我们有这个ξ*1，n+ε∈ Φu*nε足够小。我们来写，ξε（u）=ξ*1，n（u）+ε（u）。我们有Mξε=Mξ*1，与n，ξ*n（Mξ）*1，n，0）- aMξ*1，n=maxVn，ξε（Mξ）*1，n，0）- aMξ*1，n,式中ξε=（（x）*n、 y*n） ，ξε，ξ）。表示θ（ε）：=Vn，ξε（Mξ）*1，n，0）- aMξ*1，n.We在ξε（Mξ）处有th*1，n）=ξ*1，n（Mξ）*1，n）=0和ξε（u）*n） =ξ*1，n（u）*n） 所以我们可以用命题22，θ（ε）=e来写-(δ+λ)ξ*1，n（u）*n） ppδ+λ+δ+λHn-1（u）*n+ppξ*1，n（u）*n） ，ξ*1，n（u）*n） )- au*n+ZMξ*1、nu*不E-（δ+λ）ξε（w）p- 1.dw+pZξ*1，n（u）*n） 嗯-1(ξ-1ε（t）+ppt，t）e-（δ+λ）tpdt。显然，0=θ（ε）εε=0=pZMξ*1、nu*NxHn-1（w+ppξ）*1，n（w），ξ*1，n（w））- a（δ+λ）E-(δ+λ)ξ*1，n（w）p（w）dw。所以我们得到xHn-1（u+ppξ）*1，n（u），ξ*1，n（u））- a（δ+λ）E-(δ+λ)ξ*1，n（u）p=0表示ALU*N≤ U≤ Mξ*1，n。最后一个建议为我们提供了一种建设性的方法，在一步曲线策略的情况下找到VN的候选人。如果存在，我们通过数值计算得出方程的解Z（u）xHn-1（u+ppz（u），z（u））=a（δ+λ）*N≤ U≤ min{u:z（u）=0}和方程的解z（v）yHn-1（z（v），v+ppz（v））=a（δ+λ）for v*N≤ 五、≤ min{v:z（v）=0}。如果z（u）在Φu中*nand z（v）在Φvn中，我们定义ξ*1，n（u）=z（u）和ξ*2，n（v）=z（v），我们得到了值函数Vn，ξ*根据命题22给出的公式；这是我们的Vn候选人。然后，我们检查vn，ξ*nis是（36）的粘度上解；如果是这种情况，那么Vn=Vn，ξ*n、 在下一个命题中，我们陈述了（4）的最优策略是曲线策略的一些条件。这个结果，连同命题22和命题26，给出了一种找到最佳曲线（如果存在）的方法。

让我们首先定义序列的收敛标准ξnN≥1将在下一个命题中使用。定义27我们说ξn=（（xn，yn），ξ1，n，ξ2，n）收敛到ξ=（（x，y），ξ，ξ）iflimn→∞（xn，yn）=（x，y），limn→∞Mξi，n→ Mξifor i=1,2，limn→∞max[un，Mξ1，n]∩[u，Mξ]|ξ1，n（u）- ξ（u）|=0，limn→∞最大值[vn，Mξ2，n]∩[v，Mξ]|ξ2，n（v）- ξ（v）|=0，limn→∞最大值[0，ξ1，n（un）]∩[0，ξ（u）]ξ-11，北（西）- ξ-1（w）= 0和limn→∞最大值[0，ξ2，n（vn）]∩[0，ξ（v）]ξ-12，北（西）- ξ-1（w）= 0.命题28假设存在ξ*n确保Vn=Vn，ξ*n.全部≥ 1.如果ξ*n收敛到某个ξ*在定义27的意义上，最优值函数V是曲线策略Vξ的值函数*如（44）所述。证据从19号道具上看，我们找到了那个limn→∞Vn，ξ*n=V。所以用Vn，ξ代替Wby*与非门ξ乘ξ*在命题22和备注23中给出的公式中，我们得出V满足命题22和备注23中给出的公式，用ξ代替Wby V和ξ*. 因此，通过命题25和引理2，函数V和Vξ*重合9数值例子我们给出了一个对称和等权情况下的数值例子，索赔额呈指数分布。通过备注20，我们将最优曲线策略的搜索限制为ξ=（（x，x），ξ，ξ），ξ∈ Φ. 利用命题22和26中给出的公式，我们得到了函数ξ*N∈ Φ，我们在数值上检查ξ*n=（（x）*n、 x*n） ，ξ*n、 ξ*n） 关联值函数Vn，ξ*nis是粘度为（36）的溶液。我们还得到了ξ的数值收敛性*根据定义27，ntoξ。然后，利用命题28，我们可以得出最优策略是曲线ξ的曲线策略*.数值计算是用Mathematica软件完成的，计算相当耗时。

具体选择的参数为：指数索赔规模分布，参数为3，泊松强度λ=λ=20/9，保险费率p=p=1，折扣系数δ=0.1。在这个数字过程中，我们使用了步长x=y=0.002，迭代60次。图9.1和V（x，y）给出了由此产生的最佳曲线策略- （x+y）/2（最佳股息策略对立即支付初始资本的改善）如图9.2中的上曲线所示。对于这个数值例子，我们还比较了最优值函数V（x，y）与没有合作的独立值函数之和（相对加权）：VS（x，y）=V（x）+V（y）和VM（x+y）/2，其中VM是两家公司合并的最优值函数。图9.2描述了所有三个值函数V（x，y）、VS（x，y）和vm（x+y）/2的图形，每个值函数都减少了（x+y）/2。最佳合并策略为barrier with barrier b=2.77。通过备注1，VM（x+y）/2<V（x，y）表示所有（x，y）∈ R+。人们看到，对于独立案例和合并之间的比较，初始盈余水平很重要（合并案例是（0，0）中三个值函数中的最低值），对于初始盈余水平的所有组合，合作案例的表现不仅优于合并案例，而且也优于独立案例（即，如果一个案例衡量了通过任何一种行为都可以实现的总体股息支付，因为这种数字扩张合作总是可以实现的）。因此，我们这里有一个例子，合作不仅有利于安全方面，而且也有利于集体利益。C*B1*B2*A1*A2*A0*B0*0.51.01.52.0x0。51.01.52.0Y图9.1：最佳曲线策略图9.2:V（x，y）-x+yvs。VS（x，y）-x+yvs。VM（x+y）-x+Y参考文献[1]H.阿尔布雷彻和V.劳森。

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