针对具有多个承保线和组合的保险公司的ALM

2022-6-10 23:00:37

资产负债管理（ALM）已成为保险业务实现这些目标的基本工具，因为它考虑了资产类别、承保线以及投资现金流和索赔支付的时间结构之间的各种相互关系。保险资产负债管理最突出的策略之一是找到与保险公司负债相匹配的最佳风险回报交易组合。尽管债券和固定收益证券在保险公司的投资组合中占主导地位，但由于过去几年持续的低利率，一些国家的非人寿保险公司和综合保险公司的股票配置大幅增加。事实上，根据经合组织《2019年全球保险市场趋势报告》，奥地利的非寿险公司*电子邮件：camiloa。castillo@urosario.edu.co+电子邮件：rafael。serrano@urosario.edu.coSalvador，法国、冰岛、波兰和瑞典持有其超过27%的资产，阿根廷、巴西、加拿大、拉脱维亚、德国和以色列的非寿险和综合保险公司将其超过25%的资产投资于集体投资计划。在这项工作中，我们考虑了一个理论上的连续时间投资组合分配问题，即投资于金融市场并同时持有不同业务线的保险负债组合的公司。公司可以选择各业务线的投资和承销量，保险负债在整个投资组合中被视为空头头寸。

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2022-6-10 23:00:40

公司的偏好由风险规避效用函数表示，目标是找到投资保险策略，该策略可在有限的时间范围内最大化跨期股息支付和最终财富的预期效用。除了Zouand Cadenilas（32）的工作外，相关文献中的大多数现有结果都为给定的保险组合结构找到了最佳投资策略。相比之下，我们的模型允许保险业务量的结构发生变化，从而提供了一个真正的ALM框架，在该框架中，可以同时管理负债敞口以及与支持负债现金流的投资相关的财务风险。不同承保线产生的保险风险通过（多维）跳差过程和多变量复合泊松过程来捕捉。这使我们能够对可能同时引起不同方面索赔的事件进行建模，例如，导致医疗和津贴费用索赔的工伤事故，或导致房屋、车辆和企业损坏的自然灾害。风和水损害或地震和火灾造成的损失也可能高度相关。这一方面在非人寿保险中极其重要，因为它对定价、准备金、偿付能力和资本分配具有潜在影响，参见Denuit等人的书【9】。保险风险流程的差异部分捕获了保险公司收集的赔款或待处理和支付的索赔价值中的冲击或波动。我们允许这些冲击在业务条线之间以及与投资回报之间相互关联，而投资回报又可以用来建模金融资产和保险负债之间的相互依赖关系，尤其是在经济衰退期间，参见Hainaut[12]。

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2022-6-10 23:00:44

事实上，在短期内，不断上升的市场波动会导致资产价格下降，流动性恶化，进而影响保险资本，从而提高保费，尤其是财产保险公司。利率的下降也给整个保险业带来了沉重的压力：ZF债券收益率的降低转化为用于计算负债的贴现率的降低，从而增加了未来支付义务的现值以及再投资风险，这反过来又增加了资本要求。因此，非人寿保险人可以重新定价保险合同，以减轻金融风险，弥补其投资组合的实际损失。经济活动的恶化和负面冲击也可能导致理赔金的增加。2007-2008年次贷危机之后，奥地利、卢森堡、波兰、葡萄牙和瑞士的总索赔额增长了36%至56%，见OECD报告中题为“金融动荡的影响”的部分。次贷危机之后的经济低迷期间，信用保险等承保业务受到严重影响。这类保险为赊销商品和服务的企业提供保护，防止其客户拒付。在经济合作与发展组织（OECD）国家，在危机前几年，卖方向买方默示或明确提供信贷是常见的做法。根据经合组织的报告，西班牙、法国和英国等国的信用保险覆盖额分别超过2000亿欧元、3200亿欧元和3000亿英镑。

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2022-6-10 23:00:46

危机后，欧洲信用保险公司的续保业务保费平均提高了30%，新业务保费平均提高了60%，见Marovi\'c等人【24】。最近2019冠状病毒疾病疫情爆发导致的经济衰退的早期阶段也对金融和保险业产生了严重影响。在疫情爆发后，阿斯特拉维尔保险、短期伤残保险、业务中断保险和其他专业保险等承保业务面临着越来越多的索赔。2020年4月，房地产保险业协会（property casualtyindustry）估计，美国小企业因2019冠状病毒疾病疫情而造成的营业中断损失可能在每月220亿美元至3830亿美元之间，或占可用于支付所有损益索赔的总行业盈余的一半。相反，汽车保险等其他行业的索赔额有所下降。由于2019冠状病毒疾病的限制，美国的个人汽车出行量与普通交通量相比下降了近50%。由于登记的车祸数量减少，保险业最终可以从索赔中节省1000亿美元，这应该转化为降低消费者的保费。这些例子说明了负面经济冲击，尤其是灾难性事件，如何使保险业容易受到风险吸收资本的同时冲击，这显然挑战了投资假设，尤其是在财产和意外险承保线中，即承保与投资风险之间没有重大关系，另见Achleitner等人[1]和Baluch等人的讨论。[2] ，Barano Off和Sager【3】，Ko_covi'c等人。

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2022-6-10 23:00:50

[19] 和Schich【29】。我们对效用最大化问题的处理方法密切遵循了由He和Pearson【13】、Karatzas、Lehoczky和Shreve【17】以及Cvitaniv和Karatzas【7】（另请参见Karatzas和Shreve【18】的著作）提出的（拉格朗日）凸对偶方法，该方法包括制定相关的对偶最小化问题，并找到不存在对偶缺口的条件。这种方法对于解决跳跃式差异环境下的投资-消费问题（参见Goll和Kallsen【11】、Kallsen【15】、Callegaro和Vargiolu【6】以及Michelbrink和Le【25】）以及保险公司的投资问题非常有效，例如参见Wang的工作，夏和张[30]使用带有CARA和均值-方差偏好的鞅方法和Levytype风险过程，周[31]使用CARA型效用在类似模型中获得闭式解，刘[23]也使用鞅方法处理CARA和均值-方差偏好，并刻画均值-方差边界。最近，Zou和Cadenillas[32]考虑了CARA、CRRA和均值方差偏好，并将承保量作为控制变量。然而，他们只考虑非随机值索赔。不断上升的贷款成本和监管限制收紧了财产和意外伤害保险行业的投资组合配置限制。最近，Reddic[28]指出，保险监管机构施加的投资限制可能会抑制金融危机后预期的投资配置。

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2022-6-10 23:00:53

本文的主要理论贡献是成功地将鞅和凸对偶方法应用于解决具有随机负债和投资组合约束的最优ALM问题：我们证明了一般验证型定理，该定理提供了一个关于后向跳跃扩散SDE解的非最优策略存在的充分条件，并描述保险人偏好的风险规避和谨慎，以及投资组合约束、到达率和索赔分布的一阶随机优势对公司收益保留政策的预防作用。值得一提的是，预防性收益分析不依赖于效用函数的特定形式，只依赖于其风险厌恶和谨慎指数，这是我们的方法相对于依赖HJB方程解的动态规划方法的明显优势。最后，我们给出了具有无约束投资组合和矩形约束的CRRA电力公司偏好最优策略的显式特征。这表明，面对投资组合约束和极端事件，金融和多变量隐性风险都可以部分有效地对冲。数值算例表明，协整对于具有多个（依赖和独立）保险风险源的投资保险ALM非常重要。让我们简要描述一下本文的内容。在第2节中，我们制定了金融市场和多元保险风险过程的模型，并定义了财富过程。在第3节中，我们使用鞅方法和凸对偶方法来解决优化问题，并给出验证定理。我们还可以看到谨慎性和模型参数，尤其是索赔到达率，是如何影响最佳保留策略的增长率的。

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2022-6-10 23:00:56

在第4节中，我们关注具有CRRA偏好的保险公司的案例，并在此背景下获得半封闭形式的解决方案。我们还提供了通过Levy copula和政策限制建模的具有依赖性的二元索赔分布的数值示例。第5节概述了我们工作的一些结论。2市场模型和风险规避ALM问题我们考虑一家公司，该公司在t=0时开始承保保单，同时在金融市场的资产中分配初始捐赠x>0。随后，每次t>0时，公司收集保险费，处理和支付投保人提出的保险索赔，并重新平衡投资组合中的分配。该公司还利用部分财富向股东支付股息。我们对保险投资组合的设定遵循类似于B¨auerle和Blatter[4]的方法。我们假设公司承销M∈ N不同类型的保险，且每条线的风险准备金j=1，M可以通过再保险/承保控制变量Lj进行管理≥ 0，企业将其用作决策变量，如下所示：ifLj<1，然后Ljis设置为比例再保险自留额，即企业自行保险的传入索赔的分位数。如果改为Lj≥ 1然后，公司必须调整其承销量（保单数量），使其达到Lj水平。实际上，数量Ljj是一个整数。然而，为了简单起见，我们假设所有业务线都是“可整除的”，因此允许使用非整数。我们用xj表示保险责任风险过程（每单位暴露的潜在损失）和pj表示业务线的保险费率j=1，M、我们假设保险/承保控制变量L∈ [0, ∞)Mcan也会随着时间的推移而变化。

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mingdashike22

2022-6-10 23:00:59

然后，保险组合的损益动态遵循过程glt：=ZtLτ·（Pτdτ- dXτ）=MXi=0ZtLjτ（pjτdτ- dXjτ），t≥ 0、本公司以收到的保费和投资于金融市场模型的回报来支持保险负债准备金，该金融市场模型由一个具有价格过程的货币市场账户和K个具有每股价格过程的非股息支付风险资产或股票Si，i=1，K、我们用αIt表示公司在时间t持有的风险资产单位数≥ 0.那么，金融市场中的持股价值为vαt：=αt·St=KXi=0αitSit，t≥ 0.每个交易策略αt=（αt，αt，…，αKt）与Gαt所定义的损益过程相关：=Ztατ·dSτ=KXi=0ZtαiτdSiτ，t≥ 0.自始至终，我们考虑一个固定的投资区间[0，T]。给予初始捐赠x∈ R、如果Vα=x，且在GL跳跃之前的现有资源足以在时间间隔[0，T]内补贴投资组合Vα，即，如果以下预算约束保持VαT，则该策略（α，L）称为自我融资≤ x+Gαt+GLt-, t型∈ [0，T]。未再投资于金融市场或未用于支付债权的收入，作为股息支付给股东。更准确地说，对于自我融资策略（α，L），我们定义了累积股息过程cα，Lt：=x+Gαt+GLt-- Vαt，t∈ [0，T]。（2.1）作为（α，L）绩效的衡量标准，我们遵循Hubalek和Schachermayer【14】orLiang和Palmowski【22】，并考虑在时间间隔【0，T】内可以实现的股息支付。更具体地说，我们说，如果所有t的Vαt>0，则允许采用自我融资策略（α，L）∈ [0，T]和地图[0，T]3 T 7→ Cα，Ltis相对于Lebesgue测度增加且绝对连续。

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2022-6-10 23:01:02

虽然密度效用的测量乍看起来可能很奇怪，但这可以通过将问题解释为离散模型的极限来实现，其中考虑了每个时间步的累积效用，参见Borch【5】。在这种情况下，我们定义了瞬时股息支付率Dα，Las密度过程Dα，Lt：=dCα，L/dt模拟股息支付率。利用这一定义，等式（2.1）可以用不同的形式重写如下dVαt=αt·dSt+Lt·（ptdt- dXt）- Dα，Ltdt，Vα=x.（2.2）我们现在为我们的模型引入随机设置。价格过程S=（S，…，SK）>遵循Black-Scholes模型，其形式为：it=Sithuitdt+KXk=1σiktdWkti，Si>0，i=1，KdSt=Strtdt，S=1，其中W=（W，…，WK）>是定义在完备概率空间上的K维布朗运动(Ohm, P、 F）具有过滤F={Ft}t≥0.对于多变量保险风险流程Xt，我们假设M个业务线中的索赔可以同时发生，并通过RM+-值标记点流程（τn，Yn）n对到达时间和索赔严重性进行建模≥1、为了激励XT在我们的模型中的规格，对于eachj=1，M我们设置τj：=τ=0，τjn：=infτk>τjn-1： Yjk>0, n∈ 为了论证，假设（τjn，Yjn）n的局部特征（λj，Fj）≥1和Ljar已知且时间恒定。我们还假设Lj∈ N、也就是说，公司必须调整j行的承销量，使其达到Lj的合同数量。那么，到时间t为止，第j行的总支出是复合泊松过程的总和，形式为Ljxl=1Nj，ltXn=1Yj，ln（2.3），其中Nj，lt~ 泊松（λjt）和Yj，ln~ 福建。如果复合Poisson sumsPNj，ltn=1Yj，Ln是独立的，那么（2.3）具有与Njt相同的分布Aspnjn=1yjn~ 泊松（Ljλjt），参见示例。

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kedemingshi

2022-6-10 23:01:05

Mikosch【26】中的命题3.3.4，其反过来又具有相同的过程xτjn补偿器≤tLjYjn。（2.4）尤其是，（2.3）和（2.4）表示相同的预期损失。在我们的模型中，我们允许jt取任何非负的实值和随时间的变化，我们通过将（2.4）解释为lj相对于多变量过程pτn的（离散）积分，将支付过程中的变化纳入其中≤tYjn，并将此过程的扰动版本视为模型中第j行负债的代理。更具体地说，我们假设对于eachj=1，M、业务线j的责任风险流程XJJ遵循跳转差异流程XJT=MXm=1Ztbjmsd'Wms+Xτn≤其中，W是满足d的M维布朗运动工作日，工作日t=ρkmtdt和ρkmt∈ [-1, 1]. 所有系数rt、ut、bjmt、σiktandρkmtar都是局部有界的F-可预测过程和（τn，Yn）n≥假设1独立于W和“W”。相关过程ρkmmodel表示金融资产的对数价格与保费或索赔价值的（高斯）波动之间的依赖关系。回想一下，实值过程（φt）t≥如果随机函数φ（t，ω）=φt（ω）相对于σ是可测的，则0是F-可预测的-代数P onOhm×[0, ∞) 由所有适应的左连续过程生成。类似地，随机场φ：Ohm×[0, ∞)×RM→ 如果Ris相对于乘积σ-代数是可测量的，则称其为F-可预测的 B（RM）。备注2.1。请注意，（2.4）也对应于最坏情况，即第j行中的所有客户同时报告严重程度为yjm的索赔，索赔率λj相同。这可用于模拟灾难性事件或负面经济冲击，这些事件会导致承保行的索赔突然激增，并严重暴露于灾难或极端事件风险。次贷危机后的信用保险就是这种现象的一个明显例子。

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可人4

2022-6-10 23:01:08

事实上，根据经合组织的报告[27]，2008年信用保险的年保费收入总额超过80亿美元，其中90%的业务由三大公司进行：裕利安怡（36%）、阿特拉迪乌斯（31%）和科法斯（20%）。2008年和2009年初，信用状况恶化后，随着支付违约和企业破产数量激增，信用保险公司开始面临快速上升的索赔，2008年科法斯（Coface）、欧勒赫尔姆斯（Eulerhemes）和阿特拉迪乌斯（Atradius）的损失率分别上升到73%、78%和99%。2009年上半年，由于Euler和Coface报告的损失率分别为88%和116%，这些负面趋势仍在继续。最近的2019冠状病毒疾病大流行是另一个导致保险索赔激增的极端事件的例子。美国财产意外保险协会（APCIA）预计，2020年3月，小型企业可能会提出多达3000万起索赔，以弥补冠状病毒相关的损失，在短短一个月内，索赔金额将达到2200-3830亿美元，是该行业在一年内处理的最多索赔的10倍。失业福利计划，在美国被法律视为一种保险。S、，在2019冠状病毒疾病爆发期间，也经历了突然激增的索赔。这是一种保险类型，雇员是福利机构，雇主根据其失业历史缴纳失业税。2020年3月，随着美国经济的大部分关闭，公司解雇了数十名工人以应对这一流行病，申请失业福利的美国人数量飙升至创纪录的数字。继续ALM问题的公式化，就像投资组合分配问题通常的情况一样，我们处理的是投资于天空资产的财富比例πα，it：=αitSitVαt-, i=1。αt的Kinstead。我们指的是παtas投资组合比例过程。

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可人4

2022-6-10 23:01:12

同样，我们定义了一个额外的保险风险控制变量，如下κjt：=LjtVαt-, j=，M、这被Cadenilas和Zou称为“负债率”[32]。注意它的倒数1/κjt=Vαt-/Ljt是承保线j=1，…，中支持每个保险合同负债的财富金额，M、它还与投资收益率有关-ptlth反过来可以被解释为衡量业务线j的盈利能力，因为它将保险公司从承保j类保单中获得的收入与其在金融市场的投资活动进行比较，参见R.Kumar的账簿【20，第8.2.7.5节】或【21，第10.2.2节】。使用π和κ作为控制变量，而不是α和L，企业服务过程的方程（2.2）现在变成了线性SDEdVt=Vt-rtdt+π>t[（ut- rt1）dt+σtdWt]+κ>thptdt- btd重量- yN（dy，dt）i- 初始条件V=x的Dtdt（2.5）。这里N（dy，dt）表示多元标记点过程（τN，Yn）N的rm+\\{0}的随机计数测度≥1和？表示关于随机度量的组件集成。公司储备现在定义为过程Vπ，κ，方程（2.5）的解。最后，我们假设投资组合过程π被限制在集值可预测过程Q=（Qt）t中取值∈[0，T]，其中每个Qt（ω）是一个非空的闭凸集Qt（ω） RK。我们将保险公司的风险规避ALM问题表述为：让U（t，·）和Ube效用函数满足通常的INDA条件。我们在初始财富x>0的整个过程中x，并用A:=A（x）表示whichE的允许策略集（π，κ，D）ZTU（t，Dt）-dt+UVπ，κ，DT-< ∞.我们的目标是最大化期望效用函数lj（x；π，κ，D）：=EZTU（t，Dt）Dt+UVπ，κ，DT所有容许策略（π，κ，D）∈ A.

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2022-6-10 23:01:14

通过定义^Ljt：=^κjt^Vt，可以恢复最佳再保险/承保策略-式中，^V是总储量的最佳值。如果^Ljt<1，即，如果^Vt-< 1/κjt那么公司必须有-^Ljt=1- ^κjt^Vt-由第三方再保险的传入索赔。相反，如果^Ljt≥ 1，即，如果^Vt-≥ 然后，公司必须重新调整j线的承销量，使其达到-.该分析还解释了1/jκjt为偿付能力阈值。事实上，如果储备的总价值足够大，那么-≥ 1/κjt，该公司可以继续承保业务线j的保险，尽管可能需要调整保单数量。如果改为^Vt-< 1/κjt，保险人没有持有足够的资本来应对其在第j行中面临的风险，必须将部分风险转移给再保险人。备注2.2。方程（2.5）是非齐次线性方程，因此可以使用参数变化和积分因子轻松求解。特别是，如果Δπ，κ，Dt：=ZtDsVπ，κ，0s，其解满足Vπ，κ，Dt>0s-ds公司≤ x（2.6）几乎可以肯定，且κτm·Ym<1，即Vπ，κ，Dτm-> Lτm·Ym，表示τm≤ t、后者相当于要求总准备金流程严格大于索赔发生之前所有业务条线的总损失。这似乎过于限制和实用，但对于暴露于灾难性事件和高度尾部依赖的业务线来说确实有意义，也就是说，具有索赔依赖的业务线集中在极高的价值上。尾部依赖的一个简单例子来自风和水损害。在美国，这些损害是单独投保的：前者由业主保单或州风池承保，而后者由国家洪水保险计划承保。

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mingdashike22

2022-6-10 23:01:18

洪水和风的破坏通常是相互独立的，但在飓风多发地区可能会变得依赖尾部。另一个例子来自于考虑与计算机网络和高传染性疾病相关的损害分布，如在最近的2019冠状病毒疾病大流行期间。与潜在计算机网络问题相关的损害分布尾部事件包括网络故障和恶意攻击。这种传染病的极端后果不仅包括感染率和死亡率的上升，还包括大规模封锁。然而，这些负面结果并不是独立的。如果人们在家被隔离，远程办公的人数将急剧增加，给计算机网络带来压力，并导致可能被利用的故障和漏洞。另一方面，如果来自两个不同业务线的索赔不能同时发生，则上述条件可以减弱为κjτjm·Yjm<1，即isVπ，κ，Dτjm-> Ljτjm·Yjm，对于τjm≤ t、对于所有j=1，M、这与财富过程严格大于索赔发生前每个业务线的损失是一样的，从实践角度来看，这更合理。请注意，通过多元保险风险流程的差异部分，承保线之间仍然存在依赖关系。3拉格朗日半鞅和凸对偶方法本节将组合约束的凸对偶技术从Karatzasand Shreve【18，第6章】扩展到投资保险设置。对于每个t∈ [0，T]我们定义了凸集的支持函数-Qtasθt（ω，ζ）：=supπ∈Qt（ω）[-π · ζ], ζ ∈ RK。它是一个较低的半连续的、适当的（即不相同的+∞) 凸函数，定义其有效域Nt（ω）：=ζ ∈ RK：θt（ω，ζ）<+∞. 后者是一个凸锥，称为-Qt（ω）。

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2022-6-10 23:01:21

在下文中，将假设θt（ω）从下方有界。示例3.1。以下是portfolioproportions上可能的约束集的一些示例。i、不完全市场：Qt=π ∈ RK：πi=0，i=m+1，K对于一些m∈{1，…，K- 1} . 也就是说，企业只能投资于第一批m资产。ThenNt公司=ζ ∈ RK：ζ=···=ζm=0和θt≡ Nt上的0。二。更一般地说，qt是RK中的一个非空、闭、凸锥。那么Ntis是-Qtandθt≡ Nt上的0。这包括有无禁止卖空的不完全市场的情况。iii.矩形约束：Qt=QKk=1ikt，Ikt=[qkt，qkt]，q和q可预测过程满足-∞ ≤ qk公司≤ 0≤ qk公司≤ ∞. 这里我们假设，如果qkt=∞ （分别qkt=-∞). 然后Nt=RKandθt（ζ）=dXk=1qkt（ζk）-qkt（ζk）+如果所有qkt和qkt都是有限的。更一般而言，Nt=nζ∈ RK：ζi≥ 如果qit=∞, ζk≤ 如果qkt=-∞, 对于某些i，k=1，Ko和之前的θt（ζ）公式仍然有效。这包括借款和/或短期销售限制。设D为Rd值可预测过程集ζsatisfyingsupt∈[0，T]|ζT |+ZT（ζT）dt<+∞, a、 s.（3.1）假设I.多元标记点过程（τn，Yn）m≥1开[0，∞)MHA可预测特性（λt，Ft）。在下面的内容中，对于t，我们表示Y：=0和Yt：=yn∈ （τn-1，τn]。设Θ表示局部有界对的集合（θ，Д）满足i）θt=（θt，θt）是一个可预测过程，其值为Rd×RM，ii）Д=Д（t，y）是[0，t]×RM上的（实值）正可预测场，因此过程ζθt：=rt1- ut+σt[θt+ρtθt]，t∈ [0，T]属于D，以下条件保持a.s.pt+bt[ρ>TθT+θT]- λtE[Д（t，Yt）Yt]=0（3.2），几乎每t∈ [0，T]。（3.2）中的期望值是多值的，因为它是按组件计算的。

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2022-6-10 23:01:24

对于（θ，Д）∈ 设Hθ，Θ为线性SDEdHt=Ht的解-n-[rt+θt（ζθt）]dt- θt·dWt- θt·d'Wt+[Д（t，y）- 1] ?H=1的eN（dy，dt）w，其中eN是补偿测量eN（dy，dt）：=N（dy，dt）-λtFt（dy）dt。然后，以下定义类型的不等式适用于LMA 3.2。Let（θ，Д）∈ 假设Vπ，κ，Ds>0 a.s.，几乎每s∈ [0，t]。ThenE公司Hθ，ДtVπ，κ，Dt+ZtHθ，ДsDsds≤ x、证明。见附录。我们将Hθ，Д称为保险投资市场模型的拉格朗日半鞅。对于正随机变量G和股息支付率过程D，wedefine'J（G，D）：=EhZTU（t，Dt）Dt+U（G）i和∧θ，Д（G，D）：=EhHθ，ДTG+ZTHθ，Дtdti，（θ，Д）∈ Θ.然后，通过引理3.2，我们得到sup（π，κ，D）∈A（x）J（x；π，κ，D）≤ 辅助（G，D）：G≥ 0，D≥ 0∧θ，Д（G，D）≤ x，(θ, φ) ∈ ΘoThis建议考虑以下拉格朗日（G，D；θ，Д，ξ）：=(R)J（G，D）+ξhx- ∧θ，Д（G，D）i，（θ，Д）∈ Θ，y≥ 0.那么，以下弱对偶保持着supn'J（G，D）：G≥ 0，D≥ 0∧θ，Д（G，D）≤ x，(θ, φ) ∈ Θo=supG≥0天≥0inf（θ，Д）∈Θξ≥0L（G，D；θ，Д，ξ）≤ inf（θ，Д）∈Θξ≥0supG≥0天≥0L（G，D；θ，Д，ξ）让U用t表示U（·）或U（t，·）∈ [0，T]固定。反向边际效用i：=（U）-1满足年轻型不等式U（x）- ξx≤ U（I（ξ））- ξI（ξ）对于allx，ξ>0。然后L（G，D；θ，Д，ξ）≤ L（I（ξHθ，ДT），I（·ξHθ，Д·）；θ、 Д，ξ）和infθ，Д∈Θξ≥0supG≥0天≥0L（G，D；Д，ξ）≤ infθ，Д∈Θξ≥0L（I（ξHθ，ДT），I（·，ξHθ，Д·）；θ、 Д，ξ）此外，还可以显示（参见。

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2022-6-10 23:01:27

Karatzas和Shreve[18]中的引理6.2），即ifXθ，Д（ξ）：=∧θ，Д（I（ξHθ，ДT），I（·，ξHθ，Д·））<+∞, 对于所有y≥ 0然后其逆Yθ，Д：=（Xθ，Д）-1存在andL（Gx，θ，Д，Dx，θ，Д；θ，Д，Yθ，Д（x））=(R)J（Gx，θ，Д，Dx，θ，Д），Dx，θ，Дt：=I（t，Yθ，Д（x）Hθ，Дt），t∈ [0，T]Gx，θ，Д：=I（Yθ，Д（x）Hθ，ДT）。总之，我们有SUP（π，κ，D）∈A（x）J（x；π，κ，D）≤ supG公司≥0inf（θ，Д）∈Θξ≥0L（G，D；θ，Д，ξ）（原始）≤ inf（θ，Д）∈Θξ≥0supG≥0L（G，D；θ，Д，ξ）≤ inf（θ，Д）∈Θξ≥0L（I（ξHθ，ДT），I（·，yHθ，Д·）；θ, φ, ξ)≤ inf（θ，Д）∈eΘ′J（Gx，θ，Д，Dx，θ，Д）（双）带eΘ：=(θ, φ) ∈ Θ：Xθ，Д（ξ）<∞, ξ > 0. 我们的目标是找到条件，在这些条件下，我们可以保证在上述公式中不存在二元缺口。特别是，如果存在容许对（^π，κ）和（^θ，Д）∈从而使J（x；π，κ，Dx，θ，Д）＝J（Gx，θ，Д，Dx，θ，Д），然后策略（π，κ，Dx，θ，Д）是最优的。为此，我们考虑了向后SDEZt=Hθ，ДTGθ，Д+ZTtHθ，ДsDθ，Дsds的线性跳跃差异-ZTtαs·dWs-ZTt’αs·d’Ws-ZTtZRM \\{0}β（s，y）~N（dy，ds），t∈ [0，T]。（3.3）对于本节的其余部分，我们假设每个部分（θ，Д）∈ Θ方程（3.3）有唯一的解（Zθ，Д，αθ，Д，(R)αθ，Д，βθ，Д）。这源于关于W、\'W和▄N的可预测（鞅）表示性质，例如参见第3章。然而，对于CRRA偏好，可以直接确保上述linearbackward SDE解决方案的存在，而无需使用可预测的representationproperty。因此，下一节中的示例不需要这样的假设。我们有以下验证类型理论定理3.3。让我假设一下。

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2022-6-10 23:01:30

假设存在一对（π，κ）和（θ，ν）∈Θ，使过程Z^θ，^Д为正，且以下为所有t∈ [0，T]σ>T^πT=^θT+Z^θ，^ДT-αθ，θt，-b> t^κt=^θt+Z^θ，^Дt-\'（3.4）1- ^κt·y=^И（t，y）1+βθ，θ（t，y）Zθ，θt-（3.5）连同“互补松弛”条件θ（ζθ）+^π·ζθ=0。（3.6）进一步假设τm的κτm·Ym<1 a.s≤ T和Δ^π，^κ，^DTds≤ x，其中^D=Dx，^θ，^Д。然后（π，κ，D）∈ A并且该策略是最优的。证据见附录。3.1具有独立索赔的多个承保线我们偶尔会放松现有假设I，并假设以下条件成立。假设二。复合泊松过程pτjm≤tYjm，j=1，M是独立的，每个标记点过程（τjm，Yjm）M≥1在[0]上具有局部特征（λjt，Fjt），∞), j=1，M、也就是说，多元复合泊松过程的组成部分是独立的，因此任何两条承保线的索赔或跳跃都不能同时发生。在此假设下，关于N（dy，dt）的积分满足ψ（t，y）？N（dy，dt）=MXj=1ψj（t，yj）？Nj（dyj，dt），其中对于每个j=1，M我们使用约定ψj（t，yj）：=ψ（t，yjej）（这里ej表示单位向量，在jth坐标中为1，在别处为0s），Nj（dyj，dt）是（τjn，Yjn）n的计数度量≥1开（0，∞). 财富方程式现在的读数为SDVT=Vt-rtdt+π>t[（ut- rt）dt+σtdWt]+κ>thptdt- btd？Wti-MXj=1κjtyj？Nj（dyj，dt）- dtdt在这种情况下，如果没有支付股息，那么如果τjm的κjτjmYjm<1，则Vπ，κ，0t>0≤ t表示所有j=1，M、让我们用形式的非负可预测随机场的ν（t，y）向量表示Дj（t，yj）1.≤j≤M、然后，将条件（3.2）替换为pjt+[bt（ρ>tθt+θt）]j- λjtE[Дj（t，Yjt）Yjt]=0，j=1。

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2022-6-10 23:01:33

，M（3.7），那么引理3.2的断言对于Hθ仍然成立，定义为dht=Ht-n个[-rt+θt（ζθt）]dt- θt·dWt- θt·d？Wt+MXj=1Дj（t，yj）- 1.?eNj（dyj，dt）o.HereeNj（dyj，dt）：=Nj（dyj，dt）- λjtFjt（dyj），对于每个j=1，M、对于每个（θ，Д），设（Z^θ，^Д，α^θ，^Д，’α^θ，^Д，β^θ，^Д）为向后跳变的解SDEZt=Hθ，ДTGθ，Д+ZTtHθ，ДsDθ，Дsds-ZTtαs·dWs-ZTt’αs·d’Ws-MXj=1ZTtZR \\{0}βj（s，yj）~Nj（dyj，ds），t∈ [0，T]。然后，对于具有独立分量的多元复合泊松过程，我们得到了定理3.3的以下版本。定理3.4。在假设II下，假设存在一对（^π，^κ）和（^θ，^Д）∈从而使过程Z^θ，^Д为正，（3.4），（3.6）和1- ^κjtyj=^Иj（t，yj）1+βθ，θ，j（t，yj）Zθ，θt-, j=1，M（3.8）保持所有t的a.s∈ [0，T]。对于τjm，如果κjτjmYjm<1≤ T对于所有j=1，M和Δ^π，^κ，^DT≤ xwith^D=Dx，^θ，^Д。然后（π，κ，D）∈ A并且该策略是最优的。3.2预防性收益保留在双重公式中，我们使用股息支付率过程Dx，θ，Д=I（·，Yθ，Д（x）Hθ，Д）的定义来研究风险规避、谨慎、投资组合约束和保险风险对公司收益保留政策的影响。我们假设不依赖于时间变量，并且U=U≡ U和局部特征（λt，Ft）是确定性的。Let（Д，θ）∈ Θ和ξ>0应固定。为了简单起见，我们去掉了D，H和Yon x，ν，θ的依赖关系。

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2022-6-10 23:01:36

使用It^o公式，I（ξ）=1/U（I（ξ）），I（ξ）=-U（I（ξ））/[U（I（ξ））]我们得到di（ξHt）=ξU（I（ξHt-))dHt公司-ξU（I）（ξHt-))[U（I）（ξHt-))]d hHict+dXs型≤t型I（ξHs）- I（ξHs-) -ξU（I）（ξHs-))Hs公司取ξ=Y（x）=Yθ，Д（x），并使用D=Dx，θ，Д和H=Hθ的定义，ДwegetdDt=Y（x）U（Dt-)Ht公司-n-[rt+θt（ζθt）]dt- θt·dWt- θt·d'Wt+[Д（t，y）- 1] ?eN（dy，dt）o-Y（x）U（Dt-)[U（Dt-)]Ht公司-h |θt |+|θt |+2（θt）>ρtθtidt+dXs型≤t型Ds公司-Y（x）U（Dt-)Ht公司-λtE[Д（t，Yt）- 1] 现在，D的增量满足Ds=I（Y（x）Hs-^1（s，Ys））- I（Y（x）Hs-) = I（U（Ds-)^1（s，Ys））- Ds公司-.由于I是严格递减的，如果Д（s，y）>1（分别<1），则这些增量为正（分别为负）。将跳跃重写为关于N（dy，dt）的积分，进行补偿，取期望值并重新排列，我们得到ddte[dt]=EAR（Dt）nrt+θt（ζθt）+λt[Д（t，Yt-) - 1] o+AP（Dt）[AR（Dt）]n |θt |+|θt |+2（θt）>ρtθto+λtI（U（Dt-)^1（t，Yt-)) - Dt公司-其中AR：=-U/U和AP：=-U/U分别为风险厌恶和谨慎指数的绝对Arrow-Pratt系数。由于AR>0，我们可以看到，平均而言，Dx，θ，νt的增长率随利率rtandθt（ζθt）的增加而增加。此外，如果AP>0（分别<0），则它也对状态价格密度Hθ，ν连续部分的二次协变量作出积极（分别为消极）响应。在存在保险索赔的情况下，我们实际上得出了以下结果。定理3.5。假设ally的U>0（分别<0）和Д（t，y）>1（分别<1）∈ 支持所有t∈ [0，T]。然后，股息支付率dx，θ，νt的预期增长率随着λt.Proof而增加。提供It支持（U（D）Д）- D+AR（D）（Д）- 1) > 0.对于D，Д∈ R+固定。定义f（ξ）：=I（U（D）ξ）。假设U>0，而Д>1。

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2022-6-10 23:01:39

根据中值定理，存在*∈ （1，Д）使F（Д）- f（1）Д- 1=f（Д）*) = I（U（D）Д*)U（D）=U（D）U（I（U（D）^1*)).由于I在减小，而Uis在增大，我们有I（U（D）Д*) < I（U（D））=D和U（I（U（D）Д）*)) < U（D）和所需结果如下。如果出现以下情况，可以使用相同的参数∈ （0，1）和Uis递减。特别是，如果U>0，即如果边际效用是凸函数，并且Д（t，y）>1，就像具有CRRA的效用函数的最优策略一样（见下文（4.1）），那么股息支付过程的漂移随着审慎指数和总预期索赔到达率的增加而增加。如果多元复合泊松过程的组成部分是独立的，则任何两条承保线的波动或跳跃不可能同时发生，我们得到以下结果。推论3.6。假设假设II成立，U>0（分别<0），fjt是绝对连续的，对于某些j∈ {1，…，M}。如果yj中的Дjis不同且增加（分别减少），则股息支付的预期增长率Dx、θ、Дtin随着Fjt的一阶随机优势增加（分别减少）。证据众所周知，Fjt在一阶随机支配意义上支配Fjt当且仅当（参见Eeckhoudt et al【10，Ch.2】）Zψ（yj）Ft（dyj）≥对于任何递增函数ψ（yj），Zψ（yj）~Ft（dyj），因此需要证明，如果φj（t，·）在递增（分别递减），ψ（yj）=I（U（D）φj（t，yj））也是如此- D+AR（D）（Дj（t，yj）- 1）对于t∈ [0，T]固定。

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mingdashike22

2022-6-10 23:01:41

实际上，关于yjj的微分得到ψ（yj）=^1jyjhI（U（D）Дj（t，yj））U（D）+AR（D）i=^1jyjU（D）hU（I（U（D）Дj（t，yj）））-U（D）i。由于φj（t，yj）>1，因此期望结果如下，i减小，ui增大。直觉是，索赔频率的增加和/或索赔分布的一阶随机优势成为了风险收益保留的动机：在给定的时间点，保险人支付股息的比率低于未来任何时间。请注意，谨慎性指数提高了当前的收益留存率，而风险厌恶则降低了它。4幂（CRRA）效用在其余部分中，我们考虑具有常数相对风险规避（CRRA）的幂型效用函数，公式为（t，x）=U（x）=x1-η1-η, η ∈ (0, +∞) \\ {1} ln x，η=1，并假设以下为消耗III。除非η=1（对数效用），否则所有系数都是非随机的。引理4.1。假设（θ，Д）∈ Θ是非随机的。那么，我们有zθ，νt-αθ，Дt，(R)αθ，Дt）>=1- ηηθt，βθ，Д（t，y）Zθ，Дt-+ 1=Д（t，y）-η+1顶。见附录。因此，在前面引理的假设下，条件（3.4）-（3.5）变成^θt=ησ>t^πt，^θt=-ηb>t^κt，^Д（t，y）-η= 1 - ^κ>ty。（4.1）在下面的内容中，为了简单起见，我们放弃了对t的依赖∈ [0，T]。使用（4.1），我们可以根据π和κ重新定义ζθ，如下ζ（π，κ）：=r1- u + ησ(σ>π - ρb>κ），重写（3.2）和互补松弛条件（3.6）asp+ηb[（σρ）>π- b> κ]- λEh（1- κ·Y）ηYi=0（4.2）和θ（ζπ，κ）+π·ζ（π，κ）=0（4.3）。这与定理3.3相结合，意味着以下是我们对CRRA偏好的主要结果。定理4.2。假设存在一对值为Rd×RM+的过程（^π，^κ），它们求解所有y的非线性方程组（4.2）-（4.3），其中^κ·y<1∈ 补充F.进一步假设ζ^π，κ∈ D

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kedemingshi

2022-6-10 23:01:44

那么（π，κ）是最优的。如果假设II成立，即多元复合泊松过程的组成部分是独立的，那么使用引理4.1证明中的相同参数，可以很容易地证明^κ和^Д（t，y）的最优性条件=^Дj（t，yj）1.≤j≤mnowbeans^Иj（t，yj）-η= 1 - ^κjtyj，j=1。M即，^Иj（t，yj）=（1- ^κjtyj）-η、随着yj的作用而增加。然后，根据推论3.6，CRRA优先股的最优股息支付率的预期增长率随着索赔分布Fjt的一阶随机优势而增加。此外，在这种情况下，将方程组（4.2）替换为方程Spj+ηhb（σρ）>π- bb>κij- λjEhYj（1- 对于yj，κjYj）ηi=0（4.4），κjYj<1∈ 对于j=1，…，支持FJJ，M、现在，我们给出了一些组合约束的例子，对于这些例子，（4.2）（或（4.4））和（4.3）的解可以被明确描述。我们首先考虑无约束情况Q=Rd，然后考虑矩形约束，其中包括卖空和借贷约束。4.1无约束投资组合以下结果将Zou和Cadenilas[32]的定理4.1推广到具有随机值索赔的多个承保线的情况。推论4.3。假设Q=Rd，σ是可逆的，并且存在^κ，使得^κ·y<1on supp F满足M方程组h（κ）=0，h（κ）：=p+bhρ>σ-1(u - r1）- η（IM×M- ρ> ρ）b>κi- λEh（1- κ·Y）ηyi然后对（π，κ）是最优的，π=（σ>）-1.ησ-1(u - r1）+ρb>^κ. （4.5）证明。如果Q=Rdthenθ=0，N={0}，那么只有ζπ，κ=0解（4.3），这等于（4.5）。

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2022-6-10 23:01:47

将其插入（4.2）得到方程组h（κ）=0，然后得到期望的结果。注意，最优投资组合等于默顿比例向量π默顿=η（σσ>）-1(u - r1）加上额外的对冲期限（σ>）-1ρb>^κ，帮助企业利用金融市场管理其保险风险敞口。现在，我们继续在d=1和M=2的情况下用数值说明推论4.5。示例4.4。我们假设所有参数在时间上都是常数，并考虑第一个基本示例，其中二元随机变量（Yn，Yn）取概率为q、qand 1的值（c，0）、（0，c）和（c，c- （q+q）分别。那么，对于j=1，hj（κ），2 readh（κ）=p+u- rσ[bρ>]- ηhb（I2×2- ρ> ρ）b>κi- λcq[1- κc]η+c[1- （q+q）][1- （κc+κc）]η,h（κ）=p+u- rσ[bρ>]- ηhb（I2×2- ρ> ρ）b>κi- λcq[1- κc]η+c[1- （q+q）][1- （κc+κc）]η.对于κ∈ R+满足cκ+cκ<1。图1和图2包含η不同值的零级曲线h（κ）=0（蓝色）和h（κ）=0（红色）的曲线图，以及以下参数集（I）q=0.2、q=0.6、u=7%、σ=21%、r=3%、λ=0.1和B=0.2 0.61.3 0.7, c类=3.03.0, p=0.71.1, ρ =0.4 0.5.（二） q=0.2，q=0.7，u=7%，σ=21%，r=3%，λ=0.15和B=0.2 0.30.4 0.6, c类=2.41.7, p=1.30.8, ρ =-0.2 0.3.图3包含最佳^κ随η变化的曲线图∈ [0.3, 4]. 我们发现，对于风险规避系数η的高值，^κ和^κ均降至零，且相应的偿付能力阈值增加。然而，由于相关系数的不同迹象，这种行为对低风险厌恶水平有所不同：对于参数集（I），κ增加，κ减少，而对于参数集（II），κ减少，κ增加。在下一个例子中，我们假设多元复合泊松过程有一个更一般的设置，通过使用其组成部分的依赖性特征，即viaL'evy copulas和尾部积分，例如。

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2022-6-10 23:01:51

参见Kallsen和Tankov【16】。事实上，多元L'evy过程的Sklar\'sTheorem确保存在L'evy copula C:[0+∞]M→ [0, +∞] 使得多元复合泊松过程pτn的L′evy测度ν（dy）≤tYnsatis fiesν[是+∞) ×···×[yM+∞)= CλF（[y+∞)), . . . , λFM（[yM+∞)（4.6）对于yj>0，其中Fjdenotes表示组分Yjn的边际分布。我们将[0，∞)M值随机变量yn0i中没有原子。e、 P（Y=0）=0。然而，如上所述，可能在其中一条线中出现单个权利要求，在这种情况下，严重度Yjn的分布可能不是绝对连续的，并且在0处具有正质量，即FYj（0）=P（Yjn=0）可能不为零。同样，我们关注M=2的情况，并假设最大损失条件supp F [0，c]×[0，c]（4.7）0.00 0.05 0.10 0.15 0.20κ10.000.050.100.150.200.25κ2（a）h1（κ）h2（κ）0.00 0.05 0.10 0.15 0.20κ10.000.050.100.150.200.25κ2（b）h1（κ）h2（κ）0.00 0.05 0.10 0.15 0.20κ10.000.050.150.200.25κ2（c）h1（κh）h2（κ）0.00 0.05 0.10 0.15 0.20κ10.000.050.100.150.200.25κ2（d）h1（κ）h2（κ）图1：对于j=1、2和参数集（I），水平曲线hj（κ）=0。η的值为（a）0.7、（b）1.2、（c）1.7和（d）2.2。对一些正数c，c保持不变。为了确保这一点，为简单起见，我们假设边缘严重性满足策略限制条件p（Yjn≤ yj | Yjn>0）=P（Zjm∧ cj公司≤ yj）其中Zjis与密度fj绝对连续，j=1，2。然后，给出了ν（dy）的节理密度asf（y，y）=λλCyyλ′FZ（y），λ′FZ（y）f（y）f（y），y<c，y<cλCyyλ′FZ（y），λ′FZ（c）f（y）(R)FZ（c），y<c，y=cλλCyyλ′FZ（c），λ′FZ（y）\'FZ（c）f（y），y=c，y<cλλCyyλ′FZ（c），λ′FZ（c）“FZ（c）”“FZ（c）”，y=c，y=c此处“FZJ”表示生存函数。再次，我们限制κ，使cκ+cκ<1。

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kedemingshi

2022-6-10 23:01:54

注：这意味着财富过程必须大于Lc+Lc，这显然是图2：对于j=1、2和参数集（II），水平曲线hj（κ）=0。η的值为（a）1.2、（b）1.7、（c）2.2和（d）2.7。图3：参数集（I）和（II）的最佳^κ作为η的函数。从实际角度来看，限制性很大。之后，我们通过考虑具有独立分量的多元复合泊松过程来放宽这个条件。示例4.5。我们假设一个Clayton copula的公式c（u，v）=（u-δ+v-δ)-δ、 u，v>0，相关参数δ>0。然后Cuv（u，v）=（δ+1）（uv）δ（uδ+vδ）-δ-2、我们也假设Zn~ Exp（θ）和Zn~ 密度函数为SF（z）=θe的Weibull（，%）-z/θ，用于z≥ 0、（4.8）和F（z）=%z%-1exp-z%, 对于z≥ 0。（4.9）同样，我们仅限于一项风险资产的情况。图4显示了以下规格的零级曲线图：u=7%、σ=21%、r=3%、θ=2、%=2、=0.5和b=0.2 0.61.3 0.7, c类=3.03.0, p=0.50.4, ρ =0.3 0.5λ =1.10.1.表1包含最优策略（^π，^κ）。在这种情况下，我们看到，随着依赖参数δ的增加，由于相关性ρ、ρ为正，保险风险可以更有效地部分消除，因此^κ和^κ都会增加，^π也会增加。然而，随着风险厌恶度η的增加，对于固定的依赖度δ水平，^κ和^κ都会减少。（a） δ=1.3，η=1.2（b）δ=1.3，η=1.5（c）δ=1.3，η=1.8（d）δ=1.8，η=1.2（e）δ=1.8，η=1.5（f）δ=1.8，η=1.8（g）δ=2.3，η=1.2（h）δ=2.3，η=1.5（i）δ=2.3，η=1.8图4：水平曲线hj（κ）=0 2和δ和η的不同值，对于具有Z的二元模型~ Exp（2），Z~ 威布尔（0.5，2）。对于具有独立复合泊松过程的业务线，我们得到以下结果。

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2022-6-10 23:01:57

证明与推论4.3中的证明相同。ηδ^κ^κ^π1.21.3 0.2227 0.0668 1.37311.8 0.2297 0.0840 1.44572.3 0.2356 0.0907 1.47971.51.3 0.1980 0.0625 1.16471.8 0.2133 0.0772 1.24242.3 0.2277 0.0852 1.29531.81.3 0.1788 0.0543 1.00211.8 0.1972 0.0668 1.07732.3 0.2189 0.0716 1.1315表1：带Z的双变量模型的最优策略~ Exp（2），Z~威布尔（0.5，2）。推论4.6。假设Q=Rd，假设II也成立。如果存在^κ满足^κjyj≤ yj 1台∈ 支持M方程组h（κ）=0，hj（κ）：=pj+ηbρ>σ-1hη（u- r1）+σρb>κi- b> κj- λjEhYj（1- k jYj）ηi（4.10），对于j=1，M、那么（π，κ）是最优的，π由（4.5）给出。对于数值例子，我们可以放松对保险控制变量κ的约束。即，我们将κ限制为超矩形qmj=10，cj, 这显著削弱了无破产约束。事实上，对于所有j=1，…，财富过程必须大于ljcjj，M、也就是说，总准备金的价值大于每个承保线的最大损失。这对于非寿险多线保险公司来说更为合理，但保险风险流程的不同部分之间的相关性使我们能够建模已支付索赔和已收到保费之间的相互依赖关系，另请参见上文备注2.2。示例4.7。为了说明这个结果，我们再次假设M=2，d=1，Yjn=Zjn∧ cj，j=1，2和Zn~ Exp（2.5）和Zn~ 威布尔（1.1，0.7）。图5（a）包含以下参数的零级曲线图h（κ）=0（蓝色）和h（κ）=0（红色）：η=1.7，u=5%，σ=21%，r=3%，b=1.0 0.51.4 0.7, λ =0.050.10, c类=3.03.0, p=0.71.0和ρ=0.4 0.5.（b）的参数与（a）相同，但风险规避参数η=1.10较低。（c）的参数与（a）相同，但λ=0.01。（d）的参数与（a）相同，但λ=0.01。

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