我们将限制p以后可以采用的值。注意，对于p<0，我们有界（53）：n1-p=nXi=1NP≤nXi=1upi（t）=（Gp（u（t））p≤ （n）- 1） δp+（1）- （n）-1） δ）p<nδp；（129）因此我们有了boundlogGp（u（T））Gp（u（0））> 我们假设δ<1/n是一个负数。当p∈ （0，1），其中π（1）（t）=up（1）（t）PiuPi（t）≤ u（t），因为在这种情况下x 7→ xp是一个递增函数。然而，对于p<0，x7→ xp是一个递增函数，上面的不等式不再成立（因此通常的证明失败）。然而，在假设（128）和使用（129）的情况下，我们得到π（1）（t）=up（n）（t）PiuPi（t）≤δpn1-p=（nδ）pn<1（131），如果我们额外假设p∈ （对数n/对数（nδ），0）。[FK09]中的引理3.4（最初在[FKK05]的附录中得到了证明）-见引理4.1.2）以及（131）表明ZTγ*π（t）dt≥εZT（1）- π（1）（t））dt≥εT（1）-（nδ）p/n）。（132）因此，使用费恩霍尔茨的主方程（31），我们得出Vπ（T）Vu（T）= 日志Gp（u（T））Gp（u（0））+ (1 - p） ZTγ*π（t）dt>log（nδ）+（1）- p） εT（1）-（nδ）p/n）≥ 0 a.s.，前提是≥ T*δ:=-2n对数（nδ）ε（1）- p） （n）- （nδ）p）；（133）也就是说，投资组合π（·）在足够长的时间范围内超过市场。10.2.3表现优于“正常”DWP除了（128）和非简并性，即有界方差（BV）的假设外，还有一个额外的假设，可以表明，对于p>0的DWP，具有负参数p的DWP可以是相对套利。以p为例-∈ （对数n/对数nδ，0）和p+∈ （0，1），设π-（·）和π+（·）是参数为p的多样性加权投资组合-和p+。注意1≤Gp+（u（t））p+≤ n1-p+。（134）根据[FK09]的引理3.4（引理4.1.2的类似物），有界方差意味着a.s.不等式γ*π+（t）≤ 2K（1）- π+（1）（t））T≥ 0

（135）注意，对于任何非常数生成函数，该下界必然为负。非简并性意味着（132），它与（31）、（129）、（134）、（135）以及π+（1）（t）的观测值一起≥ 1/n，giveslogVπ-（T）Vπ+（T）= 日志Vπ-（T）Vu（T）- 日志Vπ+（T）Vu（T）= 日志全科医生-（u（T））Gp+（u（0））Gp-（u（0））Gp+（u（T））+ZT(1 - P-)γ*π-（t）- (1 - p+）γ*π+（t）dt>logn1/p-δ·1n（1-P-)/P-· n（1）-p+/p++ε(1 - （nδ）p-/n） （1）- P-) - 2Kn- 1n（1- p+）T=对数δn2-1/p++C·T>0 a.s.（136）前提是CT>-日志δn2-1/p+, （137）正数（因为δ<1/n）。这里，我们使用了符号C:=C（p-, p+，ε，K，δ，n）：=ε（1）- （nδ）p-/n） （1）- P-) - 2Kn- 1n（1- p+。如果C≤ 0，（136）永远不是正的。然而，如果C>0，（137）给出了条件t>-日志δn2-1/p+C（138）因此在这种情况下π-（·）几乎肯定在足够长的时间范围内优于π+（·）。现在，如果p+不是太小，即π+接近市场投资组合，C>0是可能的。也就是说，当且仅当ifp+>1时，C>0-ε（n）- （nδ）p-)(1 - P-)4K（n）- 1） ，在执行“正常”DWP时，哪个数字小于1.10.2.4？有人可能会想，第10.2.3节中的构造是否可以反过来工作，即表明π+（·）优于π-（·）在特定的时间范围内。我们显然不希望这是真的，因为我们会得出一个矛盾，为了完整起见，我们明确地展示了这一点。请注意，在非简并和有界方差假设下，（132）和（135）适用于任何只做多的投资组合。应用于π+（·），（132），以及早期观察到的（128）意味着参数（n）的多样性-1） δ和π+（1）（t）≤u（1）（t），导致ztγ*π+（t）dt≥εZT（1）- π+（1）（t））dt≥εT（n）-1)δ.

（139）因此我们得到了T>0 s.T.logVπ+（T）Vπ-（T）= 日志Gp+（u（T））Gp-（u（0））Gp+（u（0））Gp-（u（T））+ZT(1 - p+）γ*π+（t）- (1 -P-)γ*π-（t）dt>logδn2-1/p++ε（n）- 1)δ(1 - p+）- 2Kn- 1n（1- P-)· T> 0 a.s.（140）当且仅当（自对数δn2）-1/p+<0）ε（n）- 1)δ(1 - p+）- 2Kn- 1n（1- P-) > 0<==> K<ε（1）- p+）δ4（1）- P-)/nbut:1- p+<1- P-δ<1/n=> K<ε。我们已经得出了一个矛盾的结论，上面给出的Vπ+（T）/Vπ的下界-（T）永远都不是正面的。10.2.5非失效假设的减弱我们可以对负p的DWP进行轻微调整，以便使其成为相对套利，即使在非失效条件（128）仅在时间范围内有效的市场[0，T*δ] ，与T*δ（133）中定义的该投资组合击败市场所需的最小期限。即，设π（·）为多样性加权投资组合，p∈ （对数n/对数nδ，0），乘以阈值δ>0，对于t≥ 0定义投资组合π（t）：=（π（t）t<τΔu（t）t≥ τδ，（141），其中停止时间τδ定义为条件（128）第一次失败的时间：τδ：=inf{t>0 |u（n）（t）=δ}。（142）很容易看出^π（·）是可预测的，因为π（·）和u（·）以及事件{t≥ τδ}; 后者是因为我们假设价格过程是适应和持续的。注意τδ>T*δ根据假设。现在不管怎样*δ≤ t<τδ，我们的结果（133）表明π（·）超过市场持有量，即通过增加δ（t）的对数因子：-对数（nδ）+（1）- p） εt1.-（nδ）pn> 0; （143）即Vπ（t）>exp（fδ（t））·Vu（t）T∈ [T]*δ、 τδ）P-a.s。

（144）因此我们有V^π（t）=Vπ（t）>Vu（t）T∈ [T]*δ、 τδ）V^π（τδ）=Vπ（τδ）>Vu（τδ）V^π（t）=Vπ（τδ）Vu（τδ）·Vu（t）>Vu（t）t>τδV^π（t）>Vu（t）T≥ T*δP-a.s.因此，（141）中定义的^π（·）是在所有时间范围内[0，T]相对于市场投资组合u（·）的相对套利，T≥ T*δ.还要注意的是，在[Str13]的广义意义上，上述投资组合仍然（随机）由函数gp（x）{τδ>t}+{τδ生成≤t} 。[BF08]中使用了类似的构造，以构造包括VSM在内的amodel类中的短期相对套利。停止时间τδ后，不想返回低风险市场投资组合的投资者可以采取以下任一措施，以期提高其回报率：首先，当市场权重降至u（n）（τδ）=δ时，她可以出售其持有的最低级别股票的所有股份，只投资于n- 1剩余股票经过时间τδ等一次又一次的市场权重下降到投资者的阈值δ。另一种可能性是调整^π（·）如下：^π（t）：=π（t）t<τδVu（τδ）Vπ（τδ）u（t）+Vπ（τδ）- Vu（τδ）Vπ（τδ）π（t）t≥ τδ，（145）通过这种方式，我们仍然有Vπ（t）>Vu（t）T∈ [T]*δ、 τδ]P-a.s.，和alsoV＠π（t）=Vu（t）+Vπ（τδ）- Vu（τδ）Vπ（τδ）Vπ（t）≥ Vu（t）t>τδP-a.s.，P（V)π（t）>Vu（t））>0。也就是说，投资组合（145）只留出足够的资金，以确保在时间τδ之后击败市场，并继续投资由于在DWP中投资π（·）直到时间τδ而产生的剩余收益（p<0），如果市场没有在时间τδ之后崩溃，则可能会产生额外收益（对于)π（·）是相对套利，需要假设其具有非零概率）。

如果市场崩溃，Vπ（·）将变为零（见第10.2.8节的讨论），我们剩下Vu（·），因此与市场匹配。10.2.6试图消除无故障假设——如（128）所述，最好进一步削弱甚至完全消除无故障假设。重新检查我们在第10.2.2节中的第一个证明，我们发现，由于无故障假设，它在两个方面起作用：1。非失败给出了Gp（u（·））的下限，即（129）中的第二个不等式（第一个不等式始终成立）：n1-P≤ （Gp（u（t））p<nδp（146）如果没有（128），函数Gp（u（·））仅在0.2以下有界。条件（128）确保up（n）（t）≤ δp，因此π（1）（t）≤（nδ）pn<1T≥ 0.（147）这两项对于证明都至关重要；1.确保在不同时间（即（130））的对数比率的下限。为了证明主方程（即（132））中的有限差项的下界，即[FK09]的Emma 3.4中的非简并意味着γ*π（t）≥ε(1 -π（1）），与（147）（或更弱的多样性假设）一起给出了γ的正下界*π（t）。记住以上内容，将多样性加权投资组合π（·）与另一个投资组合（即在π（·）和市场中采取一定比例）进行“混合”，以确保（146）没有（128）。

我们希望这样做，以保持主方程（在[FK09]中用g（·）表示）中有限变化项的下限；关于混合的一些建议，请参见表1，我们应该将其解释为G[1]是Gp，而另一个G[i]代表熵权、市场权和等权投资组合的生成函数。^G=^π（·）=a+bG[1]G[1]（·）π[1]（·）+au（·）G[1]（·）+aG[1]（·）+aG[1]（·）G[1]（·）+aG[1]（·）G[1]qqπ[1]（·）+（1）- q） u（·）q（q）-1） G[1]（·）G[1]（·）exp（G[1]）G[1]（·）（π[1]（·）+（1）- G[1]（·））u（·）G[1]（·）G[1]（·）QiG[i]Piπ[i]（·）- （n）- 1)u(·) . . .PiG[i]PiG[i]（·）π[i]（·）PiG[i]（·）g[i]（·）PiG[i]（·）表1：让π[i]（·）由g[i]生成，i=1，n、 让^π（·）由^G生成。上面显示了这些投资组合之间的关系，因为生成函数之间的关系不同；我们写G[i]（·）：=G[i]（u（·））。到目前为止，我们在寻找“好”混合料方面的进展仅限于以下方面：let^G:=Gp++Gp-, 和p+∈ （0,1）和p-< 0与第10.2.3节之前一样（尽管p-现在可以接受任何负值）。然后通过上面的计算，^G生成投资组合^π（t）：=p（t）π+（t）+（1-p（t））π-（t） ，（148），其中时间相关比例作为市场权重的确定函数给出：p（t）：=Gp+（u（t））Gp+（u（t））+Gp-（u（t））∈ （0,1]（149）同样通过上表，我们得到漂移过程是^g（t）=p（t）g+（t）+（1）- p（t））g-（t） =（1）- p+p（t）γ*π+（t）+（1）- P-)(1 - p（t））γ*π-（t） 。

（150）如果我们现在假设参数为δ的视界[0，T]上的非简并性和多样性，那么我们得到了（139）中的γ*π+（t）≥ε(1 - π+（1）（t））≥ε(1 - u（1）（t））≥εδ.我们定义Gp-（\'x）：=limx→\'\'xGp-（x） 对于单纯形中的任意‘x，qi‘xi=0，则为0。也因为γ*π-（t）≥ 0，对于任何投资组合，注意p（t）≥1+n1/p--1> 使用边界（129）和（134），我们得出主方程thatlogV^π（T）Vu（T）= 日志Gp+（u（T））+Gp-（u（T））Gp+（u（0））+Gp-(u(0))+ (1 - p+）ZTp（t）γ*π+（t）dt+（1）- P-)ZT（1）- p（t））γ*π-（t） dt≥ -日志n1/p+-1+n1/p--1.+εT（1）-p+）1- δ1+n1/p--1> 0 a.s.，前提是T>2（1+n1/p--1） 日志n1/p+-1+n1/p--1.ε(1 - p+（1）- δ). （151）因此，在（148）中定义的投资组合在非简并性和（弱）多样性的假设下，在足够长的时间内击败了市场，这是投资组合π+（·）本身也具有的特性。在下一节的末尾，我们将再次尝试消除无故障假设。10.2.7基于等级的多样性加权组合本节包含错误、道歉。半鞅局部时间的假设界不成立。在[Fer01]中的示例4.2（另请参见[FK09]中的备注11.9）中，Fernholz考虑了多样性加权投资组合的一个变化，参数r仅投资于m<n高风险股票（按资本化），即：u#pt（k）（t）=u（k）（t）rPml=1u（l）（t）r、 k=1，m0，k=m+1，n、 （152）用pt（k）表示在时间t排名第k的股票指数，因此upt（k）（t）=u（k）（t）。公文包（152）由函数Gr（x）生成=Pml=1（x（l））r1/r，类似于上述GPR——另见第6.2节。应用于（152）的主方程（90）给出（99）：logVu#（T）Vu（T）= 日志Gr（u（T））Gr（u（0））+ (1 - r） ZTγ*u#（t）dt-ZTu#（m）（t）dLm，m+1（t）。

（153）这里，Lk，k+1（t）≡ λΞk（t）是由非负过程Ξk（t）：=log累积的原点处的半鞅局部时间，如等式（88）所定义u（k）（t）/u（k+1）（t）, T≥ 0.（154）案例1:r∈ （0,1）假设参数δ>0的非简并性和多样性，并让r∈ (0, 1). 然后对（134）和（139）进行简单的修改，并观察到u#（m）（t）≤ 1/m和Lm，m+1（T）≤ T，由（153）thatlog暗示Vu#（T）Vu（T）≥ -1.- rrlog n+εδ（1）- r） T-ZTu#（m）（t）dLm，m+1（t）≥ -1.- rrlog n+hεδ（1- r）-2miT>0，（155），前提是可以选择足够大的m（即我们需要一个大的市场），使得εδ（1-r）-2m>0，这T非常大。因此，在这些条件下，具有r∈ （0,1）在长时间内击败市场。对于小股票多样性加权投资组合，也可以得到类似的结果∈ （0,1），即定义为u$pt（k）（t）的投资组合=0，k=1，M-1.u（k）（t）rPnl=mu（l）（t）r、 k=m，n、 （156）再次假设非简并，以及κ>0 s.t.u（m）（t）≥ κ, T∈ [0，T]，P-a.s.（157），表示不超过n- 到T时，m家公司将破产。现在（153）开始努力Vu$（T）Vu（T）= 日志Gr（u（T））Gr（u（0））+ (1 - r） ZTγ*微元（t）dt+ZT微元（m）（t）dLm-1，m（t）。（158）与（134）等价的是κr≤Gr（u（t））r=nXl=mu（l）（t）R≤ （n）- m+1）n-r<n1-r、 再加上我-1，m（T）≥ 0表示以下内容：logVu$（T）Vu（T）>rlogκrn1-R+ε（m）- 1)κ(1 -r） T>0（159）表示T足够大；i、 例如，u$（·）是相对于u（·）的长期相对套利。注意κ∈ （0，1/m）和（157）表示参数（m）的多样性- 1)κ.情况2:r<0当r<0时，方程（153）和（158）分别适用于大库存和小库存DWP。

让我们首先考虑r<0的大型股票投资组合（152）：假设非退化（ND）和（157），因此以下界限成立：m1-R≤Gr（u（t））r=mXl=1u（l）（t）r<mκr，（160）和γ*u#（t）≥ε1.- u#（1）（t）（161）像往常一样通过非简并性。由于假设（157），我们有u#（1）（t）=ur（m）（t）Pml=1ur（l）（t）≤κrm1-r<1，（162）因为κ<1/m，这与（153）、（160）和（161）一起意味着logVu#（T）Vu（T）> -对数（mκ）+hε1.-κrm1-R(1 - r）-2miT>-对数（mκ）+mhε（m- 1)(1 - r）-它>0，（163），前提是可以选择足够大的m，并且T足够大，如案例1所示。因此，在这种情况下，r<0的大型股票多样性加权投资组合在足够长的时间范围内击败市场。假设（157）不超过n-mcompanies将崩溃，可通过选择大n，而m不太接近吨；从经验上可以观察到，在给定时间间隔内崩溃的公司数量通常非常少。因此，我们预计r<0的投资组合u#（·）在实际市场中表现良好。对于r<0的小库存DWP（156），我们可以看到需要一个比（157）更强的假设（除了非简并性），即我们最初的非失效假设（128）。在这些假设下，可以使用（158）再次表明，R<0的u$（·）在足够长的时间范围内（对m没有任何限制）超过市场。实施使用第10.2.1节所述的相同CRSP数据集，我们实施（152）中定义的r<0的大型股票多样性加权投资组合，以将其表现与市场和正参数多样性加权投资组合进行比较。由此产生的财富过程如图3.10.2.8讨论所示。假设（128）表示，任何资本化都不可能为零，即。

没有公司会失败。这在现实世界中显然是不正确的，我们看到这就是p<0的多样性加权投资组合的危险所在：如果K∈ {1，…，n}，tksuch表示uk（t）→ 0 ast→ tk，然后limt→tkπk（t）=1。换句话说，这个投资组合将把投资者的全部财富投入到崩溃的股票中，导致她破产。第10.2.5–10.2.7节演示了在实际应用中避免这种情况的几种方法。其他可能性包括限制投资于任何单一股票的最大比例，以便在破产时仅损失该比例，或使用图3：与r=-4和m=n- 10，π（·），其中p=1（市场投资组合），p=0（EWP），p=-1，后两种情况下，只要ui（t）=0，πi（t）=0。πi（t）形式的投资组合∝ ui（t）k-1e-ui（t）/θ（见图4）或πi（t）∝ ui（t）α（1）- ui（t））β，它清算了暴跌股票中的头寸，但在市场权重的上限范围内具有与DWP类似的行为，p<0。人们可能会尝试使用第10.2.5节中使用的技术，使用其他停止时间，每个停止时间代表特定条件第一次失败（可能是非退化、有界方差，甚至是“有效内在波动性”条件）*u（t）≥0T≥ 每年0美元）。这将使我们能够证明，在这些条件下相对脆弱的某些投资组合在没有这些条件的情况下也会战胜市场，如果我们跟踪它们直到相应的停止时间。但是，必须记住，这只能通过过滤外汇的停止时间来实现，X（·）=（X（·）。

，Xn（·））资本化向量；我们假设投资者除了观察到的股票价格之外没有任何其他信息。形式为π（t）的Thusa投资组合：=（π（t）t<τδ∧ ~τu（t）t≥ τδ∧ ~τ,（164）带)τ:= inf{t>0 |带参数ε的非简并性失效}，（165）不是可预测的投资组合，因此不允许，因为无法确定仅仅通过观察股票价格就可以判断是否发生了。上述见解确实提供了以下线索：在剧烈波动的市场中，在寻求相对套利或任意短的时间期限，这是一个重大的开放问题，人们可以尝试在关于Xi（·i=1，…）行为的额外可观察假设下，找到一个具有这种理想属性的投资组合，n、 然后使用构造图4：对应于“gammadistributed”投资组合πi（t）的财富过程的无摩擦演化∝ ui（t）k-1e-ui（t）/θ，k=1.5，θ=0.0001，π（·），p=1（市场投资组合），p=-1和p=0（EWP），只要ui（t）=0，都需要调整πi（t）=0。（141）在这个假设不成立的更一般的市场中进行相对套利。对于该投资组合，我们计划研究以下内容：o尝试使用[FK05]或[BF08]中开发的镜像投资组合技术构建短期相对套利，o本着[Kar08]第7节的精神，将我们的结果扩展到更一般的半鞅市场模型，o调查在离散时间内应用连续时间理论的有效性和效果，将DWP与EWP或市场投资组合混合，以构建一个在比（128）更温和的条件下保持的相对渗透率。对于后者，我们计划使用表1.11未来研究中的结果。我们提出了一些我们认为值得详细研究的想法。

以上提到了其中一些，在第10.11.1节“最优相对套利”的末尾，我们希望尝试将[FK10]中最优相对套利的特征推广到可能为F6=FW的不完全市场。迈克尔·莫诺伊奥斯（Michael Monoyios）建议通过[KLSX91]中首次提出的“有效完成”市场来实现这一点，即通过将不完整模型嵌入到无约束市场中，对索赔X（T）进行混合。寻找最佳（仅限长）portfolioor FGP的特征也很有意义。进行这项研究的一种可能方法是使用[PW14]第4节所述的Monge-Kantorovichophimal运输模式。SPT的最大优势显然是它的鲁棒性，即它不需要参数估计。该理论提出的所有投资组合仅可利用市场上公司的当前资本实现。然而，投资者可能希望在选择投资策略时包含某些信念，例如关于某些股票价格的终值和漂移，或者因为她有内幕信息——这在SPT框架内尚不可能，这将是一个有趣的研究方向。[Str13]通过定义FGPs的扩展，朝着纳入额外信息的方向迈出了第一步，允许生成函数依赖于额外的有限变量。这些论据中包含的信息包括基本经济数据和从Twitter提要中提取的信息。Strong没有说明包含此类信息将如何影响最终的投资组合，也没有说明在给定信息的情况下如何优化相对套利。

[CT13]中描述了进行这种优化的一种可能方法，即使用密度改变度量，该密度转换投资者的信念，即某个事件（即停止时间）不会在某个地平线T之前发生，从而改变股票价格的动态。然而，在一般模型中不可能明确地进行这些度量变化，而且[CT13]中只处理一维情况。[PW13]中采用了一种更具前景的方法，在该方法中，作者能够在给定权重函数的情况下，在两个股票市场中转换信念或统计信息，从而找到最佳投资组合——见第7.2节。他们只在市场模型的两个玩具示例中这样做，但尝试将这种方法推广到高维和不太明确的市场模型将是有趣的。考虑到第7.2节中的权重函数，例如，可以尝试在一类FGP投资组合中找到最佳策略，例如多样性加权投资组合。然后可以调查这是否与[FK10]中的最优相对套利特征有关，参见第7.2.11.2节信息论方法最近，Pal和Wong在[PW13]中开发了另一种研究投资组合绩效的方法，该方法受信息论的启发，完全独立于模型（例如，参见[CT12]）。他们推导出离散和连续时间内一般投资组合的“主方程”。在离散时间内，投资组合π（·）的市场相对表现为对数Vπ（T）Vu（T）=T-1Xt=0γ*π（t）+H（π（0）|u（0））- H（π（T）|u（T））+T-1Xt=0H（π（t+1）|u（t+1））- H（π（t）|u（t+1））, （166）其中H：n+×n+→ R是概率分布π相对于分布u的熵，定义灰（π|u）=nXi=1πilogπiui，和γ*π（·）是过剩增长率的离散类似物，作者称之为“自由能”。

也就是说，Pal和Wong将投资组合解释为n个原子上的离散概率分布，其中n是市场中的股票数量。作者在[PW14]中进一步阐述了这一点，他们在[PW14]中展示了如何将给定市场某些属性的RAs查找问题作为Monge-Kantorovich最优运输问题来处理。进一步发展这种方法是非常有意义的。注意，对于EWPπ（·）≡ 1/n，则（166）中的最后一项为零，因此EWP相对于市场的离散时间性能可以分解为其累积自由能，或单调增加的超额增长率，以及熵的负变化：logVπ（T）Vu（T）=T-1Xt=0γ*π（t）|{z}≥0+nnXi=1logui（T）ui（0）≥ D（u（T））-D（u（0））。（167）这里，D：n+→ 由x 7定义→ 1/nPni=1对数XI是多样性的度量，如[Fer02]定义3.4.1所述；i、 它是C，对称且凹。由于D也在增加，这证明了以下有趣的含义：市场多样性增加=> EWP优于市场图5显示，尽管在观察期内市场多样性有所下降，但由于累积自由能项，EWP仍优于市场，这是由于平衡。这里，D已经扩展到通过设置D（x）=0十、∈ Rns。t、 七夕=0。[PW13]中的投资组合分析信息论方法是全新的，尽管它与Cover对其通用投资组合的构建有一些共同特点——参见[Cov91]和[Jam92]。很有意思的是，看看这种方法如何与标准普尔交易中的恩霍尔茨方法相关联，以及这是否可以用来发现通用投资组合和FGP之间的任何关系，从而解决[FK09]备注11.7中提出的悬而未决的问题。

然而，由于Cover的通用投资组合取决于整个股票收益率历史，而FGP只取决于当前的市场配置，因此作者尚不清楚这种关系可能是什么样子。然而，或许“事后诸葛亮选择最佳投资组合”的想法可以应用于FGP，从而通过对FGP而非固定比例投资组合进行业绩加权平均来修改Cover的算法。11.3实际市场中的实施和绩效迄今为止，SPT中的一些缺陷被忽略，其中最值得注意的是交易成本的存在，这在很大程度上限制了FGP在实际市场中的实施。当→ ∞ 在大盘限制中，给出大盘投资组合的解释。请注意，上述定义的D与[Fer02]中的定义不完全匹配，因为它不是正的；然而，这并不重要，因为我们只考虑D值的变化，即多样性的减少或增加。图5：EWP相对于市场（黑色）的无摩擦对数相对性能分解为累积超额增长率和多样性变化。这些术语的总和以红色显示，由于股市暴跌，与实际财富不同。连续设置，因为这些通常是有限的变化。关于这一点，唯一现有的理论工作是[Fer02]中的第6.3节，其中Fernholz对参数为p的多样性加权投资组合π（·）的周转率进行了粗略的近似∈ （0,1）当每次投资组合权重偏离目标权重的固定倍数δ时，它被重新平衡。他发现，截至时间t的总营业额为δ（1）- p） γ*π（t）。

（168）这一近似值只是首次尝试量化因再平衡而产生的交易总量，为了实现这一点，我们做出了许多假设。通过减少假设，通过对更一般的投资组合和再平衡标准进行改进，尝试并改进这种近似是很有意思的。理想情况下，我们希望在SPT的背景下开发一个交易成本理论（以及可能的优化）。几乎没有任何SPT的理论结果经过实际市场数据的检验。在[Fer02]的第6章中，作者使用80年窗口期内的历史股价数据来计算投资者的财富过程，该投资者本应实施多元化和熵权加权投资组合，表明其表现将显著优于市场。然而，这种简单的计算忽略了交易成本、股票不可分割性和市场监管等关键缺陷——随着比例交易成本的引入，天真地遵循特殊目的交易策略的投资者将因持续的再平衡而破产。

为了能够研究计算出的策略如何在真实市场中实施，例如对冲基金，以及它们如何与Cover的全球投资组合进行比较，[PW13]中建议的投资组合，[IPB+11]中提到了同等权重的投资组合，而这个话题只被略微提及。在num’eraire投资组合（见第7节）中，使用真实世界的数据并考虑现实的市场摩擦是很有意思的——我们在第10.1节中首次尝试了这一点。使用来自真实市场的数据，例如来自CRSP数据集的数据，还可以测试不同再平衡频率或标准（这归结为在交易和目标投资组合之间的不同距离度量之间进行选择）在交易成本和回报之间的交易效率。此外，Michael Monoyios建议从效用的角度研究相对套利是否是好的：尽管它们不是最优的，因为它们没有最大化预期效用，但它们不需要任何漂移或波动性估计，不像效用最优投资组合，后者明确依赖于它们投资的股票的漂移和波动性。人们可以尝试量化FGPST在市场中所需的不确定性量，以便比num’eraire投资组合做得更好。由于在SPT（如VSM）中考虑的模型中，通常很难明确计算预期效用，因此可能需要进行模拟或使用真实世界的数据来进行计算。11.4大型市场在[Shk12]和[Shk13]中，Shkolnikov分别研究了基于等级的模型和VSM在股票数量趋于一致时的限制行为——这个问题在[FK09]的备注11.6中提出。

虽然他更感兴趣的是大盘中股票的结果动态，但我们想看看这些动态如何影响此类市场中的投资组合行为，以及在这种情况下投资组合的含义。例如，人们还能在大型市场上构建相对套利或长期增长机会吗？这些渐近线能让我们知道如何投资大市场，比如美国股市吗？为了回答这些想法，我们想利用哈姆布莱、赖辛格和其他人（见[BHH+11]和[PR13]）在研究大型市场方面取得的进展。另一种方法可能是[PR12]中的方法，其中Platenand Rendek直接应用大数定律和中心极限定理，以表明当市场成分的数量趋于一致时，等权投资组合收敛于num’eraire投资组合。11.5我们希望解决的其他更具体的研究问题包括以下内容：o虽然优先级较低，但最好将PT的框架和结果推广到半鞅市场模型，其中也有跳跃成分。人们必须考虑多样性和有效内在波动性条件的类似物，在这种一般情况下推导FGP理论，并看看多样性和熵加权投资组合是否仍然是相对套利，以及在什么时间范围内。

康斯坦丁诺斯·卡达拉斯曾向作者提到这是可以做到的塞缪尔·科恩（Samuel Cohen）在一次个人交流中反驳了SPT的建模方法，称他认为在建模股票价格时，尤其是在概率非常小的事件上，几乎确定假设（如多样性或有效的内在波动性）是不可取的，他说这可能导致反常的模型。请注意，[KLSX91]和[KK07]可以在NUPBRmarket中实现预期效用最大化；不需要ELMM。他建议用高概率的假设来削弱这些假设，或者做出不同但相似的假设。这可能不会再像相对套利那样导致几乎肯定的比较，而是导致统计上的暴跌。迈克尔·莫诺伊奥斯说，这与[PS10]对测量浓度的研究有关。我们注意到[PW14]第5节对统计套利做了一些评论，试图解释[FMJ07]中的观察结果在（某些）基于等级的模型（如Atlas）中，在有限（甚至任意短）的时间范围内是否存在相对套利？首先，我们必须推导出此类模型中的投资组合动态[FK09]建议在只允许使用多头投资组合而非一般交易策略的情况下，通过一定的因素计算最大相对回报和最短时间来击败市场[FK05]建议在零增长率（α=0）的情况下，通过某个因素计算出击败市场的最短时间我们已经研究了在剧烈波动的市场中构建短期相对套利这一主要开放问题的几种方法（见第5.2节）。我们计划写下我们的想法，并决定这是否是一个可行的项目广义增长率γ*π、 p（·）是从下方限定的，如[BF08，p。

452].o 可以用镜像法构建短期RAs，但用p>1而不是e的多样性加权投资组合构建“种子”吗在离散时间中应用SPT的连续时间理论有多有效在较短的时间尺度上研究资本分配曲线；稳定占上风吗？在撞车时也是这样吗？致谢作者首先要感谢他的导师迈克尔·莫诺伊奥斯校对了他的作品并提供了反馈。他还想感谢约翰·斯鲁夫和克里斯托夫·赖辛格的几次富有成效的讨论和有益的评论，以及托奥安尼斯·卡拉扎斯关于负参数多样性加权投资组合的详细通信和建议。最后，Thibaut Lienart和Samuel Cohenhave为实证研究做出了有益的贡献。参考文献[BF08]阿德里安·D·班纳和丹尼尔·费恩霍尔茨。短期相对套利的非意愿稳定了市场。安。《金融》，4:445–4542008。[BFK05]阿德里安·D·班纳、丹尼尔·费恩霍尔茨和伊奥尼斯·卡拉萨斯。股票市场的阿特拉斯模型。安。阿普尔。Probab。，15(4):2296–2330, 2005.[BHH+11]尼克·布什、本·M·哈姆布莱、海伦·霍沃斯、雷金和克里斯托夫·赖辛格。投资组合信用建模中的随机演化方程。暹罗金融时报。，2(1):627–664, 2011.[BHS12]二汉·贝拉克塔尔、黄玉瑞和宋清硕。以给定的概率超越市场投资组合。安。阿普尔。Probab。，22(4):1465–1494, 2012.[BKX12]二汉·贝拉克塔尔、康斯坦丁诺斯·卡达拉斯和郝星。严格的局部鞅函数，并对美式看涨期权进行估值。金融斯托赫。，(16):275–291,2012.[BR12]安格斯·布朗和伦纳德·罗杰斯。不同的信仰。《概率与随机过程国际期刊》，84（5-6）：683–7032012。[CH05]亚历山大·M·G·考克斯和大卫·G·霍布森。

局部鞅、泡沫和期权价格。金融斯托赫。，9:477–492, 2005.[Cov91]托马斯·M封面。环球投资组合。数学《金融》，1（1）：1-291991年。[CT12]Thomas M Cover and Joy A Thomas。信息论的要素。约翰威利父子公司，2012年。[CT13]周惠恩和彼得·坦科夫。具有最优套利的市场模型。arXiv预印本arXiv:1312.4979v12013。[DGU09]维克多·德米格尔、洛伦佐·加拉皮和拉曼·乌帕尔。最优与单纯的多元化：1/n投资组合策略的效率如何？《金融研究回顾》，22（5）：1915-1953，2009。[DS94]弗雷迪·德尔巴恩和沃尔特·沙切梅耶。资产定价基本定理的一般版本。数学安。，300(3):463–520, 1994.[DS95a]弗雷迪·德尔巴恩和沃尔特·沙切梅耶。贝塞尔过程中的套利可能性及其与局部鞅的关系。Probab。理论关系。菲尔兹，102（3）：357-3661995。[DS95b]弗雷迪·德尔巴恩和沃尔特·沙切梅耶。绝对连续局部鞅测度的存在性。安。阿普尔。Probab。，5(4):926–945, 1995.[DS95c]弗雷迪·德尔巴恩和沃尔特·沙切梅耶。num’eraire公司的无套利财产。《随机与随机报告》，53（3-4）：213–226，1995年。罗伯特·费恩霍尔兹。关于股票市场的多样性。数学博士。经济。，31:393–417, 1999.[Fer99b]罗伯特·费恩霍尔兹。投资组合生成函数。金融市场定量分析，新泽西州River Edge。《世界科学》，1999年。[Fer01]罗伯特·费恩霍尔兹。由排名市场权重函数生成的股票投资组合。金融斯托赫。，5:469–486, 2001.[Fer02]罗伯特·费恩霍尔兹。随机投资组合理论。斯普林格，2002年。[FGH98]罗伯特·费恩霍尔茨、罗伯特·加维和约翰·汉农。多样性加权索引。《投资组合管理杂志》，24（2）：74-821998。[FIK13a]罗伯特·费恩霍尔茨、一叶智之和伊奥尼斯·卡拉扎斯。二阶股票市场模型。安。

《金融》，9:439–4542013。[FIK13b]罗伯特·费恩霍尔茨、一叶智之和伊奥尼斯·卡拉扎斯。两个布朗粒子具有基于秩的特征和斜弹性碰撞。随机过程。应用程序。，123:2999–3026, 2013.[FIKP13]罗伯特·费恩霍尔茨、一叶智之、伊奥尼斯·卡拉萨斯和维尔莫斯·普罗卡吉。具有基于秩的特征和扰动田中方程的平面效应。安。《金融》，156:343–3742013。[FJS14]克劳迪奥·丰塔纳、莫妮克·珍布兰科和宋世奇。在诚实的时代出现的套利。金融斯托赫。，18:515–543, 2014.[FK97]汉斯·福尔默和德米特里·克拉姆科夫。约束下的可选分解。Probab。理论关系。菲尔兹，109（1）：1-251997。[FK05]罗伯特·费恩霍尔茨和伊奥尼斯·卡拉萨斯。波动率稳定市场的相对套利。安。《金融》，2005年1:149-177。[FK09]罗伯特·费恩霍尔茨和伊奥尼斯·卡拉萨斯。随机投资组合理论：综述。《数值分析手册》编辑阿兰·本索桑和张强。第十五卷。特别卷：《数值分析手册》第15卷：金融中的数学建模和数值方法。爱思唯尔/北荷兰，阿姆斯特丹，2009年。Daniel Fernholz和Ioannis Karatzas。关于最优套利。安。阿普尔。Probab。，20(4):1179–1204, 2010.Daniel Fernholz和Ioannis Karatzas。模型不确定性下的最优套利。安。阿普尔。Probab。，21(6):2191–2225, 2011.[FKK05]罗伯特·费恩霍尔茨、伊奥尼斯·卡拉萨斯和康斯坦丁诺斯·卡达拉斯。股票市场的多样性和相对套利。金融斯托赫。，9(1):1–27, 2005.[FMJ07]Robert Fernholz和Cary Maguire Jr.统计套利的统计。《金融分析师杂志》，63（5）：46-522007。汉斯·福尔默。超级马丁格尔的退出度量。Probab。理论关系。菲尔兹，21（2）：154-166，1972年。[Fon13]克劳迪奥·丰塔纳。连续金融市场的弱和强无套利条件。

arXiv预印本arXiv:1302.71922013。[FR13]克劳迪奥·丰塔纳和沃尔夫冈·J·伦格尔迪耶。没有鞅测度的金融市场基于差异的模型。风险度量和态度，第45-81页。斯普林格，2013年。[GR11]保罗·瓜索尼和米克尔·奥斯·拉索尼。套利的脆弱性和不同模型中的泡沫。可查阅SSRN 2317344（2013年），2011年。[IKS13]一叶智之、伊奥尼斯·卡拉扎斯和米哈伊洛·什科尔尼科夫。具有基于秩的系数的随机方程的强解。Probab。理论关系。Fields，156:229–248，2013年。[IP11]彼得·伊姆凯勒和尼古拉斯·珀科夫斯基。支配局部鞅测度的存在性。arXiv预印本arXiv:1111.38852011。[IPB+11]Tomoyuki Ichiba、Vassilios Papathanakos、Adrian Banner、Ioannis Karatzas和Robert Fernholz。混合阿特拉斯模型。安。阿普尔。Probab。，21(2):609–644,2011.[IPS13]Tomoyuki Ichiba、Soumik Pal和Mykhaylo Shkolnikov。应用于投资组合理论的基于秩的模型的收敛速度。Probab。理论关系。Fields，156:415–4482013。[Jam92]法什德·贾姆希迪亚。渐近最优投资组合。数学《金融》，2（2）：131-1501992年。[JR13]本杰明·乔丹和朱利安·雷格纳。平均场阿特拉斯模型中的资本分配和投资组合绩效。arXiv预印本arXiv:1312.56602013。[Kar08]康斯坦丁诺斯·卡达拉斯。金融市场的平衡、增长和多样性。安。《金融》，2008年4:369-397。[Kar12a]康斯坦丁诺斯·卡达拉斯。通过缺乏同类套利的市场生存能力。金融斯托赫。，16:651–667, 2012.[Kar12b]康斯坦丁诺斯·卡达拉斯。交换期权的估值和平价公式。arXiv预印本arXiv:1206.322012。[KK07]Ioannis Karatzas和Constantinos Kardaras。半鞅金融模型中的num’eraire投资组合。金融斯托赫。，11:447–493, 2007.[KLSX91]Ioannis Karatzas、John P.Lehoczky、Steven E.Shreve和Gan Lin Xu。

不完全市场中效用最大化的鞅和对偶方法。暹罗J.控制优化。，29(3):702–730, 1991.[KS14]Ioannis Karatzas和Andrey Sarantsev。具有分裂和合并的竞争布朗粒子的不同市场模型。预印本。可在atarXiv获得：1404.07482014。迈克尔·莫诺伊奥斯。最优套期保值和参数不确定性。伊玛·J·马纳。数学18(4):331–351, 2007.[MU10]Aleksandar Mijatovic和Mikhail Urusov。差异模型中无套利的确定性标准。金融斯托赫。，2010年，可供选择athttp://www.ma.ic.ac.uk/~amijatov/。[OR06]J¨org R.Osterrieder和Thorsten Rheinl¨ander。通过非等效度量变化，在不同市场中获得套利机会。安。财经，2:287-3012006。[Pal11]Soumik Pal.波动稳定市场模型下的市场权重分析。安。阿普尔。Probab。，21(3):1180–1213, 2011.[PH06]埃克哈德·普莱坦和大卫·希思。量化金融的基准方法。斯普林格，2006年。[Pic14]Radka Pickov\'a.广义波动稳定过程。安。《金融》，第10（1）：101–125页，2014年。[PP07]苏米克·帕尔和菲利普·普罗特。严格的局部鞅，泡泡，没有早期锻炼。预印本，2007年11月。[PR12]埃克哈德·普雷滕和雷娜塔·伦德克。通过简单的多元化来近似投资组合的数量。资产管理杂志，13（1）：34-502012。[PR13]尼古拉斯·珀科夫斯基和约翰·鲁夫。超鞅作为氡Nikodym密度和相关测度的扩展。arXiv预印本arXiv:1309.46232013。[Pro13]菲利普·普罗特。带跳跃的严格局部鞅。arXiv预印本XIV:1307.24362013。[PS10]苏米克·帕尔和迈凯洛·什科尔尼科夫。布朗粒子通过其秩相互作用系统的测度集中。arXiv预印本XIV:1011.24432010。[PW13]Soumik Pal和Ting Kam Leonard Wong。能量、熵和套利。预印本。

可从arXiv获得：1308.53762013。[PW14]Soumik Pal和Ting Kam Leonard Wong。相对套利的几何结构。预印本。可从arXiv获得：1402.37202014。[Rog01]L.C.G.罗杰斯。放松投资者和参数的不确定性。财政司司长。，5(2):131–154, 2001.[RR13]约翰·鲁夫和沃尔夫冈·隆格尔迪耶。建立带有套利的市场模型的系统方法。arXiv预印本arXiv:1309.1988，2013。约翰·鲁夫。套利下的最优交易策略。哥伦比亚大学博士论文，2011年。[Ruf13]约翰·鲁夫。套利下的对冲。数学《金融》，23（2）：297-317，2013年。安德烈·萨兰采夫。关于一类多样化的市场模式。安。《金融》，第10（2）：291-3142014页。[SF11]温斯洛·斯特朗和让·皮埃尔·福克。监管解体模型中的多样性和套利。安。《金融》，2011年7:349-374。[Shk12]米哈伊洛·什科尔尼科夫。巨大的差异系统通过它们的网络相互作用。随机过程。应用程序。，122(4):1730–1747, 2012.[Shk13]米哈伊洛·什科尔尼科夫。大幅波动稳定了市场。随机过程。应用程序。，123:212–228, 2013.[Str13]温斯洛·斯特朗。函数生成投资组合的推广及其在统计套利中的应用。arXiv预印本arXiv:1212.18771013。