EY的具体实现形式为y=（y，y，…，yN）≡ （yn）Nn=1，其中每个数据yn都是由随机变量yn的分布pn（yn |Θ）生成的，其中d=k×N维向量参数Θ[12]由以下公式给出：Θ=（θ，θ，…，θN）T≡ （θn）Nn=1。（14） 样本的所有可能实现y的集合构成了系统的样本空间BO。当样本的变量yn是独立的时，则预期参数θn′=RBdy P（y|Θ）yn′不影响样本指数n′6=n的点概率分布pn（yn|θn）。生成的数据与点概率分布一致，满足以下条件：pn（yn|Θ）=pn pn（ynθn），其中n=1。。。，N，（15）和样本y=（yn）Nn=1的似然函数P（y |Θ）是乘积：P（Θ）≡ P（y |Θ）=NYn=1pn（yn |θn）。（16） Fisher信息矩阵：假设B上的d维统计模型为S={PΘ≡ P（y |Θ），Θ≡ （θi）di=1∈ VΘ Rd} ，即d个实值非随机变量（θi）di=1参数化的概率分布族，属于参数Θ的参数空间vΘ，即Θ∈ VΘ Rd、 因此，概率函数lnp:VΘ的对数→ R 定义在空间VΘ上。让Θ≡ （θi）di=1∈ VΘ是参数的另一个值或参数Θ=（θi）di=1的估计值。在每一点，PΘ，可以定义d×d维观测Fisher信息（FI）矩阵[13,6]：iF（Θ）≡ -我iln P（Θ）=-~我iln P（ΘΘ）|eΘ=Θ（18）和我≡ /θi，~我≡ /θi，i，i′=1，2。。，d、 它刻画了P（y |Θ）的局部性质。它是具有连续、规则和规范化分布的对称、场内理论和统计物理模型，是正定义的[13]。我们仅限于考虑本案。

点PΘ处S上的预期d×d维FIM矩阵定义如下[8]：IF（Θ）≡ EΘ（iF（Θ））=ZBdyP（y|Θ）iF（Θ），（19）其中微分元素dy≡ dNy=dydy。。。戴恩。预期值中的下标Θ表示生成数据y的参数的真实值。FI矩阵定义了Riemannian-Rao-Fisher度量[8,12]。有时，由于概率分布归一化和正则条件，d×d维观测Fisher信息（FI）矩阵可以记录为“二次”形式[8]：如果=i\'lnp（Θ）iln P（Θ）. （20） EPI分析的中心量是信息通道容量，它是（预期）Fisher信息矩阵的轨迹。由于在上述条件下，观测到的Fisher信息矩阵是对角的，如果（Θ）=diag（iFnn（Θ）），则信息信道容量I（Θ）等于：I（Θ）=NXn=1ZBdy P（y |Θ）iFnn（Θ）=ZBdy I，（21），其中I:=P（ΘPNn=1iFnn（Θ）是信息信道密度[12,14]。青木-吉川模型的推广本文提出的AYM的推广包括将生产率视为一个连续的随机变量a。从离散变量到连续变量的转换通过a=ai进行→ a和pi=nin→ p（a）。（22）因此，概率分布函数p必须标准化：gXi=1pi=1→ZYada p（a）=1，（23），其中Ya表示生产率的一组可能值。类似地，生产率的预期值用以下方式替换θA≡ hAi=gXi=1piai→ZYada p（a）a，（24）带D/n。（25）为了确定生产率水平的概率分布，使用了theEPI方法。

下面，将采用Fisher信息的形式来估计标量参数θA，（24），[14]：θA≡ hAi=ZYada p（a）a，（26），这在本文中是生产率水平a的随机变量的期望值。Fisher信息的基本信息在第3节中给出，信息通道容量的构造可以在[4，12]中找到。之前用theEPI方法解决青木-吉川生产率问题的尝试是基于Frieden-Soffer方法[4]。然而，本文仅执行（修改后的）观察到的结构信息原理的分析形式[14]。4.1。预期的Fisher信息和通道的信息容量（θA）根据Friedenand Soffer提出的EPI方法的主要假设，系统本身对位置空间（即生产力A水平的值空间）进行采样。这个空间可以通过它的渔民自由度[4,12]进入。AY模型的EPI方法样本（所谓的内部样本[12,14]）为N=1维。因此，在AY情况下，事件的样本空间B和基本空间都相当于Ya[14]。在[3,4]中，信息（运动）通道电容最小值的条件→ min被假定为以一种独特的方式确定N值的值。然而，有时也会讨论I的非最小值，因为它们会导致EPI方法的模型，这具有物理意义[3,4]。关于这个话题的一些讨论也可以在[14]中找到。例如，通过与[4]中提出的动量分布的EPI模型的类比，例如n>1，可以得到平方流的非平衡定常解（其中，平方流与根生产率成比例）。关键是，当选择样本的大小时，会得到不同类别的EPI模型。

然而，由于N固定的价值，特定的EPI模型由一个或两个信息原则的解决方案提供。在所讨论的AY模型中，使用了观测到的结构原理（微分原理）和变分原理。变分信息原理与物理信息的极值化有关（见第4.2节）。因此，条件I→ Mini只选择模型的类型[4,7,15]，而根据信息原理，可以找到这种模型内部的特殊解决方案。因为N=1所以p（a |θa）≡ p（a）是AY模型的似然函数，AY模型的d=1维统计空间如下：S={pθa≡ p（a |θa），θa∈ VθA R} , （27）其中VθAis是θA的参数空间。对于N=1，信息信道容量I减小为Fisher信息IF（θ）=IF（θA）≡ θA，唯一的参数。从渔民信息的一般形式到本文中所用的必要步骤类似于[14]。概率振幅≡ q（a |θa）的定义如下[16,8,14]：p（a |θa）=q（a |θa）。（28）样本的N=1维意味着（生产率）场的振幅Q（a |θa）的秩也等于1[4]。当θAis是标量参数且样本的尺寸等于toN=1时，测量通道（θA）[12]的信息通道容量I（θA）等于参数θA[14]：I（θA）=IF（θA）的Fisher信息。

（29）如果（θA）是关于随机变量A的N=1维样本中定义的未知参数θA的信息。关于参数θA的（预期）Fisher信息的分析形式等于[14]：如果（θA）=ZYada p（A |θA）iFa（θA）=ZYada p（A |θA）-lnp（a |θa）θA=扎达-p（a |θa）θA+p（A |θA）p（a |θa）θA!=扎达-p（a |θa）θA+答=扎达-qaq′a+p（a |θa）θA, （30）式（28）和表示式q′a≡dqa（θA）dθA和q′A≡使用了dqa（θA）dθA，iFa（θA）中的指数表示观察到的渔民信息对A的依赖性。在最后一个等式中，关系为：p（a |θa）θA=（q′A）+qaq′A（31）也适用。由于归一化，（23）：ZYada p（a |θa）=1，（32）和正则条件[13,14]：ZYadap（a |θa）θA=θAZYada p（a |θa）=θA1=0，（33）费舍尔信息的分析形式（30）转换为以下度量形式[14]：如果（θA）=ZYada p（A |θA）fiFa（θA）=ZYadap（A |θA）p（a |θa）θA=扎达答. （34）根据式（33）和式（29），AYM的（预期）费希尔信息[14]的EPI方法形式及其测量信道的信息信道容量（θA）均等于：I（θA）=如果（θA）=-ZYada qa（θA）q′A（θA）。（35）信息信道容量I是进入EPI方法的估计过程的信道容量。作为信息原理的自洽解，下面给出的振幅Qa形式的推导始终使用结构信息原理的解析形式[6,14]，在这方面，它不同于[4]中给出的玻尔兹曼分布的推导。[7]中的信息原理和生成方程（总）物理信息kk=I+Q的存在性≥ 假设为0（36）。

直觉条件K的选择≥ 0与EPI方法的预期结构信息原理有关：I+κQ=0（37），根据[6]中的κ=1推导，其中κ是[4]中引入的所谓效率系数。[4,6]给出了I和结构信息Q的一般形式。信息原理的形式比（37）更为基本，是观察结构信息原理，其形式为qF+iF=0[6]。AY模型观测到的结构信息原理的特殊形式的推导类似于EPR Bohm问题[14]的推导，因此只给出必要的步骤。EPI方法的另一个信息原理是变分信息原理[4]：δ（I+Q）=0。（38）必须强调的是（修改后的）观察到的结构信息原理[3,4]，[14,15]，而不是预期的结构信息原理，它与变分信息原理一起自洽求解。下面，在AYM的情况下，将构建和解决这两个信息原则。笔记为了获得效率系数κ的值，必须同时解决信息原理，即（修改后的）观测结构信息原理[14,15]和变分信息原理，以及特定于模型的物理前提，例如一些对称条件[4]。结果得到了Q的具体形式和κ的值[4]。在[4]中，有人建议，对于具有量子对应物的EPI模型，κ=1[14]，而对于经典模型，κ=0≤ κ ≤ 1[4].

从下面的分析可以看出，在青木-吉川模型κ=1中，由于对K有这样的一般理解，EPI方法方程的多样性是由所研究的现象[3,4,17,6]决定的一系列不同的先决条件。另见[6,12,14]，其中讨论了弗里登-索弗原始形式的物理信息和本文中使用的信息原理之间的差异。类似于玻尔兹曼能量分布的EPI模型[4]。从[14]中的分析还可以看出，弗里登的“量子力学覆盖”EPI方法可以通过对统计概率振幅给出量子力学解释来构建。然而，在Einstein-Podolsky-Rosen-Bohm问题中，EPI统计信息理论建模本身提供的振幅的量子特性[14]。因此，青木-吉川模型的EPI方法的振幅qa（θA）可以获得量子力学解释，前提是生产率水平的量子化（如ai=iain等式（10））存在一个原因，如特定热量的爱因斯坦模型[18]。[1]中对AYM使用了假设（10），引用该假设只是为了将该模型与第6.4.2.1节中通过EPI方法获得的模型进行比较。青木-吉川模型的信息原理AYM中振幅集qa[14]描述的系统的结构信息Q[6]如下：≡ZYada qa（θA）qFa（qa），（39），其中为了简单起见，表示qa≡ qa（θA）≡ 使用q（a |θa）。现在，AYM中的物理信息K（36）如下[4,6]：K=I+Q=ZYada ka（θA），（40），其中I由等式（30）给出。在等式（40）中，ka（θA）是物理信息的密度，根据等式。

（30）、（39）和（31）等于toka（θA）=-qaq′a+p（a |θa）θA+qaqFa（qa）=-qaq′a+（q′a）+qaqFa（qa）=-qaq′a+qafqFa（qa），（41），其中引入了EPI方法中修正的观测结构信息[14]：fqFa（qa）：=qa（θa）（q′a）+qFa（qa）。（42）在对数似然函数lnp（a |θa）解析性的假设下，泰勒展开式lnpA.θA在θA的真值附近使用微分lnp（θA）θA≡ln p（∧θA）|θA | |θA=θA和q′A（θA）≡qa（θA）|θA | |θA=θA，导致观察到的结构信息的以下形式[14]：qFa（qa）=qa（θA）qa（θA）q′A（θA）- （q′a（θa））. （43）在这里，qFameans的论点中出现了qa，即qFain（43）的导数[14]中出现的概率（a |θa）（及其导数）已被振幅qa（及其导数）取代。在下面的内容中，将在指数函数的组合中搜索振幅Qa的形式，即Aym的解。另外一个假设是，上述方程RHS上的一阶导数q′a（θa）与qFa（qa）中的一个项相消。现在，将等式（43）中的术语（q′a）从RHS上的Fisher信息部分移动到LHS上的结构部分后，得到了修改后的观测结构信息原理[14]。（qFa（qa）和fqfa（qa）之间的这种转换随后在等式（41）中使用。）因此，修正后的AYM观测结构信息原理具有以下形式[14]：- 2 qa（θA）q′A（θA）+qa（θA）fqFa（qa）=0，（44）其中fqFa（qa）≡qFa（qa）+qa（θA）2（q′A（θA））=qa（θA）2qa（θA）q′A（θA）。（45）等式（44）纯粹是由于对数似然函数的分析性而产生的。式（44）的LHS是（直到因子）式（41）给出的物理信息密度ka（θA）。

这是观测到的结构信息qFa（qa）（最多可以是振幅qa（θA）的函数），振幅本身qa（θA）及其二阶导数的函数。评论：在AYM中，效率因子κ等于κ=1[4]。这是因为除了信息原理外，振幅qa没有附加微分约束。因此，提出的EPI模型是纯分析模型[6]，在这方面与EPR Bohm问题[14]类似。使用等式（41），物理信息K（40）采用以下形式：K=I+Q（46）=ZYada-qaq′a+qa（θa）fqFa（qa）.根据式（44），对于κ=1，预期结构信息原理（见式（37））如下：I+Q=0，（47），其中I+Q由式（46）的RHS给出。微分方程（44）是EPI方法中使用的信息原理的第一个。下面介绍的第二个是变分信息原理[4,7,6,14]。为了获得变分信息原理，我们必须将物理信息K（46）转换为度量形式，即一次平方的inq′a。因此，经过部分积分后，K可以重写如下[14]：K=i+Q=ZYadakmeta（θA）-Ca, （48）其中常数Cai等于：=质量保证(∞) 答(∞) - 质量保证（a）质量保证（a）, （49）式中，Ai是生产力的最小（绝对）水平，kmeta（θA）是物理信息密度的度量形式：kmeta（θA）=q′A+qa（θA）fqFa（qa）。（50）变分信息原理的形式为[4,14]：δ（qa）K≡ δ（qa）（I+Q）=（51）=δ（qa）ZYada（kmeta（θA）-（加州）= 0 .关于qa的变分问题（51）的解是欧拉-拉格朗日方程：ddθAkmeta（θA）q′a（θa）=kmeta（θA）质量保证。

（52）根据该方程和等式（50）中的kmeta（θA），对于每个振幅qa，得到以下微分方程：q′\'A=d（qafqFa（qa））dqa。（53）由于qa（θA）fqFa（qa）明确地是qaonly的函数，总导数取代了等式（52）中qa的偏导数。得到的方程式（53）与弗里登方程式[4]略有不同，与[14]中的方程式相同。这种差异的根源是物理信息密度的完全分析形式（41）。修正后的观测结构信息原理（44）和变分信息原理（51）（欧拉-拉格朗日方程（53）从中得出）用于推导生成分布的方程。4.2.2. 生成方程的推导使用等式（44）中的关系式（53），可以得到：qad（qafqFa（qa））dqa=qafqFa（qa）。（54）上述等式可以用更简单的形式重写：2dqaqa=dqafqFa（质量保证）qafqFa（qa），（55），通过对两边积分，可以得到以下结果：qa（θA）fqFa（qa）=αqa（θA）hencefqFa（qa）=2α，（56），其中积分常数α通常是复数。通过将式（56）代入式（53），我们得到了振幅qa[4]：q′\'a（θa）=αqa（θa）的搜索微分生成方程∈ VθA，（57），这是结构原理和变分原理这两种信息原理的结果。这一结果是在[4]中针对玻尔兹曼概率分布得出的，但结构信息原理的到达在这里是不同的[14]，两种信息原理的形式也略有不同。笔记如果假设QFA（qa）对生产率a有明确的依赖性，即fqFa（qa，a），则问题（54）的解决方案范围可能更广，其中也包括非平衡解决方案[4]。

这些解决方案对应的是，对于这些职业的所有特定配置，工人占据特定第四部门的概率不相等（与（2）中使用的假设相反）。青木-吉川模型的概率分布5。1.附加函数变量的定义生产率水平分布的EPI方法分析符合Frieden的一般方法。位移Xa，定义为Xa=A- 使用hAi，而不是生产力水平A的值。因此，执行加法分区：Ya≡ A=hAi+Xa（与[4]中的玻尔兹曼分布类似）。它可以在信息通道容量的水平上进行，正如[4]中最初提出的，并在[12]中为无需设置移位不变性要求的一般分布而开发的，也可以在生成方程的水平上进行。选择了后一种可能性，因为在考虑的情况下，这是一种简单的可能性，即：是≡ a=θa+xa，a≤ 对≤ ∞ , xmina=a- θA≤ xa<∞ , （58）其中Xa=Xa是特定位移。使用了简化假设，即生产率的波动从上面看是无界的（比较[4]讨论能量波动的分布）。

然后，在位移xa的空间xa上建立EPI模型，在我们的例子中是R [12].现在将引入一个简化符号：qθA（xa）≡ q（xa+θA |θA）=q（A |θA），（59），它留下了关于θA的全部信息，在振幅qθA（xa）的指数中表征了q（xa+θA |θA）（对于原始分布pθA（xa）也是如此）≡ p（xa+θA |θA）=p（A |θA））。现在，引用导数的“链式法则”：ddθA=d（A- θA）dθ加（A）- θA）=-dd（a）- θA）=-dd xa（60）从生成方程的统计形式（57）到其运动形式的转换：dqθa（xa）d xa=αqθa（xa），（63），其中qθa（xa）是生产力水平波动分布的振幅，它被选为α为实常数（见脚注8）。作为振幅qθAis的生成方程的解是实的，因此等式（63）中的α也必须是实的。当生产率Xa的函数值不受上面的限制，且该条件通过Xmaxa逼近实现时，则α必须为实。在这种情况下，通过振幅平方的归一化，我们得到z∞xminadxaqθA（xa）=Z∞xminadxapθA（xa）=1，（64）因此，等式（63）的解纯粹是指数性质的[4]：qθA（xa）=B exp(-αxa）+C exp（αxa），α∈ R+，（65）注：考虑到dxa=dya，这与参数θAis是常数这一事实有关，我们可以从物理信息的统计形式K=I+Q（40）-（41）转换为其运动形式，信息通道容量如下[4,6,14]：I=ZXadxadqθA（xa）dxa（61）以及以下形式的结构信息：Q=ZXadxaqθA（xa）qFa（qθA（xa））. （62）α的另一种可能性是它是一个纯虚数。然后，该解具有严格的几何特征[4]。然而，当xmaxa→ ∞ 然后，由于归一化条件（64），三角解是不允许的。

（当参数空间是有限的时，可以得到三角解，就像EPR Bohm问题[4,14]的情况一样）。其中B和C是实常数。因为标准化条件（64）是在区间xmina中定义的≤ xa<∞ 因此，解决方案中具有正指数的部分必须被拒绝，因为它与完整性存在差异。因此，α>0的要求导致C=0。总之，振幅的搜索形式如下：qθA（xa）=B exp(-αxa），α∈ R+，xmina≤ xa<∞ . （66）由此和归一化条件（64）得出常数B：B=±2√2αexpαxmina. （67）因此，α振幅的最终形式∈ R+的形式为qθA（xa）=±2√2αexpα克斯米纳- xa, α ∈ R+（68）和α以单位[1/生产率]表示。从振幅（68）可以得到生产力水平X波动的以下概率分布：p（xa）=q（xa）=2αexp2α克斯米纳- xa, α ∈ R+。（69）根据式（58），下列关系式保持a=θa+xathus，da/dxa=1。因此，随机变量A的分布形式为：p（A）=p（xa）|da/dxa |=2αexp[-2α（a）-a） 】，a≤ a<∞ . （70）现在，A的期望值等于：hAi≡ θA=+∞因此，将等式（70）插入（71）中，我们得到：2α=（hAi）- （a）-1.（72）让我们注意到，从等式（71）可以看出，A是生产力水平的期望值hAi的无偏估计量，即dhAi=A。图1：该图描述了累积概率分布P（W）>（A）=R的比较∞ap（a）da[19]根据等式给出的生产率水平概率分布进行计算。（74）在工人中观察到的数据（W）[来源[19]为2005年的数据]（粗虚线）。生产率削减“a”以10日元/人[19]为单位给出，并在两个轴上使用通用对数标度。

工人生产率的最小绝对水平被认为等于零。比值D/n（该值等于玻尔兹曼温度[19]）的中心值等于135（长虚线）。为了进行比较，还绘制了另外两条曲线，左曲线的D/n=100（实线），右曲线的D/n=170（短虚线）[19]。考虑到约束hAi=D/n，（25），使用等式（68）最终可以获得振幅：qθA（xa）=±2pD/n- aexp-xa+（数字/数字）- a） 2（D/n）- （a）, （73）凡- 承兑交单≤ xa<∞寻找生产率水平的概率分布：p（a）=（D/n）-aexp-A.-a（D/n）-A.暂时≥ a0对于a<a.（74）分布（74）是AY生产率模型的EPI方法的最终结果。最后，图1显示了累积概率分布P（W）>（a）=R的比较∞[19]中考虑了等式（74）给出的生产率水平概率分布，以及观察到的工人（W）的生产率分布（来源[19]）。如果将整个生产率削减范围考虑为“a”，那么指数定律（74）（工人的最小绝对生产率Ao等于零）很好地验证了数据。6.两种方法的比较为了比较两种方法，必须产生离散变量和假设。在AYM中做出的假设如下（10）：ai=i A其中i=1，2。。。，g，（75）生产部门的数量很大，g>>1，安德烈≡不适用。（76）这导致：P（i | n*) =N*在里面≈R- 1.R- 1r我≈ （r+r）e-ir，i=1，2；r>>1，（77）其中n*i、 i=1，2。。。，g、 是最可能占据向量n（1）的坐标。

上述等式给出了随机选择的工人在第i个部门的概率，前提是经济处于~n状态*= （n）*, N*,..., N*g） 。因此，为了比较这两种方法，必须将获得的概率分布（74）整合到分段（ai，ai+1）中。首先，让我们考虑一种情况，即部门的“宽度”等于a=amin，即生产率的最小（绝对）水平。假设ai=i，其中min=a>0，（10），得到的结果是：P（i）=Z（i+1）aiada P（a）=1.- E-1/（r）-1)E-（一）-1） /（r）-1） 对于i=1，2，（78）在极限r>>1中给出：P（i）≈ （r+2r）E-ir+r对于i=1，2。。。a>0，r>1。（79）其次，让我们考虑a=0的情况，扇区的“宽度”等于δa。这导致toP（i）=Ziδa（i）-1） δada p（a）=-1+e1/~rE-i/~r，i=1，2。。。对于a=0，（80），其中r≡引入了D/nδa（81）而不是r（76）。在这种情况下，对于r>>1，最终可以得到：P（i）≈~r+2~rE-i/~r，i=1，2，对于a=0；：/r>>1。（82）这意味着，对于较大的r，两种方法在一阶近似中给出相同的结果。请注意，解（80）是精确的，在AYM方法中，必须进行一些额外的假设，以获得最终公式。7.结论青木-吉川模型虽然相对简单，但给出了有趣的结果，可以作为各种分析的起点。在这里，我们采用了理论物理中使用的方法来概括模型，因此这些方法指的是与原始模型相同的现象[5]（参见第5.2节图1和[11]中的讨论）。我们的方法允许精确的解决方案。原始AY模型和本文提出的方法在一阶近似下一致。

在所提出的方法中构建的现象模型可以用作极端物理信息原理的测试，我们预计这些方法将成功应用于其他研究领域[3,4,14]。最初的EPI方法是由Frieden和Soffer[3,4]发明的。他们与Plastino和Plastino一起，将各种EPI模型的（差异）信息原理的解决方案付诸实践[3]。然而，生产率水平概率分布（74）的生成方程（57）的推导（可以通过与玻尔兹曼分布[4]的比较来推断）与原始弗里登-索弗方法[4]中使用的生成方程不同。本文推导的主要区别在于，本文中直接用于结构信息原理的观测物理信息是从对数似然函数[6,14]的分析性条件中一致获得的，没有从其解析形式跳到其度量形式。直到那时，才推导出生成方程（57）和（63）。这允许连续获得青木-吉川部门生产率模型统计信息概括的生产率水平概率分布（74）。确认这项工作得到了国家科学中心根据noDEC-2011/01/B/ST6/07197合同资助的“量子游戏：理论与实现”项目的支持。J.Syska对这项工作的贡献也得到了建模研究所的支持，该研究所位于波兰Drzymaly7/5卡托维兹40-059号。参考文献[1]U.Garibaldi和E.Scalas，《经济物理学中的有限概率方法》，剑桥大学出版社，2010年。[2] 青山、藤原、池田、伊藤、苏马、经济物理学和公司。《复杂商业网络中的统计生死》，剑桥大学出版社，2010年。[3] B.R。

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