所采用的程序考虑了将要获得的新公差作为 在下面的等式bqn中-1= √2erf-1[2F（q）- 1] ，（31）其中q是用户指定的分位数水平，F是平均值为0且标准偏差为正态分布的CDF 和bqn-1是在SMC Sampler ABC算法的校正阶段后，从ABCposterior近似中获得的粒子数分位数估计。通过这种方式，公差计划将不断适应局部粒子近似性能。在实践中，对ABC后验法中的公差采用以下自适应计划在计算上是有效的，其中我们确保分配顺序的设计，使得新公差计算为严格递减计划，由n=最小值（（1）- α)N-1.*) , （32）在哪里∈ （0，1）。3.2.2变异核的选择在设计SMCSampler算法时，可以考虑许多变异核的选择。核的选择通常是算法性能良好的关键。在本节中，我们首先调查了一些可能的选择，然后介绍了我们从遗传搜索文献[Li and Zhang，2009]中采用的突变核的特殊选择，该选择涉及SMC采样器中粒子突变的突变和交叉算子组合。为了在SMC采样器设置中使用这类变异算子，我们不仅要正式记录NGSAII类遗传优化算法中典型指定的结构形式的变异和交叉算子，还要确定其分布形式。我们在本节末尾提供这些信息。变异核的一些可能选择的例子如下：1。独立内核。在这个设置中，我们将为alln选择一个变异内核∈ {1, 2, . . .

，T}乘以Mn（θn-1，θn）=Mn（θn）；2.局部随机游动。在此设置中，将为alln选择内核∈ {1，2，…，T}的形式为Mn（θn-1，θn），其中θn的突变-1 Toθn允许基于高斯平滑核的局部随机游动，如Givens和Raftery[1996]所述；3.马尔可夫链蒙特卡罗核。在此设置中，将为alln选择内核∈ {1，2，…，T}是不变分布πn的MCMC核。如Del Morala等人[2006]和Peters[2005]所指出的，如果马尔可夫链核是混合的，或者如果分布序列是πn，则此选项适用-1接近πn，这是设计中经常出现的情况。然后，使用MCMC内核将导致每个阶段运行N个非齐次马尔可夫链。然后，我们必须纠正一个事实，即我们没有针对这些马尔可夫链下的正确分布，这是通过使用is:^πNn实现的-1=PNi=1W（i）n-1Δθ（i）n-1（θ）并对每个粒子运行马尔可夫链的L次迭代，其中N条链中的每一条都将以pni=1W（i）N为目标-1QLl=1Mlθ（i）l-1，θl, 这不是一般意义上的πn，那么通过is校正，这种方法是准确且无偏的（即，目标是πn给出的时间n的感兴趣分布；4.吉布斯采样核。如果目标分布序列{πn}n≥如果0的支持度是多元的，那么也可以从分布序列中的完整条件分布中取样。这种方法允许一个人进行Gibbsstep，这将涉及一个内核来更新表单mn（θn）中给出的第k个元素-1，dθn）=Δθn-1.-k（dθn，-k） πn（θn，k |θn，-k） （33）对于θn，-k=（θn，1，θn，2，…，θn，k-1，θn，k+1，θn，J），其中在theOpRisk模型中有J个参数。

如果没有完整的条件，可以在每个阶段精确地近似它们，然后通过IS校正近似误差；5.混合果仁。考虑由mn（θn）给出的混合核选择总是可能的-1，θn）=MXm=1αn，m（θn）-1） Mn，m（θn）-1，θn），（34）与αn，m（θn）-1） >0且pmm=1αn，m（θn-1) = 1. 这种核的一种特殊情况是由核密度估计Mn，m（θn）构造的独立核-1，θn）=Mn（θn）-1，θn）和αn，m（θn-1） =W（i）n-1，M=N；6.部分拒绝控制核。在这种情况下，我们的目标是在SMC采样器中构建一个变异核，以确保所有采样的粒子在每次n时都具有超过用户指定阈值的重要性权重，以CNW（i）n表示≥ 中国，我∈ {1,2，…，N}。为了实现这一点，可以修改任何早期的变异内核，使其采用byM给出的形式*Nθin-1，θn= r（cn，θ（i）n-1)-1.闵1，W（i）n-1wnθ（i）n-1，θncn锰θ（i）n-1，θn. （35）量r（cn，θ（i）n-1） 表示粒子θ（i）n的归一化常数-1，给定byr（cn，θ（i）n-1） =Zmin1，W（i）n-1wnθ（i）n-1，θncn锰θ（i）n-1，θn注意0<r（cn，θn）-1) ≤ 1如果（w.l.o.g.）变异核MN被归一化，那么RMN（θn-1，θn）dθn=1，如果PRC阈值为0≤ cn<∞ 现在是最后一天。然后，用户指定PRC阈值的顺序，以确保SMC采样器每个阶段的特定颗粒“适合度”。我们将在以后的章节中更详细地介绍这个例子。7.基因突变和交叉算子。在SMC采样器中的这类变异核中，我们考虑了一类遗传算法类型的变异。特别是，我们描述了在Deb等人[2002]的方法中引入的随机搜索算法中广泛使用的MOEA变异和交叉算子类。

这类变异核是多目标优化中应用最广泛的算子，我们证明了它适用于SMC采样器框架。NSGA-II运算符的一个缺点是，它们只能对输出参数向量的二进制、整数或实数编码进行变异，而流动性提供者提交limitorder活动的随机过程需要指定正定义和对称协方差矩阵，以便从多变量倾斜分布生成强度。如果仅使用上述进化算子产生新的协方差矩阵候选解集，协方差矩阵X的正不确定性和对称性约束将不会得到保留。为此，Panayi和Peters[2015]引入了一种新的协方差变异算子，该算子生成了新的候选协方差矩阵，这些协方差矩阵保留在正定义矩阵的流形中。模拟二元交叉（SBX）：来自前两个粒子θ（i）n-1，θ（j）n-1，一个新的解θ（i）nis形成，其中第k个元素交叉如下：θ（i，k）n=[（1）-β）θ（i，k）n-1+（1+’β）θ（j，k）n-1].

（37）这里，β是一个随机样本，来自密度为β=（（αu）ηc+1的分布，如果u≤α(2-αu）ηc+1，否则。你在哪里~ U（0，1）和α=2- β-（ηc+1），其中β=1+θ（j，k）n-1.- θ（i，k）n-1分钟θ（i，k）n-1.- θkL,θkU- θ（j，k）n-1.i（38）这将在SMC采样器迭代n中为第i粒子向量的第k个元素生成这种移动的变异核，该元素将根据mn（θ（i，k）n |θ（i，k）n给出的密度进行更新-1，θ（j，k）n-1） =θ（j，k）n-1.- θ（i，k）n-1.θ（i，k）n∈θ（i，k）n-1，θ（i，k）n-1+θ（j，k）n-1#ηc+1α·θ（i，k）n-1+θ（j，k）n-1.- θ（i，k）nθ（j，k）n-1.- θ（i，k）n-1.ηc+1θ（i，k）n∈θ（i，k）n-1+θ（j，k）n-1.-2(2-α） ηc+1，θ（i，k）n-1#ηc+1α·θ（i，k）n-1+θ（j，k）n-1.- θ（i，k）nθ（j，k）n-1.- θ（i，k）n-1.ηc+2我们使用概率pc=0.7和分布指数ηc=5的交叉算子。第i个粒子向量的每个元素k以0.5的概率交叉。多项式变异：变异算子根据与边界的距离扰动解的元素。θ（i，k）n=θ（i，k）n-1+/δ（θkU）- θkL）这里我们有‘δ‘=(2γ + (1 -2γ)(1 - δ） ηm+1ηm+1- 1如果γ<0.51-2(1 - γ) + 2(γ - 0.5)(1 - δ） ηm+1ηm+1ifγ≥ 0.5.δ=minhθ（i，k）n- θkL,θkU- θ（i，k）ni、 哪里，γ~ U（0,1）。这将在SMC采样器迭代n中为第i个粒子向量的第k个元素生成这种移动的变异核，该元素将根据mn（θ（i，k）n |θ（i，k）n给出的密度进行更新-1） =θkU- θkLθ（i，k）n≤θ（i，k）n-1.（ηm+1）（δ+1）ηm2（1）- (1 -δ） ηm+1）+θ（i，k）n>θ（i，k）n-1.（ηm+1）（1）-△ηm2（1）- (1 -δ） ηm+1）分布指数ηm=10。多项式变异算子的使用概率m=0.2。协方差变异算子：在MOEA的第t代中，我们生成∑（i）到，i=1。

N来自混合物分布Mn（∑N，i）定义如下：Mn（∑（i）t）=（1- w） IW（ψn，p）+wIW（ψ，p），其中IW表示逆Wishart分布，p，pare自由度参数，p<p，其中wis较小，因此从第二个分布进行采样的频率较低。这里，ψ表示一个无信息的正定义矩阵，其影响是，从第二个分布中取样会导致远离正在探索的局部区域。ψ也是一个正定义矩阵，基于与多目标优化前一阶段中成功提出的候选解决方案的样本平均值的矩匹配，如下所示：ψn=Pns=1wsnXs=1wsPNi=1r（i）sNXi=1r（i）s∑（i）nw其中r（i）是第s代中第i个解决方案的非支配秩，而w<1是指数加权因子。4股票LOB数据的应用：数据描述本研究中使用的数据构成了2012年1月至4月期间欧洲多边贸易安排（MTF）Chi-X Europe的日内交易活动。Chi-X Europe从2007年开始作为一个独立实体运营，之后在考虑的交易期结束时被BATS Europe收购。我们注意到，Chi-X Europe是一家二级交易所，即在该交易所交易的证券在国家/超国家交易所上市，主要在国家/超国家交易所交易，包括伦敦证券交易所、泛欧交易所、德意志交易所和六大瑞士交易所等。然而，它在这些市场的每日交易活动中保持着相当大的比例，大多数情况下在20%到35%之间。完整的数据集涵盖1300多种资产，主要是股票，但也包括交易所交易基金（ETF）和美国存托凭证（ADR）。

在本研究中，我们选择了法国CAC 40指数中最常交易的股票之一，即法国巴黎银行。图2显示了基于LOB的真实市场观察数据，该资产的LOB在典型日期的演变。我们还提供了内部排列的热图St=Pa，1t- Pb，2012年2月至3月的两个月内。内部利差是“流动性”最常见的衡量标准，即人们买卖金融资产的相对容易程度。Chi-X Europe操作可见和隐藏的订单簿，如果满足与订单类型和规模相关的特定条件，交易员可以选择将订单发送到隐藏的订单簿。在exchange的匹配引擎对数据集进行处理后，该数据集只包含可见书本中的数据。也就是说，虽然交易所允许一系列订单类型随时间变化，但经过处理的数据包括限价订单提交的时间戳和订单大小，http://www.liquidmetrix.com/liquidmetrix/battlemap36753700372537503775380009:0012:00 15:00时间价格（美分）SideASKBID1000200030000Value0。02.55.07.510.009:00 12:00 15:00 TimesPread（美分）5001000Count图2：（左）：从2012年3月5日法国巴黎银行资产交易活动中获得的日内LOB状态的真实市场数据表示。每个框的阴影表示该价格下的可用量，即蓝色边框框的可购买量和红色边框框的可出售量。（右）：法国巴黎银行资产有限公司2012年2月至3月的日内息差热图。处决和取消。

然而，与以往的研究（仅考虑第一级或前5级的体积）相比，这些数据足以构建一个更详细的LOB状态图，因为我们可以将体积分解到LOB中的任何深度。因此，原始的、间隔不均匀的数据用于构造每个eventtimestamp处的LOB状态（这些数据的精度高达毫秒）。由于我们对拟合描述价格和交易量动态的辅助模型感兴趣（这些在第5节中概述），因此，我们以10秒的间隔对过程进行二次抽样，以便提取出感兴趣的价格和交易量变量。因此，从通常每天包含50000到500000个事件的不规则间隔过程中，我们提取辅助模型变量的规则时间序列，以用于我们的估计。5结果本节给出的结果可与Panayi和Peters[2015]报道的间接推断程序得出的结果进行比较。为了实现比较，我们还提供了他们所称的基准“参考”模型的结果，该模型做出了一系列假设，以简化估计和模型结构。该基本参考模型具有以下参数向量：uLO，p，uLO，d，uMO，γ，ν，σMOo，以及估计的协方差矩阵∑tobe，详见Panayi和Peters[2015]。结果将根据LOB模拟的各个参数的ABC边际后验分布以及由此产生的基于随机代理的LOB模型的中间值来呈现，以合理地生成模拟LOB的真实特征。在第2.2.1节介绍无似然方法时，我们讨论了将观测数据y简化为汇总统计的低维向量ty。

我们对两个最常研究的LOB特征感兴趣，这两个特征对应于从价格过程动态（从内部价差的一半获得）获得的对数回报的波动性，以及基于LOB的交易量的演变（通过在1到5级的出价和要价的瞬时总交易量来衡量）。我们在这一阶段采用的总结在ABC应用程序中不是标准的，因为它们采用了可观察LOB过程特征的功能（即基于回归模型）总结。在这种情况下，汇总信息成为由估计模型参数捕获的模型特征（降维），与真实LOB数据和价格或数量动态的模拟LOB数据相吻合。具体来说，我们有：辅助模型1——价格特征：如果我们将中间价格表示为pmidt=pa，1t+pb，那么对数回报定义为rt=lnpmidt-这里这是一个合适的间隔，在我们的情况下是1分钟。对于Bβ参数化的数据，我们建立了一个GARCH（1,1）模型。辅助模型2——交易量特征：为了捕捉LOB交易量的时间序列结构，我们将MA（1）模型与前5个级别的去趋势总交易量（即ARIMA（0,1,1）模型）结合起来，以Bβ为参数对买卖双方进行参数化。辅助模型适用于真实数据和模拟数据，对于距离We，估计辅助参数vectorsD=D之间的欧氏距离bβ（y），bβ（y*(θ)),D=Dbβ（y），bβ（y*(θ)).5.1估算算法配置为执行估算，我们还指定了SMC采样器ABC算法的许多输入，包括颗粒数量、公差计划强制减量以及运行估算的总迭代次数。

具体来说，我们的估算程序有：o估算程序运行了20次迭代。o采用的公差表是第3节规定的强制减量表。2.1，减量参数α=0.1我们每次迭代使用50、100和200个粒子来获得结果我们还测试了一系列公差分位数水平的结果质量，即q0。5，q0。75和q0。9.对上述每种配置执行估计程序表明，对于分位数水平q0，获得了最佳结果（以D，D的最低值表示）。9为公差，200个颗粒。我们使用上述配置和配置重复了20次估算过程，图3显示了在强制公差计划的情况下，当估算运行T=20次迭代时，ABC后验公差的演变。我们注意到，第3.2.2节中规定的协方差矩阵的突变算子（由探索和突变成分组成）可能导致更高维度的粒子退化。因此，在实践中，将协方差矩阵的变异核简化为静态变异核可以在计算上更加高效，从而消除每个增量粒子权重的分子和分母中的先验权重。当这被执行时，它产生的粒子系统在更高的维度中简并性问题更少。其次，由于交叉算子的性质，一个粒子有可能与一个相同的粒子交叉，例如，如果两个粒子是在前一次迭代的重采样步骤中产生的。

在我们的估计中，我们明确排除了这种可能性，如果一个粒子选择与一个相同的粒子交叉，而是使用操作员指定的第3.2.2.5 10 15 200.0 0 0.5 1.0 1.5 2.0节迭代ε配置图3：根据2012年3月5日BNP Paribas的实际数据，从多个SMC采样器ABCRUN获得的自适应估计公差计划，具体见第3.2.1.5.2节最终颗粒度和参数分布。在BNP上运行SMC采样器ABC算法2012年3月5日的Paribas LOB数据我们获得了基于代理的LOB模拟模型的后验概率估计。第一组结果显示了LOB模型的准确性，以复制与价格和交易量动态相关的真实LOB随机过程的特征。在SMC Sampler ABC算法的最终迭代阶段，每个粒子的目标函数D、D的值在图4中清楚地说明了这一点。这是优化结果的标准方式●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●0.000.250.500.751.000.00 0.25 0.50 0.75 1.00辅助功能1距离辅助功能2距离权重●●●0.050.100.15●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●0.000.250.500.751.000.00 0.25 0.50 0.75 1.00辅助功能1距离辅助功能2距离权重●●●●0.040.080.120.16图4:2012年3月5日对法国巴黎银行真实数据进行独立试验的最终迭代时，SMC采样器ABC算法中每个部分的已实现目标函数（距离度量和D）值。

x轴是价格过程日内波动动态的GARCH（1,1）模型参数距离差异。y轴是日内交易量过程动态的ARIMA（0,1,1）模型参数距离差异。介绍了使用多目标进化算法（MOEA）（见Panayi和Peters[2015]中的讨论），为了展示在该设置中获得的帕累托最优前沿，请参见第5.3节中的讨论。在图5中，我们还展示了最重粒子和粒子加权平均数的LOB日内演变的实现。我们注意到，由于不同的估计程序重复，模拟金融市场的日内动态存在差异。然而，我们注意到，对于一部分粒子，我们可以恢复与实际市场中观察到的类似的价格和体积动态（我们在图2中看到了一个例子）。为了完成分析，我们还说明了从2012年3月5日法国巴黎银行数据的20次SMC采样器ABCalgorithm独立运行中获得的模型参数的边际后验分布中值。这些结果如图8.5.3所示，与MOEA-II程序的结果比较Panayi和Peters[2015]中介绍的方法是基于模拟的间接推理（II）和多目标优化的组合，表示为多目标II估计框架。与ABC一样，II在无法以封闭形式记录数据生成模型的可能性时使用，但在给定模型参数θ的情况下，通过模拟很容易获得实现。

II介绍了一种新的“辅助”模型（带有参数向量β），该模型适用于真实数据和模拟数据（y和y）的转换*（θ） 目标是找到模型参数向量^θ，该向量使某些距离度量D（β（y）、β（y）最小化*(θ)).标准II程序的多目标扩展涉及目标函数D（β（y），β（y*(θ)). 当标准II程序考虑目标函数的标量输出时，多目标II方法考虑向量值输出，其中，向量的每个元素34503460347034803490350009:00 12:00 15:00时间价格（美分）SideAskBID100030004000Value35005355103515352009:00 12:00时间价格（美分）SideAskBID100030004000Value34603480350009:00 12:00 15:00时间价格（美分）SideAskBID10001500Value3470348034909:00 12:00 15:00时间价格（美分）SideAskBID10001500150015002000ValueFigure 5：模拟的表示通过使用（顶部）：单个估计过程中的MAPparticle和（底部）：MMSE粒子估计获得的日间LOB状态。属于LOB随机过程的不同特征。在这个框架中，搜索的是非支配参数向量，即搜索空间中没有参数向量可以单方面改进单个标准（目标函数元素），而不改变另一个标准。该程序使用第3.2.2节中概述的相同变异和交叉核，并输出一组帕累托最优解，详情见Panayi和Peters[2015]。SMC-ABC方法返回一系列粒子和相关权重，MOEAII程序返回一系列粒子及其非支配秩。然后，我们将前一个过程返回的最高权重粒子与后一个过程返回的非支配粒子进行比较。

研究发现，这两种方法的结果具有可比性，无论是在实现类似的目标函数值方面，还是在生成类似于真实金融市场的模拟方面。也就是说，虽然并非所有最高重量/非优势颗粒都会产生真实的金融市场模拟，有一个子集是347034803490350009:00 12:00 15:00时间价格（美分）侧ASKBID20000400060000价值35003203540356009:00 12:00 15:00时间价格（美分）侧ASKBID10002000400040000价值345035003550360009:00 12:00时间价格（美分）侧ASKBID1000200040000价值3400345035005009:00 12:00 15:00时间价格（美分）侧ASKBID100000003000价值图6：模拟日内LOB状态的表示通过使用单个估计过程中的（顶部）：MAPparticle和（底部）：MMSE particle estimates获得。做虽然我们试图通过使用相同的变异和交叉算子对这两种方法进行公平比较，但我们应该强调本文中提出的MOEAII程序和SMC-ABC程序之间的一些差异。首先，MOEA-II程序在对协变变异算子使用自适应变异核时不受粒子简并性的影响，因此，如前所述，使用了第3.2.2节中的算子。

其次，在每次迭代中，MOEA-II程序中粒子之间的交叉概率设置为默认值0.7，发现这会导致额外的粒子简并度问题，因此概率降低到0.05（额外排除与本节前面描述的相同粒子交叉）。0.02.55.07.510.009:00 12:00 15:00时间间隔（美分）100200300400count0。02.55.07.510.009:00 12:00 15:00时间间隔（美分）100200300Count图7：日内扩散值的热图（左）：来自估计程序的贴图粒子和（右）：MMSE粒子估计。6结论本章提出了一个基于随机代理的流动性供需模拟模型，用于描述在电子交易所交易的资产的LOB。该模型与真实市场LOB数据的校准是通过后验推理程序进行的，该程序采用ABC结构，这是因为记录LOB代理模拟模型产生的可能性非常复杂。然后通过自适应SMC取样器ABC算法，展示了后验分布的估计。结果在真实数据上进行了测试，并与具有多目标优化特征的间接推理程序进行了比较。参考文献马克·博蒙特、张文阳和大卫·J·巴尔丁。人口遗传学中的近似贝叶斯计算。遗传学，162（4）：2025-20352002。马克·博蒙特、让-玛丽·科努埃、让·米歇尔·马林和克里斯蒂安·P·罗伯特。自适应近似贝叶斯计算。Biometrika，2009年。迈克尔·布卢姆。近似贝叶斯计算：非参数视角。《美国统计协会杂志》，105（491），2010年。尼古拉斯·肖邦。序贯蒙特卡罗方法的中心极限定理及其在贝叶斯推理中的应用。

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