两个合作保险公司的最优分红策略

2022-5-8 05:22:08

两个合作保险公司的最优分红策略*, Pablo Azcue+和Nora Muler+摘要我们考虑两个具有复合泊松盈余过程的保险公司的二维最优红利问题，他们在可能的情况下通过支付彼此的红利进行合作。通过推广单变量最优控制理论的结果，我们解决了最大化预期贴现股息支付（在所有可接受的股息策略中）的加权和直到两家公司破产的随机控制问题。在两个公司支付的被分割的ds权重相等的情况下，该问题的价值函数与两个公司完全合并的价值函数相比是有利的。我们将此最优值函数确定为相应Hamilton-Jacob i-Bellman方程的最小粘度上解，并提供一种迭代方法来数值逼近它。曲线策略被认为是二维环境中障碍策略的自然类似物。本文给出了一个数值例子，在所有可接受的股利策略中，这种曲线策略确实是最优的，而且这种合作机制也优于两个独立公司的适当加权最优股利策略。1简介自从de Finetti[14]在1957年提出通过在投资组合的生命周期内支付的预期股息贴现总额来衡量保险投资组合的价值以来，确定使该数量最大化的最佳股息支付策略一直是人们特别感兴趣的问题。更重要的是，多年来，这一领域的研究结合了分析、概率和随机控制的工具，成为一个具有挑战性和迷人的领域。

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2022-5-8 05:22:11

1969年，Gerber[15]sh认为，如果一个投资组合的自由盈余是由复合和泊松风险模型建模的，那么根据所谓的bandstrategy支付股息是最优的，该bandstrategy崩溃为指数分布索赔金额的屏障策略。Gerber是通过对相关的离散问题进行限制来发现这个结果的，而这个最优红利问题是用现代随机控制理论的技术在Zcue and d Muler[7]中研究的，详情参见例如Schmidli[21]。从那时起，针对许多不同的模型设置、目标函数和侧约束研究了最优红利问题（关于该主题的调查，我们参考了Albrecher和Thonhauser[2]以及Avan zi[4]）。当投资组合的盈余水平高于b时，带有障碍b的障碍策略会支付股息，因此盈余水平保持在b，并且在障碍b以下不支付股息。目前，障碍策略最佳的最一般标准可以在Loeffen和Renaud[19]中找到。[23]研究了当包括破产时间价值时，以及当包括股东注资时，障碍策略的最优性*洛桑大学商业与经济学院精算学系，CH-1015洛桑和瑞士金融研究所。由瑞士国家科学基金项目200020143889资助。+泰拉托尔库托大学马蒂马蒂斯分校。Av。阿根廷布宜诺斯艾利斯城市菲格罗亚阿尔科塔7350（C1428BIJ）。在库伦科和施密德利[18]。所有这些控制问题都是在一维框架下制定和研究的。然而，近年来，人们对同时考虑多个相关保险组合的动态的风险理论越来越感兴趣，参见Asmussen and Albrecher[3，第十三章9]的概述。

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2022-5-8 05:22:14

Avram等人[5,6]研究了二维风险过程的破产概率表达式，研究了同时索赔到达和比例索赔规模，最近Badila等人[11]和Ivanovs和Boxma[17]在更一般的框架中进行了研究。在Azcue和Muler[8]中，考虑了在交易成本存在的情况下，两个投资组合之间最优转移资本的问题，另见Bad escu等人[10]。Czarna和Palmowski[13]研究了两家保险公司的股息问题和冲动控制，这两家公司按照特定股息策略的特定比例分担索赔和保费。事实证明，这些多维问题虽然在实践中具有高度相关性，但很快就会变得非常复杂，如果没有非常有力的假设，通常无法获得明确的解决方案。在本文中，我们希望将最优股利问题从非变量风险理论扩展到两个合作公司的二维模型。合作包括支付合作伙伴公司的亏损（“纾困”），前提是其盈余为负，并且该财务帮助可以与当前自身的盈余水平挂钩。我们解决了最大化预期贴现股息支付的加权和直到两家公司破产的问题。在这种情况下，一个自然的问题是，这种合作程序是否有利于两家公司的完全合并；我们将证明，当两家公司支付的股息权重相等时，情况就是如此。关于合并比将两家独立公司置于预先定义的壁垒战略和边际差异化流程下更有利的标准，参见Gerber和Shiu[16]，关于其他预先定义的风险和利益共享安排的绩效，参见。

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2022-5-8 05:22:18

Albrecher和Lautscham[1]。然而，我们的目标是解决在这个合作框架下为每家公司确定最优分红策略（在所有可接受的分红策略中）的一般问题。这就引出了一个完全二维的随机控制问题，以及最优单变量障碍策略在二维中的自然相似性是什么的问题。本文中实施的合作的特殊结构并不重要，因此这些技术也可能适用于其他风险分担机制。然而，具体规范允许通过示例明确地对库存控制问题进行必要的分析。论文的其余部分组织如下。在第二节中，我们详细介绍了模型和随机控制问题，并证明了相应的值函数V的一些简单性质。在第三节中，我们证明了V是独立剩余过程对应的哈密顿-雅可比-贝尔曼方程的粘性解，在第四节中，我们证明了V实际上是它的最小粘性上解。第5P节提供了一种迭代方法来近似值函数V，以及每个迭代步骤的类似验证步骤。第6节讨论了我们模型中出现的固定红利策略，第7节我们建立了曲线策略作为单变量障碍策略的适当类似物。最后，第8节展示了如何构造性地搜索最优曲线策略，第9节给出了索赔额呈指数分布的对称（和等重）情况的一个显式数值例子，对于这种情况，这种策略在所有可容许的二元分红策略中确实是最优的。

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2022-5-8 05:22:21

然后还表明，在这种情况下，拟议的合作类型是指添加尽可能最好的独立利益。2模型我们考虑两家保险公司，第一公司和第二公司，它们同意合作。让我们把第一公司的自由盈余称为XT，把第二公司的自由盈余称为YT。我们假设每个公司的自由盈余都遵循一个克拉姆-厄伦堡过程，即一个复合泊松过程，其漂移由（1）（Xt=x+pt）给出-PNti=1U（1）iYt=y+pt-PNti=1U（2）i，其中x和y分别为初始盈余水平；并对各自的价格进行比较；U（k）是k公司第i次索赔的规模，是k=1,2的连续分布的i.i.d.随机变量；n和n分别是强度为λ和λ的泊松过程。这里我们假设过程Nt，n和随机变量U（1）i，U（2）都是相互独立的，并且pj>λjE（U（j）i），j=1，2。这两家公司签署了一条合作规则：如果一号公司的当前盈余为负，二号公司应该弥补一号公司的确切亏损，只要它不自毁，反之亦然。因此，当一家公司的盈余变为负值，而另一家公司无法弥补这一不足时，就会产生公司的收益。图1.1显示了该协作规则下的模拟盈余轨迹。两个人帮一个人帮两个人毁了公司。奥纽因公司。TwoHx，yL-2-1-2-1图。1.1：合作规则下的剩余流程。两家公司都用部分盈余向股东支付股息。分期付款策略=它，它是截至t时两家公司支付的股息总额。我们称τk为k公司第i次索赔的到达时间，k=1，2。

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2022-5-8 05:22:25

我们定义了相关的受控过程XLt，YLt初始盈余水平（x，y）为（2）（XLt=Xt）- Lt+C2,1t- C1,2tYLt=Yt- Lt+C1,2t- C2,1t，其中C2,1t=NtXi=1I（XLτi<0，YLτi+XLτi≥0)XLτi对应于截至时间t从二号公司转移到一号公司的累计金额，以弥补一号公司和C1,2t=NtXi=1I（YLτi<0，YLτi+XLτi≥0)YLτi对应于截至时间t从一号公司转移到二号公司的累计金额，以弥补二号公司的亏损。更准确地说，我们将τ称为只有一家公司仍然存在的时间（因为它不能覆盖另一家公司的损失），即（3）τ=infnt≥ 0:XLt+YLt<0o。过程XLt，YLt定义为t≤τ. 我们说股息支付策略=它，它T≤如果τ是非递减的，c`agl`ad（左连续右极限），可预测二元过程（Xt，Yt）产生的过滤，且满足，则τ是可接受的书信电报≤ Xt+C2,1t- C1，2t，Lt≤ Yt+C1,2t- C2,1t。最后一个条件意味着，公司支付的股息不得超过其当前盈余。让我们称R+为第一象限。我们用∏x表示初始剩余水平（x，y）的可容许ledividend策略集∈ R+。我们的目标是最大化两家公司支付的预期贴现股息的加权平均数，直到两家公司破产。请注意，在时间τ之后，幸存的公司可以继续向自己的破产支付股息。让我们将Vk（k=1，2）定义为一维问题的最优值函数，即最大化预期贴现股息直到公司破产。

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2022-5-8 05:22:28

因此，对于任何初始盈余水平（x，y）∈ R+，我们可以把最优值函数写为（4）V（x，y）=supL∈πx，yVL（x，y），其中（5）VL（x，y）=Ex，yA.τRe-δsdLs+e-ΔτV（XLτ）+ A.τRe-δsdLs+e-ΔτV（YLτ）.这里，δ>0是一个常数贴现因子，而∈ [0,1]和a=1- A公司一和公司二分别支付的股息的重量。函数Vk（k=1，2）在(-∞, 所以取决于哪个公司在τ破产，V（Xτ）=0或V（Yτ）=0。从持股人的角度来看，对应于（4）的最优股息支付策略可以被视为最佳股息支付策略，持股人在公司1的总股份中占一定比例，在公司2的总股份中占一定比例，持股时间约为0<m≤ min{1/a，1/a}。一个重要的特殊情况是a=a=1/2，在这种情况下，两个公司支付的股息权重相等（关于在单变量股息背景下对目标函数中的单独项进行加权的较早示例，请参见Radner和Shepp[20]）。注1：如果两家公司由同一股东所有，两家公司之间的另一种合作可能是合并，在这种情况下，两家公司将其所有盈余放在一起，支付两家公司的索赔，并支付截至时间τ的股息，此时合并盈余变为负值（参见例如Gerber和Shiu[16]）。给定初始盈余水平（x，y），我们可以解释任何可接受的股息支付策略（Lt）t≥0对于合并，可允许的合作协议如下Lt=tRXLtXLt+YLtdLt，Lt=tRYLtXLt+YLtdLt。因为t是常数≥ τ=τ，存续公司不支付任何股息。因此，在（5）中定义了a=a=1/2，满足2vl（x，y）>2Ex，yτRe-δsdLs+τRe-δsdLs= Ex+y（τRe）-δsdLs）。最后一个期望值是合并股利策略（Lt）t的价值函数≥0

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2022-5-8 05:22:31

我们得出的结论是，对于同等权重的股息支付，最优合作策略优于最优合并策略。与独立公司对应的最优值函数和V最终都与斜率1呈线性增长，它们是Lipschitz，参见立场Azcue和Muler[7]。让我们陈述一些关于（4）中定义的最优值函数的正则性和增长性的基本结果。从现在开始，我们把λ：=λ+λ和p:=ap+ap。引理2：最优值函数定义良好，满足X+ay+pδ+λ≤ V（x，y）≤ 所有（x，y）的ax+ay+pδ∈ R+。证据让我们首先证明第二个不等式。注意，当泊松度λ和λ减小时，V（x，y）增大，但对于参数λ=λ=0的问题，最优值函数为isax+ay+Z∞E-δspds=ax+ay+pδ，对应于战略的价值函数，在该函数中，每家公司立即支付初始盈余，然后作为股息永远支付即将到来的溢价。为了得到第一个不等式，考虑可容许策略=它，它其中，每家公司立即支付初始盈余，然后在与第一次索赔到达时间τ=τ一致的时间τ支付进货溢价∧ τ; 我们有，V（x，y）≥ VL（x，y）≥ ax+ay+Ex，yτRe-δspds= ax+ay+pδ+λ。引理3：最优值函数V是递增的，局部是Lipschitz，满足任何（x，y）∈ R+，啊≤ V（x+h，y）- V（x，y）≤ （e（δ+λ）h/p- 1） V（x，y）和≤ V（x，y+h）- V（x，y）≤ （e（δ+λ）h/p- 1） V（x，y）表示任何h>0。证据让我们证明顶部的不等式，底部的不等式是相似的。如果ε>0，则采用可接受的策略∈ πx，y等于VL（x，y）≥ V（x，y）- ε. 我们定义了战略∈ πx+h，y对于h>0，如下所示：立即从公司1的盈余中支付h作为股息，然后遵循策略。

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2022-5-8 05:22:34

我们有VL（x+h，y）=VL（x，y）+a和so（6）V（x+h，y）≥ VL（x，y）+ah>V（x，y）+ah- ε.再考虑一个可接受的策略∈ 在V（x+h，y）处的∏x+h，ysuch th≥ VL（x+h，y）-ε并确定可接受的策略∈ 从盈余（x，y）开始的∏x，y不支付任何股息，直到∧τ=infnt≥ 0:XLt≥ x+h，YLt≥ yo，在时间＠τ支付XLt中的任何一个- （x+h）任何一个或YLt公司的盈余- 根据这些差异中的哪一个是正面的，然后遵循策略∈ πx+h，y.在没有索赔的情况下，τ=t:=h/p；从诺克莱姆的概率直到e-λt，我们得到（7）V（x，y）≥ VL（x，y）≥ VL（x+h，y）e-（δ+λ）t≥ （V（x+h，y）- ε） e-（δ+λ）t。从（6）和（7）中，我们得到了顶部的不等式。3汉密尔顿-雅可比-贝尔曼方程为了得到与优化问题（4）相关的汉密尔顿-雅可比-贝尔曼（HJB）方程，我们需要说明所谓的动态规划原理（DPP）。

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2022-5-8 05:22:37

这一证明与Azcue和Muler[9]引理1.2中给出的证明相似，并使用V在R+中递增且连续的证明。引理4对于R+中的任何初始盈余（x，y）和任何停止时间τ，我们可以写出ev（x，y）=supL∈πx，y（Ex，y（aτ）∧τRe-δsdLs+aτ∧τRe-δsdLs+e-δ(τ ∧τ） I{τ∧τ<τ>V（XLτ）∧τ、 YLτ∧τ） +e-δ(τ ∧τ） I{τ∧τ=τ}（aV（XLτ）+aV（YLτ）））。这个优化问题的HJB方程是（8）max{L（V）（x，y），a- Vx（x，y），a- Vy（x，y）}=0，其中（9）L（V）（x，y）=Vx（x，y）p+Vy（x，y）p- （δ+λ）V（x，y）+I（V）（x，y）+U（x，y），I（V）（x，y）=λRxV（x- α、 y）dF（α）+λRx+yxV（0，x+y）- α） dF（α）+λRyV（x，y）- α） dF（α）+λRx+yyV（x+y）- α、 0）dF（α）和（10）U（x，y）=λaV（y）（1）- F（x+y））+λaV（x）（1）- F（x+y））。由于最优值函数V是局部Lipschitz函数，但在某些点上可能不可微，我们不能说V是HJB方程的解，而是证明了V是相应HJB方程的粘性解。让我们来定义这个概念（有关更多细节，请参见Crandell and Lion s[12]和Soner[22]）。定义5局部Lipschitz函数u:R+→ R是（x，y）处（8）的粘度上解∈ R+如果有连续可微分函数：R+→ R加上φ（x，y）=u（x，y），使得u- 在（x，y）满足最大值{L（ν）（x，y），a- ~nx（x，y），a- ~ny（x，y）}≤ 0.函数u:R+→ R是（x，y）处（8）的粘度亚溶液∈ R+如果有连续可微函数ψ：R+→ R随ψ（x，y）=u（x，y），使得u-ψ达到最大（x，y）满足极大值{L（ψ）（x，y），a- ψx（x，y），a- ψy（x，y）}≥ 0.函数u:R+→ R是（x，y）的上解和下解∈ R+称为（8）在（x，y）处的粘度溶液∈ R+。命题6V是HJB方程（8）在x>0和y>0的任意（x，y）处的粘性上解。证据

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2022-5-8 05:22:41

初始盈余水平x>0，y>0和任意l≥ 0，l≥ 0，让我们考虑允许的策略L，其中公司1和公司2分别以固定利率支付股息，τ的定义如（3）所示。设φ为（8）在（x，y）处的上解的检验函数，其中x>0且y>0。如前所述，将τ和τ分别表示为公司一和公司二的FirstClaim的到达时间，τ=τ∧ τ. 对于t<τ，（XLt=x+（p- l） t，YLt=y+（p- l） t.注意，Nt+NTI是强度为λ的泊松过程，因为两家公司的到达时间是独立的。我们从引理4中得到了，φ（x，y）=V（x，y）≥ Ex，y（aRτ）∧te-δslds+aRτ∧te-δslds）+Ex，yE-δ (τ∧t） I{τ∧t<τ}V（XLτ∧t、 YLτ∧t） )+前，后E-ΔτI{τ∧t=τ}（aV（XLτ）+aV（YLτ））≥ Ex，y（aRτ）∧te-δslds+aRτ∧te-δslds）+Ex，yE-δ (τ∧t） ψ（XLτ）∧t、 YLτ∧t） I{τ∧t<τ}+前，后E-ΔτI{τ∧t=τ}（aV（XLτ）+aV（YLτ））.我们可以写X，yE-δ (τ∧t） ψ（XLτ）∧t、 YLτ∧t） I{τ∧t<τ}= Ex，y（I{t<τ}e）-δtа（XLτ）∧t、 YLτ∧t））+Ex，y（I{τ=τ）∧t<τ且τ=τ}e-Δτ~n（XLτ，YLτ））+Ex，y（I{τ=τ）∧t<τ且τ=τ}e-Δτ~n（XLτ，YLτ））。所以我们得到了0≥ 极限→0+Ex，yaRτ∧te-δslds+aRτ∧te-δsldst+ 极限→0+e-（λ+δ）t~n（x+（p-l） t，y+（p-l）（t）-ν（x，y）t+limt→0+Ex，yI{τ=τ∧t<τ且τ=τ}e-Δτ~n（XLτ，YLτ）t！+极限→0+Ex，yI{τ=τ∧t<τ且τ=τ}e-Δτ~n（XLτ，YLτ）t！+极限→0+Ex，yE-ΔτI{τ∧t=τ}（aV（XLτ）+aV（YLτ））t= 铝+铝- （δ+λ）~n（x，y）+（p- l） νx（x，y）+（p- l） y（x，y）+I（）（x，y）+U（x，y）。因此，0≥ L（~n）（x，y）+L（a）- νx（x，y））+l（a- ~ny（x，y））。取l=l=0，l→ ∞ l=0，l→ ∞ 当l=0时，我们得到max{l（φ）（x，y），a- ~nx（x，y），a- ~ny（x，y）}≤ 0命题7V是HJB方程（8）的粘性子解。证据通过矛盾的论证，我们假设V不是（8）在（x，y）处x>0和y>0的子解。

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2022-5-8 05:22:44

通过类似于Azcue and Muler（2014）命题3.1的证明，但将定义扩展到两个变量，我们首先表明存在ε>0，h∈ （0，min{x/2，y/2}）与连续可微函数ψ：R+→ 因此，ψ是方程（8）在（x，y）和满足（11）ψx（x，y）下解的检验函数≥ a、 ψy（x，y）≥ afor（x，y）∈ [0，x+h]×[0，y+h]，（12）L（ψ）（x，y）≤ -（x，y）的2εδ∈ [x]- h、 x+h]×[y- h、 y+h]和（13）V（x，y）≤ ψ（x，y）- （x，y）的2ε∈ R+\\（x）- h/2，x+h/2）×y- h/2，y+h/2）。由于ψ是连续可微的，我们可以找到一个正常数C，使得（14）L（ψ）（x，y）≤ Cfor all（x，y）∈ [0，x+2h]×[0，y+2h]。考虑0<θ<h2 max{p，p}，λ4δ（δ+λ），ελ2C（δ+λ）,让我们采取任何可以接受的策略∈ πx，y.考虑从（x，y）开始的相应可控风险过程（Xt，Yt），并确定停止时间τb=inf{t>0:（Xt，Yt）∈ （[x- h、 x+h]×[y- h、 y+h]），τ=inf{t>0：（Xt，Yt）∈ R+- [x]- h、 x+h]×[y- h、 y+h]}和τ*= τb∧ (τ + θ) ∧ τ. 注意τ*h足够小，有必要引入θ，因为在一次性股息支付之前，（Xτ，Yτ）可以在[X]中- h、 x+h]×[y- h、 y+h]和（Xτ，yτ）∈ R+- [x]- h、 x+h]×[y- h、 y+h]。让我们证明（15）V（Xτ）*, Yτ*) ≤ ψ（Xτ）*, Yτ*) - 2εifτ*= τb∧ (τ+ θ) < τ.

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2022-5-8 05:22:48

有两种可能性：（1）如果τ*= τb，（Xτ*, Yτ*) ∈ （[x- h、 x+h]×[y- h、因此，从（13）中，我们得到V（Xτ）*, Yτ*) ≤ ψ（Xτ）*, Yτ*) - 2ε，（2）如果τ*= τ+θ，距离（Xτ）*, Yτ*) to（x，y）至少是h/2≥ H-max{p，p}θ，从（13）中，我们得到（15）。注意（Xs）-, Y-) ∈ [0，x+h+pθ]×[0，y+h+pθ] [0，x+2h]×[0，y+2h]≤ τ*, 所以我们得到了l（ψ）（Xs）-, Y-) ≤ C代表s≤ τ*.由于i=1,2时的Lit是非递减的，且是左连续的，因此可以写成（16）Lit=ZtdLi，cs+XXs+6=Xss<t（Lis+- Li），其中Li，csi是一个连续的非递减函数。由于函数ψ在R+中是连续可微的，使用表达式（16）和变量公式计算微分过程，我们可以写出ψ（Xτ*, Yτ*)E-δτ*- ψ（x，y）=Rτ*（pψx（Xs）-, Y-) + pψy（Xs）-, Y-)) E-δsds+PXs-6=Xss≤τ*（ψ（Xs，Ys）- ψ（Xs）-, Y-)) E-δs+PYs-6=Yss≤τ*（ψ（Xs，Ys）- ψ（Xs）-, Y-)) E-δs-Rτ*ψx（Xs）-, Y-)E-δsdL1，cs+PXs+6=Xss<τ*（ψ（Xs+，Ys+）- ψ（Xs，Ys））e-δs-Rτ*ψy（Xs）-, Y-)E-δsdL2，cs+PYs+6=Yss<τ*（ψ（Xs+，Ys+）- ψ（Xs，Ys））e-δs-δRτ*ψ（Xs）-, Y-)E-δsds。注意（Xs，Ys）∈ R+代表s≤ τ*除了τ*=τ、其中Xτ*+ Yτ*< 0.这里我们将ψ的定义扩展为ψ（x，y）=aV（x）Ix≥0+aV（y）Iy≥0表示x+y<0。我们只在Ls的跳跃处有Xs+6=Xs，在这个例子中是Xs+- Xs=-Ls+- Ls. SinceL是可容许的，我们有Xs+=Xs-Ls+- Ls≥ 0

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2022-5-8 05:22:53

我们可以写作（17）-Rτ*ψx（Xs）-, Y-)E-δsdL1，cs+PXs+6=Xss<τ*（ψ（Xs+，Ys+）- ψ（Xs，Ys））e-δs=-Rτ*ψx（Xs）-, Y-)E-δsdL1，cs+PXs+6=Xss<τ*RLs+-Lsψx（Xs）- α、 Ys）dαE-δs≤ -Rτ*ae-δsdL1，cs- aPLs+6=Lss<τ*RLs+-LsdαE-δs=-aRτ*E-δsdLs。同样地，（18）-Rτ*ψx（Xs）-, Y-)E-δsdL2，cs+PXs+6=Xss<τ*（ψ（Xs+，Ys+）- ψ（Xs，Ys））e-δs=-Rτ*ψx（Xs）-, Y-)E-δsdL2，cs-PLs+6=Lss<τ*RLs+-Lsψx（Xs，Ys）- α） dαE-δs≤ -aRτ*E-δsdLs。另一方面，Xs6=Xs-仅在一号公司提出索赔时，因此（19）Mt=PXs-6=Xss≤t（ψ（Xs，Ys）- ψ（Xs）-, Y-)) E-δs-λRte-δsRXs-（ψ（Xs）-- α、 Y-) - ψ（Xs）-, Y-)) dF（α）ds-λRte-δsRXs-+Y-Xs-（ψ（0，Xs）-+ Y-- α) - ψ（Xs）-, Y-)) dF（α）ds-λRte-δsR∞Xs-+Y-aV（Y）-) - ψ（Xs）-, Y-)dF（α）dst是t的零期望鞅≤τ. 类似地，（20）Mt=PYs-6=Yss≤t（ψ（Xs，Ys）- ψ（Xs）-, Y-)) E-δs-λRte-δsRYs-（ψ（Xs）-, Y-- α) - ψ（Xs）-, Y-)) dF（α）ds-λRte-δsRXs-+Y-Xs-（ψ（Xs）-+ Y-- α, 0) - ψ（Xs）-, Y-)) dF（α）ds-λRte-δsR∞Xs-+Y-aV（Y）-) - ψ（Xs）-, Y-)dF（α）也是一个对t的期望为零的鞅≤τ. 我们得到（21）ψ（Xτ）*, Yτ*)E-δτ*- ψ（x，y）≤Rτ*L（ψ）（Xs）-, Y-)E-δs+Mτ*+ Mτ*-aRτ*E-δsdLs- aRτ*E-δsdLs。利用（12）、（14）的第二个不等式和θ的定义，我们得到（22）Rτ*L（ψ）（Xs）-, Y-)E-δsds≤Rτb∧τ∧τL（ψ）（Xs）-, Y-)E-δsds+Cθ≤ -2εδRτb∧τ∧τe-δsds+Cθ≤ -2εδRτ*E-δsds+Iτb∧τ∧τ<τ*2εδRτ*τb∧τ∧τe-δsds+Cθ≤ -2ε(1 - E-δτ*) + ελ/ (δ + λ) .由引理4，（15），（21）和（22）可知，（23）V（x，y）=supL（Ex0，y（aRτ*E-δsdLs+aRτ*E-δsdLs+e-δτ*V（Xτ）*, Yτ*)Iτ*<τ+aV（XLτ）+aV（YLτ）E-δτ*Iτ*=τ))≤ supL（Ex0，y（aRτ）*E-δsdLs+aRτ*E-δsdLs+e-δτ*（ψ（Xτ）*, Yτ*) - 2ε）Iτ*<τ+aV（XLτ）+aV（YLτ）E-δτ*Iτ*=τ))≤ 苏普莱克斯，yRτ*L（ψ）（Xs）-, Y-)E-δsds+Mτ* + Mτ* - 2εe-δτ*Iτ*<τ+ψ（x，y）≤ ψ（x，y）- ελ/（δ+λ）<ψ（x，y），这与V（x，y）=ψ（x，y）的假设相矛盾。

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mingdashike22

2022-5-8 05:22:55

根据以上两个命题，我们得到以下结果。推论8V是HJB方程（8）的粘性解。4最小粘性解现在让我们证明最优值函数V是（8）的最小粘性上解。我们说函数u:R+→ R满足生长条件A.1，ifu（x，y）≤ K+ax+ay代表所有人（x，y）∈ R+。下面的引理是技术性的，将用于证明命题10。引理9固定x>0和y>0，并设u为（8）满足增长条件a.1的非负上解。我们可以找到一个正函数序列sum:R+→ 例如：（a）umis持续可区分。（b）满足生长条件A.1。（c） p≤ pum，x+pum，y≤ （δ+λ）umin R+。（d） R+和R+中紧集上的umu统一形式融合到u.a.e.在R+。（e）存在一个与limm相关的序列→∞cm=0，即sup（x，y）∈AL（um）（x，y）≤ cm，其中A=[0，x]×[0，y]。证据该证明遵循标准卷积参数，是Azcue an Muler[9]中引理4.1的两个变量的扩展。命题10最优值函数V是（8）满足生长条件A.1的最小粘度上解。证据Letu是（8）满足增长条件a.1和letL的非负上解∈ ∏x，y；定义（Xt，Yt）为从（x，y）开始的相应受控风险流程。考虑引理9在R+中的作用；我们将这个函数扩展为asum（x，y）=aV（x）Ix≥0+aV（y）Iy≥0表示x+y<0。在命题7的证明中，我们得到（24）um（Xt）∧τ、 Yt∧τ） e-δ（t）∧τ)-嗯（x，y）≤Rt∧τL（um）（Xs）-, Y-)E-δsds- 艺术∧τe-δsdLs- 艺术∧τe-δsdLs+Mt∧τ+Mt∧τ、其中m和m是零期望鞅。

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2022-5-8 05:22:58

所以我们得到了这个（Xt）∧τ、 Yt∧τ） e-δ（t）∧τ） Iτ>t-嗯（x，y）≤Rt∧τL（um）（Xs）-, Y-)E-δsds+Mt∧τ+Mt∧τ-A.Rt∧τe-δsdLs+e-δ（t）∧τ） V（Xt）∧τ） Iτ≤T-A.Rt∧τe-δsdLs+e-δ（t）∧τ） V（Yt）∧τ） Iτ≤T.利用LTT和LTT都是非递减过程，从单调收敛定理得到（25）limt→∞（例如，y（a）Rt∧τe-δsdLs+e-δ（t）∧τ） V（Xt）∧τ） Iτ≤T+A.Rt∧τe-δsdLs+e-δ（t）∧τ） V（Yt）∧τ） Iτ≤T))= VL（x，y）。从引理9（c），我们有-（δ+λ）um（x，y）≤ L（嗯）（x，y）≤ λum（x，y）+U（x，y）。但是使用引理9（b）和不等式Xs≤ x+ps，Ys≤ y+ps我们得到（26）um（Xs，Ys）≤ K+aXs+aYs≤ K+ax+ay+ps。利用有界收敛定理，我们得到了（27）limt→∞前，后Zt∧τL（um）（Xs）-, Y-)E-δsds= 前，后ZτL（um）（Xs）-, Y-)E-δsds.从（24），（25）和（27），我们得到（28）极限→∞前，后嗯（Xt）∧τ、 Yt∧τ） e-δ（t）∧τ） Iτ<t-嗯（x，y）≤ 前，后ZτL（um）（Xs）-, Y-)E-δsds-VL（x，y）。接下来，我们展示（29）limt→∞前，后嗯（Xt）∧τ、 Yt∧τ） e-δ（t）∧τ） Iτ>t= 从（26）开始，存在这样的aK:嗯（Xt）∧τ、 Yt∧τ） e-δ（t）∧τ） Iτ>t≤K+ax+ay+ptE-δt.由于最后一个表达式变为0，随着t变为单位，我们得到了（29）。现在让我们证明→∞前，后ZτL（um）（Xs）-, Y-)E-δsds≤ 0.给定任何ε>0，我们可以找到（31）Z∞TL（um）（Xs）-, Y-)E-任意m的δsds<ε≥ 1，由于（26）、生长条件A.1、引理9（b）和引理9（c）以及Vand V的生长性质，存在正常数k，k，kandp，因此L（um）（Xs-, Y-) ≤ λum（Xs）-, Y-) + U（Xs）-, Y-)≤ k+kx+ky+ps。注意，对于s≤ T，Xs-≤ x:=x+pT，Ys-≤ y:=y+pT。从引理9（e）中，我们可以找到足够大的m，使得对于任何m≥ mZTL（um）（Xs）-, Y-)E-δsds≤ 中兴通讯-δsds≤厘米δ≤ε，我们得到（30）。然后，使用（29）和（30）从（28）和d中，我们得到（32）u（x，y）=limm→∞嗯（x，y）≥ VL（x，y）。由于V是（8）的粘度溶液，结果如下。

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2022-5-8 05:23:02

根据之前的位置，我们可以推断出通常的粘度验证结果。推论11考虑一系列可容许策略{Lx，y∈ πx，y：（x，y）∈ R+}。如果函数VLx，y（x，y）是所有（x，y）的（8）粘性上解∈ R+，然后VLx，y（x，y）是最优价值函数（4）。5迭代法在本节中，我们通过支付股息（并在必要时进行合作）直至第n次索赔（无论来自哪家公司）的策略的价值函数递增序列来近似（4）中定义的最优价值函数，然后遵循“拿钱跑”策略。给定初始盈余水平（x，y），take the money and run Admissible Strategy立即将整个盈余x和y作为股息（即x+=y+=0），然后将即将到来的保费作为股息支付，直到第一次索赔，索赔的公司破产。请注意，在这种策略下，公司之间无法相互帮助。将τ视为第n个索赔的到达时间，无论来自哪个公司，这是泊松过程的第n个点Nt=Nt+Nt。我们定义∏x中所有允许策略的集合∏nx，yo，它紧跟在τn之后。让我们定义（33）Vn（x，y）=supL∈n的∏nx，yVL（x，y）≥ 1.我们还定义了V=VL。我们可以写ev（x，y）=ax+ay+λδ+λpλ+aV（0）+λδ+λpλ+aV（0）.注意，对于n≥ 1，我们有（34）Vn（x，y）=supL∈πx，yVnL（x，y），其中（35）VnL（x，y）=Ex，y（aRτe-δsdLs+aRτe-δsdLs+e-ΔτVn-1（XLτ，YLτ）Iτ<τ+e-δτaV（XLτ）+aV（YLτ）Iτ=τ）。在这个表达式中，我们只考虑可容许策略∈ πx，y代表t≤ τ. 以下是民进党的立场。引理12对于R+中的任何初始盈余（x，y）和任何停止时间τ，我们可以写出evn（x，y）=supL∈πx，y（Ex，y（aRτ）∧τe-δsdLs+aRτ∧τe-δsdLs+e-ΔτVn（XLτ，YLτ）Iτ<τ∧τ+e-ΔτVn-1（XLτ，YLτ）Iτ∧τ=τ<τ+e-δτaV（XLτ）+aV（YLτ）Iτ∧τ =τ=τ)).提案13我们有V≤ 五、≤ ... ≤ 五、证据

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2022-5-8 05:23:05

我们用归纳法证明了这个结果：（a）V≤ 五、因为战略∈ πx，y.（b）假设Vn-2.≤ 越南-1.到（34），我们有（x，y）≥ 苏普勒∈πx，yEx，y（aRτe）-δsdLs+aRτe-δsdLs+e-ΔτVn-2（XLτ，YLτ）Iτ<τ+e-δτaV（XLτ）+aV（YLτ）Iτ=τ）越南-1（x，y）。VNB的HJB方程由（36）max给出Ln（Vn）（x，y），a- Vnx（x，y），a- Vny（x，y）= 其中（37）Ln（Vn）（x，y）=pVnx（x，y）+pVny（x，y）- （δ+λ）Vn（x，y）+I（Vn-1）（x，y）+U（x，y）。以下是关于Vn，n的规律性和生长的基本结果≥ 1与引理2和3相似。引理14：最优值函数vn满足增长条件A.1，它是递增的，并且在R+中局部Lipschitz与AH≤ Vn（x+h，y）- Vn（x，y）≤ （e（δ+λ）h/p- 1） Vn（x，y）啊≤ Vn（x，y+h）- Vn（x，y）≤ （e（δ+λ）h/p- 1）对于任意h>0和R+中任意（x，y）的Vn（x，y）。在接下来的两个命题中，我们看到Vn是相应的Jb方程的粘性解。命题15是HJB方程（36）在x>0和>0时的粘度上解。证据与命题6中给出的相似。命题16是相应的HJB方程（36）的粘性子解。证据这个命题的证明类似于命题7的证明，但使用了零扩张（38）Mt=PXs的asmartingales-6=Xss≤T越南-1（Xs，Ys）- ψ（Xs）-, Y-)E-δs-λRte-δsRXs-越南-1（Xs）-- α、 Y-) - ψ（Xs）-, Y-)dF（α）ds-λRte-δsRXs-+Y-Xs-越南-1（0，Xs）-+ Y-- α) - ψ（Xs）-, Y-)dF（α）ds-λRte-δsR∞Xs-+Y-aV（Y）-) - ψ（Xs）-, Y-)dF（α）dsand（39）Mt=PYs-6=Yss≤T越南-1（Xs，Ys）- ψ（Xs）-, Y-)E-δs-λRte-δsRYs-越南-1（Xs）-, Y-- α) - ψ（Xs）-, Y-)dF（α）ds-λRte-δsRXs-+Y-Xs-越南-1（Xs）-+ Y-- α, 0) - ψ（Xs）-, Y-)dF（α）ds-λRte-δsR∞Xs-+Y-aV（Y）-) - ψ（Xs）-, Y-)dF（α）ds。而不是（19）和（20）中分别定义的鞅Mt和Mt。

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2022-5-8 05:23:08

在下一个命题中，我们声明Vn是关于丁HJB方程的最小v正解。命题17最优值函数Vn是（36）满足生长条件A.1的最小最粘性上解。证据这个命题的证明类似于命题10中的一个命题，但使用了一个零扩张的鞅（38）和（39）。备注18根据上述命题，我们推断出n的通常粘度验证结果-步骤：考虑一系列可接受的策略{Lx，y∈ πx，y：（x，y）∈ R+}。如果函数VnLx，y（x，y）是（36）的粘度上解，那么VnLx，y=Vn。最后，我们得到了最优值函数（4）的收敛结果。提案19 VnV as n进入实体。证据通过引理3和引理2，V是递增的，并且满足性质A.1，因此存在一个T>0，使得（40）e-δtV（x+pt，y+pt）<t的ε≥ T让我们定义κ=V（x+pT，y+pT）>0，取n>0，使得（41）P（τn≥ （T）≥ 1.-ε3κ.存在一个可接受的策略∈ πx，y等于（42）V（x，y）- VL（x，y）≤ε.我们定义了战略∈ πnx，yas Lnt=ltt≤ τn∧τ和Lnt=Lt-τn t≥ τnifτn<τ。从（40），（41）和引理3，我们得到了Vl（x，y）- VLn（x，y）≤ 前，后A.Rττ∧τne-δsdLs+e-ΔτV（XLτ）+ A.Rττ∧τne-δsdLs+e-ΔτV（YLτ）≤ 前，y（e）-δ(τ∧τn）V（XLτ∧τn，YLτ∧τn）≤ Ex，y（I{τ）∧τn≥T} e-δ(τ∧τn）V（x+p（τ）∧ τn），y+p（τ∧ τn））+Ex，y（I{τn<T}e-δ(τ∧τn）V（x+p（τ）∧ τn），y+p（τ∧ τn）≤ Ex，y（I{τ）∧τn≥T} e-δ(τ∧τn）V（x+p（τ）∧ τn），y+p（τ∧ τn））+κP（τn<T）≤2ε.然后我们从（42）V（x，y）中得到≤ VL（x，y）+ε≤ VLn（x）+ε≤ 任意n的Vn（x，y）+ε≥ N6静态股息策略在一维情况下（例如，参见Azcue和Muler[9]），我们的目标是找到一种静态股息策略，其价值函数为最优价值函数V。

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mingdashike22

2022-5-8 05:23:12

股利分配策略是静态的，而股利支付的决定只取决于当前盈余，而不是受控过程的全部历史；注意，一个固定的dividendstrategy会生成一系列可接受的策略Lx，y∈ 任何（x，y）的∏x，y∈ R+.如果我们假设最优值函数V处的th是可微的，则最优值函数在任意（x，y）处解HJB方程的形式∈ R+表示当前盈余为（x，y）时应如何支付股息。只有七种可能性：（i）如果当前盈余在开放的setC中*=（x，y）∈ R+：L（V）（x，y）=0，Vx（x，y）>a，Vy（x，y）>a,不支付股息。集合C*被称为非动作集。（ii）如果当前盈余处于开放状态*=（x，y）∈ R+：L（V）（x，y）<0，Vx（x，y）=a，Vy（x，y）>a,第一公司一次性支付股息。该总额应至少为{b>0:（x- b、 y）/∈ B*}.（iii）如果当前盈余处于开放状态*=（x，y）∈ R+：L（V）（x，y）<0，Vx（x，y）>a，Vy（x，y）=a,第二公司一次性支付股息。

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2022-5-8 05:23:15

该总额应为最小{b>0:（x，y）- b）/∈ B*}.（iv）如果当前盈余处于挫折中*=（x，y）∈ R+：L（V）（x，y）<0，Vx（x，y）=a，Vy（x，y）=a,但不是在关闭B*∪ B*, 两家公司都一次性支付股息。（v）如果当前盈余处于闭合setA*=（x，y）∈ R+：L（V）（x，y）=0，Vx（x，y）=a，Vy（x，y）=a,两家公司都以股息的形式支付即将到来的保费。（vi）如果当前盈余在setA中*=（x，y）∈ R+：L（V）（x，y）=0，Vx（x，y）=a，Vy（x，y）>a,第一公司以某种特殊利率支付股息，以便盈余保持在一个固定的水平*∪A.*.（vii）如果当前盈余在setA中*=（x，y）∈ R+：L（V）（x，y）=0，Vx（x，y）>a，Vy（x，y）=a,第二公司以某种特殊的利率支付股息，以使盈余保持不变*∪A.*.注意，如果V是（8）的连续可微分溶液，则a*= A.*∪ A.*∪ A.*是封闭的，B*= B*∪ B*∪ B*是开放的，任何连接B点的线段*用开集C的一个点*应该包含一个*.注20：让我们考虑（1）中相同且独立的Cram’er-Lundberg过程的最简单情况；也就是p=p=p；λ= λ; 和Ui，uif有相同的分布。我们还可以选择两个公司支付的股息权重相等，即a=a=1/2。在这些假设下，最优值函数是对称的，即V（x，y）=V（y，x），因此上面介绍的集合满足以下性质：直线y=x是集合C的对称轴*, B*还有*; 布景B*还有*是相对于集合B的线y=x的反射*还有*分别地7曲线策略我们介绍了一系列固定股息策略，称为曲线策略，其中股息按照上一节提到的七种方式支付，结构简单：这里，作用区域和非作用区域之间的边界由曲线给出。

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2022-5-8 05:23:17

这些策略可以被视为一维势垒策略在二维情况下的天然类似物。有理由认为，如果最优策略是曲线策略，那么它应该满足以下性质：if（x，y）∈ B*∪ A.*（这是唯一一家支付s股息的公司），那么（x，y）应该在B中*对于所有x>x；类似地，如果（x，y）∈ B*∪ A.*（也就是说，只有两家公司支付股息），那么（x，y）应该在B中*最后，国家经贸委*应该是有界的，因为在一维情况下，最优策略下每个公司的盈余应该为t>0有界。让我们定义满足上述属性的曲线策略。对于这些策略，R+被分为七组C、A、A、B和B，其中A=A∪A.∪ a是一条与两个坐标轴相交的曲线A={（x，y）}与（x，y）∈ R+。如果当前盈余为（x，y），两家公司都会支付未来溢价作为股息。让我们用斜率p/p通过（x，y）来计算直线的x截距和v截距；让我们将O（x，y）和O（x，y）分别表示为第一个象限中以这条线为上下边界的区域B=[x，∞) ×[y，∞) - A.如果当前盈余为（x，y）∈ B、一号公司和二号公司支付x-x和y- y分别作为股息该集合是一条O（x，y）中的曲线，参数为a=n（u+ppξ（u），ξ（u）），其中u<u≤ Mξo，式中ξ：[u，Mξ]→ R是一个连续可微函数，其ξ（u）=y，ξ（Mξ）=0和负导数。如果当前盈余（x，y）∈ A、公司2不支付股息，公司1以某种特殊利率支付股息，二元盈余保持在曲线A中。

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2022-5-8 05:23:21

通过基本的微积分，可以证明这个速率是由byl（x，y）=-pξ′（x）- （p/p）y.o集合B是Ain O（x，y）右边的集合，即isB=n（x，y）∈ R+：y≤y和x>ξ-1（y）+ppyo。如果当前盈余（x，y）∈ B、第二公司不支付股息，而第一公司支付总额{B>0:（x）- b、 y）∈ A} =x- （p/p）y- ξ-1（y）。o集合A和Bin O（x，y）的定义类似于A和B，公司1和公司2的角色互换；isA=n（ξ（v），v+ppξ（v）），v<v≤ Mξo，and b=n（x，y）∈ R+：x≤x和y>ξ-1（x）+ppxo，式中ξ：[v，Mξ]→ R是一个连续可微函数，ξ（v）=x，ξ（Mξ）=0，导数为负。如果当前盈余（x，y）∈ A、公司一方不支付股息，公司二方以某种特殊利率支付股息，二元盈余保留在曲线A中。这里的利率isl（x，y）=-pξ′（y）- （p/p）x.o如果电流超过s（x，y）∈ B、第一公司不支付股息，第二公司支付总额{B>0:（x，y）- b）∈ A} =y- （p/p）x- ξ-1（x）。o无动作区域C是由曲线A和轴分隔的开放集。如果当前盈余（x，y）∈ C、不支付股息。对应于（x，y）=（1，2）和函数ξ（u）=2（u）的曲线策略的集合划分-4）（u）-6）为了你∈ [-1,4]和ξ（v）=（u-3）（u）-6）为了v∈ [1,3]如图7.1所示。uvCB1B2A1A2A0B0uvCB1B2A1A2A0B0-1xyFig。7.1：任何w的曲线策略示例∈ R、让我们定义一组（43）Φw=ξ：[w，Mξ]→ R+，ξ（Mξ）=0，Mξ≥ 0，ξ′<0和ξ′连续.请注意，曲线策略仅取决于点（x，y）∈ R+与函数ξ∈ Φuandξ∈ Φv，用于曲线A的参数化。

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2022-5-8 05:23:24

我们联系到任何ξ=（（x，y），ξ，ξ）和任何（x，y）∈ R+容许策略Lξ=（L1，ξt，L2，ξt）∈ πx，yLetus将该曲线策略的值函数Vξ定义为（44）Vξ（x，y）=VLξ（x，y）。我们将寻找ξ*使得相关的价值函数Vξ*是（4）中定义的最佳值函数。备注21如果A是R+中某些K>0的x+y=K，则公司一和公司二支付的股息率之和为该行任何当前盈余的p+p。点A=（x，K）- x）表明该股息支付如何在A中的两个公司之间分配：在A，公司一支付，公司二支付p，在这一点的右边（A）公司一支付总利率p+p，在这一点的左边（A）是公司二支付p+p。8搜索最佳曲线策略，以确定问题（4）的最佳价值函数V，我们使用第5节和命题19中介绍的迭代方法。我们的最终目标是确定最优价值函数V是否是上一节定义的曲线策略的价值函数。我们首先定义一个辅助函数。对于任何ξ=（（x，y），ξ，ξ），其中（x，y）∈ R+，ξ∈ Φu，ξ∈ Φvand任意连续函数W:R+→ [0, +∞), 设（45）Wξ（x，y）：=Ex，y（Rτe）-δsadL1，ξs+adL2，ξs+ E-ΔτW（XLξτ，YLξτ）Iτ<τ+e-δτaV（XLξτ）+aV（YLξτ）Iτ=τ）。If Wis是可容许策略族的值函数=九、Y∈ πx，y（x，y）∈R+、C、A、A、A、B带出与ξ相关的集合（如前一节所定义），那么Wξ将是策略的价值函数，该策略根据曲线策略lξ直到第一次索赔以及之后的toL支付股息。

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2022-5-8 05:23:27

我们称这种策略为一步曲线策略。定义（46）H（x，y）：=I（W）（x，y）+U（x，y）。在下一个命题中，我们用（x，y）的Wandξ找到函数Wξ的显式公式∈ O（x，y）；（x，y）的值函数公式∈ O（x，y）以一种不规则的方式跟随，并且依赖于ξ。为了得到这个公式，我们使用了Wξ满足积分微分方程Ln（Wξ）=0的事实∪ A和th在Wξx=A∪ A.∪ B∪ B.命题22 givenξ=（（x，y），ξ，ξ）和一个连续函数W，我们得到Wξ（x，y）=e-（δ+λ）ξ（x）-（ppy）-ypk（x）-ppy）In（y）-u）聚丙烯≤十、≤ξ-1（y）+ppy，y≤yo+（Rξ（x）-（ppy）-类型-（δ+λ）wH（x+pw，y+pw）dw）In（y）-u）聚丙烯≤十、≤ξ-1（y）+ppy，y≤哟+a（x）- ξ-1（y）-ppy）+k（ξ）-1（y））因克斯≥ξ-1（y）+ppy，y≤哟+a（x）- x） +a（y）- y） +k（x）-（ppy）I{x≥x、 y≥y} ，代表（x，y）∈ O（x，y），其中u=x-ppy，函数H在（46）和k（u）=e（δ+λ）ξ（u）中定义-ξ（u）ppδ+λ+δ+λH（u+ppξ（u），ξ（u））+e（δ+λ）ξ（u）paRuue-（δ+λ）ξ（w）pdw+e（δ+λ）ξ（u）ppRξ（u）ξ（u）H（ξ）-1（t）+ppt，t）e-（δ+λ）tpdt。证据让我们首先考虑初始盈余（x，y）∈ C∩ O（x，y）。通过定义（45），我们得出t<τ的受控盈余过程∧ 足够小的h和h>0由（Xt，Yt）=（x+pt，y+pt）给出。所以我们有wξ（x，y）=Ex，y（e）-δtWξ（Xt）∧τ、 Yt∧τ）它∧τ=t+e-ΔτW（Xτ，Yτ）It∧τ=τ<τ+e-δτaV（Xτ）+aV（Yτ）信息技术∧τ=τ=τ).我们可以写X，yE-δ (τ∧t） I{τ∧t=t<τ}Wξ（XLτ）∧t、 YLτ∧t） +e-δ (τ∧t） I{τ∧t=τ<τ>W（XLτ）∧t、 YLτ∧t） )= 前，后E-δ (τ∧t） Iτ∧t=t<τWξ（XLτ）∧t、 YLτ∧（t）+Ex，y（I{τ=τ）∧t<τ且τ=τ}e-ΔτW（XLτ，YLτ））+Ex，y（I{τ=τ）∧t<τ且τ=τ}e-ΔτW（XLτ，YLτ））和solimt→0+e-（λ+δ）tWξ（x+pt，y+pt）- Wξ（x，y）t=-H（x，y）。那么g（t）=Wξ（x+pt，y+pt）是连续的，只要（x+pt，y+pt）是可微的∈C与（47）g′（0）=（λ+δ）Wξ（x，y）- H（x，y）。现在我们来证明函数Wξ在a中是连续的，并且在该曲线的方向上具有连续导数。

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2022-5-8 05:23:30

如果是（x，y）∈ A、对于t<τ，我们有th∧ 当h和h>0足够小时，受控的过程是（Xt，Yt）=x+pt+Rtpξ′（Xs- （p/p）y）ds，y+pt∈ A.到（45），我们得到wξ（x，y）=Ex，yaZτ∧T-pξ′（Xs）- （p/p）Ys）e-δsds+e-δtWξ（Xt）∧τ、 Yt∧τ）它∧τ=t+ 前，后E-ΔτW（Xτ，Yτ）It∧τ=τ<τ+e-δτaV（Xτ）+aV（Yτ）信息技术∧τ=τ=τ.然后，用一个类似于C的论点，我们得到了任意（x，y）∈ A、极限→0e-（λ+δ）tWξx+pt+Rtpξ′（Xs-（p/p）y）ds，y+pt- Wξ（x，y）t=-H（x，y）+apξ′（x）- （p/p）y）。Sog（t）：=Wξ（x+pt+Rtpξ′（Xs）- （p/p）Ys）ds，y+pt）在t=0且满足（48）g′（0）=（λ+δ）Wξ（x，y）时是连续且可微分的- H（x，y）+apξ′（x）- （p/p）y）。自（x+pt+Rtp/ξ′（Xs- （p/p）y）ds，y+pt）∈ 在足够小的情况下，我们得到了（x+pt+Rtpξ′（Xs- （p/p）Ys）ds，y+pt）=（u（t）+ppξ（u（t）），ξ（u（t）），对于u（t）：=x- （p/p）y+Rtp/ξ′（Xs）- （p/p）Ys）ds；因此ξ（u（t）+ppξ（u（t）），ξ（u（t））=g（t）。因为u′（t）=p/ξ′（Xt-（p/p）Yt）是连续的和负的，u-1存在且连续可微分，sok（u）：=Wξ（u+ppξ（u），ξ（u））=go U-1（u）是连续可区分的。定义W（u，s）：=Wξ（u+ppξ（u）- ps，ξ（u）- ps），我们得到了（u+（p/p）ξ（u）- ps，ξ（u）- ps）∈ C.thatbL（W）（美国）：=-Ws（美国）- （δ+λ）W（u，s）+H（u+ppξ（u）- ps，ξ（u）- 方程bl（W）（u，s）=0是变量s，soW（u，s）e（δ+λ）s中的线性常微分方程- k（u）=Rse（δ+λ）tH（u+ppξ（u）- pt，ξ（u）- pt）dt；因此ξ（u+ppξ（u）- ps，ξ（u）- ps）（49）=e-（δ+λ）s（k（u）+Rse（δ+λ）tH（u+ppξ（u）- pt，ξ（u）- pt）dt），例如≤ U≤ Mξ和0≤ s≤ min{ξ（u）/p，u/p+ξ（u）/p}。所以Wξ在集合C的交集上是连续可微的∪ a带O（x，y）。

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2022-5-8 05:23:33

从（47）和（48）中，我们还得到了（x，y）∈ A、极限→0-Wξ（x+pt，y+pt）-Wξ（x，y）t=limt→0+Wξ（x+pt+ptξ′（x-ppy），y+pt）-Wξ（x，y）t- apξ′（x）-ppy）。然后从pwξ开始。十、-（x，y）+pWξ。Y-（x，y）=p+pξ′（x）-（ppy）Wξ。十、-（x，y）+pWξ。Y-（x，y）- apξ′（x）-ppy），我们得出结论：Wξx-（x，y）=a乘以（49），并且自（u+（p/p）ξ（u），ξ（u））∈ A、 Wξx（u+ppξ（u），ξ（u））=k′（u）+H（u+ppξ（u）），ξ（u））- （δ+λ）k（u）ξ′（u）p=a，然后（50）k（u）=k（u）e（δ+λ）ξ（u）-ξ（u）p+ZuuA.- H（w+ppξ（w）），ξ（w））ξ′（w）pe（δ+λ）ξ（u）-ξ（w）pdw。在点（u+（p/p）ξ（u），ξ（u））处∈ a股息策略包括收集所有收入作为股息，直到时间τ，sok（u）=pδ+λ+δ+λH（u+ppξ（u），ξ（u））。那么我们有，从（50），k（u）=e（δ+λ）ξ（u）-ξ（u）ppδ+λ+δ+λH（u+ppξ（u），ξ（u））+鲁A.- H（w+ppξ（w）），ξ（w））ξ′（w）pe（δ+λ）ξ（u）-ξ（w）pdw。对于（49）我们得出结论，对于集合C与O（x，y）相交的任意（x，y），Wξ（x，y）=e-（δ+λ）ξ（x）-（ppy）-ypk（x）-ppy）+Rξ（x）-（ppy）-类型-（δ+λ）wH（x+pw，y+pw）dw，由此得出结果。注23：O（x，y）中的Wξ公式可通过使用命题22中给出的公式，通过交换公司1和公司2的角色，使用Wξy=A来获得∪ A.∪ B∪ B.更准确地说，如果（x，y）∈ O（x，y），Wξ（x，y）=e-（δ+λ）ξ（y）-ppx）-xpek（y）-ppx）Inx≤x、 y≤ξ-1（x）+ppxo+（Rξ（y）-ppx）-xpe-（δ+λ）wH（x+pw，y+pw）dw）Inx≤x、 y≤ξ-1（x）+ppxo+a（y）- ξ-1（x）-ppx）+ek（ξ）-1（x））因克斯≤x、 y≥ξ-1（x）+ppxo+a（x）-x） +a（y）- y） +ek（y）-ppx）I{x≥x、 y≥y} 式中，Ek（v）=e（δ+λ）ξ（v）-ξ（v）ppδ+λ+δ+λH（ξ（v），v+ppξ（v））+e（δ+λ）ξ（v）paRvve-（δ+λ）ξ（w）pdw+e（δ+λ）ξ（v）ppRξ（v）ξ（v）H（t，ξ）-1（t）+ppt）e-（δ+λ）tpdt。根据命题22和备注23中得到的公式，我们得到了以下结果。命题24如果（46）中定义的函数H是连续可微的，那么Wξ在R+中是连续可微的。证据

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2022-5-8 05:23:36

由于ξ和ξ是连续可微分的，很明显，Wξ是连续可微分的，除了可能在Bor的边界点或线段=n（x，pp（x- x） +y）∈ R+和x≤ xo。经过一些简单的计算和使用，Wξ满足- （δ+λ）Wξ（x，y）+H（x，y）=0，可以看出Wξ在S中与Wξx（x，pp（x）连续可微-x） +y）=Rx-xpe-（δ+λ）wHx（x+pw，pp（x-x） +y+pw）dw+e-（δ+λ）x-xpaandWξy（x，pp（x- u））=Rx-xpe-（δ+λ）为什么（x+pw，pp（x- x） +y+pw）dw+e-（δ+λ）x-xpa。最后，b的边界处的可微性与S的（x，y）处Wξ的可微性是一致的。让我们定义函数集SM={w:R+→ [0, +∞) 连续w（x，y）- 斧头- 哎}。命题25（44）中定义的与ξ=（（x，y），ξ，ξ）对应的曲线策略的值函数Vξ满足命题22和备注23中给出的公式，用Vξ替换Wξ和Wξ。此外，Vξ是M中唯一满足这一性质的函数。证据M是距离d（w，w）=supR+|w的完备度量空间- w |。接线员：M→ 定义的asT（w）（x，y）：=Ex，y（Rτe-δsadL1，ξs+adL2，ξs+ E-Δτw（XLξτ，YLξτ）Iτ<τ+e-δτaV（XLξτ）+aV（YLξτ）Iτ=τ）是收缩因子λ/（δ+λ）<1的收缩。然后，这里存在一个唯一的固定点，通过定义（44），t（Vξ）=Vξ。在命题22和备注23中，函数是Vξ，我们从（45）中得到Vξ=Wξ，所以我们得到了结果。最后一个命题给出了一个获得Vξ的建设性方法。从w（x，y）开始=ax+ay∈ M、我们迭代定义wn+1=T（wn）。因此，Vξ=limn→∞嗯。注意，在每个步骤中，wn+1可以从命题22和备注23中给出的公式中获得，替换Wb为wn。现在考虑（45）中定义的函数Vn，ξ是最佳值函数Vn-1对应于步骤n- 1英寸（33）。

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