多项式趋势对去趋势移动平均分析的影响

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收藏 2022-05-08

英文标题：
《Effects of polynomial trends on detrending moving average analysis》
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作者：
Ying-Hui Shao, Gao-Feng Gu, Zhi-Qiang Jiang, Wei-Xing Zhou (ECUST)
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
The detrending moving average (DMA) algorithm is one of the best performing methods to quantify the long-term correlations in nonstationary time series. Many long-term correlated time series in real systems contain various trends. We investigate the effects of polynomial trends on the scaling behaviors and the performances of three widely used DMA methods including backward algorithm (BDMA), centered algorithm (CDMA) and forward algorithm (FDMA). We derive a general framework for polynomial trends and obtain analytical results for constant shifts and linear trends. We find that the behavior of the CDMA method is not influenced by constant shifts. In contrast, linear trends cause a crossover in the CDMA fluctuation functions. We also find that constant shifts and linear trends cause crossovers in the fluctuation functions obtained from the BDMA and FDMA methods. When a crossover exists, the scaling behavior at small scales comes from the intrinsic time series while that at large scales is dominated by the constant shifts or linear trends. We also derive analytically the expressions of crossover scales and show that the crossover scale depends on the strength of the polynomial trend, the Hurst index, and in some cases (linear trends for BDMA and FDMA) the length of the time series. In all cases, the BDMA and the FDMA behave almost the same under the influence of constant shifts or linear trends. Extensive numerical experiments confirm excellently the analytical derivations. We conclude that the CDMA method outperforms the BDMA and FDMA methods in the presence of polynomial trends.
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中文摘要：
去趋势移动平均（DMA）算法是量化非平稳时间序列中长期相关性的最佳方法之一。现实系统中的许多长期相关时间序列包含各种趋势。我们研究了多项式趋势对三种广泛使用的DMA方法（反向算法（BDMA）、中心算法（CDMA）和前向算法（FDMA）的缩放行为和性能的影响。我们推导了多项式趋势的一般框架，并得到了常数位移和线性趋势的分析结果。我们发现CDMA方法的行为不受恒定位移的影响。相比之下，线性趋势会导致CDMA波动函数发生交叉。我们还发现，恒定位移和线性趋势会导致从BDMA和FDMA方法获得的波动函数发生交叉。当存在交叉时，小尺度下的标度行为来自于内在时间序列，而大尺度下的标度行为则由恒定位移或线性趋势控制。我们还解析地推导了交叉尺度的表达式，并表明交叉尺度取决于多项式趋势的强度、赫斯特指数，以及在某些情况下（BDMA和FDMA的线性趋势）时间序列的长度。在所有情况下，BDMA和FDMA在恒定位移或线性趋势的影响下表现几乎相同。大量的数值实验很好地证实了解析推导。我们得出结论，在多项式趋势存在的情况下，CDMA方法优于BDMA和FDMA方法。
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分类信息：

一级分类：Physics 物理学
二级分类：Data Analysis, Statistics and Probability 数据分析、统计与概率
分类描述：Methods, software and hardware for physics data analysis: data processing and storage; measurement methodology; statistical and mathematical aspects such as parametrization and uncertainties.
物理数据分析的方法、软硬件：数据处理与存储；测量方法；统计和数学方面，如参数化和不确定性。
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一级分类：Physics 物理学
二级分类：Physics and Society 物理学与社会
分类描述：Structure, dynamics and collective behavior of societies and groups (human or otherwise). Quantitative analysis of social networks and other complex networks. Physics and engineering of infrastructure and systems of broad societal impact (e.g., energy grids, transportation networks).
社会和团体（人类或其他）的结构、动态和集体行为。社会网络和其他复杂网络的定量分析。具有广泛社会影响的基础设施和系统（如能源网、运输网络）的物理和工程。
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一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Statistical Finance 统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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Effects_of_polynomial_trends_on_detrending_moving_average_analysis.pdf
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何人来此

2022-5-8 05:12:42

多项式趋势对趋势移动平均分析的影响，*华东科技大学商学院，上海200237，华东科技大学中国经济物理研究中心，上海200237，华东科技大学中国科学院，上海200237，中国（日期：2018年8月13日）去趋势移动平均（DMA）算法是量化非平稳时间序列中长期相关性的最佳方法之一。现实系统中的许多长期相关时间序列包含各种趋势。我们研究了多项式趋势对三种广泛使用的DMA方法（包括反向算法（BDMA）、中心算法（CDMA）和正向算法（FDMA）的缩放行为和性能的影响。我们推导了多项式趋势的一般框架，得到了常数位移和线性趋势的分析结果。我们发现CDMA方法的行为不受恒定位移的影响。相反，线性趋势会导致CDMA函数发生交叉。我们还发现，恒定位移和线性趋势会导致从BDMA和FDMA方法获得的函数发生交叉。当存在交叉时，小尺度下的标度行为来自于内在时间序列，而大尺度下的标度行为则由恒定位移或线性趋势控制。我们还分析推导了交叉尺度的表达式，并表明交叉尺度取决于多项式t趋势的强度、赫斯特指数，以及在某些情况下（BDMA和FDMA的线性趋势）时间序列的长度。在所有情况下，在恒定位移或线性趋势的影响下，BDMA和FDMABEH几乎相同。

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kedemingshi

2022-5-8 05:12:46

大量的数值实验很好地证实了分析推导。我们得出结论，CDMA方法在存在多项式趋势s的情况下优于BDMA和FDMA方法。关键词：分形分析；去趋势移动平均（DMA）；标度律；交叉行为；多项式趋势；不断变换；线性趋势。*wxzhou@ecust.edu.cnI.引言许多自然、社会和技术系统表现出复杂的行为，其特点是长期的权力关系[1]。有很多方法可以用来确定长期相关时间序列中的相关强度[2–6]。最经典的方法是Hurst分析或R/S范围分析[7,8]。其他常用方法包括小波变换模极大值（WTMM）方法[4,9–13]，基于波动分析（FA）[15]的去趋势波动分析（DFA）[14]，基于移动平均或移动平均技术的去趋势移动平均分析（DMA）[16–18]等等。这些方法在许多方面都得到了推广，例如高维对象[20-23]、双时间分析的detr-End互相关分析及其变体[24-30]、多变量时间序列的detrended偏cro-ss相关分析[31-33]、多重分形分析[34,35]等等。一个重要的问题是比较这些估计器的性能和相对优点，这是通过大量的数值实验进行的。Xu等人利用改进的傅里叶滤波方法生成的时间序列[36]，发现DFA优于不同的DMA变体[37]。Bashan等人观察到，对于趋势较弱的长时间序列，CDMA的性能与DFA相当，对于趋势较弱的短数据，CDMA的性能略优于DFA[38]。

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何人来此

2022-5-8 05:12:49

基于Davies-Harte算法[39]产生的分数高斯噪声（FGN）和通过对FGN求和产生的分数布朗运动，Se rinaldi发现DFA和DMA具有可比性能[40]。Jiang和Zhou报告说，DFA和CDMA的性能类似，它们都优于BDMA和FDMA方法[29]，其中FBM是使用基于傅立叶的Wood Chan算法生成的[41]。Huanget al.报告了使用Wood Chan算法生成的、H=1/3[42]的FBM的FA和DFA的比较性能[41]。Bryce和Sprague报告称，对于使用Davies-Harte算法生成的FGN，FA的性能优于DFA，H=0.3[43]，而Shao等人发现CDMA的性能最好，DFA在某些情况下只是稍微差一点，FA的性能最差[44]。由于不同的研究使用了不同的时间序列生成器和不同的长度，因此将结论混合在一起并不是不合理的。实际复杂系统中的时间序列通常包含各种形式的趋势和非平稳性。因此，另一个重要的问题是趋势和非平稳性对不同方法的标度行为的影响。Montanari等人研究了周期性对几种方法的影响，如聚合方差法、Higuchi法、R/s分析、周期图法、Whittle法等[3]。Ka ntelhardt等人研究了多项式趋势和振荡趋势对DFA不同阶数的影响[45]。Hu等人系统地研究了线性、周期和幂律趋势对DFA的影响[46]。Chen等人在DFA分析中考虑了非平稳性和非线性滤波器的存在[47,48]。Ma等人研究了缺失极端数据对DFA的影响[49]。

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2022-5-8 05:12:52

Song和Shang研究了基于线性和非线性滤波器的五种趋势对基于DFA的多重分形CCA的影响[5 0]。在大多数情况下，DFA函数的标度行为中会出现交叉，这使得难以估计时间序列中的内在长期相关性。为了减少或最小化这些对DFA方法的影响，已经采取了许多措施[51–58]。然而，关于趋势对趋势移动平均分析的影响的研究很少，尽管DMA是DFA的“首选方法”[44]。据我们所知，其中一项研究是将周期趋势对DMA方法的影响降至最低[57]。在这项工作中，我们旨在通过研究多项式趋势对DMA方法的缩放行为的影响来推动这一方向。我们通过分析得出了常数位移和线性趋势的结果，并通过数值实验证实了这些结果。二、去趋势移动平均算法去趋势移动平均分析的算法描述如下[16-18,37,59-62]。第一步。考虑一个时间序列x（t），t=1，2，·N。我们构造了累积sumsX（t）=tXi=1x（i），t=1，2，·N.（1）步骤2的序列。考虑一个盒子[t]- s、大小为s=s+s+1的t+s]，其中s=（s）- 1)(1 - θ), s=（s）- 1)θ, 十、是小于x的最大整数，十、是大于x的最小整数，θ是位置参数，其值在[0,1]范围内变化。计算移动窗口[17]中的移动平均函数eX（t），eX（t）=ssXk=-sX（t）- k）。（2）因此，移动平均函数考虑了过去的数据点和未来的数据点。本文考虑了三种特殊情况。第一种情况θ=0指的是向后移动平均[37]，其中移动平均函数ex（t）是在过去的所有n年中计算出来的- 1.信号的数据点。

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mingdashike22

2022-5-8 05:12:55

第二种情况θ=0.5与居中移动平均线[37]有关，其中ex（t）包含每个窗口的过去和未来信息的一半。第三种情况θ=1称为前向移动平均线，其中ex（t）考虑n的趋势- 1.未来的数据点。第三步。通过从X（i）中移除移动平均函数ex（i）来分解信号序列，并获得剩余序列（i）到（i）=X（i）-eX（i），（3）式中n- （s）- 1)θ 6I 6N- （s）- 1)θ.第四步。残差序列（i）被划分为大小为s的不相交段，其中Ns=不适用- 1..每个c段可以用v表示，即v（i）=（l+i）表示1 6 i 6 s，其中l=（v-1） s.窗口大小为s的均方根函数Fv（s）可以通过Fv（s）=ssXi=1v（i）来计算。（4）第五步。通过改变段大小s的值，我们可以确定函数F（s）和大小刻度s之间的幂律关系，其读数为SF（s）~ bsH。（5） III.多项式趋势考虑由零均值信号x（t）和加法趋势u（t）z（t）=x（t）+u（t）（6）组成的信号。z（t）的曲线是x（t）和u（t）的曲线之和：z（t）=x（t）+u（t）（7）和时间t iseZ（t）=eX（t）+eU eU 8的移动平均值。当q=2时，整体曲线为fz（s）=NXi 1[z（t）-~Z（t）]=NXi=1[X（t）-~X（t）+U（t）-~U（t）]=Fx（s）+Fu（s）+2NXi=1[x（t）U（t）]（9）其中x（t）=x（t）-~X（t）和u（t）=u（t）-~U（t）。如果x（t）和u（t）不相关，我们有fz（s）=Fx（s）+Fu（s）（10），这是叠加规则[46]。我们考虑增加到增量序列中的多项式趋势：u（t）=mXp=0aptp（11）和累积和isU（t）=tXi=1u（i）=mXp=0aptXi=1tp（12）。根据Faulhaber的公式，powersPti=1ipc之和可以表示为：tXi=1ip=p+1pXk=0kp+1Bktp+1-k（13），其中系数bk是伯努利数。

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何人来此

2022-5-8 05:12:58

对于p=0、1、2和3，我们有Pti=1i=t、Pti=1i=（t+t）/2、Pti=1i=（2t+3t+t）/6和Pti=1i=（t+2t+t）/4。接下来就是u（t）=a+a+at+a+a+at+a+at+at（14）t fr om t的移动平均线- sto t+sisZ（t）=ssXk=-sZ（t）- k） =st+sXk=t-sZ（k）（15），其中s=s+s- 1是窗口大小。四、恒定位移：p=0A的情况。分析结果在这种情况下，我们认为a=a=a=0。趋势是一个常数：T=a（16）累积和，或者说，isU（T）=tXi=1，T（17）从T中获得的T处移动平均数- 窗口大小s iseU（t）=a的sto t+SFOt+s- 1.- s（18）其中s+s+1=s。因为s=（s）- 1)(1 - θ）当θ=0，0.5和1（注意s应该是奇数）时，我们有eu（t）=at+（2θ）- 1）（s）- 1)（19）移动平均线后趋势的残差是u（t）=a（2θ）- 1）（s）- 1）（20）对于给定的窗口大小s，这是一个常数。因此叠加规则成立。当θ=0.5时，我们有fz（s）=NNXi=1（t）=Fx（t），（21）10110210410510-1100101102103shF i H=0.9H=0.1（a）FGN+a0FGN10110210310410510-1100101102shF i（b）FGN+a0，θ=0FGN+a0，θ=1fgna0101102104105100101102103shf i（c）FGN+a0，θ=0FGN+a0，θ=1fgna0101104100101102103104shf i（d）FGN+a0，θ=0FGN+a0，θ=1FGNa010-410-310-210-1100102103104H=0.1H=0.9（e）a0s×-10-7.-4.-1.-10-7.-4.-1αK，K（f）K=-1/(1 - H） k=-1/(1 - h）图1。恒定偏移对DMA算法的影响。（a-d）中的每条曲线代表一个经过50次重复模拟平均的函数。（a）对于CDMA方法，具有不同Hurst ind exe的FGN和具有恒定位移ta=0.2的FGN的hF i的对数图以s为增量。赫斯特指数H在0.1（底部）到0.9（顶部）之间变化，步长为0.1。（b）对于Hin=0.1和a=0.0012，使用BDMA和FDMA方法记录hF i与s的对数图。（c）在H=0.5和a=0.0176的情况下，使用BDMA和FDMA方法记录hF i与s的对数图。

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mingdashike22

2022-5-8 05:13:01

（d）在H=0.9和a=0.257的情况下，使用BDMA和FDMA方法记录hF信号的对数图。（e）交叉尺度×的幂律依赖于恒定位移，因为BDMA方法适用于不同的赫斯特指数，从0.1（左）到0.9（右）不等，步长为0.1。（f）公式（24）的验证。交叉指数α是（e）中的幂律指数，K=-1/(1 - H） k=-1/(1 - h），其中h是生成FGN的输入Hu rst指数，h是使用BDMA生成的FGN的估计Hurst ind ex。这与常数移位项a无关。它表明，如果x是分数高斯噪声，则FZ标度中不存在交叉。当θ=0和θ=1时，去趋势的函数为Fz（s）=Fx（t）+a（s-1），（22）这取决于a和s。在Fz（s）中有一个cr ossover s=s×。对于s<s×，Fz（s）的行为与Fx（s）的行为非常接近，而对于s>s×，Fz（s）的行为与Fu（s）的行为非常接近。交叉标度s×是以下等式的解fx（s）=Fu（s）。（23）由此得出bsH=a（s-1)/2. 什么时候>> 1.我们有×=2ba1/(1-H），（24）表明s×是a的幂律函数，指数为-1/(1 - H）。B.数值试验我们进行数值模拟，以验证由UNSEC推导的主要结果公式（21）和公式（24）的正确性。IV A.我们使用Davies-Harte算法[39]生成具有给定Hurs tindexes H的作用高斯噪声（FGN）。还有其他类似的生成器，如基于小波的FMB生成器[63]和ra ndommidpoint置换算法[64]。然而，戴维斯-哈特算法的性能稍好一些[44]。在我们的模拟中，我们考虑了不同的赫斯特指数H，其范围为0.1到0.9，步长为0.1。对于每个H，我们生成长度为10的50 FGN时间序列x（t）。

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何人来此

2022-5-8 05:13:04

每个FGN系列的每个点都添加了常量移位。下面给出的DMA函数是50种实现的平均值。图1a说明了从CMDA方法获得的不同H值的平均函数。原始FGN时间序列和a=0.2的移位FGN的两条曲线重叠良好。此外，所有曲线都具有超幂律形式，斜率为相应的H值。改变AHA的价值对结果没有影响。因此，图1a准确验证了等式（21）。图1b显示了根据BDMA方法和FDMA方法得出的a=0.0 012和H=0.1的恒定位移FGN的平均函数。这两条曲线重叠得很好。fluction函数禁止清晰的交叉。什么时候<< s×，在斜率为H=0.1的情况下，弯曲函数与FGN的弯曲函数重叠。什么时候>> s×，函数与常数A的函数重叠，斜率e为H=1。这些观察结果与eq（22）一致。图1c和图1d分别显示了H=0.5和a=0.017 6以及H=0.9和a=0.257的结果。这些结果也与公式（22）的预测一致。我们可以通过两种方法确定交叉尺度s×。第一种方法是使用Fx（s×）=Fu（s×），确定每个图中实线和虚线的交点（s×），Fx（s×）（图1b-1d）。然而，该方法使用了有关潜在FGN和恒定位移的优先信息。另一种方法如下所述。我们精确地指出了距离连接两个端点的直线最远的点。

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kedemingshi

2022-5-8 05:13:08

我们对从右点到右点中间的点和（sm，Fz（sm））的前几个点进行线性拟合，以获得基于Fz曲线右侧部分的第一条直线和类似的第二条直线。交叉比例由这两条直线的交点决定。在该程序e中，函数左部分的右点Sm和函数右部分的左点Sm的选择可能不同，这不影响s×。在我们的分析中，我们简单地使用线性回归中最左边的五个数据点和最右边的五个数据点，并获得两条回归线的交点（视为s×）。请注意，每个函数中有60个点。图1e显示了s×作为不同H值的函数的依赖性。对于每一种价值，我们都遵循一种权力关系：s×~ aα（25），与等式（24）中表示的幂律形式一致。图1f显示，赫斯特指数越大，曲线越陡。我们对每个H的数据点进行拟合，以估计幂律指数α。然后，我们定义并计算以下两个量：K=-1/(1 - H）（26）andk=-1/(1 - h），（27）其中，h是FGN合成的输入赫斯特指数，h是使用BDMA方法合成的DFGN的输出赫斯特指数。我们在图1f中绘制了K与α的关系图，以及K与α的关系图。我们观察到这一点≈ K≈ α、（28）H=0.9除外。等式（25）和（28）很好地验证了等式（24）。选择Avalue并不是武断的。由于生成的FGN的大小有限，过大的a将导致s×非常小，因此生成的函数将成为斜率为1的直线，而过小的a将导致s×非常大，因此生成的函数将成为斜率为1的直线。

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nandehutu2022

2022-5-8 05:13:12

在这两种情况下，无法识别交叉点。在数值实验中，对于每个H，我们使用10个在对数尺度上均匀分布的数值。对于实例e，当H=0.1时，Avalue分布在[0.00018,0.012]中；当H=0.5时，Avalue分布在[0.0064,0.0621]中；当H=0.9时，Avalue分布在[0.203,0.346]中。通过这种方式，可以识别CRO。图1b至图1d中使用的AVALUE是10个AVALUE中的第五个。很明显，图1所示的数值结果验证了前一小节中的分析结果。V.线性趋势：p=1A的情况。分析结果我们现在考虑a=a=0的线性趋势的情况。线性趋势isu（T）=at。（29）u（t）isU（t）=a（t+t）/2，（30）和移动平均iseU（t）=at+s- 第二-ss+s+s-, （31）式中s=（s）- 1)(1 - θ). 当θ=0,0.5,1（注意s应该是奇数）时，我们有eu（t）=at+2（1）- θ） +s（2θ）- 1） t+ 五十、（32）其中L=a（s）- 1）（s）- 3sθ+3sθ- 3θ+ 6θ - 2)/6. （33）残差序列为u（t）=u（t）-欧盟（t）=At- 五十、（34）其中=-a（s）- 1)(2θ - 1)/2. （35）趋势函数为Fz（s）=NNXt=1[x（t）+u（t）]（36）应用叠加规则[46]和Faulhaber公式，我们得到Fz（s）=NNXt=1[x（t）+u（t）]=Fx+NNXt=1（至少- 五十） =Fx+L+A（2N+3N+1）- AL（N+1）（37）当θ=0.5时，我们有A=0和L=A（s- 1)/24. 将它们插入式（37）中，Fz=Fx紧随其后+a（s）- 1).（38）我们得到交叉尺度s×如下×=24ba1/(2-H）。（39）我们注意到，s×依赖于邻接的N.101102103104105100102104shF i（a）FGN+a1t，θ=0.5fgna1t1011010104105100102104shf i（b）FGN+a1t，θ=0.5fgna1t101101010410-1103105shf i（c）FGN+a1t，θ=0.5fgna1t101101031010410510-1103105shf i（d）FGN+a1t，θ=0.5FGNa1t10-710-610-510-410-310-2103104H=0.1H=0.9a1s×（e）-0.9-0.7-0.5-0.9-0.7-0.5αK，K（f）K=-1/(2 - H） k=-1/(2 - h）图2。

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大多数88

2022-5-8 05:13:15

线性趋势对CDMA算法的影响。（a-d）中的每条曲线代表一个经过50次重复模拟平均的函数。（a） H=0.1的FGN的hF i的对数图被a=9.55×10的线性趋势污染-6.逐步增加。（b） H=0.3和a=2.70×10时FGN的hF i对数图-5.（c）对于H=0.7和a=2.18×10，FGNSF的hF i对数图-4.（d）H=0.9和a=4.61×10时FGN的hF i对数图-4.（e）交叉量表s×对不同赫斯特指数的线性系数的幂律依赖性，从0.1（左）到0.9（右）不等，步长为0.1。（f）验证公式（39）。交叉指数α是（e）中的幂律指数，K=-1/(2 - H） k=-1/(2 - h），其中h是生成FGN的输入Hu rst指数，h是使用CDMA生成的FGN的估计Hurst ind ex。当θ=0时，我们有L=a（s）- 1）（s）- 2） /6和A=A（s）-1)/2. 最终计算结果为Fz=Fx+a（s）-1）（s）- 2)+a（2N+3N+1）（s）- 1)-a（N+1）（s）- 1）（s）- 2）（40）当1<< s<< N，我们有FZ≈ Fx+ass-Ns+N≈ Fx+aNs（41）在天平上有一个交叉点×=√12禁令！1/(1-H），（42）这取决于A和N。当θ=1时，我们有A=-a（s）-1） /2和L=a（s）- 1)/6. 这就是FZ≈ Fx+ass-Ns+N≈ Fx+aNs（43）c-rosovers s×由以下公式导出：=√12禁令！1/(1-H）（44）这取决于A和N。我们注意到FDMA和BDMA的交叉尺度s具有近似相同的表达式。B.数值模拟我们现在进行数值模拟，以验证第二节中得出的主要结果的正确性。V A，尤其是Req。（39）对于CDMA方法（θ=0.5），等式（42）对于BDMA方法（θ=0），等式（44）对于FDMA方法（θ=1）。数值实验的步骤与秒内恒位移的情况相同。IV B.CDMA方法的结果如图2所示。在图中。

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可人4

2022-5-8 05:13:18

2a，我们展示了受a=9.55×10线性趋势污染的H=0.1的FGN的平均扩散函数-6.我们观察到在s×内函数上有明显的交叉。什么时候<< s×，当斜率为H=0.1时，函数与函数ofFGNs的函数重叠良好。什么时候>> s×，在斜率为H=2时，函数与线性趋势的函数重叠良好。这些观察结果与公式（38）一致。我们分别给出了H=0.3和a=2.70×10的结果-5在图2b中，对于H=0.7和a=2.18×10-4inFig。2c，对于H=0.9和a=4.61×10-4在图2d中。所有这些结果也与ofEq的预测一致。(38).在确定不同值的交叉尺度s×时，我们采用了与恒定位移情况相同的程序。对于每个H，我们选择10个a值，它们以对数比例均匀分布。图2e显示了s×作为不同H值的函数的依赖性。对于固定的a，s×随H增加，表明FGNs中更强的长期相关性使池塘与内禀函数中更宽的标度范围相关。对于固定H，s×随a减小，表明更强的Trend将缩小固有FGN的标度范围，并使确定固有Hurst指数变得更困难。对于每一个H值，我们都观察到一个良好的幂律关系：s×~ aα（45），与等式（39）中表示的幂律形式一致。图2f显示，赫斯特指数越大，曲线越陡。我们对每个H的数据点进行拟合，以估计幂律指数α。然后，我们定义并计算以下两个量：K=-1/(2 - H）（46）andk=-1/(2 - h），（47）其中，h是用于合成FGN的输入赫斯特指数，h是使用CDMA方法合成的DFGN的输出赫斯特指数。

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kedemingshi

2022-5-8 05:13:21

我们在图1f中绘制了K与α的对比图和ka与α的对比图。我们观察到所有的点都落在对角线上≈ K≈ α. （48）等式（45）和（48）很好地验证了等式（39）。BDMA和FDMA方法的结果如图3所示。应用BDMA和FDMA方法，我们在图3a中显示了H=0.1的FGN的平均函数，该函数被a=2.28×10的线性趋势污染-这两条曲线重叠得很好。我们在函数中观察到一个明显的交叉点s×。10110210310410510-1100101102shF i（a）FGN+a1t，θ=0FGN+a1t，θ=1fgna1t101101010410510-1100101102shF i（b）FGN+a1t，θ=0FGN+a1t，θ=1fgna1t101101010410510-1100101102103shF i（c）FGN+a1t，θ=0FGN+a1t，θ=1fgna101102103104105100101102shf i（d）FGN+a1t，θ=0FGN+a1t，θ=1fgna101102103104105100101102104shf i（e）FGN+a1t，θ=0FGN+a1fgna1t10-1010-810-6102103104H=0.1H=0.9（f）a1s×-10-7.-4.-1.-10-7.-4.-1αK，K（g）K=-1/(1 - H） k=-1/(1 - h） 50000 10000101102103104h=0.1H=0.9Ls×（h）-10-7.-4.-1.-10-7.-4.-1βK，K（i）K=-1/(1 - H） k=-1/(1 - h）图3。线性趋势对BDMA和FDMA算法的影响。（a-e）中的每条曲线代表了50次重复模拟的平均波动函数。（a） H=0.1的FGN的hF i的对数图被a=2.28×10的线性趋势污染-9.增量。（b）在H=0.3和a=7.53×10的情况下，hF i与s的对数图-9.（c）在H=0.7和a=3.95×10的情况下，hF i与s的对数图-8.（d）在H=0.7和a=1.21×10的情况下，hF i与s的对数图-7.（e）在H=0.9和a=4.45×10的情况下，hF i的对数图-7.（f）从BDMA方法获得的交叉尺度s×对不同Hu rst指数的线性系数的幂律依赖性，从0.1（左）到0.9（右）不等，步长为0.1。（g） s×的验证≈ A.-1/(1-H）在等式（42）中。

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可人4

2022-5-8 05:13:24

交叉指数α是（f）中的幂律指数，K=-1/(1 - H） k=-1/(1 - h），其中h是生成FGN的输入赫斯特指数，h是使用BDMA生成的FGN的估计赫斯特指数。（h）对于不同的赫斯特指数，从BDMA方法获得的交叉尺度s×对时间序列长度N的幂律依赖性，从0.1（底部）到0.9（顶部），步长为0.1。（i） s×的验证≈ N-1/(1-H）在等式（42）中。交叉指数β是（h）中的幂指数，K=-1/(1 - H） k=-1/(1 - h）。什么时候<< s×，函数与FGNs的函数重叠，Hurstindex H=0.1，显示为实心直线。什么时候>> s×，该函数与直线tr端的函数重叠良好，斜率为H=1，如虚线所示。我们分别给出了H=0.3和a=7.53×10的结果-9在图3b中，H=0.7，a=3.95×10-8在图3c中，对于H=0.7和a=1.21×10-7在图3 d中，对于H=0.9和a=4.45×10-7在图3e中。所有这些结果与公式（41）和公式（43）的预测一致，公式（41）和公式（43）具有相同的表达式。请注意，这两个表达式是公式（37）的近似值。BDMA和FDMA方法的FZ函数之间的差异约为2AL。这些结果表明，这种差异是可以忽略的，得出式（41）和式（43）的近似值是合理的。我们确定了不同H和avalues的交叉尺度s×值。图3f显示了s×作为不同H值的函数的依赖性。我们再次发现，对于固定的Aa，s×随H增加，而对于固定的H，s×减小。对于每一个H值，我们观察到一个良好的幂律关系：s×~ aα。

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nandehutu2022

2022-5-8 05:13:27

（49）我们确定不同H值的幂律指数α，并绘制K=-1/(1-H）对α和k=-1/(1-h）与图3g中的α相反。我们观察到所有的点都落在对角线K上≈ K≈ α、（50）H=0.9除外。等式（49）和（50）很好地验证了等式（42）。我们现在研究交叉尺度s×对时间序列长度N的依赖性。在图3h中，我们绘制了不同Hurst指数H和avalues的对数标度s×与N的关系图：a=7×10-8对于H=0.1，a=2×10-7对于H=0.2，a=4×10-7对于H=0.3，a=6×10-7对于H=0.4，a=1×10-6对于H=0.5，a=2×10-6对于H=0.6，a=3×10-6对于H=0.7，a=5.4×10-6对于H=0.8，a=6.4×10-6表示H=0.9。在我们的数值实验中，N的范围从50000到100000，步长为500。这个范围的确定不是任意的。如果我们包括更短的时间序列，比如N~ 10.我们有s×~ 103.3，大于N/10，因此无法在函数中检测到。如果我们包含更长的时间序列，比如N~ 10.我们有s×~ 101~2.很难识别。对于每一个H值，我们都观察到一个良好的幂律关系：s×~ Nβ。（51）H=0.9的幂律标度是最差的。当N为s mall（左部分）或大（右部分）时，交叉尺度为la rge或s mall，这使得识别非常困难，因为交叉点位于函数的端点附近。我们确定不同H值的幂律指数β，并绘制K=-1/ (1 - H）对抗β和k=-1/(1 - h）图3i中的β。我们观察到所有的点都落在对角线K上≈ K≈ β、（52）H=0.9除外。等式（51）和（52）很好地验证了等式（42）。六、

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可人4

2022-5-8 05:13:31

本文利用具有不同Hurs-t指数的分数高斯噪声（fgn），研究了多项式趋势对三种广泛使用的DMA方法的缩放行为和性能的影响，包括反向算法（BDMA）、中心算法（CDMA）和正向算法（FDMA）。我们推导了多项式趋势的一般框架，并获得了FGN中常数位移和线性趋势的分析结果。我们进行了大量的数值实验，证实了分析推导的正确性。我们首先考虑了FGN中的恒定变化。我们发现CDMA方法的行为不受恒定位移的影响。相比之下，当采用BDMA和FDMA方法时，恒定位移会导致函数中出现交叉s×交叉。交叉s×标度为常数位移的幂律，其随赫斯特指数H增加而增加，随常数位移a的强度而减少。然后，我们考虑了FGN中的线性趋势。我们发现，at的线性趋势会导致CDMA方法的函数发生交叉。交叉尺度s×是线性趋势强度Ao的幂律，它随Hurst指数H增加而增加，随线性tr端a的强度而减少。当应用BDMA和FDMA方法时，线性趋势也会导致函数的交叉。c rosover s×scales是线性趋势强度和时间序列长度产生的幂律，它随Hurst指数H增加而增加，随恒定位移强度A和线性趋势长度而减少。

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能者818

2022-5-8 05:13:33

有趣的是，当采用B DMA和FDMA方法时，较长的时间序列对线性趋势的抵抗力较小。当出现cros sover时，标度小于s×的函数的左半部分反映FGNs的行为，而标度大于s×的函数的右半部分受多项式趋势支配。我们的发现表明，Hurst指数较大的时间序列对多项式趋势的抵抗力更强，多项式趋势对BDMA和FDMA的影响相同。由于使用较大的交叉尺度将更容易估计固有的赫斯特指数，我们得出结论，CDMA方法在多项式趋势的存在方面优于BDMA和FDMA方法（参见图1a和图1e中的恒定位移，以及图2e和图3f中的线性tr端）。感谢中国国家自然科学基金会第11375064号拨款和中央大学基础研究基金的资助。[1] Sornette，D.《自然科学中的临界现象》（柏林斯普林格，2004年），第2版。[2] Taqqu，M.S.，Teverovsky，V.和Willinger，W.长期依赖的估计：一项实证研究。分形3785–798（1995）。[3] Montanari，A.，Taqqu，M.S.和Teverovsky，V.估计存在周期性的长期依赖性：一项实证研究。数学计算机。模型29, 217–228 (1999).[4] Audit，B.，Bacry，E.，Muzy，J.-F.&Arn\'eodo，A.基于小波的尺度行为估计。IEEE Trans。信息。理论482938-2954（2002）。[5] Delignieres，D.等人，《短时间序列的分形分析：对经典方法的重新评估》。J.数学。心理学。50,525–544 (2006).[6] 《分形与多重分形时间序列》。梅耶斯，R.A.（编辑）《复杂性与系统科学百科全书》，第LXXX卷，3754-3778页（柏林斯普林格，2009年）。[7] 赫斯特，H.E。

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大多数88

2022-5-8 05:13:37

水库的长期库容。跨。艾默尔。Soc。土木工程116770–808（1951）。[8] Mandelbrot，B.B.和Wallis，J.R.分数高斯噪声的计算机实验。第二部分，重新标度的范围和范围。水资源。第5242-259号决议（1969年）。[9] 霍尔施奈德，M.关于分形对象的小波变换。J.统计物理。50, 963–993 (1988).[10] Mu zy，J.F.，Bacry，E.和Arn\'eodo，A.奇异信号的小波和多重分形形式：对湍流数据的应用。菲斯。牧师。莱特。67, 3515–3518 (1991).[11] Bacry，E.，Mu zy，J.F.和Arn\'eodo，A.S.小波分析分形信号的奇异谱：精确结果。J.统计物理。70, 635–674 (1993).[12] Mu zy，J.F.，Bacry，E.&Arn\'eodo，A.分形信号的多重分形形式：结构函数方法与小波变换模极大值方法。菲斯。牧师。E 47875–884（1993年）。[13] Mu zy，J.F.，Bacry，E.和A rn\'eodo，A.用小波重新审视多重分形形式主义。内J.分叉。混沌4245–302（1994）。[14] Peng，C.-K.等人。DNA核苷酸的镶嵌组织。菲斯。牧师。E491685-1689（1994）。[15] Peng，C.-K.等。核苷酸序列的长程相关性。《自然》356168-170（1992）。[16] Alessio，E.，Carbone，A.，Castelli，G.和Frappietro，V.随机时间序列的二阶移动平均和标度。欧元。菲斯。J.B 27，197-200（2002年）。[17] Arianos，S.和Carbone，A.去趋势移动平均算法：标度律的闭合形式近似。Physica 382，9-15（2007）。[18] Carbone，A.去趋势移动平均算法：简要回顾。人类科学与技术（TIC-STH）IEEE 691–696（2009）。[19] N.Vandewalle和A usloos，M.两个移动平均值的交叉：测量粗糙度指数的方法。菲斯。牧师。E 586832–6834（1998年）。[20] 顾，G-F.和周，W-X。

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mingdashike22

2022-5-8 05:13:39

去趋势函数是对高维分形和多重分形的分析。菲斯。牧师。E 74061104（2006年）。[21]Carbone，A.估计高维分形赫斯特指数的算法。菲斯。牧师。E 76056703（2007）。[22]Alvarez Ramirez，J.，Echeveria，J.C.和Rodriguez，E.高维R/S方法在Hurst指数估计中的性能。Physica A 3876452–6462（2008）。[23]T–urk，C.，Carbone，A.和Chiaia，B.M.分形非均匀介质。菲斯。牧师。E 81026706（2010）。[24]Jun，W.C.，Oh，G.和Kim，S.用幅度互相关函数理解波动率相关性行为。菲斯。牧师。E 73066128（2006年）。[25]Podobnik，B.和Stanley，H.E.去趋势互相关分析：分析两个非平稳时间序列的新方法。菲斯。牧师。莱特。100, 084102 (2008).[26]侯志伟，W.-X.两个非平稳信号的多重分形去趋势互相关分析。菲斯。牧师。E 77066211（2008）。[27]Podobnik，B.，Horvatic，D.，Petersen，A.M.和Stanley，H.E.数量变化和价格变化之间的交叉相关性。过程。纳特尔。阿卡德。Sci。《美国法典》10622079–22084（2009年）。[28]Horvatic，D.，Stanley，H.E.和Podobnik，B.具有周期趋势的非平稳时间序列的去趋势互相关分析。EPL（Europhys.Lett.）94, 18007 (2011).[29]蒋，Z-Q.&周，W-X.多重分形去趋势移动平均互相关分析。菲斯。牧师。E 84016106（2011）。[30]Kristoufek，L.多重分形高度互相关分析：一种分析长期互相关的新方法。EPL（Europhys.Lett.）95, 68001 (2011).[31]Liu，Y.-M.三个非平稳时间序列的去趋势偏相关分析（华东理工大学，硕士论文，2014）。[32]元，N.-M.等。

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kedemingshi

2022-5-8 05:13:44

D et rended偏相关分析：一种分析复杂系统相关性的新方法。Sci。代表58143（2015年）。[33]钱，X.-Y.等人对受共同外力影响的两个非平稳时间序列进行了偏相关分析。菲斯。牧师。E提交（2015年）。Arx iv:1504.02435。[34]Kantelhardt，J.W.等人。非平稳时间序列的多重分形去趋势函数分析。Physica A 316，87–114（2002年）。[35]顾，G.-F.&周，W.-X.多重分形的去趋势移动平均算法。菲斯。牧师。E 82011136（2010）。[36]Makse，H.A.，Havlin，S.，Schwartz，M.和Stanley，H.E.大型系统产生长期相关性的方法。菲斯。牧师。E 535445–5449（1996年）。[37]Xu，L.M.等人。用幂律相关性对信号进行量化：去趋势函数分析和四阶移动平均技术的比较研究。菲斯。牧师。E 71051101（2005年）。[38]Bashan，A.，Bartsch，R.，Kantelhardt，J.W.和Havlin，S.对影响分析方法的比较。Physica A 3875080–5090（2008）。[39]戴维斯，R。B.和Harte，D.S.测试赫斯特效应。生物计量学74,95–101（1987）。[40]Serinaldi，F.应用于平稳和非平稳金融时间序列的一些Hurst参数估计的使用和误用。Physica A 3892770–2781（2010）。[41]Wood，A.T.A.和Chan，G.[0,1]d.J.计算机中平稳高斯过程的模拟。图表《统计》第3409-432页（1994年）。[42]Huang，Y.-X.等。具有标度统计的时间序列的任意阶希尔伯特谱分析：与去趋势函数分析和小波导频的比较研究。菲斯。牧师。E 84016208（2011）。[43]Bryce，R.M.和Sprague，K.B.重温去趋势波动分析。Sci。代表2315（2012年）。[44]邵永海、顾国富、蒋志强、周文强和索内特。

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何人来此

2022-5-8 05:13:48

通过不同的合成长程相关时间序列，比较FA、DFA和DMA的性能。Sci。代表2835（2012年）。[45]Kantelhardt，J.W.，Koscielny Bunde，E.，Rego，H.H.A.，Havlin，S.和Bund E，A.用去趋势波动分析检测长期相关性。Physica A 295441–454（2001年）。[46]胡克，伊万诺夫，P.C.，陈，Z.，卡皮纳，P.和斯坦利，H.E.趋势对去趋势波动分析的影响。菲斯。牧师。E 64011114（2001）。[47]Chen，Z.，Ivanov，P.C.，Hu，K.和Stanley，H.E.非平稳性对去趋势函数分析的影响。菲斯。牧师。E 65041107（2002年）。[48]Chen，Z.等。非线性滤波器对去趋势滤波分析的影响。菲斯。牧师。E 71011104（2005）。[49]Ma，Q.D.Y.，Bartsch，R.P.，Bernaola Galv\'an，P.，Yoneyama，M.和Ivanov，P.C.极端数据丢失对通过去趋势流动分析量化的长范围相关和反相关信号的影响。菲斯。牧师。E 81031101（2010）。[50]Song，J.&Shang，P.-J.线性和非线性滤波器对多重分形去趋势互相关分析的影响。分形19443–453（2011）。[51]Nagara jan，R.&Kavasseri，R.G.最小化周期性和准周期性趋势对趋势分析的影响。《混沌、孤子与分形》26777–784（2005）。[52]Nagara jan，R.和Kavasseri，R.G.在去趋势波动分析中最小化正弦趋势的影响。内J.分叉。混沌151767-1773（2005）。[53]Nagara jan，R.&Kavasseri，R.G.最小化趋势对长程相关噪声的去趋势扩散分析的影响。Physica A 354182–198（2005）。[54]Xu，N.，Shang，P.-J.&K amae，S.最小化去趋势波动分析中指数趋势的影响。混沌、孤子与分形41311–316（2009）。[55]尚宝杰、林阿杰和刘立军。

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能者818

2022-5-8 05:13:51

混沌奇异值分解法，用于在去趋势函数分析中最小化指数趋势的影响。Physica A 388720–726（2009）。[56]高，J.B.，胡，J.&董，W.W.通过非线性自适应滤波促进生物信号的联合混沌和分形分析。《公共科学图书馆综合》第6期，e24331（2011年）。[57]Lin，A.-J.&Shang，P.-J.通过应用拉普拉斯变换最小化周期趋势。分形19，203–211（2011）。[58]郝志强，X.-J.，尚，P.-J.，赵，C.，王，J.&陶，R.用经验模式分解最小化趋势对去趋势互相关分析的影响。混沌、孤子与分形45166–173（2012）。[59]Carbone，A.和Castelli，G.长期相关噪声信号的标度特性：金融市场的应用。《间谍诉讼汇编》511406-414（2003）。[60]Carbone，A.，Castelli，G.和Stanley，H.E.金融时间序列中的时间相关赫斯特指数。Physica A 344267–271（2004年）。[61]Carbone，A.&Stanley，H.E.从分数布朗路径中产生的定向自组织临界模式。Physica 340544–551（2004）。[62]Carbone，A.，Castelli，G.和Stanley，H.E.分析由长程相关时间序列的移动平均值形成的集群。菲斯。牧师。E 69026105（2004年）。[63]Abry，P.和Sellan，F.基于小波的分数布朗运动合成，由F.Sellan和Y.Meyer提出：备注和快速实现。阿普尔。公司。和谐肛门。3, 377–383 (1996).[64]Mandelbrot，B.B.《自然的分形几何》（W.H.Freeman，纽约，1983）。

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