就我们所知，命题5。1关于希尔伯特变换还不知道。提案5.3的实质是从信号处理中了解的，但尚未应用于交易对手或系统风险。5.1取最大值和希尔伯特变换为了解决推导希尔伯特变换的问题，我们推广了[Kin09a]第3.4节的结果。我们展示了如何利用络合分析和著名的留数定理推导出两个非常有用的公式。为了在和Y之间取最大值max[Y；0]=∑λ∈∧v±Xλ零，我们必须处理（2.4）中介绍的希尔伯特变换。设φYbe为实值函数，函数CZφY（z）ω-zbe延伸到复平面，以C为界。该扩展函数需要在复上半平面内进行分析，除了有限数量的极点a，是∈n阶C，纳米∈N.进一步假设φY（z）→0作为Z→∞.5.1命题：如果满足上述前提条件，则方程sh{φY（t）}（ω）=2imj=1ResφY（z）ω-z、 aj+愤怒φY（z）ω-z、 ω.（5.1）和h{φY（t）}（ω）=2imj=1（新泽西州）-1)!林茨→aj新泽西州-1.znj-1[（z）-aj）njφY（z）ω-z]-我是林茨→ωφY（z）（5.2）是有效的。证据[间歇]-R、 R[，作为希尔伯特变换域（2.4）的一部分，被合并到闭合路径C=CR中]-R、 ω-[C]ω +, R[如图9所示。显然，我们有R， ∈]0, ∞[.正方向轮廓C由半圆C和半圆C组成以及实线上的线段。然后将实值被积函数推广到由C和φY（z）ω限定的复区域-ZI需要在复杂的上半平面内进行分析，除了有限数量的孔a，是∈n阶C，纳米∈N.此外，我们假设φY（z）→0作为z→∞很明显，在t=ω的实线上有一个简单的极点。

我们可以选择大的和大的足够小，使得上半平面的φyo的极点位于轮廓C内，且不与半圆C相交. 应用我们得到的留数定理CφY（z）ω-zdz=2πimj=1ResφY（z）ω-z、 aj.（5.3）对于轮廓内出现极点的情况，请参考[Kin09b]中的第22.10节。参见[Rem91]中的第1章全纯函数。RiRt=ωaaaamam-1.华润-R R图9：等高线C和φY（t）和ω的极点-t此轮廓积分可分解为CφY（z）ω-zdz=ω--RφY（t）ω-tdt+CφY（z）ω-zdz+Rω+φY（t）ω-tdt+CRφY（z）ω-zdz。（5.4）等式（5.4）右侧的第一个和第三个积分等于主值积分R→∞和 →0，即P V∞-∞φY（t）ω-tdt=limR→∞林→0ω--RφY（t）ω-tdt+Rω+φY（t）ω-tdt.让C参数化为ω+eiθ与-π ≤θ ≤0，那么我们得到CφY（z）ω-zdz=lim→0我-πφY（ω）+eiθ）eiθω-(ω +eiθ）dθ = πiφY（ω）=-πiResφY（z）ω-z、 ω.对于最后一个积分，我们用Reiθ参数化了Cr≤θ ≤π，我们要记住φY（z）→0作为Z→∞. 然后我们推断CRφY（z）ω-zdz=limR→∞我πφY（Reiθ）Reiθω-Reiθdθ = 0.因此，方程式（5.3）简化了顶部V∞-∞φY（t）ω-tdt=2πimj=1ResφY（z）ω-z、 aj+πiResφY（z）ω-z、 ω,这导致h{φY（t）}（ω）=2imj=1ResφY（z）ω-z、 aj+愤怒φY（z）ω-z、 ω.如果我们在[Rem91]中应用第13章规则1）和2），我们将进一步得到公式（5.2）。这两个方程（5.1）和（5.2）对于计算复杂函数的希尔伯特变换特别有用，我们可以在下一个例子中看到。5.2示例：让φ十、（t） =1-2it=1+4t+2it1+4t是r.v.的c.f。十、由γ分布Γ（α，β）和α分布∶=1和β∶=2.这里α>0是形状参数，β>0是比例参数。请注意，伽马分布只有正样本，函数φ十、（z） 如果Z→∞.

此外，函数φ∣十、∣（z） ω-zis在上半平面内进行分析，但杆除外-i、 应用方程（5.1）我们得到H{φ十、（t） }（ω）=iResφ∣十、∣（z） ω-z、 ω=2ω1+4ω-i1+4Ω。现在让我们考虑相关的负绝对值-(十、)=-十、带φ-十、（t） =1+4t-2it1+4t。我们现在有了一根简单的杆子。再次应用方程（5.1），我们得到h{φ-十、（t） }（ω）=2iResφ-∣十、∣（z） ω-z、 我+愤怒φ-∣十、∣（z） ω-z、 ω=2ω1+4ω+i1+4ω。如果我们仔细考虑最后一个例子，我们将发现正负绝对值及其希尔伯特变换之间的几个有趣的联系。我们将在下一节中研究这些联系。本节中引入的符号适用于整篇文章。5.2正负绝对值let X~P是围绕原点和φXits特征函数对称的r.v。在本节中，我们研究了c.f.sφX，φ十、和φ-十、. 后两个c.f.用于表示有向图D中箭头的方向。众所周知，r.v.X的c.f.φXof是厄米的，即φX(-t） =所有t的φX（t）∈R.根据[Luk70]中的定理3.1.2，R.v.X是对称的当且仅当其c.f.φ是实数且偶数。然而，正绝对值的c.f.s十、 以及负绝对值-十、总的来说是复数的。我们需要考虑这个等式-(十、)=-十、以及φXis厄米人为了得到φ十、（t） =η（t）+iν（t）（5.5）表示正绝对值和φ-十、（t） =η（t）-iν（t）（5.6）表示所有t的负绝对值∈R.请注意η=Re（φ十、), ν=Im（φ）十、)那么φ呢十、=φ-十、这显然是正确的。下面我们将解释函数η和ν是如何相互连接的。我们称任何复杂的c.f。

φ（t）的实部和虚部满足方程φ（t）=η（t）+iν（t）=η（t）+iH{η}（t）t∈R（5.7）一种分析信号。5.3命题：c.f.φ十、绝对值为正十、和X~P是一个自然的解析信号，即φ十、（t） =φX（t）+iH{φX}（t）。（5.8）见[Kin09a]中的第4.1.4节。与[Kin09b]中的第18.4节进行比较。证据设X是一个具有实值甚至c.f.φX的对称r.v.，我们进一步假设φXis是绝对可积的。那么，如果是傅里叶变换∶= F{φX}也是绝对可积的，我们可以使用逆傅里叶变换F-1{f}（t）=2π∞-∞f（x）eixtdx=φx（t）（5.9）从傅里叶变换中恢复输入函数φx。我们可以把f想象成一个密度函数，代表P的分布。定义十、基本上意味着拒绝所有阴性样本，阳性样本的概率增加一倍。因此，weset f+（x）∶=f（x）+sgn（x）f（x）代表所有x∈R、 其中，n（x）=1，对于x>00，对于x=0-1，对于x<0，是signum函数。函数f+对于所有负实数都是零，2f（t）对于所有正实数都是零。显然，函数f+是正绝对值的表示十、.将傅里叶逆变换应用于f+we-getF-1{f+}=f-1{f}+f-1{sgn·f}=φX+f-1{sgn·f}=φ十、因为公式（5.9）和积分的可加性。根据方程式（5.5），我们进一步知道F-1{f+}=η+iν。实部和虚部的比较得出F-1（新加坡）·f）=iν，这意味着-我·sgn·f通过傅里叶逆变换与ν相关。根据[Kin09a]中的方程式（5.2），对-我·sgn（x）等于πx，因为[Kin09a]中的（4.154），我们得到了ν（t）=φx（x）*πx=π∞-∞φX（t）X-tdx=H{φX}（t），其中*是卷积。把零件组装在一起十、（t） =φX（t）+iH{φX}（t），（5.10）我们很容易推断c.f.φ十、正绝对值十、是一种分析信号。

这基本上意味着实值分布P的负样本在这种情况下是超丰富的。对这一事实的说明提供了分布P的对称性。因为φ-十、（t） =φ十、（t） 接下来是φ-十、（t） =φX（t）-iH{φX}（t）。（5.11）此外，解析信号的希尔伯特变换的n次方φ十、可以写为{φn十、} = -iφn十、, N∈N、 （5.12）见[Kin09a]第2.6.1节。[Kin09a]中的第2.6.2节。由于[Kin09a]中的等式（4.252）。公式（5.8）和（5.11）显示了对称分布P的c.f.及其正负绝对值的c.f.如何通过希尔伯特变换相互连接。当我们使用只有正或负绝对值的分布作为正或负绝对值时，这两个公式也很有用。然后我们可以使用公式（5.8）和（5.11）简单地通过考虑分布的正或负绝对值的虚部得到希尔伯特变换。5.4示例：我们考虑一个网络集∧vcomp m∈N对手v的正面贸易头寸。每个头寸由i.i.d.r.v.代表。xi~Γ（α，β）与i∈{1,2，…，m}。正绝对值的绝对可积c.fxi 是（1）-β（it）-α和苏米∶=∑mi=1xi由c.f.确定（1）-β（it）-αm.和Y由Γ（mα，β）分布，其希尔伯特变换等于-i（1）-β（it）-αm，因为方程（5.12）。还请将这些结果与示例5.2进行比较。应用公式（2.5）得到信贷风险的预期αβm非常简单。当设置集包含交易对手v的正交易头寸和负交易头寸时，情况变得更有趣。

然后，我们必须取r.v.s和零之间的最大值，以确定预期的交易对手信用风险。6结论我们赞同几位作者的观点，即考虑研究交易对手信用风险或系统性风险的精确市场结构至关重要。我们提供了一种新型的网络模型，能够捕捉任何给定金融市场的精确结构，例如基于经验发现。借助所附的随机框架，可以进一步研究网络结构和交易对手信用风险是如何相互关联的。这使我们能够研究不同的结构及其与系统性风险有关的特征。我们证明了欧拉有向图是交易对手风险背景下的独特风险敞口结构，并揭示了不同的结构可能对整体风险产生显著不同的影响。因此，我们建议应考虑金融市场的个体结构。我们使用强大的特征函数理论和希尔伯特变换理论。推导特定的特征函数及其希尔伯特变换可能是一个巨大的挑战。然而，为了在许多情况下克服这些障碍，我们对这两个概念提供了有用的见解。本文介绍的模型非常灵活，易于修改以满足特定要求。例如，它可用于研究其他类型市场中的对手信用风险结构、不同的净额结算规则和更复杂的分布，如极值分布。

人们还可以使用该模型，通过以适当的方式改变分布（参数），分析研究冲击如何影响特定网络。7证明本节包含两个结构定理的证明。请参考示例5.2.7.1结构定理证明3.2假设Yv∶=∑λ∈λvXλ。（i） 让λ∈∧vand let进一步∧+vand∧-vbe分别表示h（λ）=v和t（λ）=v的集合。这两个集合构成了∧v的一个分区，即∧v=∧+vΛ-v、 要知道∧+v=γ+（v）和Λ-五、=γ-（v） 。考虑到条件期望的线性，我们从0=E（Yv）=E进行推导∑λ∈∧v±Xλ等价方程0=∑λ∈∧+vE(Xλ)+∑λ′∈Λ-vE(-Xλ′).因为每个r.v.在0附近遵循相同的对称分布，所以我们得到了0的有效性=∧+v·E(Xλ)+Λ-五、·E(-Xλ′). 方程E(Xλ)=-E(-Xλ′)是有效的，因为r.v.的对称性，所以我们得到0=[γ+（v）-γ-（v） ]·E(Xλ).我们得出结论，γ（v）=0，因为E(Xλ)>如果我们假设γ（v）=0，我们可以使用相同的参数来证明方程E(∑λ∈∧v±Xλ)=0是有效的。（ii）max的成本加运费率[∑λ∈∧v±Xλ; 0]=最大值[Yv；0]由（2.3）给出。应用公式（2.5）得到相应的期望值E麦克斯[∑λ∈∧v±Xλ; 0]=E（Yv）+t[H{φYv}（t）-H{φYv}（0）]（0）。因为（i）我们得到了E（Yv）=0当且仅当γ（v）=0。假设γ（v）=0，那么γ+（v）=∧+v=Λ-五、=γ-（v） 。根据方程式（5.5）和（5.6），乘积φYv=∏λ∈∧+vφXλ∏λ′∈Λ-vφ-X′λ必须是真正的价值，甚至。希尔伯特变换的奇偶性意味着H{φYv}是一个奇数连续函数，因此H{φYv}（0）=0.7.2结构定理的证明3.3 r.v.X的c.f.φxO~P是实数且偶数，sumY的c.f.φyo也是实数∶=∑λ∈λvXλ。由于奇偶性，希尔伯特变换H{φY（t）}（t）是一个连续奇数函数。

由于H{φY}（0）=0，我们得到φmax[Y；0]（t）=[1+φY（t）]+i[H{φY（t）}（t）]，因此可以通过t[φmax[Y；0]（t）]（0）i=2it[φY（t）]（0）+t[H{φY（t）}（t）]（0）。术语t[φY（t）]（0）表示∧vi、 i.d.平均值为零的随机变量。因此t[φY（t）]（0）i=0，这使我们得到方程麦克斯[λ∈λvXλ；0]=任意顶点v的t[H{φY（t）}]（0）∈图G的V.见[Kin09a]中的（4.5）和（4.6）。参考文献参考文献[Ban09]欧洲中央银行。2009年欧洲监督报告。2009.网址：http://www.ecb.int/pub/pdf/other/eurosystemoversightreport200911en.pdf.[Che+10]Umberto Cherubini等人，《金融中的傅里叶变换方法》。约翰·威利父子有限公司，2010年。[CK14]拉玛·康特和托马斯·科霍姆。”场外衍生品的中央结算：双边与多边净额结算。《统计与风险建模》31.1（2014），第3-22页。网址：http://dx.doi.org/10.1515/strm-2013-1161.[Die05]莱因哈特·迪斯特。图论。斯普林格·维拉格，2005年。[DZ11]达雷尔·杜菲和朱浩翔。”中央交易对手是否降低了反交易风险？”摘自：资产定价研究综述1.1（2011），第74-95页。[FL08]冯黎明和瓦迪姆·林茨基。”Lévy过程模型中离散监控的障碍期权和可违约债券的定价：一种快速希尔伯特变换方法。”《数学金融》第18（3）（2008）页，337-384页。[FL13]Jean-Pierre Fouque和J.A.Langsam编辑的《系统性风险手册》。剑桥大学出版社，2013年。[GK10]普拉桑纳·盖和苏吉特·卡帕迪亚。”“金融网络的传染”。摘自：《皇家学会会刊》A，466（2010），第2401-2423页。[Gre10]乔恩·格雷戈里。交易对手信用风险——全球金融市场的新挑战。约翰·威利父子有限公司，2010年。弗雷德里克·W·金。希尔伯特变换。第一卷。剑桥大学出版社，2009年。[Kin09b]弗雷德里克·W·金。希尔伯特变换。第二卷。

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