将参考后一种情况，其中P的图像是一个有限集，作为装箱模型。请注意，相同的价格等价函数适用于所有订单的价格，在等价函数的任何严格递增变换下，买卖对的兼容性不变。我们现在已经准备好正式定义进化极限订单簿Lt。初始状态：最初，书里不应该有兼容的出价-要求对。等价地，如果P（y），初始状态（B，A）满足[x，1）·A（0，y]=0≤ P（x）。大多数情况下，我们假设书中的订单总数是有限的；我们在第5节中放宽了这一假设，在该节中，我们允许以单一价格下有限数量的订单，否则账簿是有限的。订单到达过程：新订单以泊松过程的形式到达，iid标签指定订单的类型和价格。

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2022-5-8 00:54:10

除非另有规定，我们假设P（投标）=P（要求）=1/2。我们假设订单的标签是独立的、相同的分布，特别是独立于书籍的状态，但价格的分布可能取决于类型。我们让Fabe为到达报价的CDF，FBE为到达报价的CDF。我们通常会假设，Arrivingordes的价格分布分别具有Fa和Fb密度；这并不意味着失去一般性，因为LOB的演化是由到达价格分布和价格等价函数的组合定义的，因此我们可以始终假设到达订单具有密度，并且只有通过价格等价函数后才变得不连续。泊松结构对这本书并不重要，因为重要的是订单到达的顺序。第5.1.1节考虑了投标和询价的不平等到达率。订单到达时更改：我们不允许模型中的取消（直到第5节），因此状态的所有更改都发生在订单到达时。假设在时间t，价格p的出价到达。如果书中有匹配任务，即如果-（0，y]>0对于某些y，P（y）≤ P（x），那么书中的投标书没有发生任何变化（Bt=Bt）-), 最低的要求是：At=At-- δq，其中q=min{x:At-{x} >0}。如果书中没有匹配的请求，则投标将加入书中：Bt=Bt-+ δpand At=At-. 如果到达的订单是要价的，则情况是对称的q：如果有匹配的出价，则两个订单分开（soAt=at）-Bt=Bt-- δpwp=max{x:Bt-{x} >0}），如果没有匹配的出价，那么ask将加入该书（Bt=Bt）-和At=At-+ δq）。我们将随时跟踪最高（a价）和最低（a价）的报价。

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2022-5-8 00:54:13

如果订单在时间t离开本书，则其价格必须为βt-（如果投标）或αt-（如果有人问）。我们允许{x}=∞ 或者A{y}=∞; 如果是这种情况，那么x的左边没有出价，y的右边没有请求，将永远不会离开限制订单簿，因为它们永远不会是最高出价（分别是最低请求）。下面，我们将介绍LOB的连续和离散化模型。连续LOB是指订单价格密度fa和fb（存在和）上下有界，且价格等价函数为P（x）=x。离散化模型将使用一些装箱价格等价函数，有时（但不总是）会假设所有箱子收到每种类型订单的正比例。对于离散化的、分格的LOB，我们将使用符号JxK来表示包含x的分格的索引；对于某些N>0的情况，JxKis是从1到N的正整数。现在我们给出了有关该模型的主要结果。第一个结果，即定理2.1，确定了阈值κb带κa处的响应。最终，到达κb以下的出价和到达κa以上的请求将永远不会执行；然而，所有到达κb以上的投标和到达κa以下的所有请求将被执行。第二个结果，定理2.2，给出了最右边的bid和最左边的ask的分布。定理2.1（阈值）。存在具有以下性质的价格κ带κA：（1）对于任何 > 几乎可以肯定，存在一个（随机）时间T<∞ 使得βt>κb- αt<κa+ 尽管如此，t≥ T.（2）对于任何 > 0，通常不会有价格在（κb+, κa- ).（3）设x>κb+ y<κa- 对一些人来说 > 0.考虑一下LOB开始于无数的bidsat x、无数的y请求，以及介于两者之间的无数订单。

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2022-5-8 00:54:17

区间（x，y）内按价格计算的订单的演变是一个正的（哈里斯）循环马尔可夫过程，在区间内没有订单之前，预期时间是有限的。事实上，通常x以上没有出价，y以下没有询价，这是科尔莫戈罗夫0-1定律的结果；挑战在于证明在区间（x，y）中既不会有出价也不会有要求。事实上，我们需要依次证明下面定理2.1和定理2.2的这一部分。定理2.2（最高出价的分配）。考虑一个连续的LOB；也就是说，P（x）=x，密度fb和fa上下有界。然后（1）最高出价和最低出价的极限分布具有密度，表示为π带πa；设$b=πb/fB和$a=πa/fa。（2）阈值满足0<κb<κa<1，且Fb（κb）=1- Fa（κa）。（3）最高出价的分布使得$bis是普通微分方程的唯一解决方案-fa（x）1- Fb（x）（Fa（x）$b（x））= $初始条件为（Fa（x）$b（x））|x=κb=1，（Fa（x）$b（x））|x=κb=0，附加约束为$b（x）→ 0作为x↑ κa.最低ask的分布由类似的ODE决定。当书籍的初始状态为有限时，存在最小值，因为书籍中只存在很多订单。0.0.2 0.4 0.6 0.8 1.00 1 2 3 4 5渐近投标密度价格密度图1。对于50个料仓的装箱LOB，最高出价的限制密度，以及连续LOB的限制密度（虚线）。注意装箱模型中的“肩”箱：连续LOB中的阈值位于该箱的内部。推论2.3（统一到达）。假设P（x）=x，并且对于出价和出价，到达价格分布在（0，1）上是一致的。那么κb=κ≈ 0.218由κ=w/（w+1）给出，其中wew=e-1.

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2022-5-8 00:54:20

（κ，1）支持最高出价的限制密度- κ），由$b（x）=1（κ，1）给出-κ)(1 - κ)x+对数1.- xx最低ask的极限密度为$a（x）=$b（1）- x）。备注1（绝对连续性）。我们可以用dFa/dFbbe上下有界的要求来代替关于密度Fa和FB的条件；然而，用密度来表述定理2.2的结果更为自然。有界性要求避免了琐碎的反例fb=21[0,1/2]，fa=21（1/2,1）（无重叠支撑，无剩余订单）或fa=21[0,1/2]，fb=21（1/2,1）（无重叠支撑，无阈值）。通过对价格轴的重新参数化，推论2.3涵盖了到达的投标价格和ASK价格具有相同密度的所有情况。我们描述了定理2.2在第5节中的一些其他分析上易于处理的应用。在第5节中，我们还将对分析进行扩展，以处理一些支持买卖价格分布不一致的例子。备注2。推论2.3中出现的极限密度的形式可以从[16，第3节]的方程式（63）-（64）中推导出来，在[0，∞) 和[0,1]。在图1中，我们展示了统一规格超过50个料仓的装箱LOB的最高出价的精确极限分布，以及连续LOB的极限分布。

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2022-5-8 00:54:23

注意“肩”仓：在已装箱的LOB中，阈值恰好落在仓的中间，因此在仓中拥有最右边出价的长期概率为正，但低于连续极限。虽然我们能够分析计算最右边投标位置的分布，但在稳态下，我们没有精确表达式的许多相关量（尽管定理2.1中建立的正递归意味着它们定义良好，可以通过模拟进行估计）。值得注意的是，除第5.1.3节中考虑的特殊情况外，我们无法推导出图书平衡高度的解析表达式（即在装箱模型中，在给定价格下的预期bid或ASK数量），或最高出价和最低出价的联合分布。有关最高出价和最低出价的模拟接缝密度的说明，请参见[26]。2.1。符号的简要概述。我们在这里总结我们的符号，以及文本中使用的一些主要假设。L:限价订单簿。P：价格等价函数，单调递增函数。大多数情况下，我们要么使用P（x）=x，要么使用将所有价格放入几个箱子中的函数。At，Bt：在t.Fa，Fb时，分别为投标和询价的计算方法。到达的投标和询价订单价格的CDF。在第5.1.1节之前，新到达的订单被认为是出价或出价的概率相等。在装箱模型中，我们可以写Fa，b（n）（n为整数）来表示到达带有索引的箱子的订单的分数≤ n、即，在间隔的最右端点处评估的CDF。fa，fb：假设存在的相应密度。对于大多数结果，fa和fb被假定为上下有界。αt，βt：时间t时最低的ask价格，分别是最高的出价。

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2022-5-8 00:54:27

请注意，这是实际价格，而不是包含它的箱子。JxK：在分仓LOB中，包含价格x的分仓指数。κa、κb：限制价格高于（分别低于）仅执行过无数次询价（投标）。κa<1或κb>0的先验性不明显；我们在命题4.2证明的第3步中证明了这一事实。对于两个或多个参数的函数，我们可以交换参数和下标：因此，fk，n（t）≡fn（k，t）≡ f（k，n，t）。当我们想把f仅仅看作第三个等式的函数时，我们将使用符号fn（k，·）。3.初步结果：单调性。在证明主要结果之前，我们先建立一些模型。其部分目的是让我们能够在连续LOB（我们希望在答案中得到微分方程）和binnedmodels（可以建模为可数状态马尔可夫链）之间进行转换。它还允许我们比较不同到达价格分布的Lob。引理3.1断言，极限订单簿的状态是初始状态下的Lipschitz，Lipschitz常数为1：特别是，到达和匹配模式中的小扰动将导致簿状态中的小扰动。Lemma 3.2断言，通过改变订单或在bid-ask对中删除它们来减少累积的bid和ask队列的操作只会减少未来的队列大小。引理3.1（增加一阶）。考虑一个限价订单簿L，并通过在时间0处添加一个出价，使L与L不同；让它们的到达过程和价格等价函数相同。然后，无论何时，通过增加一个出价或删除一个要求，L都与L不同。证据证据这里“出价”和“要求”的角色是对称的。

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2022-5-8 00:54:31

在额外出价是偏离系统的最高出价之前，该主张显然有效；一旦这样做了，通过添加一个单任务，L就会与L有所不同，然后通过归纳得出结果。定义累计队列大小Qb（p，t）=Bt（0，p），Qa（p，t）=At[p，1）。（请注意，我们计算左侧的出价和右侧的请求。）当我们只想强调对其中一个变量的依赖时，我们会把另一个变量放到一个下标中。引理3.2（减少队列）。考虑一个限价订单簿L，通过修改初始状态，使Qb（·，0）与L不同≤ Qb（·，0），Qa（·，0）≤ Qa（·，0）（作为价格的函数）和Qb（1，0）-Qa（0,0）=Qb（1,0）- Qa（0,0）。换句话说，为了从L到L，在时间0时，我们删除一些出价–askpairs，和/或将一些出价移到右边，和/或将一些请求移到左边。那么在未来的任何时候≥ 0，~Qb（·，t）≤ Qb（·，t）和Qa（·，t）≤ Qa（·，t）是价格的函数。证据证据我们展示了Qb≤ Qb，要求相同的论点。该参数按归纳时间进行，即到达订单的数量。在整个证明过程中，我们使用符号ft-= c`adl`ag函数f的左极限的lims和tf。首先考虑出价在时间t和价格p到达。为了打破不平等，它必须停留在L，但立即在L离开；此外，我们需要Qb（q，t-) =Qb（q，t）-) 对于一些问题≥ p、请注意，如果L中的出价立即偏离，最左边的人在αt处询问-必须与p兼容，特别是p:Qb（p，t）没有投标权-) = Qb（1，t）-). 这个，加上Qb（q，t-) =Qb（q，t）-)Qb（·，t-) ≤ Qb（·，t）-), 意味着Qb（1，t-) =Qb（1，t）-). 由于“出价-要求”的偏离是成对出现的，这反过来意味着Qa（0，t-) =Qa（0，t-).

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2022-5-8 00:54:34

但很容易看出，如果Qa（·，t-) ≤ Qa（·，t）-) 它们等于0，然后是αt-（Qa（·t）最左边的跳跃-)) αt-（Qa（·，t）最左边的跳跃-)) 满足∑αt-≤ αt-,因此，到达的出价实际上也会立即离开。接下来考虑在时间t和价格p到达的ask。为了打破这种不平等，它必须导致L中的最高出价的分离，而不是在L中，我们必须有Qb（q，t）-) =Qb（q，t）-) 对于一些问题≥ βt-P（βt-) ≥ P（P）。现在，在L中没有标价的投标≥ P（P），因此Qb（1，t-) = 林→0~Qb（p- , T-).然而，这与不等式Qb（·t）相矛盾-) ≤ Qb（·，t）-), 自从林→0Qb（p- , T-) ≤ 林→0Qb（βt）--, T-) ≤ Qb（1，t）-) - 1.（请注意，如果在同一价格上有多个出价，则不平等可能不是平等。）我们可以使用这个引理来比较两个具有相同初始状态和orderarrival过程，但价格等价函数不同的限价订单簿L和＠L。假设价格等价函数P合并了由P区分的一些值。那么，在L中兼容的任何出价-出价对在L中也是兼容的；此外，可能还有额外的“出价-询问”对也适用于L。这让我们可以应用LYLEMMA 3.2得出结论，即在L中出现的订单会更少。我们可以通过使用一个包含一个以上bin和一个ashifted到达过程的装箱LOB，给出L中队列大小的上限。如果L在bin k=JxK中有一个价格为x的投标到达，我们就让BL在bin k中有一个价格为x的投标到达- 1.ask到达在L和BL中是相同的。（如果L的箱子编号为1到N，则L的箱子编号为0到N；投标文件到达箱子0到N。）- 1个inbL，而请求通过N到达箱子1。）在这种安排下，任何与inbL兼容的bid-ask对也与L兼容，因此L提供了L队列大小的上限。

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2022-5-8 00:54:37

因此，我们可以通过两个具有略微不同到达价格分布的组合LOB，从上到下绑定一个连续LOB。（假设连续LOB在[0,1]上支持到达分布，则提供上限的装箱LOB在[0,1]上支持投标到达分布。）[-, 1.- ] 并询问[0，1]上支持的到达分发。）最后，当箱子尺寸很小时，到达价格分布的差异将很小，我们将使用引理3.1来限制L和BL状态的发散率。这将让我们展示连续LOB的行为在适当的意义上收敛。4.主要结果的证明。我们首先陈述定理2.1的一种较弱形式。命题4.1（弱阈值）。存在具有以下性质的价格κ带κA：（1）对于任何 > 几乎可以肯定，存在一个（随机）时间T<∞ 使得βt>κ带αt<κa对于所有t≥ T.（2）对于任何 > 0，通常不会有价格超过κb+的投标. 同样，在最终阶段，价格低于κa的订单也不会出现- .（3） κ带κA的阈值为Fb（κb）=1- Fa（κa）。此外，假设出价和要价密度（存在和）在M上有界，则以下情况成立：（4）对于任何 > 概率为1时，存在一个时间序列Tn→ ∞ 这样，在当时，没有价格高于P（κb）的投标, 价格低于P（κa）的询价数量- Is以2（M+1）为界注3。尽管买卖对的兼容性是由价格等价函数P（x）驱动的，但关于κ的陈述是根据x本身。这是因为，只要存在兼容的bid-ask对，最高值为x的bid和最低值为x的ask总是离开书本。

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kedemingshi

2022-5-8 00:54:41

特别是，在装箱模型中，κ带κa通常会落在一些箱子的中间；在这个“肩上”的箱子里，到达的订单的一个重要部分永远留在书中。在图1中，κB大约穿过“肩”仓的一半。（κB也可能形成料仓的边缘。）备注4。注意，我们在这里没有断言n的行为-1Tnas n→ ∞: 为了这个命题的目的，这个序列很可能趋向于零。定理2.1的证明将表明，对于任何 > 0序列n-1Tn=n-1Tn() 事实上，最终是从零开始有界的，有界依赖于零.证据证据前两种说法源自科尔莫戈罗夫的0-1定律。考虑一下事件b（x）={很多出价都会偏离价格≤ x} Ea（x）={很多订单都会偏离价格≥ x} 。引理3.1表明，这些事件位于到达过程的尾σ-代数中。由于到达过程由一系列独立且相同分布的事件组成，Kolmogorov的0–1定律确保了对于每个x，Eb（x）的概率为0或1（对于Ea（x）也是如此）。现在让（3a）κb=sup{x:P（Eb（x））=1}，κa=inf{x:P（Ea（x））=1}。（如果要取极值的集合是空的，我们让κb=0或κa=1。）在注意到Eb（x）之后，前两个断言的财产 Eb（y）代表x≥ y、而且，无论何时在价格x上有出价偏离，都不得有高于x的出价（对于买家来说情况类似）接下来我们证明Fb（κb）+Fa（κa）=1。根据到达过程的强大数定律和上述0-1定律，我们知道Fb（κb）是系统中到达投标的最小限制比例：（3b）Fb（κb）=lim inft→∞t#（在时间t时在LOB中出价）。同样的平等显然适用于1-Fa（κa）。

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2022-5-8 00:54:44

由于出价和请求总是成对地离开，对到达过程强大的大数定律的进一步呼吁表明，我们必须有Fb（κb）=1-Fa（κa）。定理第（4）部分中的时间Tnas的存在遵循了到达过程的大数泛函中的类似论点。在概率为1的情况下，选择一个足够长的时间，当没有价格高于P（κb）的出价时确保最多有（Fb（κa）+（M+1）)系统中的任务。因为以（1）的速度向κA河的右侧移动- Fa（κa））=Fb（κb），并且最终永远不会离开，因为足够大的tn将最多有2（M+1）以低于κa的价格出售- . 这个结果比我们希望最终证明的正复发性要弱：特别是，它没有表明κ带κais之间的两种类型的顺序的总数永远为零。为了获得关于正复发的陈述，我们需要使用流体限制技术，我们的总体方法将类似于[2，第4章]。稳定性的最终证明将使用乘法福斯特准则（依赖于状态的裂谷），见[18，定理13.0.1]。为了达到这一点，我们需要证明，无论何时（κb，κa）中有许多bidsor-ask，它们的数量都会在很长一段时间内以某个正的、有界的低于的速率减少。这是排队论中的一个标准论点；但该模型的挑战在于，队列的演化取决于哪些队列是正的，而不是哪些队列是大的。一般来说，这种形式的马尔科夫链很难分析（[9]表明，一般来说，这种链的稳定性是不确定的），但我们的链的特殊结构使其易于分析。屋顶的轮廓如下。（1）我们和装箱的高球一起工作。

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2022-5-8 00:54:47

首先，我们展示了在适当的重新缩放后，队列大小和每个箱子中最高出价（最低要求）的本地时间收敛到一组Lipschitz轨迹，我们称之为流体极限。然后我们继续研究流体极限的性质。（2）接下来，我们证明了JκbK+1和JκaK之间的容器（严格地）的所有流体极限都趋向于零- 1.我们探索流体极限所满足的方程和不等式，以显示以下内容：（a）存在一个区间[x，y]，在该区间上，只要阶数的流体极限为正，它就会减小（以下面有界的速率）。因此，经过一段时间T（取决于初始状态），流体极限在[x，y]上将为零。X和Y的值不能是二进制边界。（b）在T之后，我们将能够从低于[x，x]上最右边的出价的本地时间增长率（对于某些x<x），以及（y，y）上最左边的出价的本地时间增长率（对于某些y>y）。因为无论何时最高的出价在[x，x]中，它都有离开的正机会（对于（y，y）中的出价，我们得出结论，无论[x，y]中的订单数量多大，它将减少（以下面限定的速率）。我们重复这个论点直到[xn，yn]≈ [κb，κa]。在这一步中，xiand Yi可能不是宾边界。（3）我们证明，如果在某个时间间隔内，所有的流体极限在一定时间内收敛到0，那么在该时间间隔内，装箱的LOB是循环的。（此步骤是流体限制参数的标准步骤。）由于连续限制订单簿中的BID数可以从上到下以组合的BID为界，这也将显示连续LOB的重复性。4.1. 极限分布的常微分方程。

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2022-5-8 00:54:51

我们的第一个结果表明，描述唯一极限的ODE为→ ∞, 最高出价的经验分布实际上描述了一些这样的限制。在此过程中，我们还建立了0<κb<κa<1。提案4.2（最高出价的弱分布）。假设到达价格分布的密度上下都有界，并考虑一系列分箱LOB，其中分箱数量N趋于一致。每N和 > 0，设Tn=Tn（N，) → ∞ 按照建议4.1第（4）部分确定的时间顺序。设πb（n，n，) 是时间间隔[0，Tn]内最高出价的离散归一化经验密度；也就是πb（n，n，, x） =最高出价在JxKTn·（JxK的长度）内的时间。（1） limn存在一个唯一的极限→∞, N→∞, →0πb（n，n，) := πb，和asks类似。（2）表示$b=πb/fb和$a=πa/fa，它们满足一对积分方程（4a）fa（x）$b（x）=Zx$a（y）fa（y）dy，x∈ （κb，κa）；Zκaκb$b（x）fb（x）dx=1，（4b）（1- Fb（x））$a（x）=Zx$b（y）Fb（y）dy，x∈ （κb，κa）；Zκaκb$a（x）fa（x）dx=1。（3）此外，只要$bis不同，它就满足了颂歌（5a）-1.- Fb（x）fa（x）（fa（x）$b（x））= $b（x）fb（x）具有初始条件（5b）（Fa（x）$b（x））|x=κb=1，（Fa（x）$b（x））|x=κb=0和附加约束$b（x）→ 0作为x↑ κa.最左边的ask Saties亚洲颂歌的分布。（4）方程（5）有唯一的解；特别是，κ带κaare是由它唯一决定的。备注5（规范化和初始条件）。从积分方程（4）可以看出，$b是价格的连续函数，而πb可能不是。

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2022-5-8 00:54:54

特别是，如果我们对分段连续函数FB和fa感兴趣，那么$b将满足FB和fa连续的每个段上的ODE（5a），并且可以从$b（x）和（fa（x）$b（x））都是连续的要求拼接在一起。初始条件（5b）适用于初始状态有限的LOB。取而代之的是，考虑一个LOB，在某个价格p>κb的情况下，有一个固定的出价顺序。只要阈值κbof-L为正，我们可以通过改变价格等价函数来消除在p的固定顺序，使p（0）=p（~κb）=p（p）：在阈值时间之后，在价格高于p的情况下，~L和这个新的LOB^L的演化将是相同的。在^L中，有另一个阈值^κb，初始条件（5b）对所有x都成立∈ （^κb，p），意思是^$b（x）=1/Fa（x）的间隔时间。相应地，在L中，最高出价的分布在p处有一个原子massRp^κb1/Fa（x）dx。对于最低的要价，我们当然会有P（αt）≤ p） =0，但可能是$a（x）6→ 0作为x↓ p：在最终投标地点可能不连续。备注6。下面第2步和第3步中的计算与[16，第1节]中的计算类似；我们给出了完整性的完整论证。证据证据

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2022-5-8 00:54:58

证明过程如下：（1）固定箱数N，考虑经验密度πb（N，N，), πa（n，n，).沿着任意序列n→ ∞, N→ ∞, 和 → 0存在收敛子序列。（2）任何后续极限都满足某一对积分方程，因此存在一些常微分方程。（3） ODE将直接暗示κb<κa；此外，0<κ带κa<1。（4）这些常微分方程的解是唯一的，特别是极限不取决于n的阶数→ ∞, N→ ∞, 和 → 0.第一步：紧支撑概率分布的空间是紧的，所以沿着任何经验分布序列都会有收敛的子序列。此外，无论何时最高出价是inbin JxK，出价偏离都会以一定的速度出现在bin中≥ Fa（x）πb（JxK），而投标到达最多出现在该箱中fb（x）。因此，在有界密度fb，fa的假设下，最高投标密度πb（JxK）≤ fb（x）/Fa（x）在n，n中一致有界，; 这保证了沿子序列存在极限密度。最后，fa和fb的下界保证$a和$bare有界，因此也沿子序列收敛。对于第2步和第3步，πa，带$a，b参考任何这样的子序列，沿着所有四个量的单个子序列。第二步：积分方程表示投标到达率应等于投标离开率。沿着队列较小的时间序列（即。 ≈ 这几乎是真的；在极限范围内，这是完全正确的 → 0

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2022-5-8 00:55:01

x处的投标到达率为fb（x）P（αt>x）=fb（x）Rxπa（y）dy，x处的投标偏离率为πb（x）Fa（x），因此将两者设置为相等即可得出结果；这首颂歌是通过两次微分得到的。当然，如果我们乘以箱数N，极限分布将由微分方程描述，而不是积分（或微分）方程。微分方程的极限解可以解微分（或积分）方程，这是标准的。第3步：要看到κb<κa，请注意πbis由fb/Faalways限定，因此如果它积分到1，我们必须有κb<κa。要看到κb>0（且κa<1），我们考虑一个包含三个bin的装箱LOB)L，其中binpartitions位于x，x+δ用于某些x∈ （κb，κa）。通过单调性，J)κbK=1和J)κaK=3。对于δ足够小的情况，中间仓中的订单数量最终将由几何随机变量随机控制。事实上，每当bin 2中有出价时，更多的出价就会到达费率Fb（x+δ）- Fb（x）以更大的速率Fa（x+δ）离开（这是在3号货位的请求停止离开后）。情况与此类似。因此，在L中，我们必须使πb（2）>0和πa（2）>0。如果πb（1）和πa（3）是这样的，以至于（几乎）所有的阶都偏离，那么从πb（1）Fa（x）=Fb（x）我们发现πb（1）Fa（x）=Fb（x）==> πb（2）=Fa（x）- Fb（x）Fa（x）==> Fa（x）>Fb（x）。现在，让δ足够小，使Fa（x）>Fb（x+δ），并从另一个表达式∧πb（2）Fa（x+δ）=（Fb（x+δ）中求解∧πb（2）- Fb（x））πa（3）。这就得到了πb（1）+πb（2）=Fb（x）Fa（x）+Fb（x+δ）- Fb（x）Fa（x+δ）1- Fa（x+δ）1- Fb（x+δ）<1。这个矛盾表明，实际上在这个LOB中，我们必须有∧πb（1）Fa（x）<Fb（x）- 对于某些η>0的η，这意味着Fb（～κb）≥ η.

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2022-5-8 00:55:04

通过单调性，我们也得到了κb>0（对于足够大的N，宽度δ的上述料仓是LOB的原始料仓之一）。第4步：解的唯一性来自这样一个事实：我们有一个二阶常微分方程，有两个初始条件（正如我们刚才所展示的，它们是有限的）。注意，κb>0的另一个参数是，对于某些x>0的情况，πb（x）>0，因为从那时起，ODE迫使πbFa/fbf减小，而πb（x）~ 1/x接近0，这是不可积的。然而，目前还不清楚为什么在一个装箱的LOB中，出价最高的人不能（几乎）把所有时间都花在最左边的箱子里，因此我们给出了上面更复杂的论点。此时此刻，可能存在多个具有不同κb值的ODE解决方案。直觉上，情况不应该是这样，因为任何限制性κb都应该给出连续LOB的（唯一）阈值。我们将从下面的引理4.3中导出四重（κb，κa，πb，πa）的唯一性，这表明（5a）的解在初始条件下是单调的。这意味着要求srκaκbπb（x）dx=1和Fb（κb）=1- Fa（κa）可以单独固定κ带κ，因为减少κ会增加$banddx$b的初始值。关于常微分方程，我们需要的第二个结果是初始条件下的单调性：引理4.3（常微分方程单调性）。让$band$bbe给出两个初始条件为$b（x）的ODE（5a）解≥ $b（x），（$b）（x）≥ （$b）（x）。那么对于所有x≥ x、 $b（x）≥ $b（x）。证据证据我们可以单调地重新参数化空间，使Fa（x）=x。然后ODE（5a）变成（Fb（x）- 1)xddx$b（x）+$b（x）+ xfb（x）ddx$b（x）=0，这是一阶常微分方程inddx$b（x）。由于一阶常微分方程的解在初始条件下不断增加，我们得到了Ddx$b（x）≥ddxyen$b（x），期望的不平等性很小。推论4.4。

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2022-5-8 00:55:07

假设$bcome（5b）的初始条件，以及对于某些x>κb的初始条件为$$bareFa（x）~$b（x）=1，（Fa（x）~$b（x））|x=x=0≤ ：/b（x）和ddx$b（x）|x=x≤因此，$b（x）≤ $b（x）换x≥ x、证据。证据像以前一样重新参数化空间，使Fa（x）=x。然后（x$b（x））=-πa（x），$b（x）=x1.-Zx$a（y）dy.由此可知，b（x）美元≤ $b（x）。此外，xddx$b（x）=-πa（x）- $b（x）=-x+xZx（$a（y）- $现在，在高球中，（1）- Fb（x））$a（x）在增加（参见x$b（x）在减少），这意味着$ais在增加。因此，上面的积分是非正的，我们看到xddx$b（x）|x=x≤ -x=xddx)$b（x）| x=xas必需。4.2. 流体限制。在本节中，我们将介绍与限额订单相关的按流量缩放的流程，讨论它们与限额的收敛性，并确定限额的属性。在本节中，我们使用一个装箱的限额订单簿。让Bk（·）和Ak（·）成为bids和ASK的到达过程（按时间索引）。这些过程的时间结构对我们的结果并不重要，所以我们可以假设它们是泊松过程；从定义上讲，他们是独立的。我们将假设投标的总到达率为1，ask的总到达率为1，因此，如果pb（k）（分别为pa（k））是到达的投标（ask）落入料仓k的概率，这也是投标（ask）落入料仓k的到达率。设Qb（k，t）（分别为Qa（k，t））是在时间t时在bin k中的出价（ask）数。设tβ（k，t）和tα（k，t）是在时间t之前，当最右边的出价（分别为最左边的ask）在bin k中时的时间量：也就是说，tβ（k，t）=Zt1{JβsK k}ds，tα（k，t Zt1{JαsK k}ds。很明显，初始数据Qb（k，0）、Qa（k，0）以及到达过程Bk（·）、Ak（·）为以后确定所有这些过程的值提供了足够的信息。

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