保险公司的最优信贷投资与风险控制

2022-6-10 07:03:52

制度变迁下保险人的最优信用投资与风险控制*廖华富+王永金2018年7月17日摘要本文研究了一类具有违约传染和制度转换的保险人的最优投资和风险控制问题。在我们的模型中，保险人在制度转换风险下，将其财富分配给多个名字的可违约股票和无风险债券。违约事件会影响投资组合中幸存股票的困境状态。保险人的目标是通过选择最优投资和风险控制策略，最大限度地提高终端财富的预期效用。我们刻画了可违约股票的最优交易策略和保险公司的风险控制。通过发展截断技术，我们分析了递归HJB系统全局（经典）解的存在唯一性。我们证明了基于递归HJB系统（经典）解的验证理论。AMS 2000科目分类：3E20、60J20。关键词和短语：最优投资；违约传染；制度转换；递归动力系统。自默顿的开创性工作【15，16】以来，投资组合优化问题一直是大量研究的主题。近年来，混合扩散模型受到了研究人员和从业者的大量关注。特别是，制度转换模型（作为一类混合模型）通常是为了捕捉宏观经济体系转型或宏观调控对市场行为的影响而提出的。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 07:03:55

张周研究*电子邮件：lijunbo@ustc.edu.cn，中国科学技术大学数学科学学院，合肥，安徽省，230026；中国科学院吴文村数学重点实验室，合肥，安徽省，230026。+电子邮件：lh FLhf@mail.ustc.edu.cn，中国科学技术大学数学科学学院，安徽合肥，230026，中国电子邮件：yjwang@nankai.edu.cn，南开大学商学院，天津，300071，中国。股票贷款的估值，其中，潜在股票价格使用两状态隐马尔可夫链建模为马尔可夫调制的几何布朗运动。Elliott等人【10】考虑广义马尔可夫调制跳跃扩散模型下的期权定价。Capponi等人[8]获得了由潜在连续时间Markovchain驱动的市场中脆弱未定权益的无套利价格过程的泊松级数表示。除了经典的默顿终端财富效用最大化模型外，近年来越来越多地考虑了不同的港口组合管理随机控制标准。Zhou和Yin[21]研究了连续时间模型中具有制度转换的马科维茨均值-方差投资组合选择。Elliott和Siu【9】研究了当经济主体面临模型不确定性时，马尔可夫调制Black-Scholes市场中的最优投资组合选择问题。Shen和Siu[18]讨论了一个具有多个风险集的隐马尔可夫调制资产价格模型中的消费组合优化问题，在这种情况下，经济主体只能获得有关风险股定价过程的信息。Andruszkiewicz等人。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

何人来此

2022-6-10 07:03:58

[1] 考虑一个跳跃-扩散机制转换市场模型下的风险敏感投资问题。本文的目的是考虑一个保险公司投资组合分配和风险控制的分析框架，该框架明确说明了制度转换和信用风险之间的相互作用。在实证研究中，这两种风险源被确定为紧密相关的，例如，坎贝尔和塔克斯勒【6】。对于定价，Carr和Linetsky【5】、Carr和Wu【4】提出了考虑违约强度对资产波动性依赖性的模型，Mendoza Arriaga和Linetsky【14】将其扩展到了多名称上下文。我们提出了一个模型，在该模型中，转换机制，捕捉基础信贷市场的状态或模式，驱动风险资产价格过程的波动性和违约风险。此外，保险人负债控制的总风险由投资组合的转换机制和信用状态驱动。Zou和Cadenilas[22]考虑了一个单一无违约资产的最优投资和风险控制问题。Zou和Cadenilas[23]对多重无违约资产和制度转换的情况进行了扩展。最近，彭和王[17]研究了对保险业务有一定内幕信息的保险公司的最优投资策略和风险控制。Bo和Wang[3]关注的是随机差异因素下保险人的最优投资和风险控制问题。我们将制度转换和违约传染风险之间的相互作用纳入风险控制模型。与无违约情况不同，违约事件对投资组合中幸存股票的困境状态有影响。由于违约可能按顺序发生，存续名称的违约强度受到投资组合中其他股票违约事件的影响。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 07:04:01

因此，就投资组合的违约状态而言，与随机控制问题相关的HJB系统是递归的。递归的深度等于投资组合中的股票数量。我们使用向后递归分析了HJB方程和股票最优策略所满足的约束方程。递归过程从所有股票都处于默认状态开始，然后回归到所有股票都处于活动状态。由于我们的控制问题的策略空间不是紧的，因此分析这个耦合系统的解的主要困难在于系统的一般默认状态和非Lipschitz非线性。Andruszkiewicz等[1]在一个紧凑的政策空间下，在有限的因子模型中处理风险敏感的投资问题。通过验证全局Lipschitz连续系数，可以建立RHJB方程解的存在性和唯一性。本文证明，仅当对应于解的变量不接近零时，耦合系统的非线性才是Lipschitz连续的（见引理4.3）。这建议开发一种截断技术，使系统中的截断非线性是全局Lipschitz连续的，并考虑截断递归耦合系统的近似。为此，我们建立了两个耦合单调动力系统的关键比较结果（见引理4.4）。关于单调动力系统的定义，请读者参考Smith[19]。为了构造近似截断系统的极限，我们证明近似系统允许一致（严格正）下界，然后可以验证该极限是递归HJB系统的唯一全局解（见定理4.5）。论文的其余部分组织如下。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 07:04:04

第二节介绍了制度转换和信用风险互动的市场模型。第3节阐述了保险公司的动态优化问题，并推导了递归HJB系统。第4节分析了递归HJB系统的（经典）解。最优投资和风险控制策略在同一节中有所描述。同一节还证明了一个验证定理。第5节进行了数值分析。附录中提供了其他技术证明。2该模型我们认为金融市场由n≥ 1可违约股票和无风险货币市场账户。让(Ohm, G、 G，P）是一个完整的过滤概率空间，其中全局过滤G：=F∨Z∨Zis被所有P-null集扩充，以满足通常的条件。设T>0为最终目标视界。过滤F：=（Ft）t∈[0，T]，其中fti是由独立的多维标准布朗运动生成的西格玛代数，用w表示：=（Wj（T）；j=1，d） >t∈[0，T]，\'W：=（\'Wj（T）；j=1，\'\'d）>t∈[0，T]和状态切换过程Y：=（Y（T））T∈[0，T]介绍如下。这里是d，\'d≥ 1，我们使用>表示Transpose操作符。接下来，我们指定过滤Zand Z。默认状态由n维默认指标过程Z描述：=（Zj（t）；j=1，n） t型∈[0，T]取S上的值：={0，1}n。对于j=1，n、第j个股票的默认时间由τj：=inf{t给出≥ 0; Zj（t）=1}。（1）过滤Z：=（Z1t）t∈[0，T]，其中σ代数Z1t：=Wnj=1σ（Zj（s）；s≤ t）。Hencez保存有关默认事件的所有信息，直到目标地平线T。过滤Z：=（Z2t）t∈其中σ代数Z2t：=σ（（Ni，z（s），（i，z）∈ {1，…，m}×S）；s≤ t）。这里Ni，z：=（Ni，z（t））t∈（i，z）的[0，T]∈ {1, . . .

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

点击查看更多内容…

2022-6-10 07:04:07

，m}×S是独立的泊松过程，其各自的强度ν（i，z）>0，将用于建模下文（6）和（7）中介绍的保险人的风险控制过程。我们的模型由四个部分组成：保险公司的注册切换过程、信用模型、价格过程和风险过程。这些模块中的每一个都将在续集中详细介绍。制度转换过程。这里的区域切换过程Y被描述为状态空间为{1，…，m}的连续时间（保守）马尔可夫链，其中m≥ 1，它独立于多维布朗运动（W，’W）。马尔可夫链Y的生成元由m×m维矩阵Q：=（qij）m×m给出。这就得到了qii≤ 0 fori∈ {1，…，m}，qij≥ 0表示i 6=j，PMJ=1qij=0表示i∈ {1，…，m}（即Pj6=iqij=-奇福一号∈ {1，…，m}）。信用风险模型。状态切换过程和缺省指标过程的联合过程（Y，Z）是状态空间{1，…，m}×S的联合马尔可夫过程∈ [0，T]，默认指示器进程从状态Z（T）：=（Z（T），Zj公司-1（t），Zj（t），Zj+1（t），Zn（t）），其中股票j对相邻状态Zj（t）有效（Zj（t）=0）：=（Z（t），Zj公司-1（t），1- Zj（t），Zj+1（t），其中股票j以随机利率1Zj（t）=0hj（Y（t），Z（t））违约。这里hj（i，z）>0表示所有（i，z）∈ {1，…，m}×S。我们假设Y（t），Z（t），Zn（t）几乎肯定不会同时跳跃。因此，如果投资组合中的任何其他股票违约（传染效应），或者如果存在制度转换（市场风险效应），则第j支股票的违约强度可能会发生变化。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 07:04:10

因此，我们的默认模型属于Frey和Backhaus[11]引入的丰富的交互强度模型（另请参见Birge等人[2]引入的具有不同因子的交互默认强度模型）。此后，我们设定（i，z）：=（hj（i，z）；j=1，n） >对于（i，z）∈ {1，…，m}×S.价格过程。n个可违约股票的价格过程向量表示为▄S：=（▄Sj（t）；j=1，n） >t∈[0，T]。对于t∈ [0，T]，第j个可违约股票的价格过程由▄Sj（T）=（1）给出- Zj（t））Sj（t），j=1，n、（2）换句话说，第j个股票的价格由预设价格Sj（t）到τj给出-,在时间τj跳到0，之后它将永远保持不变。违约前价格过程的动力学S：=（Sj（t）；j=1，n） >t∈n个可违约库存中的[0，T]是给定的nbyds（T）=diag（S（T））[（u（Y（T））+h（Y（T），Z（T）））dt+σ（Y（T））dW（T）]。（3）上面，diag（S（t））是对角线n×n维矩阵，其中对角线元素Sj（t）为j=1，n、对于每个i∈ {1，…，m}，向量u（i）为Rn值，σ（i）为Rn×d值矩阵，因此σ（i）σ（i）>为正定义。式（3）表示持有信用敏感证券的投资者以最低利率h（Y（t），Z（t））补偿所产生的违约风险。利用方程（2）、（3）和分部积分，可违约股票价格的动态可由以下公式得出：bydS（t）=diag（S（t））[u（Y（t））dt+σ（Y（t））dW（t）- dM（t）]，（4）式中，M：=（Mj（t）；j=1，n） >t∈[0，T]是由mj（T）：=Zj（T）给出的纯跳P-鞅-Zt公司∧τjhj（Y（s），Z（s））ds，t∈ [0，T]。（5）风险控制流程。对于风险控制过程，用η（t）表示t时G-可预测的未偿付保单（负债）总数。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 07:04:13

索赔的风险模型被描述为广泛的Cram'er-Lundberg模型，其中每个保单的索赔（风险）C=（C（t））t∈[0，T]由以下动力学c（T）=c（Y（T））dt+φ（Y（T））dW（T）+φ（Y（T））d'W（T）+g（Y（T）给出-))dN（t），（6），其中，对于每个i=1，m、挥发度φ（i）和φ（i）分别是d维和d维非零行向量，漂移c（i）∈ R、和正跳跃大小（claimsize）g（i）∈ R+：=（0，∞). 这里，跳转过程N：=（N（t））t∈[0，T]是一个马尔可夫调制泊松过程，其正强度过程由（ν（Y（T），Z（T）））T给出∈[0，T]。对于t∈ [0，T]，过程N（T）表示在时间间隔[0，T]中发生的索赔数量。更准确地说，我们可以重写N（t）asN（t）=X（i，z）∈{1，…，m}×SZtY（s-)=i、 Z（s）-)=zdNi，z（s）。（7）我们回顾一下（i，z）∈ {1，…，m}×S，Ni，z=（Ni，z（t））t∈[0，T]是具有各自强度ν（i，z）的独立泊松过程，而且它们也独立于随机过程（W，\'W，Y）。那么，我们就有了，对于t∈ [0，T]，~N（T）：=N（T）-X（i，z）∈{1，…，m}×SZtY（s）=i，Z（s）=Zν（i，Z）ds=N（t）-Ztν（Y（s），Z（s））ds（8）是一个P-鞅。所谓的贸易信用保险是一种保险产品，其索赔强度取决于股票的违约状态和经济体制（见Jones[13]）。贸易信用保险保护供应商免受买方不付款的风险。供应商向买方交付未付款的货物或服务，并允许买方延期付款。为了确保付款，供应商购买了tradecredit保险产品。如果买方违约，保险公司将支付保费。这意味着，当买方由于长期违约、资不抵债和破产等信用风险而未能向供应商付款时，索赔就会到来。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 07:04:16

因此，买方违约的可能性与股票违约状态和经济区域相关。（6）中的唯一术语c（Y（t））dt+φ（Y（t））dW（t）+φ（Y（t））d'W（t）模拟了每个保单索赔价值的变化。从等式（4）和（6）可以看出，除了索赔的风险（纯跳跃）模型外，保单C（t）的索赔（风险）也由特殊的风险源W驱动，并且与可预测的股票价格S（t）具有共同的风险源W。因此，Zou和Cadenilas【22】认为，在我们的案例中，被保险人的总风险可以描述为Drη（t）=η（t）dC（t）。（9）下一节将阐述保险公司的动态优化问题，并使用动态规划原理正式推导递归HJB系统。3保险人的动态优化在本节中，我们制定了保险人的最优投资和风险控制问题，并相应地导出了递归HJB系统。因此，对于j=1，n、设∧πj（t）为时间t时第j个可违约股票的G-可预测分数策略。我们假设一旦发生违约，保险人不会投资该股票。然后是1- §π（t）>e>是时间t时无风险货币市场账户的分拆策略。货币市场账户B（t）的动态由dB（t）=r（Y（t））B（t）dt给出，其中，i=1时的制度转换利率r（i）>0，m、这里|π（t）：=（|πj（t）；j=1，n） >和EndNotesN维行向量，其所有实体均为1。我们假设保险人的平均每项责任保费为p（Y（t），Z（t））（即，它不仅取决于宏观经济，还取决于投资组合的违约状态），那么保险风险的价格满足动态dP（t）=p（Y（t），Z（t））dt- dC（t）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 07:04:19

事实上，保险人可以通过销售保险产品并将其部分或全部业务割让给再保险人来交易这一风险过程。回想一下，η（t）代表第2节中引入的时间t时G-可预测的未偿付保单（负债）总数。设X▄π，▄l（t）代表对应于策略（▄π，▄l）的时间t财富水平，则自融资条件产生dx▄π，▄l（t）X▄π，▄l（t-)= ~π（t）>诊断（~S（t-))-1dS（t）+1.- π（t）>e>ndB（t）B（t）+l（t）dP（t）（10）=π（t）>诊断（~S（t-))-1dS（t）+1.- π（t）>e>ndB（t）B（t）+p（Y（t），Z（t））~l（t）dt- dR▄l（t），其中▄l（t）是时间t时负债与财富的比率。根据动力学（9），我认为dR▄l（t）=▄l（t）c（Y（t））dt+φ（Y（t））dW（t）+φ（Y（t））d'W（t）+g（Y（t-))dN（t）. （11）使用方程式（10）和（11），保险人的财富过程可以改写为dxπ，l（t）Xπ，l（t-)=r（Y（t））+￠π（t）>（u（Y（t））- r（Y（t））e>n）+l（t）（p（Y（t），Z（t））- c（Y（t）））dt公司+π（t）>σ（Y（t））-l（t）φ（Y（t））dW（t）-l（t）(R)φ（Y（t））d'W（t）（12）- ~π（t）>dM（t）-l（t）g（Y（t-))dN（t）。接下来，我们给出本文将使用的容许控制集的定义。定义3.1。容许控制集U是一类G-可预测反馈策略（△π（t），△l（t））t∈[0，T]：=（§πj（T）；j=1，n） >，▄l（t））t∈[0，T]，由马尔可夫控制▄πj（T）给出：=πj（T，X▄π，▄l（T-), Y（t-), Z（t-)) 对于j=1，n、非负马尔可夫控制▄l（t）：=l（t，X▄π，▄l（t-), Y（t-), Z（t-)) 这样保险人的财富过程X▄π，▄l（t）对于所有t都是非负的∈ [0，T]。此外，πj（t）=πj（t）（1-Zj（t-)) 对于j=1，n、反馈控制函数πj，j=1，假设n和l是局部有界的。我们用U表示上述反馈函数的集合（π，l）：=（（πj；j=1，…，n）>，l）。对于x∈ R+，设U（x）：=γxγ，带γ∈ （0，1）是电源（CRRA）实用程序。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 07:04:22

我们从被保险人的最终财富考虑以下期望效用最大化问题，由，for（t，x，i，z）∈ [0，T]×R+×{1，…，m}×S，V（T，x，i，z）：=sup（￠π，l）∈UEhU（X▄π，▄l（T））X▄π，▄l（t）=X，Y（t）=i，Z（t）=zi。（13）假设V是C1,2in（t，x）∈ [0，T]×R+每个（i，z）∈ {1，…，m}×S。然后，It^o\'S公式产生thatdV（t，X|π，|l（t），Y（t），Z（t））=五、t+X|π，|l（t）五、x个r（Y（t））+～π（t）>θ（Y（t），Z（t））+～l（t）（p（Y（t），Z（t））- c（Y（t）））+（X|π，|l（t））五、x个π（t）>σ（Y（t））σ（Y（t））>▄π（t）+（▄l（t））（φ（Yt）φ（Yt）>+(R)φ（Y（t））(R)φ（Y（t））>）- 2▄l（t）▄π（t）>σ（Y（t））φ（Y（t））>dt+X|π，|l（t）五、xn公司π（t）>σ（Y（t））-l（t）φ（Y（t））]dW（t）-l（t）(R)φ（Y（t））d'W（t）o+V（t，X|π，|l（t-) -~l（t）X▄π，~l（t-)g（Y（t-)), Y（t-), Z（t-)) - V（t，X|π，|l（t-), Y（t-), Z（t-))dN（t）+nXj=1V（t，X|π，|l（t-) - ~πj（t）X ~π，~l（t-), Y（t-), Zj（t-)) - V（t，X|π，|l（t-), Y（t-), Z（t-))dZj（t）+Xj6=Y（t-)[V（t，X∏，l（t-), j、 Z（t-)) - V（t，X|π，|l（t-), Y（t-), Z（t-))dHY（t-),j（t）。（14）这里，系数θ（i，z）：=u（i）- （i，z）的r（i）e>n+h（i，z）∈ {1，…，m}×S，和过程，对于t∈ [0，T]，Hij（T）：=X0<s≤tY（t-)=i、 Y（t）=j，i，j∈ {1，…，m}和i 6=j.（15）动态规划原理得出值函数V满足以下HJB方程，即（t，x，i，z）∈ [0，T）×R+×{1，…，m}×S，0=V（t，x，i，z）t+r（i）xV（t，x，i，z）x+Xj6=iV（t，x，j，z）- V（t，x，i，z）qij+sup（π，l）∈U（xV（t，x，i，z）x个π> （一）- diag（z））θ（i，z）+l（p（i，z）- c（i））+x个V（t，x，i，z）x个π> （一）- diag（z））σ（i）σ（i）>（i- diag（z））π+l（φ（i）φ（i）>+(R)φ（i）(R)φ（i）>）- 2lπ>（I- diag（z））σ（i）φ（i）>+V（t，x- xlg（i），i，z）- V（t，x，i，z）ν（i，z）+nXj=1V（t，x- πjx，i，zj）- V（t，x，i，z）(1 - zj）hj（i，z））（16），终端条件V（T，x，i，z）=所有（x，i，z）的U（x）∈ R+×{1，…，m}×S。这里，对于J=1，n、和z∈ S、泄漏状态定义为ZJ=（z，…）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

能者818

2022-6-10 07:04:25

，zj-1, 1 - zj，zj+1，锌）。（17）特别是，如果j=0，我们设置zj=z。可以观察到，等式（16）实际上是一个关于默认状态z的递归动力系统∈ S、此外，如果我们考虑V（t，x，i，z）=xγД（t，i，z）形式的值函数，则Д（t，i，z）满足由，for（i，z）给出的递归动力系统∈{1，…，m}×S，在t上∈ [0，T），0=^1（t、i、z）t+γr（i）Д（t，i，z）+mXj=1Д（t，j，z）qij+sup（π，l）∈UH（π，l）；i、 z，（Д（t，i，zj）；j=0，1，n）（18）对于所有（i，z），终端条件Д（T，i，z）=γ∈ {1，…，m}×S.对于（π，l）∈ (-∞, 1] n×[0，∞) 和（i，z）∈ {1，…，m}×S，函数h（π，l）；t、 i、z、f（z）= γπ> （一）- diag（z））θ（i，z）+（p（i，z）- c（i））lf（z）+γ(γ - 1） π>（I- diag（z））σ（i）σ（i）>（i- diag（z））π+[（1- lg（i））γ- 1] ν（i，z）+γ（γ- 1） lφ（i）φ（i）>+’φ（i）’φ（i）>- γ(γ - 1） lπ>（I- diag（z））σ（i）φ（i）>f（z）+nXj=1[（1- πj）γf（zj）- f（z）]（1- zj）hj（i，z），（19），其中'f（z）=（f（zj）；j=0，1，n）是定义在z上的任意向量值函数∈ S、在下一节中，我们将研究递归HJB系统（18）的（经典）解的存在性和唯一性。4迭代HJB方程分析本节分析递归动力系统（18）在默认状态z下全局（经典）解的存在性和唯一性∈ S、我们将介绍本节中经常使用的符号。对于x∈ Rm，我们写x=（x，…，xm）>作为m维列向量。对于任意x，y∈ Rm，我们写了≤ y如果xi≤ Yi对于所有i=1，m、当我们写x<y如果x≤ 是的，还有一些∈ {1，…，m}这样xi<yi。特别是，我们写x y如果xi<yi对于所有i=1，2。。。，m、回想一下，endenotes是一个n维行向量，其所有实体都是一。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 07:04:28

对于常规默认状态z∈ S、我们引入了一般的默认状态表示z=0j，。。。，指数j6=···6=属于{1，…，n}，和k的jk∈ {0，1，…，n}。这样的向量z是通过复制条目j，零向量的jk为1，即zj=···=zjk=1，对于j，zj=0/∈ {j，…，jk}（如果k=0，我们设置z=0j，…，jk=0）。显然是0j，。。。，jn=en。回想一下递归动力系统（18），默认状态z=0j，。。。，jk（其中k=0，1，…，n）。可解性实际上可以按照默认状态的递归形式进行分析。因此，我们分析系统的证明策略基于递归过程，从默认状态z=en（即所有股票都已默认）开始，然后返回到默认状态z=0（即所有股票都处于活动状态）。（i） k=n（即所有股票都已违约）。在这种违约状态下，保险人不会投资股票，因为他们已经违约，因此π给出了股票的最优分数策略*= · · · = π*根据定义3.1，n=0。设Д（t，en）=（Д（t，i，en）；i=1，m） >。然后，动力系统（18）减少到滴滴涕Д（t，en）=- A（n）Д（t，en），in[0，t）；Д（t，en）=γe>m.（20）这里系数矩阵由A（n）=diag“γr（i）+supl给出∈U（n）H（n）（l，i）；i=1，m！#+Q、（21）在这种情况下，（21）中的策略空间减少为toU（n）：={l=l（i）∈ [0, +∞); 1.- lg（一）≥ 0}. （22）此外，函数H（n）（l，i）由，for（l，i）给出∈ [0, ∞) ×{1，…，m}，H（n）（l，i）：=γ（p（i，en）- c（i））l+γ（γ- 1） lφ（i）φ（i）>+’φ（i）’φ（i）>+ [(1 - lg（i））γ- 1] ν（i，en）。自γ起∈ （0，1），不难验证每个i=1，m、 H（n）（l，i）是紧U（n）上l上连续且严格凹的。因此，存在唯一的optimuml*∈ U（n），由byl给出*= l*（i） =参数最大值∈U（n）H（n）（l，i），i=1，m。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

nandehutu2022

2022-6-10 07:04:31

（23）此外，我们还有supl∈U（n）H（n）（l，i）=H（n）（l*, （一）∈ [0, ∞) 对于每个i=1，m、然后，由（21）给出的系数A（n）矩阵是有限的。接下来我们证明了动力系统（20）有唯一的严格正解。为此，我们需要以下辅助结果，这些结果也将用于与一般违约情况相关的证明。附录中提供了证明。引理4.1。设g（t）：=（gi（t）；i=1，m） >满足以下给定动力系统ddtg（t）=Bg（t）in（0，t）；g（0）=ξ。如果B=（bij）m×msatis fies bij≥ 0表示i 6=j和ξ 0，然后g（t） 0表示所有t∈ [0，T]。然后我们有下面的引理，其证明在附录中给出。引理4.2。动力系统（20）有一个唯一的解，由fort给出∈ [0，T]，Д（T，en）=γeA（n）（T-t） e>m=γ∞Xi=0（A（n））i（T- t） ii！e> m，（24），其中m×m维矩阵A（n）由（21）给出。此外，它认为Д（t，en）0表示所有t∈ [0，T]。接下来我们考虑一般默认状态，其形式为z=0j，。。。，0的JK≤ k≤ n-1，即股票j，jk已经默认，股票{jk+1，…，jn}：={1，…，n}\\{j，…，jk}仍然有效。那么，我们有（ii）自股票j，jk默认，股票的最优分数策略j，jk由π（k，*)j=0表示j∈ {j，…，jk}根据定义3.1。设Д（k）（t）=（Д（t，i，0j，…，jk）；i=1，m） >，p（k）（i）=p（i，0j，…，jk），对于j，h（k）j（i）=hj（i，0j，…，jk）/∈ {j，…，jk}和i=1，m、因此，此默认状态下的相应HJBsystem（18）减少为滴滴涕Д（k）（t）=- A（k）Д（k）（t）- G（k）（t，Д（k）（t）），in[0，t）；Д（k）（t）=γe>m.（25）这里，m×m维矩阵A（k）由A（k）=diag给出γr（i）-Xj公司/∈{j，…，jk}h（k）j（i）；i=1，m级+ Q、（26）系数G（k）（t，x）=（G（k）i（t，x）；i=1。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 07:04:33

，m）>对于（t，x）∈ [0，T]×Rmis givenby，对于i=1，m、 G（k）i（t，x）=sup（π（k），l）∈U（k）Xj公司/∈{j，…，jk}（1- π（k）j）γh（k）j（i）~n（k+1），j（t，i）+h（k）（（π（k），l），i）xi,（27）在此默认情况下，策略空间由u（k）给定：=n（π（k），l）=（π（k）（t，i），l（t，i））∈ (-∞, 1] n个-k×[0，∞); 1.- lg（一）≥ 0度。（28）函数Д（k+1），j（t，i）：=j的Д（t，i，0j，…，jk，j）/∈ {j，…，jk}对应于默认状态z=j，…，下HJB系统（18）正解的第i个元素，。。。，函数H（k）（（π（k），l），i）由，for（π（k），l）给出∈ U（k），i=1，m、 H（k）（（π（k），l），i）=γ（π（k））>θ（k）（i）+（p（k）（i）- c（i））l+γ(γ - 1） n（π（k））>σ（k）（i）σ（k）（i）>π（k）+lφ（i）φ（i）>+’φ（i）’φ（i）>- 2l（π（k））>σ（k）（i）φ（i）>o+(1 - lg（i））γ- 1.ν（k）（i）。（29）这里，对于每个i=1，m、我们使用符号π（k）=（π（k）j；j/∈ {j，…，jk}）>，θ（k）（i）=（θj（i）；j/∈ {j，…，jk}）>，σ（k）（i）=（σjκ（i）；j/∈ {j，…，jk}，κ∈ {1，…，d}），和ν（k）（i）=ν（i，0j，…，jk）。从（27）给出的G（k）i（t，x）的表达式中可以看出，解Д（k）（t）ont∈ 公式（18）的[0，T]在z=0j，。。。，jk取决于解ν（k+1），j（t）取决于t∈ [0，T]ofEq。（18） z=0j时，。。。，jk，jfor j/∈ {j，…，jk}。特别是，对于k=n- 1，溶液Д（k+1），j（t）=Д（t，en）引理4.2中得到了与方程（18）在z=en（即k=n）下的解相对应的0。这建议按照默认状态z=0j，…，递归地解决HJB系统（18）的反向问题，。。。，jk。因此，为了分析动力系统（25）正（经典）解的存在性和唯一性，我们首先假设HJB系统（18）在t∈ 对于j，[0，T]/∈ {j，…，jk}。我们对（27）给出的G（k）（t，x）有如下估计，这在下面的引理中说明。证据见附录。引理4.3。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 07:04:36

对于每个k=0，1，n- 1，假设HJB系统（18）允许正唯一（经典）解ν（k+1），t上的j（t）∈ 对于j，[0，T]/∈ {j，…，jk}。然后，对于任何x，y∈ rm满足x，y≥ εe>m当ε>0时，存在一个正常数C=C（ε），取决于ε>0，只有这样G（k）（t，x）- G（k）（t，y）≤ C kx- yk。（30）这里k·k表示欧几里得范数。为了研究HJB系统（25）解的存在性和唯一性，我们还需要以下比较结果。证明委托给附录。引理4.4。设gκ（t）：=（gκi（t）；i=1，m） >当k=1时，2分别满足[0，T]上的下列动力系统ddtg（t）=f（t，g（t））+~f（t，g（t）），in（0，t）；g（0）=ξ，ddtg（t）=f（t，g（t）），in（0，t）；g（0）=ξ。这里的函数f（t，x），~f（t，x）：[0，t]×Rm→ Rmare-Lipschitz连续w.r.t.x∈ RMT均匀分布在t中∈ [0，T]。函数f（t，·）满足每个t的K型条件∈ [0，T]（即，对于任何x，y∈ RMX令人满意≤ y和xi=yi对于某些i=1，m、它认为fi（t，x）≤ 每个t的fi（t，y）∈ [0，T]）。如果▄f（t，x）≥ 0表示（t，x）∈ [0，T]×Rmandξ≥ ξ、 theng（t）≥ g（t）表示所有t∈ [0，T]。我们现在可以说明HJB系统正（经典）解的存在性和唯一性的结果（25）。定理4.5。对于每个k=0，1，n- 1，假设HJB系统（18）允许正唯一（经典）解ν（k+1），t上的j（t）∈ 对于j，[0，T]/∈ {j，…，jk}。然后，在t上存在唯一的正（经典）解ν（k）（t）∈ HJB系统（18）在默认状态z=0j时的[0，T]，。。。，jk（即HJB系统（25）允许唯一的正（经典）解）。证据

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

能者818

2022-6-10 07:04:39

对于常数a>0，考虑以下截断动力系统，由滴滴涕Д（k）a（t）=- A（k）Д（k）A（t）- G（k）a（t，Д（k）a（t）），in[0，t）；Д（k）a（t）=γe>m，（31），其中截断非线性G（k）a（t，x）：=G（k）（t，x∨（t，x）的ae>m）∈ [0，T]×Rm。感谢引理4.3，存在一个正常数C=C（a），它只依赖于a>0，对于所有t∈ [0，T]，G（k）a（t，x）- G（k）a（t，y）≤ Ckx公司- yk，x，y，∈ Rm，（32）即G（k）a（t，x）是全局Lipschitz连续w.r.t.x∈ RMT均匀分布在t中∈ [0，T]。通过翻转时间流，考虑（k）a（t）：=Д（k）a（t- t）对于t∈ [0，T]。然后（k）a（t）满足以下动力系统：滴滴涕（k）a（t）=a（k）（k）a（t）+G（k）a（t- t、 ИИ（k）a（t）），in（0，t]；И（k）a（0）=γe>m.（33）设ψ（k）（t）=（ψ（k）i（t）；i=1，m） >满足以下动力系统：ddtψ（k）（t）=A（k）ψ（k）（t），in（0，t）；ψ（k）（0）=γe>m。（34）回忆一下（26）给出的系数A（k）的m×m维矩阵。然后，我们使用（26）得到所有i 6=j的[A（k）]ij=qij。由于Q=（qij）m×mis是Markovchain的生成器，它认为qij≥ 0表示所有i 6=j。因此[A（k）]ij≥ 0表示所有i 6=j，因此线性函数A（k）x是x中的k类型∈ Rm。也因为ψ（k）（0）=γe>m 0，从引理4.1可以看出，动力系统（34）在[0，t]上有唯一的（经典）解ψ（k）（t），而且ψ（k）（t） 0表示所有t∈ [0，T]。设置ε（k）：=最小值=1，。。。，m级输入∈[0，T]ψ（k）i（T）. （35）然后，通过ψ（k）（t）在t中的连续性∈ [0，T]和ψ（k）（T） 0表示所有t∈ [0，T]，ε（k）>0。此外，根据附录中的估计值（32）和（A.7），以及初始条件Д（k）A（0）=ψ（k）（0）=γe>m 0，由引理4.4得出（k）a（t）≥ ψ（k）（t）≥ ε（k）e>m，对于所有t∈ [0，T]。（36）注意，正常数ε（k）与a>0无关。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 07:04:42

那么∈ （0，ε（k）），i表示g（k）a（T- t、 И（k）a（t））=G（k）T- t、 И（k）a（t）∨ ae>米= G（k）（T）- t、 И（k）a（t））。这就产生了∈ （0，ε（k）），函数￠Д（k）a（t）求解动力系统滴滴涕（k）a（t）=a（k）（k）a（t）+G（k）（t- t、 §Д（k）a（t）），in（0，t]；§Д（k）a（0）=γe>m。通过动力系统（33）解的唯一性并使用估计值（36），可以得出，对于∈ （0，ε（k）），ν（k）a（t）：=- t） [0，t]是HJB系统（25）的唯一（经典）解决方案。这样，我们就完成了定理的证明。2我们接下来讨论最优策略的特征（π（k），l）∈ U（k）在默认状态z=0j，。。。，jk其中k=0，1，n- 1、让我们回顾一下HJB系统（25），即：。，滴滴涕Д（k）（t）=- A（k）Д（k）（t）- G（k）（t，ν（k）（t）），在[0，t]中；Д（k）（t）=γe>m。定理4.5表明，上述系统在[0，t]上允许唯一的正（经典）解Д（k）（t），此外还有Д（k）（t）≥ ε（k）e>M对于所有t∈ [0，T]使用（36）。这里ε（k）>0由（35）给出。然后，根据附录中给出的等式（A.8），存在依赖于ε（k）>0的正恒量C（ε（k）），因此对于每个i=1，m、 G（k）i（t，ν（k）（t，i））（37）=sup（π（k），l）∈U（k）kπ（k）k+l≤C（ε（k））Xj公司/∈{j，…，jk}（1- π（k）j）γh（k）j（i）Д（k+1），j（t，i）+h（k）（（π（k，l），i）Д（k）（t，i）.这里，对于每个i=1，m、 ν（k+1），t上的j（t，i）∈ [0，T]是HJB系统（18）在默认状态z=0j，…，的正（经典）解的第i个元素И（k+1），j（T），。。。，jk，jforj/∈ {j，…，jk}。不难验证，对于每个i=1，m和固定t∈ [0，T]，Xj/∈{j，…，jk}（1- π（k）j）γh（k）j（i）Д（k+1），j（t，i）+h（k）（（π（k，l），i）Д（k）（t，i）在（π（k，l）中是严格凹的）∈ U（k）。还请注意，空间U（k）∩ {（π（k），l）；kπ（k）k+| l|≤ C（ε（k））}是紧的。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 07:04:45

因此，存在唯一的最优值（π（k，*), l*) ∈ U（k）使得（π（k，*), l*) = （π（k，*)（t，i），l*（t，i））（38）=arg max（π（k），l）∈U（k）kπ（k）k+l≤C（ε（k））Xj公司/∈{j，…，jk}（1- π（k）j）γh（k）j（i）Д（k+1），j（t，i）+h（k）（（π（k，l），i）Д（k）（t，i）= arg max（π（k），l）∈U（k）Xj公司/∈{j，…，jk}（1- π（k）j）γh（k）j（i）Д（k+1），j（t，i）+h（k）（（π（k，l），i）Д（k）（t，i）对于所有i=1，m、我们以一个验证定理结束本节，其证明见附录。定理4.6。在任何默认状态z=0j，。。。，k=0，1，n、设Д（t，z）为HJB方程（18）动力系统的唯一正（经典）解（即，对于k=n，Д（t，z）=Д（t，en），在引理4.2中给出，对于k=0，1，n- 定理4.5给出了1，Д（t，z）=Д（k）（t）。也让最优策略（π*, l*) = (π*（t，i，z），l*（t，i，z））对于i=1，对于k=n，mbe由（23）给出，对于k=0，1，…，由（38）给出，n- 那么，我们得到了（t，x，i，z）的（i）∈ [0，T]×R+×{1，…，m}×S，以及任何容许的反馈策略（π，l）∈ U、它保持xγИ（t，i，z）≥ EU（Xπ，l（T））| Xπ，l（T）=X，Y（T）=i，Z（T）=Z.（ii）（t，x，i，z）的值函数V（t，x，i，z）∈ [0，T]×R+×{1，…，m}×S允许以下表示v（T，x，i，z）=EU（Xπ*,l*（T））| Xπ*,l*（t） =x，Y（t）=i，Z（t）=Z]=xγИ（t，i，Z）。5数值分析在本节中，我们研究了股票和风险控制的最优策略对市场参数变化的敏感性。敏感性分析是在一个简单的市场模型上进行的，该模型由两个可违约股票和一个无风险债券组成，即n=2。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 07:04:49

在这个市场模型中，从（3）可以看出，股票的违约前价格由dS（t）S（t）={u（Y（t））+h（Y（t），Z（t））}dt+Pj=1σ1j（Y（t））dWj（t）；dS（t）S（t）={u（Y（t））+h（Y（t），Z（t））}dt+Pj=1σ2j（Y（t））dWj（t），其中Z：=（Z，Z）∈ S={0，1}是股票的二维默认状态过程，W是二维布朗运动（即d=2）。区域切换过程Y是一个状态空间为{1，2}（即m=2）的连续时间（保守）马尔可夫链。风险控制中每个保单的索赔（风险）由DC（t）=c（Y（t））dt+Xj=1φj（Y（t））dWj（t）+φ（Y（t））d'W（t）+X（i，z）给出∈{1,2}×{0,1}g（Y（t-))1年（t-)=i、 Z（t-)=zdNi，z（t）。这里，W是标量布朗运动（即，d=1），Ni，zfor（i，z）∈ {1，2}×{0，1}是具有各自强度νz（i）：=ν（i，z）的独立泊松过程。在本节中，我们使用表1中给出的以下基准参数。特别地，我们使用符号hzk：=（hk（1，z），hk（2，z））来表示默认状态z下第k个股票的默认强度向量∈ {0, 1}. 此外我们将风险规避参数设置为u（1）u（2）r（1）r（2）p（1）p（2）c（1）c（2）（1，0.55）（1.4，0.8）0.1 0.06 0.8 0.5 0.1 0.05’’φ（1）φ（2）g（1）g（2）h（1,0）h（0,1）h（0,0）0.3 0.6 0.1（0.9，1.3）（0.7，1）（0.5，0.3.75）（0.75，1.1）φ（1）φ（2）ν（0,0）（1）ν（0,0）（2）ν（1,0）（1）ν（1,0）（2）ν（0,1）（1）ν（0,1）（2）（0.4，0.8）（0.7，1.2）2 3 2.5 4 2.3 3 3.7ν（1,1）（1）ν（1,1）（2）2.6表1：市场参数值γ=0.5。马尔可夫链Y的生成元和股票的波动矩阵分别由Q=Q=”-0.5 0.51 -1#, σ(1) =\"0.7 00 1#, σ(2) =\"1 00 1.5#.我们首先进行比较静态分析，以检查违约风险溢价如何影响保险公司的最优股票策略和风险控制。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

nandehutu2022

2022-6-10 07:04:52

图1显示了当股票违约强度发生变化时，在不同时间给定制度下股票和风险控制的最优策略。首先考虑库存1处于活动状态而库存2处于默认状态的情况（即，它对应于默认状态z=（0，1））。图1左上角的图表表明，随着制度2中股票1的违约强度变得更高，即h（0,1）（2）增加，保险人减少了他/她对可违约股票1的投资。回想一下，对于固定的制度i∈ {1，2}，νz（i）表示默认状态z下风险控制中每个保单的索赔（风险）跳跃强度∈ {0, 1}. 在基准参数配置下，我们有ν（1,1）（2）>ν（0,1）（2）和ν（1,1）（1）>ν（1,0）（1）。这意味着违约事件可能导致在固定时间段内发生的预期索赔数量增加。换句话说，当股票的默认强度增加时，1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2h（0,1）1（2）0.60.650.70.750.80.85π*（0,1）1（t）t=0.3t=0.5t=0.7t=0.91 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2h（0,1）1（2）0.250.260.270.280.290.30.310.32l*（0,1）（t）t=0.3t=0.5t=0.7t=0.90.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1 1.2h（1,0）2（1）0.50.550.60.650.70.750.80.850.90.95π*（1,0）2（t）t=0.3t=0.5t=0.7t=0.90.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1 1.2h（1,0）2（1）0.80.850.90.9511.051.11.15l*（1,0）（t）t=0.3t=0.5t=0.7t=0.9图1：阿吉文制度下股票和风险控制的最优策略对违约强度的依赖性。顶部面板：库存1的最优策略和风险控制对制度2中库存1的违约强度的依赖性。默认状态z=（0，1）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 07:04:54

底部面板：制度1中股票2的最优策略和风险控制对股票2违约强度的依赖性。默认状态z=（1，0）。不仅是可违约的股票，债务也变得更具风险。图1右上角的图表显示，随着股票1违约强度的增加，考虑到股票和负债的较高风险，保险人将减少其对股票的投资，同时将更多负债分给再保险人。如果库存1已违约，库存2的违约强度将增加（即，它对应于默认状态z=（1，0）），则图1的底部图表也证实了这条推理路线。接下来，我们将举例说明市场波动如何影响股票和风险控制的最优投资策略。图2绘制了在股票波动性变化的不同时间，制度1中股票和风险控制的最优策略。此处考虑的默认状态是z=（0，1）和（1，0）。图2左面板和右面板之间的比较表明，保险人减少了他/她的股票投资，并分配了0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.740.760.780.80.820.840.86σ11（1）π*（0,1）1（t）t=0.3t=0.5t=0.7t=0.90.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.640.660.680.70.720.740.760.780.80.820.84σ11（1）l*（0,1）（t）t=0.3t=0.5t=0.7t=0.90.8 0.9 1 1.1 1.2 1.30.580.590.60.610.620.630.64σ22（1）π*（1,0）2（t）t=0.3t=0.5t=0.7t=0.90.8 0.9 1 1 1.1 1 1.2 1.30.750.80.850.90.9511.051.1σ22（1）l*（1,0）（t）t=0.3t=0.5t=0.7t=0.9图2：制度1中股票最佳策略和风险控制对不同时间股票波动性的依赖性。当股票波动性增加时，财富占负债的比例更大。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 07:04:57

发生这种情况的原因是，较高的波动率会促使保险人减少其对违约股票的投资，并增加分配给负债的财富比例。这也可以从图2的右面板中确认。研究还表明，负债最优策略对股票波动性的变化比对时间的变化更敏感。因此，上述比较表明，负债的最佳策略对风险变化的敏感性高于对时间变化的敏感性。最后，我们分别评估了违约传染对股票最优投资策略和价值函数的影响。特别地，我们解释了如何解开0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5h（0,0）2（1）0.870.880.890.90.910.920.93π*（0,0）1（t）t=0.3t=0.5t=0.7t=0.90.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5h（0,0）2（1）0.30.40.50.60.70.80.9π*（0,0）2（t）t=0.3t=0.5t=0.7t=0.9图3：两种股票的最优策略对制度1中股票2的默认强度h（0,0）（1）的依赖性。当前默认状态z=（0，0），即两个股票都处于活动状态。左面板：库存1的最优策略对制度1中库存2的默认强度h（0,0）（1）的依赖性；右图：制度1.0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.6 1.8 2h（0,0）1（2）0.650.70.750.8π中股票2的默认强度h（0,0）（1）对股票2的最佳策略的依赖性*（0,0）2（t）t=0.3t=0.5t=0.7t=0.90.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2h（0,0）1（2）0.650.70.750.80.850.90.951π*（0,0）1（t）t=0.3t=0.5t=0.7t=0.9图4：两种股票的最优策略对制度2中股票1的默认强度h（0,0）（2）的依赖性。当前默认状态z=（0，0），即两个股票都是活跃的。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 07:05:00

左面板：区域2中Stock2的最优策略与区域2中stock1的默认强度h（0,0）（2）的依赖关系；右面板：制度2中股票1的最优策略与制度2中股票1的违约强度h（0,0）（2）的依赖关系。违约强度增加的直接和间接（传染）影响。图3和图4说明了违约传染如何影响股票的投资策略。他们指出，当一只股票的违约强度增加时，保险人倾向于在两只股票都活着的情况下减少他/她对这两只股票的投资。这一事实反映了该模型中违约的传染性：当一项资产的违约概率较高时，违约的传染性也会使投资者减少对另一项资产的投资。0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.035-0.03-0.025-0.02-0.015-0.01-0.0050tД（0,0）（t，1）- Д（0,0）（t，2）Q=Q0Q=2Q0Q=3Q0Q=4Q00 0.2 0.4 0.6 0.8 100.010.020.030.040.050.06tД（1,0）（t，1）- ν（1,0）（t，2）Q=Q0Q=2Q0Q=3Q0Q=4Q00 0.20.40.6 0.8 1-0.018-0.016-0.014-0.012-0.01-0.008-0.006-0.004-0.0020tД（0,1）（t，1）- Д（0,1）（t，2）Q=Q0Q=2Q0Q=3Q0Q=4Q00 0.2 0.4 0.6 0.8 100.0050.010.0150.020.0250.030.0350.04tД（1,1）（t，1）- ^1（1,1）（t，2）Q=Q0Q=2Q0Q=3Q0Q=4q0图5：在不同的默认状态z=（0，0），（1，0），（0，1）和（0，0）下，给定Markovchain Y的不同生成器的两个状态之间的值函数的差异。如图3左面板所示，当股票2的违约传染增加时，保险公司会减少分配给股票1的财富比例。这是因为在股票2违约时，股票1的违约强度将瞬间增加（违约强度从h（0,0）=（0.5，0.75）向h（0,1）=（0.7，1）大幅跃升），从而导致股票1的违约风险增加。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 07:05:03

因此，厌恶风险的保险公司会将一小部分财富分配给这只股票。请注意，在股票1的默认情况下，股票2的默认强度将立即增加，因为默认强度从h（0,0）=（0.75，1.1）向上跳跃到h（1,0）=（0.9，1.3）。图4的右侧面板证实了股票2的类似趋势，然而，股票2的间接传染效应更加明显。默认强度的直接影响如图3的左面板所示（分别如图4的右面板所示）。对于股票1（分别为股票2）的固定违约强度，当到期时间减少时，保险人将在股票1（分别为股票2）上投资较少的财富。在这方面，可以注意到，T<T的股票P（τi>T | Gt）的条件生存概率由1τi>tE[e]给出-RTthZ（s）i（Y（s））ds | Gt]。正如预期的那样，该概率相对于违约强度hzi递减，并且对于到期时间较短的情况，在所有其他条件相同的情况下，该概率相对于违约强度的变化率变小（即，在所有其他条件相同的情况下，当t趋于t时，条件生存概率对违约强度不太敏感）。因此，当股票1（分别为股票2）的违约强度增加时，保险公司倾向于减少对股票1（分别为股票2）的投资，以缩短到期时间。此外，随着股票1（分别为股票2）违约强度的增加，保险人将减少其财富分配给股票1（分别为股票2）的比例。焦等人也进行了类似的观察。图5描述了在四种不同的默认状态z=（0，0），（1，0），（0，1）和（1，1）下，两种状态之间的值函数的差异。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 07:05:06

图5中的图表证实了生成器Q中元素绝对值的变化如何影响两个区域之间值函数的差异。在每个默认状态下，对于generatorQ中元素的绝对值越大，两种状态之间的值函数差异越小。这是因为Q中元素的绝对值越大，马尔可夫链的状态切换就越频繁。因此，当面对一个制度频繁转换的市场时，保险人更多地依赖于他/她的投资策略，而不是他/她所处的制度。致谢作者感谢一位匿名评论员兼主编Ulrich Horst教授提供的富有建设性和深刻见解的评论，这有助于极大地提高手稿的质量。L.Bo和H.Liao的这项研究得到了中国国家科学基金会11471254资助、前沿科学重点研究项目、中国科学院QYZDB-SSW-SYS009资助和中央大学基础研究基金WK34700008资助。引理4.1证明的技术支持。定义f（x）=x的Bx∈ Rm。根据史密斯（Smith）[19]第3章第1.1条，有必要验证f:Rm→ K型RMI，即任何x、y∈ RMX令人满意≤ y和xi=yi对于某些i=1，m、然后fi（x）≤ fi（y）。请注意，bij≥ 0对于所有i 6=j。那么，它认为fi（x）=（Bx）i=mXj=1bijxj=biixi+mXj=1，j6=ibijxj=biiyi+mXj=1，j6=ibijxj≤ biiyi+mXj=1，j6=ibijyj=fi（y），（A.1），因此f是K型的。因此，我们完成了引理的证明。引理顶4.2。由（24）给出的溶液Д（t，en）的表达式是显而易见的。注意em 0和qij≥ 0表示所有i 6=j，因为Q=（qij）m×mis是马尔可夫链的生成器。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 07:05:09

然后，为了证明Д（t，en） 0表示所有t∈ [0，T]，使用引理4.1，可以验证[A（n）]ij≥ 0表示所有i 6=j，然而，[A（n）]ij=qij表示所有i 6=j，使用（21）。因此，我们验证了引理4.1中给出的条件，从而验证了Д（t，en） 0表示所有t∈ [0，T]。引理顶4.3。必须证明，对于任何x，y∈ rm满足x，y≥ εe>m当ε>0时，存在一个常数C=C（ε）>0，取决于ε>0，仅使得| G（k）i（t，x）- G（k）i（t，y）|≤ Ckx公司- 对于每个i=1，…，yk，m、由于σ（i）σ（i）>也是正定义，因此σ（k）（i）σ（k）（i）>是正定义。因此，存在一个常数δ>0，使得（π（k））>σ（k）（i）σ（k）（i）>π（k）≥ δkπ（k）k.那么，对于任何（π（k），l）∈ U（k），存在一个正常数C>0，使得γ（γ- 1） n（π（k））>σ（k）（i）σ（k）（i）>π（k）+lφ（i）φ（i）>+’φ（i）’φ（i）>- 2l（π（k））>σ（k）（i）φ（i）o=γ（γ- 1） nl'φ（i）'φ（i）>+kσ（k）（i）>π（k）- lφ（i）ko≤γ(γ - 1)αl’’φ（i）’φ（i）>+（1- α） kσ（k）（i）>π（k）k- (1 - α） klφ（i）k=γ(γ - 1)l（α′φ（i）’φ（i）>- (1 - α） kφ（i）k）+（1- α） kσ（k）（i）>π（k）k≤ -C（kπ（k）k+l），（A.2）其中常数α∈ （最大值=1，…，mkφ（i）k′φ（i）’φ（i）>+kφ（i）k, 1). 另一方面，对于任何（π（k），l）∈ U（k），它认为γ（π（k））>θ（k）（i）+（p（k）（i）- c（i））l≤ γkθ（k）（i）kkπ（k）k+γ| p（k）（i）- c（i）| l≤ Cqkπ（k）k+l，（A.3），其中常数C：=maxi=1，。。。，m级γpkθ（k）（i）k+| p（k）（i）- c（一）|> 最后，对于任何（π（k），l）∈ U（k），我们有{（1- lg（i））γ- 1} ν（k）（i）≤ Cl，其中常数C：=maxi=1，。。。，m{γg（i）ν（k）（i）}>0。然后，根据（29），可以得出，对于任何（π（k），l）∈ U（k）和i=1，m、 H（k）（（π（k），l），i）≤ -Ckπ（k）k+l+ Cqkπ（k）k+l.（A.4）这里C=C+C。这产生了一个常数C>0，当（π（k），l）∈ U（k）和kπ（k）k+l>C，对于所有i=1，…，我们有H（k）（（π（k），l），i）<0。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝