一旦k（y）在y中是严格单调的，这样的曲线就不能相交。9,10在非嵌套的情况下，仍然可以使用临时方法解决问题。例如，在某些情况下，可以预先确定γ必须将X的某些子集与Y的某些子集耦合。然后，上述方法可能成功地应用于这些子集，即使它在应用于整个ofX和Y时失败。我们用一个例子来证明这一点（见下面的备注5.1.4）。在[Pass（2012b）]中开发了一个类似的方案，并且在边缘u和ν以及剩余s的强条件下，证明了这会产生最优解。在[Chiappori，McCann&Pass（预印本）]中，我们证明了相反的事实：非退化剩余是伪指数，当且仅当（s，u，ν）为绝对连续人口密度u和ν的所有选择嵌套。4.2嵌套性的标准前面的定理说明了嵌套性的强大含义。对于合适的数据，下一个定理和推论给出了嵌套性的特征，在实践中通常更容易检查。这些都是基于对他们的丈夫集运动的描述，以响应丈夫类型的变化，这是使用水平集动力学理论获得的。同样，在[Chiappori，McCann&Pass（预印本）]中可以找到更清晰的陈述和详细的证据。在这里，下列定理的结论也被证明是尖锐的，也就是说，只要等值线的面积设为F，dk/dy就会在Y的端点发散-1（y）缩小为零。由于我们打算在Lipschitz域上应用该定理，我们首先回顾了在该上下文中对翻译性的定义。定义15（横向性）回忆X（y，k（y））相交十、∈ 如果它们的法线在某个交点重合（或等价地，是彼此的倍数），则为Cnon。

如果X只是Lipschitz，如果X（y，k（y））的向内或向外法线是X的广义法线，则它们非横向相交十、 这意味着它可以表示为任意闭合点处向外法线的凸组合的极限X是可区分的。定理16（同族丈夫对丈夫类型的依赖）LetX 曼德·Y R是连接的Lipschitz域，配备有Borel概率测度du（x）=f（x）dx和dν（y）=g（y）dy，且总体密度满足对数f∈ C（X）和log g∈ Cloc（Y）。假设∈ 在X×Y范围内不退化。那么定理14的函数k±重合。此外，k:=k±∈ Cloc（Y\\Z）在相对封闭集Z之外：={Y∈ Y | X（Y，k（Y））相交X非横向}。（28）作为y∈ Y\\Z增加X的向外法向速度≤（y，k（y））atx∈ X（y，k（y））由（k）给出- syy）/|Dxsy |。证据的草图。根据理论中假设的额外规律性，我们在Y6处区分（26）∈ Z获得香港：=Hk=ZX（y，k）f（x）dHm-1（x）| Dxsy（x，y）|>0和hy:=Hy=-g（y）-ZX（y，k）f（x）syy（x，y）| Dxsy（x，y）| dHm-1（x），（29）其中-这是豪斯多夫- 1维（表面）测量。HK的公式是[Evans&Gariepy（1992）]中co面积公式的直接应用；它也可以看作是微积分基本定理的一个结果，将隐函数定理应用于sy（x，y）=k，得到| Dxsy|-1是X的向外法向速度≤（y，k）当k随着y固定而增加时。Hyd的相应公式（29）源自以下事实，即类似的Lipschitz速度由下式给出：-syy/| Dxsy |当k固定时y增加。注意，因为Y6∈ Z确定导数（29）一致的左右极限；我们不需要包括来自X（y，k）的对这些积分的任何额外贡献∩ X满足sy（X，y）=k。

[Chiappori，McCann&Pass（预印本）]显示了HK和hyon（y，k）的持续依赖性，之后k∈ Cloccan通过将隐函数定理应用于h（y，k（y））=0而犯了错误。作为这一描述的结果，我们在[Chiappori，McCann&Pass（预印本）]中获得了嵌套性的两个替代特征：定理16假设下的推论17（嵌套性的动态标准）：如果模型是嵌套的，那么k- 西伊≥ 0代表ally∈ Y\\Z和x∈ X（y，k（y）），严格不等式在每个y的某个X处成立。相反，如果Z= 严格的不平等适用于所有人∈ 扬·x∈ X（y，k（y）），则模型是嵌套的。推论18（嵌套的唯一分裂准则）满足定理16假设且Z= 是nestedif，并且每个x∈ X对应于唯一的y∈ Y按比例分割人口，即哪个满足ZX≤（y，sy（x，y））du=Zy-∞dν。（30）在这种情况下，稳定匹配由F（x）=y给出。第一个推论表明，当且仅当alliso-Hurst集随着y的增加向外移动时，模型是嵌套的。除了在下面的例子中证明有用之外，第二个推论表明嵌套性在方法上是必要的：没有嵌套性，F就无法很好地定义（除非比例种群分裂用一些进一步的标准来增加）。4.3支付和匹配的平滑度最后，我们能够解决匹配函数F:X的平滑度问题-→ 在嵌套的情况下为Y。总的来说，这是一个众所周知的微妙而富有挑战性的问题[Villani（2009）]。对于n=m>1，在[Ma，Trudinger&Wang（2005）]的工作之后，发展了一个相当令人满意的正则性理论。

但对于m>n=1，除了伪指数情况[Pass（2012b）]之外，已知的小值。假设横截性（Z=), 定理14和16给出了F连续且k=dv/dk的条件∈ Clocon是他们各自领域的内部。从（5）中回忆v（F（x））=sy（x，F（x）），微分率（k（F（x））- syy（x，F（x）））DF（x）=Dxsy（x，F（x））。（31）因此，我们立即看到，我们可以引导匹配函数F的连续差异∈ 连续性F∈ C、 正常速度k- x的iso丈夫集的syyof是严格正的。甚至假设∈ C∞, 为了从这个恒等式中得到F的更多平滑度，我们需要k的更多平滑度，或者等价于v∈ 对于任意整数r，Cr，1loc（Y）（即r次连续可微，具有Lipschitz导数）≥ [Chiappori，McCann&Pass（预印本）]提供1份。这里的总体策略是使用对r的归纳，从定理14和16提供的平滑度开始，从（26）中提取函数H的额外平滑度。由于h（y，k（y））=0，使用隐函数定理将此平滑度转换为k=dv/dy。为了区分像（29）这样的表达式，我们使用发散定理的一种适当的一般形式来重写MASHK=ZX≤（y，k）X·V dmx-ZX≤（y，k）∩XV·^nXdHm-1hy=-g（y）-ZX≤（y，k）X·（syyV）dmx+ZX≤（y，k）∩XsyyV·^nXdHm-其中V（x）=fsyyDxsy | Dxsy|y=F（x）。然后，它们的导数作为沿运动界面的积分给出，并按Orem 16及其证明中的法向速度加权。

这些反过来必须由适当的假设和精心构造的归纳假设来控制。最后，我们注意到，平滑度通常适用于一维丈夫的支付函数v（y），但不适用于多维妻子的支付函数u（x）或匹配函数F（x）[Chiappori，McCann&Pass（预印本）]。4.4嵌套案例中的剩余识别假设我们可以在多个市场环境中观察到iso丈夫集；关于盈余，它告诉了我们什么？我们现在给这个问题一个精确的答案。如前所述，如果我们只观察匹配模式，那么剩余的s最多可以被识别为x的加法函数和y的加法函数。然而，这并不是我们定义s的唯一灵活性。要了解原因，请记住，具有形式为y=F（x）的方程的任意iso集位于水平集s（x，F（x））对于某个常数k=v（y），y=k。知道一对（u，ν）的映射F可以告诉dxsy沿着F的图形的方向（但不是大小）：假设（31）给出了足够的平滑度。为了得到这个数量，我们还需要知道丈夫的边际收益份额。虽然映射F通常不会存在于对（u，ν）的所有选择中（反例见[Chiappori，McCann&Nesheim（2010）]），但如果我们知道映射F对应于（u，ν）的足够选择，那么通过适当的选择，我们可以使F的图通过我们选择的任何点（x，y）。下面的引理19表明，对于（31）来说，这可以具有足够的平滑度，并且在x附近的小球上取u均匀度不需要一般性。

通过这种方式，我们可以在全球范围内了解DXSY的方向和符号（但不是大小，除非我们也知道边际收益v）。如果我们也知道结果，我们可以将dxsy积分到结果s（x，y），直到任意的加法函数f（x）+g（y）（积分常数）。另一方面，在不知道支付函数的情况下，dxsy的方向足以确定每个y的sy（·，y）的水平集。现在，与agiven函数具有相同水平集的连续函数集正是该函数的单调变换集。换句话说，函数G（·）的水平集与sy（·，y）当且仅当：G（x）=Hs（x，y）Y对于一些单调的H，可能取决于y∈ Y，我们得出结论，如果s是生成给定iso丈夫集的剩余，那么另一个非退化剩余s生成相同的iso丈夫集，当且仅当存在一个Hz>0的函数H（z，Y）：s（x，Y）=s（x，Y）+Zyyyh\'s（x，t）y、 tdt。下面的引理暗示了这个结论。引理19（任何一对都可以平滑匹配）修复开放设置X Rm，Y R和s∈ Cr+1（X×Y）非简并≥ 1.给定（x，y）∈ X×Y和任意小邻域U的X和V的Y，我们可以在V上找到一个无原子的概率测度，比如稳定匹配F∈ Cr（U）在ν和统一度量u之间，在Usatis fies y=F（x）上，除此之外：（31）适用于所有x∈ U、 丈夫的报酬是Y上的二次函数。证据由于引理只涉及s在（x，y）附近的行为，因此假设x和y有界且s∈ Cr+1（X×Y）。假设v（y）是满足v（y）=const>max（x，y）的y的二次函数∈X×Ysyy（X，y）（32）和v（y）=sy（X，y）。然后每个x都显示出严格的凹度∈ 十、 u（X）=maxy∈Ys（x，y）-v（y）（33）是由某些y唯一获得的∈ Y，表示为Y=F（x）。

严格的凹度也表明ifsy（x，y）-v（y）=0（34）对于某些y∈ 然后Y=F（x）。特别是，y=F（x），注意（32），隐函数定理表明y（x）=F（x）是x的某个邻域U上的一个Crsolutionto（34）。微分（34）表明（31）保持U，因此s的非简并性意味着DF（x）是非零的。现在我们可以把U和V=F（U）取得尽可能小。我们声称F是均匀测量uonU与其图像ν：=F#u之间的稳定匹配，而上面的u和v是对应的payoff。定义（33）表明（u，v）是稳定的（3），因此将u（x）+v（F（x））=s（x，F（x））与u表示γ=（id×F）#在（9）中达到最大值，（u，v）达到最小值。最后，由于DF 6=0表示F，所以ν是无原子的-1（y）是U中的一个超曲面，因此可以通过隐函数定理再次忽略不计。备注20（任何一对具有强嵌套匹配）如果r≥在上面的引理中取2，如果必要的话，取较小的U，所以U与F的每个水平集横向相交（或至少相交）-1可以忽略的是，CO面积公式可以在[Chiappori，McCann&Pass（预印本）]中使用，以显示dν（y）=g（y）dy具有满足对数g的密度∈ Cloc（V）。将（X，Y）替换为（U，V），推论17显示模型是嵌套的，因为V（X）-syy（x，F（x））>0.5应用程序我们现在考虑我们框架的三个应用程序。5.1应用1：收入和肥力我们的第一个应用考虑了[Low（2014）]和[Low（预印本）]中引入的模型。主要问题涉及婚姻市场因素对女性接受高等教育（更准确地说是研究生学位）的影响。在人力资本和生育率（她称之为“生殖资本”）之间进行权衡。

通过从事研究生学习，女性增加了人力资本，这增加了她未来的收入（除其他外）。然而，在大多数情况下，研究生学位需要将孩子的出生推迟到她生命的后期，那时她的受精率可能会下降。在Low的模型中，丈夫对潜在配偶的收入和生育能力都感兴趣；这两种属性之间的相互作用，以及它们对婚姻模式的影响，正是Low所调查的。在接下来的内容中，我们从两个方向推广了Low的模型。首先，虽然Low假设生育率只有两个值（年轻女性为“高”，受过高等教育的老年女性为“低”），但我们允许这两个特征的一般分布；特别是，我们考虑了它们之间的各种相关模式（从独立到负相关）。第二，我们考虑的偏好比低偏好略为普遍，因为我们允许孩子在家庭贫困时减少效用；换句话说，这是一种节育技术要么缺失要么基本不完善的模式（发展中国家或西方社会的历史中显然可以找到几个例子）。第二个特征极大地改变了稳定匹配的定性特性；具体来说，模型是为某些度量嵌套的，而不是为其他度量嵌套的。

此外，对于特定的度量（在我们的例子中是统一的），嵌套的和未列出的case都可以显式求解，这使我们能够系统地比较它们。5.1.1男性和女性模型由子集Y参数化 R和X R、 分别在哪里∈ Y代表丈夫的收入，ox=p代表妻子的生育能力（有孩子的可能性）ox=x代表妻子的收入。所有有孩子的夫妇都会获得一次性福利B。QI表示个人i的私人支出，Q表示子女支出。如果一对夫妇有孩子，他们的偏好是公式（qm，Q）=qm（Q+1/2）uf（qf，Q）=qf（Q+1/2），而没有孩子，他们的偏好是ug（qg）=qg，g=m，f。假设男人和女人结婚（x，p）。然后，在概率p下，他们有一个孩子，并在预算约束下最大化他们的组合效用（qm+qf）（Q+1/2）：qm+qf+Q=x+y+b如果我们假设x+y≥ 1/2-B、 这个最大化问题的解决方案是q+1/2=qm+qf=x+y+B+1/2生成一个等于（x+y+B+1/2）/4的总效用。

概率为1- p、 他们没有孩子，而且um+uf=qm+qf=x+y。因此，总效用等于这两种可能结果的预期值：s（p，x，y）=p（x+y+B+1/2）+（1- p） （x+y）。接下来，为了简单起见，我们将参数B设置为1/2；因此，对于所有非负x和y，以及剩余iss（p，x，y）=p（x+y+1）+（1），定义了该解- p） （x+y）。该模型的一个特点是，如果父母足够穷（当x+y<1时，Q<1/2），他们对孩子的效用低于类似的例子，可以通过经济状况调查或退税而不是一次性付款来构建；唯一的区别是，随着夫妇收入的增加，他们的收益会减少或增加。没有——意味着没有有效的节育设备。通过假设x+y，可以简单地排除这种情况≥ 1对所有夫妇；或者，我们可以考虑一些夫妇“贫穷”（x+y<1），而另一些夫妇“富有”（x+y）≥ 1). 我们在例子1和2中分别考虑了这两种情况；有趣的是，在这两种情况下，数学性质完全不同，因为一个是嵌套的，而另一个不是。5.1.2解决方案对于该盈余，等式（15）变为：（x+y）- 1） p=K（y）。（35）式中K（y）=2[dv（y）dy- 1]. 特别要注意的是，如果某些y的K（\'y）=0，那么所有x=1的女性-“y结婚”y，与他们的p无关。在下面的明确示例中，我们将使用比例分割条件来确定K（y）。

目前，我们注意到两个一般性质：o丈夫y的女性iso丈夫集（p，x）由潜在差异曲线=1给出- y+K（y）p.在（p，x）平面上，当且仅当K（y）>0时，该曲线减小。它与常数p和x的直线以及西北角和东南角相交，因为另两个角与Y的端点相匹配，这意味着对于示例1和2中考虑的矩形区域，Z为空此外，虽然s十、y=p≥ 0（36）我们有sPy=x+y- 1.（37）如果x+y≥ 1，到（16）时，我们预计F的水平集在（x，p）平面上呈递减曲线（也就是说，我们预计K（y）>0），这意味着丈夫面临着收入与配偶生育率的权衡。在相反的情况下，x+y<1，这些等丈夫曲线可能会增加；我们将在第二个例子中看到一个例子。根据度量u和ν，问题可能会或可能不会产生封闭形式的解决方案。在下文中，我们考虑三个例子。首先，我们分别给出了[0,1]×[1/2,1]和[1/2,1]上分布一致时的完整解析。作为第二个例子，我们考虑[0,1]×[0,1]和[0,1]上的均匀分布。最后，我们再次认为丈夫在[1/2,1]上是均匀分布的，但妻子在[1/2,1]×[1/2,3/4]上是均匀分布的∪[0, 1/2] ×[3/4, 1]. 选择这种分布是为了反映生育率和收入之间与年龄的反比关系。生育率当然与年龄负相关；另一方面，追求高等教育的女性往往在晚年进入婚姻市场，因此我们预期年龄和受教育程度呈现出正相关。5.1.3示例1：均匀和“大”收益我们从基准情况开始，其中分布u和ν分别在[0,1]×[1/2,1]和[1/2,1]上均匀。

尽管盈余在x×y的一个角（p，x，y）=（0，，）处退化，命题21表明，从推论18来看，这个例子是嵌套的。此外，最优匹配函数F（x，p）几乎可以显式求解；我们得到了附录A中证明的以下结果：；回想一下，如果μ，y在（p，x）处按比例分割人口十、≤（y，sy（p，x，y））= u{（\'p，\'x）|s（p，x，y）Y≥s（\'p，\'x，y）y}= ν（[，y]）。命题21假设u和ν分别是[0,1]×[1/2,1]和[1/2,1]上的一致概率测度。对于每个（p，x）∈ [0,1]×[1]有一个唯一的y∈ [1]在（p，x）处按比例分割总体，最优映射的形式为F（p，x）=y。注意，通过证明这个命题，我们实际上可以导出最优映射的显式公式：F（p，x）：=supyny |uX<（y，sy（p，X，y））> ν（[，y]）o.我们可以更进一步，确定由一组点（p，x）组成的等夫曲线，这些点与固定的y相匹配；这正是正确的K（y）的潜在差异曲线（35）。从命题21的证明中可以看出∈ [，e2（e）-1） ]我们有，K（y）-Y- 1/2lnyy-1/2= 0.对于y∈ [e2（e）-1） ，1]，我们有K（y）=x+y-式中，x是方程x的区间[1/2,1]中的唯一解-y+（x+y）-1） ln（yx+y）-1) =0. 图1a中给出了K（y）的曲线图，而图1b给出了各种y值的等夫曲线。注意K（y）=x（y）+1发散，如端点y=1处的1/logy，其中等夫曲线的长度收缩为零；因此，Payoff v（y）在其二阶导数中表现出类似的奇异性。在此插入图1a和1b。1.4例2：统一的、较小的收入我们现在认为相同的盈余有不同的衡量标准；也就是说，在[0,1]×[0,1]和[0,1]上，这些边分别是一致的。

从主题的角度来看，这个案例提供了一个非嵌套设置的有趣说明。形式上，我们推导最优匹配的方法在这种情况下失败了；事实证明，对于某些选择（x，p），有不止一个y按比例分割人口。然而，我们能够使用论点的一个匹配项来获得明确的时间匹配。具体地说，我们使用模型中嵌入的对称性来表示最优映射由以下公式给出：G（p，x）=F（p，x）如果x>1/2,1-F（p，1- x） 如果x<1/2，（38），其中F与前面的命题相同。此解决方案显示沿x=线的连续性；两个不同的丈夫的收入x=不同的妻子（p），一个更富有（y=ep2）（ep-1） ）和其他更穷的人（y=1）-ep2（ep-1） =ep-22（ep）-1)). 虽然后一段婚姻产生的总盈余较小，但她所占的份额仍然不变。相应的等压曲线绘制在图2a上。我们也用数值方法解决了这个问题；得到的解与我们的理论解一致，如下图所示（图2b）。在此处插入图2a和2b。1.5例3：反相关边缘在这种情况下，解析解非常复杂，我们只提供了一个数值模拟。对于 = 0数值解如下图所示；一个有趣的特征是，低收入男性（其同夫曲线位于绿色、黄色或橙色区域）在低生育率、高收入体制[0，]×[，1]和高生育率、低收入地区[1]×[，+],而收入最高的男性，其iso丈夫曲线位于暗红色区域，只与高生育率、低收入政权的妻子匹配。

该模型不符合定理16的假设 = 0，因为X既不是连通的，也不是Lipschitz，但这个缺点可以通过 > 0任意小。在此插入图3。2应用2：竞争性Rochet Chon’emodel在我们的第二个例子中，由于[Rochet&Chon’e（1998）]，我们回顾了关于二维逆向选择的文献的一个开创性模型。因此，我们考虑一个享乐模型：o产品的n维空间：z=（z，…，zn）∈ Z Rn+；o买家的n维空间：x=（x，…，xn）∈ 十、 Rn+。根据概率度量，消费者分布在该空间中。每个消费者只会购买一种商品。它们以P（z）的价格购买产品z的效用由U（x，z）给出-其中u（x，z）=nXi=1xizi，o生产者的一维空间：y∈ Y R+。生产商根据概率测度ν进行分配。每个生产者只生产和销售一种商品。他们以P（z）的价格出售agood z的优势是P（z）- c（y，z），其中c（y，z）=2ynXi=1zi是生产者y生产z类商品的生产成本。我们注意到，这正是[Rochet&Chon\'e（1998）]的模型，还有一个额外的转折点，即垄断生产者被一组竞争性的异质生产者所取代（其生产率在y中增加）。然而，正如我们将看到的，引入竞争会带来严重的后果。特别是，有点令人惊讶的是，他们的新模型中没有出现集群：不同类型的消费者总是购买不同类型的商品。

插入y=F（x）=| x |+1到我们的方程中，v yieldsu（x）+v（F（x））=A+B++x |+|x |+|x |=A+B++x |。另一方面，s（x，F（x））=（|x |+1）|x |；将这些等同于A=-B.在下文中，我们假设A=B=0；这种解释是，生产成本最高（y=1）的企业的利润为零。我们现在将注意力转向均衡定价计划P（z）。继[Chiappori，McCann&Nesheim（2010）]之后，稳定性条件su（x）+v（y）≥ s（x，y）≥ U（x，z）- c（y，z）意味着fy（v（y）+c（y，z））≥ P（z）≥ supx（U（x，z）- u（x）或y- 1） +2ynXi=1zi！≥ P（z）≥ 好的nXi=1xizi-nXi=1xi-nXi=1xi！.解的形式为P（z）=P（z），其中z=|z |。注意，当代理y销售好的z时，我们必须有p（z）=（y）- 1） +2ynXi=1zi=（y）- 1） +2yZ。一阶条件意味着（y- 1） =2yZ，所以Z=y（y- 1). 然后我们可以用y来求解P（Z）；P=（y）- 1） +2yZ=（3y）- 1） （y）- 1) .注意Z=|Z |=y |x |=y（y- 1） 然后生成曲线的参数表示（Z，P（Z））：（Z，P（Z））=y（y）- 1） ，（3y）- 1） （y）- 1)如图4所示。在此插入图4，可以对该解决方案提出一些意见。首先，与theRochet Chon’e垄断案不同，没有排除；所有代理商都购买产品。这个特性很容易从匹配公式中理解；由于每个潜在匹配都会产生正盈余，盈余最大化意味着不会排除任何代理。然而，请注意，引入外部选项可能会推翻这一结论。更有趣（也更令人惊讶）的是第二个发现，即不存在任何类型的聚集：有效的分配是完全分离的，因此不同的代理商总是购买不同的商品。

这种无束结论不那么直观；先验地，它是否包含度量u和ν的一般选择，或者它是我们在本例中使用的特定度量的产物，尚不清楚。我们现在提出一个定理，它表明前面的解释是正确的。5.2.3一般情况——推导最佳匹配的方法在这里始终有效；由于盈余具有指数形式，因此不会出现水平集交叉的问题。特别令人感兴趣的是，无聚集结果是完全一般的，正如附录中证明的以下结果：定理22不同的消费者类型总是购买不同的商品。也就是说，如果x6=`x，z和`z分别代表他们选择的商品，那么z6=`z证明。参见附录可以强调的是，该定理中的度量没有限制。特别是，当u是R中单位平方上的均匀度量，而ν是y=1时的狄拉克质量时，它适用；这些条件提供了与Rochet Chon’e问题最接近的类比。不同之处在于，在这里，我们有一个同质生产商的连续统（每个都有相同的生产成本| z |用于良好的z）∈ R） 相互竞争，而不是垄断。换句话说，Rochet Chon’e解决方案中出现的聚束现象与消费者类型空间的多维性没有内在联系；相反，它们是由于垄断创造的市场效率。最后，值得注意的是，所考虑的框架始终可以被视为对手选择下的竞争模型；从这个意义上说，匹配方法为这种框架中的均衡提供了一个自然的定义。

然而，关键的一点是，这种模式的特点是其私人价值性质，排斥与垄断逻辑有关：通过排斥一些消费者，垄断可以增加从其他买家那里获得的租金。因为生产者的利益与购买其产品的消费者的身份没有直接关系（它只取决于产品的特征和价格）。这与普通价值设定形成鲜明对比，在普通价值设定中，买方的特征直接影响生产商的利益。例如，想想保险模式ala[Rothschild&Stiglitz（1976）]，在该模式中，同一份保险合同根据买方未观察到的特征（在这种情况下是她的风险）产生不同的利益。从技术上讲，生产者的成本函数C现在和以前一样依赖于y和z，但也依赖于x。关键是，在这样一个共同的价值背景下，匹配模型和享乐模型之间的等价性丧失了。特别是，总的来说，并不存在价格函数P（z），这样一个稳定的匹配就可以实现为享乐均衡。因此，我们的方法在匹配和最优运输的文献与不对称信息下的竞争之间架起了第一座桥梁；然而，这种关系是特定于私有价值模型的。在principalagent框架的非竞争性环境中，[Carlier（2001）]和[Figalli，Kim&McCann（2011）]中发现的类似联系已被证明是卓有成效的。5.3应用3：一个简单的享乐模型作为最后一个例子，我们考虑一个简单的享乐模型，在这个模型中，消费者对不同的产品有不同的口味，这些产品是由具有不同成本函数的公司生产的。

基本框架与之前的Rochet Chon\'e one类似，只是有一个特征：成本函数现在是：c（y，z）=nXi=1Zi2Yi，其中向量y=（y，…，yn）是生产者专用的。y的多维性反映了一个事实，即不同的生产者在生产某些特征时具有不同的比较优势，但在生产其他特征时没有；例如，生产商可能擅长生产快速汽车，但生产小型汽车的效率较低。请注意，与大多数经验IO文献（从[Berry，Levinsohn&Pakes（1995）]和[Berry，Levinsohn&Pakes（2004）]的开创性贡献开始）不同，我们特别保留了formPixizi的实用性，其中x=（x，…，xn）表示代理对产品特性的特殊评估。对于经验应用，x通常被视为一个随机向量。我们在此坚持每个企业生产一种商品的假设。如果生产函数在产量上是线性的（而在特性z上是二次的），这一点很容易放松，假设不完全竞争，我们的享乐框架假设生产者是价格接受者。从这个意义上说，我们的匹配框架可以被视为在差异化产品中模拟竞争的替代方法。平衡的表征遵循与之前相同的路径。剩余函数为：s（x，y）=maxz∈ZnXi=1西子-子怡.这里，当zi=xiyi时得到最大值，导致：s（x，y）=nXi=1xiyi，因为s是连续的，存在性来自定理4。此外，该表格是第2.4小节中研究的一般结构的特殊情况。因此，无论何时，扭转条件都是满足的∈ Rn+，我们在本小节中一直坚持这一假设。这保证了唯一性和纯度：存在一个函数F，比如x与y=F（x）匹配。

这些存在性和唯一性参数的简单性确实是匹配方法的一个重要优势。如上所述，纯度意味着不同的试剂与不同的生产商匹配。此外，由于zi=xiyi，Lindenlaub的一个结果意味着不同的代理商总是购买不同的产品；换句话说，在这个模型中没有聚束。显然，这些结论来自这样一个假设，即异质性的维度与个人和企业相同。如果这一假设被放宽（例如，假设n<m），那么不同买家从同一生产商购买的连续性，以及市场份额可以使用第3节中的结果进行分析。函数F的具体形式取决于个体和企业特征的分布。如前所述，我们通过为特定的度量选择明确地解决这个问题来说明我们的方法。设u为磁盘Pni=1（xi）上的均匀测量值（归一化为总质量1）- （人工智能）≤ 1，设ν为圆盘上的均匀度量（再标准化，总质量为1），pni=1（yi- bi）≤ 1实际上，x对正正切的限制不是必要的，因为扭曲条件适用于坐标超平面xi=0的补码中的所有x。后者形成了一组度量零，总是可以忽略，如[Chiappori，McCann&Nesheim（2010）]。ai，bi>1，i=1。。。，N

最后，我们强调了多维到一维框架与多维不对称信息下的竞争模型之间存在的深刻关系，至少在私有价值的情况下是如此。考虑到具有开创性意义的Rochet Chon’e（1998）问题的一个竞争变体，即商品可以由生产者的一维异质分布生产，而不是由单一的垄断者生产，我们提供了由此产生的均衡价格表的完整特征。特别是，我们表明，在我们的竞争框架中，与最初的垄断者环境相比，从来没有集群；也就是说，不同类型的消费者总是购买不同类型的商品。附录附录示例1和2的验证我们从命题21开始。证据我们验证每个（p，x）∈ （0,1）×（1/2,1），有唯一性∈ （1/2，1）在（p，x）处按比例分割人口；结果由推论18得出。按比例分割的水位曲线X（y，k（y））的形式为xy（p）=1- y+K（y）p，其中选择K（y）以满足人口分裂条件。现在考虑曲线X（y，k（y））与边界相交的方式；每一页7→ xy（p）在（0，1）上是连续的，单调递减（注意K（y）=（x+y）- 1） p≥ 它在唯一点（p，x）=（p（y），1/2）或在唯一点（p，x）=（1，x（y））中与另一个[0，1]×{1/2}相交。我们将证明以下两个性质：1。K（y）在y.2中单调递增。边界交点具有一定的单调性。

精确地说，对于每一个y<y，出现以下情况之一：（a）X（y，k（y））与[0,1]×1/2}相交，X（y，k（y））与{1}×1/2,1]相交。（b） X（y，k（y））和X（y，k（y））都与[0，1]×{1/2}相交，p（y）<p（y）。（c） X（y，k（y））和X（y，k（y））都相交于{1}×[1/2,1]，并且X（y）<X（y）。这两个事实将暗示预期结果如下：1）将暗示xy（p）-xy（p）在p中减小，因为固定的y<y，因为该函数的导数是xy（p）- xy（p）=K（y）-K（y）p<0.05。这意味着如果两条种群分裂曲线相交，（即xy（`p）-在给定的域内，xy（`p）=0），然后对于所有的p>`p，xy（p）<xy（p）。这意味着边界交点满足以下条件之一：a）X（y，k（y））相交[0,1]×1/2}，X（y，k（y））相交{1}×[1/2,1]。b） X（y，k（y））和X（y，k（y））都与[0，1]×{1/2}相交，且p（y）>p（y）。c） X（y，k（y））和X（y，k（y））都相交于{1}×[1/2,1]，并且X（y）>X（y）。这显然与上述第2）点相矛盾，因此确立了预期结果。那么，要完成证明，只需验证第1）点和第2）点。我们首先考虑通过[0,1]×{1/2}的种群分裂曲线。在这种情况下，比例拆分条件是给定的NBYY- 0.5=Z0。5p（y）（\'x+y- 1） （x+y）- 1） dx=（\'x+y）- 1） p（y）[ln（1+y- 1) - ln（0.5+y）- 1） ]]=（y）- 0.5）p（y）ln（yy）- 0.5).这意味着p（y）=ln（yy-0.5). 一个简单的计算表明，该函数在y中增加。该函数也可以被反转为y（p）=ep2（ep）-1); 这告诉我们，人口分裂水平曲线正好通过y的[0,1]×{1/2}≤ y（1）=e2（e）-1). 对于这个区域中的y，p（y）的单调性意味着2）b）成立，我们注意到K（y）=y-1/2ln（yy）-1/2），也在增加，验证了该地区的情况。因此，对于y≥e2（e）-1） ，曲线X（y，k（y））与{1}×[1/2，1]相交。

本文件构成第2）a）部分；为了完成证明，只需证明x（y）和K（y）在[e2（e）上单调递增-1), 1].在这个区域，比例分裂条件给出：1-y=Zx（y）1-1（x（y）+y- 1） （x+y）- 1） dx=1- x（y）- （x（y）+y-1） [ln（1+y- 1) - ln（x（y）+y-1） 或者，等价地，x（y）是[0.5,1]中0=f（x，y）：=x的唯一解- y+（x+y）- 1） ln（yx+y）- 1). （39）含蓄地区分，我们有x（y）=-fyfx。（40）我们有，对于x<1fx=1+ln（yx+y- 1) -1=ln（yx+y）- 1） >0（如x<1，yx+y-1> 1).我们现在显示fy<0。我们有fy=-2+ln（yx+y）- 1） +x+y- 1y。（41）现在，作为x≤ 1.最后一个学期的满意度为esx+y- 1y≤ 1（42）（只有当x=1时才相等），第二个到最后一个项在y中递减，因此它小于y=e2（e）时的值-1） ：ln（yx+y- 1) ≤ln（e2（e）-1)) -ln（e2（e）-1） +x- 1) (43)≤ln（e2（e）-1)) -ln（e2（e）-1)-) （44）=1，（45），其中第二个不等式如下，如x≥. 注意，只有当y=e2（e）时，我们才有上面的等式-1） x=。现在请注意等式（42）或（45）中的一个总是严格的（即x<1或x>）。因此，导数（41）在相关范围内为负值。当fy<0和fx>0时，（40）告诉我们x（y）>0。最后，我们有k（y）=x（y）+y- 所以x（y）的单调性告诉我们K（y）在这个区域上也是严格递增的。最后，我们将注意力转向[0,1]和[0,1]的统一度量，以及第5.1.4节中公式（38）的证明。证明需要以下引理。引理23假设u在[0,1]上是一致的，而ν在[0,1]上是一致的。如果（p，x，y）支持最优匹配γ，且p>0，则≥还有y≥或者x≤还有y≤.证据注意s（p，1- x、 一,- y）- s（p，x，y）=2- 十、- y没有相互作用的术语。

因为度量在变换（p，x）下是对称的→ （p，1）-x） 还有y→ 1.-y、 （唯一）稳定匹配在变换（p，x，y）下是对称的→ （p，1）- x、 一,-y） 。现在，让（p，x，y）属于γ的支撑；那么，根据不变性，我们也必须有（p，1）- x、 一,- y） 支持γ。在这些点上应用2个相似性可使（p，x，y）+s（p，1-x、 一,-y）≥ s（p，1- x、 y）+s（p，x，1）-y） 。现在请注意，对于固定p，函数（x，y）7→ s（x，y，p）满足喷泥条件，s十、y=p>0。这意味着十、-(1 - 十）Y- (1 - y）= （2x）-1） （2年）- 1) ≥ 0相当于所述结果。我们现在证明第5.1.4节中的公式（38）。证据通过前面的引理，最优映射将区域[0,1]×[，1]映射到[，1]和[0,1]×[0，]映射到[0，]。第一区域的映射必须由G（p，x）=f（p，x）给出，第二区域的映射为G（p，x）=1- f（p，1- x） 对称性。附录B无聚束的证明我们证明了Rochet和Chon’e的筛选模型的竞争变体的无聚束结果，定理22。证据我们证明了X6=`x总是购买不同的商品。让y和y分别成为他们匹配的买家，并假设x和x都购买了商品z（分别来自y和y）。我们将证明这一点，即x=\'x。我们有z=yx=\'y\'x。由于（x，y）和（\'x，\'y）属于最优测度γ的支持，它们满足2-单调性条件：s（x，y）+s（\'x，\'y）≥ s（x，\'y）+s（\'x，y）现在，我们有了s（x，y）=x·z-2y | z |，s（\'x，\'y）=\'x·z-2’y | z |和s（x，’y）≥ x·z-2’y | z |，s（\'x，y）≥ \'x·z-2y | z |。代入上述方程得到：x·z-2y | z |+x·z-2“y|z|≥ s（x，\'y）+s（\'x，y）≥ x·z-2\'y|z |+\'x·z-2y | z |右手边和左手边是相同的，所以我们必须始终保持相等。

特别是，我们有（\'x，y）=\'x·z-2y | z |。这意味着z=y\'x（因为z最大化了y和\'x的联合盈余）。但我们也有上面的z=yx。因此，x=yx。取消y将得到所需的结果。附录C图0。5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.00.00.20.40.60.81.0yk图1a:K（y）0.0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.00.50.60.70.80.91.0px图1b:y=6的等夫曲线7; :80.0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.00.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0px图2a:y=：2的等夫曲线3; :4和：6；：7; :8.最佳匹配。具体地说，我们使用模型中嵌入的对称性来表示最优映射由以下公式给出：G（p，x）=F（p，x）如果x>1/2,1-F（p，1- x） 如果x<1/2，（38），其中F与前面的命题相同。此解决方案显示沿x=12线的连续性；每个收入x=12的妻子（p，12）在两个不同的丈夫之间存在差异，一个更富有（y=e1p2（e1p-1） ）和其他更穷的人（y=1）-e1p2（e1p-1） =e1p-22（e1p-1)). 虽然后一段婚姻产生的总盈余较小，但她所占的份额仍然不变。我们也用数值方法解决了这个问题；得到的解与我们的理论解一致，如下图所示。图2b：当男性收入、女性生育率和收入均匀分布时，数字生成的iso丈夫曲线。横轴和纵轴分别代表女性的生育率和收入。这些曲线是等夫曲线；即匹配函数F（p，x）的水平曲线。5.1.5例3：反相关边缘在这种情况下，解析解非常复杂，我们只提供了一个数值模拟。

对于 = 0数值解如下图所示；一个有趣的特征是，低收入男性（其等夫曲线位于绿色、黄色或橙色区域）在低生育率、高收入[0,12]×[34,1]和高生育率、低收入[12,1]×[12,34+],而收入最高的男性，其iso丈夫曲线位于暗红色区域，只与高生育率、低收入政权的妻子匹配。该模型不符合定理16的假设 = 0，因为X既不是连通的，也不是Lipschitz，但这个短消息可以通过 > 0任意小。图3：当女性的经济能力和收入呈反相关时，数字生成的等丈夫曲线。横轴和纵轴分别代表女性的生育率和收入。这些曲线是等夫曲线；也就是说，匹配函数F（p，x）的水平曲线。360 1 2 3 40.00.20.40.60.81.01.2ZP（Z）图4：定价计划参考[Ahmad，Kim&McCann（2011）]N.Ahmad，H.K.Kim和R.J.McCann。最佳运输、拓扑和唯一性。公牛数学Sci。，1:13–32, 2011.[Becker（1973）]G.S.Becker。婚姻理论。第一部分，J.政治经济学81:813–846（1973）。[Berry，Levinsohn&Pakes（1995）]Steven Berry，James Levinsohn，andAriel Pakes。汽车价格处于市场均衡状态。《计量经济学》，63（4）：841-8901995。[Berry，Levinsohn&Pakes（2004）]Steven Berry，James Levinsohn，andAriel Pakes。从微观和宏观数据的组合来看，不同的产品需求系统：新车市场。《政治经济学》，112（1）：68–103，2004年。[卡莱尔（2001）]纪尧姆·卡莱尔。具有逆向选择的主代理问题的一个普遍存在性结果。J.数学。经济。35 (2001) 129–150.[Chiappori，McCann&Nesheim（2010）]P-A.Chiappori，R.McCann和L.Nesheim。

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