链（2）–（5）中的中间等式（3）表示（14）的左侧：ln Zπ（t）=XjZtπj（u（s））uj（s）duj（s）-Xi，jZtπi（u（s））πj（u（s））ui（s）uj（s）d[ui，uj]（s）=XjZtDjln s（u（s））+1-Xkuk（s）Dkln s（u（s））！duj（s）-Xi，JZtdilln S（u（S））+1-Xkuk（s）Dkln s（u（s））！×Djln S（u（S））+1-Xkuk（s）Dkln s（u（s））！d[ui，uj]（s）=XjZtDjS（u（s））s（u（s））duj（s）（16）-Xi，jZtDiS（u（s））s（u（s））DjS（u（s））s（u（s））d【ui，uj】（s）q.a.，（17），其中最后一个等式从pkuk=1开始。接下来，我们将It^o公式应用于（14）右侧的函数lns；It^o公式在我们的非随机设置中仍然适用：参见【16，第6节】。对于（14）右侧的第一个加数，它给出了表达式lns（u（t））S（u（0））=XjZtDjS（u（S））S（u（S））duj（S）+Xi，jZtDijS（u（S））S（u（S））d[ui，uj]（S）-Xi，jZtDiS（u（s））DjS（u（s））s（u（s））d【ui，uj】（s）等于，q.a.，至（16）–（17）减Θ，如（15）所定义。4特殊情况在开放的社区中定义了积极的C功能如果多样性是对称的和凹的，那么它就是多样性的度量。在本节中，我们将讨论多样性度量的三个示例。4.1 Fernholz的套利机会在【3，第3.3节】中，Fernholz描述了其市场随机模型的套利机会。在本文的非随机背景下，他的投资组合被认为是一个套利机会，但它仍然很有趣，并表明了击败市场的可能性（如下一节所讨论）。现在我们对多样性（x）的度量感兴趣：=1-JXj=1xj。（18） 相应投资组合π的组成部分（13）为πj（x）=2.- xjS（x）- 1.xj。（19） 现在，定理1给出了[3，示例3.3.3]的以下非随机版本。推论2。投资组合（19）的价值过程Zπ满足ln Zπ（t）=lnS（u（t））S（u（0））+JXj=1Ztd[uj]（S）2S（u（S））q.a.（20）证明。

封堵DijS（x）=- 1i=j（其中1e代表E的指示剂函数）到（15），我们确实得到了Θ（t）=Zt2S（u（s））Xjd[uj]（s）。推论2的一个稍微粗糙但更简单的版本是：推论3。投资组合的价值过程Zπ（19）满足Zπ（t）≥ - ln 2+JXj=1[uj]（t）q.a.（21）证明。需要注意的是∈ [1/2, 1].4.2熵加权投资组合多样性的原型测度【3，示例3.1.2和3.4.3】是熵函数（x）：=-JXj=1xjln xj。使用（13），相应熵权投资组合的成分可以计算为πj（x）=-xjln xjS（x）。（22）计算定理1中的漂移项Θ，我们得到以下推论（非随机版本的[3，定理2.3.4]）。推论4。熵权投资组合的价值过程Zπ满足度ln Zπ（t）=lnS（u（t））S（u（0））+Ztd*u（s）s（u（s））q.a.（23）证明。封堵DijS（x）=- 1i=j/xjinto（15），我们得到Θ（t）=Zt2S（u（s））Xjd[uj]（s）uj（s）。将此表达式与（12）进行比较。4.3带参数pFix p的多样性加权投资组合∈ (0, 1). 用参数p确定多样性的度量∈ （0，1）[3，示例3.4.4]asDp（x）：=JXj=1xpj1/p。p多样性加权投资组合的组成部分πj（t）：=uj（t）pPJi=1ui（t）p。（24）以下推论是[3，示例3.4.4]的非随机版本。推论5。带参数p的多样性加权投资组合π的价值过程Zπ∈ （0，1）满意度ln Zπ（t）=lnDp（u（t））Dp（u（0））+（1- p） Γ*π（t）q.a.（25）证明。现在（15）给出Θ（t）=Zt-12Dp（u（s））×Xi，j（1- p） （ui（s）uj（s））p-1Xkuk（s）p！1/p-2d[ui，uj]（s）+Xj（p- 1） （uj（s））p-2Xkuk（s）p！1/p-1d[uj]（s）=1.- 压电陶瓷Xjπj（u（s））d[uj]（s）uj（s）-Xi，jπj（u（s））d[ui，uj]（s）ui（s）uj（s）= (1 - p） Γ*π（t）。推论5立即暗示：推论6。带参数p的多样性加权投资组合π的价值过程Zπ∈ （0，1）满足Zπ（t）≥ (1 - p） Γ*π（t）-1.- ppln J q.a.（26）证据。

自Dp以来∈ [1，J（1-p） /p]，我们有LNDP（u（t））Dp（u（0））≥ -1.- ppln J（参考文献[4，（7.6）]）；将其插入（25）可得到（26）。5击败市场上一节的结果对我们理想化的金融市场有着显著的影响。最容易讨论的是推论3。可以非常非正式地解释为以下菲舍尔析取：市场中每种股票的变化都会衰减，因为总的二次变化【uj】(∞)各J市场权重超过[0，∞) 是有限的，或者我们可以击败市场→∞Zπ（t）=∞ （参见[6]，第42页）。请注意，析取的第二个备选方案也处理（21）中的“q.a.”。投资组合（19）特别平淡（或者用Fernholz的术语（3，第3.3节）来说是可以接受的）：它只是多头投资，相对于市场投资组合，它的损失从未超过其价值的50%（到（21）），并且它在任何股票上的投资从未超过市场投资组合的3倍。对推论3的更具体的可能解释是基于伯顿·G·马尔基尔（BurtonG.Malkiel）在畅销书[11]中大力提倡的有效市场假说；对他来说，“表明市场普遍相当有效的最有力证据是，专业投资者并没有击败市场。”即使有击败市场的方法，人们通常认为，它们应该涉及一些不同寻常的东西，而不仅仅是简单的组合，如（19）、（22）或（24）（至少自2002年以来广为人知）。根据这一解释，推论3意味着在高效市场中，我们预计市场变化最终会消失。如果我们相信股票市场的变化永远不会消失，我们不得不承认推论3“通过严格的积极投资管理打开了获得优异长期投资回报的大门”【10，第1.3节】。

这就是随机投资组合理论的典型实际应用所基于的解释（参见，例如，[1]，然而，它是基于推论5和6的随机版本，而不是推论3）。推论3是推论2的一个更粗糙的版本，它将（20）右侧的第一个加数替换为其下界，将第二个加数中的分母替换为其上界。推论2更精确，因为它将投资组合价值的增长分解为两个组成部分：一个与市场权重多样性s（u）的增长有关，另一个与市场权重变化的累积有关。随机投资组合理论中的标准假设是，市场不会集中或几乎集中在一只股票上，并且股票波动率最低；这些假设的精确版本分别称为多样性和非简并性。我们将看到，前一节的结果可以解释为，除非市场失去多样性或退化，否则我们可以打败市场。推论3说，事实上，仅非简并条件是有效的；这源于d[lnuj]=d[uj]/uj（但请记住，我们的论述是市场权重uj大于价格Sj，后者通常用于随机投资组合理论。）推论4依赖于多样性和非简并性这两个假设。如果市场保持其多样性，我们预计（23）右侧的第一个加数将保持在下方，此外，如果市场没有退化，我们预计第二个加数将稳步增长。因此，熵权投资组合的表现优于市场。为了讨论推论5和6，可以方便地扩展对Γ的讨论*u见第2节至更一般的Γ*π.

现在让我们重写两次excessgrowth项（9），2Γ*π、 as2Γ*π（t）=ZtJXj=1πj（u（s））d[lnuj]（s）-JXj=1Zπj（u）d lnuj（t） 。定义（使用我们的固定语言）一系列分区T、T、。这适用于本文和集合中使用的所有进程，对于给定的分区Tn=（Tnk）∞k=0，uj，k：=uj（Tnk∧ t） ，k=0，1， lnuj，k：=lnuj，k- lnuj，k-1，k=1，2，πj，k：=π（uj，k），k=0，1，抑制了对n的依赖性。然后我们可以重新考虑2Γ*,nπ（t）：=∞Xk=1JXj=1πj，k-1.uj，k-∞Xk=1JXj=1πj，k-1. lnuj，k（27）作为2Γ的第n个近似值*π（t）；可以看出2Γ*,nπ（t）→ 2Γ*π（t）ucqa。重写（27）as2Γ*,nπ（t）=∞Xk=1JXj=1πj，k-1.uj，k-JXi=1πi，k-1. lnui，k！，我们可以看到，这个表达式是对数反转的累积方差 lnuj，kover时间间隔[Tnk-1.∧ t、 Tnk公司∧ t] w.r.“投资组合可能性度量”Q（{j}）：=πj，k-这使得表达式（10）非常直观：投资组合π相对于原始表达式的超额增长率由市场权重w.r.到π的波动性决定。如前所述，推论5和6的随机版本已用于主动投资组合管理[1]。上述关于推论2和3之间关系的备注也适用于推论5和6；后者将（25）右侧的第一个加数替换为其下限。推论5将多样性加权投资组合的价值增长分解为两个组成部分，一个与市场权重多样性Dp（u）的增长有关，另一个与市场权重多样性加权方差的累积有关。

推论6忽略了第一个分量，因为DPI是有界的，总是介于1（对应于集中在一只股票上的市场）和J（1-p） /p（对应于所有J股资本化相等的市场）。对于本节开头所述的有点违反直觉的偏差，有人提出了几种解释：o如果我们在我们的模型中包括真实市场中交易的所有股票，或许J非常大，那么投资组合（13）及其特例（19）、（22），和（24）（尤其是后两项）将不会有效，因为他们将被迫投资规模较小、流动性较低的股票；众所周知，由多样性度量产生的投资组合投资于规模较小的股票，比市场投资组合投资的规模更大[3，提案3.4.2]对于本文中讨论的投资组合的这一共同特征，还有另一种解释，它们的表现优于市场（与市场相比，小型股的权重增加）。在过去几十年中，大型公司支付更高股息的趋势对此类投资组合产生了不利影响（参见[3，图7.4]，描述了投资实践中使用的指数的表现）。[2]强调了不同股息率在维持市场多样性方面的作用如果我们只关注真实世界市场中交易的J最大股票，对于中等规模的J（如标准普尔500指数的J=500），投资组合的表现，如（19）、（22）或（24）w.r。

对于这个较小的“市场”（现在实际上是一个大盘股市场指数），将受到“泄漏”现象的影响【3，示例4.3.5和图7.5】。6 Fernholz的主鞅和Stroock–Varadhan鞅重述定理1的一种方法是说s（u（t））s（u（0））exp-JXi，j=1ZtDijS（u）S（u）d[ui，uj]（28）是价值过程q.a。；在[16]的术语中，它是一个连续鞅。在这一节中，我们将看到费恩霍尔茨的主鞅（28）实际上是一个非常自然的对象，而不仅仅是形式化操作的产物，正如在第3节的推导中可能出现的那样。与最近论文[8]和[5]的联系将在本节后面讨论。设f是在dom f的开放邻域上定义的c函数JinRJ。非随机It^o公式【16】表示f（u（t））- f（u（0））-JXi，j=1ZtDijf（u）d[ui，uj]=JXj=1ZtDjf（u）dujq。a、 ，所以（29）的左边是一个连续鞅，我们称之为Stroock–Varadhan鞅[9，（5.4.2）]；这是Stroock和Varadhan在研究扩散过程时使用的经典鞅的非随机版本。Fernholz的主鞅（28）是（29）左侧的Stroock–Varadhan鞅的Dol'eans指数，f：=ln s。实际上，应用（6）给出了Dol'eans指数（u（t））s（u（0））exp-JXi，j=1ZtDijf（u）d[ui，uj]-JXi，j=1ZtDif（u）Djf（u）d[ui，uj]在（29）的左侧，通过标识符dijf=DijSS相等-DiSSDjSS=DijSS- DifDjf，至（28）。

如果我们认为Stroock–Varadhan鞅是一个加法过程，那么Fernholz的主鞅（28）就变成了它的乘法对应项。“加法”和“乘法”是[8，5]中使用的术语（比本文中更仔细），（29）左侧的Stroock–Varadhan鞅和Fernholz的主鞅（28）之间的关系类似于加法Bachelier公式【14，第11.2节】和乘法Black–Scholes公式【14，第11.3节】在操作定价中的关系。论文[8]和[5]深入研究了加性投资组合生成。特别是，这些论文给出了许多有趣的例子（包括下面的（32））。我们可以在推论3中重写（21）asZπ（t）≥经验值JXj=1[uj]（t）q、 a.，表示zπ（τa）≥eA/第2季度。a、 ，（30）其中a为正常数，τAis为停止时间τa：=mint | Xj[uj]（t）=A, （31）和Zπ(∞) := ∞.定性上，（30）意味着市场满足Fernholz的套利类型属性：我们可以击败非退化市场（解释非退化市场τa<∞ 对于所有A）。（29）左侧的Stroock–Varadhan鞅也给出了Fernholz型套利，但与（30）不同，它是a中的多项式（andeven线性）。设置f（x）：=-JXj=1xj（32）（参见（18）），我们可以重写（29）asY（t）左侧的连续鞅：=JXj=1uj（0）-JXj=1uj（t）+JXj=1[uj]≥ -+JXj=1[uj]；图1：时间τA时Fernholz鞅Zπ（红色曲线）和Stroock–Varadhan鞅X（蓝色直线）的值；横轴由Atherefore的值标记，X：=2Y+1是满足X（0）=1和X（τa）的非负连续鞅≥ A.（33）因此，这是实现相同定性目标X（τA）的另一种方法→ ∞ 作为一个→ ∞. 从数量上看，结果可能较弱；毕竟，我们失去了A的指数增长率。

然而，有一个a范围（大约在0.7到4.3之间），其中Stroock–Varadhan鞅X表现更好：见图1.7结论图1给出了两个函数g，使得最终资本g（a）在τa时可以实现。描述这类函数g的类别将很有趣。一个相关的问题是：g（a）作为a的最佳增长率是多少→ ∞? 这个问题可以在随机和非随机环境中提出。以下是非随机理论进一步研究的一些方向：o一个自然的方向是尝试剥离随机组合理论的其他结果的随机假设。首先，有可能将定理1推广到非光滑函数S（如[3，定理4.2.1]）；非随机环境中当地时间的存在如【12】所示，在连续价格路径的情况下，可以从【15】的主要结果中推断出来另一个方向是将本文的结果扩展到一般数字（本文使用市场投资组合的价值作为我们的数字）。o最后，将一些结果推广到c\'adl\'agprice路径将是非常有趣的。确认本文件的初稿是在2017年12月与Martin Schweizerand D’aniel B’alint讨论后提出的。我非常感谢Ioannis Karatzas提供有关现有文献的信息（特别是，他提请我注意本文第6节与[8]和[5]中的加法组合生成之间的联系），并感谢他在表示、符号和术语方面的建议。感谢Peter Carr、Marcel Nutz、Philip Protter和Glenn Shafer的有用评论。参考文献[1]E.Robert Fernholz。多样性加权股票指数。ETF指数杂志，http://www.etf.com/publications/journalofindexes/joi-articles/1074.html，1999年4月1日。[2] 罗伯特·费恩霍尔兹。关于股票市场的多样性。

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，J}，我们将构造一个满足Xj（0）=1和Xj（τJ）的非负连续鞅Xj≥ 1.25（A/J）1/2季度。a、 ，（35）式中，τj：=min{t |[uj]（t）=a/j}。（在这种情况下，我们可以将X设置为时间τJ时xj的所有J的平均值。）根据[9，（2.6.2]），布朗运动从1开始的概率（实际上，μjis从μJ（0）开始）≤ 1） 在A/J为1的时间段内未达到零-rπZ∞（J/A）1/2e-x/2dx=rπZ（J/A）1/2e-x/2dx≤rπ（J/A）1/2。结合应用于uj的非随机Dubins–Schwarz结果【15，定理3.1】，得出（35），rπ>1.25代替1.25。（30）中的Zπ和（33）中的X是[16]意义上的非负超鞅（实际上是非负连续鞅）。另一方面，（34）中的过程X是一个非负的超马尔可夫过程，从[15]中更谨慎的定义来看。这可以被视为（34）优于（30）和（33）。然而，（34）的一个缺点是，它在数量上远远弱于（30）和（33）；（34）的右侧总是比（30）的右侧小，并且仅在a（大约a）的小范围内大于（33）的右侧∈ （0，0.2）表示J=2）。