超越半鞅的投资组合优化：影子价格和

2022-5-8 05:01:05

超越半鞅的投资组合优化：影子价格和分数布朗运动*Christ oph Czichowsky+Walter Schachermayer本版本：2018年6月20日。摘要无摩擦金融市场中没有套利时，价格过程需要贝斯鞅，但如果考虑到比例交易成本，非半鞅可以用于建立arb-itrage高速公路的价格模型。本文通过建立影子价格的存在性，证明了一类不一定是半鞅的价格过程，效用最大化和交易成本最大化的最优交易策略的存在性。这是一个半鞅定价过程，考虑买卖价差中的价值，因此无摩擦的价格交易过程会产生与交易成本下原始问题相同的最优策略和效用。我们的结果结合了凸对偶的论点和P.Guasoni引入的粘性条件。它们特别适用于指数性和几何分数布朗运动。在这种情况下，影子p rice是一个It^o过程。

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2022-5-8 05:01:08

因此，对于分数布朗运动的路径行为，我们得到了一个相当令人惊讶的结果：轨迹可能会以单边方式接触It^o过程，而不会发生反射。MSC 2010主题分类：91G10、60G2 2、93E20、60G48JEL分类代码：G11、C61关键词：投资组合选择、非半鞅价格过程、函数布朗运动、比例交易成本、整实线效用、指数效用、影子价格、凸对偶性、粘性、最优交易策略*我们要感谢杨俊建仔细阅读手稿，并指出早期版本中的错误。+伦敦经济与政治学院数学系，哥伦比亚大厦，霍顿街，伦敦WC2A 2AE，英国，c。czichowsky@lse.ac.uk.感谢瑞士国家科学基金会（SNF）在PBEZP2137313拨款项下以及欧洲研究理事会（ERC）在FA5060 41拨款项下提供的财政支持。schachermayer@univie.ac.at.部分由奥地利科学基金（FWF）根据25815号拨款、欧洲研究理事会（ERC）根据FA506041号拨款以及维也纳科学技术基金（WWTF）根据MA09-003号拨款提供支持。1引言大部分数学金融文献假设贴现价格S=（St）0≤T≤Tof风险资产由semimartinga l es建模。在无摩擦的金融市场中，当大量存货可以以相同的价格买卖时，半鞅假设是必要的。否则，就会存在“套利机会”（见[26]，第。

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2022-5-8 05:01:12

7.2对于精确的陈述）和效用最大化问题的最佳策略可能不存在或产生有限的预期效用（见[2,42,40]）。基于分数布朗运动的非半鞅模型≥0例如分数Black-Scholes模型St=exp（ut+σBHt），其中u∈ R、 σ>0和赫斯特参数H∈ （0,1）\\{}，罗杰斯[48]和切里迪托[13]明确地展示了如何构造这些套利机会。Mandelbrot[43]f提出了这种模型，以研究它们的自然分形标度行为和相关的统计特性。它们是非半鞅模型的主要例子。虽然无摩擦金融市场的经典理论无法涵盖基本模型，但最近的结果[30,32,33]表明，这可以通过计入（任意小规模）比例交易成本，以无套利且具有经济意义的方式实现。正如Guasoni[30]所表明的，在交易成本下不存在轨道的关键性质是分数布朗运动是粘性的。从概念上讲，由于没有套利，可以将投资组合优化视为交易成本下非半鞅价格过程的lso；见[29]。然而，到目前为止，在非半鞅模型中如何获得最优交易策略还没有结果。在本文中，我们将解决这个问题。为此，我们研究了满足粘性条件的非半鞅价格过程在交易费用下的投资组合优化问题，如分数Black-Scho-les模型和效用函数U:R→ R在整个实线中定义。这种效用的主要例子是指数效用U（x）=- 经验(-x）。

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2022-5-8 05:01:15

除了交易成本下财富动态的非线性外，主要困难在于分数布朗运动既不是半鞅过程，也不是马尔可夫过程，因此随机演算的标准工具非常有限。克服这些问题的基本思路是使用影子价格的概念。这是一个半鞅价格过程B=（bSt）0≤T≤Tsuch认为，在交易成本下，该过程的无摩擦ut-ILI最大化问题的解给出了与原问题相同的最优策略和效用。我们的主要结果建立在下面的定理4.1中。它证明了在价格过程S=（St）0的假设下，效用函数从上方有界的影子价格的存在性≤T≤它是连续的和粘性的。定理4.1也确保了非最优交易策略的存在。在无摩擦的情况下，人们通常假设价格过程存在一个等价的局部鞅测度，该测度具有实现这一点的适当内积能力性质。相比之下，我们在交易成本下的有效条件更稳健，适用于多种模型；参见[3,14,28,32,31,35,46,45]。它们特别适用于分数Black-Scholes模型和指数效用。此外，我们给出了一个例子，说明了价格过程S=（St）0的条件≤T≤粘性不能用假设它满足注意的条件（NF LV R）来代替。注意，如果一个过程有条件完全支持，它也是粘性的。“没有风险消失的免费午餐”（无交易费用）。因此，与无摩擦金融市场的联系是将半鞅演算工具用于潜在非半鞅价格过程S=（St）0的关键≤T≤t只需将它们应用于影子价格过程B=（bSt）0≤T≤T

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2022-5-8 05:01:18

这也允许我们利用已知的结果，在交易成本较低的无摩擦金融市场中优化投资组合。对于分数Black-Scholes模型，我们通过这种方式得出，阴影价格过程是一个It^o过程，由dbst=bSt（butdt+bσtdWt），0给出≤ T≤ T、（1.1）式中u=（buT）0≤T≤Tand bσ=（bσt）0≤T≤皮重是可预测的过程，因此（1.1）的解决方案在It^o集成的意义上是明确的。我们预计分析系数bu=（but）0≤T≤Tand bσ=（bσt）0≤T≤在分数Black-Scholes模型中，It^oprocess（1.1）还应允许在交易成本下获得最优策略的定量结果。对这些高效过程的彻底分析留给未来的研究。根据影子价格的定义，交易成本下的最优策略和相应的无摩擦问题只有在影子价格等于买入价或卖出价的情况下才能交易，即bS=（1）- λ） S orbS=S。对于非常小的交易成本，我们直观地展示了一个显而易见的事实，即——概率很高——最优策略实际上会进行交易，而不仅仅是保持初始位置。因此，我们在分数布朗运动的路径行为上得到了一个相当令人惊讶的结果：轨迹可能会以单侧方式接触It^o过程，而不会发生反射。路径接触的集合包含最优策略交易的集合。这是一个诱人的猜想，上面描述的分数布朗运动和It^o过程的轨迹的接触发生在[0，t]的一个类似康托的紧致子集上，没有孤立点，并且最优交易策略在（0，t）上是连续的且是局部时间型的。当S是通常的Black-Scholes模型时，众所周知这些性质成立；见[55,23,53]。

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2022-5-8 05:01:21

然而，在目前的情况下，这个问题似乎是完全开放的。价格过程S=（St）0的条件≤T≤它的连续性和粘性在度量的等价变化下是不变的。因此，我们的主要结果还通过DPCDP=exp（C）E[exp（C）]给出的通常度量变化，确保了所有有界欧式未定权益C的指数效用差异价格的存在；比较[49,25]中无摩擦的情况。问题是，这是否允许在fr actionalBlack-Scholes模型中获得更合理的价格。回想一下，在这些模型中，超级复制的概念由面部提升定理[32]导致的只是经济上微不足道的价格；再比较一下[54]。“民间传说”认为，影子价格的存在通常与双重问题的解决有关；参见[37,18,20,22]。我们建立了效用函数在整个实线和c`adl`ag价格过程中取有限值的关系，并在此设置中提供了必要的对偶结果。与无摩擦情况[50]类似，这是效用函数U（0，∞) → [20]中最近在交易成本项下确定的R。此外，我们在整条实线上使用了效用函数的“抽象版本”，这与[41]中关于正半线上效用函数的精神是一致的。在投资组合优化的上下文中，对二元性的理解，有时被称为“马丁-阿尔法”，可以追溯到无摩擦情况下的[38,34,39]。

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2022-5-8 05:01:24

在交易成本下，我们的工作补充了正半线上效用函数的动态对偶结果[16,17,20,22]，以及（可能）多变量效用函数的静态对偶结果[24,8,9,11,4]。对于非半鞅价格过程，效用最大化可以在比例交易成本下研究，这一观点可以追溯到Guasoni[29]。在本文中，效用函数U：（0，∞) → R是在假设问题是适定的情况下考虑的。然而，在这种情况下，对于分数Black-Scholes模型等非半鞅过程和对数效用U（x）=log（x）等普遍性，这种假设是否满足尚不清楚。特别是[22]中的反例表明，假设价格过程是连续的和粘性的，以保证影子价格的存在是不充分的。对于效用函数U：（0，∞) → R从上方限定，如电力设施U（x）=pxp和p∈ (-∞, 0），Guasoni的结果[29]适用，并建立了交易成本下n最优交易策略的存在性。这仍然是一个悬而未决的问题，在这种情况下是否存在影子价格。本文的组织结构如下。我们在第2节中阐述了这个问题。第三节包含对偶结果，以及对偶问题的解与效用函数在整条实线上的影子价格之间的关系。我们的主要结果，即影子价格的存在，在第4节中得到了证明。我们在第5节中解释了分形Black-Scholes模型和经验效用的结果。

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2022-5-8 05:01:27

在Orem 5.3中，我们给出了分数布朗运动的路径行为的结果。最后，附录包含了第3节建立的对偶结果的“抽象版本”，用于证明。2问题的表述我们考虑由一个无风险资产和一个风险资产组成的金融市场。假设无风险资产为一个常数。交易风险资产会产生一定比例的交易成本λ∈ (0, 1). 这意味着在购买风险股时，必须支付（更高的）要价，但只能收到更低的出价（1）- λ）卖的时候。这里是S=（St）0≤T≤t定义在某个潜在的融合概率空间上的严格正、随机、c`adl`ag（带左极限的右连续过程）过程Ohm, F、（英尺）0≤T≤T、 P固定时间地平线T∈ (0, ∞) 满足权利连续性和完整性的通常假设。通常，随机变量之间的等式和不等式支持P-零集，随机过程之间的等式和不等式支持P-消失集。交易策略由R值、可预测的过程=（t，t）0建模≤T≤为了确定变化，其中和t描述了无风险资产和风险资产的持有情况，请注意一个证据：这个问题已经在[19]中得到了回答。如果间接效用是有限的，则价格过程是连续的且满足“双向交叉”条件（TWC）就足以存在影子价格；见[5,47]。

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2022-5-8 05:01:30

结合分数布朗运动不仅满足确定时间的重对数定律，而且满足停止时间的重对数定律（s e eTheorem[47]中的1.1），它可以推断分数Black-Scholes模型和所有效用函数U：（0，∞) → R满足合理渐近弹性条件。分别在时间t重新平衡端口后。对于任何过程ψ=（ψt）0≤T≤定义变量，我们用ψ=ψ+ψ表示↑- ψ↓其Jordan-Hahn分解为两个非递减过程ψ↑和ψ↓两者都为零。总变差|ψ| tofψo n（0，t）由|ψ| t=ψ给出↑t+ψ↓t、为了0≤ s<t≤ T，表示为y的（s，T）上的ψ的总变化量为T，当单复数为| dψu |=|ψ| T时- |ψ| s。请注意，任何有限变量的过程ψ都是特殊的l\'adl\'ag（具有右极限和左极限）。对于任何l`adl`ag进程X=（Xt）0≤T≤T、 wedenote由xCt给出其连续部分：=Xt-Xs<t+Xs-Xs≤TXs，在哪里+Xt:=Xt+- 它的权利和义务是什么Xt:=Xt- Xt-它的左跳。A策略=（t，t）0≤T≤这被称为自封，ifZtsdаu≤ -ZtsSudа1，↑u+Zts（1- λ）南欧1号，↓u、 0≤ s≤ T≤ T、（2.1）如果，↑u:=ZtsSudа1，↑,cu+Xs<u≤tSu-φ1,↑u+X≤u<tSu+φ1,↑u、 Zts（1）- λ）南欧1号，↓u： =Zts（1- λ）南欧1号，↓,cu+Xs<u≤t（1）- λ）苏-φ1,↓u+X≤u<t（1）- λ）苏+φ1,↓UCA可以通过使用Riemann-Stieltjes积分来定义路径，例如[21,20,52]中解释的积分。byRts | d|u |=Rts | d|u |+Rts | d|u |。如果存在一些常数大于0，使得其结算值满足| t++（1），则称为可接受的自我融资策略=（，）- λ）圣- （ηt）-圣≥ -M、 0≤ T≤ T

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2022-5-8 05:01:34

（2.2）对于x∈ R、我们用Aλadm（x）表示交易成本λ下的所有自我融资和可接受交易策略的集合，从初始捐赠（ν，~n）=（x，0）和cλb（x）开始：={VliqT（|）||||=（|，|）∈ Aλadm（x）}。如[12]中的备注4.2所述，我们可以在不缺乏一般性的情况下假设φT=0，因此有cλb（x）={φT |φ=（φ，φ）∈ Aλadm（x）}。λ-相容价格系统是一对随机过程Z=（Zt，Zt）0≤T≤t考虑密度过程Z=（Zt）0≤T≤Tof一个等价的局部鞅测度Q~ P对于冰过程=（eSt）0≤T≤投标中涉及的sk价差[（1）- λ） S，S]和productZ=ZeS。要求S在Q下是局部鞅相当于乘积Z=ZeS在P下是局部鞅。同样，一个绝对连续的λ-相容价格系统是一对随机过程Z=（Zt，Zt）0≤T≤t密度过程Z=（Zt）0的考虑≤T≤一个绝对连续的局部鞅测度Q<< P对于冰过程=（eSt）0≤T≤投标中涉及的sk价差[（1）- λ） S，S]和乘积z=ZeS，这是一个局部鞅。在交易成本下，这些概念与无摩擦情形下等价且绝对连续的局部鞅测度具有相似的作用。我们用Zλ表示所有λ-一致价格系统的集合，用Zλ表示所有绝对连续λ-一致价格系统的集合。而在无摩擦情况下，无套利的存在形式是价格过程S=（St）0的非等价局部鞅测度的存在≤T≤假设它是一个半鞅（这个性质在等价的测度变化下是不变的），只要考虑到比例交易成本，就可以用非半鞅以无套利的方式对资产价格进行建模。

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2022-5-8 05:01:37

实际上，对于anon-seminarmartingale的主要例子，几何自由布朗运动St:=exp（BHt）和Hurstparameter H∈ （0,1）\\{}，Guasoni[30]证明了这个价格过程对于任何比例λ都是无套利的∈ （0，1）o的交易成本，因此允许任何λ的λ-一致价格体系∈ （0，1）由[33]中的连续过程的资产定价基本定理得出。正如Guasoni所观察到的，分数布朗运动的关键性质是粘性，它可以推断出无套利性。定义2.1。一个随机过程X=（Xt）0≤T≤太粘了，伊夫苏普特∈[τ，T]|Xt- Xτ|<δ，τ<T！>0，对于任何[0，T]值的停止时间eτw i th P（τ<T）>0和任何δ>0。根据[3]中的命题2，粘性条件在过程X=（Xt）0的变换下保持不变≤T≤t通过连续函数。因此，如果我们要求R+值的过程S=（St）0，则没有区别≤T≤Tor Xt:=log（St）是粘性的。在本文中，我们希望研究基于fr作用布朗运动（BHt）的模型中最优交易策略的存在性，例如分数Black-S choles模型，其中st=exp（ut+σBHt），0≤ T≤ T、在哪里∈ R和σ>0。为此，我们考虑一个效用函数U:R→ R是在整条实线上定义和确定的、递增的、严格凸的、连续可微的且满足其纳达条件U′(-∞) = 利克斯→-∞U′（x）=∞ 还有你(∞) = 利克斯→∞U′（x）=0。这种效用的主要例子是指数效用U（x）=- 经验(-x）。虽然对于正半线上的效用函数，非负财富的可容许性条件禁止负财富，但在目前的情况下，这并没有被排除，只是通过赋予其低效用来惩罚。

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2022-5-8 05:01:40

因此，在一组可接受的交易策略（从下面看是一致有界的）中，通常无法实现最佳交易策略，“允许”交易策略的“良好定义”变得至关重要；有关无摩擦设置的结果，请参见[51]。在无摩擦的情况下，有两种方法来解决这个问题。第一种是使用双重定义，并考虑所有交易策略，其富裕过程是所有等价局部鞅测度（ELMM）下的辅助鞅，具有有限的V-期望，即e[V（ydQdP）]<∞ 对于某些y>0，其中V（y）：=supx∈R{U（x）-xy}for y>0表示-U(-x） )；例如参见[25,36,7]。我们遵循[50]的第二种方法来考虑关于预期效用的可容许阅读策略的最终财富集的“闭包”。为此，我们定义λU（x）=G∈ L（P；R）∪ {∞}) | gn∈ Cλb（x）s.t.U（gn）∈ L（P）和U（gn）L（P）-→ U（g）考虑最大化问题[U（g）]→ 最大值！，G∈ CλU（x）。（2.3）很明显，u（x）：=supg∈CλU（x）E[U（g）]=supg∈Cλb（x）E[U（g）]。（2.4）注意U（gn）L（P）-→ U（g）意味着gn→ g英寸L(Ohm, F、 P；R∪ { ∞}), 关于概率的收敛性，因为U:R→ R在严格地增加。虽然GNA是实值随机变量，但在先验条件下，解决方案bg（x）到（2.3）可能确实会取这个值∞ 具有严格正概率，即P（bg（x）=∞) >正如[1]中所解释的，在无摩擦的情况下，只有当(∞) < ∞, 这与无套利假设并不矛盾。在交易成本下的设置中，我们将在下面的示例4.3中展示这种现象是如何产生的。

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2022-5-8 05:01:43

因此，问题是：是否存在自筹资金交易策略，例如bа=（bаt，bаt）0≤T≤在bg（x）=VliqT（b~n）的意义下，交易成本λ达到解决方案bg（x）至（2.3）？为此，我们考虑所有可预测的有限变化过程的集合AλU（x）=（t，t）0≤T≤T、从（ν，ν）=（x，0）开始，满足自融资条件（2.1），并且存在魟n=（魟0，n，魟1，n）∈Aλadm（x）验证UVliqT（νn）∈ L（P）和UVliqT（νn）L（P）-→ UVliqT（ψ）.注意，后一种收敛再次意味着VliqT（~nn）L（P）-→ VliqT（~n）由U的严格单调性决定。只要求终端清算值VliqT（~n）可以近似为允许的交易策略的终端清算值VliqT（~nn）=（ν0，n，~n1，n）∈λadm（x）似乎是一个相当弱的可达到性。然而，正如我们将在下面的位置3.2和定理4.1中看到的，我们的结果得出了P（新界，新界，新界）→ （ηt，ηt），T∈ [0，T]= 1，这意味着phvliqt（~nn）→ Vliqt（ψ），T∈ [0，T]i=1根据（2.2）中清算价值的定义。我们利用影子价格的概念来研究可得性问题。定义2.2。半鞅价格过程B=（bSt）0≤T≤这被称为影子价格过程，如果在买卖价差中使用bS的话- λ） 2）解决方案bθ=（bθt）0≤T≤t无摩擦效用最大化问题[U（x+bST）]→ 最大值！，θ ∈ AU（x；bS），（2.5）在[50]的意义上存在。

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2022-5-8 05:01:45

这里，AU（x；bS）表示可积的所有bS的集合（在它的意义上是^o），可预测过程θ=（θt）0≤T≤Tsch认为存在一个序列（θn）∞n=1自我融资和可接受的交易策略θn=（θnt）0≤T≤TwithoutTransaction costssuch U（x+nobST）∈ L（P）和U（x+nobST）L（P）-→ 3）最优交易策略bθ=（bθt）0≤T≤t无摩擦问题（2.5）与stoc k bа=（bаt）0中的holdings一致≤T≤t交易成本下的效用最大化问题（2.3），即x+bθobST=VliqT（bθ）=bg（x）。其基本思想是，如果一个影子的价格为（bSt）0≤T≤t如果（2.3）存在，这允许我们通过解决无摩擦效用最大化问题（2.5），在交易成本下获得效用最大化问题（2.3）的最优交易策略。对于无摩擦问题（2.5），我们不能再应用无摩擦理论的所有已知结果来解决它。因为影子价格B=（bSt）0≤T≤由于它是一个半鞅，这特别允许我们将一些技巧从半鞅演算转移到可能的非半鞅价格过程S=（St）0的效用最大化问题（2.3）≤T≤注意影子价格的存在意味着最优策略bθ=（bθT）0≤T≤t无故障问题（2.5）是一个有限变量，最优策略bθ=（bθt）0≤T≤Tand bа=（bаt）0≤T≤t如果bθ=bθ仅交易，则bθ为出价或要价，即{dbθ=d bθ>0} {bS=S}和{dbθ=dbθ<0} {bS=（1）- λ）在{dbθc=dbθ1，c>0} {bS=S}，{dbθc=db1，c<0} {bS=（1）- λ） S}{bθ=b~n>0} {bS-= s-}, {bθ= b~n<0} {bS-= (1 - λ） S-},{+bθ=+b~n>0} {bS=S}{+bθ=+b~n<0} {bS=（1）- λ） S}。

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2022-5-8 05:01:48

（2.6）在这里，上述包裹体（2.6）的精确数学意义由zt{bS6=S}（u）b~n1给出，↑u=ZT{bS6=S}（u）d b~n1，↑,cu+X0<u≤T{bS-6=S-}（u） b~n1，↑u+X0≤u<T{bS6=S}（u）+b~n1，↑u=0，ZT{bS6=（1）-λ） S}（u）bа1，↓u=ZT{bS6=（1）-λ） S}（u）d bа1，↓,cu+X0<u≤T{bS-6=(1-λ） S-}（u） b~n1，↓u+X0≤u<T{bS6=（1）-λ） S}（u）+b~n1，↓u=0。这是一个可预测的过程≤T≤Tsch表示Xt=x+nobSt≥ -M（n）代表所有0≤ T≤ 对于某些常数M（n）>0，它可能在n上终止；例如参见[50]。“民间传说”认为影子价格与双重公共关系问题的解决有关；例如，参见[20]中的第3.9节。在当前的效用函数设置中，我们将在下一节中解释这一关系，该函数是在整条曲线上定义的。3对偶理论我们讨论了影子价格与效用函数在整条实线上的对偶问题的解之间的联系。下面的对偶关系可以得到类似于[50]中的无摩擦对应关系。这已经在[8]的静态设置中被隐式利用。我们将在附录中通过将其简化为“抽象版本”来证明这一结果。定理3.1（整条实线上的效用函数）。假设S是局部有界的，并且所有λ′的价格系统都是λ′-一致的∈ （0,1），U:R→ R满足不符合条件U\'(-∞) = 利克斯→-∞U′（x）=∞ 还有你(∞) = 利克斯→∞U′（x）=0，具有合理的渐近性，即AE∞（U）：=limx→∞xU′（x）U（x）<1和AE-∞（U）：=limx→-∞xU′（x）U（x）>1，且thatu（x）：=supg∈CλU（x）E[U（g）]<U(∞) （3.1）对于某些x∈ R.然后：1）在（2.4）中定义的初值函数u，以及unc tionv（y）的双值：=inf（Z，Z）∈ZλaE[V（yZT）]，其中V（y）：=supx∈R{U（x）- y>0的xy}表示U的勒让德变换，即U（x）=infy>0{v（y）+xy}，v（y）=supx∈R{u（x）- xy}，并且持续可区分。

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2022-5-8 05:01:51

函数u和-v是严格凹的，满足Inada条件slimx→-∞u′（x）=∞, 酸橙→∞v′（y）=∞, 利克斯→∞u′（x）=0，石灰→0v′（y）=-∞.原始值函数u具有合理的符号弹性。2）当y>0时，解bz（y）=bZ（y），bZ（y）∈ Zλato对偶问题五、yZT→ 敏！，Z=（Z，Z）∈ Zλa（3.2）存在，第一个分量bzt（y）是唯一的，地图y 7→bZT（y）是连续不变范数。3）为了x∈ R、解决方案bg（x）∈ 原问题（2.3）的CλU（x）是唯一的，由bg（x）=（U′）给出-1.by（x）bZT作者（x）, （3.3）式中由（x）=u′（x）。4）我们有公式ev′（y）=EhbZT（y）V′ybZT（y）田许′（x）=Ebg（x）U′bg（x）,我们使用0·∞ = 0，如果随机变量是这种形式。为什么我们关注效用函数，在整条实线上取有限值？原因是，对于效用函数U:（0，∞) → 正半线影子价格上的R可能不存在，因为对偶问题的解不一定是一个局部鞅，而一般只作为一个超鞅；例如参见[6,18,20,22]。在这种情况下，我们不知道如何成功克服分数布莱克-斯科尔斯模型等模型的困难。这种“超级马丁格尔现象”并不适用于公用事业U:R→ R在整条实线上，对偶优化子保证是局部鞅。另一方面，双重问题（3.2）的解bZ=（bZ，bZ）通常可能无法诱导影子价格，因为它可能只是一个绝对连续的λ-一致价格系统，即P（bZT=0）>0。通过对偶关系（3.3），集合{bZT=0}等于集合{bg（x）=∞}.

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2022-5-8 05:01:54

As V（0）=U(∞),这种行为只有在你(∞) < ∞ 不存在λ′-一致价格系统`Z=（`Zt，`Zt）0≤T≤Tsuch认为E[V（y\'ZT）]<∞ 对于一些y>0；比较[15,50,1]的无摩擦情况。对于效用函数，例如(∞) = ∞, 如果存在双优化因子bZ=（bZ，bZ），则几乎可以肯定它总是满足bzt>0。然而，对于这些效用函数，对于分数Black-Scholes模型等非半鞅价格过程，条件（3.1）似乎很难验证。下面的命题表明，存在一个严格一致的价格系统和有限的V-期望，确保了原始优化者bg（x）的可实现性。它将[8]中的引理25推广到我们的环境中，其证明随后是类似的论证。提议3.2。在定理3.1的假设下，对某些λ′的∈ （0，λ），存在一个λ′-一致的价格系统Z=（\'Z，\'Z）∈ Zλ′esuch thatE[V（\'y\'ZT）]<∞对于一些y>0的人。那么原始问题（2.3）的解是可以得到的。e、存在sbа=（bа，bа）∈ AλU（x）使得VliqT（b k）=bg（x），并且存在e k n=（eа0，n，eа1，n）∈ Aλadm（x）这样的（新界东，东1，新界东）→ （bаt，bаt），T∈ [0，T]= 1.（3.4）在证明中添加的注释：我们在[19]中以一种非常令人满意的方式回答了这个问题：对于分数Black-Scholes模型，所有效用函数U都存在影子价格：（0，∞) → R满足合理渐近弹性条件。更多细节见第4页的脚注。证据根据定理3.1，存在一个序列φn=（φ0，n，φ1，n）∈ Aλadm（x）使得VliqT（νn）L（P）---→ Ubg（x）.然后“Zt~n0，nt+1，nt\'St+Ant0≤T≤这是所有n的一个超级鞅，其中\'S:=\'Z\'赞丹：=（λ）- λ′）RtSudа1，n，↓U

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2022-5-8 05:01:59

事实上，通过对部分进行积分，我们可以写出“Zt（η0，nt+~n1，nt\'St）=”Ztν0，nt+Ztè1，nu+Ztè1，nudè1.自从∈ [(1 - λ′）S，S]和φ0，nt≤ 十、-ZtSud~n1，n，↑u+Zt（1- λ）南欧1，n，↓根据自我融资条件（2.1），流程~n0，nt+Rt南1，nu+Ant0≤T≤这是不增加的。此外，根据Bayes规则，“S”是“Q”项下的本地市场~ Pgiven byd’QdP=’zt，由于1是有限变化的，因此是局部不确定的，所以余弦积分1，no’S是‘’Q下的局部鞅。因此‘’Z~n0，n+1，n\'S+An是P下的局部超鞅，同样由Bayes规则确定，从下方以‘ZVliq（φn）为界。因为∈ λadm（x）是可容许的一个ndza鞅，这意味着~n0，n+1，n\'S+An是一个真正的超级艺术家，所以呢VliqT（νn）+AnTi=E“ZTν0，nT+（λ）- λ′）ZTSud~n1，n，↓U≤ x（3.5）对于所有n.结合芬切尔不等式和U的单幂性，我们可以估计ZTVliqT（νn）+AnT≥“y”UVliqT（νn）- 五、“y”ZT.自从UVliqT（νn）- 五、“y”ZTL（P）---→“y”Ubg（x）- 五、“y”ZT, 作为n→ ∞, 我们得到了“ZTVliqT（νn）+AnT-∞n=1是一致可积的，因此“ZTVliqT（νn）+AnT∞n=1在L（P）中以（3.5）为界。因为¨ZT>0和VliqT（~nn）L（P）-→ bg（x），这意味着蚂蚁N≥ 1.在L（P）中有界。因为S是一个非负的局部Q-鞅，也是一个Q-超鞅，所以我们得到了≤U≤TSu≥ inf0≤U≤根据超鞅的最小原理，T洇Su>0。这意味着|ν1，n|T；N≥ 1.因此|ν0，n|T；N≥在L（P）中也是有界的。根据[12]中的命题3.4（及其在定理3.5证明中的应用），存在一个序列（eа0，n，eа1，n）∈ 卷积和多项式相乘（ν0，n，а1，n），（а0，n+1，а1，n+1）。凸组合和一个可预测过程的概率bа=（bаt，bаt）0≤T≤确定变化，如（新界东，东1，新界东）→ （bаt，bаt），T∈ [0，T]= 1.

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nandehutu2022

2022-5-8 05:02:03

（3.6）趋同（3.6）则意味着bа=（bа，bа）是一种交易成本λ下的自我融资交易策略，因此VliqT（bа）=bg（x），因此bа∈ AλU（x）。下一个结果表明（3.4）足以保证影子价格的存在。提议3.3。在定理3.1的假设下，假设原始问题（2.3）的解bg（x）是可实现的，即存在bа=（bа，bа）∈ AλU（x）使得vliqt（b~n）=bg（x），并且存在e k n=（eа0，n，eа1，n）∈ Aλadm（x）这样的（新界东，东1，新界东）→ （bаt，bаt），T∈ [0，T]= 1（3.7）那么对偶优化函数bZ=（bZ，bZ）到（3.2）在Zλe中，即λ-一致价格系统，而bs:=bzbzi是问题（2.3）的影子价格（在定义2.2的意义上）。证据因为bg（x）=VliqT（b~n）<∞, 我们通过（x）bZT=U′得到它bg（x）> 通过二元关系（3.3）得到0，因此二元优化函数bZ=（bZ，bZ）在Zλe中。然后，它遵循与证明命题3.2中相同的参数，用eаn=（eа0，n，eа1，n）替换аn=（eа0，n，eа1，n）并将λ′=λZ=（bZ，bZ=（bZ，bZ）替换为（bZ，bZ）并设置为（bZeа0，n+bZeа1，n）∞n=1是一系列的超级艺术作品，n+bZe~n1，n=（bZteа0，nt+bZteа1，nt）0≤T≤查克bZTeа0，nT+bZTeа1，nT-∞n=1是一致可积的。这意味着bZteа0，nt+bZteа1，nt-0≤T≤这是一个非负的子鞅，因此是（D）类的子鞅bZτeа0，nτ+bZτeа1，nτ-∞对于每[0，T]值的停止时间τ，n=1是一致积分的。

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2022-5-8 05:02:06

自bZτeа0，nτ+bZτeа1，nτP-a.s。---→bZτbаτ+bZτbаτ，作为n→ ∞,对于每[0，T]值的停止时间τ乘以（3.7），我们得到（bZtbаT+bZtbаT）0≤T≤这是由法图引理计算出来的，它是由定理3.1常数期望的第4部分计算出来的，因此它是一个鞅。通过按部分积分，我们得到bZb~n+bZb~n=bZ（b k+b k bS）=bZ（x+b kobS- A），其中t=ZtbSu- (1 - λ）苏d b k 1，↓u+Zt苏-bSud b k 1，↑u、 0≤ T≤ T、是一个非递减的、可预测的过程。由于bZb~n+bZb~n是一个鞅，而bz（x+b~nobS）根据贝叶斯规则是一个局部鞅，而且b~n是有限变化的，因此是局部有界的，这意味着≡ 因此，bZ（b k+b k bS）=bZ（x+b kobS）是一个鞅且{d b k>0} {bS=S}和{d b~n<0} {bS=（1）- λ） S}在（2.6）的意义上。AsbZ=（bZ，bZ）∈ Zλe，我们得到bz=（bZt）0≤T≤这是无摩擦价格过程B=（bSt）0的ELMM的密度过程≤T≤T.因此bz=（bZt）0≤T≤候补（x）也必须是无摩擦对偶问题[V（yZT）]+xy的解→ 敏！，y>0，Z∈ Za（bS），其中Za（bS）表示所有密度过程的集合Z=（Zt）0≤T≤Tof绝对连续鞅测度Q<< P对于局部有界价格过程b=（bSt）0≤T≤T.根据无摩擦对偶性（见[50]中的定理2.2]），x+b k bST=b k T+b k TbST=VliqT（b k）=U′by（x）bZT是f r ictio nless效用最大化问题（2.5）的最优终端财富（bSt）0≤T≤T.因为x+b~nobS是在被测项bq下的abQ鞅~ 根据bydbQdP=bZTby Bayes的规则，我们得到bа=（bаT）0≤T≤THA是无摩擦效用最大化问题（2.5）的最优策略，因此在[50]中定理2.2第（iv）部分的AU（x；bS）中，因为最优策略在L（bS）中是唯一的。

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2022-5-8 05:02:09

这意味着BS=（bSt）0≤T≤这是交易成本下效用最大化问题（2.3）定义2.2意义上的影子价格过程。4主要结果见表4.1。假设S是连续的、粘性的，U:R→ R严格是凹的、递增的、连续可微的、从上到下有界的，满足不满足条件U′(-∞) = 利克斯→-∞U′（x）=-∞ 具有合理的渐近弹性，即limx→-∞xU′（x）U（x）>1。那么我们就有了任何x∈ R和交易成本的任何比例λ∈ （0,1）这是：1）最优交易策略bа（x）=（bаt（x），bаt（x））0≤T≤T∈ AλU（x）表示（2.3）存在。2）存在可容许的交易策略s e~nn=（e~n0，n，e~n1，n）∈ Aλadm（x）是（2.3）的最大值（新界东，东1，新界东）→ （bаt，bаt），T∈ [0，T]= 1.事实上，对于每一个最大错误序列（~nn）∞n=1∈ Aλadm（x）w e可以找到一个序列（e~nn）∞n=1个具有上述性质的凸组合。3）对偶优化函数bZ=（bZ，bZ）到（3.2）在Zλe中，即λ-一致价格系统。4） Bzbzi是一个影子p rice（定义2.2）。这尤其意味着{d b~n1，c>0} {bS=S}，{db1，c<0} {bS=（1）- λ） S}{b~n>0} {bS-= S} ,{b~n<0} {bS-= (1 - λ） S}{+b~n>0} {bS=S}{+b~n<0} {bS=（1）- λ） S}。定理4.1的证明将被分成几个引理。我们首先验证对偶定理（定理3.1）的条件。由于S是连续且粘性的，结合文献[30]中的推论2.1和文献[33]中的定理2，对于所有规模的交易成本λ′，都存在严格一致的价格体系∈ (0, 1). 此外，效用函数的条件满足我们的假设。因此，我们只需要检查条件（3.1）。引理4.2。让你：R→ R是一个效用函数，从上到下是有界的，S=（St）0≤T≤太粘了。

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2022-5-8 05:02:13

那么我们就有了∈ R、 thatu（x）=supа∈Aλadm（x）E[U（VliqT（ν））]<U(∞). （4.1）证据。通过S=（St）0的粘性≤T≤因此，Xt:=log（St）setA:=supt∈[0，T]SSt- 1.<λ)（支持）∈[0，T]| Xt- X |<log1 +λ)具有严格的正度量，即P[A]>0。类似于引理2.5和命题2。8在[30]中，我们得到了VliqT（φ）≤ A上的x表示任意的∈ Aλadm（x）。事实上，根据交易成本下的自我融资条件（2.1），我们可以得出Vliqt（）=t+TST- λST（ηT）+≤ 十、-TZSudаu- λTZSud~n1，↓u+k TST- λST（φT）+=x-TZ（苏- S） d k u- λTZSud~n1，↓u+аT（圣- （S）- λST（ηT）+≤ 十、-λTZSud~n1，↓U-λST（ηT）+≤ A.（4.2）上的x意味着e[U（VliqT（ν））]≤ U(∞)(1 - P[A]）+U（x）P[A]<U(∞)为了所有人∈ Aλadm（x），因此（4.1）取上确界。应用对偶定理（定理3.1）允许我们获得一个最大化序列φn=（φ0，nt，ν1，nt）0≤T≤T∈ Aλadm（x）的自我融资和可接受的交易策略以及arandom变量bg=bg（x）∈ L（P；R）∪ {∞}) 以至于Ubg（x）= u（x）和vliqt（~nn）P-→ bg（x），UVliqT（νn）L（P）-→ Ubg（x）. （4.3）如前所述，随机变量bg（x）可能会取值∞ 以严格的正概率。下面的例子说明了这种现象是如何在交易成本下产生的。它特别表明，条件s=（St）0≤T≤定理4.1中的粘性不能被S=（St）0的假设所取代≤T≤Tsatis定义了“无风险午餐”（不含交易成本）的条件（N F LV R）。例4.3。

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2022-5-8 05:02:17

我们给出了一个价格过程S=（St）0的例子≤T≤这是连续的。2） S满足无交易成本的条件（NF LV R），因此允许所有λ′的价格体系一致∈ （0，1）。3）对于最大化指数效用U（x）=- 经验(-x）交易成本下λ∈ （0，），即EUVliq（）= E- 经验- Vliq（）→ 最大值！，φ ∈ AλU（x）.3\'）存在一个序列bаn=（bа0，nt，bа1，nt）0≤T≤1.∈ AλU（x）使得Vliq（b k n）L（P）---→ 0=U(∞)因此bg（x）=∞ P-a.s.特别是，我们有| b|n | TP-→ ∞.为了方便起见，我们给出了有限时间间隔[0+∞]. 对应的有限区间[0，1]示例可通过使用时间间隔[0+∞] → [0,1]由h（t）给出=1.- 经验（-（t）考虑Sh（t）而不是St。我们首先指定要价S=（St）0≤T≤∞在等价局部鞅测度Q下，设W=（Wt）t≥0是[0]上的布朗运动+∞) 在Q和集σ下：=inf{t>0 | E（W）t=exp（Wt-t）嗯。定义S=（St）0≤T≤∞bySt=2E（W）σt，0≤ T≤ ∞.在散文中，价格过程从2开始。然后，在时间σ处，它会一直膨胀，直到第一次达到1级，然后在战后保持不变。由于停止时间σ几乎肯定是有限的，我们得到价格过程是q下的非负局部鞅，使得∞= 1 Q-a.s.因此，在时间0时卖空一股股票会产生2（1- λ) - 一次1>0∞ 作为清算价值。当然，这一策略的问题在于，它不是一个可以允许的策略。由于股票价格可以以严格正概率达到任意高，因此清算价值Vliq（φ）可以以0到σ之间的严格正概率达到任意小。

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2022-5-8 05:02:21

然而，我们可以通过允许的交易策略“~nn=（\'~n0，nt，\'~n1，nt）0来接近这一策略≤T≤∞∈ Aλadm（0）。为此，我们只需设置1，nt=-K0，0的σnK（t）≤ T≤ ∞, 式中，σn:=inf{t>0 | St=n}，并通过等式的自融资条件（2.1）确定φ0，Nt。ThenVliq∞（°~nn）=2(1 - λ) - 1.{σn≥σ}+2(1 - λ) - N{σn<σ}P-a.s。---→ 1 + 2(1 - λ) - 1，作为n→ ∞,自σn∞ Q-a.s.因此，设置bа1，n=nа1，与bа0，n=nа0，会产生一个序列（bаn）∞n=1自我融资和可接受的交易策略bаn=（bа0，nt，bа1，nt）0≤T≤∞∈ λadm（0）使得Vliq∞（b~nn）= - 经验- N2(1 - λ) - 1.{σn≥σ}- 经验- N2(1 - λ) - N{σn<σ}P-a.s。---→ 0，作为n→ ∞.为了保证L（P）中的收敛性，我们需要指定S在P下的分布。从那时起UVliq∞（b~nn）= - 经验- N2(1 - λ) - 1.P（σn）≥ σ)- 经验- N2(1 - λ) - NP（σn<σ）和- 经验-1+n2(1-λ)-N= O经验（n）, 选择P就足够了~ Q这样的P（σn<σ）=o经验(-n）. 这是可能的，因为An:={σn<σ}是集合的递减序列，使得Q（An）>0和Q（An）0。获得u（x）<u(∞), 我们在时间0时掷一枚公平的硬币。如果head出现，我们将使用上述定价过程。如果我们观察尾部，那么价格过程保持在2。上面的例子表明bg（x）只能取这个值∞, 如果总变化（|b|n|T）∞n=1最大化序列的φn=（φ0，nt，ν1，nt）0≤T≤T∈ 可容许交易策略的λadm（x）发散到∞. 然而，这种行为会导致有限的交易量，从而产生交易成本。对于粘性价格过程来说，这并不是最优的，我们现在讨论如何排除它。为此，我们观察到，如果我们有c:=conv{|~nn|T；n≥ 1} （4.4）在L（P）中有界，用于一个序列（νn）∞n=1个策略∈ Aλadm（x）满足（4.3），存在一个序列（b~nn）∞n=1凸组合sb~nn∈ conv（°n，°n+1。

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2022-5-8 05:02:25

)以及一种自我融资的交易策略bа=（bаt，bаt）0≤T≤Tunder交易成本，例如pH（bа0，nt，bа1，nt）n→∞---→ （bаt，bаt），T∈ [0，T]i=1（4.5），通过[12]中的命题3.4（及其在定理3.5证明中的应用）。因为我们当时有一个-→ VliqT（b~n）=bg（x）UVliqT（b~nn）L（P）-→ UVliqT（b~n）= Ubg（x）,这意味着bа=（bаt，bаt）0≤T≤T∈ AλU（x）得到bg（x）到（2.3）的解，并且bg（x）是A.s.实值。因此，只需证明（~nn）∞n=1对于任何序列都是正确的统计（4.4）∞n=1个策略∈ Aλadm（x）满足（4.3）。为此，我们对任何序列进行了固定（~nn）∞n=1个策略∈ Aλadm（x）满足（4.3）并用S表示所有[0，T]的集合∪ {∞}-取值的停止时间σ，使得conv{|~nn |σ∧TN≥ 1} 在L（P）中有界。然后（4.4）对应于显示∞ ∈ 请注意 L+（P）是凸且有界的，例如，在[10]的概率测度Q中存在引理2.3~ 使C在L（Q）SO中有界∞n=1，确实满足[12]中命题3.4的总和。引理4.4。在取成对极大值的情况下，集S是稳定的，即σ，σ∈ S意味着σ∨ σ∈ 美国证据。让ψ∈ A:=conv{|~nn | n≥ 1}. 然后ψ（σ）∨σ)∧T=ψσ∧T{σ≥σ}+ ψσ∧T{σ<σ}。这意味着Limn→∞supψ∈美联社ψ(σ∨σ)∧T≥ N≤ 画→∞supψ∈AP（ψσ）∧T≥ N） +limN→∞supψ∈AP（ψσ）∧T≥ N） =0，因此σ∨ σ∈ S在取两两极大值下是稳定的，这一事实使我们能够得到它的本质上的上界σ：=ess supσ∈Sσ（4.6）作为递增序列（bσk）的极限∞k=1停车时间bσk∈ 根据定理A.33。（b）在[27]中。注意bσ≥ 0，作为0∈ S、 bσaga是一个停止时间。回想一下，影子价格的存在意味着最优交易策略bа=（bаt，bаt）0≤T≤如果影子价格为（2.6）意义上的买入价或卖出价，则Tunder交易成本仅交易。

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2022-5-8 05:02:30

下一个引理表明，如果我们还不知道是否存在影子价格，从近似意义上讲，情况已经如此。引理4.5。在定理4.1的假设s下，设（ηn）∞n=1b是可接受交易策略的最大化顺序φn=（φ0，nt，ν1，nt）0≤T≤T∈ 问题（2.3）满足（4.3）且集B1，j={bZS的λadm（x）-bZ>j}和B2，j={bZ-bZ（1）- λ） S>j}代表j∈ N.然后我们就有了∈ N、 thatB1，jo1，N，↑T+B2，jo1，n，↓总磷-→ 0，B1，jo0，n，↓T+B2，jo0，n，↑总磷-→ 0.证明。在这里，我们可以在不丧失普遍性的情况下，假设我们在最大化策略（νn）的自我融资条件（2.1）中是平等的∞n=1。自0<sup0≤T≤TSt<∞P-a.s.假设s是严格正且连续的，则有足够的证据证明φ1，n=（φ1，nt）0≤T≤T.这也意味着对а0，n=（а0，nt）0的断言≤T≤t根据自我融资条件（2.1）。通过引理A.2，我们得到了bzt~n0，nTL（P）-→bZTbg（x）对于任何最大化序列φn=（φ0，nt，φ1，nt）0≤T≤Tof自我融资和可接受的交易策略（4.3）。正如我们可以在不丧失普遍性的情况下，假设：1，nT=0，定义bxnt=0，ntbZt+1，ntbZt，0≤ T≤ T、给出一个序列（bXn）∞n=1of supermantingalesbxn=（bXnt）0≤T≤t从x开始，使得bxnt在L（P）中收敛到终端值bx∞T=bZTbg（x）的鞅bx∞= （bX）∞t） 0≤T≤Tgiven bybX∞t=E[bZTbg（x）| Ft]，0≤ T≤ T、这也是从定理3.1的第4部分开始的。通过分部积分，我们得到了bxnt=x+0,nobZt+1,nobZt- 蚂蚁，0≤ T≤ T、地点：=ZtbZuSu-bZud~n1，n，↑u+ZtbZu-bZu（1）- λ）苏d~n1，n，↓u、 0≤ T≤ T、是一个从0开始的非递减过程。因为bxnt=bZtν0，新界北+ν1，新界北≥bZtVliqt（νn）≥bZt(-m），0≤ T≤ T、对于某些m>0的可采性，当地的martinga le（x+0，nobZt+1，nobZt）为0≤T≤这是由一致可积矩阵所限定的bZt(-m）0≤T≤和亨恰超级啤酒。

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2022-5-8 05:02:33

作为超级艺术家的bxn=（bXnt）0≤T≤坦德玛特英格尔贝克酒店∞=（bX）∞t） 0≤T≤皮重均从x开始，收敛点BxNTL（P）---→bX∞因此，这意味着ANTL（P）---→ 0.罪恶的≥JB1，jo1，n，↑T+B2，jo1，n，↓T≥ 0，后一个L-收敛产生b1，jo~n1，n，↑T+B2，jo1，n，↓TL（P）---→ 0，因此也不可能。我们建立以下引理来证明（4.6）中定义的bσ等于bσ=∞ 自相矛盾。引理4.6。在定理4.1的假设下，假设P（bσ<∞) > 然后存在一个停止时间τ，P（τ<T）>0，这样我们就有了1）conv{|n |τ∧TN≥ 1} 在L（P）中有界，2）存在一个集合a∈ F与A {τ<T}和P（A）>0，常数c>0和序列（b~nn）∞n=1凸组合sb~nn∈ conv（~nn，~nn+1，…）这样我们就有了A）Rτ| d b|nu |≤ c对于所有n，b）RTτ| d b|nu | P-→ ∞, a s n→ ∞,c） |St- Sτ|≤λstt∈ [τ，T]。证据设Xt=记录（St）并确定停止时间 := infnt>bσ|Xt- Xbσ|>对数1 +λo、显然， > bσ在{bσ<T}上，所以P( > bσ=P（bσ<T）>0。亨塞德：=conv{| |n|∧TN≥ 1} （4.7）在L（P）中不受bσ定义的限制。莫尔·伊奥弗，自从D L+（P）是凸的，在[10]的一个划分中存在引理2.3Ohm 分成不相交的集合OhmUOhmB∈ F和P(Ohmu） >0，以便（i）限制|Ohmb={gOhmb | g∈ D} 从D到Ohmbis在L（P）中有界。（ii）D在L（P）上是遗传无界的Ohmu、也就是说，对于每个子集B∈ F、 B Ohmu、 P（B）>0，我们有D | B={gB | g∈ D} fa-ils以L（P）为界；参见[10]中的定义2.2。现在，我们可以有两个案例。或者P(OhmU∩ { ≥ T}）>0或P(OhmU∩ { < T}=P(Ohmu）。在第一种情况下，我们设置F:=OhmU∩ { ≥ T}。

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2022-5-8 05:02:36

在第二种情况下，存在粘性S，因此存在X a集合F的粘性∈ P（F）>0，使得 OhmU∩ { < T}和supt∈[,T]| Xt- 十、| <把（1+λ）记录在F上。根据S的连续性，我们可以选择k∈ 足够大，足够大∈[bσk，bσ]|Xt- Xbσk |<log1 +λ在拍摄现场∈ F和A F和P（A）>0。设置τ=bσk，我们得到1）乘（4.6）的结果∈[τ，T]|Xt- Xτ|<log1 +λ在A上，这意味着| St- Sτ|≤λstt∈ [10]中引理2.3的第4部分[τ，T]给出了序列（ψn）的存在性∞n=1个凸组合ψn∈ conv{124;~nm|m≥ n} （4.8）这样OhmU∩ψn∧T<n<n、（4.9）自∧TN≥ 1} 在L（P）中有界，我们可以通过应用Koml’os’引理（例如，参见[26]中的引理A.1]）假设ψnτ∧TP-a.s。---→ f、作为n→ ∞, （4.10）对于某些f∈ L+（P）。Let（b~nn）∞n=1b是一个凸组合序列sb~nn=KnXk=1unk~nmnk∈ conv（~nn，~nn+1，…）从序列中获得的值（单位：n）∞n=1，取与序列（ψn）相同的凸权∞n=1in（4.8）来自序列（||n |）∞n=1。通过（4.10）和总变分的凸性，我们可以通过可能传递到一个较小的集合a来假设存在一个常数c>0，使得|b|n |τ∧T≤ c代表全体n∈ 这证明了第2部分的性质A）和c）。为了建立概率b），我们需要考虑以下两种情况：（i’）P（bZ）∧T=0，A）>0，（ii\'）P（bZ∧T> 0，A）>0。在（i\'）的情况下，它来自于bz=（bZt）0这一事实≤T≤这是一个非负鞅G:={bZ∧T=0} {bZT=0}。通过对偶关系bg（x）=（U′）-1.by（x）bZT, 这意味着bg（x）=limn→∞VliqT（b~nn）=∞ 关于G.因为S=（St）0≤T≤这是严格的正的和连续的，我们有0<sup0≤T≤TSt<∞ P-a.s。

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