SMC-ABC方法估计随机模拟模型

2022-5-8 03:43:15

极限订单随机模拟模型估计的SMC-ABC方法bookGareth W.PetersUCL，统计科学系，WC1E 6BT，伦敦，UKgareth。peters@ucl.ac.ukEfstathiosPanayiUCL，计算机科学系，WC1E 6BT，伦敦，UKefstathios。帕纳伊。10@ucl.ukFrancois法国CRIStAL UMR CNRS 9189里尔塞皮蒂尔矿业电信研究所。20211年11月8日高频金融市场动态的难处理似然模型简介在本章中，我们考虑最近为定量金融开发的模型类别，这些模型涉及对高度复杂的多变量、多属性随机过程进行建模，称为限额订单簿（LOB）。LOB是世界上每一个进行交易的电子交易所每天记录的所有资产的主要数据结构。因此，如果想要描述交易资产的价格、交易量、流动性和其他重要属性的随机动力学特征，它代表了从随机过程角度研究的最重要的基本结构之一。在本文中，我们的目标是采用Panayi和Peters[2015]最近提出的模型结构，该结构为给定资产的LOB开发了一个随机模型框架，并解释如何对一系列不同资产的实际观测LOB数据执行该随机模型的校准。我们可以将这类问题视为一种真正的情况，在这种情况下，无论是难以逐点评估的可能性，还是难以模拟的可能性，此外，数据量也是巨大的。

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2022-5-8 03:43:19

这是一个大数据应用的真实例子，对于每一天和每一项资产，可以有100000-500000个数据向量用于模型校准。我们将在这里考虑的校准技术类别涉及根据Panayi和Peters[2015]最近提出的多目标优化公式开发的间接推理框架的贝叶斯ABC重新公式。为了便于对这两个框架进行等效比较，我们还采用了Panayi和Peters[2015]提出的遗传随机搜索算法，称为NGSA-II[Deb等人，2002]。我们采用了多目标优化算法文献中广泛使用的随机遗传搜索算法，使其能够在ABC环境下的一类顺序蒙特卡罗采样器（SMC采样器）算法中用作变异核。我们从问题和模型公式开始，然后讨论估算框架，最后给出一些真实数据模拟结果，这些数据来自一个被高度利用的泛欧二级交易所（以前称为Chi-X），该交易所最近才被BATS获得。1.1 LOB和相关多队列模拟模型简介金融市场的结构决定了买家和卖家之间的互动形式。金融证券市场通常作为报价驱动型市场（专家（交易商）提供双向价格）或订单驱动型市场运作，参与者可以通过中央匹配机制表达交易兴趣，直接进行交易。

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2022-5-8 03:43:21

伦敦证交所是后者的一个例子，赫尔辛基、香港、深圳、瑞士、东京、多伦多和温哥华证券交易所，以及泛欧交易所和澳大利亚证券交易所都作为纯粹的LOB运营，而纽约证券交易所、纳斯达克和伦敦证券交易所也运营着混合LOB系统【Gould等人，2013年】，由专业人士操作流动性较低的证券。在本章中，我们将在LOB的背景下考虑交易活动。市场参与者通常被允许在场地上下两种类型的订单：限价订单，其中他们指定了他们不愿意购买的价格（或他们不愿意出售的价格），以及市场订单，它们以最佳可用价格执行。市场订单立即执行，前提是账簿另一侧有相同规模的订单。限价只有在订单簿中规定的限价或以下（上图）有相反的交易利益时，才会执行限价订单。如果没有这样的兴趣，订单将被输入到有限订单簿中，在该簿中，订单按价格显示，然后按时间优先级显示。图1:Chi-X订单簿状态的示例。书的左边是购买兴趣，右边是销售兴趣。最高出价（买入指令）为100股，出价2700美分，而最低出价（卖出指令）为70股和100股，出价2702美分。订单的优先顺序是价格，然后是时间。图1显示了特定股票在特定时间在Chi-X交易所交易的订单簿的示例快照。市场指令买入200股将导致三次交易：70股在2702点，100股在2702点，其余30股在2704点。

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2022-5-8 03:43:25

另一方面，在2705点卖出300股的限价指令不会立即执行，因为最高买入指令只有2700美分。它将改为在右边输入限价指令簿，以2705美分的优先权排在第二位，仅次于已经在指令簿中的120股。LOB模拟模型旨在生成在此类LOB中观察到的交易交互，并允许对日内交易过程进行真实描述。特别是，这些模型模拟了单个市场参与者的行为，通常基于各类真实交易者的行为。交易金融资产的价格由这些交易员提交的限额和市场指令决定。根据模型，瞬时价格被认为是最高买入价和最低卖出价之间的中点，或者是最后交易价。由于对LOB中股票价格和可用交易量的日内动态进行建模的实际利益，以及基于理性的传统经济模型难以再现这些动态，因此有许多研究方法试图解决这一差距。一方面，出现了零情报方法（如Maslov[2000]），通常由单一的、不成熟的交易代理人组成，他们随机提交订单，可能受到（很少）限制，如预算考虑。因此，他们的行为所施加的最低限度的纪律通常足以重现金融市场常见的特征，例如收益分布中的厚尾[Maslov，2000]。后来的模型[LiCalzi和Pellizzari，2003年，Fricke和Lux，2013年]也考虑了更现实的交易行为，即代理人根据其对金融资产的感知价值行事。

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2022-5-8 03:43:28

然而，LiCalzi和Pellizzari[2003]指出，这些关于代理行为的额外考虑不一定会导致更现实的股价产出，而且很可能是强加的市场结构对复制价格特征的影响最大。另一项重要的研究涉及将LOB建模为每个价格以及买入（买入）和卖出（卖出）端的一组队列。在Cont等人[2010]和Cont and De Larrard[2013]的模型中，一个描述极限顺序过程强度的幂律被发现是一个很好的实证结果。然而，由于存在算法交易策略，他们对每个级别和每个事件类型的活动之间的独立性的假设在现代LOB中不太可能成立，这导致了不同类型的依赖结构。从观察到的经验LOB数据可以清楚地看出，存在非平凡的依赖结构，因此，在模型公式中忽略这些特征将导致所建模的短期LOB过程的表示不充分。在Panayi和Peters[2015]引入的LOB模拟模型中，他们试图为LOB市场结构及其组成因素提供更丰富的描述，但同时也考虑了不同级别的交易活动之间的依赖性。以下章节详细介绍了所提出模型的主要组成部分，然后将其扩展为ABC后验公式，用于估算和推断。2.高频金融市场动态的贝叶斯模型在本节中，我们开发了一类新的贝叶斯模型，可用于研究每日限额订单簿（LOB）的动态。

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2022-5-8 03:43:31

我们首先介绍了随机多变量有序流模型，并将其发展为“随机代表主体”模型框架。然后将其重新表述为一个难以处理的似然随机模型，并发展为一个近似的贝叶斯计算模型（后验模型）。2.1基于限价订单簿代理的模型我们考虑固定时间间隔内的日间LOB活动，[t]- 1，t），[t，t+1]，……在每个区间[t，t+1]，我们允许随着模拟的发展动态调整LOB的出价或要求方的总级别。这些LOB级别是根据两个参考价格定义的，等于pb，1t-1和pa，1吨-1，即区间开始时的最高出价和最低要价。我们认为这些参考价格在整个时间间隔[t]内是恒定的-1，t），因此，书中投标方的水平被定义为从pa 1t开始的整数滴答数-1，虽然书中提问部分的水平定义为从pb到1t的整数滴答数-1.这并不意味着我们期望最佳出价和要价保持不变，只是我们根据这段时间内这些参考价格的距离来模拟活动（即限制订单到达、取消和执行）。我们注意到，当然有可能在这段时间内消耗以最佳投标价格出售的数量，并以该价格公布限售订单，该价格将被视为与参考价格相差0点。为了考虑到这种可能性，我们在-ld+1，0, . . . , 每一个参考价格都会降低。这里，p下标将指被动顺序，即。

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2022-5-8 03:43:35

如果参考价格保持不变，且d指直接订单或积极订单，则不会导致立即执行的订单，在此情况下，我们再次理解，相对于期初的参考价格，d指的是积极订单。因此，我们积极地在投标和询价的总lt=lp+LDL水平上对活动进行建模。我们假设发生在更远的地方的活动与接近书籍顶部的活动不相关，因此不太可能对价格演变和成交量过程的性质产生太大影响。因此，位于主动建模LobLevel之外的体积(-ld+1，0, . . . , 在agentinteractions将这些级别置于主动建模级别的范围内之前，买卖协议中的lp）假定保持不变，此时它们将再次动态演变。这样一组假设与观察到的所有现代电子交换的所有LOB的程式化特征是一致的。为了展示模拟框架的细节，包括每个代理的随机模型组件，即流动性提供者和流动性需求者，我们首先定义以下符号：1。增值税=（Va，-ld+1t，Va，lpt）-时间t时，在LOB的主动建模级别上，ask侧的每个级别上的订单数的随机向量；2.NLO，at=（NLO，a，-ld+1t，NLO，a，lpt）-在区间[t]的每一级，在ask端发送限制订单簿的限制订单数量的随机向量-1，t）；3.NC，at=（NC，a，1t，…，NC，a，ltt）-区间[t]内ask端取消的限制订单数量的随机向量- 1，t）；4.

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2022-5-8 03:43:38

NMO，at——区间内流动性需求方提交的市场订单数量的随机变量[t]- 1，t）。我们考虑限额订单和市场订单的流程，以及与LOB中实际市场参与者行为相关的取消。在下文中，我们对两类流动性动因的活动进行了建模，即流动性提供者和流动性需求者。当我们在离散时间间隔中建模LOB活动时，我们在每个时间间隔结束时按以下顺序处理aggregateactivity：1。由流动性提供机构代理的限制订单到达（被动）；2.限制流动性提供方代理的订单到达（主动或直接）；3.流动性提供方代理行的取消；4.流动性需求方代理的市场指令。这种指令的基本原理是，绝大多数限价指令的提交和取消通常是由高频交易者的活动造成的，许多休息指令在较慢的交易者可以对其执行之前被取消。此外，这样的排序允许我们根据LOB的状态设置条件，这样我们在特定级别上的取消不会比在该级别上的订单多。这通常是合适的，因为对于给定的模拟，我们考虑的时间间隔可以尽可能小。2.1.1随机代理表示：流动性提供者和需求者我们假设流动性提供者对所有做市行为负责（即限制LOB的买卖双方提交和取消订单）。在将流动性转移到LOB后，寻求流动性的市场参与者，例如使用某种执行算法的共同基金，可以利用市场订单的剩余量。

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2022-5-8 03:43:43

对于做市商来说，在买卖双方执行的交易量之间实现平衡是有利的。然而，也存在逆向选择的风险，即与信息优越的交易者进行交易。这可能会导致损失，例如，如果一名交易员发布了多个市场订单，这些订单消耗了LOB的各个级别的交易量。信息不对称导致的逆向选择风险是市场微观结构理论奥哈拉[1995]的基本原则之一。为了降低这一风险，做市商以不同的价格和/或不同的规模取消并重新提交订单。定义1（流动性提供方代理行的限额订单提交流程）考虑了流动性提供方代理行的限额订单提交流程，包括账簿买卖双方的被动和主动限额订单，假设其具有以下随机模型结构：1。让多元路径空间随机矩阵NLO，k1:T∈ Nlt×T+可以由随机向量构造，用于限制顺序放置的数量NLO，k1:T=NLO，k，NLO，k，NLO，kT.此外，假设这些在时间T的每一级的阶数的随机向量都有条件地依赖于极限阶数到达的强度的潜在随机过程，由随机矩阵∧LO，k1:T给出∈ Rlt×T+和路径上的∧LO，k1:T=∧LO，k，∧LO，k，∧LO，kT. 在下面，k∈ {a，b}表示询问方和出价方各自的流程。2.假设由，hNLO，ks |∧LO，ksi给出的随机向量的条件独立性⊥⊥hNLO，kt |∧LO，kti，s6=t，s，t∈ {1,2，…，T}。(1)3. 对于每个时间间隔[t-1，t）从当日交易开始，让随机向量表示在限价指令簿的每个主动建模级别中新下的限价指令数量，即对应于滴答声的价格点(-ld+1，0, 1, . . .

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2022-5-8 03:43:47

，lp），表示为NLO，kt=（NLO，k，-ld+1t，NLO，k，lpt），并假设这些随机向量满足条件依赖性质hno，k，st∧LO，k，sti⊥⊥hNLO，k，qt∧LO，k，qti，s6=q，s，q∈ {-ld+1，0, 1, . . . , lp}。(2)4. 假设随机向量NLO，kt∈ Nlt+按照多元广义DCOX过程分布，条件分布为NLO，kt~ GCPλLO，kt由公共关系部提供NLO，k，-ld+1t=n，NLO，k，lpt=nlt∧LO，kt=λLO，kt=Qlps=-ld+1λLO，k，stNSN！扩展-λLO，k，sti。(3)5. 根据∧LO，ks，假设潜在强度的随机向量无条件地具有独立性⊥⊥ ∧LO，kt，s6=t，s，t∈ {1,2，…，T}。(4)6. 假设强度随机向量∧LO，kt∈ Rlt+是通过随机向量ΓLO，kt的元素变换获得的∈ Rlt，其中对于每个元素，我们有∧LO，k，st=uLO，k，sF的映射ΓLO，k，st, （5）我们这里有∈ {-ld+1，lp}，基线强度参数nuLO，k，so∈ R+与收敛单调映射F:r7→ [0, 1].7. 假设随机向量ΓLO，kt∈ R根据多元斜t分布ΓLO，kt分布~ 带位置参数向量mk的MSt（mk，βk，νk，∑k）∈ Rlt，参数向量βk∈ Rlt，自由度参数νk∈ N+和lt×ltcoveriance矩阵∑k。因此，ΓLO，kt有密度函数fΓLO，ktγt；mk，βk，νk，∑k=cKνk+ltq（νk+q（γt，mk））[βk]t[∑k]-1βkexp（γt）-mk）T[∑k]-1βkq（νk+q（γt，mk））[βk]t[∑k]-1βk-νk+lt1+Q（γt，mk）νkνk+lt，（6），其中Kv（z）是由Kv（z）=z给出的第二类修正贝塞尔函数∞伊夫-1e-z（y+y）-1） dy，（7）和c是一个归一化常数。我们还将函数Q（·，·）定义如下：Q（γt，mk）=（γt- mk）Th∑ki-1（γt- mk）。（8）该模型允许skew-t边缘和skew-t copula，见Smith等人。

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2022-5-8 03:43:50

[2012]获取详细信息。重要的是，该随机模型允许以下比例混合表示，ΓLO，ktd=mk+βkW+√W Z，（9）带反伽马随机变量W~ IGaνk，νk和独立的高斯随机向量Z~ N0，∑k.8.假设对于随机向量NLO，kt中的每个元素NLO，k，stof顺序计数，有一个对应的随机向量OLO，k，st∈ 订单大小为NNLO、k、st+。我们假设元素OLO，k，si，t，i∈n1，NLO，k，STOI以OLO，k，si，t的形式分布~ H（·）。此外，我们假设订单大小是无条件独立的OLO、k、si、t⊥⊥ OLO、k、si、tfor i 6=i、s 6=sand t 6=t。备注2.1在拟定的做市商流动性活动模型下，流动性供应商在市场上下的订单数量具有适当的动态强度结构，可以在日内变化，以反映做市商在整个交易日提供的流动性的变化性质。此外，在每一级别的bid和ask下的限额订单数量也允许该模型捕获在高频LOB数据的实证分析中经常看到的每一级别的bid和ask下订单时观察到的依赖结构。所使用的依赖结构基于一个skew-t copula，该copula允许在书的每一层上买卖的随机强度的不可交换性，以及尾依赖特征的不对称性。这意味着，当市场庄家在每日内发生流动性短缺后，如在执行大型市场订单后，为补充流动性而进行的大规模运动时，模型可以根据情况仅根据出价或要求进行补充。

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mingdashike22

2022-5-8 03:43:53

它不会像在标准t-copula结构下那样自动补充书的两面，而不是在这个模型中使用的斜t-copula结构。我们现在定义了流动性提供者代理的第二个组成部分，即取消流程。取消过程与上述limitorder提交过程具有相同的随机过程模型规范，包括投标和询价中每个LOB级别的随机内容之间的斜t依赖结构。因此，为了避免重复，我们仅在以下规范中规定了取消流程与下单模式定义的独特差异。定义2（流动性提供方代理行的限额订单取消流程）考虑流动性提供方代理行的限额订单取消流程，以具有与限额订单提交相同的特定随机模型结构。例外情况是，假设在每个级别的每个时间间隔内，取消的订单数量正好被该级别的订单总数截断。1.至于提交，我们假设取消是一个多元路径空间随机矩阵xnc，k1:T∈ Nlt×T+由NC给出的取消订单数的随机向量构成，k1:T=NC，k，NC，k，北卡罗来纳州. 此外，假设这些随机向量在每个LTL水平上的取消订单数量，强度的潜在随机过程由随机矩阵∧C，k1:T给出∈ Rlt×T+，在路径空间上由∧C，k1:T给出=∧C，k，∧C，k，∧C，kT.2.

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2022-5-8 03:43:58

假设对于随机向量Vkt，对于在放置限制指令后位于LOB中的体积，我们有Vkt=Vkt-1+NLO，kt，随机向量NC，kt∈ Nlt+是根据一个截断的多元广义Cox过程分布的，条件分布为NC，kt | Vkt=v~ GCPλC，ktI（NC，kt<v）（带v=（v-ld+1，vlp）由PR提供NC，k，-ld+1t=n-ld+1，NC，k，lpt=nlp∧C，kt=λC，kt，~Vkt=v=lpYs=-ld+1（λC，k，st）NSN！Pvsj=0（λC，k，st）jj！。(10)3. 假设对于取消计数NC、k、st，具有最高优先级的订单从级别s（也是其各自队列中最早的订单）取消。还假设取消总是完全删除订单，即没有部分取消。备注2.2取消是做市商调节和调整其流动性活动的能力的一个关键部分，以避免交易中的重大损失，否则交易将在Adverse选择设置下执行。根据拟定的做市商流动性移除活动（取消）模型，市场中流动性提供者取消的限额订单数量具有适当的动态强度结构，可以在日内变化，以反映整个交易日流动性需求的变化性质。此外，在每一级别的买卖中取消的限额订单的数量也允许模型捕获在每一级别的买卖中取消订单时观察到的依赖结构。所使用的依赖结构基于一个skew-t copula，该copula允许书中每一级别的出价和出价的随机强度的不可交换性，以及尾部依赖特征的不对称性。这意味着，当LOB中出现较大的价格波动时，做市商需要通过取消现有的剩余订单和创建新订单来调整其LOB数量和利润。

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大多数88

2022-5-8 03:44:02

这种情况通常会在整个交易日发生很多次，使用适当的依赖结构来实现这一点至关重要。此外，取消订单的数量需要保留容量保留原则，即任何给定时间内可能取消的限制订单总数的上限基于给定时间内书中的瞬时静止量。我们通过考虑流动性需求方代理的规格来完成代表性代理的规格。除了市场庄家在其经营的交易所的激励下每天在限价订单簿中下订单外，还有其他市场参与者出于其他原因进行交易。这些其他市场参与者包括对冲基金、养老基金和其他类型的大型投资者，通常我们将此类交易员群体称为流动性需求者。他们通过购买限额订单簿中的剩余订单来吸收全天的流动性。这些购买通常通过市场订单或激进的限制订单进行。在本章中，我们假设所有此类活动都可以由惊人的流动性需求者代理进行充分建模，并做出动态演变的决定，以下达市场订单，如下所述。定义3（流动性需求方代理的市场订单提交流程）考虑流动性提供者的代表性代理，由市场订单组成，其具有以下随机结构：1。假设一个路径空间随机向量NMO，k1:T∈ N1×T+表示根据每个区间NMO中市场订单数量的随机变量构造的市场订单数量，k1:T=NMO，k，NMO，k，NMO，kT.

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2022-5-8 03:44:06

此外，假设对于这些随机变量，强度的潜在随机过程由随机变量∧MO，k1:T给出∈ Rlt×T+，并通过∧MO，k1:T给出路径空间=∧MO，k，∧MO，k，∧MO，kT.2.假设随机变量shnmo，ks |∧MO，ksi的条件独立性⊥⊥hNMO，kt∧MO，kti，s6=t，s，t∈ {1,2，…，T}。(11)3. 假设在下达限价单和取消限价后，对于位于Lobt另一侧的交易量的随机变量Rkt，我们有Rkt=∑lps=1hVk，st-T- NC，k，sti，其中k=a，如果k=b，反之亦然，随机变量NMO，kt∈ N+按照截断的广义Cox过程分布，条件分布NMO，kt | | Rkt=r~ GCPλMO，kt1（NMO，kt<r）由PR给出NMO，kt=nλMO，kt=λMO，kt，~Rkt=r=（λMO，kt）nn！Prj=0（λMO，kt）jj！。(12)4. 假设根据∧MO，ks，潜在强度的随机向量无条件地具有独立性⊥⊥ ∧MO，kt，s6=t，s，t∈ {1,2，…，T}。(13)5. 假设每个强度随机变量∧MO，kt∈ R+有一个相应的转换强度变量ΓMO，kt∈ R和每个元素的关系由∧MO，kt=uMO，kF表示ΓMO，kt（14）对于某些基线强度参数uMO，k∈ R+与严格单调映射F:r7→[0, 1].6. 假设随机变量ΓMO，kt∈ R、表征广义Cox过程变换前的强度，分布在区间[t]中- 1，t）根据aunivariate skew-t分布ΓMO，kt~ St（mMO，kt，βMO，k，νMO，k，σMO，k）。假设对于市场订单计数的每个元素NMO，ktof，都有一个对应的随机向量OMO，k，st∈ NNMO，kt+订单大小。我们假设元素OMO，ki，t，i∈n1，NMO，ktois根据OMO，ki，t分布~ H（·）。

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mingdashike22

2022-5-8 03:44:10

还假设市场订单量是无条件独立的OMO，ki，t⊥⊥ OMO，ki，tfor i 6=ior t 6=t。我们用随机向量表示给定日期时间t的真实数据集的LOB状态，这对应于出价和要价的每个级别的价格和数量。利用上述基于仓促代理的模型规范，并给定一个参数向量θ（通常代表流动性提供和流动性需求代理类型的所有参数），还可以生成日内LOB活动的模拟，并得出综合状态L*t（θ）。时间t的模拟LOB状态由时间t的状态获得- 1和一组随机分量，通常用Xt表示，它们是从基于代理的模型的以下分量的单一随机实现中获得的：o限制订单提交强度∧LO，bt，∧LO，at，订单号NLO，bt，NLO，at和订单大小OLO，a，si，t，OLO，b，sj，t，其中s=-ld+1。lp，i=1。NLO，a，st，j=1。NLO，b，st；o限制订单取消强度∧C，bt，∧C，at和取消次数NC，bt，NC，at；o市场订单强度∧MO，bt，∧MO，at，市场订单数量NMO，bt，NMO，at，VMO，bt，VMO，ATA和市场订单大小OMO，ai，t，OMO，bj，t，i=1。NMO，at，j=1。NMO，bt这些随机特征与LOB，L的先前状态相结合*T-1（θ），产生新的状态L*对于给定的一组参数θ，给定的byL*t（θ）=G（L）*T-1（θ），Xt）（15）G（·）是一种转换，它将LOB的先前状态和当前步骤中生成的活动映射到一个新步骤，与匹配引擎在每次事件后更新LOB的方式大致相同。

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2022-5-8 03:44:13

然而，由于我们以离散的时间间隔对活动进行建模，LOB仅在每个时间间隔结束时更新，传入事件（限价订单、市场订单和取消）按照第2.1节规定的顺序进行处理。然后，在实现这些参数θ的条件下，LOB中的交易活动可以模拟为一个交易日，Panayi和Peters[2015]中给出的算法描述了完整的过程。2.2随机代理LOB模型表示的贝叶斯模型公式在本节中，我们考虑了前一节中开发的LOB随机模型类别，并详细介绍了ABC框架下的贝叶斯模型公式。在计算困难的似然函数中建立贝叶斯模型的方法越来越受到关注。这些方法的出现可能是因为逐点评估的可能性确实很难解决，或者在我们的情况下，可能是由于模型规格和逐点评估的成本非常复杂，因此必须求助于替代方法来进行估计和对比。被称为无似然取样器或近似贝叶斯计算（ABC）方法的模拟算法（如顺序蒙特卡罗取样器）已适用于该设置，例如Peters等人[2012]。我们首先回顾一些基本知识。通常，贝叶斯推理通过后验分布进行，一般用π（θ| y）表示∝ f（y |θ）π（θ），参数θ的先验信息π（θ）的更新∈ 在观测数据y后，通过似然函数f（y |θ）∈ Y

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2022-5-8 03:44:17

重要抽样、马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）和序贯蒙特卡罗（SMC）等数值算法通常用于从后验π（θ| y）中提取样本。备注2.3（数据向量注释）在本章上下文中，数据y是一天内给定资产的整个订单结构，总结如下：o限制订单提交订单编号NLO、bt、NLO、at和订单大小OLO、a、si、t、OLO、b、sj、t，其中S=-ld+1。lp，i=1。NLO，a，st，j=1。NLO，b，sto取消限制订单数量NC，bt，NC，ato市场订单数量NMO，bt，NMO，at，VMO，bt，VMO，ATA和市场订单规模MO，ai，t，OMO，bj，t，i=1。NMO，at，j=1。NMO，bt。在时间t时，得到的观测向量yt是所有这些变量的串联。这些随机特征是在交易日的市场小时内以采样率t获得的，通常在8.5小时的交易日内每5-30秒获得一次，每天产生1000-6000个向量值观测值。显然，即使评估这么多记录的可能性，即使它可以被写下来，在许多基于队列的LOB模型中，如本章所述，这将不是一项具有挑战性的任务。一般来说，我们将在下面表示给定日期资产的所有LOB观测值的集合，并通过θ表示用于对LOB随机模型进行参数化的所有参数集。在似然函数难以计算的情况下，即f（y |θ）可能无法逐点进行数值计算时，后验模拟越来越受到关注。因此，基于重复可能性评估的采样算法需要对此任务进行修改。这些方法统称为无似然取样器（也称为近似贝叶斯计算），是跨多个学科发展起来的。

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2022-5-8 03:44:20

他们在模型下使用辅助数据集的生成作为规避（棘手的）可能性评估的手段。2.2.1计算上难以解决的可能性的后验模型本质上，无可能性方法首先将观测数据y减少为汇总统计的低维向量ty=T（y）∈ T，其中dim（θ）≤ 暗（ty）<<暗（y）。因此，用一个新的后π（θ| ty）替换真后π（θ| y）。如果ty对θ和π（θ| ty）有效，则它们是等价的≈ π（θ| y）是通过ty损失信息的近似值。新的目标后验概率π（θ| ty）仍然被认为是难以计算的，然后被嵌入到一个可以进行采样的增强模型中。特别是模型参数θ和辅助数据t的关节后部∈ 给定观测数据T为π（θ，T | ty）∝ Kh（泰）- t） f（t |θ）π（θ），（16）其中t~ f（t |θ）可以解释为根据模型x模拟的数据集计算的汇总统计数据t=t（x）的向量~ f（x |θ）。假设这种模拟是可能的，那么模型下的数据生成~ f（t |θ）构成了似然自由集的计算基础。然后，参数θ的目标边缘后验πM（θ| ty）被获得为πM（θ| ty）=cMZTKh（ty）- t） f（t |θ）π（θ）dt（17），其中（cM）-1=RERTKh（ty）- t） f（t|θ）π（θ）dtdθ归一化（17），使其成为θ中的密度（例如Reeves and Pettitt[2005]；Wilkinson[2013]；Blum[2010]；Sisson et al[2007]；Fearnheadand Prangle[2012]）。函数Kh（ty）- t）是一个标准的核函数，带有scale参数h≥ 0，对t区高密度的难治性后部进行加权≈ t辅助数据集和观测数据集相似。因此，πM（θ| ty）≈ π（θ| ty）通过标准的平滑参数（例如Blum[2010]）形成了对不可触发后通孔（17）的近似。

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大多数88

2022-5-8 03:44:25

在案件中→ 0，所以Kh（ty-t）在原点（即ty=t）成为点质量，在其他地方为零，如果ty对θ有效，那么难以处理的后边缘πM（θ| ty）=π（θ| ty）=π（θ| y）将被精确地恢复（尽管小h通常是不切实际的）。文献中研究了各种平滑内核的选择（例如Marjoram等人[2003]；Beaumont等人[2002]；Peters等人[2012]）。在我们讨论无似然抽样法或ABC抽样法时，可以方便地考虑联合分布（16）的推广≥ 1辅助汇总向量πJ（θ，t1:S | ty）∝~Kh（ty，t1:S）f（t1:S |θ）π（θ），其中t1:S=（t，…，tS）和t，tS~ f（t |θ）是由（难处理的）模型生成的独立数据集。由于辅助数据集通过构造是条件独立的，给定θ，我们有f（t1:S |θ）=QSs=1f（ts |θ）。我们遵循Del Moral等人[2012]的方法，将内核K指定为~Kh（ty，t1:S）=S-1PSs=1Kh（ty- 产生关节后部πJ（θ，t1:S | ty）=cJ“SSXs=1Kh（ty- ts）#“SYs=1f（ts |θ）#π（θ），（18）cJ>0适当的归一化常数，其中在（18）中，我们扩展了K（ty）的一致核选择- ts）由Del Moral等人[2012]在一般情况下提出。很容易看出，通过构造，RTSπJ（θ，t1:S | ty）dt1:S=πM（θ| ty）将分布（17）视为边际分布（c.f.Del Moral等人[2012]）。S=1，πJ（θ，t1:S | ty）=π（θ，t | ty）对应于无似然设置中更常见的后关节（16）。对于πM（θ| ty）的后验模拟，有两种明显的方法≈ π（θ| ty）作为π（θ| y）的近似值。第一种方法是直接在增强模型πJ（θ，t1:S | ty）上采样，实现联合采样（θ，t1:S）∈ 在t1:S上进行后验边缘化之前（即，通过从采样器输出中丢弃TSA实现）。

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2022-5-8 03:44:30

在这种方法中，求和量t1:sar被视为增广模型中的参数。第二种方法是直接从低维空间πM（θ| ty）采样，通过蒙特卡罗积分近似积分（17），代替πM（θ| ty）的每个后验评估。在这种情况下，πM（θ| ty）∝ π（θ）ZTKh（ty- t） f（t |θ）dt≈π（θ）SSXs=1Kh（ty- ts）：=πM（θ| ty），（19）式中t，tS~ f（t |θ）。该表达式由多位作者（如Marjoram等人[2003]；Reeves and Pettitt[2005]；Ratmann等人[2009]；Toni等人[2009]；Peters等人[2012]）研究，需要多个生成的数据集t，tS，对于边际后验分布的每次评估πM（θ| ty）。与标准蒙特卡罗近似法一样，Var[^πM（θ| ty）]随着LIM的增加而减小→∞Var[^πM（θ| ty）]=0。对于边际后验分布，数量t1:s仅作为估计πM（θ| ty）的一种手段，否则不会明确进入模型。样本数量直接影响估计的方差。3通过基于种群的采样器估计贝叶斯LOB随机代理模型引入基于种群的无似然采样器，以避免MCMC采样器中的不良混合（Sisson等人[2007]；Toni等人[2009]；Beaumont等人[2009]；Peters等人[2012]；Del Moral等人[2012]）。这些采样器传播粒子群θ（1），θ（N），通过一系列相关密度φ（θ），φT（θT），定义了从分布φ到目标分布φT的平滑过渡，从分布φ可以直接采样。对于无可能性或ABC取样器，φkis通过允许Khn（ty-t）将更高的密度放置在≈ t随着k的增加（也就是说，带宽hn随着n的增加而减少）。

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2022-5-8 03:44:33

因此，我们表示πJ，n（θ，t1:S | ty）∝~Khn（ty，t1:S）f（t1:S |θ）π（θ）和πM，n（θ| ty）∝ π（θ）RTS~Khn（ty，t1:S）f（t1:S |θ）dt1:Sfor n=1，T，分别在关节和边缘后部模型下。3.1近年来，基于序贯蒙特卡罗的SSMC方法已从工程、概率和统计学领域涌现出来。这些方法的变体有时出现在粒子过滤或相互作用粒子系统的名称下（例如，Ristic等人[2004]、Doucet等人[2001]、Del Moral[2004]），Crisan和Doucet[2002]、Del Moral[2004]、肖邦[2004]和K¨unsch[2005]对其理论性质进行了广泛研究。标准的SMC算法涉及找到一组滤波递归的数值解，例如非线性/非高斯状态空间模型产生的滤波问题。在这个框架下，SMC算法从分布πn（通常是自然发生的）序列中采样，n=1，T每个分布都定义在支持En=E×E×·······················································≥1每个定义的固定支持E。注：这不是一个产品空间，而是一个固定空间E。Del Moral等人[2006]、Peters等人[2005]、Peters等人[2012]和Targino等人[2015]将SMC算法推广到目标分布π都定义在同一支持E上的情况。这种推广称为SMC采样器，使SMC算法适应更流行的设置，其中状态空间E保持静态，也就是我们前面讨论的关于MCMC算法的设置。简而言之，SMC取样器从一系列分布πn（n=1，…）生成加权样本（称为粒子）。

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2022-5-8 03:44:36

，T，其中πT可能特别有趣。我们将目标分布称为πTas，例如模型参数的后验分布。程序上，从任意初始分布π中获得的粒子，以及一组相应的初始权重，通过三个过程依次通过序列中的每个分布π传播，包括突变（或移动）、校正（或重要性权重）和选择（或重采样）。分布为π皮重的最终加权粒子被视为来自目标分布π的加权样本。因此，给定一系列分布{πn（dθ）}Tn=1，目的是在nw（i）n，Θ（i）noNi=1表示的每个时间n，开发一个n加权随机样本的大集合，其中W（i）n>0，pni=1W（i）n=1。这些重要权重和样本，用nw（i）n，Θ（i）noNi=1表示，是已知的粒子（因此通常被称为粒子过滤器或相互作用粒子系统等算法）。为了使这些方法合理，我们需要通过这些样本构造的经验分布渐近收敛（N→∞) 每次n的目标分布π。这意味着对于任何πn可积分函数，例如用φ（θ）：E表示→ Rone将具有以下收敛性：NXi=1W（i）nφθ（i）na、美国。→ Eπnφ(Θ). （20）在SMC采样器算法中，开发了SMC算法的一种特殊变体，即SMC算法的一种改进。考虑由πn（θ），n=1，…，给出的一般分布序列，T，带θ∈ E、其中，最终分布π是兴趣分布。通过引入后向核Lk的GA序列，得到了一个新的分布：1πn（θ，…，θn）=πn（θn）n-1Yk=1Lk（θk+1，θk）（21）可定义为粒子的路径（θ，…，θn）∈ 通过序列π，πn.对向后核的唯一限制是正确的边际分布是πn（θ）。

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2022-5-8 03:44:41

. . , θn）dθ，dθn-1=πn（θn）可用。在这个框架内，人们可以在标准SMC算法下处理构造的分布序列eπn。总之，SMC采样器算法包括三个阶段：1。突变，粒子从θn移动-1到θnvia突变核Mn（θn-1，θn）；2.修正，其中粒子相对于πnvia（增量重要性权重）重新加权（等式22）；3.选择，根据颗粒多样性的一些度量，通常是有效样本大小，可以对加权颗粒进行重新采样，以减少重要权重的可变性。更详细地说，假设在时间n-1，分布eπn-1可以用eπNn经验近似-1使用N加权粒子。这些粒子首先通过突变核Mn（θn）传播到下一个分布eπ-1，θn），然后分配新的权重Wn=Wn-1wn（θ，…θn），其中Wn-1是粒子在时间n时的重量-1和Wn是由Wn（θ，…，θn）=eπn（θ，…，θn）eπn给出的增量重要性权重-1（θ，…，θn）-1） Mn（θn）-1，θn）=πn（θn）Ln-1（θn，θn-1） πn-1（θn）-1） Mn（θn）-1，θn）。（22）产生的粒子现在是来自eπn的加权样本。因此，根据等式（22），在SMC取样器框架下，可以直接使用边缘分布πn（θn），例如wn（θ，…，θn）=wn（θn）-1，θn）。而反向内核的选择-1基本上，它们的规格会强烈影响算法的性能，这将在以下小节中讨论。因此，SMC采样器算法的基本版本将按照算法3.1中给出的方式明确进行。备注3.1在我们使用增量重要性抽样权重校正的所有情况下，表达式中的参数只需在标准化之前已知。

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2022-5-8 03:44:44

也就是说，完全可以接受的是，只能计算目标分布序列{πn}到正规化常数。只要所有粒子都存在相同的标准化常数，这是正确的，因为重正化步骤将纠正对重要性权重知识的缺乏。在实践中，这对此类方法的应用至关重要。顺序蒙特卡罗采样器1。初始化粒子系统；（a）设置n=1；（b）对于i=1，N、绘制初始粒子Θ（i）~ p（θ）；（c）评估增量重要性权重SNWΘ（一）取方程（22）并归一化权重，得到nw（i）o。按{πt}Tn=2.2的顺序对每个分布重复以下步骤。如果有效采样大小（ESS）=PNi=1，则重新采样（a）w（i）n< NEFFI小于阈值Neff，然后通过多项式或分层方法通过加权样本的经验分布对粒子进行重新采样；参见K¨unsch[2005]和Del Moral[2004]关于无偏重采样方案的讨论。突变和校正（a）设置n=n+1，如果n=T+1，则停止；（b）对于i=1，N从变异核Θ（i）N中提取样本~ 锰Θ（i）n-1.;（c）评估增量重要性权重Θ（i）n取方程（22）并归一化权重，得到nw（i）noviaW（i）n=W（i）n-1w（i）n（Θn）-1，Θn）PNj=1W（i）n-1w（i）n（Θn）-1，Θn）。（23）在这个阶段，对于希望使用这种SMC方法的从业者来说，更好地了解这类估计方法在此类数值近似精度方面的特性是有益的。我们简要介绍了一些已知的结果，这些结果基于最近的粒子方法浓度不等式示例，这些示例是有限样本结果（见Del Moral等人的讨论和参考文献）。

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2022-5-8 03:44:47

[2013]).本文给出的指数集中不等式在一些一般状态空间中定义的粒子权重和变异核的正则条件下是满足的；见Del Moral[2004]关于这些情况的具体概率细节。利用平均场颗粒模型的浓度分析，可以获得以下指数估计值（见Del Moral[2004]的讨论）和其中的参考文献。注：在下文中，当使用分布或密度的N粒子近似值，如π时，我们将用πN表示它。定理3.1（有限样本指数浓度不等式）适用于任何x≥ 0，n≥ 0，任何人口规模N≥ 1、事件发生的概率isPrπNn（ψ）- πn（ν）≤cN1+x+√十、+C√N√十、≥ 1.-E-x、（24）其中，N个粒子样本估计器的定义如下：πNn（~n）=NXi=1W（i）Nθ（i）n对于稳定的SMC算法，即对初始条件不敏感的算法，如我们前面讨论的，常数c和（c，c）不依赖于时间参数。我们还可以将目标分布的粒子估计和真实分布之间的差异限定为如下所示。考虑任何θ=（θi）1≤我≤还有吗(-∞, x] =Qdi=1(-∞, n=Rd中的θi]细胞，我们假设fn（x）=πn(-∞,x]FNn（x）=πNn(-∞,x].利用经验粒子构造的分布函数和分布序列{π，π。

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可人4

2022-5-8 03:44:50

，πT}，我们可以说明密度序列πT的分布函数的以下推论。推论3.1适用于任何推论≥ 0，n≥ 0，任何人口规模N≥ 1、以下事件发生的概率√NFNn- Fn≤ cpd（y+1）大于1- E-y、这个浓度不等式确保了粒子重新分配函数FNTC收敛到Ft，几乎可以肯定是一致范数。3.2难处理似然贝叶斯模型的序贯蒙特卡罗采样器在ABC后验设置的SMC采样器的背景下对其进行规范化，粒子总体θn-1从分布φn中提取-1（θn）-1）在时间n- 1被核Mn（θn）突变为φn（θn）-1，θn）。变异粒子θn的权重可以得到为Wn（θn）=Wn-1（θn）-1） wn（θn）-其中，对于边际模型序列πM，n（θn | ty），增量权重为wn（θn）-1，θn）=πM，n（θn | ty）Ln-1（θn，θn-1） πM，n-1（θn）-1 | ty）Mn（θn）-1，θn）≈πM，n（θn | ty）Ln-1（θn，θn-1） πM，n-1（θn）-1 | ty）Mn（θn）-1，θn），（26），其中，在（19）之后，将内核带宽设置为ABC容差级别我们得到πM，n（θn | ty）：=π（θ）SSXs=1Kn（ty）- ts）与基于S Monte Carlo drawst的πM，n（θn | ty）的（无偏）估计成正比，tS~ f（t |θn）。在这里-1（θn，θn-1）是一个逆时核，描述粒子在n时刻从φn（θn）到φn的突变-1（θn）-1）在时间n-1.与ABC-MCMC算法一样，增量权重（26）由“有偏”比^πM，n（θn | ty）/^πn组成-1（θM，n）-1 | ty）单位≥ 1.如果我们现在考虑联合模型πJ，n（θ，t1:S | ty）下的顺序蒙特卡罗采样器，自然变异核因子n[（θn-1，t1:Sn-1），（θn，t1:Sn）]=Mn（θn-1，θn）SYs=1f（tsn | ty）（与Ln类似-1），遵循（26）的形式，增量重量精确为Wn（θn）-1，t1:Sn-1），（θn，t1:Sn）=SPsKn（ty）- tsn）π（θn）Ln-1（θn，θn-1） SPsKN-1（ty）- tsn-1） π（θn）-1） Mn（θn）-1，θn）。

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2022-5-8 03:44:55

（27）因此，由于增量权重（26，27）是等效的，它们为边际模型和联合模型πM（θ| ty）和πJ（θ，t1:S | ty）引入了相同的SMC算法。因此，虽然以πM（θ| y）为目标的边缘采样器的应用在理论上有一定的偏差≥ 1，与之前一样，通过与关节空间目标πJ（θ，t1:S | ty）上的等效采样器关联，它们实际上是无偏的。我们注意到，理论上无偏取样器针对πM（θ| ty），适用于所有≥ 1，可通过仔细选择内核Ln获得-1（θn，θn-1). 例如，Peters[2005]、Peters等人[2012]和Targino等人[2015]都使用了byLn给出的次优近似最优核-1（θn，θn-1） =πM，n-1（θn）-1 | ty）Mn（θn）-1，θn）RπM，n-1（θn）-1 | ty）Mn（θn）-1，θn）dθn-1，（28），其中增量权重（26）近似为wn（θn-1，θn）=πM，n（θn | ty）/ZπM，n-1（θn）-1 | ty）Mn（θn）-1，θn）dθn-1.≈ πM，n（θn | ty）/NXi=1Wn-1（θ（i）n-1） Mn（θ（i）n-1，θn）。（29）在这种向后核选择下，现在所有S的权重计算都是无偏的≥ 1，因为近似^πM，n-不再需要（26）分母中的1（θ| y）。3.2.1自适应计划：通过退火容差计划选择ABC贝叶斯分布序列在本节中，我们考虑如何采用ABC后验分布，并构建SMC采样器所需的分布序列。也就是说，我们解决了如何开发ABC特定目标分布序列的问题。我们选择按照我们称之为ABC反向退火的方法来设计这个序列。特别地，我们构造了一个目标后验分布序列{φn}n≥0基于严格递减的公差值构造，通常由序列表示{n} n≥0以便> > . . . > n> …>T

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