随机投资组合理论

2022-5-8 02:27:50

牛津大学皇后学院提交的论文从PRS转为DPhil状态2014年10月31日内容1介绍22设置42.1定义。42.2一些有用性质的推导。92.3功能生成的投资组合。113无套利条件133.1套利的概念和定义。143.2相对套利的存在。154多种模型174.1长期相对套利。174.2短期内的相对套利。205个高度波动的模型215.1长期内的相对套利。215.2短期内的相对套利。225.3波动稳定模型。235.4广义波动率稳定模型。266基于排名的模型和投资组合266.1 Atlas模型。276.2基于排名的功能性投资组合。286.2.1尺寸效应。296.2.2泄漏。307投资组合优化317.1个投资组合和预期效用最大化。317.2最优相对套利。328 SPT框架中的对冲348.1对冲欧洲索赔。

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2022-5-8 02:27:54

. . . . . . . . . . . . . . . . 348.2对冲美国索赔。359非等价测度变化369.1严格局部鞅Radon-Nikodym导数。379.2通过套利构建市场。3810到目前为止自己的研究4010.1数据研究。4010.2负p的多样性加权投资组合。4110.2.1数据观察。4110.2.2理论动机。4210.2.3表现优于“正常”DWP。4310.2.4“正常”DWP性能不佳。4410.2.5非失效假设的弱化。4510.2.6试图消除非故障假设。4610.2.7基于排名的多样性加权投资组合。4810.2.8讨论。5011未来研究5211.1最优相对套利和信息合并。5311.2信息论方法。5311.3实际市场中的实施和绩效。5411.4大型市场。5611.5其他。

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nandehutu2022

2022-5-8 02:27:57

56承认57参考文献571简介随机投资组合理论（SPT）是一个框架，在该框架中，不进行“经典”金融数学的规范性假设，而是采用描述性方法来研究根据经验观察得出的市场特性。更具体地说，我们不假设等价局部鞅测度（ELMM）的存在，也不假设等价地（由Delbaenad Schachermayer[DS94]证明的资产定价第一定理）存在无免费午餐和消失风险（NFLVR）假设。相反，在SPT中，我们将自己置于一般It^o模型中，并仅假设有界风险（NUPBR）条件下的弱无无界利润，这在[FK05]中首次定义。然后，我们的目标是找到一种投资策略，这种投资策略的表现优于市场，尤其是那些避免对股票预期回报率做出假设的投资策略，而股票预期回报率是出了名的难以估计（例如，见[Rog01]）。由Robert Fernholz发起的SPTwas（见[Fer99b]、[Fer99a]、[Fer01]和书[Fer02]），2009年，Fernholz和Karatzas在[FK09]中对该地区进行了一次重大审查。在这篇综述中，作者描述了迄今为止在发现所谓的相对套利问题上取得的进展，并列出了几个悬而未决的问题，其中一些问题自那时以来已得到解决，一些问题至今仍未解决。SPT框架下的目标是找到与整个市场相比具有良好路径和相对绩效的投资策略，即几乎肯定超过市场指数（通常在给定时间内）的策略；这些投资组合“击败市场”。Fernholz将此类投资组合定义为相对套利，并建设性地证明了在某些类型的市场中存在此类投资机会。

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2022-5-8 02:28:00

这些模型类别是一般It^o模型，对波动性结构和允许投资者投资的股票的市场权重行为进行了额外假设，即公司资本与总市值的比率。SPT引入并研究了与市场行为不同假设（由经验观察得出）相对应的几个此类类别；这些是：1。不同的模型——在这里，市场权重是由一个比一小的数字从上面限定的，这意味着没有一家公司可以将整个市场资本化；卡达拉斯的动机见[Kar08]第0.1节。2.“内在波动性”模型——在这里，与整个市场的波动性相关的特定过程（取决于市场权重和股票的波动性）需要远离零；3.基于排名的模型——在这里，每只股票的漂移和波动过程取决于该股票的市值排名。在真实市场中可以清楚地观察到多样性，反垄断法规通常已经到位，这就保证了多样性的有效性。Fernholz、Karatzas和Kardaras[FKK05]首先在特殊目的交易的背景下详细研究了这一假设，他们定义并研究了不同形式的多样性，并证明了在股票波动性的额外非退化条件下，此类市场中存在相对套利——既有足够长的时间范围，也有任意短的时间范围。在[Fer02]中，“有效内在波动性”的属性也被认为适用于真实市场。

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2022-5-8 02:28:04

在没有任何额外假设的情况下，[FK05]表明，在具有该属性的模型中，在足够长的时间范围内存在相对套利，超过市场所需的时间范围大小取决于平均市场波动下限的大小。在此类模型中是否存在任意短时间范围内的相对套利仍然是一个主要的开放问题，尽管已经证明存在于一些剧烈波动的市场的特殊情况中，即波动稳定市场（VSM；见[BF08]），已对其进行了详细研究，即广义VSM（见[Pic14]），和马尔可夫本质波动模型（见命题2和[FK10，第1194-1195页]的推论）。如[Fer02]所示，引入了基于等级的模型来模拟观察结果，即在过去几十年中，按资本等级划分的资本分布非常稳定。这些模型中的股票动力学已经得到了广泛的研究，但（渐近）相对套利的存在性问题尚未得到解决。[BFK05]中介绍并研究了一个非常简单的基于等级的模型，即Atlas模型，并在[IPB+11]中提出了一个扩展。研究了该模型的大市场限制和平均值。在[Fer01]中，Fernholz首先介绍了一个研究投资组合绩效的框架，该框架根据股票的兰金斯（rankinstead）和名字对股票进行加权，从而从理论上解释了在实际市场中观察到的某些现象。SPT的主要优势在于它不需要任何漂移估计，这使得它比投资组合优化的“经典”方法（如均值方差优化或效用最大化）更加稳健。

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2022-5-8 02:28:08

在构建相对论的过程中，至关重要的是所谓的功能生成投资组合，这是一种以简单的方式依赖于当前市场权重的投资组合，因此非常容易实施（忽略交易成本，这是一个至关重要的警告）。尽管上述投资组合选择标准不是一个优化标准，但[FK10]和[FK11]试图找到“最佳”相对套利（其中该结果被推广到具有“骑士式”不确定性的市场）。虽然在一般的SPT模型中不可能，但在波动稳定的市场中，对数最优或对数平均投资组合可以明确描述。Pal和Wong[PW13]已经迈出了优化功能生成投资组合的第一步。例如，参见[Pal11]，其中研究了VSM中的市场权重动态。除此之外，在过去的十五年里，还研究了许多其他与SPT相关的主题。在NUPBR持有但NFLVR被允许失败的市场中，在索赔对冲方面已经取得了一些进展，[Ruf11]和[Ruf13]表明，在马尔可夫市场中对冲欧洲索赔的最有效方式是三角洲对冲，在[BKX12]中，作者解决了美式看涨期权的估值和最佳行使问题，解决了[FK09]中提出的一个开放问题。

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2022-5-8 02:28:12

此外，有几篇文章提出并研究了度量的某些非等价变化，目的是构建一个具有特定属性的市场：Osterrieder和Rheinl–ander[OR06]以这种方式创建了一个多样性模型，并证明了在非退化条件下该模型中存在真正的套利；在[CT13]中，Chau和Tankov进行了类似的操作，但相反，改变了措施，将投资者对某个事件不会发生的信念整合在一起，从而导致套利机会，作者将其描述为在终端财富上拥有最大下限的套利机会；在[RR13]中，Ruf和Runggaldier描述了一种系统化的方法来构建满足NUPBR但NFLVR失败的市场模型。我们按照上面提到的顺序讨论这些话题。在第2节中，我们从几个必要的定义开始我们的批判性文献回顾，然后是讨论不同套利类型之间关系的章节——见第3节。第4节讨论了关于多样性的文献，第5节讨论了本质上不稳定的模型，第6节回顾了基于等级的模型和耦合效应研究领域的现状。其余部分讨论其他主题：第7节讨论SPT中投资组合优化的发展，第8节讨论NUPBR市场中欧洲和美国期权的套期保值，第9节讨论在前面提到的文章中研究过的绝对持续的度量变化。下面是一节，描述了我们迄今为止的研究成果，见第10节，我们在第11.2节设置中列出了可能的研究方向。1定义我们按照[FK09]进行，将自己置于一个无摩擦的一般连续时间It^o模型中（即。

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2022-5-8 02:28:15

不存在交易成本、交易限制或任何其他缺陷）；假设股票i=1的价格过程Xi（·），n在物理量P下由dxi（t）=Xi（t）bi（t）dt+dXν=1σiν（t）dWν（t）, i=1，n（1）Xi（0）=Xi>0。这里，W（·）=（W（·），Wd（·））是一个d维P-布朗运动，我们假设≥ n、此外，我们假设我们的过滤F包含由W（·）生成的过滤FW，以及漂移率过程bi（·）和矩阵值波动率过程σ（·）=（σiν（·））i=1，。。。，n、 ν=1，。。。，d是F-逐步可测的，并满足可积条件nxi=1ZT | bi（t）|+dXν=1（σiν（t））！dt<∞ T∈ (0, ∞).这些无摩擦假设限制了该理论的可实施性，是未来研究的重要领域——见第11.3节。我们定义协方差过程a（t）=σ（t）σ（t），撇号表示转置。请注意，（·）是一个正的半有限矩阵值过程。最后，我们假设存在无风险资产X（t）≡ 1.T≥ 0; 也就是说，在不丧失一般性的情况下，我们假设零利率，通过债券价格贴现股票价格。现在，让我们考虑原木价格过程；根据It^o公式，我们得到了log Xi（t）=bi（t）-所有（t）dt+dXν=1σiνdWν（t）=γi（t）dt+dXν=1σiνdWν（t），（2）其中我们定义了增长率γi（t）：=bi（t）-好的。这个名字正是因为Limt→∞T日志Xi（T）-ZTγi（t）dt= 每年0人。；例如，参见[Fer99a]的推论2.2。我们通过定义我们的框架中允许的投资规则来进行。2.1.1定义。将投资组合定义为一个F-逐步可测向量过程π（·），一致有界于（t，ω），其中πi（t）表示在时间t投资于集合i的财富比例，且满足Pni=1πi（t）=1T≥ 0.如果πi（t），我们说π（·）是一个长的单端口组合≥ 0i=1，N

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2022-5-8 02:28:18

为了将来的参考，我们还定义了集合n+：={x∈ Rn:xi>0i=1，n} 。（3）我们用Vw，π（·）表示投资者根据组合π（·）进行投资的财富过程，初始财富w>0。请注意，投资组合是通过定义进行自我融资的。我们还定义了更一般的投资规则类别，我们称之为交易策略。2.1.2定义。交易策略是一个F-逐步可测量的过程h（·），它取R中的值，并满足可积性条件nxi=1ZT|hi（t）bi（t）|+hi（t）aii（t）dt<∞ P-a.s.对于任何t，hi（t）是投资于股票i的金额。同样，我们让Vw，h（·）表示投资者遵循交易策略h（·）并从初始财富w开始的财富过程≥ 我们写Vh（·）：=V1，h（·）。我们要求h（·）对于somex是x-容许的≥ 0，写为h（·）∈ Ax，意思是V0，h（t）≥ -十、T∈ [0，T]a.s.我们将写出a:=a.注意，每个投资组合通过设置hi（T）=πi（T）Vw，π（T）生成一个交易策略T∈[0，T]。我们假设容许条件排除加倍策略。相反，我们可以定义交易策略h（·）∈ ax通过将其指定为每次在股票中投资的比例，πi（t）=hi（t）/Vw，h（t），前提是w>x，与投资组合类似，但通常情况下，nowPni=1πi（t）6=1；也就是说，存在现金π（t）的非零持有。与投资组合π（·）和初始财富w相关的财富过程∈ R+可以被视为随着dvw，π（t）Vw，π（t）=nXi=1πi（t）dXi（t）Xi（t）=bπ（t）dt+dXν=1σπν（t）dWν（t），（4）随着投资组合的收益率bπ（t）：=Pni=1πi（t）bi（t）及其波动系数σπν（t）：=Pni=1πi（t）σiν（t）（非常轻微滥用）。

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2022-5-8 02:28:22

因此，通过它的公式，我们得到了d log Vw，π（t）=bπ（t）-dXν=1（σπν（t））！dt+dXν=1σπν（t）dWν（t）=γπ（t）dt+dXν=1σπν（t）dWν（t），（5）式中γπ（t）：=bπ（t）-Pdν=1（σπν（t））是投资组合π的增长率。注意漂移过程与这个表达式（在（7）中）的差异；因为我们可以写出γπ（t）=nXi=1πi（t）bi（t）-nXi，j=1πi（t）aij（t）πj（t）=nXi=1πi（t）γi（t）+γ*π（t），其中超额增长率定义为γ*π（t）：=nXi=1πi（t）aii（t）-nXi，j=1πi（t）aij（t）πj（t）, （6）它直接由方程（2）和（5）得出，即log Vπ（t）=γ*π（t）dt+nXi=1πi（t）d log Xi（t），（7），这也推动了γ的命名*π(·).我们通过ui（t）：=Xi（t）X（t），X（t）：=nXi=1Xi（t）定义一个特定的投资组合，即市场投资组合u（·）。（8）我们假设每家公司只有一股股票（或者，相当于，Xi（·）是公司i的资本化过程），因此ui（t）是公司i在时间t的相对市场权重。与市场组合相关的财富过程是Vw，u（t）Vw，u（t）=nXi=1ui（t）dXi（t）Xi（t）=nXi 1Xi（t）X（t）dXi（t）=dX（t）X（t），（9）和henceVw，u（t）=wX（0）X（t）。（10）因此，市场投资组合产生的财富等于总市场规模的常数倍：u（·）是一种买入并持有策略。在SPT中，一种方法衡量投资组合相对于市场投资组合的绩效（即，将市场投资组合作为“基准”——这类似于Platen和Heath[PH06]开发的基准融资方法）。因此，市场组合非常重要。方程（5）给出了该d log Vw，u（t）=γu（t）dt+dXν=1σuuν（t）dWν（t），（11）与方程（2）和（10）一起，给出了该d logui（t）=（γi（t）- γu（t））dt+dXν=1（σiν（t）- ∑uν（t））dWν（t）。

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2022-5-8 02:28:26

（12）等效地，相对市场权重演变为asdui（t）ui（t）=γi（t）- γu（t）+dXν=1σiν（t）- ∑μν（t）dt+dXν=1σiν（t）- ∑μν（t）dWν（t）=γi（t）- γu（t）+τuii（t）dt+dXν=1σiν（t）- ∑μν（t）dWν（t）。（13）这里，我们将股票相对于投资组合π（·）的矩阵值协方差过程定义为τπij（t）：=dXν=1（σiν（t）- σπν（t））（σjν（t）- σπν（t））=（π（t）- ei）a（t）（π（t）- ej）=aij（t）- aπi（t）- aπj（t）+aππ（t），（14）其中ei是Rn中的第i个单位向量，aπi（t）：=nXj=1πj（t）aij（t），aππ（t）：=nXi，j=1πi（t）πj（t）aij（t）。（15）注意，我们有以下关系：nXj=1πj（t）τπij（t）=nXj=1πj（t）aij（t）- aπi（t）-nXj=1πj（t）aπj（t）+aπππ（t）=0，i=1，n（16）因为前两个和最后两个任期相互抵消。最后，还要注意τuij（t）=dhui，uji（t）ui（t）uj（t）dt，1≤ i、 j≤ n、（17）我们现在给出相对套利的定义：2.1.3定义。（相对套利）让h（·）和k（·）成为交易策略。然后，如果关联财富的过程满足vh（T），则h（·）被称为相对于k（·）的[0，T]的相对套利（RA）≥ Vk（T）a.s.，P（Vh（T）>Vk（T））>0。通常，我们只会考虑和构建相对套利，使用的投资组合根本不投资于无风险资产。然而，也可以使用一种在无风险资产中占有重要地位的交易策略创建RA，正如我们在下面的示例中所示，该示例使用Ruf[Ruf13]的结果在允许NA破产的马尔可夫市场对冲欧洲索赔（见第8.1节）。2.1.4示例。将辅助过程R（·）定义为带漂移的贝塞尔过程-c、即dR（t）=R（t）- Ct的dt+dW（t）∈ [0，T]，c≥ 0常数和W（·）a BM。我们知道贝塞尔过程R（·）是非常正的。定义股票价格过程比亚迪（t）=R（t）dt+dW（t），S（0）=R（0）>0t∈ [0，T]，所以S（T）=R（T）+ct>0T∈ [0，T]。

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nandehutu2022

2022-5-8 02:28:29

风险的市场价格为θ（t，s）=1/（s）-对于（t，s）∈ [0，T]×R+带s>ct。因此，根据[Ruf13]的5.2，当S（t）达到ct时，局部鞅的倒数1/Zθ（·）（见定义3.1.2）正好达到零。对于一般支付函数p和（t，s）∈ [0，T]×R+带s>ct，[Ruf13]的定理5.1暗示，在T=T时支付p（s（T））的索赔具有价值函数hp（T，s）：=Et，s[~Zθ，T，s（T）p（s（T））]（18）=EQ[p（s（T））1{mint≤U≤T{S（u）-cu}>0}F（t）]S（t）=S=Z∞计算机断层扫描-s√T-te-z/2√2πp（z）√T- t+s）dz（19）- e2c（s）-ct）Z∞计算机断层扫描-2ct+s√T-te-z/2√2πp（z）√T- T- s+2ct）dz。现在定义另一个股价过程比亚迪（t）=-~S（t）dW（t），因此P已经是~S（·）的鞅度量。我们有<<S（·）=1/S（·），其中c=0，还有<<θ（·）≡ 0，所以Z∧θ（·）≡ 1.应用它的^o\'公式，注意d logs（t）=-~S（t）dW（t）-~S（t）dt=d对数Zθ（t）；因此，S（t）=S（0）Zθ（t）和∧Zθ，t，S（t）=S（t）~S（t）因此，使用[Ruf13]和（18）中的定理4.1，c=0，我们可以计算该股票的一个单位的套期保值价格为：ν（t，S）：=Et，S[~Zθ，t，S（t）~S（t）]=Et，S[~S（t）]=Et，S[~Zθ，t，1/S（t）~S（t）]=sEt，S[~Zθ，t，1/S（t）=S∞-1/s√T-te-z/2√2πdz-Z∞1/s√T-te-z/2√2πdz！=2sΦs√T- T- 换句话说，这只股票有一个“泡沫”。根据[Ruf13]的定理4.1，相应的最优策略（以投资者持有的股票数量表示）是对冲价格相对于s的导数，即η（t，s）=2Φs√T- T- 1.-s√T- tφs√T- T< 1（t，s）∈ [0，T）×R+。现在η（·，·）是关于η（T，s）：=1（即仅持有股票）的相对套利。也就是说，定义η：=ν（0，s）；因为η（T）=ην（T）<s（T）=V′ν，η（T）是关于η（·，·）的相对套利。

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2022-5-8 02:28:34

然而，这不是一种“真正的”套利，因为对于η（·，·）：=η（·，·）- η（·，·）我们有V′ν，η（0）=0和V′ν，η（T）=（1）- \'ν）~S（T）>0，但由于η（·，·）<1表示T∈ [0，T），我们得到T的^η（·，·）<0∈ [0，T）并且财富过程在下面是无界的，即^η是不允许的。与策略η（·，·）相对应的无风险资产φ（·）的持有量可以使用自融资方程dV=φdB+ηd)S=ηd)S和V=φB+η)S计算得出φ（T）=V（T）- η（t，~S（t））~S（t）=Ztη（u，~S（u））dS（u）- η（t，~S（t））~S（t），考虑到时间t之前的历史，可以计算出。请注意，φ（·）不是马尔可夫的，通常是非零的。2.2一些有用性质的推导我们现在给出[FK09]中两个引理的证明，这在以后构造相对套利时是必不可少的。让我们首先定义股票i相对于投资组合π（·）asRπi（t）：=log的相对收益过程Xi（t）Vw，π（t）w=Xi（0）。（20）我们将使用这个过程来证明股票相对于投资组合的方差总是正的，这在引理2.2.2.2.2.1中很有用。我们有τπii（t）=ddthRπii（t）≥ 0.证明。利用方程（2）和（5），我们得到drπi（t）=（γi（t）- γπ（t）dt+dXν=1（σiν（t）- σπν（t））dWν（t）。从这个方程和定义方程（14）中，我们可以看到τπij（t）=ddtDRπi，RπjE（t），因此τπii（t）=ddthRπii（t）≥ 0.我们用它来证明如下，也就是说，我们可以简单地用相对于任何投资组合的协方差矩阵替换（6）中的协方差矩阵：2.2.2引理。我们有num’eraire不变性性质γ*π（t）=nXi=1πi（t）τρii（t）-nXi，j=1πi（t）πj（t）τρij（t）（21）对于任意两个投资组合π（·）和ρ（·）。特别是，我们有γ*π（t）=nXi=1πi（t）τπii（t），（22），这对于任何只做多的投资组合π（·）都是非负的。证据

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2022-5-8 02:28:38

通过定义方程（14）中的τρij（t），我们得到nXi=1πi（t）τρii（t）=nXi=1πi（t）aii（t）- 2nXi=1πi（t）aρi（t）+aρρ（t）（23）和nXi，j=1πi（t）πj（t）τρij（t）=nXi=1πi（t）πj（t）aij（t）- 2nXi=1πi（t）aρi（t）+aρ（t）。（24）把等式（23）和（24）放在一起，我们可以看到nXi=1πi（t）τρii（t）-nXi，j=1πi（t）πj（t）τρij（t）=nXi=1πi（t）aii（t）-nXi，j=1πi（t）πj（t）aij（t）= γ*π（t）的定义（6），证明了第一种说法。现在，选择ρ（·）=π（·），再线性化（16），我们可以把超额增长率写成γ*π（t）=nXi=1πi（t）τπii（t）；（25）即股票相对于π（·）的方差加权平均值。最后，利用等式（25）、定义2.1.1和引理2.2.1，我们得出结论，对于所有长型单体组合，我们都有γ*π（t）≥ 0.注意，对于π（·）=u（·），我们从方程（25）中得出，市场组合的超额增长率为γ*u（t）=nXi=1ui（t）τuii（t），（26）即股票相对于市场的方差加权平均值。这被解释为衡量市场的“内在波动性”。由于这在后面会很有用，让我们介绍一些符号：2.2.3定义。我们将使用由θ（1）（t）：=max1定义的逆序统计符号≤我≤n{θi（t）}θ（i）（t）：=max{θ（t），…，θn（t）}\\{θ（1）（t），…，θ（i）-1）（t）}, i=2，n（27）对于任意Rn值过程θ（·）。因此我们有θ（1）（t）≥ θ（2）（t）≥ . . . ≥ θ（n）（t）。（28）2.3功能生成的投资组合与经典方法相比，SPT构建绩效良好的投资组合的最大优势在于，一般来说，它不需要估计股票的漂移或波动性。SPT的机制，即几乎所有相对套利的构造方式，涉及Fernholz（参见[Fer99b]中的定义3.1）所称的功能生成投资组合（FGP）：2.3.1定义。让你 n+是给定的开放集。

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2022-5-8 02:28:41

打电话给G∈ C（U，（0，∞)) 组合π（·）的生成函数→ xiDilog G（x）在U上有界，如果存在一个可测量的、适应的过程G（·），比如d logVπ（t）Vu（t）= d对数G（u（t））+G（t）dt，T≥ 0，a.s.（29）我们可以将上述方程解释如下：衡量投资组合π（·）相对于市场表现的过程（29）的LHS）可以分解为有限变化的随机部分，写为市场权重过程的确定函数，加上有限变化部分g（t）dt。事实上，[Fer99b]的定理3.1表明定义2.3.1等同于以下内容：2.3.2命题。让定义2.3.1中的函数G生成投资组合π（·）。那么我们有下面的表达式，对于i=1，n：πi（t）=Dilog G（u（t））+1-nXj=1uj（t）Djlog G（u（t））· ui（t）。（30）注意，这确实定义了一个投资组合，尤其是Pni=1π（t）=1。我们给出了命题2.3.2的相反方向，如[FK09]所示。我们用Di表示第i个坐标的导数。2.3.3引理。对于满足（30）的投资组合π（·），我们得到π（·）由G生成，即logVπ（T）Vu（T）= 日志G（u（T））G（u（0））+ZTg（t）dt a.s.（31），其中g（t）：=-12G（u（t））nXi，j=1DijG（u（t））ui（t）uj（t）τuij（t）（32）称为漂移过程。证据第一步首先，让我们证明（31）的LHS项的一个有用表达式，即方程式（35）。一般来说，我们从方程（7）中得到Vπ（T）Vρ（T）= γ*π（t）dt+nXi=1πi（t）d对数Xi（t）Vρ（t）. （33）设置ρ（·）=u（·）并回忆方程（10），这就变成了对数Vπ（T）Vu（T）= γ*π（t）dt+nXi=1πi（t）d logui（t）。（34）现在，分别回忆对数ui（·）和ui（·）的动力学表达式（12）和（13），并将num’eraire不变性属性（21）应用于getd logVπ（T）Vu（T）=nXi=1πi（t）ui（t）dui（t）-nXi，j=1πi（t）πj（t）τuij（t）dt。

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2022-5-8 02:28:45

（35）第二步为了将Vπ（T）/Vu（T）与G（u（0））和G（u（T））联系起来，我们需要推导一个有用的对数G（u（·））动力学表达式。注意关系dijlog G（u（t））=DijG（u（t））G（u（t））- DiG（u（t））·DjG（u（t））并引入符号gi（t）：=Dilog G（u（t）），N（t）：=1-Pnj=1uj（t）gj（t）；然后，使用关系式（17），我们得到了，即d log G（u（t））=nXi=1gi（t）dui（t）+nXi，j=1Dijlog G（u（t））dhui，uji（t）（36）=nXi=1gi（t）dui（t）+nXi j=1DijG（u（t））G（u（t））- gi（t）gj（t）！ui（t）uj（t）τuij（t）dt。第三步最后，请注意，使用我们的临时符号，定义方程（30）变成πi（t）=（gi（t）+N（t））ui（t）；我们计算xi=1πi（t）ui（t）dui（t）=nXi=1gi（t）dui（t）+N（t）dnXi=1ui（t）=nXi=1gi（t）dui（t）（37）和nXi，j=1πi（t）πj（t）τij（t）=nXi，j=1（gi（t）+N（t））（gj（t）+N（t））ui（t）uj（t）τij（t）=nXi j=1gi（t）gj（t）uj（t）τij（t），（38），其中我们在最后一步中使用关系式（16）。因此，方程式（35）变成了对数Vπ（T）Vu（T）=nXi=1gi（t）dui（t）-nXi，j=1gi（t）gj（t）ui（t）uj（t）τuij（t）dt，并将结果与方程式（36）和定义（32）进行比较。2.3.4备注。这一结果的重要性怎么强调都不过分，因为它允许我们将观察到的市场属性（以及随着时间的推移某些过程行为的条件）与投资组合相对于市场投资组合的相对表现联系起来。通过选择合适的生成函数G，可以从下面确定（31）的RHS上的第一项。此外，波动过程只出现在漂移过程g（·）中，而漂移过程在（31）中根本不出现。

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2022-5-8 02:28:48

这将是我们构建相对套利机会的方法。[Str13]中提出了FGP的一般化，作者在其中演示了生成函数如何依赖于其他参数，这些参数是有限变化的过程（例如时间，或来自twitter提要的实时信息），如何针对不同于市场组合的组合进行基准测试，以及这些变化将如何修改主方程（31）。这些广义的FGP尚未在文献中找到应用，可能会为研究包含内幕信息或观察的FGP提供一个框架。[FK09，备注11.5]中提出的一个公开问题是，是否存在非功能性生成的相对位。Pal和Wong以两种不同的方式回答了这个问题，这取决于对这个问题的解释：o在他们的论文[PW13]中，作者采用信息论方法进行投资组合绩效分析（在第11.2节中讨论），并表明，在某些假设下，确实存在所谓的能量熵投资组合，其在足够长的时间范围内优于市场，但变化有限，取决于股票价格的整个历史，因此不是功能性产生的文献[PW14]证明，如果仅限于仅依赖于当前市值的投资组合类别，功能生成投资组合的轻微泛化是唯一可能导致相对套利的类别。3无套利条件有几种套利的概念，以及这些概念不存在的相应假设，它们与特殊目的交易相关。

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2022-5-8 02:28:52

各种无套利条件与局部鞅定义的存在之间的关系已在几篇论文中得到证明——Fontana[Fon13]总结并谴责了其中许多关系。3.1套利的概念和定义我们首先使用[KK07]的定义4.1定义定义了相关的套利类型，其中首次提出了有界风险的无界利润（UPBR）的概念。3.1.1定义。考虑一个时间范围[0，T]，其中T≤ ∞. 我们定义了以下套利概念：o策略h（·）∈ 斧头≥ 如果Vx，h（T），则为x套利≥ x、 P-a.s.，P（Vx，h（T）>x）>0，如果x=0，则为强套利或可扩展套利市场不满足iflimc有限风险无限利润（NUPBR）→∞嘘∈AP（V0，h（T）>c）=0.oA序列（hn（·））n∈N∈ 如果存在ε>0和增量序列（δn）n，则称A为具有消失风险（FLVR）的免费午餐∈Nwith 0≤ δn↑ 1，使得V0，hn（T）>δnP-a.s.和P（V0，hn（T）>1+ε）≥ ε.o 如果存在P（τ<T）>0的停止时间τ和交易策略h（·），市场允许立即套利（IA）∈ A由（τ，T）支撑，即h（T）=h（T）（τ，T），使得V0，h（T）>0 P-A.s。T∈ （τ，T）。我们记得，等价局部鞅测度（ELMM）是一个概率测度，等价于物理测度P，其性质是贴现价格过程是Q下的局部鞅。根据资产定价基本定理（FTAP），参见[DS94]中的推论1.2，NFLVR条件等价于ELMM的存在。此外，如[KK07]的命题4.2所示，如果且仅当无套利（NA）和NUPBR条件都成立时，NFLVR条件成立。[Kar12a]表明，上调利率相当于可能更为常见的第一类套利。

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2022-5-8 02:28:55

此外，[CT13]的引理3.1证明了NUPBR意味着NIA，从[DS95b]的引理3.1我们得出结论，NUPBR市场中唯一可能的套利机会是不可扩展的。Fontana和Runggaldier[FR13]的命题2.4表明，当且仅当存在市场风险价格（MPR）时，NIA成立，即某些Rd值的渐进可测量过程θ（·），如b（t）- r（t）1=σ（t）θ（t）P Leb-a.e.（39）由于允许NFLVR条件在SPT中失败，并且仅假设较弱的NUPBR条件，因此不能保证存在ELMM。以下目标将对我们更感兴趣和更有用：3.1.2定义。如果非负过程Z（·）满足Z（0）=1且Z（T）>0p-A.s，则称为局部鞅定义（LMD），且Z（·）V0，h（·）是所有h的P-局部鞅∈ A.在[Kar12a]中，证明了NUPBR条件等价于至少存在一个LMD。对于施加NUPBR条件的一般It^o模型（1），我们通过[CT13]的引理3.1知道NIA成立，这反过来意味着MPR存在。如果weRecall，根据定义2.1.2，A是初始财富为零的可接受交易策略集，即具有非负对应财富过程的交易策略集。进一步假设存在一个平方可积MPR，即满足（39）的θ（·）以及zt | |θ（t）| | dt<∞ a、美国。T>0，那么众所周知，指数局部鞅θ（T）：=exp-Ztθ（s）dW（s）-Zt | |θ（s）| | ds, 0≤ T≤ T、（40）是一个局部鞅函数。回想一下标准理论，E[Zθ（T）]=1（所以Zθ（·是鞅）当且仅当存在一个ELMM；LMD就是ELMM的RadonNikodym密度。

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2022-5-8 02:28:58

在本文的剩余部分中，我们做了以下假设，这意味着NUPBR由上述假设得出：存在一个平方可积的MPRθ（·）。3.2相对套利的存在有了上述定义和关系，我们问自己以下问题：在哪个It^o模型中存在关于市场的相对套利？这个问题在很大程度上仍然悬而未决，因为还没有找到市场模型中存在相对套利机会的一般（确定性）条件。[MU10]在一维情形（即n=1；一只股票的情形）中取得了一些进展，作者证明了市场相对套利的存在与漂移和波动过程b（·）和σ（·）的明确条件等价。然而，对于更高维度的市场，有一个更普遍的结果是非常有趣和有用的；最重要的是，要有易于检查的条件，并且不需要了解提取和波动过程。Johannes Ruf在[Ruf11]的定理8中证明了一般NUPBR市场中相对套利的以下更一般特征：3.2.1引理。让T>0，考虑一个交易策略h（·）∈ 对于最初的财富，p>0。那么，在时间范围[0，T]内存在一个关于h（·）的相对套利机会，当且仅当且仅当所有风险的市场价格为ifE[Zν（T）V!p，h（T）]<p。如果我们取hi（t）=0，i=1，n、 h（t）=p，T∈ [0，T]，所以所有的钱都投资在无风险资产上，那么这个引理给出了存在不可伸缩套利（或1套利）机会的充要条件是所有LMD都是严格局部鞅。对于与市场相关的套利，我们得到如下结果：对于风险为ν（·的所有市场价格，当且仅当ifE[Zν（T）X（T）]<X（0）存在，即。

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2022-5-8 02:29:02

当且仅当Z（·）X（·）是严格局部鞅。以下是[FK09]中命题6.1的重新表述，在波动性结构的另一个假设成立的情况下，它加强了引理3.2.1的一个方向：正如约翰·鲁夫（Johannes Ruf）向作者指出的那样，几乎任何市场都存在相对套利，因为每个人都可以遵循几乎肯定会赔钱的“自杀策略”，从而构建一个与这种策略相关的套利工具。3.2.2提议。假设以下有界波动条件成立：K>0，使得ξa（t）ξ≤ K | |ξ| |，ξ ∈ Rn，t≥ 每年0人。。（BV）那么相对于市场的相对套利的存在意味着所有的局部鞅定义都是严格的局部鞅。下面的例子说明了如果我们允许波动率是无界的，这个命题是如何失败的。3.2.3示例。让我们考虑以下一维股价过程，来自Cox和Hobson[CH05]：dS（t）=S（t）√T- tdW（t），t∈ （0，T），S（0）=S>0，（41），其中W（·）是所考虑测度下的布朗运动。那么，对于所有S<T，S（·）是[0，S]上的真鞅，但S（T）=0 a.S。这是所谓的“泡沫”的一个例子，我们可以通过以下方式进行相对套利：o定义投资组合π（T）：=0T∈ [0，T]，即。

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2022-5-8 02:29:06

跟随π（·）的投资者将其所有财富投资于货币市场设ρ（t）：=1T∈ [0，T]；这是一种买入并持有策略，投资者在时间0时将其所有初始财富简单地投入股票S（·），这与这个简单的一维市场中的市场投资组合类似。现在很容易看出π（·）是一个关于ρ（·）的套利，即Vπ（T）=1>0=Vρ（T）a.s。因此，这是一个允许ELMM的市场模型的例子（即（41）持有的度量），但关于市场的相对套利仍然存在——也就是说，命题3.2.2不适用于这种情况。因此，在有界方差假设（BV）成立的市场中，市场相对套利的存在性相当于所有LMD都是严格的局部鞅。如果我们进一步假设过滤是由驱动的d维布朗运动W（·）产生的，即F=FW，那么上述和[FK09]的命题6.2表明相对套利的存在相当于ELMM的不存在。反过来，这相当于存在一个风险为零的免费午餐（FLVR），因为我们假设了NUPBR，这相当于存在一个套利。这导致了以下推论：3.2.4推论。假设（BV）和F=FW。那么，就市场而言，存在一个相对套利，当且仅当存在一个（不可伸缩的）套利时。请注意，根据[Kar12a]，NUPBR假设至少存在一个LMD。4多样性模型第一类市场模型是多样性模型，它表明存在相对套利，无论是在足够长的时间范围内，还是在任意短的时间范围内。

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2022-5-8 02:29:10

多样性对应于这样一种观察，即不允许任何一家公司在相对资本方面主导整个市场，例如由于反垄断法规。以下定义（即[Fer02]中的定义2.2.1）从数学上正式说明了这一观察结果：4.0.5定义。我们将[0，T]上的市场模型称为多样化，如果δ ∈ （0，1）使得u（1）（t）<1- δ T∈ [0，T]P-a.s.（42）如果δ ∈ （0,1）使TZtu（1）（t）dt<1- δP-a.s.（43）一个自然的问题是，是否存在一个完全符合我们框架的It^o模型（1），或者多样性的定义4.0.5是否空洞。例如，[FK09]中的备注5.1断言，在一个增长率不变且（BV）和（ND）保持不变的市场中，多样性失效。[FKK05]表明，确实存在多种多样的市场模式；也就是说，让δ∈ （1/2,1），d=n，设σ（·）≡ σ是满足（ND）的常数矩阵。让g，gn≥ 0; 那么，对于t∈ [0，T]，setd log Xi（T）=γi（T）dt+dXν=1σiνdWν（T）i=1，n、（44）其中，对于某些常数M>0，γi（t）：=gi{Xi（t）6=X（1）（t）}-Mδ{Xi（t）=X（1）（t）}log(1 - δ） X（t）/Xi（t）. （45）[FKK05]的作者表明，SDEs系统具有唯一的强解，且多样性性质（42）满足该模型。他们接着构建了一个多样性较弱但不多样的模型。[OR06]的作者描述了一种更通用的方法，即使用测量技术的变化来构建多样化的市场模型。我们在第9节中深入讨论了这种方法。[SF11]、[Sar14]和[KS14]中提出了研究不同市场的其他方法，但这些方法不符合我们的框架（即不属于形式（1），原因是公司被允许合并或拆分）。4.1长期的相对套利尽管之前已经研究过市场的多样性，参见。

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2022-5-8 02:29:13

[FGH98]和[Fer99a]，Fernholz是第一个在[Fer02]的推论2.3.5中证明（在足够长的时间范围内）在满足波动性结构额外非退化条件的不同市场中存在相对套利的人，使用他定义为熵加权投资组合（见（68））。这种非简并条件类似于（BV）条件：ε>0，使得ξa（t）ξ≥ ε||ξ||, ξ ∈ Rn，t≥ 0 P-a.s.（ND）我们引用[Fer02]中命题2.2.2的以下结果：召回定义2.2.3；u（1）（·）是收集ui（·），i=1，n、 4.1.1提议。如果一个模型是多样的，并且（ND）成立，那么ζ>0，使γ*u（t）≥ ζ T∈ [0，T]P-a.s.（46）相反，如果（BV）和（46）都成立，那么多样性随之而来。等式（46）定义了有效的内在波动性，这是第5节的主题。在这里，我们展示了在这样一个模型中，使用熵加权投资组合，在足够长的时间范围内构建相对套利——参见计算（72）。或者，参见[Fer02]的定理2.3.4和Corrolary 2.3.5，以证明这些投资组合在不同市场中的表现优于市场投资组合。在[FKK05]中，作者指出，在弱多样性市场中，存在另一种与市场投资组合有关的相对套利，即多样性加权投资组合——见（50）。然而，为此，他们还需要假设（ND）假设，这与多样性假设不同，不是来自观察，因此降低了结果的可靠性。现在，我们将展示在[FKK05]附录中如何构建相对套利，即。

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2022-5-8 02:29:16

在一个（ND）意义下非退化且T在[0，T]上弱多样的市场中≥ 2使用“多样性加权投资组合”记录n/pεδ。这种结构严重依赖于以下引理（也在[FKK05]的附录中得到了证明）：4.1.2引理。如果条件（ND）成立，那么对于任何仅长期投资组合π（·），我们有ε（1）- π（1）（t））≤ γ*定义符号2.2.3中的π（t）a.s.（47）。证据通过定义τπij（t）和条件（ND），我们得到了不等式τπii（t）=（π（t）- ei）a（t）（π（t）- ei）≥ ε| |π（t）- ei | |=ε(1 - πi（t））+Xj6=iπj（t）. （48）将其代入方程（25），我们得出结论γ*π（t）≥εnXi=1πi（t）(1 - πi（t））+Xj6=iπj（t）=εnXi=1πi（t）（1）- πi（t））+nXj=1πj（t）（1- πj（t）=εnXi=1πi（t）（1）- πi（t））≥ε(1 - π（1）（t））。（49）这证明了结果。4.1.3定义。用参数p定义多样性加权投资组合u（p）（·）∈ （0,1）乘以u（p）i（t）：=（ui（t））pPnj=1（uj（t））pi=1，n、（50）[FKK05]为较弱的多样性类型（如渐近多样性）提出了其他几个定义，但文献中尚未对这些定义进行研究。根据第2.3节的含义，可以检查这个投资组合是由函数GP:x 7生成的→nXi=1xpi1/p.（51）我们计算，对于u∈ r和i，j=1，n、 DijGp（u）=（1- p）（Gp（u））1-2pup-2iupi- （Gp（u））p（i=j）（1）- p）（Gp（u））1-2p（uiuj）p-1（i 6=j）（52）和边界1=nXi=1ui（t）≤nXi=1upi（t）≤nXi=1Np=n1-p、（53）使用引理2.3.3，等式（52）意味着漂移过程等于（我们省略过程的时间依赖性u（·）和τu（·）以简化符号）g（t）=-1.- p2Gp（u）-nXi=1（Gp（u））1-pupiτuii+nXi，j=1（Gp（u））1-2pupiupjτuij=1.- PnXi=1u（p）iτuii-nXi，j=1u（p）iu（p）jτuij= (1 - p） γ*u（p）（t）（54），因此Vup（T）Vu（T）= 日志Gp（u（T））Gp（u（0））+ (1 - p） ZTγ*u（p）（t）dt a.s。

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2022-5-8 02:29:20

（55）现在使用边界（53），我们得到下边界Gp（u（T））Gp（u（0））≥ -1.- pplog n，（56），这意味着Vup（T）/Vu（T）≥ N-(1-p） /p，p-a.s.，从γ开始*u（p）（·）是引理2.2.2给出的仅长期投资组合u（p）（·）的非负过程。我们使用（ND）和引理4.1.2，并观察到u（p）（1）（t）≤ u（1）（t）至getZTγ*u（p）（t）dt≥εZT（1）- u（p）（1）（t））dt≥εZT（1）- u（1）（t））dt>εδt（57）。根据方程（57）、界（56）和方程（55），我们得出结论：Vup（T）Vu（T）> (1 - p）εδT-对数npa、因此，如果我们没有≥ 2 log n/pεδ（即，如果T足够大），我们从方程（58）得到p（Vu（p）（T）>Vu（T））=1。因此，在弱多样性和非退化的条件下，多样性加权投资组合是在足够长的时间范围内相对于市场的相对套利。请注意，这是一个投资组合，因此只投资于股票，因为Cepiu（p）i（·）=1.4.2短期内的相对套利在[Fer02]中首次提出了在任意短期内构建相对套利的问题，并在[FKK05]中解决了非退化弱多样性市场的情况。该构造背后的主要思想是在投资组合e的“镜像”中做空头寸，就其而言，市场投资组合可以被证明是相对套利，并在市场中做多头寸。4.2.1定义。任何问题∈ R、将π相对于市场组合的q镜像定义为∧π[q]（t）：=qπ（t）+（1）- q） u（t）。（59）与定义方程（14）类似，让我们将投资组合π（·）相对于市场的相对协方差定义为τπμ（t）：=（π（t）- u（t））a（t）（π（t）- u（t））。（60）以下引理是必要的：4.2.2引理，我们在没有证据的情况下引用（见[FKK05]中的引理8.1）。如果存在T>0、η>0和β∈ （0，1）使得ztτππ（t）dt≥ ηa.s。

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2022-5-8 02:29:24

和Vπ（T）/Vu（T）≤ 对于q>1+（2/η）对数（1/β），则为1/βa.s.，（61）然后为Vπ[q]（T）<Vu（T）a.s.（62）。[FKK05]然后继续显示（见方程式（8.7））logVπ[q]（T）Vu（T）= q日志Vπ（T）Vu（T）+问题（1）- q） ZTτππ（t）dt。（63）我们创建了一个“种子”投资组合π[q]（·），它是e的q镜像，e是第一个单位向量Rn。弱多样性和非退化性的假设允许我们使用引理4.2.2，其中β=u（0）和η=εδT意味着市场组合u（·）是相对于种子的相对关联性，前提是q>q（T）：=1+（2/εδT）log（1/u（0））。最后，如[FKK05]中的示例8.3所示，通过做多$q/（u（0））和做空种子投资组合中的$1，可以对任意[0，T]进行相对套利。这与定义为ξi（t）：=Vξ（t）的唯一长期投资组合相对应qui（t）（u（0））qVu（t）- ~π[q]i（t）V~π[q]（t）, i=1，n、现在ξ（·）在t=t时优于初始资本为z:=zξ（0）=q/（u（0））q的市场投资组合-1>0美元，因为ξ（·）在市场中多头u（·）而在所述投资组合中短，其在t=t时表现不佳；Vz，ξ（T）=q（u（0））qVu（T）-Vπ[q]（T）>zVu（T）=Vz，u（T）P-a.s.（64）通过选择足够大的q，这可以保持任何[0，T]。然而，请注意，随着时间范围变短，所需的最低初始财富趋于一致：z（T）：=zξ（0）=q（T）/（u（0））q（T）- 1.→ ∞ 作为T↓ 0.5高波动性模型在所谓的高波动性市场中，在高波动性的长期范围内也存在相对套利（无需对波动性结构进行任何额外假设），如前一节（46）所述。这是在[FK05]命题3中首次完成的。1.5.0.3定义。市场满足[0，T]的有效内在波动性，或者称为有效波动性，如果ζ>0，使γ*u（t）≥ ζ T∈ [0，T]P-a.s。

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2022-5-8 02:29:29

（65）此外，如果存在一个连续的、严格递增的函数Γ：[0，∞) → [0, ∞) Γ（0）=0和Γ(∞) = ∞, 以至于∞ >Ztγ*u（s）ds≥ Γ（t）T∈ [0，T]P-a.s.（66）回忆方程（26）和γ的解释*u（·）作为市场“内在波动性”的衡量标准——这激发了关于（65）的“有效内在波动性”的命名。在[FK05]的图1中，作者认为，通过绘制函数r·γ，房地产（66）在房地产市场中占有一席之地*u（s）ds在很长一段时间内，并在视觉上显示它位于正梯度的直线上。然而，这一特性可能取决于人们开始研究这一函数的时刻，需要使用现实世界的数据进行进一步分析，以便更有力地证明真实股票市场的有效内在波动性。如第5.3节所述，存在形式为（1）且具有充分挥发性的模型。5.1长时间范围内的相对套利[FK05]提案3.1首先表明，熵权投资组合，如下文所述，是在足够长的时间范围内相对于市场的相对套利。在本文中，作者不需要假设（BV）或（ND），而只需要假设（66）。我们在下面展示他们对这些RA机会的构建。5.1.1定义。用参数c>0定义熵加权投资组合πc（·），以确定香农熵函数hc（x）：=c+H（x）：=c生成的投资组合-nXi=1xilog xi。（67）这里，H是标准的香农熵函数。我们可以检查πci（t）=ui（t）（c- 对数ui（t））Pnj=1uj（t）（c- 对数uj（t）），i=1，n、（68）再一次，我们计算一般μ∈ RnDijHc（u）=-uiδiji，j=1。

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