随机投资组合理论中的泛投资组合

2022-5-9 06:55:32

通用PORTFOLIOSIN随机投资组合理论——KAM LEONARD WONGAbstract。考虑一系列投资组合策略，目标是实现最佳投资组合的渐进增长率。Cover的universalportf olio背后的想法是建立一个财富加权平均值，它可以被视为一个投资组合的买入和持有组合。当最优投资组合存在时，财富加权平均值通过财富集中度收敛于最优投资组合。在离散时间和路径设置下，我们证明在适当的条件下，随着时间趋于一致，家庭财富分配满足路径大偏差原则。我们的主要结果将C over的Portfolio推广到sto-chasticportf-olio理论中的非参数函数生成投资组合族，并建立了它的渐近普适性。1.引言投资组合选择的问题是在每个时间点决定资本在可用资产上的分配，以使未来财富最大化。对于没有卖空的投资组合，t时刻的分布由投资组合向量π（t）=（π（t），πn（t））表示没有n-负且和为1（此处≥ 2是ass e ts的数量）。自马科维茨发表开创性论文[23]以来，有关投资组合选择理论和实践的文献呈爆炸式增长。马科维茨提出的主流方法包括两个主要步骤。首先，我们建立并估计未来资产收益率联合分布的统计模型（通常以一阶矩和二阶矩为单位）。然后，基于投资者的偏好和风险厌恶（用效用函数描述），我们计算最优投资组合权重。

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2022-5-9 06:55:35

我们请读者参考[6]中的数学细节和实际考虑。上述方法取决于投资者（不可观察）的偏好，以及对回报和风险的预测。从一家投资公司的角度来看，这家公司为许多进出的投资者管理一项战略，传统的基于消费的公用事业可能并不合适。归根结底，业绩是投资组合经理最关心的。此外，众所周知，最优投资组合对模型（mis）规格和估计误差高度敏感（例如参见[24]、[7]和[12]）。我们能在不假设偏好和资产价格特定模型的情况下构建好的投资组合吗？近年来出现了两种尝试实现这一目标的无模型方法。日期：2016年12月13日。关键词和短语。普适投资组合，随机投资组合理论，函数生成组合，大偏差，非参数统计。2婷锦·伦纳德·王。1.随机组合理论。随机投资组合理论首先由Fernholz[13]提出，并由Fernholz和Karatzas[14]等扩展，是一种描述股票市场和投资组合选择的理论。该理论没有对偏好和市场均衡进行建模，而是利用可观测市场量的特性来构建和分析投资组合。一个主要结果是，在合适的条件下，投资组合策略（称为相对套利）的表现优于市场投资组合。为了更准确地解释这一点，让我们介绍一些符号。在股票为n s股票的股票市场中，假设Xi（t）>0是股票i在时间t的市值。股票i的市场权重是比率（1.1）ui（t）=Xi（t）X（t）+··+Xn（t）。市场权重是市场投资组合的投资组合权重。

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2022-5-9 06:55:38

它是（未充分理想化的假设）代表市场整体表现的买入并持有投资组合。假设我们按降序排列市场权重：（1.2）u（1）（t）≥ · · · ≥ u（n）（t）。这里的u（k）（t）是逆序统计量，向量u（1）（t），u（n）（t）市场权重的排序称为市场的资本分配。据观察（见[13，第4章]），尽管价格和经济波动，资本分布在长期内表现出显著的稳定性。特别是，股票市场仍然是多样化的：最大市场权重max1≤我≤nui（t）已从1中删除。此外，市场似乎具有有效的波动性：如果绘制u（t）的累计已实现波动率，其斜率的界限如下。如果我们假设市场是多样化的，波动性很大，交易没有摩擦，投资者也不会影响价格，那么就有一些投资组合可以保证在相当长的时间内跑赢市场投资组合。关于精确的陈述及其与套利的经典概念的关系，请参见[14，第2章]。有关短期相对套利的结果，请参见[25,15]及其参考文献。这些相对套利是使用随机生成的投资组合构造的，这些投资组合是由凹函数梯度给出的当前市场权重的显式确定性函数。在[27]和[28]中，我们在功能生成的投资组合、凸分析、最优传输和信息几何之间建立了一种优雅的联系。直观地说，这些投资组合通过捕捉市场波动来工作，我们在[27]中展示了功能生成的投资组合耗尽了波动捕获投资组合图的类别。1.2. 通用投资组合理论。

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2022-5-9 06:55:41

通用组合理论是数学金融和机器学习中非常活跃的领域。与其进行广泛的回顾（我们建议读者参考最近的调查[22]），不如让我们解释一下封面经典论文[8]的主要思想，这篇论文是主题的起点。n个股票的投资组合称为常数加权，或者如果投资组合的权重为π（t），则称为常数再平衡≡ π随时间保持不变。根据经验观察，重新平衡的投资组合的表现明显优于成分股的买入和持有组合（有关理论证明，请参见[26]）。设Zπ（t）是时间t（初始值Zπ（0）=1）的常权投资组合π的财富，其中π在随机投资组合理论3单位单纯形中的封闭的内部投资组合范围内n=（p=（p，…，pn）∈ [0,1]n:nXi=1pi=1）。在研究离散时间市场模型时，Cover提出了以下问题：在不了解未来股价的情况下，是否有可能以这样一种方式进行投资，从而产生接近Z的财富*（t） =最大π∈nZπ（t），事后来看，最佳恒量加权投资组合的表现如何？虽然这似乎是一个不切实际的雄心勃勃的目标，但Cover构建了一个投资组合权重bπ（t）的非累加序列，使得由此产生的财富bz（t）满足普适性性质（1.3）tlogbZ（t）Z*（t）≥Ct（n-1)/2→ 0，其中C>0是一个常数，用于任意股票收益序列。明确地说，Cover的通用投资组合由（1.4）bπ（t）=R给出nπZπ（t）dπRnZπ（t）dπ。也就是说，bπ（t）是所有恒常加权投资组合的平均值，这些投资组合由它们的表现加权。事实上，可以证明（1.5）bZ（t）=RnZπ（t）dπRndπ。该表述（1.5）允许我们将Cover的投资组合视为所有固定加权por Tfolio的买入和持有组合，其中每个por Tfolio最初获得相同的微小财富。

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2022-5-9 06:55:44

Cover的结果（1.3）表明，Vπ（t）的最大值和平均值大于π∈n具有相同的渐近增长率，并且可以被视为拉普拉斯积分方法的结果，以及对于常数加权投资组合，映射π7→ Vπ（t）本质上是阿加西密度的倍数。虽然已经有许多备选投资组合选择算法被提出用于常数加权和其他类型的投资组合，但形成财富加权平均数的想法是这些推广的基础。1.3. 主要结果摘要。人们自然会问，功能生成的投资组合和封面的通用投资组合是否以某种方式联系在一起（见[14，备注11.7]）。最近，[4]表明Cover的投资组合（1.4）在功能上是在广义se中生成的。事后看来，这一结果并不令人惊讶，因为Cecover的投资组合是一个持续加权投资组合的买入和持有投资组合，买入和持有以及持续加权的por tfolios都是从功能上生成的[13，示例3.1.6]。相反，更有趣的是，将Cover的投资组合视为amarket投资组合，其中每个组成资产都是家庭投资组合的价值过程。然后，资本分配（1.2）推广到投资组合上的财富分配，这是一个衡量价值的过程。虽然股票市场的资本分配通常是稳定和多样的，但对于一个典型的投资组合家族的财富分配来说，情况并非如此。恰恰相反，财富往往以指数形式集中在最优投资组合周围，在适当的条件下，这可以通过路径大偏差原理（LDP）进行量化。

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2022-5-9 06:55:47

此外，weshow tha t Cover的投资组合（1.3）可以转化为包含常数加权投资组合的非参数函数生成投资组合族。在本文中，我们研究了各种投资组合的长期绩效。为了陈述主要结果，让我们非正式地介绍一些概念。这些以及假设将在第2节中详细说明。我们考虑一个理想化的具有n≥ 2个离散时间内的非股息支付股票（t=0,1,2，…）。市场的演变由序列{u（t）}模拟∞t=0市场权重与开放单位单纯形中的值n、出于技术原因，我们遵循[8]并假设有一个常数M>0，这样M≤ui（t+1）ui（t）≤ M代表所有土地（投资者不知道M）。考虑一个{πθ}θ族∈其中，Θ是拓扑索引集，每个πθ是nton、如果投资者选择投资组合ma pπθ，则此时的投资组合权重向量由πθ（u（t））给出，它仅取决于u（t）。为了方便起见，遵循随机投资组合理论的传统，我们测量了所有投资组合相对于市场投资组合的价值。因此，我们通过（1.6）Vθ（0）=1，Vθ（t+1）=Vθ（t）nXi=1πθ，i（u（t））ui（t+1）ui（t）来定义自我融资投资组合πθ的相对值Vθ（t）。（见定义2.2）。想象一下，在时间0时，我们根据Borel概率测度νonΘ向家庭分配财富；我们称之为初始分布。家庭的财富分配{πθ}θ∈Θat time t是由（1.7）νt（B）=RΘVθ（t）dν（θ）ZBVθ（t）dν（θ），B定义的Borel概率度量 Θ.我们生活在家庭财富分配{πθ}θ的情况下∈Θ以指数形式集中于某个最优投资组合。量化这一点的自然方法是证明大偏差原理（LDP）。

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2022-5-9 06:55:50

大偏差理论的标准参考文献是[11]。定义1.1。让我：Θ→ [0, ∞] 这是一个下半连续函数，叫做速率函数。我们说序列{νt}∞如果以下陈述成立，t=0满足率I的大偏差原则。（i）（上界）对于每个闭集F 920，林→∞tlogνt（F）≤ - infθ∈FI（θ）。（ii）（下界）对于每个开集G Θlim inft→∞tlogνt（G）≥ - infθ∈GI（θ）。LDP存在的一个充分条件是渐近增长率（1.8）W（θ）=limt→∞tlog Vθ（t）对所有θ都存在∈ Θ和映射θ7→ Vθ（t）是“充分正则的”。作为准备，在第3节中，我们研究了family{πθ}θ∈Θ，作为来自nton、在一致度量中是完全有界的。随机投资组合理论中的普遍投资组合5定理1.2。设{πθ}θ∈Θ从nton、假设渐近增长率W（θ）=limt→∞tlog Vθ（t）表示所有θ∈ Θ和初始发行版本ν完全支持Θ。然后，财富分布的序列νtof满足率函数i（θ）=W的Θ上的LDP*- W（θ），其中W*= supθ∈ΘW（θ）。在第4节中，我们考虑了随机投资组合理论中的函数生成投资组合族。在[27]和[33]之后，我们说投资组合图π：N→如果存在凹函数Φ，则生成nis函数：N→ (0, ∞)使得（1.9）nXi=1πi（p）qipi≥Φ（q）Φ（p）对于所有p，q∈ n、函数Φ称为π的生成函数。几何上，（1.9）表示向量π（p）p，πn（p）pn定义p处（例如）凹函数的超梯度φ=对数Φ。相反，p上的任何正凹函数n生成一个功能生成的Portfolio。作为一个例子，常数加权的p或folio（π，…，πn），其中π∈由几何平均数Φ（p）=pπ···pπnn生成的nis。

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2022-5-9 06:55:53

我们用FG表示函数生成的投资组合族。我们赋予FG，作为m的函数空间nton具有一致收敛的拓扑结构。很明显，FG是有限维的，isthus是“非参数的”。然而，可以证明FG是凸的。给定市场路径{u（t）}∞t=0 n、设（1.10）Pt=tt-1Xs=0δ（u（s），u（s+1））是截至时间t的对（u（s），u（s+1））的经验度量。我们在第1.1节中提到，市场的资本分布在长期内是稳定的。参见本例中的数学建模[20 kbusion]和基于过程的稳定性。在我们的上下文中，对序列{Pt}施加一个渐近条件是很自然的∞根据[21]的精神，t=0。以下是本文的主要结果。定理1.3。假设ptp弱收敛于一个绝对连续的Borel概率测度Pn×n、（i）（Glivenko-Cantelli性质）所有π都存在由（1.8）定义的渐近增长率W（π）∈ 前景。此外，我们有限制→∞supπ∈前景tlog Vπ（t）- W（π）= 0.（ii）（LDP）设ν为FG上的任何初始分布。然后序列{νt}∞t=由（1.7）满足率LDP给出的财富分布的0，比率i（π）=（W*- W（π）ifπ∈ supp（ν），∞ 否则，W*= supπ∈supp（ν）W（π）。6 TING-KAM LEONARD WONG（iii）（普适性）FG上存在一个概率分布ν，因此supπ∈supp（ν）W（π）=W*:= supπ∈FGW（π）表示任何绝对连续p（见（4.13））。

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2022-5-9 06:55:56

对于这个初始分布，考虑Cover的投资组合（1.11）bπ（t）：=ZFGπ（u（t））dνt（π）。LetbV（t）是这个投资组合的相对价值，让V*（t） =supπ∈FGVπ（t）。然后（1.12）限制→∞tlogbV（t）=limt→∞tlog V*（t） =W*.特别是，我们有限制→∞tlogbV（t）/V*（t）= 例如，如果{u（t）}是一个遍历时间齐次马尔可夫链，我们可以将P作为{（u（t），u（t+1））}的平稳分布。在[33]中，我们研究了函数生成的非参数密度估计的组合优化问题。将对数Vπ（t）作为对数似然函数，将π和ν估计为先验分布，定理1.3（ii）表明后验分布νt是LDP。非参数统计中后验分布的收敛性很微妙（参见示例[2]），大偏差结果很少见。对于Dirichlet先验，LDP在[16]中得到了证明。定理1.3（iii）表明，后验平均值（1.11）在FG中的表现与最佳投资组合一样好。如果我们认为[33]中的结果是通过极大似然法对函数生成的投资组合的点估计，那么定理1.3给出了贝叶斯对应的结果。另一个自然的问题是将Cover的通用投资组合与num’eraireportfolio（也称为对数最优投资组合）联系起来。在随机投资组合理论的背景下，这个问题在[10]中研究了离散时间和连续时间。对于实际应用，我们想强调定理1.3，包括定量界以及计算bπ的算法。第5.2节收集了这一问题和其他进一步的问题。投资组合的财富分配2。1.股票和市场权重。我们考虑的是一个股票市场≥ 2离散时间内的非分割股票。市场动态将通过市场权重u（t）=（u（t），un（t））由（1.1）给出。

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2022-5-9 06:56:00

市场权重的向量u（t）取开放单位单纯形中的值尼恩。补充股票i在t时的市值为Xi（t），其在时间间隔[t，t+1]内的简单回报率为Ri（t）。然后，t+1时的市场权重由ui（t+1）=Xi（t）（1+Ri（t））X（t）（1+R（t））+··+Xn（t）（1+Rn（t））给出。我们将市场视为一条离散的路径n、这仅包括因重组而产生的资本化变化，并隐含排除了因公共服务等公司行为而产生的所有变化。我们假设{u（t）}∞t=0是中的任意序列N特别是，不涉及地下概率空间。假设状态是序列e{u（t）}的路径属性∞t=0。像sumption这样的例子如下。随机投资组合理论中的通用投资组合7假设2.1。存在一个常数M>0，使得市场权重序列{u（t）}∞t=0满意度（2.1）M≤ui（t+1）ui（t）≤ M全部1≤ 我≤ n和t≥ 0.让（2.2）S=（p，q）∈ n×男：男≤七皮≤ 我代表1≤ 我≤ N.然后（2.1）说明t（u（t），u（t+1））∈ It’这是一个很好的例子≥ 0.假设2.1说明股票的相对收益是有界的；这完全是出于技术原因，可以在以前的工作中找到，比如[8,19,9,18]。请注意，投资者不知道M的价值。而假设stock不会消亡（自u（t）∈ 尽管如此，不支付股息是不现实的，它们被用来减少技术细节，以便我们能够集中精力研究与投资组合长期属性有关的关键思想。使用更一般的模型，可以对股息进行再投资，并考虑不同数量的股票，但这会使分析复杂化。类似的假设在随机组合理论中很常见（见[13，C章1]和[14，第1章]）2.2。Portfol io和相对值。投资组合是一个元素的向量n、封闭单元。

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2022-5-9 06:56:02

所有被考虑的投资组合都完全投资于股市，禁止卖空。每次t时，投资者选择一个投资组合向量π（t），由此产生的自我融资投资组合的绩效将与市场投资组合相关。正式地说，我们定义了π（t）=1美元的投资组合增长π1美元的市场投资组合增长u。定义2.2（相对值）。设{π（t）}∞t=0be组合向量序列。给定市场权重序列{u（t）}∞t=0，π的相对值（相对于市场投资组合）是序列{Vπ（t）}∞由Vπ（0）=1和（2.3）Vπ（t+1）Vπ（t）=nXi=1πi（t）ui（t+1）ui（t）=：π（t）·u（t+1）u（t），t≥ 0.这里a·b是欧几里得内积，a/b是成分比率的向量，只要它们定义得很好。关于（2.3）的推导，请参见[26]。在（2.3）中，隐含地假设投资者是价格接受者，交易不会影响价格。我们将限制拓扑组合策略是当前市场权重的确定函数，即π（t）=π（u（t））。在这种情况下，投资组合策略完全由映射π指定：N→n、定义2.3（投资组合图）。投资组合图是一个映射π：N→n、市场组合是身份图π（p）=p，用u表示。如果π是恒等的，则称之为常数加权的portfoliois。8丁甘·伦纳德·王2。3.Cover的投资组合是一个投资组合市场。设Θ为一个索引集，并支持每个θ∈ Θ与组合图πθ相关联：N→n、 πθ的各个分量将用（πθ，1，…，πθ，n）表示。（有时我们会使用π，…，πkT来指代一系列投资组合，其含义应从上下文中明确。）我们对Vθ（t）的性质感兴趣：=Vπθ（t）作为t和θ的函数。

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2022-5-9 06:56:05

为此，我们将考虑一个假想市场，其基本资产是投资组合πθ。我们假设Θ是一个拓扑空间，并给出了Θ上的Borel概率测度。测量值ν将被称为初始分布。ν的supportsupp（ν）是Θ满足ν（F）=1的最小闭子集F。我们说如果supp（ν）=Θ，则ν将得到完全支持。直观地说，虚拟市场是通过在时间0将单位财富分布在投资组合{πθ}θ上而定义的∈Θ根据初始分布ν，让投资组合进化。在时间0时，投资组合πθ接收财富ν（dθ），财富在时间t时增长到Vθ（t）ν（dθ）。因此（2.4）bV（t）：=ZΘVθ（t）dν（θ）是时间t时假想市场的总相对值。为了很好地定义（2.4）和相关量（如（2.5）），我们假设映射（p，θ）7→ πθ（p）onn×Θ在（p，θ）中可联合测量。可测量性通常直接来源于所考虑的族的定义。根据推测2。1和（2.3）我们有Vπ（t+1）/Vπ（t）≤ M代表任何投资组合，所以V*（t） <∞ （2.4）中的积分是有限的。定义2.4（财富分配）。给定一个组合族{πθ}θ∈Θ和初始分布ν，财富分布是Borel概率测度{νt}的序列∞t=0onΘ由（2.5）νt（B）=bV（t）ZBVθ（t）dν（θ）定义，其中B在Θ的可测量子集范围内。注意，dνtdν（θ）=bV（t）Vθ（t）。对数量bv（t）的主要兴趣在于[8]中的覆盖首次利用了以下事实（其中{πθ}θ）∈Θ是ConstantWeight投资组合家族）。一个证明可以在[9，引理3.1]中找到。Lemma 2.5（封面组合）。对于每个t，定义投资组合权重向量（2.6）bπ（t）：=ZΘπθ（u（t））dνt（θ）。那么Vbπ（t）≡bV（t）代表所有t。

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能者818

2022-5-9 06:56:09

我们称之为bπCover的投资组合。对于每个时间t，让（2.7）V*（t） =supθ∈ΘVθ（t）是在时间间隔[0，t]内家族中最佳投资组合的表现。Cover投资组合（2.6）的最初目标是跟踪V*（t）在这个意义上，（2.8）tlogbV（t）V*（t）→ 随机投资组合理论中的普遍投资组合→ ∞. 如果（2.8）成立，投资组合bπ的渐近性能与家族中最好的投资组合一样好。在第3.3节中，我们给出了一个简单的例子来说明（2.8）并不总是成立的。（2.8）的渐近行为自然与财富分布的集中度有关，并激发了我们的研究。备注2.6。正如几位作者所指出的（参见示例[9]），将Cover的投资组合（2.6）构建为财富加权平均值具有很强的贝叶斯效应。想象一下在{πθ}θ族中找到最佳投资组合的问题∈Θ.在时间0时知之甚少，但从历史数据、经验和内幕知识来看，可以形成一个先验分布，描述投资者的信念。在时间t，在观察到截至时间t的投资组合s的回报后，投资者用满足的后验分布νtν（θ）更新信念∝Vθ（t）Vθ（0）=Vθ（t）。这符合Bayes法则，在Bayes法则中，相对收益起着相似性的作用。请注意，此过程与时间一致。也就是说，对于t>s，我们有νtdνs（θ）∝Vθ（t）Vθ（s）。Cover的投资组合（2.6）是πθ（u（t））的后验平均值。LDP for All bounded Families获得关于一般（可能是非参数）家庭的保险单和财富分配行为的直觉，并准备在第4节中对功能性一般投资组合进行更技术性的处理，在这一节中，我们研究了财富分布的大偏差性质，其中，投资组合族相对于一致度量是有界的。

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2022-5-9 06:56:13

我们将使用以下投资组合价值表示法，这是定义2.2的直接结果。引理3.1。设π：N→nbe有一张投资组合图。然后（3.1）tlog Vπ（t）=Zn×Nlπ（p，q）dPt（p，q）对所有t≥ 1，其中（3.2）lπ（p，q）：=logπ（p）·qp,由（1.10）定义的Pt是对（u（s），u（s+1））u pto时间t.3.1的经验测量。有限状态。为了更好地表达想法，我们需要一个更简单的情况，即序列{u（t）}∞t=0在一个有限的集合E中取值 n、有限集E可以通过有限网格近似单纯形来获得。让我来=π：E→N=NEbe是E上所有投资组合映射的集合（注意，该系列由符号π本身索引）我们为Θ配备了一致收敛的拓扑。自Eis定义以来，这与逐点收敛的拓扑结构相同。注意，Θ是紧的和凸的。10丁甘·伦纳德·旺格勒玛3.2。假设ptp弱收敛于E×E上的概率测度P，那么对于每个π∈ Θ，渐近增长率存在s，我们有w（π）=limt→∞tlog Vπ（t）=ZE×ElπdP，在哪里lπ由（3.2）给出。此外，还有一个投资组合π*∈ Θ（3.3）W（π）*) = W*:= 最大π∈ΘW（π）。如果我们写P（P，q）=P（P）P（q | P），其中Pis是第一个边际分布，Pis是条件分布，然后是（3.4）π*（p） =arg maxx∈恩泽洛格x·qpP（dq | P）表示所有P，其中P（P）>0。满足（3.3）的投资组合可以称为对数最优投资组合图。证据由于E×E是一个有限集，通过弱收敛，我们得到了w（π）=limt→∞ZE×ElπdPt=ZE×ElπdP。因此，所有π的渐近增长率都存在∈ Θ. 清晰W（·）是Θ上的连续函数。因为Θ是紧的，所以它有一个最大值π*. 最后一个状态来自于表示w（π）=ZE泽lπ（p，q）p（dq | p）P（dp）。下面的LDP是定理1.2的特例，将在下一小节中证明。定理3.3（有限状态LDP）。假设{u（t）}∞t=0在一个特定的集合中生成值 N

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2022-5-9 06:56:16

让我来=N假设初始分布v有充分的支持。（i） Cover的投资组合bπ由（2.6）定义，满足普遍性属性（3.5）：（3.5）限制→∞tlogbV（t）V*（t） =0。（ii）如果ptp弱收敛于E×E上的概率测度P，则族{νt}∞t=0用凸速率函数i（π）=W满足Θ上的大偏差原理*- W（π）。备注3.4。在定理3.3（i）中，不难证明（见[9，定理3.1]）V*（t） /bV（t）以td的常数倍数为界，其中d=|E |（n- 1）是Θ的“维度”，而| E |是随机投资组合理论113.2中E.通用投资组合的基数。自民党支持完全封闭的家庭。在这一小节中，我们证明了orem1。2.现在{u（t）}∞t=0是序列中的任意序列不满意的假设2.1。设Θ是L的子集∞NN, 来自nto具有上确界度量k·k的nequipp-Ed∞（根据欧几里得nor m |·| on定义）n）。我们赋予Θ诱导拓扑，即一致共收敛的to拓扑。假设2.1的结论是l对于任何π，由（3.2）定义的π（·，·）在对数和对数M之间的S上有界∈ Θ.如果对于任何一个>0，存在π，…，我们说Θ是完全有界的，πN∈ Θ具有以下性质：对于任何π∈ Θ，存在1个≤ J≤ N这样的kπ- πjk∞< ε. 最小的N称为覆盖数。因此，当且仅当覆盖数对于所有>0是有限的时，Θ是完全有界的。例如，如果Θ={π（·）≡ π : π ∈n} 是常数加权的po-rtfolios族，那么Θ~=nis c紧，因此是完全有界的。[10]中使用了类似的思想，其中研究了Lipschitz投资组合图的某些空间。首先，我们证明了一个引理，它将[9，定理3.1]推广到非参数族。在这种普遍性中，像（1.3）这样的定量界是不存在的。引理3.5。

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2022-5-9 06:56:20

假设市场满足假设2.1。设Θ是L的全边界子集∞(Nn）设ν为Θ上的任何初始分布。然后Cover的投资组合bπ满足普适性（3.5）。证据自bv（t）≤ 五、*（t）尽管如此，这需要知道lim是如何影响的→∞tlogbV（t）V*（t）≥0.Le t>0。然后存在′>0和π。πN∈ Θ因此集合{πj}1≤J≤Nare′-在Θ中稠密，当kπ- πjk∞< \'我们有|lπ- lπj |<在（2.2）定义的集合上。每t>0，就存在一个投资组合π[t]∈ Θ使得tlog Vπ[t]（t）>tlog V*（t）- ，根据上述结构，存在1个≤ j[t]≤ N使得π[t]∈ Bj[t]：=B（πj[t]，′），半径′以πj[t]为中心的开放球。因此（3.6）tlog Vπj[t]（t）-tlog V*（t）< 2.此外，对于所有π∈ 我们有tlog Vπ（t）-tlog Vπj[t]（t）< 12 TING-KAM LEONARD WongforAll t.将这些不等式求幂并结合，使用三角形线，我们得到了logbv（t）≥tlogZBj[t]Vπ（t）ν（dπ）=tlogZBj[t]expt·tlog Vπ（t）ν（dπ）≥tlogZBj[t]expt·tlog V*（t）- 3ν（dπ）≥tlog V*（t）- 3+tlogν（Bj[t]）。（3.7）注意j[t]只能取很多值。既然ν得到了全力支持，我们就有了Limt→∞tlogν（Bj[t]）=0。根据（3.7）可知：→∞tlogbV（t）V*（t）≥ -3.通过让完成证明→ 0定理1.2是引理3.5和下列“统一大数定律”的推论。这个证明是一个标准的括号论点，类似于引理3.5的证明，可以在[31，第3.1节]中找到。引理3.6。在定理1.2的假设下，我们得到了limt→∞supπ∈Θtlog Vπ（t）- W（π）= 0.定理1.2的证明。假设W（π）=limt→∞tlog Vπ（t）对所有π都存在∈ Θ.

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2022-5-9 06:56:22

利用引理3.5的证明论证，可以证明（3.8）limt→∞tlogbV（t）=limt→∞tlog V*（t） =W*.Sincetlogνt（B）=tlogbV（t）ZΘVπ（t）dν（π）=tlogZΘVπ（t）dν（π）-tlogbV（t）和感谢（3.8），为了证明LDP，它必须证明（3.9）lim supt→∞tlogZFVπ（t）dν（π）≤ supπ∈所有闭集F和（3.10）lim inft的FW（π）→∞tlogZGVπ（t）dν（π）≥ infπ∈GW（π）适用于所有开放集G。事实上，我们将证明（3.9）适用于所有可测集，无论它是否封闭。随机投资组合理论中的普遍投资组合13通过引理3.6，数量R（t）=supπ∈Θtlog Vπ（t）- W（π）收敛到0as t→ ∞. 为了证明上界，写日志zfvπ（t）dν（π）≤tlogZFexp（t（W（π）+R（t）））dν（π）≤ supπ∈FW（π）+R（t）+tν（F）。让t→ ∞ 为所有可测量集建立上边界。开集的lowerbound可以用一个类似的方式证明，使用的事实是ν有完全的支持。定理3.3的证明。由于E是有限的，所以Θ是从E到n、（它可以从E扩展到通过设置π（p）=p的π/∈ E、其中π是n、）第一句话来自引理3。5.此外，通过引理3.2，极限W（π）=limt→∞RE×ElπdPtexists和qualsre×El所有π的πdP∈ Θ. 因此，定理1.2适用。很容易看出i（π）在π中是凸的。3.3. 举个例子。定理1.2假设该族在supremum度量中是完全有界的，并且所有投资组合的渐近增长率都存在。现在我们举一个简单的例子来说明可能出现的问题。首先，如果族是toolarge，并且拓扑选择不当，则通用性可能会失败。其次，自民党可能微不足道，即使存在一个政治投资组合。考虑一个有两支股票的市场（因此n=2）。

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2022-5-9 06:56:26

假设市场权重取可计算集合中的值＝{p=（p，p）∈ : p、实践}。让我来=Ebe是E上的投资组合映射集，并为Θ配备点态收敛的拓扑。假设初始分布ν是上均匀分布的有限乘积. 也就是说，如果根据分布ν从Θ中随机选择π，那么对于任何p（1），p（k）∈ 投资组合向量π（p（j））在. 很容易验证ν是否完全支持Θ。设δ>0为有理数，考虑路径{u（t）}t≥0英寸由（3.11）u（0）递归定义=,, u（t+1）=u（t）1+Δu（t），（1+δ）u（t）1+Δu（t）.请注意，对于所有的t=3.12u（t+1）u（t）=（1+δ）u（t+1）u（t）≥ 0，可以直接验证{u（t）}t≥0满足消耗量2.1，M=1+δ。从（3.12）可以清楚地看出，任何最佳投资组合π到时间t都满足π（u（s））=（0,1）的所有0≤ s≤ T- 1.如下v*（t） =最大π∈ΘVπ（t）=u（t）u（0），t>0.14丁甘·伦纳德·旺普位置3.7。对于（3.11）给出的市场权重路径，Cover的投资组合bπ满意度bv（t）=u（t）u（0）1.-δ1 + δt、特别是，我们有限制→∞tlogbV（t）V*（t） =原木1.-δ1 + δ< 因此，对于满足假设2.1的所有市场权重路径，Cover的投资组合不满足普适性属性（3.5）。证据给定一个投资组合π∈ 我们有vπ（t）=t-1Ys=0π（u（s））u（s+1）u（s）+π（u（s））u（s+1）u（s）.通过（3.12），我们可以写出vπ（t）=t-1Ys=0u（s+1）u（s）1+Δπ（u（s））+π（u（s））=u（t）u（0）t-1Ys=01.- ( 1 - π（u（s））δ1+δ.封面对开度的值为bv（t）=u（t）u（0）ZΘt-1Ys=01.- (1 - π（u（s））δ1+δdν（π）。由于ν是均匀分布的有限乘积，独立性我们有bv（t）=u（t）u（0）1.-δ1 + δT提案3.8。对于（3.11）给出的市场权重路径，财富分布{νt}∞t=0满足Θ上的LDP和平凡速率函数I（π）≡ 0.证明。设G为Θ的任意开集。

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2022-5-9 06:56:28

然后G包含一个形式为（3.13）C={（π（p），…，π（p）的圆柱集l)) ∈ B} ，其中p，Pl∈ E和B是l. 因此，νt（G）≥1.-δ1+δtZCt-1Ys=01.- (1 - π（u（s））δ1+δdν（π）。利用C仅对有限多个坐标施加限制的事实，我们得到了限制→∞tlogZCt-1Ys=01.- (1 - π（u（s））δ1+δdν（π）=log1.-δ1 + δ.因此lim inft→∞tlogνt（G）≥ 0和极限→∞tlogνt（G）=0。由于上限很小，自民党得到了证明。随机投资组合理论中的普遍投资组合154。函数生成投资组合本节致力于证明函数生成投资组合的定理1.3。与第3节一样，我们对市场权重序列{u（t）}采用假设2.1∞t=0。首先，我们将陈述第1.3节中介绍的功能生成Portfoliosin d的一些性质。对于凸分析概念，标准参考文献为[29]。4.1。功能生成的投资组合。首先，我们给出定义不等式（1.9）的凸解析解释。让我们：N→ R是一个c onSave函数。超级差别p处Φ的Φ（p）∈ nis所有向量的凸集ξ∈ RnsatisfyingPni=1ξi=0（即ξ与n） Φ（p）+hξ，q- 圆周率≥ Φ（q）适用于所有q∈ n、元素Φ（p）是Φ在p处的附加超梯度。注意，如果Φ为正且凹，则对数Φ为凹函数。引理4.1。[27，命题6]（i）假设π由Φ生成。每p∈ n、的切向量v=（v，…，vn）ngiven byvi=πi（p）π-nnXj=1πj（p）pjis是对数Φ（p），p处对数Φ的超微分。（ii）相反，s上的Φ是上的正凹函数n、每小时∈ n、设v（p）为对数Φ（p）并用πi（p）=pi定义π（p）vi（p）+1-nXj=1pjvj（p）.π是从ntonand是Φ生成的投资组合。

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2022-5-9 06:56:31

（根据[30，Theore m 14.56]，存在一个可测量的选择：对数Φ）如果Φ在p处不可微，则超差对数Φ（p）是一个有限集，根据引理4.1，有多种方法可以选择Φ生成的投资组合。然而，众所周知，一个有限值凹函数几乎在世界各地都是不同的n、因此，由Φ生成的投资组合图几乎在所有地方都一致n、然而，请注意，空集取决于Φ。一般来说，功能生成的投资组合π：N→不是连续的n、让FG L∞NN是所有功能生成的投资组合的家族π：N→n、众所周知，FG是凸的。实际上，如果π由Φ生成，η由ψ生成，那么对于任何λ∈ （0,1）投资组合λπ+（1）- λ） η（π和η的等距组合由几何平均数Φλψ1生成-λ. Weendow FG的拓扑结构为一致凸。下面的引理表明，定理1.2未涵盖当前设置。引理4.2。FG不是完全有界的。事实上，FG是不可分的。证据我们举一个n=2的例子，类似的考虑可以应用于所有尺寸。对于每个θ∈ （0,1），设πθ：→ 是πθ（p）=（1，0）如果p≤ θ（0，1）如果p>θ.16，则TING-KAM LEONARD WONGIt很容易验证πθ是函数生成的，且生成函数是函数Φθ上的最小饼状函数满足Φθ（（0，1））=Φθ（（1，0））=0和Φθ（θ，1）- θ) = 1. 因为{πθ}θ∈（0,1）在FG中形成一个不可数离散集，FG是不可分的。尽管这本书描绘了π：N→作为主要对象，使用它们的生成函数在技术上更方便。定义4.3。设Cbe为Φon上所有正凹函数的集合n满足归一化Φ（e）=1，其中e=NN是物体的重心n、我们赋予cw局部一致收敛的topology。

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2022-5-9 06:56:36

我们定义了如下指标。对于m=1，2。，让Km=P∈ n:圆周率≥m、一,≤ 我≤ N. 然后{Km}∞m=1是一种紧密的疲劳n、对于Φ，ψ∈ 定义的Cwe（Φ，ψ）=∞Xm=1-mmaxp∈Km |Φ（p）- ψ（p）|1+maxp∈Km |Φ（p）- ψ（p）|。根据[27，命题6]，函数生成投资组合的生成函数在正乘法常数下是唯一的。通过规范化，我们可以假定生成函数集是一致的，而不丧失一般性。引理4.4。（C，d）是紧度量空间。证据参见[3，引理10]。虽然FG并不是完全封闭的，但引理4.1和引理4.4认为它与Cw几乎相同，Cw是一个紧度量空间。这使我们能够在适当的条件下证明，当t较大时，Vπ（t）作为π的函数表现良好。这里是C.引理4.5紧性的一个应用。每个t≥ 0，存在π*∈ Θ使得Vπ*（t） =supπ∈FGVπ（t）。证据该证明基本上是[33，定理4（i）]中的证明，并包含完整性证明。设{πk}∞k=1b是最大化序列，即supπ∈FGVπ（t）=limk→∞Vπk（t）=limk→∞T-1Ys=0πk（u（s））·u（s+1）u（s）.让{Φk}∞k=1 Cbe是相应的生成函数。根据Cwe的紧致性，它可以传递到一个子序列，因此Φk→ Φ ∈ 完完全全地n、我们可以进一步进行下一步，使极限→∞πk（u（s））存在所有0≤ s≤ T- 1.让π*是由Φ生成的投资组合，由引理4.1存在。我们声称如果我们重新定义π*关于{u（s）：0≤ s≤ T- 1} 通过seπ*（u（s））=limk→∞πk（u（s））为0≤ s≤ T- 1，然后π*仍然由Φ生成，因此是Θ的一个元素。通过（1.9）可以检查（4.1）π*（μs）·qμs≥Φ（q）Φ（u（s））适用于所有0≤ s≤ T- 1和q∈ n、既然πk是由Φk生成的，我们就有πk（u（s））·qu（s）≥Φk（q）Φk（u（s））。随机投资组合理论中的普适投资组合→ ∞, 我们得到（4.1），所以π*由Φ生成。

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能者818

2022-5-9 06:56:39

引理之后指出Vπ*（t） =limk→∞Vπk（t）。继续进行统计类比（见备注2.6），p Portfolioπ*可以被视为最大化共向增长率W（π）=limt的投资组合的最大似然估计→∞t（π）。引理4.6。让我们∈ 坎普∈ n、让K nbe一个紧集，其（相对）内部包含p。那么对于任何>0，存在δ>0，使得Φ∈ C、 maxp∈K |Φ（p）- Φ（p）|<δ和| q- p |<δ，我们有对数Φ（q）对数Φ（p）+B（0,1）。证据这是[29，定理24.5]的统一版本。我们将自相矛盾地前进。如果这个说法是错误的，那么存在>0，这样下面的说法成立。每k≥ 1.存在Φk∈ 坎德pk∈ nsuch thatmaxp∈K |ΦK（p）- Φ（p）|<k，|pk- p |<kand 对数Φk（pk）6 对数Φ（p）+B（0,1）。这与[29，定理24.5]相矛盾，因此引理被证明是正确的。利用引理4.6和命题4.1，我们得到了以下推论，这是[33，引理11]的定义版本。引理4.7。设π为Φ生成的投资组合。让p∈ nbeΦ可微分的点。对于任何>0和任何紧凑邻域Kof pinn、只要Φ和maxp生成π，就存在δ>0这样的t∈K |Φ（p）- Φ（p）|<δ，我们有maxp:|p-p |<δ|π（p）- π（p）|<。我们以一些技术性的评论来结束这一小节。备注4.8。人们很自然地会问，为什么不使用紧集作为索引集。这有三个原因。首先，投资组合映射π：N→ 投资组合分析的主要对象和生成函数仅为驱动实体。第二，即使π和π具有相同的生成函数Φ，在有限的视界上，Vπ（t）和Vπ（t）可能具有相当不同的行为。这是因为市场可能会在Φ不可区分且两个订单组合不同的订单处重复着陆。

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kedemingshi

2022-5-9 06:56:42

第三，即使对于ea来说∈ Cwe可以选择由Φ生成的投资组合πΦ，没有标准的方法来实现这一点，因此映射Φ7→ πΦ和Φ7→ VπΦ（t）是可测量的。4.2. 渐近g增长率。回想一下Le mma 3.1，Vπ（t）可以写在形式tLog Vπ（t）=RS中lπdPt，其中lπ（p，q）=logπ（p）·qp定义见（3.2）和pt=tt-1Xs=0δ（u（s），u（s+1））是直到时间t的对（u（s），u（s+1））的经验度量。考虑到资本分布的长期稳定性，我们假设P弱收敛于绝对连续的概率度量P。我们用B（P，δ）表示n以p为中心，半径为δ。欧几里德范数由|·| 18 TING-KAM LEONARD WONGFirst表示。首先，我们证明了FG各个元素的“强大数定律”。我们将使用弱收敛理论的一些基本结果[3]。回想一下，aP连续性集合是一个满足P的集合(A） =0，其中A是A的边界。我们写作如果我们想解释它的基本拓扑空间。引理4.9。假设Pt弱收敛到S上的绝对连续概率测度P，则对于每个π∈ FG渐近增长率W（π）=limt→∞tlog Vπ（t）存在，由（4.2）W（π）=limt给出→∞ZSlπdPt=ZSlπdP。证据注意，（4.2）不直接遵循弱收敛的定义，因为lπ可能有不连续性。当我们在EMME 4.10中证明一致收敛时，这里的构造（由[33，定理5]的证明定义）将是有用的。设>0。让我们∈ Cbeπ的g生成函数，考虑setd={p∈ n：Φ在p}是可微的。然后n\\D具有Lebesgue度量值0。

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2022-5-9 06:56:45

给定，存在′>0使得无论何时π，π∈nand |π- π|<′，我们有（4.3）日志π·qp- 日志π·qp< 为所有人（p，q）∈ S.每p∈ D、根据引理4.7，存在δ（p）>0，使得B（p，δ（p）） nand | q- p |<δ（p）意味着（4.4）|π（q）- π（p）|<′。作为可分度量空间的子空间，D是可分的。因此，存在一个可数集{pk}∞k=1 这是什么∞[k=1B（pk，δ（pk）），设A=B（p，δ（p）），对于k≥ 2 defineak=B（pk，δ（pk））\\k-1[j=1B（pj，δ（pj））。那么集合{Ak}是不相交的和（D×）n）∩ s∞[k=1（Ak×]n）∩ 自P（（D×）n）∩ S）根据绝对连续性，根据测量的连续性，存在一个正整数k，例如k=1n）∩ S！>1.- .随机投资组合理论中的通用投资组合19定义=n\\k[k=1Akn）∩ （S）≤ .请注意，对于0≤ K≤ k、（Ak×）n）∩ S是一个P-连续集，因为它是由S（具有piec-ewise光滑边界）上的集合论运算形成的，南德欧几里德球。同样，根据假设2.1|lπ（·，·）|一致有界于S byM′：=log M。因此，对于每1≤ K≤ K地图（p，q）7→ lπ（p（k））（p，q）：=logπ（p（k））·qp是S上的一个有界连续函数。通过弱收敛和引理a.2，在附录中，存在一个正整数t≥ 我们有（4.6）个Pt（（A×）n）∩ S） <2和（4.7）Z（Ak×）n）∩slπ（p（k））d（Pt- P）<k.（请注意，在选择KI之前必须先确定）。现在我们估计了差异tlog Vπ（t）-RSlπdP=RSlπd（Pt）- P）. 我们有ZSlπd（Pt）- P）≤kXk=1Z（Ak×）n）∩slπd（Pt）- P）+Z（A）×n）∩slπd（Pt）- P）.（4.8）使用lπ、（4.5）和（4.6），（4.8）的第二项以3M′为界。

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2022-5-9 06:56:48

现在对于每个k，由（4.3），（4.4）和（4.7）得到Z（Ak×）n）∩slπd（Pt）- P）≤Z（Ak×）n）∩slπ- lπ（pk）dPt+Z（Ak×）n）∩slπ- lπ（pk）dP+Z（Ak×）n）∩slπ（pk）d（Pt）- P）≤ Pt（（Ak×）n）∩ S） +P（（Ak×）n）∩ S） +k.将上述不等式与k相加，得到ZSlπd（Pt）- P）≤ +++3M′，t≥ t、证明了引理。20婷锦·伦纳德·旺格4。3.Glivenko Cantelli地产。现在我们观察到引理4.9的证明可以被修改，以产生一个统一的版本，这意味着定理1.3（i）。重新定义d（Φ，ψ）是定义4.3中Cgiven的度量。引理4.10。S uppose Pt弱收敛于S.Letπ上的绝对连续概率测度P∈ FG由Φ生成∈ C.对于任何>0，存在δ>0，使得（4.9）lim supt→∞supπ∈FG（π，δ）tlog Vπ（t）-tlog Vπ（t）< 其中FG（π，δ）是生成函数Φ的所有函数生成的组合π的集合∈ Csaties d（Φ，Φ）<δ。特别是，我们有“统一大数定律”（4.10）的限制→∞supπ∈前景tlog Vπ（t）- W（π）= 0.证明。我们要估计supπ∈FG（π，δ）tlog Vπ（t）-tlog Vπ（t）= supπ∈FG（π，δ）ZS(lπ- lπ） dPt.回忆一下定义4.3中的知识=P∈ n:圆周率≥M. 通过度量的连续性，我们可以选择m，这样p（（Km×x）n）∩ S） >1- .自（Km×起）n）∩ S是一个P-连续集，因为t足够大ZS-Z（公里×公里）n）∩s(lπ- lπ） dPt< 4M，其中M′=logm是|lπ|和|lπ|在S上。这使我们能够集中精力在场景（Km）上∩ n）∩ S.Fix′>0。

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2022-5-9 06:56:51

根据引理4.7，对于Kmat（相对）内部Φ可微的每一个p（称为该集Dm），存在δ′（p）>0，使得∈Km |Φ（q）- Φ（q）|<δ′（p）和| q- p |<δ′（p），我们有|π（q）- π（p）|<′。正如引理4.9所述，我们可以用一个不相交的可数并来覆盖DMD∞k=1Ak，其中aki是包含pk的P-连续集，其直径由δ′（pk）限定。现在选择一个正整数ksuch thatPk[k=1Ak×]N∩ S！>1.- 2.此外，选择δ>0，使d（Φ，Φ）<δ=> maxp∈Km |Φ（p）- Φ（p）|<min1≤K≤kδ′（pk）。接下来是supπ∈FG（π，δ（pk））supp:|p-pk |<δ′（pk）|π（p）- π（pk）|<′，随机投资组合理论21中的普遍投资组合在这种一致局部近似下，我们可以按照引理4.9的证明步骤来证明lim-supt→∞supπ∈FG（π，δ）tlog Vπ（t）- W（π）< C，其中C>0是常数。因此（4.9）允许→ 注意（4.9）意味着supπ∈FG（π，δ）|W（π）- W（π）|≤ . 由于是逆紧的，我们可以用FG（π，δ）和（4.10）的形式来覆盖FG。4.4. 自民党和普遍性。现在我们完成定理1.3的证明。回想一下bv（t）=RΘVπ（t）dν（π）和V*（t） =supπ∈ΘVπ（t）。引理4.11。假设ptp弱收敛于S上的绝对连续概率测度P，设ν为FG和W上的任何初始分布*=supπ∈supp（ν）W（π）。然后限制→∞tlogbV（t）=W*.证据对于π∈ FG writelog Vπ（t）=W（π）+Rπ（t），其中Rπ（t）是余数。通过引理4.10，我们得到了limt→∞supπ∈FG | Rπ（t）|=0。WritebV（t）=Zsupp（ν）et（W（π）+Rπ（t））dν（π）。很明显，lim supt→∞tlogbV（t）≤ W*. 为了说明另一个不等式，请注意w（π）在π中是连续的∈ 前景。因此对于任何π∈ supp（ν）和>0，通过将积分限制为π的邻域，我们得到lim inft→∞tlogbV（t）≥ W（π）- .取π的上确界∈ supp（ν）完成了证明。定理1.3的证明。

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2022-5-9 06:56:54

（i）引理4.10已经证明了这一点。（ii）我们的论证如定理1.3所述。写入νt（B）=bV（t）ZB∩supp（ν）Vπ（t）dν（π）。利用一致收敛性（i），我们可以证明（4.11）lim-supt→∞tlogZFVπ（t）dν（π）≤ supπ∈F∩用F表示任意集合F的supp（ν）W（π）∩ 补充（ν）6=, 和（4.12）lim inft→∞tlogZGVπ（t）dν（π）≥ infπ∈G∩所有开集G的supp（ν）W（π），使得∩ 补充（ν）6=. 这些无能和爱玛4.11暗示了自民党。（iii）让{Φk}∞k=1b是度量空间e（C，d）中的可数稠密集。对于eachk，让πkbe表示由Φk生成的投资组合。考虑形式为（4.13）的初始分布=∞Xk=1λkΔπk，其中λk>0，p∞k=1λk=1.22 TING-KAM LEONARD WONGTo se e，设π为任意函数生成的投资组合，Φ∈ Cbe是它的生成函数。然后有一个序列πk′，其母函数Φk′局部一致收敛于Φ。通过引理4.10，我们得到了W（πk′）→ W（π）。因此W*= supπ∈supp（ν）W（π）=supπ∈FGW（π）。通过引理4.1，为了建立渐近普适性性质（1.12），仍然需要证明Limt→∞tlog V*（t） =W*,但这是一致收敛性（i）的直接结果。5.结论和进一步的问题本文从随机投资组合理论的角度研究了Cover的投资组合。给定一系列投资组合，我们研究了它的财富分配，这类似于股票市场的资本分配。在这种情况下，财富分布在托卡斯蒂克投资组合理论的意义上是不稳定和多样的，在某些条件下，我们根据大偏差原则对其集中度进行了量化。

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2022-5-9 06:56:57

我们还将Cover的投资组合推广到了函数生成投资组合的非参数族，并在[21]的spir it中建立了它的渐近普适性。与[21]和[17]类似，本文的结果本质上是渐进的，在这种非参数设置中，我们无法建立适用于所有有限视界的定量界限。人们希望获得定量界限，尽管它们可能过于保守，无法在实践中使用。即使基础市场过程被正确建模，收敛对数Vπ（t）→ W（π）可能需要很长的时间，而portfolio bπ（t）可能由噪声控制。一种可能的方法是使用较小的族或通过适当的先验（初始分布）施加正则化。在动态投资组合选择中处理这种偏差-方差权衡效应是一个非常有实际意义的有趣问题。问题5.1。对于功能一般投资组合族的Cover投资组合，是否可以选择一个初始分布，使得bπ可以用数值计算或近似，以及Bv（t）/V的定量下限*（t）可以证明吗？一个可能的方向是对基于等级的功能生成的投资组合进行重新限制，也就是说，股票的投资组合权重仅取决于其根据资本化的等级。等价地，这意味着生成函数在坐标重新标记下是不变的。这有减少π和Φ的有效域的效果！单纯形单元n、通过减少维度的诅咒，我们也许能够得到一个更好的边界。我们可以使用其他投资组合选择算法为功能生成的投资组合构建通用投资组合，而不是使用Cover的投资组合作为财富加权平均值。

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