二维保险风险过程的最优红利支付

2022-5-11 02:22:06

二维保险风险过程的最优红利支付Pablo Azcue*, 诺拉·穆勒*Zbigniew Palmowski+2021年11月1日摘要我们在保险公司的两个分支中考虑一个二维最优股息问题，该分支具有复合泊松盈余过程，按特定比例划分索赔和保费。我们解决了最大化预期累计贴现股息支付（在所有可接受的股息策略中）直到至少一家公司破产的随机控制问题。我们证明了值函数是相应Hamilton-Jacobi-Bellman方程的最小粘性上解，并描述了最优策略。我们分析了一些数值例子。1.引言在集体风险理论中，保险公司的盈余过程X被建模为（1.1）X（t）=u+ct- S（t），其中u>0表示初始盈余，（1.2）S（t）=NtXi=1表示复合泊松。我们假设Ui（i=1，2，…）是i.i.d.分布式索赔（带有分布函数G）。到达过程是强度为λ的齐次泊松过程。保费收入由恒定的保费密度c建模，通常假设净利润条件c>λE[U]给出了过程X（t）收敛到单位的不切实际性质。为了回应这一反对意见，德·费内蒂[21]引入了一维模型（1.1）的股息壁垒模型，在该模型中，高于给定水平的所有盈余都转移到了一个特定的账户中。此外，通常股息的支付方式应使破产前支付的股息的预期贴现金额最大化。1969年，格伯[23]*泰拉托尔库托大学马蒂马蒂斯分校。Av。

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2022-5-11 02:22:10

阿根廷布宜诺斯艾利斯市菲格罗亚阿尔科塔7350（C1428BIJ）Wyb Wroc法律科技大学纯数学和应用数学系。Wyspia’nskiego 27号，波兰Wroc law 50-370号。研究表明，如果保险组合的自由盈余由复合泊松风险模型建模，则根据所谓的带策略支付股息总是最优的，对于指数分布的索赔金额，该策略崩溃为一个障碍策略。后来，数学金融和精算文献中的大量工作涉及股息壁垒模型和寻找最优股息支付政策的问题。Ger-ber和Shiu[22]、Grandits等人[26]和Jeanblanc a和Shiryaev[30]考虑了布朗分布中的最优红利问题。Irb–ack[28]和Zhou[41]、Zajic[40]、Avram等人[4]、Kyprianou和Palmowski[31]、Loefen[32]研究了一个经典的、光谱负的L’evy风险过程的恒定势垒模型。Azcue和Muler[8]采用粘性方法，研究了Cram’er-Lundbe rg模型中的最优再保险和分红政策。Loefen a和Renaud[33]中给出了目前最通用的屏障策略优化标准。Azcue和Muler[10]、Schmidli[36]、Albrecher和Thonhauser[2]以及Avanzi[5]分别从不同角度对这一主题进行了详细综述。所有这些控制问题都是在一维框架下制定和研究的。然而，近年来，风险理论对考虑多维盈余模型越来越感兴趣，其中X（t）、X、c和S（t）是向量，分量之间可能存在相关性。根据经验，风险独立性的假设可能很容易失败，例如在再保险的情况下，当收到的索赔同时对两家保险公司产生影响时。

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2022-5-11 02:22:13

一般来说，一个人也可以考虑在一个伞式保单中，每个索赔事件可能导致多个类型的索赔的情况（见Sundt[39]）。关于考虑依赖风险的一些最新论文，请参见Dhaene和Goovaerts[19,20]、Goovaerts和Dhaene[25]、M¨uller[34,35]、Denuit等人[17]、Ambagaspitiya[3]、Dhaene和Denuit[18]、Hu和Wu[27]以及Chan等人[14]。Avram等人[6,7]也研究了二维风险过程的破产概率表达式，用于同时索赔到达和比例索赔规模，最近Badila等人[13]和Ivanovs和Boxma[29]在更一般的框架中进行了研究。在本文中，我们分析了二维风险模型中的股息问题，在二维风险模型中，一家公司的两个分支机构按照固定比例b（b+b=1）从每个索赔中分割支付的金额，并分别以c和c的费率收取保费。此外，这两个分支机构拥有相同的股东，其目标是最大化这些股东获得的总股息。也就是说，本文的主要目标是确定价值函数，使预期贴现股息支付的加权和最大化，直到至少一个分支破产。这将导致一个完全二维的随机控制问题，并回答最优单变量障碍策略在二维中的类似物是什么的问题。在Azcue和Muler[9]中，考虑了在存在交易成本的情况下，两个投资组合之间最优转移资本的问题，另见Badescu等人[12]。

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2022-5-11 02:22:16

Albrecher等人[1]考虑了两个合作保险公司的红利优化问题，这两家公司的盈余是用独立的复合泊松过程建模的。Czarna和Palmowski[16]研究了与本文相同的股息问题，但采用了一种非常特殊的股息策略，从线条上反映二维风险过程。通过求解某些偏微分方程，他们成功地确定了指数索赔规模的价值函数。我们将在本文中说明，这种策略不是最优的。本文证明了值函数是相应的Hamilton-Jaco-bi-Bellman方程（最近简称HJB）的粘性解，并且可以刻画为最小粘性上解。利用这一结果，我们成功地描述了对称情况下c/c=b/b的最佳策略。在剩余情况下，我们描述了满足x/b>x/b的初始盈余（x，x）的最佳策略是第一分支支付（x- （b/b）x）立即作为股息。我们使用收敛的数值格式来寻找满足x/b的初始盈余（x，x）的最优策略≤ x/b；这种数值格式是Azcue和Muler[11]中提出的一种特殊情况。我们相信，本文所采用的技术可以适用于其他风险机制。论文的其余部分组织如下。在第2节中，我们介绍了我们处理的模型，并正式陈述了我们想要解决的问题。在第三节中，我们证明了价值函数是HJB的粘性解。利用这个结果，我们在第4节中描述了一些情况下的最优策略，在第5节中我们描述了一个数值格式来逼近最优值函数和最优策略，在第6节中我们给出了一些数值示例。2.

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nandehutu2022

2022-5-11 02:22:19

模型在本文中，我们考虑了一家公司的两个分支机构，它们以不同的费率收取保费，然后按照固定的比例对每项索赔支付的金额进行分割。该模型对应于比例再保险依赖。截至时间t的索赔总额建模为复合泊松过程。我们可以把这个二维风险模型写成（2.1）X（t）=（X（t），X（t））=（X+ct-NtXi=1UI，x+ct-NtXi=1UI）。高于X和X的是相应的初始盈余水平，高于X的是相应的保费率。索赔的大小为非负i.i.d.随机变量，具有绝对连续分布G。索赔到达过程为泊松过程，强度为λ。最后，这些常数显示了每个分支的声明比例，因此b+b=1，b>0和b>0。这里我们假设过程n和随机变量u相互独立。在不丧失一般性的情况下，我们可以假设第二家分行收到的每支付金额的保费较少，即（2.2）c/b≥ 我们用{Ft}{t表示≥0}满足通常条件的x（t）的右连续自然过滤。在本文中，所有的停止时间和鞅都是关于这个过滤的。两家分行都将部分盈余用于支付股息。股息支付策略L（t）=（L（t），L（t））是截至t时两个分支机构支付的股息总额。我们确定相关的受控流程，初始盈余（x，x）为（2.3）XL（t）=x（t）- L（t）。股息支付策略L=（L（t），L（t））t≤如果τ不递减，c`agl`ad（左连续，右极限），可预测二元过程X（t）和满足度L（t）产生的过滤，则称为容许τ≤ X（t），L（t）≤ X（t）。

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2022-5-11 02:22:24

当二维风险过程第一次离开正四分之一时，我们的破产时间为：bτ=inf{t:X（t）<0或X（t）<0}。也就是说，破产时间是至少一个分支第一次破产。我们用R+=0表示，∞) 通过R+=（0，∞)第一流。Le t∏x，xbe初始盈余x=（x，x）的可容许股息策略集∈ R+。给出了一个可接受的分割策略∈ πx，x，两个分支机构支付的预期贴现股息，直到bτisVL（x）=ExZbτe-qsdL（s）+Zbτe-qsdL（s）！，其中q>0是一个恒定的贴现系数。本文的主要目标是确定由以下公式定义的最优值函数：（2.4）V（x）=supL∈πxVL（x）forx∈ R+。在下一节中，我们将看到V的定义很好。本文提出的另一个关键问题是最优策略的存在性，定义如下。给定一系列可容许策略π=九、∈ 每一个的∏xF∈ R+我们定义了值函数Vπ：R+→ R+as Vπ（x）=VLx（x）。我们说π*如果Vπ*= 五、备注2.1。我们还可以考虑公司的两个分支机构合并的可能性，合并成本为m（参见Gerber and Shiu[24]）。被合并的公司有x+x盈余- m、收到保险费率c+c，并支付全部索赔。新公司使用部分盈余向股东支付股息，直至合并盈余变为负值。在这种情况下，非受控剩余过程由xm（t）=x+x给出- m+（c+c）t-NtXi=1Ui，受控剩余过程由XLM（t）=XM（t）给出- L（t），其中股息支付策略L（t）是非递减的，c`agl`ad（左连续右限），根据过程XM（t）和满意度L（t）产生的过滤可预测≤ XM（t）。

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2022-5-11 02:22:27

我们考虑合并公司的破产时间τLM=inft:XLM（t）<0我们定义了合并最优值函数为vm（x+x）- m） =supLExZτLMe-qsdL（s）！。对于x+x≥ m、函数vm是对应于复合泊松过程XM的一维DeFinetti问题的最优值函数。假设m=0，然后给定任意x∈ R+和任何可容许策略L（t）=（L（t），L（t））∈ πx，x，我们考虑合并公司的一维支付策略L（t）=L（t）+L（t）。自τLM≥ bτ我们得出以下结论：VM（x+x）≥ V（x）。请注意，当m>0.3时，情况不再如此。最优值函数的性质在本节中，我们首先陈述了（2.4）中定义的最优值函数的正则性和增长性的一些基本结果。然后，我们导出与这个优化问题相关的Hamilton-Jacobi-B Ellman方程，并看到V是HJB方程的粘性解。此外，在适当的生长条件下，我们可以将V刻画为该方程的最小粘度上解。最后，我们得到了一个验证结果：作为一系列可容许策略的值函数的任何粘性上解都是最优值函数。以下两个引理是[8]中引理2.1和2.2的二维对应。引理3.1。为所有人（x，x）∈ R+最优值函数定义良好，满足esx+x+c+cq+λ≤ V（x，x）≤ x+x+c+cq。证据采用在开始时支付全部附加费加上x+x的策略，然后在第一次索赔到达之前支付作为股息的传入保费τ给出下限V（x，x）≥ x+x+（c+c）EZτe-qtdt=x+x+c+cq+λ。同样，观察到李（s）≤ xi+cis（i=1，2）产生s上界。引理3.2。

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2022-5-11 02:22:30

最优值函数V是递增的，局部为Lipschitz和Satifiesh≤ V（x+h，x）- V（x，x）≤ （e（q+λ）h/c- 1） V（x，x）和h≤ V（x，x+h）- V（x，x）≤ （e（q+λ）h/c- 1） V（x，x）表示任意（x，x）∈ R+和任何h>0。证据为了证明第一系列不等式中的较低不等式，必须考虑从第一个分支的盈余中支付h作为红利的策略，然后遵循π策略，使得Vπ（x，x）≥ V（x，x）-一般>0。为了证明上不等式，必须考虑不支付除法的策略，用第一个剩余过程x（t）和下面的策略π计算x+h的第一次通过时间，使得Vπ（x+h，x）≥ V（x+h，x）-一般>0。第二条不等式可以用类似的方法证明。证明V是增加的，并且局部Lipschitz遵循了现在的经典论点。为了获得与优化问题（2.4）相关的Hamilton-Jaco-bi-Bellman（HJB）方程，我们需要说明所谓的动态规划原理（DPP）。由于X（t）是一个马尔可夫过程，证明遵循Azcue和Muler[10]引理1.2中给出的相同参数。他们只使用V在R+中增加且连续的事实。显然，我们还需要扩展V的定义，将V定义为第一个变量之外的零。引理3.3。对于R+中的任何初始盈余x和任何停止时间τ，我们有v（x）=supL∈πxExτ∧bτRe-qsdL（s）+τ∧bτRe-qsdL（s）+e-q（τ）∧bτ）V（XL（τ）∧ bτ），XL（τ）∧ bτ）！。现在我们根据V上的一些规律推导HJB方程。对于R+中定义的任何连续可微分函数，我们定义了受控过程XL（t∧ ^τ）由（3.1）eGu（x）：=limt→0Ex（e）-qtu（XL（t∧^τ ))-u（x））t；见[10，第。

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能者818

2022-5-11 02:22:33

1.4]了解详细信息。我们现在将考虑两个分支机构以固定利率支付股息的可接受策略≥ 0和l≥ 分别为0，直到破产时间^τ。然后使用[10，Rem.1.8]我们有（3.2）eGu（x）=（c- l） ux（x）+（c）- l） ux（x）- （q+λ）u（x）+I（u）（x），其中（3.3）I（u）（x）=λZ（x/b）∧（x/b）u（x）- bα，x- bα）dG（α）和τ表示第一次索赔到达。现在假设V是连续可微的。注意引理3.3中我们有：V（x）≥ （l+l）ExZτe-qtdt+Exe-q（t）∧ τ）五XL（t）∧ τ).因此，通过（3.2）将上述不等式除以t，取t↓ 0G ive:L（V）（x）+L（1）- Vx（x））+l（1）- Vx（x））≤ 0，其中（3.4）L（V）（x）：=cVx（x）+cVx（x）- （q+λ）V（x）+I（V）（x）。取l=l=0，l→ ∞ l=0时；我呢→ ∞ 当l=0时，我们得到（3.5）max{l（V）（x），1- Vx（x），1- Vx（x）}≤ 我们现在把以下HJB方程与我们的问题联系起来：（3.6）max{L（V），1- Vx，1- Vx}=0。由于最优值函数是不可微的，我们必须使用粘性解的概念，并看到tV是相关HJB方程的粘性解。让我们来定义这个概念（例如，参见Cranda ll a and Lions[15]和Soner[37]）。定义3.4。一个局部Lipschitz函数u:R+→ R是x上（3.6）的粘度上解∈ R+如果有连续可微分函数：R+→ R加上φ（x）=u（x），使得u- 在x满足最大值{L（~n）（x）时，达到最小值，1- ~nx（x），1- ~nx（x）}≤ 0.函数u:R+→ R是x处（3.6）的粘度亚溶液∈ R+如果有连续可微函数ψ：R+→ R随ψ（x）=u（x），使得u- ψr表示满足smax{1（ψ）（x），1的最大值- ψx（x），1- ψx（x）}≥ 0.函数u:R+→ R是x的上解和下解∈ R+被称为（3.6）atx的aviscosity解决方案∈ R+。定理3.5。V是HJB方程（3.6）在任意点的粘度解∈ R+。证据

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2022-5-11 02:22:37

V是粘度超解的证明类似于[10]中命题3.1中的证明。我们只强调应该在未来做出的关键调整。V是粘性上解的证明遵循与推导（3.5）相同的参数。证明V是粘性次解这一事实是自相矛盾的。我们将使用以下约定。对于任何向量a=（a，a）和b=（b，b），我们用[-∞, b] ：=[-∞, b] ×[-∞, b] 对于任何h>0，我们将写出a±h:=（a±h，a±h）。我们假设对于某些固定的x=（x，x）存在>0和h∈ （0，x）∧ x）测试函数ψ，如t:1- ψxi（x）≤ 0，i=1，对于x∈ [0，x+h]，L（ψ）（x）≤ -2q代表x∈ [x]- h、 x+h]，V（x）≤ ψ（x）- 2代表x∈ [-∞, 十、- h/2]∪ {x+h}。现在，证明将遵循ta king（x）在[10]中提出的命题3.1- x）（十）- x）而不是（x）- x）和x。1还需要将定义τ和τ修改为以下定义：τ=inf{t≥ 0:X（t）≥ x+h或x（t）≥ x+h}和τ=inf{t≥ 0:X（t）≤ 十、- h或X（t）≤ 十、- h} 。在最后一步（见[10]中的不等式（3.21）），我们使用以下零经验鞅（3.7）fMψ（t）=PX（s-)6=X（s）s≤Tψ（X（s））- ψ（X（s）-)E-qs-λtRe-qsX（s）-)B∧X（s）-)bRψ（X（s）-) - α（b，b））- ψ（X（s）-))dG（α）ds，可由Dynkin公式对粘度亚解ψ的任何测试函数进行适当定义；另见[10，Pro第2.13页]。最后，经过一些操作，我们得到了v（x）≤ ψ（x）- 这与V（x）=ψ（x）的假设相矛盾。这就完成了证明。备注3.6。

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2022-5-11 02:22:40

函数U（x，x）=x+x+K是HJB方程（3.6）的粘度解，用于K>（c+c）/q beca useL（U）（x）=c+c- （q+λ）（x+x+K）+λR（x/b）∧（x/b）（x+x）- α+K）dG（α）≤ c+c- （q+λ）（x+x+K）+λ（x+x+K）G（（x/b）∧ （x/b）≤ c+c- qK。所以HJB方程（3.6）有很多粘度解。我们现在看到，最优值函数V可以被刻画为（3.6）的s-最小相对余弦上解，并具有适当的增长条件。我们说函数u:R+→ 如果存在K>0，则说明生长条件（G）u（x）≤ K+x+x对于所有x∈ R+。我们得到以下结果。提议3。7.勒特尔∈ πxbe是一个新的容许策略，假设是（3.6）满足增长条件（G）的任何粘性上解，我们得到了VL（x）≤ u（x）。该命题的证明是对[10]中命题4.4的相应证明的二维情况的直接扩展，再次采用（3.7）中定义的零期望鞅，并使用Le mmas 3.1和3.2。根据最后一个命题和定理3.5，我们得出以下推论。推论3.8。最优值函数V是（3.6）满足生长条件（G）的最小粘度上解。备注3.9。从命题N3.7中，我们可以推断出通常的粘度验证结果：如果某些策略π的值函数Vπ或值函数的极限limn→∞如果Vπ是（3.6）的粘性上解，那么它就是最优值函数（2.4）。请注意，定义V是一个极限值函数。然而，我们期望V是一系列具有特定结构的可容许策略的值函数。这个问题将在下一节中进行分析。4.

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2022-5-11 02:22:44

最优策略在这一部分中，我们首先介绍了一些特殊的可容许策略族，它们仅依赖于当前的盈余水平。假设V在R+中是可微分的，则方程式（3.6）s表示股息的支付方式取决于当前的s urplusx=（x，x）∈ R+：o如果当前盈余在setC中*=十、∈ R+：L（V）（x）=0,1- Vx（x）<0,1- Vx（x）<0没有支付股息如果当前的盈余处于衰退状态*=十、∈ R+：L（V）（x）<0,1- Vx（x）=0，1- Vx（x）=0两人都一次性支付股息如果当前的盈余处于衰退状态*=十、∈ R+：L（V）（x）<0,1- Vx（x）=0，1- Vx（x）<0第一家分行一次性支付股息如果当前的盈余处于衰退状态*=十、∈ R+：L（V）（x）<0,1- Vx（x）<0,1- Vx（x）=0第二家分行一次性支付股息如果当前盈余在setA中*=十、∈ R+：L（V）（x）=0,1- Vx（x）=0，1- Vx（x）=0两个br ANCHE都以股息的形式支付即将到来的保费如果我们定义一个*作为B和B之间的边界*C*, 我们会有一个*=十、∈ R+：L（V）（x）=0,1- Vx（x）=0，1- Vx（x）<0.如果当前盈余在设定值A内*, 第一家公司可以支付部分收入溢价作为股息类似地，如果我们定义*作为B和B之间的边界*C*, 我们会有一个*=十、∈ R+：L（V）（x）=0,1- Vx（x）<0,1- Vx（x）=0.如果当前盈余在设定值A内*, 第二家bra nch公司可以将部分保费作为股息支付。如果V在某些点上是不可区分的，那么这些S仍然可以从粘度的角度来定义。让我们将M定义为R+中包含带s坡度b/b的or igin的半行。

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2022-5-11 02:22:48

注意，当当前盈余在M之外时，存在剩余一个正盈余的可能性；如果当前盈余在s etD中：=十、∈ R+：（b/b）x>x,那么，第一个分支将是破产时具有最终正盈余的分支，反之，如果当前盈余在setD中：=十、∈ R+：（b/b）x<x,第二个分支也可能出现同样的情况。4.1. 给定初始盈余（x，x）时的最优策略∈ R+，我们定义了挫折∏x，x πx，xin按如下方式：If（x，x）∈ D∪ M thenb∏x，xis是所有可容许策略的集合，其中受控过程保持在集合D中∪ 直到毁灭的时刻；if（x，x）∈ D、然后b∏x，xis是所有可接受策略的集合，其中第一个分支立即支付至少x- （b/b）xasdividends，然后受控过程保持在集合D中∪ 从（2.3）中，我们得到（4.1）b∏x，x=n（L（t），L（t））∈ πx，x:L（t）≥ 十、-bbx+（c）-英国广播公司t+bbL（t）代表t≥ 0o。提议4。1.我们有V（x，x）=supL∈b∏x，xVL（x，x）。证据给定一个可容许的L=（L，L）∈ πx，x，让我们定义（4.2）L（t）=max{x-bbx+（c）-英国广播公司t+bbL（t），L（t）}，L（t）.我们有∈b∏x，xbecause L（t）和L（t）是可预测的、正的和递增的≥ 十、-bbx+（c）-英国广播公司t+bbL（t）。现在让我们证明，破产时间bτL与可容许策略的相关性小于或等于bτL。通过定义，我们得到了x+ct-NtXi=1UI- L（t）≥ 0和X+ct-NtXi=1UI- L（t）≥ 任何t都是0≤ bτL.因此XL（t）=XL（t）≥ 0和XL（t）=x+ct-NtXi=1UI- L（t）=（XL（t）如果x-bbx+（c-英国广播公司t+bbL（t）≤ L（t）bbXL（t）如果x-bbx+（c）-英国广播公司t+bbL（t）>L（t）≥ 任何t都是0≤ 从（4.2）我们得到了L（t）+L（t）≥ L（t）+L（t）代表0≤ t<bτL，所以我们得到了vl（x）≤ 结果如下。推论4.2。If（x，x）∈ D、那么V（x，x）=x- （b/b）x+V（（b/b）x，x）。证据

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2022-5-11 02:22:51

通过（4.1），我们得到了L=（L（t），L（t））∈b∏x，xif且仅ifL=（L（t）- 十、- （b/b）x，L（t））∈b∏（b/b）x，x，因为我们有VL（x，x）=x- （b/b）x+VL（（b/b）x，x），结果由命题4.1得出。从最后一个推论我们可以推断出ifx∈ 当最优价值函数是第一分支立即支付的策略极限时（x- （b/b）x）作为股息，因此当前盈余在水平方向上立即流向M，然后受控过程保持在D中∪ 直到毁灭的时刻。我们可以问问自己，类似的结果是否适用于X∈ D、这就是最优值函数是否是第二分支立即支付x的策略的极限- （b/b）xas红利——因此当前盈余在垂直方向上立即流向M——然后受控过程保持在M，直到破产时间。我们将在下一节中看到，一般来说，这只适用于c/c=b/b.4.2的情况。M-策略产生初始盈余（x，x）∈ R+，我们定义了集合∏x，xb∏x，x πx，xa是所有可接受的策略的集合，这些策略以以下方式立即支付股息：FirstBranch立即支付x- （b/b）xas股息，如果（x，x）∈ D∪ M或第二分支立即支付x- （b/b）xas股息，如果（x，x）∈ D之后，受控过程在集合M中继续，直到破产时间。让我们定义（4.3）eV（x，x）：=supL∈e∏x，xVL（x，x）。让我们也将neV定义为具有初始盈余的最佳策略的价值函数（（b/b）x，x）∈其受控过程在破产时间之前保持在集合M中，即（4.4）V（x）：=eV（bbx，x）。从定义上讲，我们得到了EV（x，x）=十、-bbx+V（x）身份证件∪M（x，x）+十、-bbx+V（bbx）ID（x，x）。为了发现问题，我们可以考虑以下辅助一维优化问题。

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2022-5-11 02:22:55

设∏xbe为初始盈余为x的一维复合泊松过程的可容许股利支付策略集≥ 0，斜率c，由泊松过程N给出的索赔到达量和索赔规模bUi。给我一个∈ πx，我们定义新的l（x）：=ExZbτe-qs（c）-bbc）ds+（1+bb）Zbτe-qsdLs！，和（4.5）W（x）=supL∈πxWL（x）。注意，由于a nyL=（L，L）∈e∏（b/b）x，xsatis fiesl（t）=bbL（t）+（c）-bbc）t，那么我们有VL（bbx，x）=WL（x）。ThusV和W重合，在下一个命题中正式陈述。提议4。3.对于任何x≥ 我们有v（x）=W（x）。我们现在研究优化问题（4.5）。函数W可以是红利问题的最优值函数（直到一个常数），以避免提前破产；例如，参见Thonhauser和Albrecher[38]。实际上，我们可以写出（x）1+bb=supL∈πxExZτe-qsκds+Zτe-qsdLs,式中κ=c- （b/b）c1+b/b。从[38]中，我们得到了W有以下关联的HJB方程，（4.6）max{1+bb-W′（x），L（W）（x）}=0，其中L（W）（x）：=cW′（x）- （λ+q）W（x）+λx/bRW（x）- bα）dG（α）+c-bbc。对于最优一维报酬问题，我们可以陈述如下命题。这个问题类似于没有报酬的一维优化红利问题（例如Azcue和Muler[10]，命题3.1和4.4）。提议4。4.W是（4.6）的局部Lipschitz粘度溶液。此外，对于满足生长条件W（x）的所有x>0，它是该方程的最小粘度解≤K+（1+b/b）X对于某些K>0。根据前面的命题，我们可以推断出以下验证结果：给定一系列可容许策略π={Lx∈ 任意x的∏xf≥ 0}，我们定义了值函数wπ：R+→ R+as Wπ（x）=WLx（x）。

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2022-5-11 02:22:58

如果函数Wπ（x）是每个x>0的粘度上解（4.6），那么Wπ与W重合。关于问题（4.5）的红利策略，我们有以下结果，证明类似于无报酬的情况，参见Azcue和Muler[10]，第5节。1和5.2。提议4。5.优化（4.5）的股息策略是一种波段股息策略，取决于setsA、B和C，其中：=nx≥ 0：（c+c）- （λ+q）W（x）+λRx/bW（x）- bα）dG（α）=0ois闭且有界，b:=（x）≥ 0:W′（x）=1+bb，（c+c）- （λ+q）W（x）+λx/bRW（x）- bα）dG（α）<0）保持打开状态，C=R+- A.∪ B是开的，存在这样的ex（例如，∞) B.我们有以下情况：o如果当前盈余处于A状态，则作为股息支付的入息保费CI；o如果当前盈余为inB，则应支付正金额的款项作为股息，以便将盈余过程转回a；o如果盈余为inC，则不支付股息。让我们回到M中的问题（4.3）。使用这个函数，我们可以把半直线M分成三组：AM:=nbbx，x: 十、∈Ao，BM:=nbbx，x: 十、∈Bo和（4.7）厘米：=nbbx，x: 十、∈根据第4.5条，我们得出结论，初始盈余为M的辅助问题（4.3）的最优红利策略如下：o如果（（b/b）x，x）∈ 安博思分公司在下一个目标之前支付即将到来的溢价作为股息，o如果（（b/b）x，x）∈ BM，第二家分行支付一笔金额为m的金额，第一家分行支付（b/b）m的金额，其中m是将剩余流程带回AM的最低金额，最后如果（（b/b）x，x）∈ CM，第二家分行不支付股息，第一家分行支付（c- （b/b）c）作为股息率。备注4.6。

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2022-5-11 02:23:01

如果最优值函数V与（4.3）中定义的函数V一致，则最优策略由B给出*=十、∈ D:x/∈ BM, B*=十、∈ D:（b/b）x/∈ BM,B*=D- B*∪ BM∪D- B*,A.*= 我是一个*= C和A*= C*= . 此外，在*两种保费均作为股息支付在一个*第一家分行以c利率支付股息- （b/b）c（因此剩余过程仍以M为单位）在D中，第一家分行立即付款（x- （b/b）x），因此，当前盈余在水平方向上立即变为M；o第二家分行立即付款（x- （b/b）x），因此，当前盈余在垂直方向上立即变为M。在c=（b/b）c的特殊情况下，第一家分行不需要支付股息，以保持在M中，因此c*= A.*= 厘米4.3.在c/c=b/b的情况下，eV是最优值函数。我们证明，最优值函数V与（4.3）中定义的函数eV一致。提议4。7.对于任何x≥ 我们有V（（b/b）x，x）=V（x）=W（x）。证据考虑到任何可采性L=（L，L）∈ π（b/b）x，x，让我们定义一下∈ π（b/b）x，xasL（t）=L（t）+L（t）（b，b）注意L（t）+L（t）=L（t）+L（t）和XL（t）∈ M表示t<bτL，so L∈e∏（b/b）x，x。很容易检查破产时间bτL是否小于或等于bτL。因此，VL（bbx，x）≤ VL（bbx，x），结果如下。提议4。8.最佳值函数V=eV。证据通过命题4.7和（4.3）我们得到了M中的V=eV，然后通过命题4.2我们得到了D中的V=eV；结果是对称的。根据前面的建议，最佳策略是Remark 4.6中描述的策略。例如，考虑索赔规模分布gammaG（x）=1- （1+x）e-x、参数b=b=0.5、c=c=21.4、q=0.1和λ=10。

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2022-5-11 02:23:04

在[10]的第6.2.1节中，它表明A={0,10.22}，B=（0,1.803]∪ (10.22, ∞) C=（1.803，10.22），图1中描述了最佳策略。B1*B2*A1*=C*A0*A0*B0*B0*B0*X1X2图1。备注4.9。V在CMB中是不可区分的，因为它在某个点（（b/b）x，x）是可区分的∈CM，那么b oth Vx（（b/b）x，x）和Vx（（b/b）x，x）应该是一个；那么w'（x）=1+bb意味着x/∈这是一个矛盾。4.4.在c/c<b/b的情况下，eV不是最优值函数。下一个命题是，除非在非常特殊的情况下，（4.3）中定义的函数eV永远不是优化问题（2.4）的最优值函数。提议4。10.如果（4.7）中定义的CMde不是空的，则函数v不是（3.6）在第一个变量中所有点的一致性解。证据让我们谈一点x、 x∈ cmx=（b/b）x表示W在x处是可微的（因为W是局部Lipschitz，C是右作用域，当W′存在时，C中的点集具有完全度量）。通过定义ofC，W′（x）- 1.-bb>0，andL（W）（x）=cW′（x）- （λ+q）W（x）+λx/bRW（x）- bα）dG（α）+c-bbc=0。这意味着，对于任何x>x（等等x、 x∈ D）我们有，埃夫x、 x= 十、- x+W（x）=x-bbx+W（bbx），所以在所有这些点上，EVX都是不同的x、 x= -bb+bbW′（x）>1和Vxx、 x= 1.那么，由于bc<bc和x/b>x/b=x/b，L（eV）（x，x）=c(-bb+bbW′（x））+c- （q+λ）（x）- x+W（x））+λRx/b（x- x+W（x- bα）dG（α）=L（W）（x）+（cbb- c）W′（x）- 1.-bb- （十）- x）（q+λ）+λ（x）- x） G（x/b）。因此，取xclose到x>0，我们得到L（eV）（x，x）>0。所以，eV不是（3.6）at（x，x）的粘性解。备注4.11。在cms为空的情况下，AM={（0，0）}和BM=M- {（0，0）}，soW（x）=（bb+1）x+c+cλ+qandeV（x，x）=x+x+c+cλ+q。这种策略被称为“拿钱跑”。

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2022-5-11 02:23:07

根据参数，该策略可能是最佳策略，也可能不是最佳策略。最优价值函数V与D中盈余的最优策略∪ M、与c/b=c/b的情况不同，它不能像以前那样通过一维辅助优化问题来获得。关于D中最优策略的存在性和结构，我们没有任何理论结果∪ M.在第5节中，我们将使用二维数值格式来近似最优策略。5.D中的数值格式∪ 在这一节中，我们给出了一个收敛的数值格式来逼近c/b>c/bin R+情况下的最优值函数。事实上，根据推论4.2，我们得到了值函数满足v（x，x）=x- （b/b）x+V（（b/b）x，x），因此不足以逼近D中的最优值函数∪M.对于向下跳跃的联合多变量分布函数由F（x，y）：=G（（x/b）给出的情况，该数值模式可被视为[11]中所述模式的特殊情况∧ （y/b））并且惩罚函数和开关值函数都相同为零。如果δ>0，考虑x=cδ和x=cδ，在R+asGδ中定义网格域Gδ：={（nx、 mx）：n，m≥ 0} .我们在网格Gδ的每个点上寻找HJB方程（3.6）的算子所建议的最佳局部策略；这些可能的本地策略是：第一家分行一次性支付股息，第二家分行一次性支付股息，或者没有一家分行支付股息。这些局部策略的修改方式使应用这些局部策略后的受控盈余位于电网中。gr id Gδ任意点的可能控制动作定义如下：let（nx、 m十）∈ Gδ是初始盈余，τ和U分别是第一次索赔的时间和规模。1.

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2022-5-11 02:23:10

E：第一家分行立即付款x=cδ作为股息，因此受控盈余变成（（n- 1)x、 m十）∈ Gδ。控制动作ECA仅适用于n>0.2的情况。E:第二家分行立即付款x=cδ作为股息，因此受控盈余变成（nx、（m）- 1)十）∈ Gδ。控制动作仅适用于m>0.3的情况。E:到目前为止不派息∧τ. 在δ<τ的情况下，时间δ处的非受控盈余为（（n+1）x、（m+1）十）∈ Gδ；如果δ≥ τ、非受控s曲线的时间τ为（nx+cτ- bU，mx+cτ- bU）。如果该向量位于第一象限，分支机构立即支付最低金额的股息，以使受控盈余位于网格的某一点；这个末端盈余可以写为（hnx+cτ-日分xix、嗯x+cτ-日分xi十）∈ Gδ；在时间τ时，作为第一和第二分支机构股息支付的金额等于L（τ）=（n）x+cτ-日分-嗯x+cτ-日分xix、 mx+cτ-bU）-陛下x+cτ-日分xix）。如果终端剩余（nx+cτ- bU，mx+cτ- bU）不在Firstquadrant中，τ是破产时间。出于技术原因，需要考虑额外的控制措施，在此控制措施下，不会支付更多股息。控制动作的set用e={e，e，e，Es}表示。定义∏δnx、 m十、 πnx、 mXa是初始盈余为（n）的所有可容许红利策略的集合x、 m十）∈ Gδ，可通过网格每个点E中的控制动作序列（有限或有限）获得。

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2022-5-11 02:23:13

在每个点（n）定义δ-最优函数Vδx、 m十）∈ Gδ是E中控制作用组合的容许策略的值函数的上确界，即（5.1）Vδ（nx、 mx） =supπ∈Δnx、 mxVπ（n）x、 mx）。请注意，在[11]中描述的数值方案中，额外的控制动作Escorres Ponts会立即切换到相同于0（始终小于V）的sw瘙痒值函数，因此使用此控制永远不是最佳的；然而，正如我们稍后将看到的那样，它用于在∏n中找到一个简单的可接受红利策略x、 mxto在∏Δn中开始递归构造x、 mx将转化为Vδ。定义vδ（n，m）：=vδ（nx、 mx）。文献[11]证明，函数vδ是以下HJB等式（5.2）max{T（W）的离散形式的解- W、 T（W）- W、 T（W）- W}=0at（n，m）∈ N.这里，运算符T、T和皮重定义为（5.3）T（W）（N，m）：=W（N- 1，m）+x、 T（W）（n，m）：=W（n，m）- 1) + x、和（5.4）T（W）（n，m）：=W（n+1，m+1）e-（q+λ）δ+Iδ（W）（n，m）；式中（5.5）Iδ（W）（n，m）=δR（n）x+ctb∧Mx+ctbRe-qtW（hn）x+ct-bαxi，hmx+ct-bαxi）dG（α））λe-λtdt+δR（nx+ctb∧Mx+ctbRe-qt（c+c）t- α+n十、-嗯x+ct-bαxi十、dG（α））λe-λtdt+δR（nx+ctb∧Mx+ctbRe-qtM十、-陛下x+ct-bαxi十、dG（α））λe-λtdt。备注5.1。与HJ B方程（3.6）的注释3.6类似，离散HJ B方程有很多解；实际上所有的函数u（n，m）=nx+m对于足够大的K，x+K是（5.2）的解。的确，（T（W）- W）（n，m）≤ （c+c）（δe）-（q+λ）δ+λ（λ+q）1.- E-（λ+q）δ- K（1）- E-（λ+q）δ）qλ+q。考虑定义为（5.6）T:=max{T，T，T}的算子T。利用[11]中的结果，我们得出：ovδ可以表示为离散HJB方程（5.2）的最小解。

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2022-5-11 02:23:16

另外，如果一系列策略eπ=π（n，m）（n，m）∈n带π（n，m）∈ Δnx、 m满足函数u（n，m）：=Vπ（n，m）（nx、 mx）是所有（n，m）的离散HJB方程（5.2）的解∈ n次u=vδ，因此vδ（nx、 mx） =Vπ（n，m）（n）x、 mx）对于（n，m）∈ N.o对于问题（5.1），在网格的任何点上都存在一个最优容许策略。这种策略被称为δ-最优策略，在控制仅取决于当前盈余所在电网的哪个点的意义上是静态的。在t（vδ）（n，m）的情况下- vδ（n，m）=0，点（n）处的最优控制作用x、 m十）∈ Gδ是E；如果T（vδ）（n，m）- vδ（n，m）=0，最优控制作用为E；最后，在T（vδ）（n，m）- vδ（n，m）=0，最优控制作用为E.o函数vδ可以粗略地得到。（5.6）中定义的算子T是递增的，vδ是该算子的固定点。然而，根据备注5.1，该操作员有许多固定点。因为T不是收缩算子，所以vδ不能作为固定点在数值上获得；所以我们构造了t值函数vδl（n，m）：=vπl（n，m）（nx、 mx）论策略πl（n，m）∈ Δnx、 m可以显式计算，使得vδlvδ为l→∞. 为了做到这一点，让我们反复定义策略族eπl=πl（n，m）（n，m）∈每个l≥ 1.以下列方式；1.从策略系列eπ开始=π（n，m）（n，m）∈nπ（n，m）∈ Δnx、 mxcorres ponds向当地控制部门支付股息（不支付更多股息）；该策略y的值函数为vδ（n，m）：=vπ（n，m）（nx、 mx） =0.2。

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能者818

2022-5-11 02:23:21

给定eπl=πl（n，m）（n，m）∈n带πl（n，m）∈ Δnx、 mx、定义eπl+1=πl+1（n，m）（n，m）∈Nas紧随其后，对于ny（n，m）∈ N、最佳策略πl+1（N，m）∈ Δnx、 mxis选择了一个s，它最初遵循集合E中的一个控制动作，然后继续使用族Eπ中的策略，直到最佳控制动作的终点。πl+1（n，m）的值函数由Vδl+1（n，m）：=Vπl+1（n，m）（n）给出x、 mx） =T（vδl）（n，m）=T（l）（vδ）（n，m）表示（n，m）∈ 最后，由于T在增加，我们得到vδl+1≥ 任意l的vδl≥ 因此存在sv=liml→∞vδl.函数v是具体的HJB方程（5.2）的解，构造为E中局部控制组合的值函数，则v=vδ让我们将Vδ的定义从Gδ扩展到第一个q值中的所有点，即Vδ（x，x）=Vδ(十、十、十、十、十、x） +x-十、十、x+x-十、十、x、那么，Vδ（x，x）是∏x，xin中可接受策略的值函数，它由第二分支立即支付x-[x]/x]x和x-[x]/x]x分别为股息，然后跟随π（n，m）∈ πδ[x/x]x、 [x/x]x、对于任何δ>0的情况，当k趋于完整时，它在第一象限局部均匀地保持Vδ/2kV。取gr idsGδ/2k是为了得到Gδ/2k Gδ/2k+1和sovδ/2k≤ Vδ/2k+1.6。数值例子我们给出了三个数值例子，参数b=b=0.5、c=2、c=1、q=0.05和λ=1以及不同的索赔规模分布G。我们使用第5节中介绍的数值格式，获得了最优值函数V的数值近似Vδ和相应的δ-最优策略。正如我们在第4小节中所证明的那样，我们可以大体上看到这一点。4.第一分支机构支付红利的Dconsist的初始盈余的最佳策略是立即将盈余转移到D∪ M

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2022-5-11 02:23:24

命题4.10证明，对于M中的一些初始盈余（不同于c/c=b/b的情况），支付股息是不理想的，因此受控过程在破产时间之前保持在集合M中；我们将在图2、图6和图8中看到，对于M的一些初始盈余，最好的本地策略是通过第一分支立即支付股息摆脱M。6.1. 例1。我们在这里展示了一个数值例子，即求一个指数索赔规模分布G（x）=1-E-dxD=0.6。在图2中，我们展示了δ=0.03的δ-最优策略，请注意，存在一个非作用区域C* D.该图表明→ 0，边界A中的最优局部控制*应该是第一个分支支付部分传入溢价作为股息，而第二个分支不支付股息，因此二元控制盈余保持不变*并向右移动到该点（5.4,6.36）∈ A.*. 相比之下，边界的最佳策略是*这两个分支都不分红，所以二元控制在C中*因为边界的斜率*大于c/c=1/2。C*B1*B2*A1*A0*A2*B0*X1X2图2。图3。在图3中，我们显示Vδ减少了（x+x）。如备注2.1所述，不含合并成本的合并最优价值函数大于V，但在考虑合并成本时，这不适用于这种情况：我们将Vδ与图4中不含合并成本的合并最优价值函数的值o进行比较，并与图5中合并成本m=3的合并最优价值函数进行比较；在所有情况下，值函数都减少（x+x）。我们在图5中看到，当两个分支的盈余差异较大时，合并案例的价值函数仅优于Vδ。图4。图5.6.2。

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2022-5-11 02:23:27

例2。这里我们考虑伽马索赔规模分布nG（x）=1- （1+x）e-x、我们在图6和图7中显示了δ=0.025时δ最优策略和Vδ分别减少（x+x）。请注意，与前一个示例不同，设置*= {（0,0）、（4.0,4.75）}和B*有两个组件。gr aph表明，Vδ在B和B之间的下二元组是不可区分的*B*但它在上一种情况下是不同的（这反映了一维情况下的平滑拟合特性）；对于e和B之间的边界也可以进行类似的观察*B*.C*B1*B0*B0*B2*A1*A0*A0*A2*B0*X1X2图6。图7。如第一个示例所示，图6表明边界中的最优局部控制*应该是第一家分行支付部分收入溢价作为股息，而第二家分行不支付股息，因此二年控制盈余保持在*然后向右移动到点（4.0,4.75）∈ A.*. 同样，边界A中的最优策略*这两个分支都不派息，所以二元控制盈余在C内部移动*因为边界的斜率*大于c/c=1/2.6.3。例3。最后，我们考虑常数大小α=29/12的索赔。图8a和图9显示了δ=0.02时δ-最优策略和Vδ分别减少（x+x）。与前一个示例一样，这些设置*= {（0,0）、（3.56,3.62）}和B*有两个相连的部件。C*B1*B0*B0*B0*B2*A1*A0*A0*A2*X1X2图8。图9。请注意，形状与形状之间存在关系*还有*, 在无索赔的情况下，索赔的恒定规模=29/12，增长率c/c=1/2的非受控双变量盈余：A*还有*包含坡度为c/c的线段x=bU。

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2022-5-11 02:23:30

与前面的例子一样，最优控制策略*这两个分支都不派息，这也是边界A中的最优策略*包括第二个分支机构不支付股息，第一个分支机构支付部分传入保费作为股息，以使二元控制sur plus保持不变*并向右移动到该点（3.56,3.62）∈ A.*. 在一部电影的片段中*有了坡度c/c，第一个Branch不需要支付nds，就可以保持在*.确认该研究得到FP7拨款PIRSES-GA-2012-318984的支持。兹比格涅夫·帕尔莫夫斯基获得波兰科学和高等教育部2013/09/B/HS4/01496号拨款的支持。参考文献[1]H.Albrecher、P.Azcue和N.Muler。两个合作保险公司的最优股息策略。《应用概率的进展》，49，515-548，2017年。[2] H.Albrecher和S.Thonhauser。保险红利问题的最优性结果。牧师。R.阿卡德。西恩克。正是Fis.Nat。爵士。数学。RACSAM 103（2），295–320，2009年。[3] R.S.安巴·加斯皮提亚。关于两类相关聚集态的分布。保险数学。经济。24, 301 –308, 1999.[4] F.阿夫拉姆、Z.帕尔莫夫斯基和M.皮斯托留斯。关于负L′evy过程的最优红利问题。安。阿普尔。Probab。17(1), 156–180, 2008.[5] B.阿万齐。股利分配策略综述。上午好。精算师。J.13（2），217-2512009。[6] F.阿夫拉姆，Z。帕尔莫夫斯基和皮斯托留斯。正等式上的二维破产问题。保险数学。经济。42(1), 227–234, 2008.[7] F.阿夫拉姆、Z.帕尔莫夫斯基和M.皮斯托留斯。二维风险过程的退出问题：精确和符号结果。安。阿普尔。Probab。18(6), 2421–2449 ,2008.[8] P.阿兹库和N.穆勒。在Cram’er-Lundberg模型中的最优再保险和分配策略。

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2022-5-11 02:23:34

数学《金融》杂志15261-3082005。[9] P.阿兹库和N.穆勒。允许投资两种资产的破产概率最小化：一个二维问题。数学方法操作。第77（2）号决议，第177-206页，2013年。[10] P.阿兹库和N.穆勒。保险中的随机优化：一种动态规划方法。斯普林格简要介绍了量化金融。斯普林格，2014年。[11] P.阿兹库和N.穆勒。具有内部收益率可逆切换的多维最优红利问题：一个收敛的数值格式。arXiv:1804.02547，2018年。[12] A.Badescu、L.Gong和S.Lin.风险分担策略下二元风险过程的最优资本配置。预印本，多伦多大学，2015年。[13] S.巴迪拉、O.博克斯马和J.雷辛。两条平行的保险线同时到达，风险与到达时间相关。保险数学。经济。61, 48–61, 2015.[14] 陈伟、杨浩和张磊。二维r isk模型破产概率的一些结果。保险数学。经济。32, 345–358, 2003.[15] M.G.克兰德尔和P.L.狮子。Hamilton-J acobi方程的粘性解。跨。艾默尔。数学Soc。277 , 1–42, 1983.[16] I.Czarna和Z.Palmowski。二维保险风险过程的De Finetti红利问题和脉冲控制。随机模型27220–2502011。[17] M.Denuit、C.Genest和E.Marceau。相依风险和的随机界。保险数学。经济。25, 85– 104, 1999.[18] J.Dhaene和M.Denuit。风险中最安全的依赖结构。保险数学。经济。25, 11–21, 1999.[19] J.Dhaene和M.J.Goovaerts。风险依赖性和止损顺序。ASTIN Bulletin26201–212，1996年。[20] J.Dhaene和M.J.Goovaerts。个体生命模型中风险的依赖性。保险数学。经济。19, 243 –253, 1997.[21]B.德·费内蒂。在意大利理工学院，你可以选择不同的方式。跨。十六国际。

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nandehutu2022

2022-5-11 02:23:37

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