1194–1195]以获得此结果。这一重大开放性问题得到积极回答的其他两类市场是所谓的波动稳定市场和广义波动稳定市场，这是第5.3节和第5.4节的主题。[BF08]第4节以及[FK09]第11.4条中提出的一个密切相关的开放性问题是，对于具有Γ（t）属性的市场，是否存在短期相对套利≤Ztγ*u，p（s）ds<∞ T∈ [0，T]a.s.（75）对于某些p∈ （0,1）和连续严格递增函数Γ：[0，∞) → [0, ∞) Γ（0）=0和Γ(∞) = ∞. 给你，γ*u，p（·）是市场组合的广义超额增长率，定义为γ*u，p（t）：=nXi=1（ui（t））pτuii（t）；（76）与（26）相比。[FK05]表明，在此类市场中，在足够长的时间范围内存在相对套利，但短期内的情况仍然没有得到解答≥ 3.[FK05]第3.8条主张如下：5.2.1条主张。假设对于一些数字p∈ （0,1），T∈ (0, ∞) 和ζ∈ (0, ∞)我们有条件-pplog n+ζ≤ZTγ*u，p（t）dt<∞ a、 s。。（77）然后是参数p，πi（t）：=p（ui（t））pPnj=1（uj（t））p+（1）的多样性加权投资组合的p镜像- p） ui（t），（78）是相对于[0，t]的市场投资组合的套利。注意，命题5.2.1意味着在满足（75）的市场中，当T>Γ时，P（Vπ（T）>Vu（T））=1-1（（1/p）n1-扑通一声）；i、 例如，（78）中的π（·）在相当长的时间内超过市场。

一种方法是检查（78）的π（·）是由G:x7生成的→Pni=1xpi，满足1<G（·）≤ n1-p、 g（·）=p（1）- p） γ*u，p（·）/G（u（·）），以及Vπ（T）Vu（T）= 日志G（u（T））G（u（0））+ p（1）- p） ZTγ*u，p（t）G（u（t））dt≥ -(1 - p） 对数n+p（1- p） n1-pΓ（T）>0 a.s.，前提是T>-1（（1/p）n1-5.3波动率稳定模型一个显式市场模型的特例是波动率稳定模型，对于该模型，市场投资组合的超额增长率为零。该模型在[FK05]中介绍，并在[BF08]中表明，相对套利在该模型中存在过短的时间范围，回答了[FK05]中的一个悬而未决的问题（见该论文第164页底部）。在n=2的情况下，属性（75）意味着条件（84），因此[BF08]的证明适用，并且存在短期风险-参见第5.3节。波动率稳定模型将以下观察结果转化为事实：较小的股票（即相对市值较小的公司的股票）往往比市值较大的股票具有更高的回报率和更大的波动性。然而，必须注意的是，它们是真实市场的近似和过度简化，不适合捕捉市场的所有属性（例如股票相关性）。5.3.1定义。用参数α定义波动稳定模型（VSM）≥ 0到bea模型，其中对数股价过程遵循对数Xi（t）=α2ui（t）dt+pui（t）dWi（t），（79）Xi（0）>0 i=1，n、 正如人们很容易看到的，在这样的市场中，小盘股的波动和漂移最大。[FK05]表明多样性在此类市场中失败（参见他们的备注4.6和前面的计算），但存在作者所称的“波动稳定”（如果α>0，则为bydrift）：简单的计算表明≡ 1, γ*u(·) ≡ γ*:=N- 1> 0, γu(·) ≡ γ：=（1+α）n- 1> 0.

（80）重要的是，VSM的市场投资组合具有恒定的超额增长率，因此可以满足有效的内在波动条件（46），表明确实存在有效的波动市场模型（1）。使用它^o的公式，我们可以很容易地证明，在这个市场中，总市值X（t）是一个几何布朗运动，即X（t）=X（0）eγt+W（t）对于W（·）=Pni=1R·pui（s）dWi（s）a标准p-BM。整体市场和最大股票的增长率γ相同，如果α>0，所有股票的增长率相同。对VSMs的特性进行了深入研究。也就是说，在[FK09]的第12.1节中，作者使用贝塞尔过程研究了模型（79）的渐近行为，并表明如果α=0，则（严格的）局部鞅定义可以表示为z（t）=pX（0）·Xn（0）R（u）·Rn（u）exp（ZunXi=1R）-2i（s）ds）u=λ（t），（81），其中Ri（·）是维度2（1+α）中的独立贝塞尔过程，∧（t）：=ZtX（s）是时间变化。在[Pal11]中计算了VSM中市场权重的联合密度，回答了[FK09]中的一个未决问题（备注13.4）。Pal表明，市场权重的规律与来自群体遗传学的多等位基因Wright-Fisher扩散模型的规律相同。由于VSM是一个高效易失性模型的特例，因此遵循第5节。1.熵权投资组合是相对于市场的长期相对套利。此外，我们可以证明参数p=1/2的多样性加权投资组合是相对于时间范围T>8 log nn的市场的套利-1-参见示例12。[FK09]的第1页。

最后，等权投资组合^πi（t）的λ-镜像：=λn+（1）- λ） ui（t），λ=n（1+α），具有num'eraire属性：Vπ/V^π（·）是所有π（·）的一个超鞅（见第7.1节）。短期内的相对套利VSM中是否存在短期相对套利机会的问题在[FK05]中首次提出，并在[BF08]中得到解决，其中明确构建了相对套利。VSM是马尔科夫和萨提斯的（74），因此人们先验地知道，根据[FK10，第1194-1195页]的命题2，短期内存在相对论。Banner和Fernholz在[BF08]中构造短期相对套利的方法是，使用标准的不完全伽马函数生成一个投资组合，并跟踪该投资组合直到某个停止时间，之后市场投资组合被执行。明确地说，它们通过函数G（x，…，xn）：=Pni=1f（xi）生成组合π（·），其中f（y）定义为y∈ [0,1]asf（y）：=（Γ（c+1，-对数y）：=R∞- 原野-如果0小于y，则为rrcdr≤ 如果y=0，则为1,0。（82）这里的常数选择为c=8n（n-1） TR1/n-在[BF08]的方程式（3.6）中，作者给出了下限对数Vπ（t）Vu（t）≥:=S（u（n）（t））z}{log（（n）- 1） f（u（n）（t））+f（1）-（n）-1） u（n）（t））-对数（nf（1/n））+Zt-u（n）（s）f（u（n）（s））f（u（n）（s））+（n）- 1） f1.-u（n）（s）n-1.| 那么，对于Y（·）函数T（Y）的逆函数：=T/2+RY1/n-S（r）Θ（r）dr，定义了以下停止规则：T:=inf{T≥ T/2：u（n）（T）>Y（T）}。最后，通过设置∧π（t）：=（π（t）如果t<t，u（t）如果t≥ T.（83）研究表明，随着时间范围变短，由∧π（·）保证的套利金额的下界很快趋于零。此外，该构造适用于满足条件τm（t）m（t）（t）的任何市场≥Cum（t）（t）T≥ 0 a.s。

（84）对于某些常数C>0和m（t），资本化最小的股票指数，即um（·）（·）=u（n）（·）。条件（84）适用于C=1/2的VSMs，以及更一般版本的VSMs，其中α被任何漂移过程γ（·）取代，因此n维数据仍然有解。5.4广义波动率稳定模型[Pic14]中介绍了波动率稳定模型的广义化，在同一篇文章中，作者表明，在某些条件下，在这些广义模型中，可以在任意短的时间范围内构造相对套利。5.4.1定义。将广义波动率稳定模型定义为形式log Xi（t）=αi2（ui（t））2β的模型K（X（t））dt+σ（ui（t））βK（X（t））dWi（t），（85）Xi（0）>0i=1，n、 来，我≥ 0，σ>0和β>0是给定的常数，给定的函数K（·）：（0，∞)N→(0, ∞) 是可测量的，因此（85）有一个在分布上唯一的弱解。注意K（·）的情况≡ 1，σ=1，αi=α，对于i=1，n、 β=1/2对应于VSM（79）。Pickov\'a在[Pic14]中表明，如果K（·）远离零，那么多样性加权投资组合u（p）（·）在[0，T]上对任何p都优于市场≤ 2β和足够大的温度。

此外，如果β≥ 1/2，则可使用[BF08]第5节中命题2中的相同方法，在任意水平[0，T]上构建市场的相对套利。除[Pic14]外，文献中尚未研究或提及广义VSM，但它可以提供一种对股市建模的通用方法，以保持有效的内在波动性，并结合观察到的小型资本化股票往往具有更高的波动性和漂移。6基于秩的模型和portfoliosIt已经观察到对数-对数资本化分布曲线，即mappinglog k 7→ 对数u（k）（t）随时间表现出极大的稳定性——参见[Fer02]中的图5.1。资本似乎按照资本化等级以独立于时间的方式分配（尽管发生了崩溃等极端事件），这一事实推动了基于等级的模型的研究，该模型首次在[Fer02]中介绍，其中每只股票的漂移和波动系数明确取决于其在市场资本化中的等级。这些模型可以构造为具有上述稳定性。迄今为止，已经详细研究过的最普遍的基于等级的模型类型是混合Atlas模型（一种二阶模型，另见[FIK13a]），由Ichiba等人[IPB+11]介绍如下：dYi（t）=γ+γi+nXk=1gkQ（i）k（Y（t））dt+nXk=1ρikdWk（t）+nXk=1σkQ（i）k（Y（t））dWi（t），t≥ 0（86）Yi（0）=Yi，i=1，n、 二阶是指系数取决于名称和等级的模型，而一阶模型的系数仅取决于等级。其中Yi（·）：=logxi（·），Y（·）：=（Y（·），Yn（·）），和{Q（i）k}1≤i、 k≤nis是Rn中多面体域的集合，其中（y，…，yn）∈ Q（i）协调y，伊恩。

我们可以这样解释：当Y（·）∈ Q（i）k，也就是说，Yi（·）在Y（·）中排名第k，Yn（·），它表现为几何布朗运动，漂移gk+γi+γ，方差（σk+ρii）+Pk6=iρik。常数γ、γi和gk分别代表公共、基于名称和基于秩的漂移，而常数σk>0和ρi分别代表基于秩的波动率和基于名称的相关性。在这些参数的附加假设下，见[IPB+11]中的等式（2.3），模型（86）允许一个唯一的弱解。[IPB+11]（例如，参见他们的图3）中显示，形式（86）的某些模型确实导致了经验资本分布曲线。作者还对这些市场中Cover和Jamshidian的通用投资组合进行了简要研究，并表明该投资组合在长期内表现优异的条件在混合Atlas模型中自然得到满足。然而，没有对这些投资组合的表现进行进一步研究。请注意，（86）是一个相互作用的布朗粒子系统——这是数学金融和纯概率理论的一个活跃研究领域，近年来取得了很多进展。为了简洁起见，我们将不在这里讨论这些文章，而是提及其中的一个子集：[Shk12]，[FIK13b]，[FIKP13]，[IKS13]，[IPS13]和[JR13]。6.1 Atlas模型一种最简单、研究最多的基于排名的模型是Atlas模型，这是[BFK05]中引入的一阶模型，它只为排名最低的股票分配非零增长率，它具有正增长率，因此“承载整个市场”（因此命名）。更准确地说，我们有（86），对于所有i，k=1，…，γi=ρik=0，n、 γ=g>0，gk=-g代表k≤ N- 1和gn=（n- 1） g.还认为xkσk>2 maxk{σk}，0≤ σ- σ≤ . . .

≤ σn- σn-1.在[BFK05]中，所有股票在Atlasmodel中都有相同的渐近增长率γ，即limT→∞Tlog Xi（T）=γa.s。， i=1，n、 每只股票在任何级别上的花费大约是（1/n）thof the time:limT→∞TZTQ（i）k（Y（t））dt=na。s 1.≤ i、 k≤ n、 [IPS13]中的Atlas模型研究了市场权重的动态。本文回答了[FK05，第170页]中关于Atlas模型的一个开放性问题，即确定固定t>0时ui（t）、u（1）（t）和u（n）（t）的分布。此外，它还解决了[Fer02]中备注5.3.8中提出的问题，即：→∞k=1时的ZTu（k）（t）dt，n、 长期相对市场权重的联合分布在[JR13]中Atlas模型的平均值中进行了研究，部分回答了[FK09]中备注13.4中的未决问题。最后，[Shk12]研究了排名模型的巨大市场限制，回答了[Fer02]中的问题5.3.10。在基于排名的模型中，投资组合绩效仍然是一个几乎未被研究的话题；[IPB+11]已经采取了一些初步措施，但尚未证明存在长期投资机会，更不用说相对套利（在有限的期限内）。研究一个人是否能够在Atlas模型中用这些属性之一构建投资组合将是一件有趣的事情。6.2基于等级的功能生成投资组合[Fer01]，Fernholz概括了第2.3节中的功能生成投资组合类别，以允许不按名称区分市场权重，但按银行区分市场权重的功能。也就是说，将我们自己置于一个一般的It^o模型（1）中，并将半鞅凸函数的伊藤规则应用于排名市场权重，如[Fer02，第76-79页]所示，即du（k）（t）u（k）（t）=γpt（k）（t）- γu（t）+τupt（k）pt（k）（t）dt+dLk，k+1（t）- dLk-1，k（t）+dXν=1（σpt（k）ν（t）- σ∑uν（t））dWν（t），k=1，N

（87）这里，pt（k）是在时间t排名第k位的股票指数，因此upt（k）（t）=u（k）（t）和Lk，k+1（t）≡ λΞk（t）是非负过程Ξk（t）：=log在原点累积的半鞅局部时间u（k）（t）/u（k+1）（t）, T≥ 0.（88）每个Lk，k+1（t）测量在k和k+1之间的时间间隔[0，t]内发生的变化的累积影响；我们设置L0,1（·）≡ 0≡ Ln，n+1（·）。在这种情况下，主方程（31）可以概括如下：让生成函数G:U→ (0, ∞) 写为G（x，…，xn）=G（x（1），x（n）），x∈ U、 对于某些函数G∈ C（U）代表U n+打开，n+如（3）所示。然后[Fer01]的定理3.1证明了引理2.3.3:6.2.1的对应关系。设π（·）为组合πpt（k）（t）=Dklog G（u（·）（t））+1-nXl=1u（l）（t）Dllog G（u（·）（t））· u（k）（t）（89）对于k=1，n、 和G∈ C（U）。π（·）相对于市场的表现为对数Vπ（T）Vu（T）= 日志Gu（·）（T）Gu(·)(0)+ Γ（T），（90）式中Γ（T）：=-ZT2Gu（·）（t）nXi，jDijGu（·）（t）u（i）（t）u（j）（t）τupt（i）pt（j）（t）dt+n-1Xk=1πpt（k+1）（t）- πpt（k）（t）dLk，k+1（t）。（91）我们使用了符号u（·）（t）：=u（1）（t），u（n）（t）在这里Fernholz将其广义主方程（90）应用于[Fer01]中的两种设置：首先从理论上解释“尺寸效应”，其次研究“泄漏”——见第6.2.1和6节。下文2.2。上述结果尚未用于构建相对套利——我们在第10.2.7.6.2.1节中为此迈出了一些第一步。规模效应。这一经验观察到的效应指的是小盘股相对于大盘股具有更高长期回报的趋势。方程（90）可以用以下方式来解释这一点：让m∈ {2，…，n- 1} 设GL（x）=x（1）+…+x（m）和gs（x）=x（m+1）+x（n）。

这些函数生成大型股票组合ζpt（k）（·）=u（k）（·）GL（u（·）），k=1，m0，k=m+1，n、 （92）和小型股票组合ηpt（k）（·）=0，k=1，mu（k）（·）GS（u（·）），k=m+1，n、 （93）分别。引理6.2.1意味着这些portfoliosarelog的市场相对表现Vζ（T）Vu（T）= 日志德国劳埃德船级社u（T）德国劳埃德船级社u(0)-ZTζ（m）（t）dLm，m+1（t）、（94）logVη（T）Vu（T）= 日志GSu（T）GSu(0)+ZTη（m）（t）dLm，m+1（t）。（95）将这些因素结合起来，就可以得出一个因素相对于另一个因素的性能Vη（T）Vζ（T）= 日志GSu（T）德国劳埃德船级社u(0)德国劳埃德船级社u（T）GSu(0)+ZTζ（m）（t）+η（m）（t）dLm，m+1（t）。（96）因此，正如Fernholz所说，如果市场表现出“稳定性”，即大小股票的相对资本化比率随时间保持稳定，那么第一个期限（96）将在时间上保持大致不变。然而，本地时间过程的积分在增加；因此日志Vη（T）/Vζ（T）这将是积极的。以上说明了如何应用广义主方程（90）来比较由排名市场权重函数生成的投资组合；或许这也可以用来进行几乎确定的比较，从而构建相对套利。据作者所知，这还没有被试验过，而且非常有趣。我们通知读者，在[FK09]中，有一个令人惊讶的观察结果，即可以使用大盘股投资组合的生成函数，根据经验估算上述使用的当地时间，如下所示：Lm，m+1（·）=Z·ζ（m）（t）d logGL（u（t））Vu（t）GL（u（0））Vζ（t）, m=1，N- 1.

（97）6.2.2泄漏上述引理6.2.1允许我们明确研究的另一个现象是“泄漏”，即股票退出包含在更大市场中的投资组合而产生的价值损失。也就是说，如[Fer01]中的示例4.2所示，考虑具有参数r的大型股票的多样性加权指数∈ （0,1）：u#pt（k）（t）=u（k）（t）rPml=1u（l）（t）r、 k=1，m0，k=m+1，n、 （98）由函数Gr（x）生成=Pml=1x（l）R1/r，类似于（51）。现在，（90）意味着这个日志Vu#（T）Vu（T）= 日志Gr（u（T））Gr（u（0））+ (1 - r） ZTγ*u#（t）dt-ZTu#（m）dLm，m+1（t）。（99）然后在[Fer02]中的示例4.3.5中显示，使用（94），我们得到了日志Vu#（T）Vζ（T）= 日志Grζ（1）（T），ζ（m）（T）Grζ(1)(0), . . . , ζ（m）（0）+ (1 - r） ZTγ*u#（t）dt-ZTu#（m）- ζ（m）（t）dLm，m+1（t）；（100）这源于尺度不变性性质gr（x，…，xn）x+…+xn=Grxx+…+xn，xx+…+xn.因为∈ （0,1）和多样性加权投资组合u（r）i（·）我们有迷你u（r）i（t）=迷你ui（t）rPjuj（t）R≥ miniui（t），（101）我们得到了u#（m）（·）≥ ζ（m）（·）；因此，（100）中的最后一个积分是单调递增的inT。Fernholz将其典型化为测量当一个上限加权的投资组合包含在一个由n只股票组成的更大市场中时，以及当股票从上限加权的投资组合中“泄漏”到市场投资组合中时发生的“泄漏”。7投资组合优化过去，金融数学中投资组合优化的主要形式是预期效用最大化、均值方差优化和凯利准则。这些方法的共同点是，它们要求人们对未来财富的预期（函数），而且由于人们不确定股票的未来行为，因此需要进行模型假设和参数估计。

虽然波动性过程可以通过有效的数据进行相当程度的确定性估计，但股票的提取过程b（·）是出了名的难以准确估计（例如参见[Rog01]和[Mon07]）。由于上述方法中产生的所有最优策略都明确依赖于它们投资的股票的漂移过程，它们在现实生活中的适用性受到参数估计固有不确定性的强烈限制，并且它们的实际表现并不像理论预测的那样最优（见[DGU09]）。SPT方法的最大优点之一是，它通过只考虑不依赖于任何不可观测数量的投资组合（即FGP，见第2.3节），而只考虑可观测的当前市场配置，克服了这个问题。尽管这些投资组合的表现在任何意义上都不是“最优”的，但它们中的一些可以被证明在路径意义上超过市场指数，这与它们的可实施性一起，使它们成为一类非常有吸引力的投资机会。最近，有人提出了一个问题，即如何利用这些属性找到“最佳”策略，即“最佳相对搜索率”——这个问题在[FK10]中得到了部分回答，见下文第7.2节。[FK10]中提出并在[BHS12]中完全马尔可夫案例中解决的另一个投资组合选择标准是，在市场配置和到期时间方面，描述能够以一定概率击败市场投资组合的最低初始资本量。我们不会详细讨论这个标准，请读者参考[BHS12]。7.1 Num’eraire portfolio&expected utility Maximisational虽然这不是我们感兴趣的投资组合选择标准，但已经证明，在非常普遍的市场模型中可以实现预期效用最大化。

也就是说，在[KK07]中，我们证明了在一般的半鞅设置下，期望效用最大化问题可以找到^h（·）∈ 使e[U（Vw，^h（T））]=suph（·）∈AwE[U（Vw，h（T））]，（102）与U：（0，∞) → R满足Inada条件，当且仅当NUPBRholds，即当且仅当LMD存在时，可以求解（见定义3.1.2）。因此，解决这个问题不需要ELMM，尽管从历史上来看，它主要是在不存在套利的市场中进行研究。[KK07]的主要结果涉及一个非常特殊的投资组合，称为num’eraire投资组合，它是一个投资组合ρ（·），其性质是Vπ（·）/Vρ（·）是所有投资组合π（·）的上鞅。（103）[KK07]中的定理4.12表明，该投资组合存在的充要条件是NUPBR成立。此外，num’eraire投资组合具有以下特性：o它使所有投资组合π（·）的增长率（即对数Vπ（·）的漂移率）最大化它使所有投资组合的渐近增长率最大化：对于任何具有极限的递增过程→∞H（t）=∞,林监督→∞H（t）对数Vπ（t）Vρ（t）≤ 0π(·);o 它解决了相对日志效用最大化问题：EhlogVπ（T）Vρ（T）我≤ 0π(·).我们还提到，不能就num’eraire投资组合构建相对套利——例如，参见[FK09]中的备注6.5。在VSMs中，可以显式计算投资组合的数量。

然而，总的来说，num’eraire投资组合取决于市场模型的漂移系数和波动系数，因此，如果我们不假设这些过程的确切动态方面的任何专家知识，则无法明确计算，而SPT通常就是这样做的。7.2最优相对套利构建相对套利时自然会出现以下问题：是否存在“最佳”的此类投资策略？这一悬而未决的问题在调查文件[FK09]中的备注11.5中提出，并在[FK10]中针对完整的马尔可夫NUPBRmarket的案例进行了回答。Daniel Fernholz和Ioannis Karatzas在[FK10]中对最优相对套利问题的解释如下：在给定的时间范围[0，T]，在T=T市值X（T）时，可以匹配或超过的最小初始资本量是多少？在方程形式中，结果（T）：=inf{w>0|h（·）∈ AwX（0）s.t.VwX（0），h（t）≥ X（T）P-a.s.}。（104）实现Vu（T）X（0），^h（T）的相应策略≥ 因此，X（T）P-a.s.是最佳套利。作者对（1）做了许多技术假设，其中最重要的是F=FW，d=n，σ（·）是可逆的，存在一个平方可积的MPR，市场是马尔可夫的（即，b（·）和σ（·）是时间和X（·）的确定函数：=（X（·），Xn（·）），资本化过程的向量），根据该向量（通过完整市场中的套期保值结果，例如[FK09]，或参见第8.1节），1/u（T）给出了在[0，T]期间相对于市场可以实现的最高投资回报；1/u（T）=sup{q≥ 1 | h（·）∈ 像t、 Vh（t）≥ qVu（T）P-a.s.}。

（105）借助于F¨ollmer测度，见第9.1节，[FK10]的作者能够得出最优套利策略的形式为^hi（t）V^h（t）=Xi（t）Dilog U（t）- t、 X（t））+ui（t），i=1，n、 t∈ [0，T]，（106）带U:[0，∞) ×(0, ∞)N→ （0,1]线性抛物偏微分不等式的最小非负解Uτ（τ，x）≥^LU（τ，x），（τ，x）∈ (0, ∞) ×(0, ∞)n、 （107）U（0，·）≡ 1，对于线性算子^Lf:=nXi，j=1xijaij（x）Dijf+nXi=1xinXj=1xjaij（x）x+…+xn迪夫。（108）注意，如上所述，^h（·）只取决于市场的协方差结构，而不是回报率。作者继续以概率的方式解释他们的结果，考虑到（[0，∞)n\\{0}值微分过程Y（·），具有极小生成元^Land Y（0）=X（0）；例如，U（T，X（0））被定义为Y（·）不超过[0]边界的概率，∞)时间t=t。此外，在这个辅助市场中，辅助市场的权重为Yi（·）/（Y（·）+…+Yn（·）），i=1，n、 拥有上一节7.1（103）中定义的num’eraire财产。Fernholz和Karatzas在[FK11]中对具有“骑士式”不确定性的市场的相对回报率进行了扩展。他们给出了这种描述的几种不同形式，其中之一是非线性Hamilton-Jacobi-Bellman偏微分方程的最小正超解。将上述结果推广到非马尔可夫市场，更重要的是，推广到不完全市场，会很有趣。此外，最优套利（106）以一种非常直接的方式被描述为一个复杂方程的最小非负解，其显式解只能在相当简单的例子中计算。然而，使用（106）-（108）的数值方法来计算最优投资组合是可能的。

然而，这些结果的强度将始终受到协方差估计质量的限制。二维优化在[PW13]中，一些最初的尝试是为了获得最优相对套利的更具体结果，只考虑（一般）二维市场和π（·）=（q（Y（·））形式的投资组合，1- q（Y（·）），其中q是确定性函数，Y（·）：=logX（·）/X（·）原木价格比。在一个被限制为常数加权投资组合π（·）=（Q，1）的特殊情况下- Q） ，Q∈ [0，1]，Pal和Wong在他们的命题4.2中表明，对于[0，τ]Y（·的一个激发，即τ=inf{t>0 | Y（t）=Y（0）}的区间，一个haslogVπ（τ）Vu（τ）- 日志Vπ（0）Vu（0）=Zτq（1）- q） d hY i（t）=q（1）- q） hY i（τ）。（109）因此，当q=时，该数量最大化，因此当π（·）是等权投资组合时。对于更一般的函数q∈ C（R，[0，1]）的有限变化，他们表明对于q的反导数，对于所有≥ 0，日志Vπ（t）Vu（t）- 日志Vπ（0）Vu（0）= F（Y（t））-F（Y（0））（110）+Z∞-∞Ly（t）q（y）（1）- q（y））dy+d(-q（y））,用Ly（t）表示Y在Y点的当地时间∈ R超过[0，t]。在两个例子中，即当Y（·）是Bangbang过程和当它是Ornstein-Uhlenbeck过程时，该表达式用于明确计算最优函数q。目标是最大化（110），使用的方法是假设给定一个“权重函数”，该函数表示每个y值的预期本地时间，从而转换关于y（·）动力学的信念和统计信息。这些初步结果看起来非常有希望，将其扩展到更高维度的市场将具有很大的价值。Pal和Wong在[PW13]中首次尝试在一类FGP中进行优化，将（统计）信息纳入优化，并将信息理论应用于SPT。

这些都是未被发现的领域，作者对此非常感兴趣；见SPT框架第11.2节和第11.1.8节套期保值无ELMM的市场套期保值理论仅在最近几年才发展起来。在[CH05]和[FK09]中取得了一些初步进展，但直到后来，在欧洲案例（以及马尔可夫市场，见[Ruf13]）中计算了Hedging策略，并在美国案例（见[BKX12]）中描述了最佳停止时间，后者解决了[FK09]中的一个开放问题。此外，[Kar12b]还推导了一般半鞅模型中的欧式和美式交换期权的估值公式，并考虑了违约的可能性，展示了当NFLVR失效时，传统的平价公式是如何改变的。8.1欧洲索赔对冲Fernholz和Karatzas在其调查[FK09]的第10节中首次探讨了在没有ELMM的市场中对冲欧洲索赔的主题。他们考虑了由一个F（T）可测随机变量Y，其0<Y:=E[Z（T）Y]<∞, （111）和往常一样，确定了Y asUY（T）的套期保值上限价格：=inf{w>0|h（·）∈ Aws。t、 大众汽车，h（t）≥ Y P-a.s.}。（112）换句话说，UY（T）是在时间T=0时能够在终端时间T=T前超级复制权利要求Y所需的最小量。由于ELMM可能不存在，人们不能再依赖“经典”数学金融（见[DS95c]）的著名套期保值结果，即thatUY（T）=supQ∈MEQ[Y]，（113），其中M是elmm的集合。然而，只要（112）中的最小值是有限的，那么z（·）Vw，h（·）对于任何w>0和h（·）都是一个正的局部鞅（因此是上鞅）∈ AW表示W=Z（0）Vw，h（0）≥ E[Z（T）Vw，h（T）]≥ E[Z（T）Y]=Y.（114）因为这适用于所有w>0，Fernholz和Karatzas得出结论UY（T）≥ y（如果in（112）中的fine in是fine，这一点也非常正确）。

作者接着指出，如果Y=X（T），即T=T时的总市值，这就成了寻找最佳相对套利的问题——见第7.2节。F=fw，n=d in（1），即驱动BMs的数量等于库存的数量，将鞅表示定理应用于过程e[Z（T）Y | Ft]意味着任何索赔Y都可以复制，因为这种构造只需要存在anLMD，而不是ELMM。因此，在NFLVR失败的市场（例如，满足（42）的市场）中，可以有完整性——即UY（T）=y，对于每个周期，如（111）中的y。正是在[Ruf13]中，欧洲债权对冲策略的特征化取得了进展。也就是说，Ruf表明，在马尔可夫不完全环境下（即（1）具有时间和当前市场配置的b（·）和σ（·）确定性函数），欧洲索赔的最佳套期保值策略是阿德尔塔套期保值，这在NFLVR市场中是众所周知的。除了马尔可夫假设外，Ruf假设存在一个平方可积MPR，这意味着NUPBR（见第3节）；然而，FLVR可能存在。可以观察到，这些假设意味着L中存在马尔可夫MPRθ（·）。假设索赔Y相对于FX（T）是可测量的 F（T），X（·）是资本化过程的向量，[Ruf13]中的命题3.1断言，对于任何平方可积的MPRν（·），一个人都有令人惊讶的性质Zν（T）Zν（T）YF（t）≤ EZθ（T）Zθ（T）YF（t）, （115）使用符号（40）。这一结果本身就很有趣，它意味着欧洲索赔Y=p（S（T））的hedgingprice Hp不取决于MPR的选择。

它允许作者在[Ruf13]的定理4.1中证明，最优套期保值策略由ηp（t，s）给出：hp（t，s），对于hp（t，s）：=EZθ（T）Zθ（T）p（S（T））S（t）=S, （116）并需要初始财富νp:=hp（0，S（0））。也就是说，那么Vνp，ηp（t）=hp（t，S（t））T∈[0，T]，并且对于任何|ν>0且允许的超级复制策略|η∈ 我们有≥ νp.这是值得注意的，因为这意味着，尽管市场不完整（一般来说，d>n），上述任何权利要求Y都是可复制的。套期保值价格函数HPE也用于求解仅依赖于模型协方差结构的偏微分方程。然后需要注意的是，如果hp足够光滑，它可以被描述为该偏微分方程的最小非负解，终端条件hp（T，s）=p（s）。然后，Ruf推导出一个修改后的输入呼叫奇偶校验，并研究测量技术的变化，以简化hp的计算——有关讨论，请参见下文第9.1节。当然，看看如何将上述结果推广到马尔可夫市场模型和更复杂的声明中，会很有趣。然而，正如Ruf在[Ruf13]的Remark 4.2中指出的那样，在平均收益率和波动率具有额外随机性的模型中，定理4.1不再适用。此外，Bydefinition one无法在不完整的市场中对冲所有索赔；因此，任何更普遍的结果都必须更弱，形式也不同。8.2对冲美国索赔在其调查[FK09]的备注10.4中，Fernholz和Karatzas提出了一个开放的问题，即开发一种理论来为美国在NUPBR市场的索赔定价，尤其是在假设惠普∈ C1,2（Ut，s）对于某些邻域Ut，sof（t，s），作者给出了市场模型和支付函数的充分条件，确定了最佳行使时间。

Bayraktar等人[BKX12]解决了这个问题，作者描述了美国期权的套期保值策略和最佳停止时间；特别是，它们解决了优化问题compute v:=supτ∈TE[Z（τ）g（X（τ））]发现τs.t.E[Z（τ）g（X（τ））]=v（OS）其中T是所有停止时间的集合，g:R+→ R+是凸Payoff函数，X（·）是一维价格过程（正半鞅），Z（·）是LMD，因此Z（·）X（·）是局部鞅。[BKX12]的定理2.4给出了（OS）的解，如下所示：o问题的值为v=E[Z（τ）*)g（X（τ）*))] + δ(τ*).o 停车时间τ∈ T是最优的当且仅当τ*≤ ^τ和δ（^τ）=0.o最优停止时间存在的充要条件是δ（τ）*) = 0，在这种情况下τ*是最小的最佳停车时间。我们解释符号；写L（·）：=Z（·）X（·）和Y（·）：=Z（·）g（X（·））。函数δ：T→ R+在[BKX12]的引理2.1中定义为δ（τ）：=↑ 画→∞E[Y（τ）∧ σn）]- E[Y（τ）]，（117）式中（σn）n∈Nis是L（·）的定位序列，意思是L（σn∧ ·) 是所有n的一致可积鞅∈ N、 σN→ ∞ 作为n→ ∞. 结果表明，δ是非负的，与（σn）n的选择无关∈N.此外，τ*是一个特定的停止时间-参见[BKX12]中的方程式（2.3）。有人指出，如果问题的范围有限∈ T、 （OS）的值是v=E[Y（T）]+δ（T），这在[CH05]的定理A.1中已经给出。如果条件δ（τ）*) = 0不成立，Bayraktar等人证明不存在最佳运动时间。此外，他们在例3.2中明确表明，在没有NFLVR的市场中，默顿的“非早期行使定理”可能会失败，也就是说，在终端时间T之前行使可能是最佳的。值得一提的是，[BKX12]在一个模型中证明了上述结果，该模型中还有一个正的、非递增的贴现过程β（·），该过程在某个点上可能变为零。

在这里，为了演示，我们忽略了模型的这种额外复杂性。尽管这是非常理论化的，但Bayraktar等人能够在一些玩具示例中应用他们的定理2.4，展示了候选停车时间的最优性。然而，他们的论文并没有提供一种搜索此类候选者的方法，因此他们的结果在现实世界模型中的适用性目前仍然非常有限。9非等效措施变更尽管在SPT中考虑的It^o模型（1）的一般类型中通常不存在ELMM，但由于NFLVR是允许的，并且通常会失败，人们仍然可以做出有意义但可能是非等效的措施变更。在SPT中，到目前为止，此类措施变更的目的有两个：创建一个发挥anELMM作用的措施（见[FK10]和[Ruf13]），或构建NFLVR失败的市场（见[OR06]、[RR13]和[CT13]）。假设X(∞) := 极限→∞X（t）存在。9.1严格局部鞅Radon-Nikodym导数基于F¨ollmer引入超鞅的“退出测度”的工作，一些与SPT相关的文章对测度进行了修改，将其概括为无风险测度：[FK10]这样做是为了描述相对于市场的最优套利，[Ruf13]简化了欧洲债权在马尔可夫市场上对冲策略的计算。

为此，必要的技术假设是概率空间Ohm 是右连续路径的空间ω：[0，T）→ 注册护士∪ {},0<T≤ ∞, 哪里 是所谓的“吸收点”：它具有ω（t）=, T∈ [0，T]=> ω（u）=, U∈ [t，t]，ω ∈ Ohm.在这种情况下，P-局部鞅（·）的“退出测度”（或“F¨ollmer测度”）在[F¨ol72]中定义为[0]的可预测σ-代数上的测度P，∞] ×Ohm givenbyP（（T，∞] ×A）：=E[Y（T）1A]E[Y（0）]，A∈ F（T），T∈ [0, ∞). （118）如[FK10]第7节所述，[DS95a]中的定理4，[PP07]中的定理1和引理4给出了对于每个正的和连续的P-上鞅∧（·），概率测度Q的存在使得oP Qoλ（·）是一个连续的Q-鞅odP/dQ=λ（T）∧（·）：=X（0）/Zθ（·）X（·）的情况，其中X（·）的总市值定义在（8）中，Zθ（·）的LMD定义在（40）中，在[FK10]中研究和使用；情形∧（·）：=1/Zθ（τθ）∧·), 对于τθ，过程1/Zθ（·）的第一次击中时间为零，在[Ruf13]的第5节中使用。在这两种情况下，吸收点 表示Zθ（·）的爆炸，假设P下不会发生，但在上述概率测量下可能发生。也就是说，让τθn=inf{t∈ [0，T]：Zθ（T）≥ n} 定义τθ=limn→∞τθn；然后在[FK10]的命题1中，证明了P（（T，∞] ×Ohm) = Q（τθ>T）=u（T），（119）F¨ollmer测度的一种表示，其中u（T）是创建相对于市场的套利所需的最小财富，如（104）所示（即创建最佳套利所需的财富；见第7.2节）。另一方面，Ruf证明了上述测度Q的广义贝叶斯规则（见[Ruf13]中的定理5.1），它表明Q在爆炸时间τθ之前表现为ELMM。他用它来推导价格过程和Q下1/Zθ（·）的τθ的动力学。

因为所有这些都是Q-局部鞅，所以在这个度量下，hedging策略的计算可以更容易地完成，然后可以通过已知的度量变化将其转换到后面。当价格过程是一个带漂移的三维贝塞尔过程，且索赔是一个欧式看涨期权时，给出了一个这样的例子——参见本文中的例子2.1.4。到目前为止，上述文章是唯一一部利用F–ollmer测度的与SPT相关的作品，在其他地方应用这种技术可能会有更多的可能性。其他研究Radon-Nikodym密度的超鞅的文章有[IP11]和[PR13]。9.2用套利变化度量构建市场来构建允许套利的市场并不完全是新的，例如参见[DS95a]中贝塞尔过程中套利可能性的构建。然而，这项技术直到最近才被应用于构建与标的交易相关的市场。也有人提出了构建NFLVR失败的NUPBR市场的其他方法，即通过过滤收缩[Pro13]和扩大[FJS14]。Osterrieder和Rheinl–ander在他们的文章[OR06]中首次将非等效测量变化技术与标准贯入试验联系起来。它们提出了一种构建多样化市场的方法（在（42）的意义上），比[FKK05]中的显式构造更为通用，并表明这种市场中存在设计上的套利。更准确地说，作者通过改变前模型的非等效度量来定义他们的第二市场模型。在此前模型下，资本化过程向量X（·）的时间演化由概率测度P控制，并明确表示为非特定n维连续P-局部鞅M（·）的随机指数E（M（·））。

因此，P∈ Me（X），其中Me（X）表示X（·）的ELMM集，NFLVR在预模型中保持不变。一个关键的假设，即“非简并”假设，是在预模型上提出的。它排除了多样性，并显示在它里面持有形式（1）的^o模型，其中假设（BV）和（ND）关于协方差结构；它是T>0，δ∈ （0,1）s.t。infQ∈Me（X）Qsup0≤T≤Tu（1）（T）≥ 1.- δ> 0Psup0≤T≤Tu（1）（T）≥ 1.- δ< 1.（120）Osterrieder和Rheinl–ander然后进行以下简单的测量更改：dPdP=如果是sup0，则为0≤T≤Tu（1）（T）≥ 1.- δc，否则，（121）带c∈ R是一个归一化常数，通过假设（120）存在。很明显，通过构造，多样性在P下成立，P PBUTP6~ 最后，利用[FK97]中的一个可选分解定理，证明了该权利要求的P-超复制策略dPdP>0是指在定义的第一点3的意义上，在P水平[0，T]下的套利。1.1（如[DS94]所述）。因此，NFLVR在P下失败。我们注意到，[OR06]的结果主要是理论上的，因为它们应用了绝对连续的度量变化，以显示存在套利机会的不同市场的存在。然而，这种构造不适合创建显式模型，因为计算变得不可撤销。也就是说，[OR06]推导了X（·）的P-动力学，但该表达式中的漂移过程是作为密度过程Z（·）的函数给出的，该密度过程Z（·）是林格勒对Girsanov定理的扩展，以及使用Galtchoukkuta Watanabe分解的Z（·）投影，因此它是隐式的。[RR13]中证明了一个更一般的结果，作者展示了一种构建市场的系统方法，其中NFLVR失败，但较弱的NUPBR成立。与[OR06]类似，Ruf和Runggaldier采用了一个预模型（由P控制），其中资本化过程Xi（·），i=1。

n是非负局部鞅。然后，他们假设存在一个P-鞅Y（·），即候选密度过程，Y（0）=1，满足下面的假设（122）和（123）。设τ表示Y（·）的第一次击中时间0；第一个假设是p（τ≤ T）>0和P（{Y（τ）-) > 0} ∩ {τ ≤ T}=0。（122）第二个假设如下：十、∈ （0,1），h（·）∈ A s.t.Vx，h（t）≥ 1{Y（T）>0}P-a.s.（123）定义了一个非等价的概率测度P bydpdpp=Y（T），[RR13]的定理1（124）表明，在P下，市场满意度为NUPBR，而非NFLVR；也就是说，在（123）中任何可预测的h（·）都是P下的套利。这种表面上过于夸张的构造是以以下方式系统化的：作者注意到，在NFLVR失败的任何具有测度P的NUPBR市场中，存在一个概率测度和一个满足（122）的P鞅Y（·），使得（124）成立。

因此，上述假设不仅充分，而且对于所考虑的市场类型也是必要的。Ruf和Runggaldier在他们的短文最后给出了几个明确应用其结构的例子，展示了在一些简单的情况下，如何创建有NUPBR但没有NFLVR的市场。在他们的文章[CT13]中，Chau和Tankov对[RR13]进行了相同的度量更改，但更多地关注在最大无担保风险收益的意义上描述最优套利，并考虑转换投资者信念的Radon Nikodyn衍生品。也就是说，他们假设一个预模型，其测度和假设与Ruf和Runggaldier相同，并且存在满足（122）和（123）的P-鞅Y（·）。他们的贡献是指出，索赔1{Y（T）>0}的P-超边缘策略^h（·）是P-市场中的最优套利；换句话说，它保证了无风险利润的最高可能下限：V^h（t）≥ supnc>0:h（·）∈ 像t、 Vh（t）≥ c P-a.s.oP-a.s.（125）最后，作者提出并研究了显式密度DPDPFt=Y（t）：=P（σ>t | Ft）P（σ>t），（126）表示σ的某个停止时间，这具有翻译投资者相信σ所描述的事件不会在时间t之前发生的经济解释；定义（126）意味着P（σ>T）=1。然后，Chau和Tankov计算了这些度量值变化在许多显式示例中的样子，包括连续过程和不连续过程。

在原子例子中，模型前的动力学由X（t）=1+WP（t）给出，WP（t）是一维P-布朗运动，投资者相信σ=inf{t>0:X（t）≤我们使用定义2.1.2的符号A来表示一套可接受的交易策略。[CT13]的作者将（123）等效为supQ∈Me（X）EQ[1{Y（T）>0}]<1，也就是说，假设权利要求1{Y（T）>0}的最小超级复制价格小于1。请注意与（105）的相似之处，其中最优相对套利保证了相对于市场的最高回报。0}，他们能够推导出P下的最终价格动态以及最优套利（在[GR11]的意义上被证明是脆弱的）。然而，这个玩具的例子非常简单，在更复杂的模型中，这样明确的结果是无法预期的。最后，[CT13]中的结果似乎过于具体，不适用于SPT。在一个不相关的注释中，研究一个人是否能说出任何对经济均衡有意义的话可能是有趣的，在动态随机一般均衡（DSGE）的意义上，当主体具有形式（126）的不同信念时，经济均衡产生了（见[BR12]）。[Sar14]中采用了一种更直接的方法来构建具有所需属性的市场，作者介绍并研究了一个明确的多元化市场模型，其中的属性是小型股比大型股具有更大的漂移，如VSM中的情况。10.到目前为止自己的研究10。1数据研究为了了解SPT提出的投资组合在真实市场中的表现，我们使用历史市场数据进行了实施。

在这项实证研究中，我们使用了从2007年1月1日开始到2013年12月31日结束的1761个交易日的每日市值数据（使用当日收盘股价和流通股数量计算），跟踪了数据集开始日期标普500指数中390家公司的子集。我们从CRSP数据集中获得了这些数据；我们从最初的日期开始跟踪公司，以获得一个真实、无偏见的投资模拟。例如，三家公司（即LEH、DYN和CIT）破产，几家公司合并或被收购。为了简单起见，我们通过设置非连续性股票的价值常数并等于其最后记录的价值来处理并购。我们还没有将股息纳入公司，我们预计这只会对我们下面的结果产生轻微影响（这对我们不利，因为相对于市场而言，我们的投资组合对大型企业的投资较少，而大型企业最终会支付更多股息）。我们使用R来编程我们的模拟——代码可以从作者uponrequest处获得。

我们并没有展示我们在这里调查的所有内容，但在这种离散时间环境下的主要研究方向是：o实施并比较多样性加权、熵加权、等权和市场组合，以及不同的参数；o研究比例交易成本对重新平衡投资组合相对绩效的影响尝试不同的再平衡规则（如目标投资组合的总方差或相对熵），以最小化交易成本可视化投资组合的市场相对表现（31）；o计算（166）中的量，从而更好地理解[PW13]中开发的信息理论方法。第一个例子如图1所示；后者为我们提供了对经验观察到的EWP良好性能背后原因的新见解——见第11.2节末尾。CRSP数据集可从以下网站获得：http://wrds-web.wharton.upenn.edu/wrds/Figure1:p=1（市场投资组合）、p=0.5和p=0（EWP）的π（·）对应的财富过程的无摩擦演化。10.2负预调用的多样性加权投资组合[FK05]中定义为πi（t）：=（ui（t））pPj（uj（t））pi=1，n、 （127）这个只做多的投资组合由Gp:x 7生成→ （Pni=1xpi）1/p。通常，p∈ （0,1），我们可以证明，在一个多样化的非退化市场中，π（·）在足够长的时间范围内胜过市场。参数为p=0的投资组合π（·）对应于等权投资组合（EWP），πi（·）=1/n.10.2.1从数据中可以观察到，等权投资组合优于具有p的多样性加权投资组合∈ （0,1），这反过来又会跑赢市场——见图1。

更准确地说，π（·）的表现似乎随着p的降低而单调增加（随着π（·）从市场投资组合中移开，增加了最低等级股票的权重）。这促使我们考虑具有负参数P的多样性加权投资组合；事实证明，对于p值不太负的投资组合，在过去十年中的表现会非常好，如果其中包括现实的比例交易成本，这一点仍然成立——见图2。在我们的实证研究中，我们使用了从2007年1月1日开始到2013年12月31日结束的1761个交易日的每日市值数据，跟踪了数据集开始日期标普500指数中390家公司的子集。我们从CRSP数据集中获得了这些数据；我们从初始日期开始跟踪公司，以得到图2：与π（·）对应的财富过程的演化，其中p=1（市场投资组合），p=-1和p=0（EWP），只要ui（t）=0，都需要调整πi（t）=0。我们按交易价值的1%计算比例交易成本，每20个交易日重新平衡一次。真实无偏的投资模拟。例如，三家公司（即LEH、DYNand CIT）破产，几家公司合并或被收购。有关使用该数据的替代性可视化，请参见附录。10.2.2理论动机我们扪心自问：为什么p<0的π（·）表现如此出色？我们可以检查，多样性不再意味着这个投资组合是一个RA wrtu（·），如果p∈ (0, 1). 然而，让我们假设非简并（ND）以及更强的“非失效假设”：δ>0 s.t.u（n）（t）≥ δ T≥ 0 P-a.s.（128）这是[PW13]定理2.11中的假设（21），并暗示了参数（n）的多样性- 1)δ.