价格影响小的交易

nandehutu2022

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收藏 2022-05-05

英文标题：
《Trading with Small Price Impact》
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作者：
Ludovic Moreau, Johannes Muhle-Karbe, H. Mete Soner
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
An investor trades a safe and several risky assets with linear price impact to maximize expected utility from terminal wealth. In the limit for small impact costs, we explicitly determine the optimal policy and welfare, in a general Markovian setting allowing for stochastic market, cost, and preference parameters. These results shed light on the general structure of the problem at hand, and also unveil close connections to optimal execution problems and to other market frictions such as proportional and fixed transaction costs.
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中文摘要：
投资者以线性价格影响交易一项安全资产和几项风险资产，以最大化终端财富的预期效用。在小影响成本的限制下，我们在考虑随机市场、成本和偏好参数的一般马尔可夫环境中明确确定最优政策和福利。这些结果揭示了当前问题的一般结构，也揭示了与最优执行问题和其他市场摩擦（如比例和固定交易成本）的密切联系。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Portfolio Management 项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Mathematics 数学
二级分类：Analysis of PDEs 偏微分方程分析
分类描述：Existence and uniqueness, boundary conditions, linear and non-linear operators, stability, soliton theory, integrable PDE\'s, conservation laws, qualitative dynamics
存在唯一性，边界条件，线性和非线性算子，稳定性，孤子理论，可积偏微分方程，守恒律，定性动力学
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一级分类：Mathematics 数学
二级分类：Optimization and Control 优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure 交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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mingdashike22

2022-5-5 19:59:28

价格影响小的交易*Ludovic Moreau+Johannes Muhle KarbeH.Mete Soner§2015年3月31日摘要投资者通过线性价格影响交易安全和多个风险资产，以最大化终端财富的预期效用。在小影响成本的限制下，我们在考虑随机市场、成本和偏好参数的一般马尔可夫环境中明确确定了最优政策和福利。这些结果揭示了当前问题的总体结构，也揭示了与最优执行问题和其他市场摩擦（如比例和固定交易成本）的密切联系。数学学科分类：（2010）91G10、91G80、35K55、60H30。JEL分类：G11，C61。关键词：价格影响，投资组合选择，渐近性，同质化，粘性解。1简介即使在最具流动性的金融市场中，也只有少量商品可以在不影响市场价格的情况下快速交易。因此，对于大型投资者来说，平衡交易产生的收益与相应的价格影响成本至关重要。这个问题在最优执行文献中得到了大量关注，该文献研究了如何有效地将u p拆分为单个外源给定的顺序（参见[6,2,30,44]以及许多最近的研究）。相比之下，人们对具有价格影响的动态投资组合选择知之甚少，即如何根据市场动态和投资者偏好内生性地确定最优顺序的问题。在这里，之前的工作主要集中在订单量的线性价格影响，具体模型具有特定的市场动态和偏好[23,22,3,13,27,28]；有关详细讨论，请参见第5.1节。

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nandehutu2022

2022-5-5 19:59:32

在本研究中，我们还关注线性价格影响。然而，我们允许任意偏好，以及市场的一般马尔可夫动力学*我们感谢彼得·班克、亚历克斯·M·G·考克斯、保罗·瓜索尼、扬·卡尔森、沈丽、刘仁、迪伦·波萨迈、维尔莫斯普罗卡吉、马修·罗森鲍姆、彼得·坦科夫和马尔科·韦伯进行了富有成效的讨论。我们也非常感谢两位匿名评论者非常仔细的阅读和许多非常有建设性的评论。+埃斯·祖里奇，瑞士祖里奇，拉米斯特拉斯101号，祖里奇，埃米尔·卢多维奇，法尔·马泰马提克分部，CH-8092。moreau@math.ethz.ch.部分由瑞士国家科学基金会（NSF 200021152555）和ETH基金会资助ETH Z–urich，f–ur Mathematik，R–amistrasse 101，CH-8092，Z–urich，瑞士和瑞士金融研究所，电子邮件johannes。穆勒-karbe@math.ethz.ch.部分由ETH基金会支持。§ETH Z¨urich，瑞士Z¨urich，R¨amistrasse 101，CH-8092，f¨ur Mathematik部门，瑞士Z¨urich和瑞士金融研究所，电子邮件计量。soner@math.ethz.ch.部分由瑞士国家科学基金会资助，资助项目为NF 200021 152555。价格和影响参数。尽管有这种普遍性，我们还是获得了关于小p水稻影响的最优政策和福利的显式公式。这些结果为h和d问题的一般结构提供了新的解释，也揭示了与其他市场摩擦的深层联系。与之前的研究[23,22,3,27,28]一样，结果表明，始终从当前位置θ∧t向无摩擦目标θ∧t硝化˙θ∧t进行交易是最优的。对于单个风险资产，以较小的线性价格影响∧t进行交易，这种渐近最优交易率由以下公式明确给出：˙θ∧t=s（σSt）2∧tRt（θt- θ∧t）。

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kedemingshi

2022-5-5 19:59:35

（1.1）这里，σSti是风险资产的波动性，RTI是无摩擦投资者的“间接风险容忍过程”，即无摩擦价值函数的风险容忍度。因此，当前位置θ∧t更积极地向后推至无摩擦目标θtif i）当前偏差θ∧t-θ是大的，ii）市场波动率σsti高，iii）交易成本∧皮重低，或iv）投资者的风险承受能力低。对于恒定的市场、成本和偏好参数，这将简化为[22,3,27]得到的公式。在这里考虑的一般情况下，这些数量会随着当前的波动性、价格影响和（间接）风险承受能力不断更新。因此，最优策略是“短视的”，因为它以当前市场和偏好参数决定的速度朝着当前无摩擦最大化器（而不是预测的未来最优）交易。这一观察结果与小比例[43,54,35,34,33]和实际交易成本[38,5]的结果类似，“短视”政策也是渐近最优的。对于这些摩擦，风险分数总是保持在无摩擦起始位置附近的两个交易边界之间。相比之下，在价格影响下，保持一致接近不再是最佳选择。相反，最佳偏差遵循一个扩散过程，由无摩擦计时器驱动的波动和由控制（1.1）引起的均值回复。因此，最优政策的“确定”结构在很大程度上取决于所考虑的特定市场摩擦。

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nandehutu2022

2022-5-5 19:59:38

然而，“粗略”结构在每种情况下都是相同的，即与无摩擦目标的平均平方偏差保持在某个阈值以下，由相同的输入确定。实际上，对于较小的线性价格影响∧t，该阈值由以下公式给出：√Rt∧t（σSt）1/2σθt,其中σθt=pdhθit/dt是无摩擦目标策略的波动率。对于小比例的交易成本∧t，类似的界限如下：√Rt∧t（σSt）2/3σθt4/3.结果很容易扩展到多个风险资产，参见定理4.3和4.7。为了便于阐述，我们在本导言中将重点放在单个风险资产上。Garleanu和Pedersen[23,22]研究了针对无摩擦目标未来演变的对冲。这是在考虑t周围的小时间间隔时获得的（前导阶）平稳方差，然后i）改变时间以将其拉伸到整个半行，以及ii）通过相应的动态阈值对偏差进行归一化。有关更多详细信息，请参见[34,33]。如果θt=（t，St）是完全马尔可夫环境下的增量对冲，那么这就是“现金伽马”，即期权价格相对于标的物的二阶导数，乘以后者的平方值。通过注意到在这种情况下[32,49,25,35,34,33]与无摩擦目标的偏差大致一致，从而得出该界限，因此相应的平均平方偏差等于[43,54,35,34,33]中确定的非贸易区半宽的1/1。类似地，对于小型固定交易成本∧t，相应的阈值由下式给出：√Rt∧t（σSt）1/2σθt。因此，在每种情况下都有不同的普适常数，输入参数提高的功率也取决于手边的特定摩擦力。然而，在每个模型中，输入Rt、∧t、σSt和σθt是相同的。

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mingdashike22

2022-5-5 19:59:42

因此，相应的比较静态具有普遍性：如果价格风险相对风险承受能力较高，如果交易成本较低，或者如果无摩擦目标策略相对不活跃，因此无法在很少调整的情况下实施，则平均而言，无摩擦目标被严密跟踪。最优交易率（1.1）也揭示了与最优执行文献的密切联系。事实上，对于较小的价格影响，（1.1）局部对应于Almgren和Chriss[2]以及Schied和Sch¨oneborn[51]的最佳执行策略，执行顺序由与无摩擦目标的偏差决定。因此，具有sm所有价格影响的动态投资组合选择可以解释为“向无摩擦目标最优清算”，后者以及市场、影响和偏好参数都会不断更新。最优政策的绩效，以及由于有限的市场深度而导致的福利损失，也可以量化。在领先顺序中，由于价格影响较小而导致的确定性同等损失，即无风险交易的现金等价物，由以下公式给出：ZTs（σSt）∧t2Rtσθtdt. （1.2）因此，如果i）与投资者的风险承受能力Rt相比，波动率σsti测量的市场风险较高，ii）交易成本∧皮重较大，或iii）无摩擦目标策略高度活跃，波动率σθt较大，则p rice imp act具有显著的福利效应。由于所有这些数量通常都是时间依赖性和随机性的，因此必须对其进行适当的平均，跨越时间和州。

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nandehutu2022

2022-5-5 19:59:45

在这里，针对无摩擦投资者的“边际定价指标”Q进行各州平均，即，小摩擦的影响被定价为边际路径依赖期权。对于可以以闭合形式求解的无摩擦模型，表示法（1.2）易于简化公式。总的来说，这种出口可以进一步揭示价格影响和其他市场摩擦之间的联系。事实上，对于不同的交易成本，公式（1.2）中关于sm all price impact（所有价格影响）造成的确定等价损失的类似物仍然成立。只有宇宙常数和输入功率需要改变，比如与无摩擦目标的平均偏差。例如，在小比例交易成本∧t的情况下，（1.2）的类比如下[54,35,34]：ZTs9（σSt）∧t32Rtσθt4/3dt.要看到这一点，请注意，在这种情况下，偏差的近似概率密度是一个“帽函数”，因此相应的平均平方偏差由[38,5]确定的非贸易区半宽的六分之一给出。对于几种风险资产，这种对应关系仍然成立，其中[52,53]对最优清算进行了研究。也就是说，对偶鞅测度通过通常的一阶条件连接到原始优化器。这一指标下的预期对应于小型净债权的效用差异价格[15,36,39]，即“边际定价指标”。因此，模型输入σSt、∧t、Rt和σθ中的单调性保持不变，对应的比较静力学对于每个小摩擦都是相同的。对于具有恒定绝对风险承受能力的投资者，即具有指数效用的投资者，我们的结果很容易允许通过改变度量纳入随机捐赠。

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何人来此

2022-5-5 19:59:48

这反过来又使我们能够在不同的价格和对冲策略中获得效用。由于波动率在等价测度变化下是不变的，因此交易率（1.1）是完全通用的，因为它既适用于最优投资，也适用于套期保值；只有无摩擦的输入需要相应地改变。相应福利损失的公式（1.2）反过来导致基于效用的衍生价格，这符合霍奇斯和纽伯·格尔[29]以及戴维斯、帕纳斯和扎里普·霍普卢[16]的精神。我们使用动态规划和匹配渐近性来证明上述结果。为了概述这种方法，让vbe计算初始数据ζ的无摩擦值函数。同样，对于较小的线性价格影响∧t=λ（·），letvλ是其对应物。由于摩擦，vλ不仅取决于ζ，还取决于投资者目前持有的股份数量。然后，主要的技术目标是了解uλ（ζ，θ）：=v（ζ）的极限行为-vλ（ζ，θ）λ1/2≥ 0，作为λ↓ 0.Evans[19]针对均质化问题开发的粘度方法适用于该分析。事实上，它提供了一种技术来推导由松弛半极限“u”满足的方程*还有“你”*uλ等于λ↓ 0.然后，通过比较结果，可以得出结论，这些极限是相等的。特别地，这证明了uλ的局部一致收敛性。在这种方法中，极限函数仅依赖于“原始”变量ζ至关重要。然而，在我们的上下文中，放松的半极限“u”*还有“你”*还要依赖于θ-变量，我们需要分别识别这种依赖性。事实上，我们首先表明*还有“你”*, 分别是[40,31]中研究的Eikonal型方程的子解和上解：（Dθu）=n，其中n是光滑的非负函数，在θ变量中是二次的。一般来说，上述方程式没有比较原则。

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大多数88

2022-5-5 19:59:51

然而，使用变换技术，我们证明了非负解的比较结果。这意味着光滑二次函数的存在实际位置θ和无摩擦最佳位置θ（ζ）之间的差异，使得θuλ（ζ，θ）的松弛半极限不存在θ依赖性- （ζ，θ）然后，我们使用上述粘度技术分析这些极限。对于[54]中具有比例交易成本的效用最大化，对于[46]中的几种风险资产，对于[9]中的随机捐赠，以及[5]中具有固定交易成本的模型，最近也获得了类似的不对称结果。在这些模型中，由于动态规划方程中的梯度约束，半极限可以表示为θ-变量的凹陷，因为从实际位置到无摩擦目标的单一交易在领先顺序上可以忽略不计。相比之下，在我们的框架内，此类大宗交易是不可能的，因为它们会产生有限的价格影响。这就需要通过Eikonal方程进行新颖的分析。对于具有小比例成本的相关渐近性，参见[58,8,35,9,45]。众所周知，无摩擦价值函数取决于时间t、风险资产和状态变量的当前值s和y，以及投资者的财富x。这些值收集在ζ=（t，s，y，x）中。这里，λ~ 0是渐近展开的小参数，∧（·）是给定的时间、资产价格和状态变量的当前值以及投资者财富的确定性函数。本文的其余部分组织如下。模型在第2节中设置为u p。之后，我们陈述了无摩擦和有摩擦的动态规划方程，然后转向控制它们在小价格影响下的渐近关系的修正方程。

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kedemingshi

2022-5-5 19:59:55

为了更好的可读性，我们首先在一个简单的环境中试探性地推导出校正方程，然后陈述它们的一般版本。随后的第4节包含了我们的主要结果，小价格影响下价值函数的渐近展开式和相应的几乎最优交易政策。这些结果、其含义以及与文献的联系将在第5节中讨论，并在第6节中得到证实。之后，在第7节中，我们为我们的技术假设提供了一组充分的条件，这是验证结果的标准（参见[57，定理4.1]）。最后，在第8节中，我们将展示如何在具体模型中验证第7节的条件。贯穿符号，Md×m表示d×m矩阵的空间，SDM表示对称d×d矩阵的子空间。为了k≥ 1，x∈ 当r>0时，我们对以x为中心的半径r的开球写出Br（x）；\'Br（x）和Br（x）分别给出了它的闭包和边界。对于光滑函数φ：（t，x，…，xk）→ R、我们写作t，xiД表示相应的部分导数。二阶导数表示为xixj~n等。我们分别为梯度向量和关于空间分量的Hessian矩阵写Dа和Dа。对于任何subs et I {1，··，k}，D（xi）i∈土地（xi）i∈i关于（xi）i的梯度和Hessian∈I.Cidenotes表示I次连续可微函数，Cibis表示子空间有界导数，C1,2表示函数一次。两次在时间上连续可区分。变量空间。最后，对于任何局部有界函数v，相应的下半连续和上半连续曲线用v表示*, 五、*.2.模式2。1未受影响的普莱斯莱(Ohm, F、 P）是支持q维布朗运动W的完全概率空间。

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可人4

2022-5-5 19:59:59

固定时间范围T>0，并设F:=（Ft）T∈[0，T]是W产生的强化过滤。我们考虑一个拥有d+1资产的金融市场。第一个是安全的，其价格被假定为正常的。其他d资产是风险y，受影响的最佳报价S:=（S，…，Sd）如下DSR=uS（r，Sr，Yr）dr+σS（r，Sr，Yr）dWr，St=S，（2.1）对于状态变量y，取Rm的开放子集y中的值，动态变量y=uy（r，Yr）dr+σy（r，Yr）dWr，Yt=y。（2.2）映射（uS，σS）：[0，T]×（0，∞)d×Y 7-→ Rd×Md×qand（uY，σY）：[0，T]×y7-→ （s，y）中的Rm×Mm×qare连续和Lipschitz连续。此外，σs延伸到C1,2，并满足以下局部椭圆度条件：对于任何紧致子集B [0，T]×（0，∞)d×Y，存在常数γB>0，这样：十、σS= 十、σSσSx≥ γB | x |，对于所有x∈ 因此，对于任何初始数据（t，s，y）∈ [0，T]×（0，∞)d×Y，SDEs（2.1-2.2）有一个唯一的强解，我们用（St，s，Y，Yt，Y）表示。备注2.1。条件σS∈ C1，2允许产生引理4.1中第一个修正方程（3.13）的光滑解。使用[46]中的缓和论证可以削弱这种假设。2.2线性价格影响（2.1）中未受影响的最佳报价代表理想化价格，在这种价格下，最小数量可以缓慢交易，而不会对市场价格产生不利影响。相反，如果θ股票在一定时间间隔内交易t、然后，这个ord er是以S+t的每股平均价格填写的θSt。

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mingdashike22

2022-5-5 20:00:03

这种价格影响纯粹是“暂时的”，因为每次交易完成后，价格会立即恢复到其影响价值。此外，交易率的影响是线性的θ/t、这可以通过过程∧t=λ∧（t，St，Yt，Xt）来描述，其中λ>0是一个sm所有参数，∧（t，St，Yt，Xt）是时间t、当前价格St、状态变量Yt和投资者当前（票据）财富Xt的C1,2函数，取对称的正定义d×d矩阵中的值。对于λ=0，通常的无摩擦模型可以得到任意数量θ可以在任何时间间隔内进行交易t以相同的价格St，总执行价格为θSt。当非平凡λ>0时，交易价格变得不那么有利，因为每个订单θ会产生额外的成本，与交易量成反比，与交易的执行时间成反比：θt∧tθTt、这些考虑因素推动了以下连续时间模型。对于任何绝对连续的交易策略dθr=˙θrdr，θt=θ，（2.4）相应的（纸面）财富具有动态Cdxr=θrdSr- λ˙θr∧（r，Sr，Yr，Xr）˙θrdr，Xt=x.（2.5）也就是说，通常的无摩擦动力学是根据交易成本与交易率˙θ的平方来调整的。为了表示简单，我们写ζ：=（t，s，y，x）∈ D、式中：=D<∪ TDFor模型还考虑了持续的价格影响，参见[6,2,30,24,44,1,48,22]和其中的参考。正如Garleanu和Pedersen[23]所指出的，可以假定∧的对称性，而不丧失普遍性，因为对称化版本（∧+∧）是另一种形式)/2导致相同的交易成本。正的不确定性意味着每一笔交易都有正的成本。价格影响参数的财富依赖性允许纳入投资者行为对市场流动性的反馈效应。

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kedemingshi

2022-5-5 20:00:07

对于ex-amp-le，价格影响与投资者当前财富成反比，对应于Guasoni和Weber[27,28]的代表性投资者模型，其影响相对于总市值是恒定的。二次交易成本也可以由区块形状的限价指令簿[44]或基于做市商积累的库存风险的微观结构模型[22]来驱动。实证文献一致发现了挤压成本（例如[18,42]）。一些研究实际上报告了二次成本[12,41]，而另一些研究则指出，交易成本介于线性和二次之间（例如[4,56]）会对价格产生不稳定的影响。Garleanu和Pedersen[22]在相关模型中证明了各自优化器的收敛性。d<：=[0，T）×（0，∞)d×Rm×R和TD:={T}×（0，∞)d×Rm×R。使用这种符号，控制集合Θλ由F-逐步可测量的tradingrates˙θ组成，系统（2.4-2.5）允许对所有初始数据（ζ，θ）有唯一的强解（θt，θ，Xζ，θ，˙θ，λ）∈ D×Rd.备注2.2。因为时间导数对任何光滑函数都起着特殊的作用，所以便于记法→ R、（分别为：D×Rd）→ R）我们用Dа（分别为Dζа）表示а相对于其空间分量（s，y，x）的梯度。关于时间t的导数表示为自始至终。2.3偏好和清算在上述具有线性价格影响的市场中，投资者在某个特定的规划期T>0时，通过交易最大化终端财富的预期效用。她的效用函数U:R→ R∪ {-∞} 不减损，在其有效区域内部平滑且严格凹进。由于投资期限是确定的，因此必须考虑终端时间T的清算。

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可人4

2022-5-5 20:00:10

对于小比例或固定的交易成本，单一大宗交易在主导顺序上可以忽略不计，因此该问题逐渐消失。然而，随着价格的影响，清算成为一个不重要（且可能代价高昂）的问题。因为我们在这里关注的是T之前的动态交易，所以我们将清算问题分开如下。我们假设模型参数在时间T简单地冻结，投资者的终端位置θ迅速向无摩擦目标θT=θ（T，ST，YT，XθT）清算，使用Sch¨oneborn[53]的确定性均值-方差最优策略，风险容忍度RT=-U′（XθT）/U′（XθT）。这导致风险调整清算成本[53，等式（11）]为λ1/2P（T，ST，YT，XθT，θT），其中[53，T heorem 4.1]：P（ζ，θ）：=（θ- θ(ζ))Λ1/2(Λ-1/2σSσS∧-1/2）1/2∧1/2（2R）1/2（ζ）（θ）- θ(ζ)).由于这些清算成本对于较小的价格影响较小（λ~ 0），我们进而根据泰勒定理定义投资者的摩擦值函数：vλ（ζ，θ）：=sup˙θ∈˙Θλζ，θEhUXζ，θ，˙θ，λT- U′（Xζ，θ，˙θ，εT）λ1/2P（T，SζT，YζT，Xζ，θ，˙θ，εT，θζ，θT）i，（2.6）初始数据（ζ，θ）∈ 这里，˙θ贯穿于可容许控制的集合˙Θλζ，θ。这些必须满足（Xζ，θ，˙θ，εT）- U′（Xζ，θ，˙θ，εT）λ1/2P（T，SζT，YζT，Xζ，θ，˙θ，εT，θζ，θT）∈ L.（2.7）此外，我们需要能够使用比亚基尼和ˋCern\'y[7]中的简单分类来近似相应的财富过程。显然，第一个条件是确定终端功能的必要条件。第二个假设是一类具有经济意义的策略，其小到足以排除加倍策略，但大到足以在WeakaSumpions下包含优化器；有关更多详细信息，请参见[7]。

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能者818

2022-5-5 20:00:13

对于仅在正半线上确定的公用事业，近似属性被要求财富过程在[0，T]上为正取代。对于超线性摩擦，不必先验地排除加倍策略，以使摩擦问题适定[26]。然而，即使倍增策略不能随意扩展，其可用性仍可能导致valuefunction在终端时间T变得不连续，从而排除第7节中的经典验证定理。因此，我们不允许采用加倍策略。备注2.3。清算罚金P在以下两种重要的特殊情况下消失：1。对于[23,22,27,28]中的有限期问题，清算不是问题。事实上，随着时间的推移，终端清算计划的成本保持不变，而交易的累积收益却在不断增长。2.假设初始分配接近无摩擦目标。然后，对于总是快速向后者交易的策略，预期偏差总是很小。因此，在这种情况下，清算罚金的级别更高，可以忽略不计。然而，对于有限期问题和任意初始捐赠，必须明确考虑清算，见[3]。备注2.4。与其要求（2.6）中的无摩擦优化器进行清算，还可以对全额现金头寸进行清算，或者根本不收取清算罚金。这两种替代方案在经济上都有意义，但却使问题变得更加复杂。原因是，与比例成本或固定成本不同，人们无法建立或清算单一大宗交易的给定投资组合，且交易成本在领先的渐进顺序上可以忽略不计。

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mingdashike22

2022-5-5 20:00:16

因此，在没有违约金的情况下，如果投资者的初始仓位远离无摩擦目标以节省交易成本，期限较短的投资者只会进行很少的交易。相比之下，随着时间的推移，他们将更积极地进行交易，从长期来看从最佳仓位获得收益。要求完全清算会导致类似的不均匀性。事实上，随着时间的临近，投资者的注意力逐渐从再平衡转向维持最佳风险回报交易，转向清算计划。相比之下，对无摩擦目标的清算会导致（渐进）p问题的“静止”版本，这里不考虑建立和清算投资组合的影响，将作为单独的最优执行问题来处理。3.动态规划与修正方程在这一节中，我们分别阐述了用无摩擦函数和摩擦值函数求解的动态规划方程。对于较小的价格影响，其差异通过所谓的“修正方程”的解来描述。为了提供一些直观信息，我们首先针对单个风险资产和状态变量试探性地推导这些公式。然后，我们陈述了一般的多维版本。3.1在没有价格影响的无摩擦情况下，差异（St，s，y，Yt，y）仍然被定义为des（2.1-2.2）的强解，但是，随着交易成本的增加，财富动态（2.5）减少了todXζ，θr=θrdSr，Xζ，θt=X。在这里，控制θ（现在不一定是绝对连续的）表示投资组合中持有的风险股的数量。控制集由F-逐步测量的过程设定值组成，以使上述SDE允许一个唯一的强解Xζ，θ。

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能者818

2022-5-5 20:00:20

如上所述，我们仅限于U（Xζ，θT）的容许控制的子集Θζ∈ 五十、相应的财富过程可以用[7]中的简单策略来近似。无摩擦值函数定义如下：v（ζ）：=supθ∈ΘζEhUXζ，θTi、（3.1）标准参数（比较，例如[20]）表明，无摩擦值函数V解决了动态规划方程（此后为DPE）f或手头的问题：命题3.1。假设vis是局部有界的。然后它是一个（不连续的）粘度解infθ∈Rdn-Lθvo=0，在D<，v（T，ζ）=U（x），在TD，（3.2）式中，对于ψ∈ C1,2和（ζ，θ）∈ D×Rd:Lθψ（ζ，θ）：=tψ+θ·Dζψ+TrhσθσθDζψi（ζ，θ），带θ（ζ）：=uSuYθ·uS（ζ）和σθ（ζ）：=σSσYθσS(ζ).备注3.2。假设vis与xxv<0。然后，由于σ表示椭圆度条件（2.3），因此对于所有ζ，vθ（ζ）=0（3.3）的经典解∈ D<或者，等效地，tv+uDv+Trh′σ′σD（s，y）vi(ζ) =(θ)σSσSθ二十五（ζ），（3.4）最优投资策略θ（ζ）满足- (xxvσSσSθ（ζ）：=uSxv+σS′σD（s，y）(xv）（ζ），（3.5）与‘σ：=σYσ.事实上，鉴于SDE系数的充分规律性，s标准验证参数（比较，例如[57]）表明马尔可夫反馈策略θu:=θu、 St，s，yu，^Xt，s，y，x，θu，Yt，yu, U∈ [t，t]在这种情况下是（3.1）的最佳f。请注意，我们滥用符号，使用相同的符号来表示策略的反馈描述及其作为随机过程的演变。3.2具有价格影响的动态规划方程考虑到无摩擦值函数为局部有界，其摩擦对应物vλ从上到下均为局部有界，因为Ρλζ，θ中的任何绝对连续控制都可以由Ρζ中的控制产生，效用函数U为非减函数，惩罚函数Pis为非负函数。

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2022-5-5 20:00:23

此外，我们假设vλ也从下方局部有界，即存在至少一种策略，可以用有限效用关闭任何初始位置。接下来，我们将讨论具有线性价格影响的相应DPE。在没有状态约束的情况下，即对于在整个实线上是有限的公用设施，后者可以从Bouchard和Touzi[11]的弱动态编程原理中推导出来。如果仅在R+上要求公用事业公司的财富保持正值，这一点预计仍然成立，见[10]。但是，在出现摩擦时，将其严格化更为微妙，一些具体例子见[5,55]。因此，我们建议将DPE作为此处考虑的一般设置中的一个假设：假设3.3。摩擦值函数vλ是局部有界的，并且是(-Lθvλ-Hλvλ=0，在D<×Rd上，vλ=U- U′λ1/2P，开TD×Rd，（3.6）式中，对于ψ∈ C1,2和（ζ，θ）∈ D×Rd:Hλψ（ζ，θ）：=sup˙∈Rdn˙θ·Dθψ-λ˙θΛ˙θxψo（ζ，θ），（3.7）和清算罚金P的定义见第2.3节。备注3.4。PDE（3.6）通常必须根据半连续的斜率Hλ来理解，*, Hλ*ofHλ：（ζ，qx，qθ）∈ D×R×Rd7-→ sup˙θ∈Rdn˙θ·qθ- λ˙θ∧（ζ）˙θqxo。（我们使用简写符号Hλψ（ζ，θ）：=Hλ（ζ，xψ（ζ，θ），Dθψ（ζ，θ）））然而，我们有Hλ，*= Hλ*= D×（0）上的Hλ，∞) 因此，对于满足光滑测试函数ψ的情况，这种松弛是超光滑的D×Rd上的xψ>0。此外，在这种情况下，∧的正定义给出了（3.6）中的第一行可以重写为-Lθψ+（Dθψ）Λ-1Dθψ4λxψ（ζ，θ）=0，表示所有（ζ，θ）∈ D<×Rd，（3.8），其中我们使用了（3.7）中的逐点运算计时器：˙θλ（ζ，θ）：=∧-1Dθψ2λxψ（ζ，θ）。

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能者818

2022-5-5 20:00:26

（3.9）3.3单一目标的启发式展开是为了证明，对于所有（ζ，θ）∈ D×Rd，摩擦值函数h作为渐近展开式vλ（ζ，θ）=v（ζ）- λ1/2u（ζ）- λ oξλ（ζ，θ）+o（λ1/2）。（3.10）在这里，我们写道 o ξξλ(ζ, θ) := （ζ，ξλ（ζ，θ））对于任何初始财富，这在单一大宗交易中都是完全可能的，因为交易的成本比例或执行成本非常小。在线性价格影响下，只能实施绝对连续的交易策略。因此，必须将确定在正半线上的ut ilities限制为只做多的投资组合，并对资产动态施加有效的可集成性，即使是确定在整个实线上的公用事业，详情见第8节。对于 : (ζ, ξ) ∈ D×Rd7-→ （ζ，ξ）和“快”变量ξλ（ζ，θ）：=θ- θ（ζ）λ1/4（3.11）测量实际位置与无摩擦目标（3.5）之间的偏差，重新标度为λ→ 0.备注3.5。价值函数和最优策略的渐近标度是由Guasoni和Weber[27]的相应结果驱动的。为了激发描述渐近性的修正方程（参见第3.4节），让我们首先针对单个风险资产（d=1）和单个状态变量（m=1）正式推导它们。两个过程都由二维布朗运动（q=2）驱动，波动率σS：=σS，1σY：=σY，1σY，2,因此，价格和国家冲击与σY相关，16=0。在这个简单的框架中，冲击矩阵∧只是D上的一个正的、光滑的标量函数。假设vand vλ分别是（3.2）和（3.6）的经典解，满足十五∧ (-二十五）∧ xvλ>0。假设函数θ，u， ξλ属于C1,2，并引入无摩擦优化器的局部二次变化：cθ0（ζ）：=dhθidt（ζ）=σSsθ+σSYyθ+σSθxθ(ζ) +σYyθ(ζ) ≥ 0

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2022-5-5 20:00:30

（3.12）请注意，θ指的是最优无摩擦策略作为一个随机过程的演变，其中适当的状态变量被插入其反馈描述中。3.3.1将ansatz（3.10-3.11）插入摩擦DPE（3.8）中的C或R方程导致0=-Lθv- λ1/4ξξλuSxv+σS，1sxv+σSσY，1xyv+σS，1θ二十五- λ1/2-Lθu+σS，1xxvξξλ-cθξξ +(ξ)4Λ十五+ o（λ1/2）。在这里，无摩擦DPE（3.3）和无摩擦优化器的一阶条件（3.5）使第一行消失。观察（3.10）中的映射u独立于θ，因此Lθu也只是ζ的函数。因此，方程中λ1/2阶的剩余项也不应依赖于θ。因此，我们首先寻找函数a:D→ 就是这对吗(, a）是解决方案，用于固定（t、s、x、y）∈ D<，第一修正方程σS，1ξ二十五-cθξξ +Λ-1(ξ)4.xv+a=0，（3.13），然后确定u为第二修正方程D<上的解- Lθu- a=0。（3.14）几个资产和状态变量的相应计算是类似的，但更繁琐。现在，将ansatz（3.10）插入摩擦值函数vλ的终端条件（3.6）中，并将终端条件（3.2）用于其无摩擦对应物v。这表明u对应的终端条件由λ1/2u+λ给出 o ξξλ=U′λ1/2P，开TD。（3.15）设R=-十五/xxv表示无摩擦价值函数的风险承受能力。因为我们假设-二十五∧xv>0时，第一个校正方程（3.13）很容易被改写为σS，12∧Rξ+cθ2∧十五ξξ -ξ2Λ十五-a∧xv=0。显然，当实际位置与无摩擦目标重合时，不应因偏离而受到惩罚。因此，我们施加了额外的约束（·，0）=0，获得显式解(, a）与（ζ，ξ）=k（ζ）ξ，以及ask=±（λ）xv）qσS，1/（2∧R），a=cθ0 k。

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2022-5-5 20:00:34

（3.16）通过（3.9）、（3.10）和（3.11），这确定了小价格影响（λ）的最佳交易率~ 0）as˙θλ（ζ，θ）~ -λ3/4ξ(ζ, ξξ(ζ, θ))2λΛ(ζ)xv（ζ）=-±sσs，1（t，s，y）2λ∧（ζ）R（ζ）（θ- θ(ζ))!.显然，人们应该总是朝着无摩擦位置θ交易，而不是远离它，因此kis的正号是（3.16）中的正确符号。因此，对于小λ，最优政策规定以符合（1.1）的比率qσS，1/（2λ∧R）向目标投资组合进行交易。进一步观察kgivesλ的显式形式 oξξλ= λ1/2 oξξ=U′λ1/2P onTD，因此u in（3.15）的终端条件为asu=0，onTD。（3.17）3.4校正方程在一般多维情况下，让我们现在陈述校正方程（3.13-3.14,3.17）的一般多维对应项。为此，我们首先介绍（3.12）中定义的局部二次变量cθ的d维对应物：cθ（ζ）：=dhθitdt（ζ）=（dζθ）σθσθDζθ。（3.18）使用此符号，一般多变量情况下的校正方程如下：定义3.6。

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何人来此

2022-5-5 20:00:37

给定点ζ的（校正方程）∈ D、未知对的第一个校正方程（a（ζ），(ζ, ·)) ∈ R×C（R）是ξσS二十五-TrcθDξ(·, ξ)+（Dξ）)Λ-1Dξ4.xv（·ξ）+a（ζ） =0，（3.19）加上归一化(ζ, 0) = 0.秒校正器方程使用第一个校正器中的常数项a（ζ），是函数u:D的简单线性方程→ R:(-Lθu=a，在D<，u=0，在TD。（3.20）我们说，) 是修正方程的解。对于单个风险资产（d=1）和单个状态变量（m=1），可以很容易地验证这些定义是否与上文第3.3节中试探性推导的方程一致。4主要结果我们的主要结果是在价格影响∧t=λ（·）较小的情况下，价值函数vλ的渐近展开~ 0，以及“几乎最优”的交易策略，该策略在领先订单上实现最佳性能。为了表述这些结果，设置`uλ（ζ，θ）：=v（ζ）- vλ（ζ，θ）λ1/2≥ 0.（4.1）然后，可以在我们的假设3.3下分析这种差异的前导阶行为，即摩擦值函数是相应DPE的粘性解，并满足以下抽象条件：假设a.（A1）（无摩擦问题的规律性）无摩擦值函数和最优投资策略θ属于C1,2。此外十五∧ (-xxv）>0。（A2）（局部均匀界）对于任何（ζo，θo）∈ D×Rd，存在ro，λo>0，使得supn\'uλ（ζ，θ）：（ζ，θ）∈ Bro（ζo，θo）∩ （D×Rd）和λ∈ （0，λo]o<∞.（A3）（比较）存在第二修正方程（3.20）的粘度解u。此外，还有一类函数C包含u，\'u*（·，θ（·））和u*（·，θ（·））使得≥ uforall u，u∈ 其中u（分别为u）是下半连续（分别为上半连续）粘性上解（分别为。

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可人4

2022-5-5 20:00:41

第二个修正方程（3.20）的次分辨率）。给你*, “u”*表示以下放宽的s限制：\'u*（ζ，θ）：=lim supλ→0,(ζ′,θ′)→（ζ，θ）\'uλ（ζ′，θ′，\'u*（ζ，θ）：=lim infλ→0,(ζ′,θ′)→（ζ，θ）uλ（ζ′，θ′，（4.2）表示所有（ζ，θ）∈ D×Rd，这是定义明确的上-下。假设A2下的下半连续函数。假设（A1）和（A3）是技术性的，可以通过对模型的系数函数施加充分的正则性条件来保证。关键假设是（A2），该假设假设由于价格影响λ∧较小而导致的价值函数的前导阶修正，将O阶（λ1/2）定义为λ→ 0.这种情况需要用更具体的参数进行验证。参见第7节和第8节，了解实现这一点的验证定理，了解动态规划方程的高效正则经典解。第7节提供了其有效性的便利条件，并在第8节的特定设置中进行了验证。与比例成本和固定成本的相关结果[54,5]一样，这些“验证定理”基于经典光滑解的可用性。特别是，u是C类引理4.1中（3.20）的唯一粘度解。假设假设（A1）满足。然后，第一个修正方程（3.19）由局部有界泛函（ζ）=Tr[cθk]（ζ）（4.3）和映射求解 : ξ 7-→ ξk（ζ）ξ，其中cθ=dhθi/dt是无摩擦目标策略θ和正半定函数k的局部二次变化∈ C1,2（D；Sd）定义为（ζ）=xvp-2.十五/xxvh∧1/2（λ-1/2σSσS∧-1/2）1/2∧1/2i（ζ）。此外，如果假设（A2）成立，则沿着无摩擦最优策略θ进行评估，这些米利米特’u*（·，θ（·）），u*（·，θ（·））分别是第二修正方程（3.20）的粘度子解和上解。证据

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何人来此

2022-5-5 20:00:44

在（A1）项下，断言的第一部分很容易通过直接计算进行验证。对于第二部分，首先要注意的是，固定半极限是由假设（A2）确定的，并且分别是上限。定义为下半连续。使用假设（A1）和（A2），我们在建议6.3、6.4和6.5中显示ζ∈ D 7-→ “u”*（ζ，θ（ζ））和ζ∈ D 7-→ “u”*（ζ，θ（ζ））分别为粘度亚基。S秒修正方程（3.20）的超解，定义如（4.3）所示。备注4.2。在以后使用时，请注意总之，令人满意∈ Rd:(|| + |D（t，ζ）|)（·，ξ）1+|ξ|+（| Dξ）| + |D（t，ζ）（Dξ）)|)（·，ξ）1+|ξ|+| Dξ|(·, ξ) ≤ , 关于一类连续函数的D（4.4） : D→ R.我们现在陈述我们的主要结果，它决定了值函数的前导阶系数，假设A2，其展开式中的第一个非平凡项为O阶（λ1/2）：定理4.3。（价值函数的展开）假设假设满足假设3.3和A。然后，对于任何初始数据（ζ，θ）∈ D×Rd:\'uλ（ζ，θ）-→ u（ζ）+ζ, θ - θ(ζ),局部一致为λ→ 也就是说，摩擦值函数vλ（ζ，θ）具有展开式vλ（ζ，θ）=v（ζ）- λ1/2（u（ζ）+ζ, θ - θ(ζ)+ o（λ1/2）。这一结果的冗长证明被推迟到第6节。备注4.4。根据引理4.1中的显式公式，初始组合θ与无摩擦目标θ之间的偏差用λ1/2表示ζ, θ - θ(ζ)= λ1/2xv（ζ）p2R（ζ）（θ）- θ(ζ))Λ1/2(Λ-1/2σSσS∧-1/21/2(ζ)(θ - θ(ζ)).因此，对于初始位置θ足够接近无摩擦优化器θ（ζ），在前导阶O（λ1/2）处，它可以忽略不计。备注4.5。根据引理4.1，第一修正方程（3.19）中的项a是非负的。因此，如果[37，备注5.7.8]或更一般地[21，第一章]的正则性条件得到满足，则存在第二修正方程（3.20）的光滑经典解。

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大多数88

2022-5-5 20:00:48

它允许Offeynman Kac代表U（ζ）=EZTtar、 St，s，yr，Yt，yr，Xζ，θr博士,= EZTt十五√2RTrdhθirdr∧1/2∧1/2σSσS∧1/2）1/2∧1/2（r，Sζr，Yζr，Xζ，θr）dr.（4.5）这里，Xζ，θ表示最佳无摩擦财富过程，R（ζ）：=-xv（ζ）/xxv（ζ）代表无摩擦间接效用函数的风险承受能力；（4.5）中的第二个等式来自引理4.1中a的显式公式。相反，如果无摩擦解和（4.5）是充分正则的，则概率表示（4.5）提供了第二修正方程（3.20）的解。第8节对此进行了阐述。备注4.6。众所周知，无摩擦问题的对偶极小值通常是一个双鞅测度Q（边际定价测度）的密度过程。它是由xv（r、Sr、Yr、Xr）/xv（t，s，y，x），对应价值函数的标准化财富导数，沿着最佳无摩擦财富过程进行评估（例如，参见第8节的简单示例；比较[50]的一般设置）。如果初始投资组合等于无摩擦starget，则θ=θ（ζ），定理4.3，（4.5）和一阶泰勒展开式表明vλ（t，s，y，x，θ）=vt、 s，y，x- CE（t，s，y，x）+ o（λ1/2），式中ce（ζ）=EQλ1/2zttrhdhθirdr∧1/2∧1/2σSσS∧1/2）1/2∧1/2i√2R（r，Sζr，Yζr，Xζ，θr）dr.因此，上述QeExpection给出了由于小价格影响而产生的确定性等效损失CE。这是投资者为了与你交易而放弃的初始捐赠金额。对于单个风险资产，从介绍中得出公式（1.2）。在第7节中提供的抽象假设A的充分条件B下，我们也可以产生一个“几乎最优”的策略，该策略可以实现OREM 4.3：定理4.7中的领先阶最优性能。

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能者818

2022-5-5 20:00:52

（几乎最优策略）假设满足假设3.3和B。然后，反馈控制˙θ∧（ζ，θ）=λ-1/2Λ-1/2(Λ-1/2σSσS∧-1/2）1/2∧1/2（2R）1/2！(ζ)(θ(ζ) - θ), ζ ∈ D、 θ∈ Rd在前导阶O（λ1/2）处是最优的，其中R（ζ）=-xv（ζ）/xxv（ζ）表示无摩擦价值函数v的风险容忍度。对于单个风险资产（d=1），该公式适用于˙θ∧（ζ，θ）=sσS2λ∧R(ζ)(θ(ζ) - θ），根据（1.1）的规定。这一结果在第7.5节解释和应用中得到了证实。在这一节中，我们讨论了我们的主要结果的解释，它们与市场摩擦投资组合选择的现有文献的联系，以及它们如何应用于基于确定性的期权价格和对冲策略。为简单起见，我们主要关注单一风险资产（d=1）的情况，并请感兴趣的读者参考Guasoni和Weber[28]，详细讨论具有价格影响的多元Black-Scholes模型中的投资组合选择。5.1与其他具有价格影响的投资组合选择模型的联系让我们首先将我们的结果与现有文献中最密切相关的研究进行比较。Garleanu和Pedersen[23,22]认为投资者具有有限的视野和本地均值方差偏好，他们会立即消费交易收益。这些投资者交易由算术布朗运动驱动的多个风险集，并遵循平稳的马尔可夫状态变量。在这种情况下，对于随时间变化的风险规避或波动性，最优策略的特点是多维非线性常微分方程（此后为ODE）的解。

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nandehutu2022

2022-5-5 20:00:55

如果状态变量为OrnsteinUhlenbeck型，风险规避和波动率为常数，且价格影响与资产协方差矩阵成正比，则后者可以用封闭形式求解。与Garleanu和Pedersen一样，Almgren和Li[3]也关注局部均值方差p参考。对于遵循算术布朗运动的单一风险资产，以恒定线性价格影响进行交易，他们研究了欧式期权的套期保值。在期权的“伽马”为常数的假设下，得到了最优交易率的显式公式。Guasoni和Weber[27,28]研究了一个全局优化问题，即一个具有恒定相对风险厌恶的投资者，在长期内从终端财富中最大化效用。对于遵循几何布朗运动的资产价格和与（代表性）投资者财富成反比的价格影响，它们通过阿贝尔方程的解来描述最优策略和相应的福利。在小交易成本的限制下，显式公式可以提供精确解的极好应用。上述研究涉及偏好（本地标准与全球标准、常数绝对值与常数相对风险规避）、资产动力学（算术与几何布朗运动）、价格影响（与股票数量成比例与财富交易量成比例）和时间范围（有限与有限）。对于较小的价格影响参数，每个模型的广义结论都是相同的。事实上，为了简单起见，请考虑单一风险资产。然后，对于小交易成本，交易率——在每个模型中都有适当的解释——是线性的，i）无摩擦目标位置的位移，ii）由恒定市场、成本和偏好参数确定的常数。本研究扩展并统一了这些结果。

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能者818

2022-5-5 20:00:58

我们在定理4.7中的最优策略表明，从总体上讲，这种结构确实普遍适用，即使是对资产价格、因素和成本的一般马尔可夫动力学，以及对终端财富的任意偏好。在每种情况下，最佳交易率（以交易的股票数量计）由˙θ∧t=s（σSt）2∧tRt（θt）给出- θ∧t）。（5.1）更一般地说，状态变量中一类线性政策的显式解由[13]研究。对几种风险资产的讨论是类似的，但公式更复杂，更难解释。如果驱动布朗运动是算术的，那么资产的局部方差（σSt）是恒定的，因此在恒定的交易率下，得到了与所持股份数量成比例的恒定价格影响∧，以及恒定的风险容忍度R，这与Garleanu和Pedersen[23,22]以及Almgren和Li[3]的结果一致。如果驱动布朗运动是几何运动，如Guasonian和Weber[27,28]所述，那么（σSt）=σSti与平方资产价格成正比。因此，如果风险容忍度RTI与当前财富Xθ∧t成正比（即，如果相对风险厌恶度为常数），且价格影响与当前股价的平方成正比，且与当前财富成反比，则得出恒定交易率（就相对财富周转率˙θ∧tSt/Xθ∧t而言），Guasoni和Weber[27,28]中的∧t=λSt/Xθ∧tas。对于更一般的偏好以及价格和成本动态，如果差异、风险承受能力和影响成本动态更新，则同一政策仍然是最优的。这些输入都是“短视的”，因为它们是由无障碍问题和模型的当前状态决定的。特别是，对于局部偏好（如[23，3]）和全局最大化问题（如[27]和本研究），可以获得相同的前导顺序修正。

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mingdashike22

2022-5-5 20:01:01

这与比例交易成本的情况类似，局部和全局偏好也会导致小成本的相同前导订单修正[54,34,43,33]。5.2与最优执行文献的联系最优交易率（5.1）也可以与最优执行文献联系起来，后者研究如何有效地拆分单个外源给定的订单。事实上，关键参数——方差的平方根乘以风险规避，除以交易成本的两倍——在分析阿尔姆格伦和克里斯[2]以及希德和肖内伯恩[51]时也起着关键作用。这可能与目前的动态投资组合模型有关，如下所示。假设投资者目前持有一个头寸θ∧t。在没有摩擦（λ=0）的情况下，她会立即向最优无摩擦配置θt交易。在价格影响（λ>0）的情况下，她会以有限的绝对连续利率˙θ∧t从（5.1）向后者交易。局部而言，后者对应于θ∧t阶的最佳初始执行率-θt由Almgren和Chriss[2]以及Schied和Sch¨oneborn[51]确定。同样的道理也适用于多维环境，Schied、Sch¨oneborn、Tehranchi[52]和Sch¨oneborn[53]都研究过最优执行。因此，在每个非常短的时间间隔内，动态投资组合选择策略对应于朝向无摩擦目标位置的Almgren Chr iss执行路径。也就是说，对于较小的价格影响，本地交易安排是相同的，市场、价格影响和偏好参数随时间动态更新。

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可人4

2022-5-5 20:01:04

关键区别在于，这里没有要执行的单笔买卖订单；取而代之的是追踪一个随时间动态演化的移动目标。5.3应用于基于效用的期权定价和Hedging假设考虑中的投资者具有常数绝对风险规避η>0，即指数效用函数U（x）=-E-ηx。那么，可以通过改变测量值来吸收终点时间T的随机终点。也就是说，定义dphdp=e-ηHE[e]-ηH]，Almgren和Chriss[2]考虑了均值-方差偏好，而Schied和Sch¨oneborn[51]将其分析扩展到了一般的冯·诺依曼-摩根斯坦效用。然后，投资者的问题等价于在同等概率下没有随机禀赋的纯投资问题。如果度量的改变使模型的结构保持不变，则随机禀赋可以在不增加额外困难的情况下处理。在当前设置中，假设投资者在时间t出售了一个带payoff h（ST）的欧式期权，以获得溢价p。那么，h=p-h（ST），因此测量值的变化由RadonNikodym导数dPH/dP=eηh（ST）/e[eηh（ST）]控制。给定充分的正则性，相应密度过程ZHt=E[dPHdP | Ft]的马尔可夫性质由时间、基础和状态变量的函数f（t，St，Yt）给出，该函数可由其^o公式和ZH的鞅性质确定。然后，通过相应地调整价格和状态变量的漂移率，利用Girsanov定理计算PHC下的模型动力学。如果f及其导数在PH下也充分正则，满足条件B，则主要结果定理4.3和4.7仍然适用。

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