为了便于说明，我们考虑了同时存在卖空和借贷约束的一种风险资产的情况，以及禁止卖空的几种风险资产的情况Q=[0，∞)K、 ηλλ^κ^κ^π1.1 0.05 0.10 0.2207 0.2593 2.21931.6 0.05 0.10 0.1531 0.1964 1.60872.1 0.05 0.10 0.1159 0.1557 1.25002.6 0.05 0.10 0.1139 0.1537 1.19363.0.05 0.10 0.10 0.0795 0.1134 0.88921.7 0.10 0.1439 0.1868 1.52211.7 0.03 0.10 0.0 1868 0.1695 1.58051.7 0.01 0.10 0.2519 0.1405 1.65581.7 0.05 0.05 0.1063 0.2294 1.59051.7 0.05 0.03 0.0839 0.2549 1.63161.7 0.05 0.01 0.0527 0.29291.6994表2：对于η、λ和λ的不同值，独立复合泊松过程的最佳^κ和^π。示例4.8（卖空和借贷限制，一项风险资产）。我们用asummeK=1和Q=[Q，Q]表示-∞ < q≤ 0≤ q<∞. 对于这种情况，互补松弛条件（4.3）变为平方ζ（π，κ）-- qζ（π，κ）+=0。可以挑选出以下三种可能的解决方案。设（^π，^κ）如推论4.3所示。If^π∈ 【q，q】那么（π，κ）是最优的。2、设^κ为所有y的^κ·y<1∈ 用g（κ）：=ηbb>κ+λEh（1- κ·Y）ηYi。如果ησρb>^κ+u- r>ησq（分别<ησq），则（q，^κ）（分别（q，^κ））是最优的。示例4.9（禁止卖空、多重风险资产）。最后，我们考虑情况Q=[0，∞)K、 在这种情况下，我们有N=Q和θt≡ N上的0。互补松弛条件（4.3）简化为π>ζ（π，κ）=0。我们可以挑出以下几种情况1。设（π，κ）如推论4.3所示。If^π∈ RK+然后（π，κ）是最优的。2、假设存在满足所有y的^κ·y<1的^κ∈ 补充F和M方程组的解g（^κ）=p。如果r1- u - ησρb>^κ∈ Rd+则该对（0，^κ）是最优的。

在这种情况下，风险资产的预期回报率太低，因此最好将所有承销利润投资于无风险资产。让eidenote表示第i坐标中的单位向量。假设有些人∈{1，…，d}存在（β，κ）∈ R1+M+满足所有y的^κ·y<1∈ 1+M方程组的补充与求解g（κ）- βη[bρ>σ>]i=pβη[σ>]ii- η[σρb>κ]i=ui- r、 Ifβη[σσ>]ji- η[σρb>κ]j>uj- 对于所有j 6=i，则（βei，κ）是最优的。也就是说，将承销利润的部分β投资于风险资产i和部分1是最佳选择-无风险资产中的β。如果^β>1，则风险集合中的头寸必须通过无风险利率r.5的借款进行融资。结论由于保险公司将投保人保费的收益投资于金融市场，因此预计保险公司将面临金融部门的风险。从事保险业务的金融公司不断扩大，尤其是通过金融集团，进入类似投行的活动，这大大加深了保险业面临的金融风险。然而，这也造成了复杂的激励问题，当企业集团的不同部分从事不同风险收益的活动时，使用相同的资本基础。这清楚地强调了正确理解保险公司（尤其是从事投资活动的保险公司）面临的金融风险，以及考虑金融资产和承保风险之间的各种相互关系的重要性。在本文中，我们扩展了经典的拉格朗日凸对偶方法来解决多线保险公司的投资组合分配问题。投资和保险负债之间的特殊协整结构使我们能够有解地描述CRRA权力偏好的最佳ALM策略。

特别是，我们证明，面对极端事件和摩擦，财务和多元承保风险都可以部分有效地对冲。这一结果有助于解决一些重要的实际问题，如最优策略对风险规避和模型参数的敏感性。由于偿付能力约束可能会被显著削弱，因此具有从不跳到一起的独立成分的多元复合泊松过程尤其重要，但保险风险过程中不同部分之间的相关性仍然允许建模索赔和收到保费变化之间的相互依赖关系。这说明了我们的发现在非技术层面上的相关性。我们的数值例子还显示了协整对投资保险ALM和多个（依赖和独立）保险风险源的影响。引理3.2的一个证明。表示V：=Vπ，κ，Dand H：=Hθ，Д。使用partsformula对跳跃差异进行积分，我们得到D（VtHt）=Ht-dVt+VtdHt-+ dhVc、Hci+DHX≤t型Hs公司Vsi。在这里，[·]IDE指出了第i列。这里hVc，Hci表示手V连续部分的二次协变过程。然后（VtHt）Ht-及物动词-= [rt+πt·（ut- rt1）+κt·pt]dt+π>tσtdWt-κ> thbtd？重量+年？N（dy，dt）i- [rt+θt（ζθt）]dt-θt·dWt- θt·d'Wt+[Д（t，y）- 1] ?eN（dy，dt）-hπ>tσtθ- κ> tbtθidt-κ> ty[Д（t，y）- 1] ? N（dy，dt）-hπ>tσtρtθt- κ> tbtρ>tθtidt-DtVt-dt。对跳跃测度N（dy，dt）的积分进行补偿，并使用条件（3.2）得到d（VtHt）Ht-及物动词-=-πt·ζθt- θt（ζθt）-DtVt-dt+[π>tσt- θt]dWt-[κ>tbt+θt]d'Wt+[Д（t，y）（1- κ> ty）- 1] ?eN（dy，dt）。根据定义，我们拥有-πt·ζθt- θt（ζθt）≤ 0表示所有t∈ [0，T]。积分得到Hθ，νtVπ，κ，Dt+Hθ，νtDtis是一个非负的局部鞅。

特别地，通过Fatou\'slemma，它是一个超鞅，并且期望的结果如下。定理3.3的证明。该证明将Michelbrik和Le【25，定理1】的论点适用于具有保险风险和投资组合约束的情况。使用It^o的函数为1/x的跳跃扩散过程公式和过程H：=H^θ，我们得到Ht公司= -Ht公司-dHt+Ht-dhHcit公司+^1（t，y）- 1+^И（t，y）- 1.? N（dy，dt）=Ht-nhrt+θt（ζθ）+θt++θt）+2（θt）>ρtθtidt+θ·dWt+θ·d'Wt+h（t，y）- 1i？N（dy，dt）+λtE（t，Yt）- 1] dt公司.回想一下，Y：=0和Yt：=Ynif t∈ （τn-1，τn]。为简单起见，我们使用符号α=α^θ、^Д、\'α=\'α^θ、^Д、β=β^θ、^Д和Z:=Z^θ、^Д。使用跳跃扩散过程的部件积分公式，过程Z/H的差异满足ZtHt公司= Zt公司-dHt公司-+Ht公司-dZt+dDZc，HcEt+Ht-β（t，y）^И（t，y）- 1.? N（dy，dt）=Zt-Ht公司-rt+θt（ζ^θ）+^θt+^θt+ 2（^θt）>ρt^θtdt+^θt·dWt+^θ·d’Wt+αtZt-· dWt+hД（t，y）- 1i？N（dy，dt）+λtE（t，Yt）- 1] dt+(R)αtZt-· d？Wt+β（t，y）Zt-?eN（dy，dt）+Zt-h类αt··θt+’αt··θt+（θ）>ρt··αt+α>tρt··θtdt+β（t，y）h^И（t，y）- 1i？N（dy，dt）io- Dx，θ，θtdt。使用（3.5）和▄N（dy，dt）=N（dy，dt）- 我们得到的Ft（dy）λtdtZtHt公司=Zt公司-Ht公司-nhrt+θt（ζθ）+θt+θt+ 2（θt）>ρtθtidt+θt·dWt+θ·d'Wt+αtZt-· dWt+(R)αtZt-· d’Wt- κt·y？N（dy，dt）+λtE[Д（t，Yt）^κt·Yt]dt+Zt-hαt·θt+’αt·θt+（θ）>ρt′αt+α>tρtθtidto- Dx，θ，θtdt。（3.4）与^θ和^θt的点积，以及（3.6），允许将dt项转换为RT+θt（^πt）- πt·[rt1- ut+σt（^θt+ρt^θt）]+^π>tσt^θt- ^κ>tbt^θt+λtE[Д（t，Yt）κt·Yt]+^π>tσtρt^θt- ^κ>tbtρ>t^θt，依次等于rtθt（^πt）+^πt·（ut- rt1）+κt·ptby条件（3.2）。使用onceagain（3.4），我们可以看到Z^θ，^Д/H^θ，^Д解出由（^π，^κ）和Dx，^θ，^Д控制的财富方程（2.5）。

现在，由于Z^θ，^Д/H^θ，^Д=E[H^θ，^ДtGx，^θ，^ДT]=X^θ，^Д（Y^θ，^Д（X））=X，通过（2.5）的解的唯一性，我们得到Vx，^π，κ，^D=Z^θ，^Д/H^θ，^是的。这特别意味着J（x；π，κ，Dx，θ，Д）＝J（Gx，θ，Д，Dx，θ，Д）。策略π、κ、Dx、θ、ν是可容许的证明与Michelbrik和Le中引理1的第（ii）部分的证明相同【25】。我们可以得出这样的结论：策略（^π，^κ，^D）的^D=Dx，θ，Д是最优的。4.1命题的证明。Let（θ，Д）∈ Θ和x>0是固定的。为简单起见，如前所述，我们表示H=Hθ，Д，G=Gx，θ，Д和D=Dx，θ，Д。设M为鞅定义的asMθ，νt：=EHTG+ZTHsDsds英尺, t型∈ [0，T]。请注意，对于所有t，此过程满足t=Zt+ZTHSDSDSDS∈ [0，T]，Z=Zθ，νtas in（3.3）。因此，过程α=αθ，Д，(R)α=(R)αθ，Д和β=βθ，Д分别是M关于W、(R)W和（dy，dt）的鞅表示中的被积函数。对于CRRA偏好，我们有I（t，y）=I（y）=y-η.然后Dt=I（t，Y（x）Ht）=[Y（x）Ht]-1/η和X（y）=Xθ，Д（y）=y-ηXθ，ν（1），Y（X）=Yθ，ν（X）=xX（1）-η，x（1）=EZTH公司-η+1tdt+H-η+1T.因此，Dt=xX（x）H-1/ηt。现在，过程H满足H-η+1=Lh，L线性SDEdLt=Lt的指数鞅解-1.- ηηθt·dWt+θt·d'Wt+hИ（t，y）-η+1- 1i？eN（dy，dt）L=1，h确定性，因为它是仅依赖于rt，λt，Ftand（θ，ν）的函数的确定性（Lebesgue）积分的指数。然后，Z satis fieszt=EHTG+ZTHsDsds英尺=xXθ，Д（1）LthT+ZTthsds对于所有t∈ [0，T]。使用HD=xX（x）Lh，我们得到dmt=dZt+HtDtdt=xX（1）hT+ZTthsdsdLt=Zt-1.- ηηθt·dWt+θt·d'Wt+hИ（t，y）-η+1- 1i？eN（dy，dt）.通过比较最后一个微分的系数与线性后向SDE的系数（3.3），得出所需的结论。参考文献[1]PaulM Achleitner、Jorg H Biebel和Daniel Wichels。

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