比例风险下货币模型中的期权定价与套期保值博弈

2022-5-8 04:20:16

按比例交易成本的Currency模型中的期权定价和套期保值博弈*2018年9月5日摘要在具有比例交易成本的多货币模型中，考虑了期权或以色列期权的定价、套期保值、最优行使和最优取消。给出了最优套期保值、取消和行使策略的有效构造，以及博弈期权的出价和出价的数字样本和概率对偶表示。关键词：博弈期权、博弈未定权益、以色列期权、比例交易成本、货币模型、超边际、最优行使。理学硕士2000年：小学：91B28，中学：60G40，91B30。1引言博弈期权（也称为Israe li期权）的研究可以追溯到基弗（2000）的最早工作；Kifer（2013a）最近的调查论文提供了完整的年表和文献综述。除了作为衍生证券本身的利益外，博弈期权在其他衍生工具的研究中也发挥了重要作用，例如可赎回期权（例如K–uhn&Kyprianou 2007）和可转换债券（例如K allsen&K–uhn 2005、Bielecki、Cr’epey、Jea nblanc&Rutkowski 2008、Wang&Jin 2009）。博弈期权是作者（卖方）和持有者（买方）之间的合同，卖方在行使时间（由买方选择）和终止时间（由卖方选择）中最早的时间向买方交付预先指定的支付。如果游戏选项在行使之前或同时被取消，那么卖方也向买方支付取消通知。因此，博弈期权本质上是一种美式期权，附加条款是卖方可以在到期前的任何时间取消期权，从而以一定的价格（罚金）提前行使。

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2022-5-8 04:20:19

在实践中，这一特点往往会降低卖方和买方的成本，这使得游戏期权成为美式期权的一种有吸引力的替代品。人们已经很好地观察到，在不完全无摩擦模型和具有比例交易成本的模型ls中，欧洲和美国期权的套利定价会导致一系列无套利价格，从下到下为*约克大学数学系，Heslington，YO10 5DD，英国。电子邮件：alet。roux@york.ac.ukthe投标价格和从上到下的要价（参见F–ollmer&Schied 2002、Bensaid、Lesne、Pag`es&Scheinkman 1992、Chalasani&Jha 2001、Roux&Zastawniak2015）。游戏选项也是如此（Kallsen&K–uhn 2005，Kifer2013b）。在存在比例交易成本的情况下，博弈期权的定价和套期保值也与欧美同行共享许多其他重要属性。（下文列出的欧洲和美国期权的属性均由Roux&Zastawniak（2015）在与本文类似的技术背景下建立。）首先，与欧式期权类似，博弈期权的套期保值是对称的，即买方的套期保值问题与卖方的套期保值问题（具有相关支付的不同博弈期权）完全相同。Kifer（2013b）在一个双资产模型中观察到了这一特性。Kifer（2013b）还表明，博弈期权的买入和卖出价格的概率双重表示包含所谓的随机停止时间，这一特征与美式期权的卖出价格（Chalasani&J ha 2001首次提供了这一特征）。

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2022-5-8 04:20:22

Baxter&Cha con（1977）和其他许多人研究了随机（或混合）停车时间，主要是为了证明最佳普通停车时间的存在性和性质。随机停车时间可以被认为是明确意义上普通停车时间的凸组合。在买卖价格的概率对偶表示中出现随机停止时间的原因是，在存在交易成本的情况下，卖方（买方）要对冲的博弈期权的最昂贵的执行（取消）策略不一定与对买方（卖方）最具吸引力的执行（取消）策略相同。因此，与买方（卖方）的最佳行使（取消）策略相比，卖方（买方）对冲所有行使（取消）策略的成本更高。事实证明，卖方（买方）必须有效地受到保护，不受某个随机性（取消）时间的影响。此外，与长美式期权（即买方的情况）类似，博弈期权的买方和卖方的定价和套期保值问题本质上是非凸的。研究这些问题需要超越凸对偶的思想。然而，博弈选项和短美式选项（即卖方的情况，凸问题m）之间的联系意味着凸对偶方法在建立概率对偶表示中仍起着重要作用。在本文中，我们考虑了卡巴诺夫（1999）提出的外汇市场无风险离散时间模型中博弈期权的定价和hedg，其中按比例的交易成本被建模为货币之间的报价和报价。

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2022-5-8 04:20:25

Kabanov&Stricker（2001）、Kabanov、R\'asonyi&Stricker（2002）、Schachermayer（2004）和其他人（参见Ka banov&Safarian 2009）对该模型进行了深入研究。我们工作的主要目标有两个。首先，我们提出了计算最优执行时间和取消时间的构造性算法，以及该模型中博弈期权买卖双方的最优套期保值策略。本文中的算法构造与之前开发的用于按比例交易成本对欧洲和美国期权进行定价和套期保值的算法密切相关（参见L–ohne&Rudlo offf 2014，Roux&Zastawniak 2009，2015）。这些现有结构产生了高效的数值算法；尤其是在重组模型（通常具有指数大小的状态空间）中，它们是多项式时间内已知的路径独立期权。文中给出了数值算例来说明这些结构。其次，我们建立了博弈期权的买入价和卖出价的概率对偶表示。在这两个贡献中，我们将Kifer（2013b）关于博弈期权的最新结果从两资产模型扩展到多资产模型。我们的证明是严格的，因此在Kifer（2013年b）的论点中关闭了两个g AP；更多详细信息，请参见备注3.9、建议3.1和示例5.2下面的注释。本文中使用的方法来自凸分析和动态规划，特别是我们将使用fr om Roux&Zastawniak（2015）的最新结果，对一个具有随机出口日期的美式期权进行分析。对有限状态空间的限制是出于产生定价和套期保值计算高效算法的愿望。

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2022-5-8 04:20:29

Dolinsky（201 3）最近的一个负面结果证明了对离散时间的限制，即在比例交易成本下，连续时间内博弈期权的超复制价格是一个微不足道的买入并持有超复制策略的初始值。本文的结构如下。第2节详细介绍了带有部分交易成本的currencymodel，并回顾了关于随机停止时间和近似鞅的各种概念。第3节介绍了定价和套期保值的主要算法以及卖方和买方头寸的理论结果，所有结果的证明推迟到第4节。第5节用三个数值例子来结束本文。2.准备工作2。1比例交易成本卡巴诺夫（1999）的无息货币模型具有离散交易日期ST=0，基于有限概率空间(Ohm, F、 P）过滤（Ft）Tt=0。该模型包含d种货币（或资产），在任何时间t，货币j=1的一个单位，d可以通过交换πijt>0单位的货币i=1，d、我们假设πiit=1表示i=1，d、也就是说，每种货币都可以自由兑换。假设过滤（Ft）Tt=0由（πijt）Tt=0生成，对于i，j=1，d、为了简单起见，假设F={, Ohm}, FT=F=2Ohm对于llω，p（ω）>0∈ Ohm. Fτ族的Wr ite Lτ-可测Rd值e非常停止时间τ的随机变量，并将非负随机变量族的L+τ写入Lτ中。允许Ohmt对于t=0，T元素Ohmt在时间t时调用模型的节点。A节点ν∈ Ohmt+1被称为节点的继承者∈ Ohmtifν u. u的成功者的集合表示为成功u。

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2022-5-8 04:20:32

Weshall隐式且唯一地识别LTF中带有u7函数的随机变量→ fu∈ 阿尔登Ohmt、同样地，每一套都是∈ 我们将考虑的Lt将通过集值映射u7简单且唯一地定义→ Au 阿尔登Ohmtsuch thatA={f∈ Lt:fu∈ 一个u代表所有u∈ Ohmt} 。投资组合x=（x，…，xd）∈ 如果Lτ可以在无需任何额外投资的情况下转换为L+τ中的投资组合，即如果存在非负Fτ-可测随机变量βiji，j=1，…，则Lτ在停止时间τ称为溶剂，dsuch thatxi+dXj=1βji-dXj=1βijπijτ≥ 0表示所有i=1，d、在时间τ处为有偿付能力的投资组合族写出Kτ；那么偿付能力coneKτ是由正则基e，…，生成的凸锥，edof Rd和向量πijτei-对于i，j=1，d、观察Kτ是一个多面体圆锥体，henceclosed。自我融资交易策略y=（yt）Tt=0是一个具有初始资金y的Rd值可预测过程∈ 满足yt- yt+1∈ 对于所有t=0，T- 1.用Φ表示自我融资交易策略家族。自我融资交易策略y=（yt）∈ 如果y=0且存在某个x，则Φ称为套利机会∈ L+T\\{0}使yT- 十、∈ KT。套利的这种定义与Chachermayer（2004）和Ka banov&Stricker（2001）（他们称之为弱套利）的定义一致（尽管形式上有所不同）。对于任何非空凸锥A 写一封信*对于正极化子A，即A*:= {x∈ Rd:x·y≥ 0代表一切∈ A} 。定理2.1（卡巴诺夫和斯特里克（2001））。当且仅当存在一个概率测度P等价于P且Rd值DP鞅S=（St）Tt=0且St∈ K*t\\{0}对于t=0，T.任何满足定理2.1条件的对（P，S）都可以是等价鞅对。

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2022-5-8 04:20:35

用P表示等价鞅对族；那么P6= 在没有套利的情况下。备注2.2。定理2.1和本文中的其他结果可以等价地用一致定价过程（Zt）Tt=0表示，其中Zt=StEPdPdP英尺对于所有t=0，T.Schachermayer（20 04，第24-25页）提供了关于这种等价性的更多细节。在本文剩余部分，假设模型不包含套利。2.2随机停车时间定义2.3（随机停车时间）。随机（或混合）停止时间χ=（χt）Tt=0是一个ada接受的非负过程，满足TXT=0χt=1。用X表示随机停止时间集，以及值为0，一点一点。每次停车时间τ∈ t与简化的停止时间χτ=（χτt）Tt=0相关，定义为χτt:=1{τ=t}对于t=0，T、其中1表示指示灯功能开启Ohm. 集合X是{χτ：τ的凸包∈ 在这个意义上，T}和so X可以被认为是s e到普通停止时间的线性松弛。修正任何过程A=（At）Tt=0和随机停止时间χ∈ 十、流程的定义*= (χ*t） Tt=0和Aχ*= （Aχ*t） Tt=0byχ*t:=TXs=tχs，Aχ*t:=TXs=tχsass对于t=0，T为方便起见，还定义了χ*T+1:=0和Aχ*T+1:=0。观察χ*是一个可预测的趋势，因为χ*t=1-T-1Xs=0χsfor t=1，T.A atχ的值定义为asAχ：=Aχ*=TXt=0χtAt。观察如果对于某些τ，χ=χτ∈ T，然后是χτ*t=1{τ≥t} ，Aχτ*t=TXs=t{τ=s}As=Aτ{τ≥t} 对于t=0，T，尤其是Aχτ=Aτ。定义2.4（近似鞅对）。修正任何χ∈ 一对（P，S）由一个概率测度P和一个ada pted Rd值过程S组成，称为χ-近似鞅对ifSt∈ K*t\\{0}，EP（Sχ*t+1 |英尺）∈ K*t对于所有t=0，T

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mingdashike22

2022-5-8 04:20:38

如果P与P是加法等价的，那么（P，S）称为χ-近似等价鞅对。用P（χ）表示χ-近似等价对（P，S）族，用P（χ）表示χ-近似对组。不管怎样∈ X和i=1，d fi nePi（χ）：={（P，S）∈ P（χ）：t=0时，Sit=1，T}，π（χ）：={（P，S）∈\'P（χ）：t=0时，Sit=1，T}。自从P P（χ）P（χ）和K*这是一个圆锥体，适用于所有t=0，T，无套利假设意味着π（χ）和π（χ）是非空的。定义2.5（缩短停车时间）。修正任何χ∈ 十、 σ∈ T随机停药时间χ∧ σ = ((χ ∧ σ）t）Tt=0定义为（χ∧ σ） t:=χt{t<σ}+χ*t{t=σ}对于t=0，T.过程χ∧ σ明显适应且非负，MoreOverText=0（χ∧ σ） t=σ-1Xt=0χt+χ*σ=1，因此这确实是一个随机停止时间。如果对于某些τ，χ=χτ∈ T，然后（χ∧ σ） t=1{σ∧τ=t}对于所有t=0，T和soχτ∧ σ = χτ ∧σ. 表示在σ处截断的随机停止时间集∈ T byX∧ σ := {χ ∧σ : χ ∈ 十} .3主要结果和讨论在本节中，我们正式定义了博弈选项的含义，并给出了结构和主要结果。定义3.1（游戏选项）。博弈期权是在停止时间τ行使的衍生证券∈ T由买方选择，并在截止时间取消∈ 卖方没有选择。时间σ∧ τ买方收到卖方的付款，其中≡ QY，X，X′st:=Yt{s>t}+Xs{s<t}+X′s{s=t}（3.1）对于所有的s，t=0，T和Y=（Yt）Tt=0，X=（Xt）Tt=0和X′=（X′T）Tt=0是与Rd值过程相适应的- X\'t∈ Kt，X′t- Yt∈ Kt（3.2）对于所有t=0，T如果买方在期权取消前行权，即{τ<σ}，买方在行权时间τ收到卖方的付款τ。如果卖方在行使期权前取消期权，即。

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2022-5-8 04:20:41

在{σ<τ}日，卖方需在取消时间σ向买方交付付款Xσ，该时间σ由Yσ和罚金Xσ组成- Yσ=（Xσ）- X′σ）+（X′σ- Yσ）∈ Kσ。如果期权同时行使和取消，即{σ=τ}，卖方向买方支付X′σ，包括Yσ和罚金X′σ- Yσ∈ Kσ。假设（3.2）意味着，在任何时间t，取消时的portfolioXtpayable对买方的吸引力至少与同时取消和执行时portfolioXtpayable对买方的吸引力相同，反过来，这至少与执行时应付的portfolioXtpayable一样具有吸引力。因此，从定义3.1中可以看出，游戏期权本质上是一种美式期权，具有支付过程Y，附加功能是卖方可随时取消（在支付取消罚金后）。备注3.2。定义3.1比文献中通常采用的方法（参见Kifer 20002013b）更一般，其中标准d假设是，如果取消和执行同时发生（即所有t的X′t=YT），则不支付罚金，到期时也不支付罚金（即XT=X′t=YT）。本文推广的动机是，它能使卖方和买方套期保值问题之间的对称性得到充分利用；见提案3.13。然而，从实用的角度来看，定价和套期保值问题依赖于X仅通过（Xt）t<和X′仅通过X′t；参见关键结构3.5和3.14以及引理4.1。备注3.3。该房产（3.2）规定了卖方和买方在各种情况下的付款顺序，但在定义3.1中没有要求任何付款Xt、YT和X’皮重的溶剂油。

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2022-5-8 04:20:44

由于没有这样的偿付能力要求，因此很容易适应买方的情况，在这种情况下，支付往往是“负的”，因为它们对应于收到的投资组合，而不是交付的投资组合。典型案例如例5.1和5.2.3.1所示。卖方博弈期权（Y，X，X′）的卖方套期保值策略的定价和套期保值包括取消时间σ和自融资交易策略，允许卖方在买方选择的任何行使时间无损失地交付支付。定义3.4（卖方的对冲策略）。卖方的套期保值策略是一对（σ，y）∈ T×Φs满足σ∧τ- Qστ∈ Kσ∧τ代表所有τ∈ T（3.3）卖方至少存在一种套期保值策略。事实上，fi xingi=1，d和定义m:=最大值dXj=1πijt（ω）max{Yjt（ω）|，|Xjt（ω）|，|X′jt（ω）| t=0，T、 ω∈ Ohm,（可能昂贵的）买入并持有策略y=（yt）Tt=0，yt=meifort=0，T通过任何取消时间σ的选择为卖方对冲g ame期权∈ T现在考虑以下构造。建筑3.5。构造适应集值映射（Yat）Tt=0，（Xat）Tt=0，（Uat）Tt=0，（Vat）Tt=0，（Wat）Tt=0，（Zat）Tt=0，如下所示。对于所有t=0，T letYat:=Yt+Kt，Xat:=（X′T+KTif T=T，Xt+KTif T<T.（3.4）定义：=VaT:=LT，ZaT:=Xat。对于t=t- 1.0通过反向迭代定义wat:=Zat+1∩ Lt，（3.5）增值税：=Wat+Kt，（3.6）Zat:=Vat∩ （一）∪ Xat。（3.7）对于每个t=0，T，集合是指在买方在时间T行使且卖方未在时间T取消期权的情况下，允许卖方结算期权的交易组合。集合是指允许卖方在时间T取消期权时结算期权的交易组合，无论买方是否在时间T行使。

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2022-5-8 04:20:47

属性（3.2）给出thatXat=（Xt+Kt）∩ （X′t+Kt）表示t<t。XaT=X′t+Kt的关系源自这样一个事实，即在最后时刻t的任何癌变都必须通过同时运动来匹配。下面的结果表明，Za是一组初始恩赐，允许卖方在3.6上对冲博弈期权。我们为卖方提供了{y:（σ，y）对冲（y，X，X′）。（3.8）提案证明N3.6（见第4节）表明，对于每个t<t，Vat、WAT和Zathave自然解释对期权卖方很重要。set Wat由时间t的投资组合组成，允许卖方在未来（时间t+1或更晚）对冲期权，VAT由时间t重新平衡为Wat投资组合的投资组合组成。set ZAT考虑所有投资组合，允许卖方在时间t或未来任何时间结算期权，且无损失风险。构造3.5本质上是在汇率生成的价格树节点上的迭代（时间上向后）；特别注意（3.5）可以等效地写为waut:=\\ν∈成功的uZaνt+1∈ Ohmt、（3.5′）这种性质使得构建重组模型特别有效，对于重组模型，尽管状态空间呈指数增长，但节点的数量仅与模型中的步数呈多项式增长。构造3.5中的集合Xat和Yatin显然是多面体l，对于所有t=0，还有增值税、瓦特税和扎特税。构造3.5中的操作是（3.4）和（3.6）中多面体圆锥体的直接加法，以及（3.5）和（3.7）中的相交和并集。（3.7）中的并集的出现意味着对于某些t<t，集合Vat、WAT和ZATMA可能是非凸的。

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2022-5-8 04:20:50

然而，很明显，这些集合可以写成非空（闭合）多面体的有限并集，因此是闭合的。特别是，Za的封闭性对于下面的定理3.10至关重要。以任何货币表示的游戏期权的要价被定义为在该货币的初始捐赠中，允许卖方在没有风险的情况下对冲游戏期权。定义3.7（要价）。以货币i=1表示，在时间0时博弈期权（Y，X，X′）的要价或卖方价格或上限价格，d是πai（Y，X，X′）=inf{z∈ R：（σ，y）∈ T×Φ，y=Z边（y，X，X′）表示序列r}。卖方存在买入并持有策略，这意味着askprice的定义非常明确。现在，我们给出了随机停止时间和近似鞅对的询问价格的对偶表示。定理3.8。博弈期权（Y，X，X′）的要价，以货币i=1，d是πai（Y，X，X′）=minσ∈Tmaxχ∈Xsup（P，S）∈Pi（χ∧σ） EP（（Qσ·Sσ）∧·)χ） =最小σ∈Tmaxχ∈Xmax（P，S）∈π（χ）∧σ） EP（（Qσ·Sσ）∧·)χ）其中Qσ·Sσ∧·表示过程（Qσt·Sσ∧t） Tt=0，换句话说，（Qσ·Sσ）∧·)χ=σ-1Xt=0χtYt·St+χ*σ+1Xσ·Sσ+χσX′σ·Sσ。Theo rem 3.8的证明见第4节。备注3.9。Kifer（2013b，Theor em 3.1）在一个双货币模型中获得了一个类似的博弈选项（Y，X，Y）的对偶表示，该模型不具有运行停止时间χ∧ σ和停止的进程Sσ∧·, 而不是χ和S。例5.2表明，这些对偶表示在总体上并不等价，定理3.8中的表示确实是正确的。这两种表述之间差异的原因可以用以下方式直观地解释。

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2022-5-8 04:20:53

定理3.8的证明取决于这样一个事实：一对（σ，y）对冲卖方的博弈期权，当且仅当卖方的美式期权具有支付过程Hσ（定义见（4.1））和随机到期日σ。相比之下，Kifer（2013b）定理3.1的证明声称，（σ，y）为卖方对冲博弈期权（y，X，y），并且仅当y通过支付过程对冲美式期权时QY，X，YσtTt=0，卖方的采购日期T（而非σ）。这种说法在gene ral中并不成立，因为对这种美式期权进行套期保值需要卖方能够在{σ>t}的任何时间t，换句话说，在期权已经被取消之后，在{σ>t}上交付Qσt=Xσ。如例5.2所示，当交易成本在时间σ和/或Xσ为无偿付能力投资组合时，非等价性最容易被注意到。回到计算博弈期权的要价的问题，下面的结果是命题3.6和ZA的封闭性的直接结果。定理3.10。我们有πai（Y，X，X′）=min{X∈ R:xei∈ Za}。（3.9）此外，卖方存在一种对冲策略（^σ，^y），使得^y=πai（y，X，X′）ei。如果卖方的套期保值策略（σ，y）满足定理3.10中的性质，则称为最优。构建这种策略的程序可以从命题3.6的证明中提取出来。建筑3.11。为卖方构建一个最优策略（^σ，^y），如下所示。设^y:=πai（y，X，X′）ei。对于每个t=0，T-1和u∈ Ohmt、如果^yut∈ Zaut\\Xaut，然后选择任意^yut+1∈ Waut∩ [^yut- Kut]，（3.10）否则将^yut+1:=^yut。还定义了^σ：=最小{t:^yt∈ Xat}。一般来说，卖方的最优策略不是唯一的；这反映在选项（3.10）中。

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2022-5-8 04:20:56

在实践中，卖方可能会使用次要考虑因素，例如持有某些货币的偏好，或二级套期保值标准的最优性，来指导合适的最优套期保值策略的构建。第5.3.2节“买方的定价和套期保值”中给出了两个玩具示例，说明了构造3.5和3.11以及定理3.8，以及第三个更具现实意义的示例。现在，关于博弈期权（Y，X，X′）买方的套期保值、定价和最佳行使问题。定义3.12（买方的Hedg策略）。买方的套期保值策略是一对（τ，y）∈ T×Φ满足σ∧τ+Qστ∈ Kσ∧所有σ的τ∈ T，（3.11），其中支付过程Q在（3.1）中定义。从（3.1）中观察到qστ=QY，X，X′στ=-Q-十、-Y-所有σ的X′τσ，τ∈ T，（3.12），而且从（3.2）可以看出，对于所有的T=0，T-Yt- (-X′t）=X′t- Yt∈ Kt，-X\'t- (-Xt）=Xt- X\'t∈ Kt。因此，如果（Y，X，X′）是博弈期权的报酬，那么它也是(-十、-Y-X′），和（3.11）是等效的τ∧σ- Q-十、-Y-X′τσ∈ Kτ∧σ代表所有σ∈ T因此，我们得出以下结果。3.13的提议。一对（τ，y）∈ T×Φ为买方对冲博弈期权（Y，X，X′），当且仅当（τ，Y）对冲博弈期权(-十、-Y-X′）表示卖方。这种对称性意味着前一小节中针对卖方案例开发的结果和结构也可以应用于买方的套期保值和定价问题，从而实现Kifer的索赔（2013b，第6 79-80页）。特别是，如果Yatand Xatin（3.4）重新定义，以考虑到现在的选择，可以直接应用构造3.5(-十、-Y-而不是（Y，X，X′）。由此产生的解释如下。建筑3.14。对于所有致命的：-Xt+Kt，Xbt:=(-X′T+k如果T=T，-如果t<t.defi neWbT:=VbT:=LT，ZbT:=XbT。对于t=t- 1.

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2022-5-8 04:20:59

，0 letWbt:=Zbt+1∩ Lt，Vbt:=Wbt+Kbt，Zbt:=（Vbt）∩ （Ybt）∪ Xbt。直接从定理3.6得出，Zb是允许买方对冲期权的初始捐赠集，即Zb={z:（τ，y）∈ T×Φ，y=Z边（y，X，X′）用于买方}。任何货币的博弈期权的买入价是买方在时间0时通过期权支付作为担保而以该货币筹集的最大金额。定义3.15（投标价格）。货币i=1的博弈期权（Y，X，X′）的买入价或较低套期保值价或买方价格，d定义为πbi（Y，X，X′）：=sup{-z:（τ，y）∈ T×Φ，y=zeisup（y，X，X′）用于买方}。命题3.13和构造3.14给出πbi（Y，X，X′）=-πai(-十、-Y-X′）=-infz:zei∈ Zb. （3.13）如果y=-πbi（Y，X，X′）ei。最佳套期保值策略可以通过重写结构3.11生成，如下所示。建筑3。16.为买方构建一个最优策略（ˇτ，ˇy），如下所示。让ˇy:=-πbi（Y，X，X′）ei。对于每个t=0，T-1和u∈ Ohmt、如果yut∈ Zbut\\Xbut，然后选择一个nyˇyut+1∈ Wbut∩[ˇyut- Kut]，（3.14）否则将ˇyut+1:=ˇyut。同时确定ˇτ：=mint:嗯∈ Xbt.第5节给出了说明结构3.14和3.16的玩具示例。它表明，卖方的最佳取消时间^σ和买方的最佳行使时间^τ一般不相同，这些时间也可能不同于停止时间^σ∧ ˇτ支付期权报酬的时间。最后，将定理3.8与（3.12）和（3.13）结合，立即给出投标价格的以下双重表示。定理3.17。

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mingdashike22

2022-5-8 04:21:04

我们有πbi（Y，X，X′）=maxτ∈Tminχ∈Xinf（P，S）∈Pi（χ∧τ）EP（（Q·τ·S）·∧τ） χ）=maxτ∈Tminχ∈Xmin（P，S）∈π（χ）∧τ）EP（（Q·τ·S）·∧τ） χ），其中Q·τ·S·∧τ表示过程（QY，X，X′sτ·Ss∧τ） Ts=0，即（Q·τ·S）·∧τ)χ=τ -1Xs=0χsXs·Ss+χ*τ+1Yτ·Sτ+χτX′τ·Sτ。定理3.17中的表示不同于Kifer（2013b，定理3.1）在两种货币模型中对博弈选项（Y，X，X′）的表示，原因已在定理3.8中讨论过；卖方对提案3.6的案例证明见备注3.9.4结果证明。修正任何错误∈ 扎。我们声称，对于y=z的卖方，存在一个混合策略（σ，y）。为此，我们将y=（yt）Tt=0与停止时间的非递减序列（σt）Tt=0一起构造。定义：=z，σ：=（如果z为0）∈ Xa，如果z∈ Za\\Xa。如果σ=0，则y:=y。如果σ=1，则y∈ Za\\Xa 弗吉尼亚州∩ 对 Wa+K，因此存在一些y∈ 真是太可怕了- Y∈ 康迪∈ 扎。通过归纳，假设对于某些t>0，我们构造了y，YT和非减薄σ，σt-1对于s=0，T- 1我们有可测量的ys+1，σs≤ s+1，Y- ys+1∈ Ks，yσs∈ Xaσson{σs≤ s} 安度∈ Zau\\Xauon{σs>u}对于所有的u=0，s、定义σt:=σt-1{σt-1<t}+t1{σt-1=t}∩{yt∈Xat}+（t+1）1{σt-1=t}∩{yt∈Zat\\Xat}。关于集合{σt>t}={σt=t+1}={σt-1=t}∩ {yt∈ 我们有∈ Zat\\Xat 增值税∩ 一 Vat=Wat+Kt，因此存在Ft可测量的随机变量x∈ Zat+1就是这样-十、∈ 在这台电视机上。现在定义Ft可测随机变量yt+1:=x1{σt=t+1}+yt{σt≤t} 。从0开始∈ 我们有- yt+1∈ Kt。此外，yσt=yσt{σt<t}+yt{σt=t}+yt+1{σt=t+1}=yσt-1{σt<t}+yt{σt-1=t}∩{yt∈Xat}+yt+1{σt=t+1}so yσt∈ Xaσton s e t{σt≤ t} ={σt-1<t}∪ [{σt-1=t}∩ {yt∈ Xat}]。归纳步骤到此结束。设σ：=σT；然后是一对（σ，y）∈ T×Φ满足σ∈ Xaσ，yt∈ Zat\\Xaton{t<σ}对于t=0，T- 1.确定任何停止时间τ。

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2022-5-8 04:21:07

关于{τ<σ}我们有τ∈ Zaτ\\Xaτ Vaτ∩ Yτ Yτ=Yτ+Kτ。在set{τ=σ}上有yσ∈ Xaσ X′σ+Kσ。在集合{τ>σ}上有σ<τ≤ T和yσ∈ Xaσ=Xσ+Kσ。因此yσ∧τ- Qστ∈ Kσ∧τ、由此得出（σ，y）对冲卖方的博弈期权。相反，假设（σ，y）对冲卖方的博弈期权。我们用反向归纳法证明∈ 扎顿{t≤ σ} 还有yt∈ 增值税∩ Yaton{t<σ}对于所有t=0，T，由此可以推断z=y∈ 这就完成了证明。在时间T，我们有{T=σ}={T≤ σ} 很明显∈ X′T+KT=XaT=ZaTon{T≤ σ}.对于任何t<t，假设yt+1∈ Zat+1 on{t+1≤ σ} ={t<σ}。这意味着yt+1∈ Waton{t<σ}为yt+1∈ 中尉-yt+1∈ KT意味着yt∈ Vaton{t<σ}，因此∈ 增值税∩ [Yt+Kt]=增值税∩ 一扎顿{t<σ}。关于集合{t=σ}={t≤ σ} \\{t<σ}我们有yt∈ Xt+Kt=Xat 扎特。归纳法到此结束。下一个结果将在定理M3.8的证明中发挥重要作用。定义辅助流程HST≡ H（Y，X，X′）st:=Yt{s>t}+Xs{s=t<t}+X\'s{s=t=t}（4.1）对于所有s，t=0，T观察到过程Hσ=（Hσt）Tt=0适用于任何σ∈ 对于所有T=0，…，在{σ<T}上HσT=QσT=Yton{σ>T}和HσT=0，T如果已知买方将不会在取消期权的同时行使期权（时间t=t除外），则支付σt可被解释为卖方需要在时间t准备好交付预先选择的取消时间σ的支付；由于（3.2），这实际上是此类卖方的最坏情况。引理4.1。一对（σ，y）∈ T×Φ在且仅在以下情况下为卖方对冲博弈选项：∧τ- Hστ∈ Kσ∧τ代表所有τ∈ T（4.2）证据。在整个证明过程中，我们将频繁而含蓄地使用这样一个事实，即对于所有t，尤其是性质0，KT是一个尖锥∈ Kt。修正任何（σ，y）∈ T×Φ（4.2）。

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2022-5-8 04:21:10

鉴于（4.1），这意味着（yσ∧τ- Yσ∧τ)1{σ>τ }∈ Kσ∧τ代表所有τ∈ T，（4.3）（yσ- Xσ）1{σ=τ<T}∈ Kσ∧τ代表所有τ∈ T，（4.4）（yσ- X′σ）1{σ=τ=T}∈ Kσ∧τ. 总之τ∈ T，（4.5）替换τ=0，T- 1除以（4.4），τ=T除以（4.5）得到（yσ- Xσ）1{σ<T}∈ Kσ，（4.6）（yσ）- X′σ）1{σ=T}∈ Kσ。（4.7）属性（3.2）与（4.6）-（4.7）一起得出yσ- X′σ∈ Kσ，从何处（yσ）∧τ- X′σ∧τ） 1{σ=τ}=（yσ）- X′σ）1{σ=τ}∈ 1{σ=τ}Kσ=1{σ=τ}Kσ∧τ Kσ∧τ代表所有τ∈ T（4.8）也可以从（4.6）得出（yσ∧τ- Xσ∧τ） 1{σ<τ}=（yσ）- Xσ）1{σ<τ}=（yσ）- Xσ）1{σ<T}{σ<τ}∈ 1{σ<τ}Kσ=1{σ<τ}Kσ∧τ Kσ∧τ代表所有τ∈ T（4.9）房地产（4.3）、（4.8）和（4.9）导致（3.3），因此（σ，y）为卖方对冲期权。反过来假设（σ，y）∈ T×Φ为卖方对冲了博弈选择权。性质（3.3）给出（4.3）和（选择τ=T）yσ- Xσ{σ<T}- X′σ{σ=T}∈ Kσ，由此得出（yσ∧τ- Xσ）1{σ=τ<T}+（yσ）∧τ- X′σ）1{σ=τ=T}=yσ∧τ{σ=τ }- Xσ{σ=τ<T}- X′σ{σ=τ=T}=yσ∧τ- Xσ{σ<T}- X′σ{σ=T}{σ=τ }=yσ- Xσ{σ<T}- X′σ{σ=T}{σ=τ }∈ 1{σ=τ}Kσ=1{σ=τ}Kσ∧τ Kσ∧τ代表所有τ∈ T（4.10）属性（4.3）和（4.10）一起给出（4.2），这就完成了证明。定理3.8的证明。引理4.1表明，对于σ∈ T给定，成对（σ，y）∈当且仅当（4.2）成立时，卖方的博弈选项（Y，X，X′）等价于yyτ- Hστ∈ Kτ表示所有τ∈ T以至于τ≤ σ.定义3.7和T的完整性，然后给出πai（Y，X，X′）=minσ∈Tinf{z∈ R:（σ，y）模糊限制语（y，X，X′）用于seller和y=zei}=minσ∈Tpai（σ），其中pai（σ）：=inf{z∈ R:y∈ Φy=zei，yτ- Hστ∈ Kτ表示所有τ∈ T，τ≤ σ}.

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2022-5-8 04:21:13

（4.11）这意味着任何一对（σ，y）对卖方的博弈期权（y，X，X′）进行套期保值，当且仅当在Roux&Zastawniak（2015）的术语中，策略y是一个支付过程Hσ=（Hσt）Tt=0的期权，买方可以在任何停止时间τ满足{τ=t}的情况下执行该期权 Et:={t≤ σ} 对于所有t=0，t卖方。直觉上，这是一个带有（随机）到期日期σ的美式期权。（4.11）中的数量pai（σ）是资产i中此类期权的要价，Roux&Zastawniak（2015，定理3）确定pai（σ）=maxχ∈XEsup（P，S）∈Pi（χ）EP（（Hσ·S）χ）=ma xχ∈XEmax（P，S）∈π（χ）EP（（Hσ·S）χ），其中Hσ·S=（Hσt·St）Tt=0和xe:={χ∈ X:{χt>0} 对于所有t=0，T}=X∧ σ.然后得出pai（σ）=maxχ∈Xsup（P，S）∈Pi（χ∧σ） EP（（Hσ·S）χ∧σ） =最大χ∈Xmax（P，S）∈π（χ）∧σ） EP（（Hσ·S）χ∧σ）所以πai（Y，X，X′）=minσ∈Tmaxχ∈Xsup（P，S）∈Pi（χ∧σ） EP（（Hσ·S）χ∧σ） =最小σ∈Tmaxχ∈Xmax（P，S）∈π（χ）∧σ） EP（（Hσ·S）χ∧σ). （4.13）现在修复任何σ∈ T，χ∈ X和（P，S）∈\'-P（χ∧ σ）注意（Hσ·S）χ∧σ=（Qσ·Sσ）∧·)χ+ (χ*σ{σ<T}- χ*σ+1）Xσ·Sσ+（χ*σ{σ=T}- χσ）X′σ·Sσ=（Qσ·Sσ）∧·)χ+χσ{σ<T}- χ*σ+1{σ=T}Xσ·Sσ- χσ{σ<T}X′σ·Sσ=（Qσ·Sσ）∧·)χ+χσ{σ<T}（Xσ- X′σ）·Sσ。（4.14）这源于χ的性质*: 尤其是χ*T+1=0，χ*T=χTandχ*σ= χ*σ+1+ χσ. 自Xσ- X′σ∈ Kσ乘以（3.2）和Sσ∈ K*σ、我们立即有（Hσ·S）χ∧σ≥ （Qσ·Sσ）∧·)χ. （4.15）π=π=10Y=（0,0）X=（0,5）X′=0，π=π=16Y=（0,3）X=（0,4）X′=0，uπ=π=16Y=X=X′=（0,9）uuπ=π=6Y=（0,0）X=（0,1）X′=0，dπ=π=4Y=X=X′=（0,0）ddπ=π=10Y=X′=（0,4）ud，du图1：二进制两步两货币模型中的博弈选项，示例5.1确定停止时间χ′=（χ′t）∈ X乘χ′t:=χt{t<σ}+χ*σ{t=t}对于t=0，T然后χ∧ σ = χ′∧ σ和so（P，s）∈\'P（χ′）∧ σ). 此外，由于χ′σ{σ<T}=0，从（4.14）可以得出（Hσ·S）χ∧σ=（Hσ·S）χ′∧σ=（Qσ·Sσ）∧·)χ′.

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2022-5-8 04:21:16

（4.16）结合（4.15）和（4.16），然后给出最大χ∈Xmax（P，S）∈π（χ）∧σ） EP（（Hσ·S）χ∧σ） =最大χ∈Xmax（P，S）∈π（χ）∧σ） EP（（Qσ·Sσ）∧·)χ） 5数值例子本节给出了三个数值例子。第一个是一个玩具示例，用于说明第3节中的构造。第二个例子说明了定理3.8，并作为Kifer（2013b）定理3.1的最小反例。最后一个例子具有更现实的风格。例5.1。图1给出了二元两步两阶段模型中的博弈选项（Y，X，X′）。该模型是重组的，ha s transactio ncosts只在时间1的节点u上运行，该选项与路径无关，在时间2没有取消惩罚。让我们使用第3.5节的内容为卖方找到一套对冲基金。克利里扎乌=x、 x∈ R:16x+x≥ 9,扎德=x、 x∈ R:10x+x≥ 4.,扎德=x、 x个∈ R:4x+x≥ 0Wau=Zauu∩ 扎扎乌扎德-XXWAU=Ku的沃洛尔边界-第二十五条∩ 尤--3xxVau∩ 友绍祖=沃∩ 尤∪ Xau^y-3.-XXX图2:Wau，Vau，Vau∩ Yau，Zauand^y，示例5.1时间t=2。对于时间t=1，考虑节点u，我们得到Waufrom（3.5′）和Vaufrom（3.6）；这两个过程如图2所示。请注意，该节点的交易成本的大小意味着Wau+Ku=Wau，其中Vau=Wau。下一步是计算Zaufrom（3.7）。如图2所示，这可以通过找到Vauan和Yau Fi-stand的交叉点，然后与Xau联合完成。Zauis的非凸性是由于交易成本的大小和该节点的支付形状。在no de d上的类似考虑给出了thatZad=Xad=x、 x: 6x+x≥ 1.. （5.1）最后，按照时间t=0的相同步骤，得到图3所示的portfoliosWa、Va和Za的集合。

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2022-5-8 04:21:19

两种货币的ga me期权的要价是ZA下边界与轴的交点，因此可以直接从图3中的最终g图中读取，即πa（Y，X，X′）=，πa（Y，X，X′）=4。现在考虑一下买方的情况。在备注3.3中，注意(-十、-Y-X′）满足定义3.1的条件，即使某些支付组合没有偿付能力，例如，- X=（0，-5) /∈ K.ZauZadWa=Zau∩ 扎德o^y-3.-1.-5×KWaVa的下边界=Wa+Ko^y=^y-3.-1.-5xyAvava∩ Ya=Vao^y-4xxVa∩ 雅克萨=弗吉尼亚州∩ Ya=Vao^yxx图3:Wa，Va，Va∩ Ya，Zaand^y，示例5.1施工3.14和类似计算，如Seller的yieldZbuu案例=x、 x∈ R:16x+x≥ -9,Zbud=Zbdu=x、 x∈ R:10x+x≥ -4.,Zbdd=x、 x∈ R:4x+x≥ 0,Zbu=x、 x∈ R:16x+x≥ -4，8x+x≥ -4.,Zbd=x、 x∈ R:6x+x≥ -1.,Zb=x、 x∈ R:6x+x≥ -连同投标价格πb（Y，X，X′）=，πb（Y，X，X′）=。让我们使用Construction 3.16从初始值ˇy为场景uu中的买方找到一个最优套期保值策略（ˇτ，ˇy）：=0, -. 很明显/∈ Xb=Kand soˇτ>0。如图5.1所示，Wb∩ [ˇy- K]=-,所以=-,到（3.14）。观察这些/∈ Xbu=x、 x∈ R:16x+x≥ -3，8x+x≥ -3.,换句话说，τ（uu）>1，我们继续选择ˇyu。图5.1也显示了WBU∩ [ˇy- Ku]=公司内华达州ˇy，-,,-,, (0, -4),Wbˇy- Koˇyoˇy--1.-xxWbuˇy- 库伊--4.----xxFigure 4:ˇyandˇy，示例5.1π=13π=y=(-20,1）X=(-15,1）π=π=12Y=X=（0,0）uπ=π=9Y=X=（0,0）图5：二进制单步两货币模型中的博弈选项，例如5.2，在选择ˇyu时有一定的自由度。事实上WBU∩ [ˇy- [Ku] Xbuu=x、 x∈ R:16x+x≥ -9,这意味着你的每一个选择∈ Wbu∩[ˇy- Ku]将使买方能够在节点uu的时间2行使该选项，并保持（或返回）一个解算位置。

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2022-5-8 04:21:22

同样清楚的是，τ（uu）=2。回到卖方，可以直接使用Construction 3.11为卖方创建一个最佳对冲策略（^σ，^y），从初始捐赠^y:=（0,4）开始。从图3可以明显看出^y/∈ Xa（和so^σ>0），以及alsothatWa∩[^y]- K] ={（0，4）}={^y}，所以在（3.10）之前，我们必须选择^y:=^y。图2和（5.1）显示了^y/∈ Xa和s o^σ=1。这意味着，如果卖方遵循（^σ，^y）和买方遵循（ˇτ，ˇy），那么在场景uu中，该选项将在节点u处取消（但未行使），此时卖方将（0，4）交付给买方。例5.2。图5展示了二进制单步两货币模型中的一个游戏选项（Y，X，Y）。隐含假设X′=Y在博弈期权文献中是常规的（参见备注3.2）。还请注意，尽管YNRE或Xare溶剂均不存在，但该选项满足定义3.1（参见备注3.3）。卖方可能会在时间0时取消期权，因为在时间0时向买方交付XT实际上与收到Portfolio（15，-1），卖方可以立即将其转换为15- π=2>0Za-15-2 25 84-7.-xxz-15-2.-7.-xxFigure 6:Za和z，示例5.2货币单位1。如果买方在时间0时交货，那么卖方处于更好的位置，因为-同样地，Y也可以被转换成7个货币单位。将Construction 3.5应用于此选项，可获得图6中显示的设置。早期πa（Y，X，Y）=-2，这意味着时间0的取消对卖方来说确实是最佳的。

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2022-5-8 04:21:25

Kifer（2013b）的定理3.2（i）构造了一个函数z，也如图6所示，并给出了ask pr ice asz（0）=-2=πa（Y，X，Y）。注：Zat是z的题词，反映在x=x线周围；换言之，扎德将成为扎德的警句，因为货币被不同程度地贬值。我们将比较上面定理3.8和Kifer（2013b）定理3.1中πa（Y，X，Y）的对偶表示。该模型只有两个停止时间，0和1，因此可以轻松直接地完成。也要注意这个问题*= 锥{（1,10）、（1,13）}，K*u=cone{（1，12）} K*,K*d=cone{（1，9）}。这意味着（参见定义2.4）该地产（P，S）=PS、 S∈\'P（χ）等于toP（u）≥, P（d）=1- P（u）≥ 0，加上S=S=1，10≤ s≤ 13，S（u）=12，S（d）=9。对于T heorem 3.8中πa（Y，X，Y）的表示，第一个σ=0。预测χ∈ X和（P，S）∈\'-P（χ∧ 我们有（Q0··S0）∧·)χ= χ*X·S+χY·S=-5χ- 15+S，最大χ∈Xmax（P，S）∈\'-P（χ∧0）EP（（Q0··S0）∧·)χ） =最大值{-5χ- 15+S:χ∈ [0,1]，S∈ [10, 13]} = -2.类似地，对于σ=1，（Q1··S1∧·)χ=χY·S+χ*X·S+χY·S=χ（S）- 20）和somaxχ∈Xmax（P，S）∈\'-P（χ∧1） EP（（Q1··S1）∧·)χ） =max{χ（S）- 20) : χ∈ [0,1]，S∈ [10, 13]} = 0. （5.2）最后，最小σ∈Tmaxχ∈Xmax（P，S）∈\'-P（χ∧σ） EP（（Qσ·Sσ）∧·)χ） =分钟{-2, 0} = -2=πa（Y，X，Y）如预期。现在转向基弗（2013b）定理3.1中的双对数表示。它可以用符号asVa写成：=minσ∈Tmaxχ∈Xmax（P，S）∈P（χ）EP（（Qσ·S）χ），其中（Qσ·S）χ=σXt=0χtYt·St+TXt=σ+1χtXσ·Stand T=1。

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2022-5-8 04:21:28

对于σ=1，计算（5.2）得出最大值χ∈Xmax（P，S）∈\'P（χ）EP（（Q1··S）χ）=最大χ∈Xmax（P，S）∈\'-P（χ∧1） EP（（Q1··S1）∧·)χ) = 0.对于σ=0和每个χ∈ X和（P，S）∈我们有（Qσ·S）χ=χY·S+χX·S=χ（S）- 5) + (1 - χ） S- 15，所以ep（（Q0··S）χ）=χ（S）- 5) + (1 - χ）（3P（u）+9）- 15.这意味着Maxχ∈Xmax（P，S）∈P（χ）EP（（Q0··S）χ）=max{χ（S）- 5) + (1 - χ）（3P（u）+9）- 15: χ∈ [0,1]，S∈ [10,13]，P（u）∈ [, 1]} = -3.最后，Va=min{0，-3} = -3 6=πa（Y，X，Y），这表明vai不是πa（Y，X，Y）的正确对偶表示。例5.3。考虑一个三货币模型，其T步和时间范围为1，基于两资产重组的K-orn-Muller模型（Korn&M–Uller 2009），并采用Cholesky分解，即无摩擦汇率，按照流程（St）Tt=0重新建模，其中=εtSt-1，εtSt-1, 1对于t=1，Tand（εt）Tt=1=εt，εtTt=1是一系列独立的同分布随机变量，取E-σ-σ√, E-σ-(ρ+√1.-ρ)σ√,E-σ-σ√, E-σ-(ρ-√1.-ρ)σ√,E-σ+σ√, E-σ+(ρ-√1.-ρ)σ√,E-σ+σ√, E-σ+(ρ+√1.-ρ)σ√,每个都有正概率，其中 :=这是步长。具有交易成本的交换被建模为πijt:=（SjtSit（1+k）如果i6=j，如果i=j，则为1，对于i，j=1，3和t≤ T，k在哪里∈ [0,1]我们采取S、 S= (40, 50) , σ= 0.15, σ= 0.1, ρ = 0.5.考虑一个游戏看跌期权，实物交割在一个篮子上，每个篮子包含1和2种货币的一个单位，并且在货币3中有K点，即Yt=(-1.-1，K）对于t=0，T.取消时，卖方将上述付款连同取消罚款p交付给买方≥ 货币3中的0，因此xt=X′t=(-1.-1，K+p）对于t=0。

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2022-5-8 04:21:32

，T.我们考虑到卖方可能选择不取消期权，而买方可能选择不行使期权，通过增加额外的时间步长T+1和tak ingYT+1=XT+1=X′T+1=（0,0,0）。除并集外，构造3.5和3.14中的操作，即多面体圆锥体的相交和直接相加，在应用于多面体时是标准的几何过程，可以使用现有的软件库实现。这两种操作都是保持并集的，并且poly he dra的并集的扩展是直截了当的。下面的数值结果是使用Maple和凸包生成的（Franz 2009）。表1包含一系列履约价格的违约金p=5的篮子货币3的买入价和卖出价。买卖价格均随k=0 k=0.005Kπbπaπbπa100 10.043290 11.033942 9.568590 11.68774995 5.266479 6.817389 4.706543 7.48002890.967824 2.774598 0.367975 3.42379885而上涨-2.934360-1.091048-3.587214-0.44470880-6.910514-5.131149-7.584034-4.614029表1：N=10、p=5和不同击数K的游戏篮子看跌期权的买卖价格，例5.3k=0 k=0.005pπbπaπbπa0 10.000000 10.0000009.550000 10.44776110.014709 10.278348 9.556726 10.7909102 10.027095 10.497310 9.562075 11.0513515 10.043290 11.033942 9.568590 11.68774910 10 10.050958 11.571319.5718512.29791320 10.052026 11.7921 9.572414 12.57722110.058110.057美式选项板：竞价和竞价盘，K=100和不同的处罚，例如5.3罢工。注意负面出价和要价的出现（即K<S+S=90）。

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2022-5-8 04:21:35

这是因为卖方可以随时取消期权，当期权远远超出资金范围时，取消期权往往对卖方具有特别大的吸引力（对买方来说成本非常高）；例如，如果K=80，那么从卖方的角度来看，在时间0时取消期权相当于从买方处收到篮子，并以货币3支付K+p=85，这低于基础设施的市场价格S+S=90（忽略交易成本）。表2列出了罢工k=100且罚款金额范围较大的g ame bas ket看跌期权的买入价和卖出价，以及相同罢工的美国篮子看跌期权的买入价和卖出价（使用Roux&Zastawniak（2015）的构造）。在实践中，罚金较大的博弈期权类似于美式期权（因为罚金较大会降低卖方提前取消期权的吸引力），这就解释了随着收益率的增加，博弈期权的买入价和卖出价与美式期权的买入价和卖出价趋同的原因。参考Baxter，S.和Chac on，R.（1977），《时代的紧凑性》，泽茨里夫-沃尔·谢因利克斯基茨理论和维尔旺特·格比特40169–181。Bensaid，B.，Lesne，J.-P.，Pag`es，H.&Scheinkman，J.（1992），“具有交易成本的衍生资产定价”，数学金融2,6 3–86。Bielecki，T.R.，Cr\'epey，S.，Jeanblanc，M.和Rutkowski，M.（2008），“适用于可转换债券的可违约博弈期权套利定价”，量化金融8（8），795-810。Chalasani，P.和Jha，S.（20 01），“随机停站时间和交易成本下的美国无期权定价”，数学金融11（1），33–77。Dolinsky，Y.（2013），“存在交易成本的博弈期权对冲”，《应用概率年鉴》23（6），221 2–2237。F–ollmer，H.和Schied，A。

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（2002），《随机金融学：离散时间导论》，沃尔特·德格鲁伊特《德格鲁伊特数学研究》第27期。Franz，M.（2009），《凸面——凸面几何的枫叶包》。网址：http://www.math.uwo.ca/~mfranz/convex/Kabanov，Y.M.（1999），“交易成本引发市场下的对冲和清算”，金融与随机3，237–248。卡巴诺夫，Y.M.，R\'asonyi，M.和Stricker，C.（20 02），“具有充分摩擦的金融市场的无套利标准”，金融与随机6，371-382。Y.M.卡巴诺夫和C.斯特里克。（2001），《交易成本下的哈里森-普利斯-卡-阿比特年龄定价定理》，数学经济学杂志35185–196。卡巴诺夫，Y.和萨法里安，M.（2009），《有交易成本的市场：数学理论》，斯普林格·维拉格。Kallsen，J.&K–uhn，C.（2005），《可转换债券：游戏类型的金融衍生品》，载于A.Kyprianou，W.Schoutens&P.Wilmott编辑部，“奇异期权定价和高级L\'evy模型”，Wiley，第277-288页。网址：http://ismi.math.uni-frankfurt.de/kuehn/surveyrevised.psKifer，Y.（2000），《博弈选择》，金融与随机4，443-463。Kifer，Y.（2013a），“Dynkin的游戏和以色列选项”，ISRN概率与统计2013。文章编号856458。Kifer，Y.（2 013b），“具有交易成本的离散市场中博弈期权的套期保值”，随机85（4）。Korn，R.&M¨uller，S.（2009），“多资产期权二项式定价的解耦方法”，计算金融杂志12（3），1-30。K–uhn，C.和Kyprianou，A.E.（2007），“作为复合奇异期权的可赎回看跌期权”，数学金融17（4），487–502。L–ohne，A.和Rudloff，B.（2014），“计算具有交易成本的市场中超边际投资组合集的算法”，国际理论与应用金融杂志17（2），1450012-1-1450012-33。Roux，A.和Zastawniak，T。

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