具有负参数的多样性加权投资组合

2022-5-8 01:04:57

具有负参数的多样性加权投资组合*Alexander Vervuurt+Ioannis Karatzas2015年7月2日摘要我们分析了Fernholz、Karatzas和Kardaras（Finance Stoch9（1）：1–27，2005）研究的多样性加权投资组合的一个负参数变量，该投资组合投资于每家公司的财富比例与公司的市场权重（其资本与整个市场的资本比率）成反比。我们证明，在波动性结构的非简并假设和市场权重允许正下限的假设下，该策略在足够长的时间范围内以概率1优于市场。本文提出了该投资组合的几种修正，在较温和的无故障条件下，其表现优于市场，其中一种是基于排名的。一项实证研究表明，即使在现实的比例交易成本下，本文研究的这些策略确实有可能超越市场，成为更好的投资机会。*作者非常感谢Adrian Banner、Robert Fernholz、Thibaut Lienart、Michael Monoyios、Vassilios Papathanakos、Julen Rotaetxe、Johannes Ruf和ananonymous仲裁人对手稿的仔细阅读，以及他们提出的许多有见地和有益的建议。+牛津大学数学研究所，安德鲁·威尔斯大厦，英国牛津伍德斯托克路拉德克利夫天文台区，牛津大学，OX2 6GG（电子邮件：vervuurt@maths.ox.ac.uk)Alexander Vervuurt感谢博士。

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2022-5-8 01:05:01

来自工程和物理科学研究委员会、野村证券和牛津曼定量金融研究所的学生美国纽约哥伦比亚大学数学系，邮编：NY 10027（电子邮件：ik@math.columbia.edu)，以及美国新泽西州普林斯顿市帕默广场441号套房Intech投资管理公司（电子邮件：ik@enhanced.com).由国家科学基金会（NSF-DMS-14-05210.1 Introduction）资助的inpart研究。随机投资组合理论为股票市场中的投资组合选择提供了一种相对新颖的方法，旨在——除其他外——构建在给定时间范围内以概率1表现优于指数或基准投资组合的投资组合，只要有可能。读者参考了R.Fernholz的专著（Fernholz，2002年），以及Fernholz和Karatzas（2009年）最近的综述。Fernholz等人（2005年）的研究表明，在满足某些假设的市场模型中，这种表现优异的投资组合在相当长的时间内都存在；即弱多样性和非简并性。这种投资策略之一就是所谓的多元化加权投资组合。通过将市场投资组合的权重全部提高到某个给定的幂p，可以重新校准市场投资组合的权重∈ （0,1）然后重新正常化；见Fernholz等人（2005年）。我们在这里研究这种策略的一种变体，即负参数p<0的多样性加权投资组合。该策略向每家公司投资一定比例的财富，该比例与公司资本与整个市场资本的比率成反比（该比率称为公司的市场权重）。

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2022-5-8 01:05:04

因此，该战略在公司股票价值增加时出售，在公司股票价值减少时购买。1.1预览我们在第2节中建立模型并介绍必要的定义。我们的第一个主要结果是，这种负参数多样性加权投资组合在长期内也优于市场，但现在处于无失败状态。这假设所有的市场权重都是由一个正常数从下方统一确定的——见第3节。无故障条件比多样性更强大。第4节显示了对该投资组合（仅投资小资股）的基于排名的修正，以超越市场，同样是在“无失败”的假设下。对于某些正参数sp∈ （0,1），这种基于排名的投资组合在温和且更现实的条件下表现优于市场，即有限失败。该条件仅对m<n的市值最大的公司设定了统一的市场权重下限，其中n为市场中的股票总数。我们在第5节中给出了另外两个结果。第一个结果表明，在市场协变量结构的附加有界性假设下，负参数多样性加权投资组合的表现优于正参数多样性加权投资组合；这就假定，基础It^o模型中卵巢矩阵的特征值在时间上是一致的，从上面有界的。

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能者818

2022-5-8 01:05:08

我们的第二个结果研究了这两种多样性加权投资组合的组成，并表明，在多样性条件下，这种“组合”几乎肯定在足够长的时间范围内比市场表现更好。我们在第6节对构建的投资组合进行了实证研究，证明如果在1990年1月1日至2014年12月31日的25年期间对指数成分进行调整，我们对多样性加权投资组合的调整将大大超过标准普尔500指数。在这项研究中，我们纳入了0.5%的按比例交易成本、因破产而终止的股份、合并和收购，以及股息等分配。我们计算了这段时间内我们投资组合的相对回报，以及与市场指数相关的夏普比率。我们将在第7.2节“预备工作”2中讨论结果和未来可能的工作。1模型我们的市场模型是随机投资组合理论（Fernholz，2002）的标准模型，其中股票资本化是在It^o过程中建模的。即n个股票资本化过程的动力学Xi（·），i=1，n由dxi（t）=Xi（t）给出bi（t）dt+dXν=1σiν（t）dWν（t）, T≥ 0，i=1，N（1）这里是W（·），Wd（·）是带d的独立标准布朗运动≥n、 Xi（0）>0，i=1，n是初始资本化。我们假设所有过程都定义在概率空间上(Ohm, F、 P），并适应过滤F={F（t）}0≤t<∞这满足了通常的条件，并且包含了由“驱动”布朗运动产生的过滤。收益率bi（·），i=1。

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2022-5-8 01:05:11

，n和挥发率σ（·）=（σiν（·））1≤我≤n、一,≤ν≤d、 F-可逐步测量并假设满足可积性条件nxi=1ZT吗|bi（t）|+dXν=1（σiν（t））dt<∞, P-a.s。； T∈ (0, ∞), （2）以及非简并条件 ε>0，使得：ξσ（t）σ（t）ξ≥ ε||ξ||, ξ ∈ Rn，t≥ 0 ; P-a.s.（ND）2.2相对套利我们使用投资组合研究（1）中描述的股票市场投资。这些是Rn值和F-逐步可测过程π（·）=π（·），··，πn（·）, 式中，πi（t）代表时间t时投资于股票i的财富比例。我们将自己限制为只做多的投资组合。它们只投资于股票，即πi（t）≥ 0，i=1，n，andnXi=1πi（t）=1， T≥ 0 ; （3）特别是，没有货币市场。投资者实施π（·）的相应财富过程Vπ（·）被视为如下发展（将初始财富标准化为1）：dVπ（t）Vπ（t）=nXi=1πi（t）dXi（t）Xi（t），Vπ（0）=1。（4）我们将主要根据市场指数来衡量绩效。这是由向量过程u（·）给出的买入并持有投资组合产生的财富过程Vu（·）=u（·），··，un（·）市场权重ui（t）：=Xi（t）X（t），i=1，n，其中X（t）：=nXi=1Xi（t）。（5）定义1。在时间范围[0，T]内，当实数T>0时，相对于投资组合ρ（·）的相对套利是一个投资组合π（·），这样pVπ（T）≥ Vρ（T）= 1和PVπ（T）>Vρ（T）> 0

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2022-5-8 01:05:15

（6）表达这一概念的一种等效方法是，在时间范围内，投资组合π（·）优于投资组合ρ（·）[0，T]。我们称之为相对套利强势，如果事实上是PVπ（T）>Vρ（T）= 1.有时我们可以这样表述，在时间范围内，投资组合π（·）比投资组合ρ（·）表现得更好[0，T]。我们介绍了Rn×n值协变量过程a（·）=σ（·）σ（·），并且，对于Rn中的单位向量，相对协方差τuij（t）：=u（t）- 工程安装a（t）u（t）- ej, 1.≤ i、 j≤ n、（7）最后，我们定义了超额增长率γ*投资组合的π（·）作为γ*π（t）：=nXi=1πi（t）aii（t）-nXi，j=1πi（t）aij（t）πj（t）. （8）我们将使用由θ（1）（t）=max1递归定义的逆序统计符号≤我≤n{θi（t）}（9）θ（k）（t）=max{θ（t），…，θn（t）}\\{θ（1）（t），…，θ（k）-1）（t）}, k=2，对于任意Rn值过程θ（·）。在这里，联系是按字典顺序解决的，总是倾向于最低的索引i。因此我们有θ（1）（t）≥ θ（2）（t）≥ . . . ≥ θ（n）（t）。（10）在引理3的强度上，非简并条件（ND）意味着。4在Fernholz和Karatzas（2009）（最初在Ofernholz et al.（2005）的附录中证明）中，对于任何仅长期投资组合π（·），我们有概率1：γ*π（t）≥ε1.- π（1）（t）, T≥ 0 . （11） 2.3功能生成的Portfolio一类特殊的投资组合，称为功能生成投资组合，由Fernholz（1999）介绍和研究。考虑一个函数G∈ C（U，R+），其中U是n+=十、∈ Rn:x+…+xn=1，0<xi<1，i=1，N, （12）这样x7→ xiDilog G（x）是有界的n+表示i=1，n、可以说，g是给定投资组合π（·）的母函数，对于i=1，n，通过πi（t）：=Dilog G（u（t））+1-nXj=1uj（t）Djlog G（u（t））· ui（t）。

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nandehutu2022

2022-5-8 01:05:18

（13）在这里和整篇文章中，我们写了关于Ith变量的偏导数的Di，以及关于Ith和JTh变量的二次偏导数的Dij。Fernholz（1999）的定理3.1断言，当相对于市场进行测量时，与π（·）对应的财富过程的表现满足分解（通常称为“Fernholz主方程”）对数Vπ（T）Vu（T）= 日志G（u（T））G（u（0））+ZTg（t）dt，P-a.s.（14）数量g（t）：=-12G（u（t））nXi，j=1DijG（u（t））ui（t）uj（t）τij（t）（15）被称为组合π（·）的漂移过程。2.4多样性加权投资组合我们现在考虑带参数p的多样性加权投资组合∈ R、如Fernholz等人（2005）的（4.4）所定义：π（p）i（t）：=（ui（t））pPnj=1（uj（t））p，i=1，n、（16）在条件（ND）下，证明模型（1）中存在相对关联性的一个条件是多样性（见Fernholz（2002）的推论2.3.5和示例3.3.3）。这就假定，nosingle公司的资本可以占整个市场的一定比例以上。更正式地说，一个市场在时间范围[0，T]内是多样的，对于一些实际数字T>0，如果 δ ∈ （0，1）使得：u（1）（t）<1- δ , T∈ [0，T]= 1.（D）形式（1）的模型满足性质（D）并允许局部鞅变量，在Fernholz等人（2005）的备注6.2中明确显示存在。Osterriederand Rheinl¨ander（2006）和Sarantsev（2014）提出了其他施工方案。Fernholz等人（2005年，见等式（4.5））表明，在满足（ND）和（D）的市场中，投资组合（16）在任何p∈ （0,1）和加班时间[0,T]与T∈2对数nεδp，∞.

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2022-5-8 01:05:21

（17）在下面的定理1中，我们证明了在具有以下无失效条件的市场中，具有负参数p的多样性加权投资组合具有类似的性质： φ ∈ （0，1/n）使得u（n）（t）>~n， T∈ [0，T]= 1.（NF）我们注意到，这个条件意味着参数δ=（n）的多样性- 1）主要结果这是本文的主要结果。定理1。在市场模型（1）中，在假设（ND）和（NF）下，多样性加权投资组合π（p）（·）与参数p∈对数nlog（n k），0（18）在时间范围内[0，T]相对于市场u（·）的强套利，对于任何实数而言-2n对数（n~n）ε（1）- p）N- （n k）p. （19）证据。我们应用功能生成投资组合理论，如第2节所述。3.对于任何P6=0，检查组合（16）是否由函数GP:X7生成-→nXi=1xpi！1/p.（20）我们应用拉格朗日乘子的方法，使函数gpp<0时最大化，前提是toPni=1xi=1；这使得xi=1/n，i=1，n、因此，我们可以这样写，在（NF）下，生成函数接受上下限sn1-p=nXi=1NP≤nXi=1ui（t）p=Gp（u（t）因此，对于任何T∈ (0, ∞), 我们有下限Gp（u（T））Gp（u（0））> 对数（n k），（22）为负数。使用假设（NF）和（21）的下限，我们得到π（p）（1）（t）=（u（n）（t））pPni=1（ui（t））p<φpn1-p=（n~n）pn<1，（23），其中最后一个（严格）不等式从（18）开始。结合（23），不等式（11）给出了sztγ*π（p）（t）dt≥εZT1.- π（p）（1）（t）dt>εT1.-（n~n）pn. （24）最后，简单的计算表明，（15）中定义的Portfolio（16）的漂移过程对于所有p是相等的∈ R togp（·）=（1- p） γ*π（p）（·）。

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2022-5-8 01:05:25

（25）我们现在将（25）、（22）和（24）应用于费恩霍尔茨的主方程（14），并得出结论，π（p）（·）在[0，T]上相对于市场的相对性能由log给出Vπ（p）（T）Vu（T）= 日志Gp（u（T））Gp（u（0））+ (1 - p） ZTγ*π（p）（t）dt（26）>log（n~n）+（1）- p） εT1.-（n~n）pn> 0，P-a.s.，提供了令人满意的结果（19）。因此，投资组合π（p）（·）在足够长的时间范围内表现强于市场[0，T]，如（19）所示。4基于秩的方差真实市场通常不满足（NF）假设（因为股票可能崩溃），因此需要削弱定理1的这一条件。（NF）的一个可能解释是，假设“无故障”仅适用于资本化程度最高的m股，对于某些固定的2<m<n，即 κ ∈ （0，1/m）使得u（m）（t）>κ， T∈ [0，T]= 1.我们称之为有限失效条件，因为它假定不超过n- m公司将在T时“破产”。在这种情况下，i公司在时间范围[0，T]内的破产被定义为事件{ T∈ [0，T]使得ui（T）≤ κ}. 我们还注意到（LF）包含参数（m）的分集条件- 1)κ .备注1。正如V.Papathanakos（私人通信）所指出的，具有参数δ的分集条件（D）∈ （0，1）依次表示（LF）和参数=1.- δκ=1- （m）- 1)(1 - δ） n- （m）- 1） <m，（27），其中bxc是小于或等于x的最大整数∈ R.为了看到这一点，我们注意到，只要（k- 1)(1 - δ） <1，代表1<k≤ n、我们得到了μ（k）的含义-1）（t）<1- δ => u（k）（t）>1- （k）- 1)(1 - δ） n- （k）- 1). （28）我们将（28）右边的不等式定义为（LF）的一个版本。

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2022-5-8 01:05:28

下限为正的最大整数是k=b1/（1）- δ） c，给出（27）。4.1在假设（LF）下，可以尝试使用参数p=r的多样性加权投资组合的变量（在Fernholz（2001）的示例4.2中介绍）构造相对套利∈ R只投资m=m排名最高的股票（因此自然避免投资“崩溃”的股票），即：π#pt（k）（t）=（u（k）（t））rPm`=1（u（t））r，k=1，m、 0，k=m+1，n、（29）这里，pt（k）是在t时排名为k的股票的指数（通过选择最低的指数，再次“按字母顺序”解决关系），因此upt（k）（t）=u（k）（t）。我们用Lk，k+1（t）表示≡ λΞk（t）连续非负半鞅k（·）：=log在原点处，在时间间隔[0，t]内累积的半鞅局部时间u（k）（·）/u（k+1）（·）, k=1，N- 1.（30）定义2。让我们考虑formlog中所有连续的非负半鞅原点的局部时间u（k）（·）/u（k+r）（·）, k=1，N- r，r≥ 2，并将其称为“高阶碰撞本地时间”。在本节中，我们将假设如下：假设1。所有高阶碰撞本地时间都消失了。读者应参考Banner和Ghomrasni（2008）关于排序半鞅的一般理论，以及Ichiba等人（2011）关于确保高阶碰撞在本地时间消失的有效条件，如假设1所述。当试图用投资组合（29）构建相对套利时，会遇到一个问题。

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2022-5-8 01:05:31

也就是说，奥芬霍尔兹（2001）定理3.1的一个应用断言，以下主方程适用于这个基于秩的投资组合：logVπ#（T）Vu（T）= logG#r（u（T））G#r（u（0））！+(1 - r） ZTγ*π#（t）dt（31）-ZTπ#pt（m）（t）dLm，m+1（t），其中G#rπ#（·）的母函数；与（26）相比。由于半鞅局部时间的无界性，（31）中的最终项（Fernholz（2001）称为“泄漏”）不允许有明显的几乎确定的界。因此，在合理条件下，π#（·）的市场相对表现不存在下限。由于在实际市场中，该局部时间期限通常很小，我们仍然预计该投资组合会有良好的表现，因此将其纳入我们的实证研究中——见第6.4.2节小型股票的多样性加权投资组合≤ m<n，并通过π[pt（k）（t）定义一个小型股票多样性加权投资组合=0，k=1，m、（u（k）（t））rPn`=m+1（u（`）（t））r，k=m+1，n、（32）有了这项新的豁免，（31）中的局部时间项改变了π[（·）的符号（见下面的等式（38）），上一小节中提到的问题消失了。事实上，我们可以证明，（32）中的新投资组合在假设（ND）、（LF）下，对于参数r的某些正值，以及假设（ND）、（NF）下的表现优于市场，当r在负值的适当范围内时。提议1。我们将自己置于市场模型（1）的背景下，并在假设1和条件（ND）下。（i）如果条件（LF）也成立，则参数为（32）的小型股票多样性加权投资组合∈-log（2）log（（m+1）κ），1m=m- 2（33）是在时间范围内[0，T]相对于市场μ（·）的强相对套利，前提是κ<2（m+1）和T>T[+：=日志N-M- r日志（m+1）κεr（1）- r）2.- （m+1）-rκ-R.

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2022-5-8 01:05:34

（34）（ii）如果（NF）也成立，则（32）的小型股票多样性加权投资组合具有参数∈日志（n）- m）对数（（m+1）~n），0（35）是在时间范围[0，T]内相对于市场u（·）的强套利，前提是T>T[-:=-2（n- m）对数（（m+1）~n）ε（1）- r）N- M- （m+1）rаr. （36）证据。组合（32）由函数gr（x）：=nX`=m+1生成x（`）R1/r，（37）基于等级的（20）变体。以类似于（31）的方式，奥芬霍尔茨（2001）定理3.1暗示了我们的小型股票投资组合表现的以下主方程：logVπ[（T）Vu（T）= 日志Gr（u（T））Gr（u（0））+ (1 - r） ZTγ*π[（t）dt（38）+ZTπ[pt（m）（t）dLm，m+1（t）。我们注意到，当与（29）中的大型股票组合方程的分析（31）并列时，最后一项的符号发生了变化。案例（i）：与r∈- log（2）/log（（m+1）κ），1如（33）所示，我们有κ<2（m+1）==> r>-日志（2）日志（m+1）κ> 0 . （39）回忆（LF）和m=m- 2，我们有以下边界2κr<（u（m-1）（t）r+（u（m）（t））r+nX`=m+1（u（`）（t））r=nX`=m+1（u（`）（t））r=Gr（u（t））r（40）≤nX`=m+1m+1r=（n）- m）m+1-r的生成函数Gr，并导出下边界logGr（u（T））Gr（u（0））> 日志（m+1）κ-rlogN- M. （41）注意，使用（40）和u（k）（t）中的下限≤ 1/k，k=1，n，我们得到π[（1）（t）=（u（m+1）（t））rPn`=m+1（u（`）（t））r<（m+1）-r2κr<1，（42），其中最后一个界来自（39）中的不等式。非简并条件（ND）现在给出了sztγ*π[（t）dt≥εZT1.- π[（1）（t）dt>εT1.-2（m+1）rκr（43）连同第（11）及（42）款。而π[pt（m）（t）的非负性，再加上局域时间Lm，m+1（·）的不衰减，表明ztπ[pt（m）（t）dLm，m+1（t）≥ 0 . （44）我们使用它，并将（41）和（43）应用于基于秩的主方程（38），以获得logVπ[（T）Vu（T）> 日志（m+1）κ-rlogN- M(45)+ε(1 - r） T1.-2（m+1）rκr> 0，P-a.s.，当且仅当（34）中定义的T>T[+时。

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2022-5-8 01:05:37

我们的结论是，在这些条件下，π[（·）在短期内的表现强于市场[0，T]。案例（二）：与r∈日志（n）- m） /log（nκ），0在条件（NF）下，我们有以下界限（n- m）（m+1）-R≤nX`=m+1（u（`）（t））r=Gr（u（t））r<（n- m）对于第一个不等式，我们使用了一个简单的事实，即u（`）（t）≤ u（m+1）（t）≤1/（m+1）表示“=m+1，·n”。然而，从（35）中，我们有π[（1）（t）=（u（n）（t））rPn`=m+1（u（`）（t））r<νr（n）- m）（m+1）-r<1（47），类比（23）。不等式（46）导致下边界对数Gr（u（T））Gr（u（0））> 日志（m+1）~n; （48）和非简并条件（ND），以及（11）和最大组合权重π[（1）（·）的上界（47），给出了ztγ*π[（t）dt≥εZT1.- π[（1）（t）dt>εT1.-（m+1）rаrn- M. （49）同样，我们使用（44）并将（48）和（49）应用于主方程（38），toobtainlogVπ[（T）Vu（T）> 日志（m+1）~n+εT（1）- r）1.-（m+1）rаrn- M（50）>0，P-a.s.，前提是T>T[-如（36）所述。因此，这种小型股票、负参数投资组合π[（·）在短期内表现优于市场[0，T]。5进一步考虑我们现在给出了一些其他结果，其中第一个结果表明，多样性加权投资组合（16）与∈ （0，1）在充分条件下优于其负参数对应物。我们还研究了这两种多样性加权投资组合的特殊组合，表明其表现优于非退化多样性市场——见下文命题3。5.1消极与消极。

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2022-5-8 01:05:41

正参数在下面的命题2中，除了（ND），我们还将以有界方差假设的形式，对协方差矩阵a（·）的特征值施加上界： K>0，使得：ξσ（t）σ（t）ξ≤ K | |ξ| |， ξ ∈ Rn，t≥ 0 ; P-a.s.（BV）根据Fernholz和Karatzas（2009）的引理3.5，有界方差条件（BV）意味着长期只有投资组合π（·）存在几乎确定的不等式γ*π（t）≤ 2K1.- π（1）（t）, T≥ 0.（51）提案2。让我们把自己置于市场模型（1）中，在条件（ND）、（BV）和（NF）下。多样性加权投资组合π（p-)（·）带负参数P-∈对数nlog（n k），0则是相对于具有正参数p的多样性加权投资组合π（p+）（·）的强套利+∈maxn0，1-ε（n）- （n k）p-)(1 - P-)4K（n）- 1） o，1, （52）在任何长度[0，T]的地平线上>-2 log（n~n）C.（53）此处正常数C定义为asC:=ε1-（n k）p-N1.- P--2Kn（n）- 1)(1 - p+。（54）证据。为了简化符号，我们分别为π（p±）（·）和gp±写π±（·）和G±。请注意，对于p+>0，（21）中的不等式相反，即n k p+<G+（u（t））p+≤ n1-p+，（55），这再次给出了p=p+的下界（22）。使用（51）和观测π+（1）（t）≥ 1/n，我们知道了*π+（t）dt≤ 2KZT1.- π+（1）（t）dt≤ 2KT1.- （1/n）. （56）因此，回顾（25），我们可以看到，通过（55）和（56），π（·）=π+（·）的主方程（14）可以得到上界对数Vπ+（T）Vu（T）< - 对数（n k）+2（1）- p+）KT1.- （1/n）, P-a.s.（57）结合（26）和（57），我们发现Vπ-（T）Vπ+（T）= 日志Vπ-（T）Vu（T）- 日志Vπ+（T）Vu（T）（58）>2对数（n~n）+CT>0，P-a.s.，前提是CT>-2对数（n k）>0。（59）这里，常数C由（54）给出。一个简单的计算表明，（52）意味着C>0，而（59）中的最后一个不等式来自于φ<1/n。

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nandehutu2022

2022-5-8 01:05:45

因此，（59）中的第一个不等式等价于（53）中的条件，在这种情况下π-（·）在时间范围内强于π+（·）的性能[0，T]。命题2表明，只要多样性加权投资组合π（p+）（·）与市场投资组合u（·）“非常相似”（因此与π（p+）的“距离”-)（·）），在足够长的时间内，多样性加权投资组合π（p-)（·）带负参数——当然，前提是上述关于股票波动性结构和非失败的条件成立。备注2。与（D）相比，更强的（NF）假设意味着比（17）更短的最小时间范围，在（17）中，参数为p的多样性加权投资组合+∈ （0,1）被有力地保证跑赢市场。也就是说，Gp+（x）≥ 1.十、∈ n+加上（55）意味着1，n~np+≤Gp+（u（t））p+≤ n1-p+。（60）回想第2.4节末尾的内容，（NF）意味着参数δ=（n）的多样性（D）-1)φ. 从（17）可以得出结论，并使用与定理1的证明类似的论点，即正参数多样性加权投资组合在[0，T]范围内是相对于市场的强套利，T>min2对数nεδp，-2原木nδ/（n）- 1)εδ(1 - p）. （61）这是（17）的一个改进，当且仅当φ>n时-1/p+。5.2混合由于无故障假设（NF）在实际市场中不成立，因此有兴趣发现（16）的变体表现出类似的性能，但需要较弱的假设。命题1中基于等级的变体就是一种尝试；下面的提案3是另一个。提议3。

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2022-5-8 01:05:49

定义portfoliobπ（t）=p（t）π+（t）+（1- p（t））π-（t），（62）具有π±（·）=π（p±）（·）多样性加权投资组合，如（16）中所定义，具有p+∈ （0,1）和p-< 0，混合比例p（·）由p（t）=Gp+（u（t））Gp+（u（t））+Gp给出-（u（t））∈ (0, 1). （63）在市场模型（1）中，在假设（ND）和（D）的情况下，投资组合bπ（·）相对于市场u（·）是一个强套利，在时间范围[0，T]内，T>T:=2（1+n（1/p）-)-1）日志n（1/p+）-1+n（1/p）-)-1.εδ(1 - p+。（64）证据。公文包（62）由函数bg=G++G生成-, g±=Gp±π±（·）=π（p±）（·）的母函数，如（20）所示；letg±（·）=gp±（·）是它们的漂移过程，如（25）所示。组合投资组合bπ（·）的漂移过程是bg（t）=-1bG（u（t））nXi，j=1DijbG（u（t））ui（t）uj（t）τuij（t）=p（t）-12G+（u（t））nXi，j=1DijG+（u（t））ui（t）uj（t）τuij（t）+（1- p（t））-12克-（u（t））nXi，j=1DijG-（u（t））ui（t）uj（t）τuij（t）=p（t）g+（t）+（1- p（t））g-（t） =（1）- p+p（t）γ*π+（t）+（1）- P-)(1 - p（t））γ*π-（t） )；（65）最后一步从（25）开始。我们注意到γ*π-（t）≥ 0，（66），因为这适用于Fernholz和Karatzas（2009）的引理3.3，加上p（t）<1的观察，使得我们能够获得边界bg（t）≥ (1 - p+p（t）γ*π+（t）。（67）我们注意到简单边界1=nXi=1ui（t）≤nXi=1ui（t）p+=G+（u（t）p+≤ n1-p+，（68），并且（21）中的下限即使没有（NF）也成立，所以现在0≤nXi=1ui（t）P-1/p-= G-（u（t））≤ n（1/p）-)-1.（69）利用（68）的下界和（69）的上界，我们得出P（t）=1+G-（u（t））G+（u（t））-1.≥1+n（1/p）-)-1> 0. （70）我们可以很容易地看到，在正参数多样性加权投资组合中，大盘股投资的财富相对于市场投资组合的比例是最小的，小盘股投资的财富比例是增加的；因此π+（1）（t）=（u（1）（t））pPni=1（ui（t））p≤ u（1）（t）。

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2022-5-8 01:05:52

（71）非简并条件（ND）意味着（11），由（71）和多样性假设（D）得出γ*π+（t）≥ε1.- π+（1）（t）≥ε1.- u（1）（t）>εδ . （72）最后，将（67）应用于主方程（14），然后使用边界（68）、（69）和（70）、（72），我们得出Vbπ（T）Vu（T）≥ 日志G+（u（T））+G-（u（T））G+（u（0））+G-(u(0))+ (1 - p+）ZTp（t）γ*π+（t）dt>- 日志n（1/p+）-1+n（1/p）-)-1.+ε1.- p+δT1+n（1/p-)-1> 0，P-a.s.（73），前提是T满足（64）。我们已经证明，在非简并性和多样性的假设下，在足够长的时间范围内，仅长期投资组合（62）的表现远远优于市场。正如Fernholz等人（2005年）的附录所证明的，这是投资组合π+（·）本身也具有的一个属性。我们还注意到，由于（64）的“阈值”T在p中严格降低-, 下限（73）在p中严格增加-对于fixedt，负参数p越接近，我们的结果越强-回到原点。当我们拿p-↑ 0，我们恢复了众所周知的结果，即bπ（·）=π（p+）（·）是相对于市场的强套利。备注3。命题3的陈述可以通过将多样性条件（D）弱化为地平线上的弱多样性[0，T]来加强。这一概念在Fernholz等人（2005）的方程式（4.2）中定义为： δ ∈ （0，1）使得：TZTu（1）（t）dt<1- δ= 1.（WD）在这种较弱的假设下，很容易看出（72）的以下修改将成立，从而保持证据的有效性：ZTγ*π+（t）dt≥εZT（1）-π+（1）（t））dt≥εZT（1）-u（1）（t））dt>εδt（74）5.3任意时间范围我们应该注意，由于（NF）和（LF）条件都是复杂多样的，Fernholz et al.（2005）的引理8.1和示例8.3得出结论，存在短期相对套利。

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2022-5-8 01:05:55

也就是说，使用Fernholz、Karatzas和Kardaras的“镜像投资组合”，可以构建一个在任何时间范围内都优于市场的投资组合[0，T]。5.4两个具有阈值的投资组合我们提到了brie fly投资组合（16）的另外两个变量，p<0，在中高端市场权重方面表现出类似的行为（即他们投资于相对市场价值下降的股票，并在公司的市场权重增加时出售股票），但一旦公司的市场权重降至某个阈值以下，就开始出售股票。这个阈值背后的想法是，它代表了一个价值，如果低于这个价值，投资者会担心公司破产，并希望清算公司的头寸，以最大限度地减少损失。我们提出的两个投资组合的权重Γi（t）=ui（t）ke-ui（t）/θPnj=1uj（t）ke-uj（t）/θ，i=1，n（75）和bi（t）=ui（t）α（1）- ui（t））βPnj=1uj（t）α（1- uj（t））β，i=1，N（76）这里，k，θ和α，β都是正常数；投资组合权重变为市场权重递增函数的阈值分别为θk和α/（α+β）。到目前为止，我们关于这些投资组合的结果仍然局限于实证结果（见第6节）。Γ（·）投资组合的理论结果可能与Banner和Fernholz（2008）中的命题1类似。6实证结果我们通过使用历史市场数据对投资组合的绩效进行实证研究，来检验理论结果的有效性和适用性。更准确地说，我们通过在1990年1月1日至2014年12月31日期间T=6301个连续交易日，根据本文研究的S&P 500指数n=500日成分股的投资组合进行反向测试。我们从Compustat和CRSP数据集获得这些数据（这些数据集可从网站上获得）http://wrds-web.wharton.upenn.edu/wrds/)。

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2022-5-8 01:05:58

我们有合并、收购和清算等公司合并和终止。我们的目标是尽可能真实地模拟投资者在没有任何额外信息的情况下实施我们的投资组合的财富演变，并因此对每笔交易施加等于0的比例交易成本。交易总额绝对值的5%。我们使用简单的总方差标准重新平衡投资组合，也就是说，我们只在总方差“距离”TV（eπ（t），π（t））=nXi=1eπi（t）时重新平衡投资组合eπi（t）- πi（t）（77）在目标投资组合π（·）和投资组合eπ（·）之间，变得大于某个阈值，我们通过试错经验确定该阈值——也就是说，我们只需尝试每个投资组合的几个阈值，然后选择在整个持有期内为该特定策略提供最高回报的阈值。这里，eπ（t）是当投资者在时间t不重新平衡时，投资于股票的财富比例的向量，即iseπi（t）=πi（t）- 1） V′π（t）- 1） V′π（t）Xi（t）Xi（t）- 1），i=1，n、 t=2，T、其中π（T）-1）是在上一个时间步骤中实际实现的投资组合。我们使用R来编程我们的模拟——代码可根据要求提供。我们在表1中总结了我们的发现，其中显示了超过市场的平均年相对回报率（表示为“市场RR”），以及我们使用的整个25年期间投资组合的夏普比率；后者的计算公式是：在这里，Rπ={Rπ（t），t=1，…，t}是投资组合π的每日收益率，平均值为π，名称为π（t）=Vπ（t）Vπ（t）- 1)- 1，t=2，T、（79）对于任何数字序列x，…，样本标准偏差StdDev定义如下：，xk∈ R与平均值x:StdDev（x，…，xk）:=K- 1kXi=1（xi- x）。

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2022-5-8 01:06:01

（80）此外，我们计算每个投资组合的以下绩效指标：eγπ：=γπStdDev（Rπ）·，（81）即总增长率除以样本标准偏差。前者估计为γπ=logVπ（T）Vπ（1）. （82）图1展示了与我们的投资组合相对应的财富过程。从表1和图1中，我们可以看到，无论是在市场相对回报率方面，还是在夏普比率方面，所有投资组合的表现都远远超过市场（然而，只有在2000年之后）。我们还注意到，财富过程的模拟实现比市场更具波动性；这些投资组合似乎能更好地利用市场增长，但当市场表现不佳时，也会更快地失去价值。此外，我们研究的负参数投资组合在研究期间的表现似乎比其正参数版本更好。读者会注意到，p=0.5的正参数投资组合π（p）（·）和混合投资组合bπ（·）给出了相同的结果，这是因为正参数多样性加权投资组合的权重（63）总是非常接近1（即1）-p（t）~ 1e-11）。最后，我们希望强调的是，上述投资组合和阈值参数仅经过试探性优化，因此有相当大的改进空间（即通过更系统的优化）——投资组合的性能对这些参数以及交易成本水平非常敏感。

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2022-5-8 01:06:05

因此，我们的实证研究仅仅是对小投资者投资组合的潜在市场表现的证明。7讨论和对未来研究的建议我们希望指出，我们的所有结果都需要对市场的波动性结构以及表1的行为进行一定的假设：在1990年1月1日至2014年12月31日之间对标准普尔500指数的组成部分进行交易时，所研究投资组合的一些绩效指标，该市场的平均年回报率为9.7190%。对于等权投资组合πEi（·）=1/n，i=1，…，我们写出πE（·），n、参数“TV Threshold”决定了我们在（77）中重新平衡的TV值，我们在样本中通过试错来确定。投资组合电视阈值市场RR夏普比率eγπu（·）N/A 0%0.60477 8.1678πe（·）0.0005 2.2331%0.70428 9.7127π（p）（·），p=0.50.0022 1.6125%0.76766 10.949π（p）（·），p=-0.5 0.0015 4.9655%0.78558 10.910π#（·），r=-0.5，m=4700.0025 2.5778%0.76979 10.873π[（·），r=0.5，m=30 0.0001 0.9578%0.64713 8.8215π[（·），r=-0.5，m=30 0.0100 1.7645%0.674129.2114bπ（·），p+=0.5，p-= -0.50.00221.6125%0.76766110.949Γ（·），k=0.65，θ=1e-40.00203.6336%0.681609.0796B（·），α=1e-4，β=20.00021.8701%0.67919.2920市场权重。无故障条件（NF）在实际市场中并不适用，因为通常一些公司会崩溃。较弱（LF）假设是对这一点的一种改进，可以认为m不太接近n——不过，据作者所知，没有一种机制可以支持这一点，因为多样性假设（D）可以通过反垄断监管实施。

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2022-5-8 01:06:08

关于这一点，请参见Strong和Fouque（2011年），以及Karatzas和Sarantsev（2014年）最近的一篇论文，其中允许公司数量的变化——由于公司的拆分和合并。V.Papathanakos（私人通信）提出，从从业者的角度来看，在大规模实施负参数多样性加权投资组合时存在若干限制。其中之一是，通常要求任何头寸所持股份都不超过（比如）证券流通股的1%；我们的投资组合图1：与表1中的投资组合对应的财富过程，即：市场投资组合u（·）；多样性加权投资组合π（p）（·），其中p=0（即同等加权投资组合），p=0.5，p=-0.5; r=-0.5，m=470和π[（·），其中r=0.5，m=30，r=-0.5，m=30；来自（62）的混合投资组合bπ（·），其中p+=0.5，p-= -0.5; 投资组合（75）和（76），k=0.65，θ=1e-4，α=1e-4，β=2。大力投资小型股。另一个制约因素与流动性有关：以可预测的方式进行定期再平衡（所有功能生成的投资组合都暗示了这一点）会产生非常高的交易成本。对这些现象及其对投资组合绩效的影响进行建模是有用的。更一般地说，在随机投资组合理论的框架下发展一种交易成本理论将是非常有意义的，它将允许人们在给定某个投资组合的情况下改进甚至优化再平衡规则。（Fernholz，2002年，第6.3节）对此进行了首次尝试，其中R。

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2022-5-8 01:06:12

Fernholz估计多样性加权投资组合的营业额。另一个想法是用这些假设的概率版本取代几乎确定的假设（D）、（LF）和（NF），其中市场权重的相应界限保持在接近但小于1的概率。很有意思的是，看看是否可以构建概率相对套利，这种套利具有一定的“超越”市场的可能性——这方面的第一项研究见Bayraktar等人（2012年）。人们还可以加入关于预期的漂流和破产的额外信息，以改进本文中提出的简单投资组合。Pal和Wong（2013）的方法可能会用于实现这一点。此外，开发在功能生成的投资组合类别中寻找最佳相对套利的方法也很有意义；Pal和Wong（2014年）对此进行了尝试，Fernholz和Karatzas（2010年）和Fernholz和Karatzas（2011年）也尝试了更一般的策略。最近的论文Wong（2015）对某些投资组合存在相对套利进行了限制。确认沃顿研究数据服务公司（WRDS）用于准备本文的数据。本服务及其可用数据构成WRDS和/或其第三方供应商的宝贵知识产权和商业秘密。参考Adrian D.Banner和Daniel Fernholz。短期相对套利的非意愿稳定了市场。安。《金融》，4:445–4542008。阿德里安·D·班纳和拉乌夫·古姆拉斯尼。排序连续半鞅的局部时间。《随机过程及其应用》，118（7）：1244–12532008。二汉·贝拉克塔尔、黄玉瑞和宋清硕。以给定的概率超越市场投资组合。安。阿普尔。Probab。，22(4):1465–1494, 2012.Daniel Fernholz和Ioannis Karatzas。

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2022-5-8 01:06:15

关于最优套利。安。阿普尔。Probab。，20(4):1179–1204, 2010.Daniel Fernholz和Ioannis Karatzas。模型不确定性下的最优套利。安。阿普尔。Probab。，21(6):2191–2225, 2011.罗伯特·费恩霍尔兹。投资组合生成函数。金融市场定量分析，新泽西州River Edge。《世界科学》，1999年。罗伯特·费恩霍尔兹。由排名市场权重函数生成的股票投资组合。金融斯托赫。，5:469–486, 2001.罗伯特·费恩霍尔兹。随机投资组合理论。斯普林格，2002年。罗伯特·费恩霍尔兹和伊奥尼斯·卡拉萨斯。随机投资组合理论：综述。《数值分析手册》编辑阿兰·本索桑和张强。第十五卷。特别卷：《数值分析手册》第15卷：金融中的数学建模和数值方法。爱思唯尔/北荷兰，阿姆斯特丹，2009年。罗伯特·费恩霍尔茨、伊奥尼斯·卡拉萨斯和康斯坦丁诺斯·卡达拉斯。股票市场的多样性和相对套利。金融斯托赫。，9(1):1–27, 2005.Ichiba Tomoyuki、Vassilios Papathanakos、Adrian Banner、Ioannis Karatzas和Robert Fernholz。混合阿特拉斯模型。安。阿普尔。Probab。，21(2):609–644, 2011.Ioannis Karatzas和Andrey Sarantsev。具有分裂和合并的竞争布朗粒子的不同市场模型。arXiv预印本XIV:1404.07482014。J¨org R.Osterrieder和Thorsten Rheinl¨ander。通过非等效度量变化，在独立市场上获得套利机会。安。《金融》，2:287–301，2006年。Soumik Pal和Ting Kam Leonard Wong。能量、熵和套利。arXiv预印本arXiv:1308.53762013。Soumik Pal和Ting Kam Leonard Wong。相对套利的几何结构。arXiv预印本arXiv:1402.37202014。安德烈·萨兰采夫。关于一类多样化的市场模式。安。《金融》，第10（2）：291-3142014页。温斯洛·斯特朗和让·皮埃尔·福克。监管分拆模式中的多样性和套利。安。《金融》，2011年7:349-374。王廷锦。

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