多维匹配 - 外文文献专区

2022-5-11 05:49:41

Pass很高兴地感谢加拿大自然科学和工程研究委员会（Natural Sciences and Engineering Research Council of Canada）4127792012拨款和艾伯塔大学创业基金的支持。C2016年4月21日+纽约哥伦比亚大学经济系，USApc2167@columbia.edu多伦多大学数学系，安大略省多伦多市，Canadamccann@math.toronto.edu§加拿大艾伯塔省埃德蒙顿艾伯塔大学数学和统计科学系pass@ualberta.ca.is了解“市场”双方（例如婚姻市场中的丈夫和妻子、劳动力市场中的CEO和企业、不同商品市场中的生产者和消费者等）的代理人分配之间匹配的稳定均衡，以及由此产生的合作伙伴之间的剩余分配。直到最近，大多数工作都集中在使用单一特征来区分每一侧的代理的设置上；例如，在婚姻市场中，有几个模型假设个人只因收入（或人力资本）而有所不同。这些模型的优点是易于分析，通常允许显式的闭式解。在经典的Spence-Mirrlees条件下，唯一的稳定匹配是正分类匹配，其性质（“谁娶谁”）直接由男性和女性特征的潜在分布决定。然而，这些一维模型在许多情况下并不令人满意，因为随意的经验主义和事实证据都表明，代理人往往在几个特征上匹配。

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2022-5-11 05:49:45

例如，在婚姻市场上，男女之间潜在婚姻的适合性通常取决于双方的几个特征，包括收入和教育，还取决于年龄、品味、民族背景、外貌吸引力等。因此，研究和理解多维度匹配问题很重要，在这种情况下，市场双方的代理人都会根据几个特征进行区分。近年来，由于这些模型具有更广泛的适用性和灵活性，它们的可见性不断提高，但它们的引入带来了严重的理论挑战。平衡匹配的本质更有趣，但也更复杂；与一维情况相比，它不再是由个体特征分布的唯一知识决定的，即使是在斯宾塞-米尔雷条件下。从更技术的角度来看，通常不可能得出封闭形式的解决方案；将匹配问题离散化会导致线性规划，当类型空间是多维的时，线性规划往往在数值上变得难以处理。本文的目的是从稳定匹配的存在性、唯一性和定性性质的角度，给出多维匹配模型的一般刻画。自从[Shapley&Shubik（1971）]和[Gretsky，Ostroy&Zame（1992）]在离散环境下的工作，以及[Gretsky，Ostroy&Zame（1992）]在连续统中的工作以来，人们已经理解，可转移效用匹配相当于一个变分问题；这个问题在数学文献中被称为Monge-Kantorovich最优运输问题。

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2022-5-11 05:49:48

我们的第一个目标是证明，关于多维最优传输的大量现有文献可以用来推导稳定匹配唯一且纯粹的条件，并了解它们的性质。我们特别强调了市场双方的异质性维度不相等（比如m>n）的情况。数学界对这类问题的关注相对较少，但在经济上是很自然的；这一维度基本上反映了用于区分代理商的属性数量，一般来说，没有令人信服的理由认为市场两个不同方面的代理商（比如消费者和生产商）的数量相同。这种情况下会出现一种典型的模式，因为对于市场的一方（维度较低的一方），相同的代理通常与不同的合作伙伴相匹配。我们探讨了由此定义的“差异集”的性质，并认为，由于这种差异集通常可以通过经验恢复，这些性质可以提供多维匹配理论的可测试结果。特别令人感兴趣的是所谓的“多到一维匹配问题”，即假设市场一侧的代理是多维的，而另一侧的代理是一维的。它们包括一类经济上重要的例子（例如，参见[Chiappori，Ore ffice&Quintana Domeque（2012）]和[Low（2014）]），对于这些例子，可以明确地获得稳定匹配。在此背景下，我们描述了一种旨在描述均衡匹配的通用方法。我们提供了一种强大的方法，允许在合适的条件下明确描述其解决方案。

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2022-5-11 05:49:51

我们讨论了独立集所表现出的一些有趣的特征，这些特征在纯一维问题中通常是不存在的。例如，最佳映射可能是不连续的，因此相似类型的女性可能会与不同类型的男性结婚。最后，我们考虑三个具体的例子来说明匹配模型的不同潜在应用。一种是一种标准的享乐模型，特别是在经验IO文献中。虽然这些模型通常假设不完全竞争，但我们展示了如何分析竞争版本。在标准条件下，存在，但也唯一性和纯度，自然获得。特别是，我们证明了纯度的数学概念在这一背景下具有“聚束”的自然解释。此外，通常可以使用匹配或优化运输技术，得出定价计划的封闭式解决方案；我们将说明如何使用特定的分布来实现这一点。有关一般调查，请参见[Villani（2009）]和[Santambrogio（2015）]。我们的第二个例子考虑了这样一种情况，即女性具有两个特征（社会经济地位，从现在起为SES，以及生育能力），而男性仅因其SES而有所不同——这是[Low（2014）]最近研究的一个案例。那么，中产阶级妇女的社会经济地位的微小变化（而她的生育率保持不变）可能会导致丈夫收入的巨大变化。同样，我们提供了解决方案的一般特征，并描述了它的一些定性特征。最后，多维到一维框架自然会导致研究多维不对称信息下匹配模型与主代理问题之间的关系。

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2022-5-11 05:49:54

虽然这个一般性问题仍然存在广泛的开放性（并且相当具有挑战性），但Weill通过考虑[Rochet&Chon\'e（1998）]的最终模型的竞争变体来说明我们的贡献，在该模型中，商品可以由一组具有竞争性的一维异质生产者生产，而不是由单一的垄断者生产。与原始的Rochet Chon’eframework不同，该模型相当于我们形式的匹配问题，可以通过上述方法显式求解。我们提供了由此产生的均衡价格表的完整特征。特别是，我们表明，在我们的竞争框架中，与最初的垄断者环境相比，从来没有聚集：不同类型的消费者总是购买具有不同特征的商品。换句话说，Rochet和Chon’edo强调的奇怪的聚束模式似乎与逆向选择问题的多维性没有内在联系；相反，它们是由于垄断生产者的存在所造成的扭曲。2可转移效用下的多维匹配：基本属性2。1总体框架和基本成果2。1.1我们考虑的模型集X 曼德·Y Rn，将市场两侧的试剂人口参数化。在接下来的内容中，我们将坚持婚姻市场解释（因此X和Y将分别表示潜在妻子和丈夫的集合），尽管其他解释显然是可能的。它们分别根据概率度量u在X上和ν在Y上分布。在可转移效用框架中，代理x的潜在匹配∈ X安迪∈ Y生成一个组合盈余s（x，Y），其中s:x×Y→ R.这笔盈余可以以任何方式在代理人x和安迪之间分配。

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2022-5-11 05:49:57

为简单起见，我们假设s及其导数是光滑且有界的，除非另有说明；我们描述的许多结果也可以扩展到平滑度较低的盈余，例如[Chiappori，McCann&Nesheim（2010）]和[Noldeke&Samuelson（2015）]。匹配的特征是乘积X×Y上的概率度量γ，其边缘为u和ν，即所有Borel A的γ（A×Y）=u（A）和γ（X×B）=ν（B）（1）十、 B Y直观地说，匹配是将集合X和Y中的代理指派成对，γ（X，Y）与X与Y匹配的概率有关；特别是，（x，y）/∈ sptγ意味着试剂x和y不匹配。边际条件通常被称为市场清算标准。我们用Γ（u，ν）表示所有匹配的集合。可积函数u:X→ R和v:Y→ 如果R满足预算约束：u（x）+v（y），则称为与γ对应的payoff函数≤ s（x，y）（2）γ几乎无处不在——也就是说，对于与正概率匹配的任何一对代理。对于这样一对（x，y）∈ sptγ，函数u（x）和v（y）分别被解释为由试剂x和y的匹配衍生的间接效用；约束（2）确保两个代理收集的总间接效用u（x）+v（y）不会超过它们可用的总剩余s（x，y）。如果存在满足（2）和逆不等式u（x）+v（y）的支付函数u（x）和v（y），则匹配γ称为稳定的- s（x，y）≥ 0（3）代表所有（x，y）∈ X×Y。条件（3）表示匹配在以下意义上的稳定性；如果我们有u（x）+v（y）<s（x，y）作为任何一对（目前不匹配的）代理，那么他们中的每一个都应该离开他们当前的合作伙伴，一起匹配，除以多余的s（x，y）- u（x）- v（y）>0，从而增加对x和y的支付。

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2022-5-11 05:50:01

请注意，（2）和（3）一起确保几乎所有地方都有（x）+v（y）=s（x，y），γ：如果两个代理匹配正概率，那么它们将在它们之间分配产生的盈余。为简单起见，我们假设完全参与是有激励的，并且供给平衡需求（反映在这里的sptγ指γ的支持，即包含γ的完整质量的最小闭合集。u和ν具有相等的质量）；当这些假设被违反时，众所周知，它们可以通过增加市场的两侧，用一种代表剩余匹配的外部选项的有效类型来恢复（例如参见[Chiappori，McCann&Nesheim（2010）]）。给定一个稳定的匹配γ和相关的匹配函数u，v，theset={（x，y）∈ X×Y | u（X）+v（Y）=s（X，Y）}是特别有趣的；as-sptγ S、它告诉我们哪些代理可以匹配在一起。如果S集中在图{（x，F（x））|x上∈ S} 函数F:X的性质-→ 稳定匹配被称为纯匹配，其解释是几乎所有类型x的代理都必须与相同类型Y=F（x）的代理匹配；特别是，纯度排除了随机化的存在，即一种试剂可以随机分配给不同的试剂。在这种情况下，分布ν与F下u的图像F#u一致，其分配质量（F#u）（V）：=u[F-1（V）]（4）对每个V Y更一般地说，理解S的几何结构是有趣且有用的。尽管u和v通常不会处处可微，但一些温和的正则性条件保证了几乎处处可微，如以下结果所述：引理1如果剩余函数S是Lipschitz，那么Payoff S u和v也是如此，并且具有相同的Lipschitz常数；如果是∈ C（X×Y），然后u和v有二阶泰勒展开式，几乎所有地方都有勒贝格展开式。证据

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2022-5-11 05:50:05

参见[Villani（2009）]或[Santambrogio（2015）]。当概率度量u和ν来自勒贝格密度时，这种几乎无处不在的差异对于许多分析目的都是有效的。我们使用domdu（分别是domdu）来表示那些x∈ 其中u具有一阶（分别为二阶）泰勒展开，而DomDiu：=十、∩ Dom Diu，其中X和xdenotes分别表示X的闭包和内部。S是非负函数（3）的零集这一事实至关重要。它特别意味着一阶和二阶条件（Du（x），Dv（y））=（Dxs（x，y），Dys（x，y））（5）也被称为推进F#u到F；参见例如[Ahmad，Kim&McCann（2011）]。和Du（x）00 Dv（y）≥Dxxs（x，y）Dxys（x，y）Dyxs（x，y）Dyys（x，y）（6）对每个（x，y）都感到满意∈ s∩ （X×Y）存在导数问题；这里Xdenotes是X的内部，不等式（6）应该理解为这些（m+n）×（m+n）对称矩阵的差异是非负定义的。一阶条件du（x）=Dxs（x，y）（7）（例如）有一个有趣的经济解释。在可转让实用新型中，妻子的剩余份额u（x）是以牺牲丈夫y的份额为代价的。因此（7）表示他愿意为她的质量变化支付的边际意愿Du（x）=（x，…，xm）与夫妇为相同变化支付的边际剩余Dxs（x，y）相等。类似地，Dv（y）=Dys（x，y）（8）将她为其质量变化支付的边际意愿y=（y，…，yn）与他们为此类变化支付的边际盈余相等。这对于一些情况有着重要的影响，这些情况下的特征是不假思索地给出的，但却是由个人在游戏开始之前进行的一些投资（人力资本就是一个明显的例子）造成的。

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2022-5-11 05:50:07

那么（7）就个人而言，特征投资的边际回报与社会回报（定义为投资对总盈余的贡献）完全相等。换言之，人们预计，对于某些均衡，这种投资将是有效的，尽管在匹配博弈之前是非合作的；它们对全球福利的影响通过匹配机制内部化，[Cole，Mailath&Postlewaite（2001）]和[Iyigun&Walsh（2007）]提出了这一点，并由[Noldeke&Samuelson（2015）]进行了推广。2.1.2变分解释：最优传输和对偶性识别稳定匹配的问题原来有一个变分公式，称为最优传输，或Monge Kantorovich，数学文献中的问题（例如参见[Villani（2009）]，[Santanbrogio（2015）]和[Galichon（2016）]）。这就是匹配度量u和ν以使总盈余最大化的问题；也就是说，在最大化[γ]的集合Γ（u，ν）中找到γ：=ZX×Ys（x，y）dγ（x，y）。（MK）以下定理可以追溯到有限类型空间X和Y的[Shapley&Shubik（1971）]，以及更普遍的[Gretsky，Ostroy&Zame（1992）]。它断言（MK）和StableMatching之间是等价的。定理2匹配测度γ∈ Γ（u，ν）是稳定的当且仅当它最大化（MK）。作为凸集上线性泛函的最大化问题，问题（MK）有一个对偶问题，这对研究它的最大化子和阐明它与稳定匹配的关系都很有用。（MK）的对偶问题是最小化u[u]+ν[v]：=ZXu（x）du（x）+ZYv（y）dν（y）。（MK*)在功能中∈ L（u）和v∈ L（ν）满足稳定性条件（3）。众所周知，在温和的条件下，对偶性成立（例如，参见[Villani（2009）]），即：满足（1）s[γ]=min（u，v）满足（3）u[u]+ν[v].

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2022-5-11 05:50:11

（9）注意，对于满足稳定性约束（3）和任何匹配γ的任何u和v∈ Γ（u，ν），边际条件意味着u[u]+ν[v]=ZX×Y（u（x）+v（Y））dγ（x，Y）≥ZX×Ys（x，y）dγ（x，y），当且仅当u（x）+v（y）=s（x，y）几乎处处保持γ时，我们可以有等式。然后根据对偶定理，γ是（MK）中的最大化子（因此是稳定匹配），u，v是对偶问题（MK）中的最小值*), 精确地说，当u（x）+v（y）=s（x，y）几乎在所有地方都保持γ时；换句话说，（MK）的解*) 与支付功能一致。一个直接推论如下：推论3设s和‘’s是两个剩余函数。假设存在两个函数f和g，分别将rm映射到R和rn映射到R，例如（x，y）=s（x，y）+f（x）+g（y）对于任何度量u和ν，s的任何稳定匹配都是s的稳定匹配，反之亦然。证据s的任何稳定测度γ都解决了剩余最大化问题：maxγ满足（1）ZX×Ys（x，y）dγ（x，y）。（10）这相当于：maxγ满足（1）ZX×Y′s（x，Y）dγ（x，Y）+ZXf（x）du（x）+ZYg（Y）dν（Y）。最后两个积分（由γ上的边界条件给出），所以解（10）的任何γ也解（11）：maxγ满足（1）ZX×Y′s（x，Y）dγ（x，Y）。（11）这个结果的一个重要结果是，对匹配模式的观察最多只能识别x和y的两个加法函数。我们将在后面看到，一般来说，即使是两个这样的加法函数也无法识别s。问题（MK）在过去的25年里得到了广泛的研究，定理2允许将大量的理论应用于稳定匹配问题。特别是[Villani（2009）]中对导致（MK）溶液存在、唯一性和纯度的条件进行了详细的了解和调查。

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2022-5-11 05:50:15

这些性质可以用交叉差异简洁而优雅地表达，由[McCann（2014）]引入，并在（X×Y）上定义为：δ（X，Y，X，Y）=s（X，Y）+s（X，Y）-s（x，y）-s（x，y）交叉差异与问题（MK）的相关性将在下文中变得更加明显。目前，我们通过在一维m=n=1，交叉差异的积极性（x）来暗示它的作用- x） ·（y）- y） >0相当于s的超模性（Spence-Mirrlees条件）。对于更一般的X和Y，沿着对角线{（X，Y）=（X，Y）}和非负的长sptγ×sptγ的交叉差为零（X×Y）对于任何稳定匹配γ。s on（sptγ）的这种非负性通常被称为sptγ的s-单调性，是一种更一般的条件s-循环单调性的特例，它表征了对最优匹配的支持。2.1.3稳定匹配的存在性、纯度和唯一性变分公式有助于建立稳定匹配的基本性质。例如，现在可以使用基本连续性和紧性参数来断言存在性，如下结果所述：定理4假设X 曼德·Y r有界与s∈ C（X×Y）。然后存在一个优化器γto（MK），因此存在一个stablematch。证据参见[Villani（2009）]或[Santanbrogio（2015）]我们现在考虑的是独特性和纯洁性。除了理论上的兴趣，最佳匹配γ的唯一性在计算中起着重要作用，因为在没有它的情况下，必须采用更复杂的技术。在实践中，在实证研究中，解决方案通常被认为是纯粹的。由于这一结论在一般情况下并不令人满意[McCann&Rifford（2016）]，因此需要了解s、u和ν的条件，以保证这一结论。

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2022-5-11 05:50:18

此外，在享乐语境中，纯度意味着没有“聚束”（即不同的代理消费相同的产品）；当我们研究匹配理论和契约理论之间的相互作用时，这一特性尤其重要。首先，请注意，一般情况下不保证唯一性。例如，当剩余函数采用加法形式s（x，y）=f（x）+g（y）时，泛函[γ]=ZX×Ys（x，y）dγ（x，y）=ZXf（x）du（x）+ZYg（y）dν（y）在可行匹配测度的集合Γ（u，ν）中是恒定的，因此任何匹配γ都是最优的，因此是稳定的。因此，很明显，确实需要特定的结构条件来确保纯度和唯一性。最佳匹配纯度的关键条件是Spence-Mirrles条件的非局部推广，称为twistcondition：定义函数s∈ C表示扭转条件，如果，对于每个固定的x∈ X和y6=y∈ 是的，地图∈ x7→ δ（x，y，x，y）（12）没有临界点。通过对δ相对于x的微分和重新排列，我们可以看到，对于所有x和不同的y6=y，这相当于Dxs（x，y）6=Dxs（x，y）（13）。因此，扭转条件相当于y7的注入能力→ Dxs（x，y），用于每个固定的x。这种注射量反过来意味着丈夫类型y是女性类型x∈ Dom Du唯一的决定因素是他通过一阶条件（7）为自己的品质买单的边际意愿Du（x）。例如，在一维语境（m=1=n）中，经典的斯宾塞-米尔莱斯条件s十、y> 0或s十、y<0除以X×y，这等于y7→sx（x，y）对于每个固定x是严格单调的（因此是内射的）。

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可人4

2022-5-11 05:50:20

正是在这个意义上，扭曲条件可以被视为斯宾塞-米尔莱斯条件的非局部推广。扭转条件足以保证纯度，如以下结果所述：定理6（[Gangbo（1995）]，[Levin（1999）]）假设μ相对于Lebesgue测度是绝对连续的，剩余的SSA满足扭转条件。那么（MK）的任何溶液γ都是纯的。证据设γ解（MK）为扭曲剩余s∈ C.根据定理1和定理2，在X上存在Lipschitz势u，在满足u（X）+v（y）的条件下存在v≥ s（x，y）代表所有（x，y）∈ X×Y，等式保持γ-a.e.是Lipschitz，u几乎在任何地方都是可微分的Lebesgue，因此u-a.e.，其中u表示γ的左边缘。Thusforu-a.e.x我们发现Du（x）=Dxs（x，y），如（5）所示。扭曲条件（12）意味着我们可以反转这个关系，写出y=F（x），其中F（x）=[Dxs（x，·）]-1（Du（x））。这表明γ是纯的。u的绝对连续性是一种技术条件，用于确保在一组完整的u测量值上区分公用设施；如果剩余是，则支付函数保证为Lipschitz，因此几乎所有地方都可以通过Rademacher的Theorem区分Lebesgue（但不是所有地方）。测量的条件可能会有所减弱，但需要一些规律性：作为一个简单的计数样本，如果u=δxis是狄拉克质量，但ν不是，那么最佳匹配（实际上，Γ（u，ν）中唯一的测量值）是乘积测量δx ν、它将每个点y与x配对，这肯定不是纯的。在这一点上可以说三点。首先，如果s是两次连续可微的，Y的内部是非空的，则扭曲条件立即意味着n≤ m、当它断言存在从RNRM的开放子集平滑注入（13）时。

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2022-5-11 05:50:24

第二，值得注意的是，在许多相关的情况下，扭转条件确实会失败；例如，如果我们用紧致光滑流形替换X和Y，它对任何光滑剩余函数s都是失败的。第三，扭曲条件对于纯度来说是不必要的。例如，[Kitagawa&Warren（2012）]提供了一个在没有扭曲的情况下保持纯洁的环境。我们可以很容易地看到，纯度意味着唯一性：推论7根据前面定理的结论，最佳匹配γ是唯一的。证据假设存在两个解γ和γto（MK）。问题的凸性表明，γ=（γ+γ）/2也是一个解。结论断言γ集中在映射F:X的图上-→ Y，然后消失在这个图之外。非负性确保γ和γ的情况必须相同。但是[Ahmad，Kim&McCann（2011）]中的γ=（F×id）#u=γbyLemma 3.1与这个推论相反是不正确的；i、例如，人们很容易发现最佳匹配是唯一的，但不是纯粹的。确保最佳匹配唯一性而非纯粹性的其他条件可在[Chiappori，McCann&Nesheim（2010）]和[McCann&Rifford（2016）]中找到。2.1.4一个例子作为定理6的说明，我们考虑了一个在经验应用中广泛使用的特殊情况（[Galichon&Salani\'e（2012）]，[Dupuy&Galichon（2014）]，[Lindenlaub等等）。假设m=n，盈余的形式为：s（x，y）=fX（x）+gY（y）+nXk=1fk（xk）gk（yk）。可以对这种形式做两个注释。首先，在不失去普遍性的情况下，我们可以通过假设fX=gY=0来忽略前两个术语；稳定措施不会受到影响。

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2022-5-11 05:50:27

其次，这种形式对于交叉导数矩阵Dxys是必要且有效的=sxk伊尔斜交（由[Lindenlaub（2015）]调查的一个案例）。在这种情况下，对于任何y6=`y，我们有：Dxs（x，y）- Dxs（x，y）=f（x）（g（y）-g（\'y））。。。fn（xn）（gn（yn）-gn（`yn））特别是（假设所有fi都没有任何消失导数），只要gi是严格单调的，扭曲条件就满足。我们的结论是，在这种情况下，稳定匹配是唯一和纯粹的；也就是说，存在一个函数F将rm映射到自身，使得x与y=（F（x），…）相匹配。。。，Fm（x））。此外，[Lindenlaub（2015）]表明，如果f和g严格增加，那么对于所有i（她称之为多维正分类匹配的属性），FI在XI中严格增加。2.1.5最优匹配的局部结构在没有扭曲条件的情况下，或者在两个边缘都是单数的情况下，人们可能不会期望最优匹配的纯度。然而，在一个通用的非退化准则下，也就是Spence-Mirrlees条件的局部推广，仍然可以通过其支撑的局部几何结构来确定某些东西。对于固定（x，y），设H为函数（x，y）7的海森函数→ δ（x，y，x，y），在点（x，y）=（x，y）处计算。一个简单的计算得出H采用块形式：H=0 DxysDyxs 0其中dxys=(sxiyj）ij是混合二阶分部的m×n矩阵，左上角和右下角的0分别代表m×m和n×n消失块。用r表示Dxys的秩，我们有以下定理（见[McCann，Pass&Warren（2012）]和[Pass（2012a）]）。定理8存在（x，y）的邻域N，使得∩ S包含在维数为m+n的X×Y的Lipschitz子流形中- R

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大多数88

2022-5-11 05:50:30

在S是可微的点上，在H（v，v）的意义上，它是类空间的≥ 对于与集合S相切的任何v，为0。特别是在特殊情况下，当m=n且H具有满秩r=n时，支持度最多为m=n维（局部）。当这些维数不同，且n×m矩阵的满秩r=min（n，m）时，维数为max（n，m），其余维数为min（n，m）[Pass（2012a）]。如果r=min（n，m），我们说s在（x，y）是非简并的。定理8的类空断言有助于确定最优匹配的理论方向，如下所示。例9当m=n=1时，假设Spence-Mirrlees条件s十、y> 定理告诉我们，解集中在一维Lipschitz曲线（x（t），y（t））上。只要曲线是可微的，类空条件就归结为x（t）s十、yy（t）≥ 0，orx（t）y（t）≥ 0，产生正的分类匹配。只有一个与此结构匹配的γ，可以通过度量u和ν显式计算（前提是u没有原子）；由F#u给出，其中F:X→ Y satis Fiesz(-∞,F（x））dν≤Zx-∞du≤Z(-∞,F（x）]dν换句话说：x与y=F（x）匹配，使得特征大于x的女性数量等于y以上的男性数量。2.1.6匹配函数的规律性（平滑度）当满足扭转条件时，最佳匹配因此是纯粹且唯一的，问映射F:x是否有趣→ Y生成匹配是连续的；从质量上来说，这就是x和x类型为“亲密”的女性是否必须嫁给特征相似的男性的问题。事实证明，情况通常并非如此，有关最佳运输的文献中有大量实例表明了这一点。

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kedemingshi

2022-5-11 05:50:40

这种假设相当严格；在实践中，它要求具有不同特征和y但指数相同（即i（y）=i（y））的男性在匹配市场上完美替代任何潜在配偶x。正式而言，如果s是平滑的，则指数形式要求满足以下条件：xms/yks/伊尔= 0k、 l，m。这些条件表明，YK和yl之间的边际替代率（定义了与相应iso剩余曲线相切的斜率）不依赖于x；实际上，（18）意味着：s/yks/伊尔=我/yk我/伊尔。指数模型的主要实际意义在于，每当（18）满足时，匹配问题实际上是一维的；从技术上讲，人们可以用/Y=ImI替换空间Y和度量值ν R和（4）中定义的v到I的向前推|ν：=I#ν。特别是，当索引属性（18）满足时，匹配问题可归结为第4节中讨论的多维到一维问题。[Pass（2012b）]中观察到的指数模型的另一个显著特性是≤ n、集合{Dys（y，x）|x的凸性∈ 十} ，以确保匹配函数是连续的，要求函数s的形式为s（X，y）=σ（X，I（y）），其中I:Rn→ Rm。特别是，当m=1时，s必须有一个indexform。因此，当n>m=1时，如果剩余函数s不是指数形式，则存在绝对连续的度量u和ν（具有平滑密度），其中匹配函数F是不连续的；我们将在下面看到一个例子。最后，在某些情况下，指数模型的概念可能会被轻描淡写。具体地说，我们通过假设存在三个函数α、I和σ来定义伪指数模型，分别映射RN到R、RN到R和RM+1到R，这样：s（x，y）=α（y）+σ（x，I（y））。

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2022-5-11 05:50:44

（19）在这里，男性特征y通过两个一维指数α（y）和I（y）影响匹配功能。然而，关键的评论如下。假设Dxσ（x，i）在i中是内射的；这简单地要求σ/对于至少一个k，xk（x，i）在i中是严格单调的。然后：Dxs（x，y）=Dxσ（x，i（y））6=Dxσ（x，i（y））=Dxs（x，y）对于任何y，y如i（y）6=i（y）。从扭转定理的证明可以看出，稳定测度的支持是由实际困难的图形产生的，因为对于大多数实证应用，指数I事先未知，必须根据经验进行估计。有关详细讨论，请参见[Chiappori，Ore ffice&Quintana Domeque（2012）]。一个函数。尽管Rm×RN上的稳定匹配不是纯粹的（因为所有具有相同指数的男性都是完美的替代品），但对于由剩余函数σ（x，i）和度量值u和i#ν定义的Rm×R上的“简化”匹配问题，稳定匹配是纯粹的——即存在一个函数φ，使得任何女性x都与指数为i=φ（x）的男性匹配。特别是，在多维到一维的情况下（见下文第4节）得出的大多数结果仍然适用于这种情况。2.2.3与享乐模型的联系下，我们简要回顾了匹配模型和享乐模型之间的典型联系，这对我们的一些应用至关重要（尤其是竞争IO模型和竞争版Rochet Chon\'e）。一个享乐模型包括三组：一组X买家（被赋予测度u）、一组Y卖家（被赋予测度ν）和一组Z产品；直观地说，一个产品是由一个有限的特征向量定义的，买家在任何时期都会购买一个产品（最多），比如汽车或房子。

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2022-5-11 05:50:47

买家和卖家都是价格接受者，考虑任何产品z的价格P（z）∈ Z如给定。特征向量为x的买方使公式u=u（x，z）的准线性效用最大化- P（z）而生产者y最大化利润∏=P（z）- c（y，z），其中c（y，z）是生产商y生产产品z的成本。备注10需要注意的是，生产商的利润取决于其特性、产品特性和价格，而不是买方的特性。这个“私人价值”方面对于我们下面讨论的二维逆向选择的关系至关重要。享乐平衡定义为产品集x×Y×Z上的度量α，其第一和第二边缘为u和ν，以及一个函数p，对于任何（\'x，\'Y，\'Z）∈ sptα，然后是z∈ arg maxz（u（x，z）- P（z））∩ arg maxz（P（z）-c（y，z））。参见[Chiappori，McCann&Nesheim（2010）]，[Ekeland（2005）]和[Ekeland（2010）]。换句话说，α代表了买家和卖家对彼此和产品的分配，如果分配给x的产品（分别为y）使x的效用（y的利润）最大化，则达到了平衡。要查看与匹配模型的联系，请定义成对盈余函数（x，y）=supz∈祖（x，z）- c（y，z）。（20）并考虑（X，Y，s）定义的匹配模型。

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大多数88

2022-5-11 05:50:49

然后[Chiappori，McCann&Nesheim（2010）]证明了以下结果：o对于享乐模型的任何平衡，测量α在集合X×Y上的投影，以及函数su（X）=maxzu（X，z）- P（z）和V（y）=maxz（P（z）-c（y，z））形成稳定的匹配相反，对于解决匹配问题的任何γ，都存在满足的价格函数P∈Y{v（Y，z）+r（Y）}≥ P（z）≥ 好的∈X{u（X，z）- q（x）}（21）带α≡ （idX×idY×z）#γ，其中z=z（x，y）∈ arg maxzu（x，z）-c（y，z），任何这样的P都会形成一个平衡对（α，P）。2.2.4可测试性最后，让我们简单地考虑一下可测试性的重要问题：上面描述的一般匹配结构会产生哪些可测试的限制（如果有）？显然，答案取决于我们所观察到的。考虑最简单的情况，我们只观察匹配模式（“谁娶谁”）。从技术上讲，我们现在面临一个相反的问题：知道空间X和Y以及度量值γ，我们能找到一个γ稳定的剩余s吗？然而，这个问题应该稍微重新措辞，以排除去速率的解决方案；例如，对于退化剩余s（x，y）=0，anymeasure是稳定的x、因此，我们考虑以下问题：给定两个空间x，y和x×y上的一些测度γ，总是可能找到一个剩余，使得γ是匹配问题（x，y，s）的唯一稳定匹配？第一点是，如果我们在模型中施加足够的“规律性”，答案是肯定的。具体地说，让我们考虑这样一种情况，即测度的支持是由某个函数F的图产生的，并且F是非退化的（在这个意义上，F的导数在整个空间上具有满秩）。然后我们总是可以找到一个剩余，其中γ是唯一的稳定匹配：我们只需要取s（x，y）=-|F（x）-y |/2。

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2022-5-11 05:50:53

实际上，γ显然最大化了原始的、最优的运输问题，这保证了稳定性；此外，剩余满足扭转条件，这保证了唯一性。相应的报酬是u（x）=0=v（y）。然而，非简并性对于这个结果的保持至关重要。对于onething，如果F退化，扭转条件不成立，而γ对于s（x，y）=-|F（x）- y |/2，这可能不是唯一的匹配。此外，虽然定理8暗示，对于非退化剩余，任何稳定匹配都集中在一组最大（m，n）的维度上，但有可能找到该维度集上支持的度量，这些度量对于任何C，非退化剩余都是不稳定的。要了解这一点，请考虑m=n=1的情况；设X=Y=（0,1） R.这里的非退化只是指s十、y6=0，这意味着s十、y> 0无处不在（因此s是超级模块化的）或s十、y<0（因此s是子模）。在这两种情况下，众所周知，稳定匹配分别集中在单调递增集和单调递减集上。因此，任何集中在一组尺寸max（m，n）=1（例如，平滑曲线）上的γ，既不是全局增加也不是减少（例如，曲线（y=4（x））上- 1/2），对于任何非退化盈余都不稳定。3.尺寸不等的匹配我们现在特别注意尺寸m≥ 市场双方的nof异质性是不平等的。在这种情况下，人们期望多对一而不是一对一的匹配。在一份公司出版物中，我们为这种情况发展了详细的数学理论，特别关注m>n=1的情况。

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2022-5-11 05:50:56

在这里，我们只讨论该理论的主要结论和一些基本思想，尽可能地压制技术细节，以便能够快速进行解释和应用。当我≥ n、在平衡状态下，人们很自然地会认为-1（y）十、 Rmof合伙人是y型男人∈ DomDvis与will不同，通常具有维度m- n、或者等价地，余维数n。我们感兴趣的是指定这个微分集实际上是光滑子流形的条件。让我们探索这种情况，特别注意剩余函数s（x，y）与总体u和ν在熟悉的情况n=m中所起的不同作用，它将由一个（或多个）孤立点组成——如果s恰好扭曲，则为一个孤立点。确定这些差异集。3.1潜在差异设置对于任何平衡匹配γ和支付（u，v），我们已经看到了（x，y）∈ s∩ （X×DomDv）表示（8）。也就是说，所有合作伙伴类型∈ X代表丈夫y∈ DomDv位于mapx 7的同一水平集→ Dys（x，y）。如果我们知道Dv（y），我们可以精确地确定这个水平；它取决于μ和ν以及s。然而，在缺乏这方面知识的情况下，确定潜在差异集是有用的，因为∈ Y只是地图x的水平集∈ x7→ Dys（x，y）。我们可以通过（余切）向量k来参数化这些水平集∈ Rn:X（y，k）：={X∈ X | Dys（X，y）=k}，（22）或者我们可以想到y∈ Y表示在X的各个点之间建立等价关系，在此关系下X和‘X∈ 当且仅当ifDys（X，y）=Dys（`X，y）时，X是等价的。在这种等价关系下，等价类的形式为（22）。我们将这些等价类称为潜在差异集，因为它们代表一组伙伴类型∈ Dom Dv有可能在两者之间有所不同。

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kedemingshi

2022-5-11 05:50:59

包含给定partnertype“x”的等价类∈ X也将被表示为‘X（y）=X（y，dy（‘X，y））={X∈ X | Dys（X，y）=Dys（\'X，y）}。（23）关于潜在差异集的一个关键观察是以下命题。定义11（剩余简并度）给定X 曼德·Y Rn，我们说s∈ C（X×Y）在（X，Y）处退化∈ X×Y如果秩（Dxys（\'X，\'Y））<min{m，n}。否则我们说s在（\'x，\'y）是非退化的。命题12（潜在差异集的结构）让我们∈对于某些r，Cr+1（X×Y）≥ 1，其中X 曼德·Y RNM≥ n、如果s在（\'x，\'y）处不退化∈ X×Y，然后`X允许一个社区U rm使L\'x（\'y）∩ U与xcr与U证明的光滑余维n子流形的交集重合。自从∈ C、剩余扩展到一个邻域U×Vof（\'x，\'y），在这个邻域上s继续是非退化的（通过秩的较低半连续性）。集合{x∈ U|Dys（x，y）=Dys（\'x，\'y）}根据前像定理[Guillemin&Pollack（1974），§1.4]形成U的余维n子流形。更具体地说，秩条件意味着为Rmyieldsdet选择合适的正交基[sxiyj（\'x，\'y）]1≤i、 j≤n6=0。在这些坐标中，潜在差异集被局部参数化为Crmapx下的反向图像∈ U 7→ （Dys（x，\'y），xn+1，一个子空间{Dys（\'x，\'y）}×Rn的xm）-m、如果必要的话，将U和V取小，反函数定理就会显示L‘x（‘y）∩ 虽然我们已经用局部形式陈述了这个命题，但它意味着如果`k=Dys（`x，`y）是x的正则值∈ x7→ Dys（x，\'y）-意思是dxys（x，\'y）在整个L\'x（\'y\'）中有秩n-那么L\'x（\'y）=x（\'y，\'k）是x与m的交点- Rm的n维子流形。

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2022-5-11 05:51:02

然而，请注意，该命题并未说明SDE生成的点（\'x，\'y），这可能发生在sptγ中。3.2电位与实际差异集如上所述，电位差异集（22）和（23）由剩余函数s（x，y）确定，而不参考要匹配的总体u和ν。另一方面，差异集实际上是由每个y实现的∈ Y取决于u、ν和s之间的关系。这种依赖关系通常很复杂，如下例所示。例13考虑剩余函数：s（x，y）=xy+xy+xywhere x R、 Y R.针对任何k，给出了潜在差异集∈ R、作者：X（y，k）：=十、∈ X | X+xy=kandx+xy=k. （24）这些是R中平行于向量的直线yy-1.. 因此，对于任何给定的y∈ R、我们知道，与y匹配的配偶集（对应于丈夫y的差异集）将包含在一条直线中。然而，任何这样的线（通过任意选择k获得）都不是差异集曲线，这一点肯定是不正确的。对于给定的y，对应于y的差异集的精确方程由与特定y相关的特定向量k的值确定，这取决于度量值u和ν。然而，问题中有一种情况可以大大简化：多维到一维匹配的情况，即n=1。在这种情况下，假设Dxys（·，y）是非消失的（即。sy（·，y）只取正则值）。那么势差集X（y，k）是余维1in Rm；也就是说，它们是R中的曲线、R中的曲面和高维m中的超曲面≥ 4.

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kedemingshi

2022-5-11 05:51:05

此外，当k穿过R时，这些潜在的差异集扫过了u的质量越来越多。每一天∈ Y有一些k的选择∈ R的{x | dy（x，y）的u度量≤ k} 完全符合的是(-∞, y] （假设这两个度量对于Lebesgue来说是绝对连续的，或者至少u没有质量集中在超曲面上，而ν没有原子）。在这种情况下，潜在差异集X（y，k）被认为在y处按比例分割人口，使其成为真正的差异集F的自然条件-1（y）与y匹配。在下一节中，我们将继续描述和对比这种期望产生的情况，并从那些没有产生这种期望的情况中得出一个完整的解决方案。4多维到一维匹配我们现在解释了一种针对特定类别模型的新方法，这在数学或经济学文献中基本上未被探索过，但通常可以通过以下概述的技术明确解决，并在[Chiapbori，McCann&Pass（预印本）]中得到更充分的发展。这些是多到一维的模型，其中市场一方的代理人（比如妻子）是二维的（或者可能是更高维的），而另一方的代理人（丈夫）是一维的。因此，我们在x=（x，…，xm）上匹配一个分布∈ 在y上有另一个吗∈ R.剩余的s是m+1实变量的函数s（x，…，xm，y），通常在每个参数中都会增加。关键的概念是，这种设置是一条等夫曲线，定义为给定丈夫y的差异集，即丈夫y在给定市场条件下表现出差异的妻子的子流形。正如我们将看到的，Iso-Hurst曲线在构建匹配/最优运输问题的显式解决方案中起着关键作用。

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2022-5-11 05:51:08

此外，这些曲线的一个关键特性是，它们原则上可以在经验上相同；详细讨论见[Chiappori，Ore ffice&Quintana Domeque（2012）]。事实上，有人认为，由于k=sy（x，y）可以从任何x中恢复，因此等夫曲线的理论性质可以提供最有力的匹配经验检验∈ X（y，k）和y，我们可以等价地说X在y处按比例分割人口，反之亦然。创新理论（例如参见[Chiappori，Ore ffice&Quintana Domeque（预印本）]）。目标是从数据（s，u，ν）构造一个匹配函数f:X-→ Y R、谁的水平设定为F-1（y）构成等作物生长曲线。在上一节末尾，我们确定了该差异集的一个自然候选者：即潜在差异集，该差异集将u的质量除以y除以ν的比例；这些自然候选函数是否真的结合在一起形成函数的水平集取决于u，ν和之间的微妙相互作用。当他们这样做时，我们说模型是嵌套的，在这种情况下，我们展示了结果函数F:X-→ Y产生稳定的平衡匹配。从数学上讲，最简单的多到一维模型来自指数盈余，其经济动机源自[Chiappori，Ore ffice&Quintana Domeque（2012）]。这些模型嵌套在分布的每一种选择上，如我们下面所示。此外，在下一节中，我们将讨论多维匹配理论的三个应用；其中的前两个明确处理多维到一维问题。第一个模型出现在婚姻市场，最近的研究表明，用教育和生育率来模拟女性和只使用收入的男性是合适的[Low（2014）][Low（预印本）]。

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2022-5-11 05:51:16

然后我们为集合x（y，k）中的每个x设置y:=F（x）。我们的第一个定理规定了结果匹配γ=（id×F）#u优化Kantorovich问题（MK）的条件；我们认为这是[Mirrlees（1971）][Becker（1973）]和[Spence（1973）]的正分类匹配结果从一维到多维到一维的自然推广。与他们的标准不同，他们的标准只依赖于s，我们的标准通过要求子级集合y将s与u和ν联系起来∈ Y 7→ 十、≤（y，k（y））由上述过程确定为单调依赖于y∈ R、具有严格的包容性≤（y，k（y））当ν[（y，y）]>0时，X<（y，k（y））保持。我们说模型（s，u，ν）嵌套在这种情况下。我们的情况自然比她们更复杂，因为女性的类型没有明显的顺序，但通常有多种可能的顺序，取决于人口频率u和ν；Nestendness更确切地说，女性的偏好在某种程度上是相容的，从某种意义上说是[y，\'y] 有妻子吗∈ 分配给较高类型丈夫的X（\'y，k（\'y））比任何妻子更愿意为y类型丈夫（以及类似的y类型丈夫）的质量差异支付费用∈ X（y，k（y））分配给较低类型的丈夫。定理14（嵌套匹配的最优性）设X 曼迪 R应连接具有Borel概率测度u和ν的开放集。假设ν没有原子，u在每个表面上消失。使用s∈ C（X×Y）和sy=sY定义X≤, X<等，如（25）中所述，假设s在整个X×Y中是非简并的，|Dxsy | 6=0。然后每个y∈有一个最大间隔K（Y）=[K-（y），k+（y）]6=使得u[X≤（y，k）]=ν[(-∞, y）【典型范例∈ K（y）。k+和-K-是上半连续的。假设两张地图都是y形的∈ Y 7→ 十、≤（y，k±（y））不是递减的，而且thatRyydν>0意味着X≤（y，k+（y））X<（y0-（y））。

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