具有GARCH波动率的风险度量的时间一致性及其应用

2022-5-8 03:29:55

风险度量与Garchvolatility的时间一致性及其估计*张佳宁*2022年4月28日摘要本文研究了GARCH（1，1）模型给出的收益率的时间一致性风险度量。我们提出了一种基于静态度量的风险度量结构，克服了时间一致性的不足。然后，我们详细研究了风险度量值VaR和AVaR的构造。而在VaR情况下，我们可以推导出其时间一致性对应的分析公式，在AVaR情况下，我们推导出其时间一致性版本的上下限。此外，我们还结合了极值理论（EVT）的技术，以便对相应的风险度量进行更具尾部的统计分析。最后，我们将我们的结果应用于股票价格数据集。2010年AMS主题分类：60G70、91B30、91G80、91G702010 JEL分类：C02、C22、C58、G17、G32主要词汇和短语：动态风险度量、时间一致性、GARCH（1,1）、极值理论、风险价值、风险平均值、预期短缺、广义帕累托分布、总回报。1简介金融危机之后，风险管理构成了一个持续活跃的领域，吸引了数学研究和实际实施的定量要求。大多数金融机构需要遵守巴塞尔II/III协议，该协议规定了适用于内部风险控制的特定风险管理规则，并接受定期监管。在过去二十年中，风险管理的关键概念以风险度量的形式出现，被称为风险价值（VaR）。

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2022-5-8 03:29:58

简言之，VaR将金融机构的风险资本确定为与某些规定（监管或内部规则）时间范围和信心水平有关的盈亏分布的分位数。Artzner等人（1999）给出了风险度量领域的公理化方法，其中引入了一致性风险度量的概念，并认识到VaR并不总是满足一致性。Artzner等人（1999年）引入了一种风险度量，以弥补目前被称为平均风险值（AVaR）的一致性不足。F¨ollmer and Schied（2002）给出了凸风险度量的一个扩展，它将现有的风险概念整合到凸对偶理论的数学框架中，从而允许深入而强大的对偶刻画。为了解释盈亏头寸的动态随机演变，静态风险*德国加兴，博尔茨曼斯特拉3号，Zentrum Mathematik，M？unchen科技大学，邮编85748。zhang@tum.de , cklu@tum.demeasurement已扩展到动态风险度量类，该类度量不仅将风险度量视为（非线性）期望，还将其视为随机过程，参见Detlefsen和Scandolo（2005）和Riedel（2004）等，了解通过凸对偶理论对动态环境的扩展。在这个动态框架中，人们认识到，大多数现有的静态风险度量不会以直接的方式转移到流程中，而不会违反时间一致性的要求。时间一致性动态风险度量确保了风险度量的一致性行为，即如果一个投资组合在未来某个时间的风险高于另一个投资组合，那么这个投资组合在任何时候都比另一个投资组合的风险更高。

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2022-5-8 03:30:01

关于风险度量的时间一致性的文献多种多样，内容丰富，因为可以采用不同的数学观点来防止一致性。在时间一致性风险度量领域所做研究的不完整记录包括彭（2004年）、里德尔（2004年）、德特莱森和斯堪多洛（2005年）、韦伯（2006年）、福尔默和彭纳（2006年）、鲁尔达和舒马赫（2007年）、彭纳（2007年）、比昂·纳达尔（2009年）和比莱斯基等人（2015年）。时间一致性研究的一个主要结果表明，在法律不变的风险度量中，只有一个风险度量在转移到时间动态过程设置时支持时间一致性，即熵风险度量（参见F¨ollmer and Knispel（2011））。在上述理论工作的同时，还开发了统计模型和方法，以校准风险度量，并将其与现实世界的数据相结合。由于行业标准VaR及其一致对应的AVaR是法律不变的风险度量，实施（A）VaR的主要目标是对相关地区的利润和损失分布进行良好估计。在该领域，主要的估算方法包括历史模拟法、基于高斯分布假设的方法和基于极值理论（EVT）的方法。我们参考了McNeil等人（2005年），特别是第2章和第7章，以了解利润和损失分布估计方法的详细说明和参考。关于极值理论的更多背景可以在专著Embrechts等人（1997）中找到。McNeil和Frey（2000）提出了VaR和AVaR的一种实现方法，该方法基于对对数收益分布的估计，使用GARCH（1，1）模型和残差的EVT方法相结合。

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2022-5-8 03:30:04

该方法分两步进行：首先，GARCH（1，1）模型模拟金融时间序列固有的随机波动性，GARCH参数通过伪极大似然法估计。其次，他们对残差采用峰值超过阈值（POT）方法，只考虑超过临界值的残差。POT法通过最大似然法（如Embrechtset al.（1997）、第3.4节和第6.5节）对广义帕累托分布（GPD）进行拟合，也符合（a）VaR的典型高置信水平，以放大损失的极端分支。将POT方法应用于残差，而不是直接应用于对数收益，其优点是，由于残差的白噪声特性，极值的拟合过程只需应用一次。通过这两个步骤，麦克尼尔和弗雷（2000）成功地估算了（A）VaR，方法是建立一个分布，该分布充分考虑了尾部的极端情况，并在温和条件下考虑了VaR和AVaR的封闭式公式。本文的目标是将VaR和AVaR的动态时间一致性结合起来。我们研究了将静态风险度量扩展到满足时间一致性的动态风险度量。在这种转移中成功的一个关键属性是动态规划原理，参见Cheridito和Stadje（2009），Cheridito和Kupper（2011）。McNeil和Frey（2000）使用GARCH（1，1）和EVT的两步估计方案允许我们推导出动态时间一致性VaR的封闭形式表达式，该表达式易于使用估计的GPD和GARCH参数实现。

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nandehutu2022

2022-5-8 03:30:08

然而，对于AVaR，这种闭式表达式无法得到，我们推导出了AVaR的闭式上下近似。与静态变量相比，动态时间一致性变量更为保守，此外，动态时间一致性变量还带来了一个好处，即在McNeil和Frey（2000）中，必须通过模拟方法对累计损失的风险度量进行估计，现在可以通过在未来不同时间点对单个头寸的VaR进行（半）封闭估计。本文的结构如下。在第2节中，我们介绍了关于动态风险度量的初步知识，以及动态规划原理的特征。此外，我们还引入了GARCH（1，1）损失模型，为全文建立了模型框架。在第3节中，我们应用上一节中的新方法，推导出时间一致性VaR的封闭形式表达式，并研究其随时间演化的性质，证明累计损失的线性化。第四节专门研究AVaR。由于时间一致性AVaR的闭式表达式是不可能的，作为替代方案，我们推导出AVaR语用边界的闭式表达式，并像前一节一样研究其性质。第3节和第4节结果的证明推迟到附录中。在最后的第5节中，我们给出了与我们的目的相关的极值理论，并将我们的结果应用到股票价格的数据集。2.给定概率空间的条件风险度量(Ohm, F、 P）我们认为过滤（Ft）Tt=0，其中T∈N.我们用t表示byL（Ft）∈{0，…，T}所有Ft可测随机变量X的集合∶Ohm →R.在本文中，空间L（FT）代表我们需要进行风险评估的所有财务头寸的空间。通常，我们会对损失感兴趣，即。

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2022-5-8 03:30:11

财务数据日志回报的负面影响。由于条件风险测度是随机变量，所有的性质，等式和不等式几乎肯定都是关于P的，我们一直假设这一点，没有特别提到它。定义2.1。对于t∈{0，…，T}一类带φT的映射（φT）Tt=0∶L（英尺）→L（Ft）是一种动态货币风险度量，如果它满足以下属性：（i）归一化：φt（0）=0表示t=0，T（ii）单调性：φt（X）≥φt（Y）表示所有X，Y∈L（FT）使X≥Y，对于t=0，T（iii）平移不变性：φt（X+m）=φt（X）+m∈L（英尺）和m∈L（英尺），福特=0，T如果L（FT）代表所有收益和损失变量的空间，则上述定义引出了动态货币效用函数的概念，参见Cheridito和Kupper（2011）中的定义2.1。如果除了定义2.1（i）-（iii）之外，动态货币风险度量φ满足正同质性：φt（λX）=λφt（X）对于所有X∈L（FT）和λ>0，对于t=0，T；o次加性：φt（X+Y）≤φt（X）+φt（Y）表示所有X，Y∈L（英尺），对于t=0，那么我们说φ是一个连贯的（动态货币）风险度量。定义2.2。动态货币风险度量∶=如果φt+1（X），则（φt）Tt=0是时间一致的≥φt+1（Y）意味着φt（X）≥φt（Y），对于所有X，Y∈L（英尺），对于t=0，T-1.在Cheridito和Kupper（2011）中可以找到以下关于时间一致性的有用描述。提议2.3。动态货币风险度量（φt）Tt=0是时间一致的，当且仅当其满足贝尔曼原理φt（X）=φt时φt+1（X）（2.1）对于所有X∈L（FT），t=0，T-1.Cheridito和Stadje（2009）以及Cheridito和Kupper（2011）指出，还有另一种构建时间一致性动态风险度量的方法：let（ρt）t-1t=0可以是任意的动态货币风险度量ρt∶L（英尺）→L（英尺），t=0。

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2022-5-8 03:30:14

T-1，然后反向迭代φT（X）∶=十、 φt（X）∶=ρtφt+1（X）, t=0，T-1、（2.2）定义了一个过程（φt）Tt=0，定义为时间一致的动态风险度量。以下性质是（φt）Tt=0构造的直接结果。推论2.4。为了X∈t=0时的L（FT），···, T-1φt（X）=ρt○ρt+1○···○ρT-1.（十）。（2.3）对于一致风险度量φ，其次可加性性质意味着对于任何固定的∈{0，…，T}和m∈N使得t+m≤T和任意Xt+k∈L（Ft+k）表示k=1，我们有φtMk=1Xt+k≤Mk=1φt（Xt+k）。（2.4）我们通过反向迭代构建时间一致的动态风险度量。2.1损失头寸的GARCH（1,1）模型表明我们对损失的风险评估感兴趣。本文的重点是一类特殊的损失过程（Lt）Tt=0：其动力学由GARCH（1,1）过程控制，通常代表（负）对数收益。它认为（Lt）Tt=1满意度Lt=σtZt，σt=a+aLt-1+bσt-1，（2.5）其中a、a、b>0是模型参数，σ和Lare F-可测量初始随机变量，（Zt）Tt=1是严格的白噪声过程（独立地以零均值和单位方差相同分布）。还要注意的是，通过（2.5）σ，可以测量Ft-1每t=1，T我们用FZ表示∶R→[0,1]和F-1Z∶[0, 1]→R分别是每个Zt的分布函数和左连续分位数函数；i、 e.，FZ（z）=P（Zt≤z），F-1Z（α）=inf{x∈R∶FZ（x）≥α}, α ∈（0,1），t=0，T.（2.6）分位数函数F的性质-Z1我们参考Resnick（1987）第0.2节，或Embrechtset al.（1997）提案A1。6.我们假设FZis严格增加，因此F-1ZI是连续的，ZT的右端点是有限的；i、 e.，xF=inf{x∈R∶FZ（x）=1}=∞.如有必要，我们确定F-带xF的1Z（1）=∞. 因为Z有一个明确的右端点，α接近于1，F-1Z（α）通常为正。

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2022-5-8 03:30:17

我们还需要Zand的分位数函数，注意，对于z对称，F-1Z（α）=F-1Z（（α+1））。进一步注意α≤（α+1）表示α∈（0，1），因此-1Z（α）>1）F-1Z（α）≤F-1Z（α）≤F-1Z（（α+1））=F-1Z（α）。（2.7）我们总结了我们将在本文中假设的假设。假设A：我们假设FZis严格地随着R和F的支持度增加-1Z（α）>0。为了简单起见，我们还假设Z是对称的。由于我们经常使用分布尾，我们注意到-1Z也可以作为asF的代表-1Z（α）=inf{x∈R∶P（Zt>x）≤1.-α}, α ∈（0,1），t=0，T.（2.8）3条件时间一致性风险价值在本节中，我们在动态时间一致性风险度量的框架下研究风险价值（VaR）。人们通常认为∈L（FT）表示可能的大损失头寸，对于该头寸，L超过损失阈值m>0的概率应以小概率1为界-α、即α通常接近1。满足该界限的最小损失阈值m为VaRα。文献中可以找到（有条件的）VaR定义的几种版本。在类比（2.8）中，我们始终遵循以下内容，这最符合本文中的治疗目的。定义3.1。考虑到损失，我∈L（FT）α级风险值∈（0，1）在时间t∈L的{0，…，T}由varαT（L）定义∶=埃辛M∈L（英尺）∶ P（L）≤M（英国《金融时报》）≥α, （3.1）3.1单日损失的时间一致性VaR我们从以下示例开始本节，这是McNeil and Frey（2000）感兴趣的核心对象。例3.2。对于t=0，T-1让Lt+1由（2.5）给出。然后VaRαt（Lt+1）是1天的aheadVaR，可以直接计算为VaRαt（Lt+1）=essinfM∈L（英尺）∶ P（σt+1Zt+1）≤M（英国《金融时报》）≥α.因为σt+1是Ft可测量的，所以我们也有m∶=Mσt+1是可测量的。

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2022-5-8 03:30:21

利用Zt+1和Ft之间的独立性，以及（2.8），我们可以继续计算αt（Lt+1）=σt+1essinf~m∈L+（英尺）∶ P（Zt+1）≤~m（英国《金融时报》）≥α=σt+1inf~m∈R+∶ P（Zt+1）≤~m）≥α=σt+1F-1Z（α）。（3.2）此外∈Ft，VaRαt（Lt+Lt+1）=Lt+VaRαt（Lt+1）=Lt+σt+1F-1Z（α）。(3.3)有一些例子表明，定义3.1的风险价值与时间不一致（例如Cheridito和Stadje（2009年）或F¨ollmer和Schied（2011年，例子11.13））。由于GARCH（1，1）模型（2.5）是通过迭代定义的，我们可以希望对于这个特定的模型，VaRα是时间一致的。然而，事实并非如此，我们提供了一个反例，利用命题2.3。例3.3。为了解释为什么在GARCH（1，1）损失框架下，VaR不能是时间一致的，回想一下，根据命题2.3，VaRα是时间一致的，当且仅当它满足动态规划原理VaRαt=VaRαt○VaRαt+1，t=0，T-1.对于t∈{0，…，T-2} 通过（3.2），我们得到VaRαt+1（Lt+2）=σt+2F-1Z（α），因此，VaRαtVaRαt+1（Lt+2）=VaRαt（σt+2F）-1Z（α））。我们计算VaRαt（Lt+2）和VaRαt（σt+2F）-GARCH（1，1）模型的1Z（α）：VaRαt（σt+2F-1Z（α））=m*=essinf{m∈L（英尺）∶Pσt+2F-1Z（α）≤M英尺≥α} =essinf{m∈L（英尺）∶Pa+σt+1（aZt+1+b）F-1Z（α）≤M英尺≥α}.自从功能（a+σt+1（aZt+1+b））F-1Z（α）在Zt+1和Ft可测范围内严格增加，我们得到*=（a+σt+1（aF）-1Z（α）+b）F-1Z（α）。（3.4）接下来我们计算varαt（Lt+2）=m**=essinf{m∈L（英尺）∶Pσt+2Zt+2≤M英尺≥α} =essinf{m∈L（英尺）∶Pa+σt+1（aZt+1+b）Zt+2≤M英尺≥α}.现在假设m**=M*无论如何∈(0, 1).

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2022-5-8 03:30:25

我们用ptt表示关于fta的条件概率，并计算α=Pta+σt+1（aZt+1+b）≤a+σt+1（aF）-1Z（α）+b）=Pta+σt+1（aZt+1+b）Zt+2≤a+σt+1（aF）-1Z（α）+b）F-1Z（α）=2.∞Pta+σt+1（aZt+1+b）z≤a+σt+1（aF）-1Z（α）+b）F-1Z（α）dFZ（z）-1=2F-1Z（α）Pta+σt+1（aZt+1+b）z≤a+σt+1（aF）-1Z（α）+b）F-1Z（α）dFZ（z）+2∞F-1Z（α）Pta+σt+1（aZt+1+b）z≤a+σt+1（aF）-1Z（α）+b）F-1Z（α）dFZ（z）-1现在注意第一个积分F-1Z（α）z在z中减小为0，在积分范围内最小值为1。这意味着对于积分下的概率，左随机变量scaledby z随z减小到α。此外，由于Zt+1的支持有明确的右端点，因此第二个积分为正。因此，我们估计右手边的≥2α+2a-1，其中a>0。然而，对于接近1的α，我们有α+1<2α+2a。Cheridito和Stadje（2009）提议使用后验法（2.2）修正VaR的时间不一致性。由此产生了以下定义。定义3.4。考虑到损失，我∈定义3.1中的L（FT）和VaRα。然后是α级的时间一致性风险值∈L的（0,1）定义如下：VaRαT（L）∶=VaRαT（L）=L，VaRαt（L）∶=VaRαtVaRαt+1（L）, t=0，T-1.（3.5）在递归（2.2）的构造符号中，这对应于ρt∶=VaRα和φt∶=VaRαt.作为(VaRαT（X））Tt=0我们发现L∈L（英尺）VaRαt（L）=VaRαt○VaRαt+1○···○VaRαT-1.（五十）。（3.6）选择GARCH（1，1）模型（2.5）需要一个方便的特性，即提前m天的VAR评估允许采用封闭形式的解决方案。更准确地说，我们可以推导出一个解析解，用于对终端时间t的GARCH（1,1）损失进行时间t风险评估，如下所示（通常我们设置∑-1k=0an=0）。证明见附录A定理3.5。设（Lt）Tt=0为GARCH（1,1）模型（2.5）给出的损失过程。然后我们有VaRαt（LT）=F-1Z（α）PTtaF-1Z（α）+b, t=0。

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2022-5-8 03:30:28

T-1、（3.7）其中PTt∶R→R是由ptt（x）给出的Ft可测量映射∶=在-T-2.k=0xk+σt+1xT-T-1，t=0，T-1.（3.8）3.2累计损失的时间一致性VaR我们现在来计算m日前VaRα。到目前为止，我们已经考虑了在时间T<T之前的固定日期T的风险头寸，在此之前，可以获得过滤形式的信息。m日前VaRα是对t+m期间[t+1，t+m]的累计损失Lt+K的风险评估≤T接下来我们展示VaRα在GARCH（1，1）损失的集合中线性化。提议3.6。假设（Lt）Tt=0是GARCH（1,1）模型（2.5）给出的损失过程，那么我们有固定的t∈{1，…，T-1} 还有m∈N使得t+m≤TVaRαtMk=1Lt+k=F-1Z（α）mk=1Pt+ktaF-1Z（α）+b=Mk=1VaRαtLt+k. （3.9）证据。首先注意，对于m=2，我们从（3.3）中知道VaRαtLt+1+Lt+2=VaRαtLt+1+VaRαt+1（Lt+2）=VaRαtσt+1Zt+1+σt+2F-1Z（α）,第二行从（3.2）开始。通过（2.5）我们得到σt+2=a+σt+1（aZt+1+b），它将最后一个方程转化为VaRαtLt+1+Lt+2=VaRαtσt+1Zt+1+F-1Z（α）a+σt+1（aZt+1+b）.通过VaRα的定义和σt+1Zt+1+F-1Z（α）a+σt+1（aZt+1+b）是Zt+1严格递增的Ft可测量函数，我们发现VaRαtLt+1+Lt+2=σt+1F-1Z（α）+F-1Z（α）a+σt+1（aF）-1Z（α）+b），（3.10），等于和VaRαtLt+1+VaRαtLt+2也等于中心对应的和。我们继续归纳，并假设（3.9）对∑M-1k=1Lt+k。

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2022-5-8 03:30:31

由于总和是ft+m-可测量的，我们得到（3.6）VaRαtMk=1Lt+k=VaRαt○VaRαt+1○···○VaRαt+m-1.M-1.k=1Lt+k+Lt+m=VaRαt○VaRαt+1○···○VaRαt+m-2.M-1.k=1Lt+k+VaRαt+m-1（Lt+m）=VaRαt（Lt+1+VaRαt+1（Lt+2+···+VaRαt+m-2（Lt+m）-1） +VaRαt+m-1（Lt+m））=VaRαtLt+1+VaRαt+1Mk=2Lt+k=VaRαtLt+1+mk=2VaRαt+1Lt+k最后一个恒等式后面是归纳假设，这也意味着Mk=2VaRαt+1Lt+k=F-1Z（α）mk=2Pt+kt+1aF-1Z（α）+b=F-1Z（α）mk=2ak-3.j=0aF-1Z（α）+bj+σt+2aF-1Z（α）+bK-2.我们使用（2.5）中的σt+2=a+σt+1（aZt+1+b），并观察到k=2ak-3.j=0aF-1Z（α）+bj+a+σt+1（aZt+1+b）aF-1Z（α）+bK-2=mk=2ak-2.j=0aF-1Z（α）+bj+σt+1（aZt+1+b）aF-1Z（α）+bK-2是Zt+1中严格递增的函数。因此，我们可以按照（3.10）中的相同论点来实现最终VarαtLt+1+mk=2VaRαt+1Lt+k=σt+1F-1Z（α）+F-1Z（α）mk=2ak-2.j=0aF-1Z（α）+bj+σt+1aF-1Z（α）+bK-1=σt+1F-1Z（α）+F-1Z（α）mk=2Pt+ktaF-1Z（α）+b=F-1Z（α）mk=1Pt+ktaF-1Z（α）+b=Mk=1VaRαtLt+k.这就完成了证明。4条件时间一致性风险平均值本节致力于研究风险平均值（AVaR）的时间一致性替代方案。由于一致性，AVaR通常被认为是对VaR更合理的修正。有关更多详细信息，我们参考F¨ollmer and Schied（2011年，第4章）。对于t∈{0，…，T}我们将L（Ft）定义为所有Pt可积损失的集合，其中Pt表示关于Ft的条件概率和相应的条件期望。以下定义与AVaR和VaR定义4.1有关。考虑到损失，我∈L（FT）α级的平均风险值∈（0，1）此时∈{0，…，T}由avarαT（L）=1给出-ααVaRut（L）du。

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大多数88

2022-5-8 03:30:34

（4.1）定义3.1中的VaRαt（L）。VaR量化了与某一特定风险水平相关的风险，反映在α的选择上，而作为综合VaR，AVaR考虑了α和1之间的整个风险水平带宽上的VaR，从而更好地反映了VaR可能忽略的极端风险量。以下是一个以无条件AVaR闻名的事实的类比（例如McNeilet al.（2005）的引理2.16）。备注4.2。如果损失头寸为L∈L（FT）有一个连续分布函数，thenAVaRαt（L）=EtLL>VaRαt（L）, t=0，T.（4.2）由于（4.2），AVaR通常也称为条件VaR或预期短缺。假设B：除了假设A之外，我们从现在开始还需要Z具有连续分布函数。4.1单日损失的时间一致性AVaR我们再次关注（2.5）中的GARCH（1,1）模型。例4.3。假设设置如例3.2所示。对于t=0，T-1让Lt+1由（2.5）给出。那么AVaRαt（Lt+1）是提前1天的AVaR。如果创新（Zt）没有≥0有一个连续分布函数FZ，然后通过条件期望的线性和σt+1的可测性，我们得到t=0，T-1，AVaRαt（Lt+1）=σt+1EtZt+1Zt+1>F-1Z（α）=σt+11-α∞F-1Z（α）ydFZ（y）=σt+1AVaRα（Z）。这种计算也可以在麦克尼尔和弗雷（2000）中找到。与第3节类似，AVaR的时间一致性版本构造如下。定义4.4。考虑到损失，我∈定义4.1中的L（FT）和AVaRαt（L）。然后是α级风险的时间一致性平均值∈L的（0,1）定义如下：AVaRαT（L）∶=LAVaRαt（L）∶=阿瓦尔αtAVaRαt+1（L）, t=0，T-1.（4.3）对于时间T处损失平方的平均风险值，我们可以得出一个类似于（3.7）的明确公式。

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2022-5-8 03:30:37

请注意，尽管LTAVAR允许将时间T解释为条件挥发性，但我们调查的目的是利用LTAVAR推导出AVaRitself的语用界限，见下文第4.2节。我们从一个类似于定理3.5的结果开始，回想一下∑-1k=0ak=0。附录B中给出了证明。定理4.5。设（Lt）Tt=0由GARCH（1,1）模型（2.5）给出。然后我们有了squaredloss LT∈终端时间T时的L（FT）AVaRαt（LT）=1-ααF-1Z（u）du PTta1-ααF-1Z（u）du+b, t=0，T-1、（4.4）其中PTt∶R→R是由ptt（x）=aT给出的Ft可测量映射-T-2.k=0xk+σt+1xT-T-1，t=0，T-1.也可以推导m的表达式-前一天阿瓦尔α。像往常一样，我们定义∏j=1aj=1。提案4.6。设（Lt）Tt=0由GARCH（1,1）模型（2.5）给出。对于t>0，定义Qt+1t=σt+1，对于固定m≥2Qt+mt（z，z，…，zm-1)∶=是-2.k=0kj=1（azj+b）+σt+1m-1.j=1（azk+b）。（4.5）那么AVaRαt（Lt+1）=AVaRα（Z）σt+1，对于固定的m≥2.AVaRαt（Lt+m）=AVaRα（Z）（1）-α） m-1.∞F-1Z（α）···∞F-1Z（α）（m）-1） -时报Qt+mt（z，…，zm）-1） dFZ（z）···dFZ（zm-1). （4.6）证据。对于m=1，请注意（4.1）AVaRαt（Lt+1）=AVaRαt（Lt+1）=σt+11-α∫∞F-1Z（α）yd（y）作为不精确样本4.3。为了简单起见，我们设置κ=1-α∫∞F-1Z（α）yd（y）。对于AVaRαt（Lt+2）我们使用这个和引理B.1，计算m=2AVaRαt（Lt+2）=AVaRαtAVaRαt+1（Lt+2）=阿瓦尔αtAVaRαt+1（Lt+2）（4.7）=AVaRαtκσt+2（4.8）=κAVaRαtσt+2（4.9）=κEtσt+2σt+2>VaRαt+1（σt+2）=κEtσt+2Zt+1>F-1Z（α）=κ1 -αEta+σt+1aZt+1+b{Zt+1>F-1Z（α）}=κ1 -α∞F-1Z（α）a+σt+1az+bdFZ（z），因为σt+1是可测量的。假设（4.6）适用于Lt+2，Lt+m-1.那么AVaRαt（Lt+m）=AVaRαtAVaRαt+1（Lt+m）=阿瓦尔αtκ(1 -α） m-2.∞F-1Z（α）···∞F-1Z（α）（m）-2） -时报Q（t+1）+（m）-1） t+1（z。

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2022-5-8 03:30:41

，zm-2） dFZ（z）···dFZ（zm-2),式中q（t+1）+（m）-1） t+1（z，z，…，zm-2)∶=是-3.k=0kj=1（azj+b）+σt+2m-2.j=1（azk+b）。设置σt+2=a+σt+1（aZt+1+b），然后由于σt+1是可测的，Zt+1的因式分解会产生另一个积分和另一个因子1-分母中的α。4.2几乎确定的AVARF界限为对于（非平方）GARCH（1,1）损失的AVaRαt（LT）并不简单。然而，可以推导出AVaRαt（LT）。4.2.1单日损失的AVaR界限我们现在导出了AVaRα源于Jensen质量的应用。关于以下命题的证明，我们参考附录B命题4.7。设Lt为GARCH（1，1）模型（2.5）给出的T>0时刻的损失头寸。德纳瓦尔αt（LT）∶=1.-ααF-1Z（y）dyPTta1-ααF-1Z（u）du+b, t=0，T-1、（4.10）其中PTt(·)由（3.8）给出，满足阿瓦尔αt≤AVaRαtt=0，T-1.对之前结果的证明进行简单的修改，可以得到一个关于阿瓦尔α。提案4.8。设Lt为GARCH（1，1）模型（2.5）给出的T>0时刻的损失头寸。德纳瓦尔αt（LT）∶=1.-ααF-1Z（u）du1.-ααaF-1Z（y）+BdyT-T-1σt+1，t=0。T-1、（4.11）满意度AVaRαt（LT）≥AVaRαt（LT）t=0，T-1.4.2.2累计损失的AVaR界限不幸的是，对于AVaR，不存在与命题3.6相对应的结果，因此AVaR不会在GARCH损失的累计中线性化。一个关键的障碍是引理B.1不适用。然而，由于AVaR的次可加性和性质（2.4），我们可以导出GARCH损失加总的上界。提案4.9。让（Lt）Tt=0由GARCH（1，1）模型（2.5）给出。那么，对于t∈{1，…，T-1} 还有m∈N使得t+m≤T，m日前AVaRαtof累计损失∑mk=1Lt+kis边界阿瓦尔αtMk=1Lt+m+1≤Mk=1AVaRαt（Lt+m+1）。（4.12）证据。

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nandehutu2022

2022-5-8 03:30:45

根据次可加性性质（2.4）阿瓦尔αt∑mk=1Lt+m+1满足感阿瓦尔αtMk=1Lt+m+1≤Mk=1阿瓦尔αtLt+m+1.现在，这个断言来自命题4.7的应用。备注4.10。由于GARCH损失加总之间缺乏线性化，提案4.8中的m-ahead AVaR界限加总不会产生适当的下限阿瓦尔αt∑mk=1Lt+m+1. 而在单m日提前的情况下，AVaRαt（LT）是一个真正的较低下限AVaRαt（LT），它们的聚集∑mk=1AVaRαt（Lt+m+1）相当于上界的下界∑mk=1AVaRαt（Lt+m+1）。有可能∑mk=1AVaRαt（Lt+m+1）是∑mk=1AVaRαt（Lt+m+1）。然而，我们将使用∑在我们的数值实验中，mk=1AVaRαt（Lt+m+1）是一个弱下界，以确定上界的大小∑mk=1AVaRαt（Lt+m+1）是基于极值理论的分位数估计的尾部。1广义帕累托分布到目前为止，我们还没有确定噪声分布，只是假设了某些性质，如精确端点或分布函数的连续性。在整个过程中，我们的α接近1，对应的噪声分布函数接近1。因此，在某个高阈值u以上指定分布函数是很有效的。这是极值理论中的一个典型假设，我们将应用峰值超过阈值的方法（如McNeil和Frey（2000））。我们大致了解了环境。图1:Motorola股价分析：损失数据（顶部）、拟合aGARCH（1，1）模型后的条件方差（中间）和损失数据的残差（底部）。广义帕累托分布（GPD）由gξ，β（x）给出=1.-1+βx-1/ξ, ξ ≠0,1 -经验-xβ, ξ=0，（5.1），其中β>0和ξ∈R.如果ξ>0（5.1）被定义为x≥如果x上定义了ξ<0（5.1）∈[0, -βξ] ，参见Embrechts等人（1997）中的第3.4节。

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2022-5-8 03:30:50

假设我们假设某个高阈值u>0。给定一个具有分布函数F和右端点xF的随机变量X，其相关的超额分布函数定义为fu（y）=P十、-U≤YX>u=F（y+u）-F（u）1-F（u），0≤y<xF-u、（5.2）Pickands（1975）和Balkema and de Haan（1974）将GPD归类为一大类超额分布的极限分布，从而压缩了GPD的强度。更准确地说，在温和的条件下，存在一个可测量的非负参数β=β（u），例如limu→xFsup0≤十、≤xF-U傅（x）-Gξ，β（u）=0holds，参见Embrechts et al.（1997）中的定理3.4.13，以获得该结果的严格说明。（5.1）的密度由gξ，β（x）给出=β1+βx-1/ξ-1, ξ ≠0，βexp-xβ, ξ =0.（5.3）图2:Motorola股价分析：损失数据的样本自相关函数（顶部）和建立GARCH（1,1）模型后的剩余数据（底部）。假设Z具有分布函数FZ，对于某些足够高的阈值u>0，满足Fu（x）=Gξ，β（x）为0≤十、≤xF-u和ξ∈R和β>0，我们发现α≥F（u）（对于ξ=0，我们将该分位数解释为相应指数分布的分位数）F-1Z（α）=u+βξ1.-α1 -F（u）-ξ-1., (5.4)1 -ααF-1Z（y）dy=F-1Z（α）1-ξ+β -ξu1-ξ. 我们得到-1Z（α）=F-1Z（（α+1））=u+βξ(1 -α)1 -F（u）-ξ-1..不幸的是，α没有明确的表达式-1.∫αF-1Z（y）dy.5.2统计模型设置在本节中，我们将之前推导的理论和公式应用于数据集。我们选择1985年3月1日至2014年10月15日期间摩托罗拉股票的历史每日收盘价，因为该数据集提供了金融时间序列的几个典型特征。我们将价格转化为负回报；i、例如，转换为损失，并使用准最大似然估计（QMLE）拟合GARCH（1,1）参数（例如。

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2022-5-8 03:30:54

Franq和Zakoian（2010），第7章）。参数估计可以在表1中找到，结果如图1所示。我们在图1的中间部分可以看到1987年10月（黑色星期一）的主要波动性集群，从2000年到2002年（网络泡沫和9·11袭击事件之后），从2008年到2010年金融危机之后的一个较长时期。图3：广义帕累托分布的拟合。左图：正残差的平均超额图，以及阈值超额残差与设定GPD的QQ图。右图：超额分配fu（x-u）根据拟合的GPD模型（实线）和超额概率的经验估计（虚点）。参数值标准误差a2e-07 1.09e-07a0。0451 0.0014b 0.9531 0.0013表1:QMLE估计的GARCH（1,1）参数。在下一步中，我们将在建立GARCH（1，1）模型后检查损失数据和残差的样本自相关函数。在图2中，底图描绘了残差和平方残差的acf，支持我们对i.i.d.GARCH残差Zt的假设。这也反映在Ljung Box的几次运行中，即残差的各种滞后。残差也通过增广Dickey-Fuller和KPSS平稳性检验。如第5.1节所述，我们将GPD设置为残差的上尾端。我们首先必须选择足够高的阈值u，并选择它作为残差的大约92%分位数。这一点通过研究图3中非负残差的平均过剩曲线得到了支持：残差的92%分位数（蓝色实线）产生了一个阈值，它有效地标志着平均过剩曲线线性行为的开始。

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大多数88

2022-5-8 03:30:57

由于经验平均超标率在增加，图4:QQ绘制了阈值超标残差与最终GPD的对比图。可以假设形状参数ξ为正。ξ和β的参数估计证实了这一点。最大似然估计是ξ=0.3376，95%置信区间[0.2272,0.4481]和β=0.4609，置信区间为95%[0.4023,0.5280]。在图3中，右图描绘了超额分布Fu（x）的GPD fit-u） =P（X）≤十、X>u）叠加在超额概率的经验估计上。请注意GPD模型与超额概率的经验估计值的吻合程度。图4描绘了经验分位数与拟合分位数的QQ图。再次注意，已确定的GPD与经验估计值的良好一致性。5.3将时间一致性风险度量与数据拟合我们现在计算第3节和第4.5.3.1节中相应的时间一致性风险度量时间一致性VaR估计在第一步中，对于单个损失头寸，我们根据命题3.5计算不同α水平的m日前时间一致性VaR；i、例如，我们确定并考虑不同m的VaRαt（Lt+m）∈N.在图5中，我们绘制VaRαt（Lt+m）对于m=1，10.一旦单一时间一致的风险措施计算VaRαt（Lt+m），我们同时通过聚合得到提案3.6中m天内累计损失的风险度量；即。，VaRαtMj=1Lt+j=Mj=1VaRαt（Lt+j）。在图6中，我们绘制了VaRαt(∑mj=1Lt+j）对于m=1，10.表2显示了单一损失Lt+mand累计损失的VaRα∑mj=1Lt+jj对于不同的α和m=1。

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2022-5-8 03:31:00

，10.5.3.2时间一致性AVaR估计在第二步中，我们计算单损失头寸的近似AVaR上界和下界，并计算不同水平α的提前m天；i、例如，我们定义并考虑AVaRαtLt+m和AVaRαtLt+m对于不同的m∈N.我们从提案4.7中获得的m天累计损失的风险度量。图5：提前m天单笔损失头寸的时间一致性VaR估计。图6：提前m天累计损失头寸的时间一致性VaR估计。单损累计。

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nandehutu2022

2022-5-8 03:31:04

损失α7.0.0 0.0 0.0 0.0.0 0.0.0.0.0.0 0.0 0.22 0.0250.0.0 0.0.0 0.0 0.0 0.0 0.0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0.0 0.0 0 0 0.0 0.0 0 0.0 0 0 0 0.0.0 0 0 0.0 0.0 0.0 0 0 0 0 0.0.0.0 0.0 0 0 0.0 0 0.0 0 0.0 0.0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0.0.0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0.0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0.0084 0.0097 0.0117 0.0156 0.0444 0.0495 0.0575 0.07187 0.0089 0.01030.0127 0.0175 0.0533 0.0598 0.0702 0.08938 0.0094 0.0110 0.0180.0196 0.0627 0.0708 0.0840 0.10899 0.0099 0.0118 0.0150 0.0218 0.0726 0.0826 0.0990 0.130710 0.0105 0.0126 0.0162 0.0244 0.0831 0.0952 0.1152 0.1551表2单一损失的VaRαLt+M和累计损失∑mj=1Lt+j.下限上限α10.0 0.0118 0 0.019 0 0.0 0 0.019 0 0.0 0 0.0199 0 0.019 0 0.019 0 0.019 0 0.0 0 0 0.0 0 0 0 0.0 0 0 0.0 0 0 0 0.0118 0 0 0.0 0 0 0 0.0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0139 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0139 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0339 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0339 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0339 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0339 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0339 0 0 0 0 0.0214 0.0260 0.0340 0.0515 0.0402 0.0504 0.0686 0.10937 0.0250 0 0.03110.0420 0.0672 0.0532 0.0687 0.0974 0.16588 0.0291 0.0371 0.0520 0.0878 0.0704 0.0936 0.1384 0.25159 0.0340 0.0444 0.0643 0.1146 0.0932 0.1276 0.1966 0.381310.0398 0.0531 0.0795 0.1497 0.1232 0.1738 0.2792 0.5783表3：单次损失Lt+m=1，10.5.4结论值得注意的是，对动态时间一致性（A）VaR的解释与静态（A）VaR的解释有很大不同：动态（A）VaR通过静态（A）VaR随时间的组成而演变。阿格。阿瓦尔α阿格尔。

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2022-5-8 03:31:09

阿瓦尔α10.0 0.0 0.0 0 0.050 0 0 0.050 0 0 0.0 0 0 0 0.0525 0 0 0.050 0 0 0.055 0 0.0 0 0 0.0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0.0118 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0901 0.10440.1280.17540.1338 0.1596 0.2034 0.29437 0.1151 0.13550.1700 0.2426 0.1870.2283 0.3008 0.46018 0.14420 0.1726 0.2220 0.33040.2574 0.3219 0.4392 0.71169 0.1782 0.2170 0 0.2863 0.4450.3506 0.4495 0.6358 1.092910 0.2180.2701 0.3658 0.5947 0.4738 0.6233 0.9150 1.6712表4：累计损失的AVaRα和AVaRα∑mj=1Lt+j。这导致了更为保守的风险度量，因为未来到期的风险头寸不仅在未来到期时通过自身的动态进入风险评估，而且在到期前的任何时间点进入风险评估。这意味着，在到期前产生的风险影响随时都会得到缓冲。正如人们所预料的那样，当预见到更多的风险管理时，安全边际α越高，安全资本的增加就越显著。表2对比了不同α和到期日m的单一和累计时间一致性VaR值。它令人信服地表明，在整个到期日期间，需要多少更高的资本储备来保证相同水平的统一安全。在α=0.975的水平上，时间一致性累计损失VaR从到期日1到2增加了一倍多，并乘以12到到期日10的系数。要防范可能在遥远的未来出现的所有不确定性，需要付出高昂的代价。为了进行比较，请回顾基于centrallimit定理或未来损失的正态性估计10天VaR的标准行业方法（例如McNeil等人。

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2022-5-8 03:31:12

（2010），第2.3.4节）。回想一下，在接下来的m个周期中，时间t的损失可以写为该周期内负回报的总和。如果回报率为iid，均值为零，方差为σ（甚至是正态分布），那么这个总和再次（近似）正态分布，均值为零，方差为mσ。这促使通过估计1天VaR并将其乘以√m、让我们比较一下表2中的VaRαt与本行业标准一致。我们发现α=0.975的10天VaR为0.0064√10=0.0202（我们必须将其与时间一致性进行比较VaRαt(∑j=1Lt+j）=0.0830，大于4倍），对于α=0.99，10天VaR为0。0088√10=0.0278（我们必须将其与时间一致性进行比较VaRαt(∑j=1Lt+j）=0.1553，大于5倍）。造成这种巨大差异的一个原因是众所周知的事实，即GARCH的损失与√m、但缩放强烈依赖于参数；参见Franqand Zakoian（2010），第4章。然而，单凭这一点并不能解释简单的行业标准和累计损失的时间一致性VaR之间的巨大差异。由于它们的构造，未来累计损失的组合VaR和AVaR产生的保守准备金率比相同α水平的标准VaR和AVaR要高得多。Asan暗示，考虑到α水平的降低，例如在90%的带宽范围内，可以对覆盖100年或1000年事件的α水平过高（如99%或99.9%）的标准保留要求进行测试-97.5%. 从统计学的角度来看，这种极高水平的降低也是非常合理的，因为较低水平的分位数会产生更可靠的估计器。定理3.5第3节的证明我们通过反向归纳进行。

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2022-5-8 03:31:17

首先，通过（3.2），在T-1.我们还有1天的时间VaRαT-1（LT）=F-1Z（α）σt与t=t的（3.7）一致-1.假设（3.7）适用于所有s=t，T-1.我们有VaRαt-1（LT）=VaRαt-1.VaRαt（LT）=VaRαt-1.F-1Z（α）PTtaF-1Z（α）+b=埃辛M∈L（英尺）-1)∶ P（F）-1Z（α）PTtaF-1Z（α）+b≤M英尺-1)≥α.我们用Pt表示-1关于Ft的条件概率-1.注意-1（F）-1Z（α）PTtaF-1Z（α）+b≤m） =Pt-1（F）-1Z（α）PTtaF-1Z（α）+b≤m） =Pσt+1（aF）-1Z（α）+b）T-T-1.≤mF-1Z（α）-在-T-2.k=0（aF-1Z（α）+b）k英尺-1..利用对σt+1的GARCH波动率（2.5）的定义，这可以通过PT继续-1（F）-1Z（α）PTtaF-1Z（α）+b≤m） =Pt-1.aσtZt≤（aF）-1Z（α）+b）T-T-1.mF-1Z（α）-在-T-2.k=0（aF-1Z（α）+b）k-A.-bσt自从《金融时报》-1-可测量且与Ft无关-1我们的结论是：VaRαt-1（LT）=F-1Z（α）a+（aF）-1Z（α）+b）σtaF-1Z（α）+bT-T-1+aT-T-2.k=0（aF-1Z（α）+b）k=F-1Z（α）在-T-1.k=0（aF-1Z（α）+b）k+σt（aF）-1Z（α）+b）T-t=F-1Z（α）PTt-1（aF）-1Z（α）+b）。这就完成了证明。第四节的证明我们需要下面的引理。引理B.1。对于t=0，T-2.假设英国《金融时报》∶R→R是一个可测量的，严格递增的映射。然后我们有{ω∈Ohm ∶ft（Zt+1）>VaRαt英尺（Zt+1）}={ω ∈Ohm ∶Zt+1>F-1Z（α）}。特别是，{ω∈Ohm ∶σt+2>VaRαt（σt+2）}={ω∈Ohm ∶Zt+1>F-1Z（α）}。证据由于ftit的假设是可逆的。根据VaRαtwe haveVaRαt的定义英尺（Zt+1）=埃辛M∈L（英尺）∶ P（英尺（Zt+1）≤M（英国《金融时报》）≥α=埃辛M∈L（英尺）∶ P（Zt+1）≤F-1吨（米）≥α=埃辛M∈L（英尺）∶ FZF-1吨（米）≥α=埃辛M∈L（英尺）∶ M≥英尺F-1Z（α）=英尺F-1Z（α）式中，第三条线来自Zt+1和Ft.Thusft（Zt+1）>VaRαt之间的独立性英尺（Zt+1）=英尺F-1Z（α）当且仅当Zt+1>F时保持-1Z（α）。

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2022-5-8 03:31:20

对于第二部分，注意（3.4），VaRαt（σt+2）=a+σt+1aF-1Z（α）+b.根据GARCH（1,1）模型（2.5）的定义，我们得出σt+2=a+σt+1aZt+1+b=ft（Zt+1）>VaRαt英尺（Zt+1）=a+σt+1aF-1Z（α）+b=VaRαt（σt+2）当且仅当Zt+1>F-1Z（α）。定理4.5的证明我们再次应用反向归纳法。从（4.1）和示例4.3中，我们得到阿瓦尔αT-1（LT）=σT1-ααF-1Z（u）du，与t=t的（4.4）一致-1.为了简单起见，我们写κ=1-α∫αF-1Z（u）du。现在假设（4.4）适用于所有s=t，T-1.那么还需要证明t的（4.4）-1.我们在（4.1）和（2.5）之前阿瓦尔αt-1（LT）=AVaRαt-1.AVaRαt（LT）=阿瓦尔αt-1.κ-PTtaκ+b.我们表示Gt∶=PTt（aκ+b），是σt+1的一个可测量函数，并从期望值中取常数，得到阿瓦尔αt-1（LT）=κEt-1.燃气轮机Gt>VaRαt-1（Gt）.现在请注意，通过定义3.1VaRαt-1（Gt）=essinf{m∈L（英尺）-1)∶P燃气轮机≤M英尺-1.>α}.我们用Pt表示-1关于Ft的条件概率-1.我们使用σt+1Pt的GARCH波动率定义（2.5）进一步计算-1.燃气轮机≤M=Pt-1.在-T-2.k=0aκ+bk+σt+1aκ+bT-T-1.≤M=Pt-1.σt+1≤M-A.∑T-T-2k=0（aκ+b）k（aκ+b）T-T-1.=PZt≤M-A.∑T-T-2k=0（aκ+b）k（aκ+b）T-T-1.-A.-bσtaσt,在最后一行中，我们使用了σt Ft-1-ZT和Ft的可测量性和独立性-1.因此我们可以得出结论：Varαt-1（Gt）=a+σt（aF）-1Z（α）+b）aκ+bT-T-1+aT-T-2.k=0aκ+bk、从引理B.1我们知道{Gt>VaRαt（Gt）}={Zt>F-1Z（α）}。因此，它源于ZT和Ft的独立性-1塔特-1.燃气轮机Gt>VaRαt-1（Gt）=Et-1.燃气轮机Zt>F-1Z（α）=1.-αEt-1.Gt{Zt>F-1Z（α）}.

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2022-5-8 03:31:23

（B.1）此外，我们计算-1.Gt{Zt>F-1Z（α）}=(1 -α）在-T-2.k=0aκ+bk+aκ+bT-T-1.∞F-1Z（α）a+σt（au+b）dFZ（u）=（1）-α）在-T-2.k=0aκ+bk+aκ+bT-T-1.αa+σt（aF）-1Z（u）+b）du=（1）-α）在-T-1.k=0aκ+bk+aκ+bT-T-1.aκ+（1）-α） bσt，与（B.1）屈服集结合-1.燃气轮机Gt>VaRαt-1（Gt）=在-T-1.k=0aκ+bk+aκ+bT-tσt=PTt-1.aκ+b.这最终相当于阿瓦尔αt-1（LT）=1-ααF-1Z（u）du Et-1.燃气轮机Gt>VaRαt-1（Gt）=1.-ααF-1Z（u）du PTt-1.aκ+b,这证明了这一说法。命题4.7的证明仔细的证明追踪揭示了它与定理4.5的证明的相似性。为了简单起见，我们设置κ=1-α∫αF-1Z（y）dy和κ=1-α∫αF-t=t时的1Z（y）dy-1.我们有AVaRαT-1（LT）=与AVaRαT一致的κσT-1（LT）。根据定义和（4.8）和（4.9），阿瓦尔αT-2（LT）=AVaRαT-2.阿瓦尔αT-1（LT）=κAVaRαT-2.σT,我们得到了αT-2.σT=ET-2.σTσT>VaRαT-2（σT）=ET-2.σTZT-1> F-1Z（α）.引理B.1。Jensen不等式yieldsET的一个应用-2.σTZT-1> F-1Z（α）≤ET-2.σTZT-1> F-1Z（α）1/2.我们取得了进一步的进展-2.σTZT-1> F-1Z（α）=ET-2.a+σT-1（aZT）-1+b）ZT-1> F-1Z（α）=1.-α∞F-1Z（α）a+σT-1.ay+bdFZ（y）=a+σT-1.b+a1-α∞F-1Z（α）ydFZ（y）=a+σT-1.b+aκ,这相当于阿瓦尔αT-2（LT）≤κa+σT-1.aκ+b=κPTT-2.aκ+b=阿瓦尔αT-2（LT）。这证明了t=t-2.那是艾瓦·阿尔·T-2（LT）是阿瓦尔αT-2（LT）。现在假设AVaRαs（LT）≥对于s=T，AVaRαs（LT）成立-1.t+1。接下来我们展示Alsoavarαt（LT）≥AVaRαt（LT）。为此，请注意AVaRαt（LT）=AVaRαtAVaRαt+1（LT）≤阿瓦尔αtAVaRαt+1（LT）.

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2022-5-8 03:31:26

（B.2）此外，我们通过归纳假设avarαtAVaRαt+1（LT）=阿瓦尔αtκPTt+1a1-ααF-1Z（u）du+b=κEtPTt+1aκ+bPTt+1aκ+b>VaRαtPTt+1aκ+b.通过与定理4.5和引理B.1的证明类似的计算，我们可以看到上述表达式简化了VarαtAVaRαt+1（LT）=κEtPTt+1aκ+bZt+1>F-1Z（α）≤1.-ααF-1Z（y）dyEtPTt+1aκ+bZt+1>F-1Z（α）1/2，其中最后一行来自Jensen不等式。注意，塔吉特PTt+1aκ+bZt+1>F-1Z（α）=1.-α∞F-1Z（α）在-T-3.k=0aκ+bk+a+σt+1ay+baκ+bT-T-2.dFZ（y）=aT-T-2.k=0aκ+bk+1-αaκ+bT-T-2σt+1αaF-1Z（y）+bdy=aT-T-2.k=0aκ+bk+σt+1aκ+bT-T-1=PTta+b,这意味着savarαtAVaRαt+1（LT）≤1.-ααF-1Z（y）dyPTtaκ+b=AVaRαt（LT）。最后，从（B.2）可以看出：AVaRαt（LT）≤AVaRαt（LT）。命题4.8在t=t时的证明-1，AVaRαT-1（LT）与阿瓦尔αT-1（LT）。t=t时-2.我们获得阿瓦尔αT-2（LT）=AVaRαT-2.阿瓦尔αT-1（LT）=1.-ααF-1Z（y）dy-AVaRαT-2.σT.为了简单起见，我们写κ=1-α∫αF-1Z（y）dy.通过从Z继承的分布函数的连续性，AVaRαT-2.σT=ET-2.σTσT>VaRαT-2（σT）,引理B.1重写了asAVaRαT-2.σT=ET-2.σTZT-1> F-1Z（α）.使用英国《金融时报》-2-σT的可测性-1和a>0，我们进一步计算，等等-2.σTZT-1> F-1Z（α）=ET-2.a+σT-1.aZT-1+bZT-1> F-1Z（α）≥σT-1ET-2.aZT-1+bZT-1> F-1Z（α）=σT-11-α∞F-1Z（α）ay+b dFZ（y）。（B.3）因此阿瓦尔αT-2（LT）≥κ1 -ααaF-1Z（y）+bdyσT-1=AVaRαT-2（LT）。这证明了t=t-2.那是艾瓦·阿尔·T-如（4.11）所示，2（LT）是阿瓦尔αT-2（LT）。现在假设AVaRαs（LT）≤对于s=T，AVaRαs（LT）成立-1.t+1。接下来我们展示Alsoavarαt（LT）≤AVaRαt（LT）。为此，请注意AVaRαt（LT）=AVaRαtAVaRαt+1（LT）≥阿瓦尔αtAVaRαt+1（LT）.

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2022-5-8 03:31:29

（B.4）此外，我们通过归纳假设avarαtAVaRαt+1（LT）=阿瓦尔αtκσT-11-α)αaF-1Z（y）+bdy=κ 1.-α∞F-1Z（α）ay+b dFZ（y）T-T-2Etσt+2σt+2>VaRαtσt+2=κ 1.-α∞F-1Z（α）ay+b dFZ（y）T-T-2Etσt+2Zt+1>F-1Z（α）,其中最后一个等式来自引理B.1。然后通过相同的计算得出（B.3），Etσt+2Zt+1>F-1Z（α）=σt+1αaF-1Z（y）+bdy，这与（b.4）一起产生，AVaRαt（LT）≥κ 1.-ααaF-1Z（y）+BdyT-T-1σt+1=AVaRαt（LT）。致谢我们感谢其中一位评论者和Marcin Pitera，他指出了本文之前版本中的一些错误。参考资料P。Artzner、F.Delbaen、J.-M.Eber和D.Heath。一致的风险度量。《数学金融》，9（3）：203–228，1999年。A.A.巴尔克马和L.德哈恩。大年龄时的剩余寿命。《概率年鉴》，2:792-8041974。T.比莱基、I.夏兰科和M.皮特拉。离散时间内动态风险度量和动态绩效度量的时间一致性的统一方法。arXiv:1409.7028v2[math.PR]，2015年。比昂·纳达尔。时间一致的动态风险过程。《随机过程及其应用》，119（2）：633–6542009。P.切里迪托和M.库珀。时间一致性动态货币风险的构成衡量不确定的时间。《国际理论与应用金融杂志》，14（01）：137-1622011。P.切里迪托和M.斯塔杰。VaR和时间一致性备选方案的时间不一致性。《金融研究信件》，6（1）：40-462009。K.德特勒森和G.斯堪的诺。条件和动态凸风险度量。《金融与随机》，9（4）：539-5612005。P.Embrechts、C.Kl–uppelberg和T.Mikosch。为保险和金融模拟极端事件。柏林斯普林格，1997年。H·F¨ollmer和T·Knispel。熵风险度量：一致性与凸性、模型模糊性和大偏差。《随机与动力学》，11（02n03）：333–3511911。霍尔默和佩纳。

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