参与最优清算的凸对偶方法

2022-5-6 11:19:46

参与约束下最优清算的凸对偶方法*Olivier Guéant+，Jean-Michel Lasry，Jiang Pu§摘要尽管金融数学文献中对最优执行的考虑越来越多，但几乎从未讨论过最优交易曲线的数值近似。在这篇文章中，我们提出了一个数值方法来近似一个投资者愿意放松一个大的投资组合的最优策略。我们提出的方法非常通用，因为它可以应用于具有任何形式执行成本的多资产投资组合，包括出价和报价组合，即使在施加参与约束的情况下也是如此。我们的方法基于凸对偶，只要求哈密顿函数具有C1,1正则性，而经典方法需要额外的正则性，不能适用于实践中发现的所有情况。1简介当一个交易者愿意平仓一个大型投资组合时，他面临着市场风险与市场影响和执行成本之间的权衡。大量出售rapidlya野兔确实成本高昂，因为它需要从限额订单中获取流动性。然而，由于其他市场参与者的行为，销售缓慢会面临价格风险。如果一个交易者在某个特定的时间决定平仓他的投资组合，他的决定当然是基于当时的市场价格。因此，他需要足够快的销售速度，以使价格在执行过程中不会有太大的波动。15年来，最优执行一直是学术文献中的一个重要话题。阿尔姆格伦和克里斯在1999年和2001年发表的开创性论文[2,3]确实对执行成本和市场影响与价格风险之间的上述权衡进行了建模。

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2022-5-6 11:19:50

Almgren和Chriss提出了一个s imple框架来解决优化调度执行过程的问题*这项研究是在欧洲金融研究所赞助下的研究倡议“高级金融机构现代化”（前身为“高级流动资金最佳执行与统计”）的支持下进行的。这篇论文在两位匿名推荐人的报告之后得到了改进，他们真的需要感谢。+巴黎狄德罗大学、数学研究院、实验室雅克·路易斯·利昂斯。巴黎法兰西大道75013号巴黎多芬大学。塔西尼海滩广场，75116巴黎。§欧盟金融研究所。巴黎证券交易所广场28号，75002。从那时起，从业者和学者基本上对该模型进行了修改和扩展。Almgren-Chriss模型最初是在一个资产的情况下，在离散时间内，以二次执行成本和价格的Bachelier动力学为基础，然后在连续时间内考虑并推广，以考虑更现实的执行成本和随机执行成本——见[6]。还考虑了价格的Black-Scholes动力学（见[12]），并在One asset案例中尝试在其他方向上推广模型，例如考虑随机波动性和随机流动性，见[1]。关于优化标准及其对最优策略的影响的讨论在文献中也占有重要地位，例如参见[4,10,17,25,31]，以及[29]中获得的关于增加或减少风险规避的非常有趣的结果。例如，Schiedand Sch"oneborn[30]开发了多资产投资组合的重要扩展。

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2022-5-6 11:19:53

Guéant还在[16]中开发了最佳清算的一般框架，并将其用于大宗交易定价。在这篇关于最优执行的经典文献中，市场微观结构通过永久市场影响和执行成本（或瞬时市场影响）函数建模。这些函数考虑了交易者对股价的影响，以及交易者从市场获取流动性所需的成本。Obizhaeva和Wang的论文[26]自2005年以来一直是预印本，之后又出现了一系列文献。在文献的这一部分中，为了将短暂的市场影响引入最优执行问题，对订单簿的动态进行了建模。然而，在Postifid和post Reg N MS世界中，由于可以使用多个多边贸易设施和各种暗池，这种相关方法需要对所有场馆进行建模。。。这将导致一个相当复杂的模型！Almgren-Chriss模型更简单，可以将不同场地（与不同微结构相关）的影响总结为一个或两个功能。在文献中的大多数论文中，最优策略并不取决于价格的演变（具体参见[30]）。Almgren-Chriss模型的结果是一条最优的交易曲线，在开始之前说明执行过程的最佳时间安排。这条交易曲线构成了mostexecution算法的第一层（战略）。一个执行算法实际上通常由两层组成：Astragic层，它控制与基准相关的风险并降低执行成本；还有一个战术层，通过所有类型的订单，以及所有其他流动性池（亮或暗），在订单簿中寻找流动性。

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2022-5-6 11:19:56

第二层在最近的文献中已经通过涉及限额指令的新模型（例如参见[7,13,14,21]）或通过使用暗工具清算的研究（参见[18,19]和[22]）进行了研究。在本文中，我们关注多资产组合的第一层执行算法。对于执行算法的一般描述，我们考虑了一个Von N eumann-Morgenstern期望效用框架（见[24]）。另一种观点参见[8]。对于一个资产组合清算来说，多资产组合的情况也很有趣，因为它可以考虑对额外资产进行一次往返对冲。具有持续绝对风险厌恶的投资者。我们考虑执行成本的一般形式，最优策略的特征是[16]和[30]中的哈密顿系统。最优策略的数值近似在[16]中进行了简要讨论，但[16]中提出的方法仅限于一小类哈密顿函数（具有Cregularity的严格凸函数）。本文提出的方法更一般，因为它只要求哈密顿函数具有C1，1正则性。当考虑买卖价差和增加参与率约束（相对于市场交易量，可交易量的上限）时，它能够从数值上解决多资产投资组合的最优策略问题。文献中很少讨论数值方法（一个重要的例外是[20]）。事实上，在单一资产的情况下，问题相当简单，因为买卖价差部分不起作用，而且大多数论文都没有考虑参与约束。在单一资产的情况下，确实可以使用打靶法来获得最佳交易曲线的精确数值近似值。

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2022-5-6 11:20:00

然而，在多资产的情况下，射击方法不再相关。牛顿的方法无法找到哈密顿方程或与Almgren-Chriss类模型相关的Euler-Lagrange方程的解，除非是光滑函数。。。太过平滑，无法嵌入出价-询问-展区组件或参与约束。考虑与最优控制相关的贝尔曼方程总是可能的，至少在理论上是如此，但它在计算时间和数值精度方面存在严重缺陷。我们提出的方法是基于凸对偶的，并允许考虑所有可能的实际情况，因为它只要求哈密顿函数为C1,1。我们在第二节中给出了连续时间的一般框架，并给出了最优清算策略的经典存在性和唯一性结果。我们还提供了描述这种最优清算策略的哈密顿方程。这些方程及其离散对应的方程在我们的论文中起着重要作用。在第三节中，我们提出了一种基于凸对偶的数值方法来逼近最优变现策略，并证明了一个收敛结果。在第4节中，我们给出了数值例子。附录A中介绍了Pro ofs。附录B专门介绍了第2.2节“最优清算：设置和经典结果”中所述连续时间模型的离散对应部分。1.我们考虑初始数量为q=（q，…，qd）的d种不同股票的投资组合。我们考虑在时间窗口[0，T]（时间范围通常为几分钟到几小时）内展开此投资组合的问题。这里我们考虑[16]或[30]中使用的连续时间经典模型的一个变体。

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2022-5-6 11:20:03

我们模型的离散对应物见附录B。我们考虑概率空间(Ohm, P）配备过滤（Ft）t∈[0，T]满足通常条件。我们假设所有随机过程都定义在(Ohm, （Ft）t∈[0，T]，P）。我们还介绍了[0，T]中定义的逐步可测量过程的集合P（0，T）。市场容量过程用（Vt，…，Vdt）t表示∈[0，T]。假设它们是确定性的（F-可测量的），积极的和有界的。对于每种股票，我们考虑最大参与率，并用ρm表示，ρdm∈ R*+. 这允许定义一组可接受的清算策略：A=（（vt，…，vdt）t∈[0，T]∈ P（0，T），i、 | vit |≤ ρimVita。e、在[0，T]×上Ohm, i、 ZTvitdt=qia。s、）。对于清算策略（vt，…，vdt）t∈[0，T]∈ A、我们用（qt，…，qdt）t表示交易员出售股票的速度∈[0，T]给出文件夹状态的过程。它验证了：i、气=气-Ztvisds。备注1。换句话说，我们对策略（v，…，vd）的假设只是，相对于市场交易量而言，一个人不能交易得太快，我们确实在T时间之前清算了投资组合。备注2。我们总是认为清算是可行的，因为i、 |气|≤ ρimztvidt。对于每种股票，我们考虑价格的布朗动力学：i、 dSit=σidWitσi>0，我们假设d维布朗运动（σW，…，σdWd）有一个非奇异的协方差矩阵∑。备注3。考虑价格的布朗动力学而不是布莱克-斯科尔斯动力学在建模方面几乎没有影响，因为我们考虑的时间范围最多为几个小时。然而，从数学角度来看，前者比后者更实用。备注4。

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2022-5-6 11:20:10

我们的模型可以很容易地考虑非常数波动过程的情况，只要这些过程保持确定性和正性。例如，我们可以将波动过程与市场容量过程联系起来。我们不考虑永久性市场影响，因为它在清算策略中不起作用——见[11]和[15]。由于执行成本的原因，交易员在时间t时在STOCK i上的交易获得的价格不是SIT。为了模拟这些执行成本，我们引入d函数L，l验证以下假设：oi、 Li（0）=0，oi、 Li是一个偶数函数i、 Li随着R+的增加而增加i、它是严格凸的。现在，对于（v，…，vd）∈ A、我们定义了现金流程（Xt）t∈[0，T]by:Xt=ZtdXi=1内脏- 维斯利维斯ds。备注5。实际上，对于ηi>0，ψi，我们需要覆盖Li（ρ）=ηi |ρ| 1+φi+ψi |ρ|≥ 0和φi∈ （0，1）。函数的比例部分对应于投标报价、印花税和/或金融交易税——我们通常称之为投标报价部分。超线性部分是所有模型的经典执行成本部分。我们的目标函数为（v，…，vd）∈ A isJ（v，…，vd）=E[-经验(-γXT）]，其中γ>0是交易者的绝对风险规避参数。换句话说，我们的问题是发现：（v1）*, . . . , 性病*) ∈ argmax（v，…，vd）∈AJ（v，…，vd）。根据[16]和[30]中得到的结果，我们可以证明存在这样一种最优清算策略。我们还可以证明，随机策略不能比确定性策略做得更好。

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2022-5-6 11:20:13

这些结果，以及独特决定论最优策略的特征，将在接下来的段落中展示。2.2最优清算策略[16]和[30]中得到的结果可以很容易地适用于此处考虑的情况。首先，可以将清算策略集限制为确定性过程。我们用Adett来表示这个集合，它由A中的清算策略组成，这些策略是可测量的。我们的第一个命题表明，在确定性策略的情况下，目标函数是简单的，因为最终财富是正态分布的。这一假设很容易放宽，例如包括不对称印花税。提议2.1。如果（v，…，vd）∈ 当X为正态分布时，andJ（v，…，vd）=-经验-γq′S-dXi=1ZTVisLi维斯ds-γZTq′s∑qsds！！。这个命题的一个结果是，问题归结为求解以下变分问题：（P）inf（q，…，qd）∈CI（q，…，qd），其中i（q，…，qd）=dXi=1ZTVisLi˙齐（s）与ds+γZTq（s）′∑q（s）ds，其中c=nq∈ W1,1（（0，T），Rd），q（0）=q，q（T）=0，i、 |˙齐（t）|≤ ρimVit，a.e.in（0，T）o.利用变分法和凸优化的经典技术，如[16]所示，得到了I的极小值的存在性和唯一性。此外，最优清算策略的特征是哈密顿系统。定理2.1（最优策略的存在性、唯一性和特征）。存在一个唯一的函数q*∈ 使问题（P）中定义的函数最小化。存在一个W1,1函数p，使得（q*, p）是哈密顿系统（SH）的解：（˙p（t）=γ∑q（t）˙qi（t）=VitHi′（pi（t）），我∈ 具有边界条件q（0）=q，q（T）=0，w的{1，…，d}这里：Hi（p）=sup |ρ|≤ρimpρ- Li（ρ），此外，如果W1,1函数的一对（q，p）是（SH）的解，那么q=q*.备注6。

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2022-5-6 11:20:18

虽然最优轨迹q是唯一的*, p可能不存在唯一性。这对于数字来说很重要。备注7。如果市场容量过程是连续的，那么很明显，对于系统（SH）的任何解（p，q），q具有Cregularity，p具有Cregularity。因此，我们将近似p而不是q。哈密顿特征（SH）比大多数论文中使用的欧拉-拉格朗日方程更适合于数值计算，因为执行成本函数Lis不属于Cassoon类，因为存在买卖价差分量。找到哈密顿系统（SH）解的近似值（或者实际上是离散时间模型中该系统的对应解）是本文的目标，我们将在下一节介绍我们的方法。但在讨论我们的数值方法之前，让我们在本节结束时指出，随机策略不能比最佳确定性策略做得更好。定理2.2（确定性策略的最优性）。助理（v，…，vd）∈AE[-经验(-γXT）]=sup（v，…，vd）∈阿黛特[-经验(-γXT）].3数值方法：凸对偶到3。1初步注释我们在上一节中介绍的模型是一个连续时间模型。连续时间模型有助于从微分学中获益，并对数值方法有直觉。然而，正如引言中所解释的，我们解决的问题包括第一层执行算法，必须每5或10分钟做出一次决定。因此，从业者面临的问题自然是离散时间，而不是连续时间。本节的目标是提出一种新的数值方法，用于逼近哈密顿系统（SH）的解（p，q），或者更准确地说，逼近该系统的离散版本。

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2022-5-6 11:20:21

该离散版本（~SH）对应于第2节优化问题的离散对应物的最优性条件（离散时间模型的表示见附录B）。考虑到时间网格0，TNt=t，我们正在寻找（（秦）1≤我≤d、 0≤N≤N、（pin）1≤我≤d、 0≤N≤N-1）令人满意的是：（SH）：（pn+1=pn+tγ∑qn+1，0≤ n<n- 1琴+1=琴+tVin+1Hi′（引脚），0≤ n<n，我∈ {1，…，d}q=q，qN=0。系统的第一部分由线性方程组成。这一困难与哈密顿函数引入的非线性有关。特别值得一提的是，在初始的Almgren-Chriss情况下[2,3]，使用二次执行成本函数，系统可归结为线性系统。实际上，执行代价函数的经典形式是Lis isL（ρ）=η|ρ| 1+φ+ψ|ρ|，η>0，ψ≥ 0, φ ∈ （0，1）。自Almgren和Chriss的最初论文以来，就考虑了超线性分量。在[2，3]中，作者考虑了二次情形φ=1以获得闭式解。然而，φ的实际值通常估计在0.4到0.8之间。例如，Almgren和花旗集团的合著者估计φ 0.6使用大量元顺序数据（见[5]）。比例成分模拟了投标报价、印花税或金融交易税的影响。参与约束ρmis:H（p）=sup |ρ与L（ρ）=η|ρ| 1+φ+ψ|ρ|相关的哈密顿函数H|≤ρmpρ- η|ρ|1+φ-ψ|ρ| =0如果| p |≤ ψφη|p|-ψη(1+φ)1+φ如果ψ<| p |≤ ψ+η（1+φ）ρφm（|p |- ψ） ρm- ηρ1+φmifψ+η（1+φ）ρφm<| p |因为L是严格凸的，H是cw，其中：H′（p）=符号（p）m在ρm中，最大值（|p|- ψ, 0)η(1 + φ)φ!该函数H′是不可区分的（见图1）。

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2022-5-6 11:20:26

这是一个建立通用数值方法的问题，因为系统（SH）和（~SH）涉及这种形式的哈密顿函数的导数。-0.06-0.04-0.02 0.00 0.02 0.04 0.06-0.2-图1：η=0.045、φ=0.5、ψ=0.0081和ρm=20%时的H\'形状。在维数d=1时，系统的解（~SH）很容易用简单的打靶法进行数值近似。我们确实可以用形式为p=λ的p上的初始条件来代替终端条件qN=0。然后，系统可以很容易地递归求解（时间向前）。需要注意的是，qN是一个λ的单调函数，最终得到一个有效的方法，该方法可以找到λ的适当值，从而qN=0。然而，当我们考虑几种资产时，出现了数值方法的问题。上面描述的射击方法不再相关：单调性属性丢失，通常用于确定p的适当值（如梯度下降）的方法通常失败。如[16]中所讨论的，在整个系统上使用牛顿方法，只有当他的函数是两次可微的时才可能。因此，当存在买卖价差成分或考虑参与约束时，它不能用于找到系统的近似解决方案（~SH）。另一种方法是考虑与问题相关的贝尔曼方程，并使用经典技术来近似这些方程的解。这始终是可能的，与Lis和His功能的规律性无关。然而，这种方法有几个严重的缺点。首先，Bellman方程需要在d维网格上求解，因为动态规划需要能够解决（几乎）状态变量q的所有值的执行问题。就计算时间而言，这不是一种有效的方法，尤其是当d变得大于2或3时。

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2022-5-6 11:20:30

此外，状态变量q的域需要被认为是大的，因为最优策略可能涉及套期保值目的的往返。即使在维度1或维度2中，也不建议求解与（~SH）相关的贝尔曼方程，因为最优策略必须在网格上，或使用插值方法（例如样条曲线）进行近似。。。如果考虑到市场容量过程的可变性，那么在执行过程中，q中的网格步骤没有理由是相同的。我们提出的方法基于问题（P）的对偶形式。它只要求他的函数的导数是Lipschitz（这就是被认为是love形式的情况）。此外，我们的方法是迭代的，只需要对大小为n×d.3.2的向量进行计算。我们在第2节中考虑的问题（P）是：inf（q，…，qd）∈CdXi=1ZTVisLi˙齐（s）与ds+γZTq（s）′∑q（s）ds。与此Bolza问题相关的对偶问题（D）是：inf（p，…，pd）∈W1,1（（0，T），Rd）J（p，…，pd），其中J（p，…，pd）=dXi=1ZTVisHi圆周率(s)ds+2γZT˙p（s）′∑-1˙p（s）ds+p（0）·问题。备注8。通过构造对偶问题，刻画J的极小值的哈密顿方程正是系统（SH）的哈密顿方程。换句话说，问题（D）的任何解都给出了问题（P）的解，通过q=γ∑-1˙p.如果我们考虑我们模型的离散对应物（见附录B），那么（p）的离散对应物（~p）是：inf（qin）0≤N≤N、一,≤我≤D∈~C~I（（秦）0≤N≤N、一,≤我≤d），有关Bolza问题的更多详细信息，请参见[27]。式中I（（秦）0≤N≤N、一,≤我≤d） =dXi=1N-1Xn=0Li秦- 秦+1Vin+1TVin+1t+γN-1Xn=0q′n+1∑qn+1t、式中，C=n（q。

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2022-5-6 11:20:34

，qd）\'∈RN+1Di、齐=齐，秦=0，|秦- 秦+1|≤ ρimVin+1t、 0≤ N≤ N- 1o。与（P）相关的双重问题（D）是：inf（pin）0≤n<n，1≤我≤dJ（（引脚）0≤n<n，1≤我≤d），式中J（（pin）0≤n<n，1≤我≤d） =dXi=1N-1Xn=0Vin+1Hi（引脚）t+2γtN-1Xn=1（pn-pn-1)Σ-1（请注意-pn-1） +dXi=1piqi。备注9。如上所述，通过构造对偶问题，任何问题的解决方案（~D）都给出了（~SH）的解决方案，因此问题的解决方案（~P）–参见附录B。该解决方案可以使用原始变量和对偶变量之间的关系来编写：qn+1=γt∑-1（pn+1）- 请注意），0≤ n<n-1.这个对偶问题是我们数值近似方法的核心，因为我们的方法是基于一个J的极小值的数值近似。找到这样一个极小值的最初想法实际上是使用一个J的梯度下降算法。然而，一个简单的梯度下降相当于一个显式格式来近似PDE的解θp-γΣ-1.ttp+VH′P...VdHd′警察局= 0具有Neumann边界条件˙p（θ，0）=γ∑qand˙p（θ，T）=0，初始条件为θ=0。因此，幼稚的梯度下降需要θ的一小步，才能收敛到最小值。我们提出的方法不考虑半隐式梯度下降。的确如此J（p）=-γΣ-1–p+VH′P...VdHd′警察局, 在L.3.3半隐式梯度下降中取梯度，我们提出的方法受梯度下降的启发。然而，我们考虑了一个隐式格式，它对应于连续时间中的热算符。实际上，我们的想法是将J分解为J+，其中J（（pin）0≤n<n，1≤我≤d） =2γtN-1Xn=1（pn- pn-1)Σ-1（请注意- pn-1）和J（（引脚）0≤n<n，1≤我≤d） =dXi=1N-1Xn=0Vin+1Hi（引脚）t+dXi=1piqi。然后，从最初的猜测p开始=p1,0，pd，0，p1,0N-1.

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mingdashike22

2022-5-6 11:20:38

，pd，0N-1.′, 我们从pkby:pk+1=pk计算pk+1-θT~J（pk+1）+~J（pk）.哪里选择θ>0以保证序列（pk）k的收敛性。换句话说，我们提出以下半隐式梯度下降：o从初始猜测（pi，0n）0开始≤n<n，1≤我≤do代表k≥ 0和θ>0，递归定义（pi，k+1n）0≤n<n，1≤我≤dfrom（π，kn）0≤n<n，1≤我≤dby:p·，k+1n- p·，千牛θ-γΣ-1p·，k+1n+1- 2p·，k+1n+p·，k+1n-1.t+VH′p1，千牛...VdHd′pd，kn= 0, 0 ≤ n<n，按照惯例，我们定义为：p·，k-1=p·，k- tγ∑q，p·，kN=p·，kN-1.由于该方法是半隐式的，我们需要首先声明递归定义没有问题。为此，我们从一个简单的引理开始：引理3.1。为了p=P警察局，pN-1.pdN-1.′,~J（p）=γ商标 Σ-1其中N×N矩阵M由以下公式定义：p·，kn表示Rdcolumn向量（p1，kn，…，pd，kn）′。M=1.-1 0-1 2 -1.-1 2 -10-1 1.然后，下一个命题表明，我们的方法确实很明确。提议3.1。序列（pk）kis已明确。现在，我们的目标是证明θ、序列（pk）kconvergestoward是J的极小值。然后，最优轨迹q*利用对偶变量p和原始变量q之间的关系，也将得到一个极限。为此，我们从一个简单的引理开始。引理3.2。假设哈密顿函数His是C1,1，那么■Jis是一个带有K的Lipschitzfunction~JkLip≤ t supi，nVin+1kHi\'kLip。现在我们可以陈述我们的收敛结果。定理3.1（半隐式梯度下降的收敛性）。假设Ham-iltonian函数His是C1,1，让我们考虑K，使得K~JkLip≤ Kt、那么，如果θ<K，（pk）kc趋于最小值p*因此，如果我们定义N∈ {1，…，N- 1} ，q*n=q1*N

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mingdashike22

2022-5-6 11:20:41

，qd*N′= 林克→+∞γ锡 Σ-1.p·，千牛- p·，千牛-1.,然后（q*, P*) 是（~SH）的解决方案。这个定理证明了我们的方法比简单的梯度下降更有效，如下所示： θ可以独立于t、除此之外，它不需要考虑哈密顿函数的二阶导数，这与牛顿公式相反。在开始实际使用我们的方法之前，让我们注意到，在形式为L（ρ）=η|ρ| 1+φ+ψ|ρ|的执行成本的情况下，边界可以明确表示：备注10。如果i、 Li（ρ）=ηi |ρ| 1+φi+ψi |ρ|，那么我们可以考虑k=supi，nVin+1ηiφi（1+φi）ρim1-φiI在实践中，对于θab oveK。备注11。如果定义qkn=γ锡 Σ-1.p·，千牛- p·，千牛-1., 然后qk=qand qkN=0表示所有k，感谢pk的定义-1和pkN。这在实践中是很重要的，因为我们需要接近q*通过QK获得一个大型k.4实践示例4。1初步注释在实践中，可以方便地对∑进行对角化，以简化EMIS隐式梯度下降中的计算。如果我们真的写∑=QDQ-1∑的谱分解，由y·定义的变量yk，kn=Q-1p·，knveri fies:y·，k+1n- y·，千牛θ-γD-1y·，k+1n+1- 2y·，k+1n+y·，k+1n-1.t+Q-1.VH′（Qy·，千牛）...VdHd′（Qy·，kn）d= 0, 0 ≤ n<n，根据惯例，我们定义为：y·，k-1=y·，k- tγDQ-1q，y·，kN=y·，kN-1.这个公式确实能够独立地考虑每种原料上的离散热算符。我们现在通过具体的例子来讨论我们的方法的实际应用。我们将不讨论比较静力学，因为参数的作用已在许多论文中描述过（例如参见[6,16]）。相反，我们关注的是对参与率的约束具有约束力，或买卖价差起作用的特定情况。4.2单一资产案例中的例子为了举例说明我们方法的使用，我们首先考虑用单一股票清算投资组合。

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nandehutu2022

2022-5-6 11:20:45

股票的参数如下：o股票价格S=75，o波动率20%，对应于σ=0.9375，o假设市场容量在一天内保持不变，Vt=2000000，o执行成本函数为L（ρ）=η|ρ| 1+φ+ψ|ρ|，η=0.045，φ=0.5，ψ=0.0081。我们考虑q=300000股（即市场日交易量的15%）在一天（T=1）内的清算，最大参与率有三种不同的数据。在FirstCase中，我们将ρm设置为60%，由于约束从未具有约束力，因此这对应于对参与率设置完全没有约束。另外两种情况分别对应于ρm=40%和ρm=20%。最优清算策略的结果如图2所示。我们发现，正如预期的那样，我们越是限制参与率，参与率就越低。这些数字的灵感来源于法国的Sano Fi股票。执行过程。特别是，我们看到，在两种情况下，ρm=40%和ρm=20%，约束是有约束力的，随着清算过程以直线（与最大参与率对应的直线斜率）开始。0.0.2 0.4 0.6 0.8 1.00 50000 150000 250000时间位置无约束最大参与率=40%最大参与率=20%图2：最大参与率ρm不同值的清算。风险规避：γ=4.10-7.4.3多资产案例中的示例上述示例适用于单一资产组合。现在我们来看三个不同的案例，涉及多个资产。在第一种情况下，我们清算了两个正相关资产的长期投资组合。

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可人4

2022-5-6 11:20:48

在第二种情况下，我们清算了一个投资组合，该投资组合在FirstAsset中持有多头头寸，在第二种资产中持有空头头寸，这两种资产仍然是正相关的。第三种情况对应于一种资产组合的清算，即允许另一种（相关）资产的往返，以对冲风险。我们认为第一项资产如上所述：o股价S=75，o波动率20%，对应于σ=0.94，o假设市场容量在Vt=2000000的一天内保持不变，o执行成本函数为L（ρ）=η|ρ| 1+φ+ψ|ρ|，η=0.045，φ=0.5，ψ=0.0081。对于我们说明的前两种情况，我们考虑的第二种资产具有以下特征：o股票价格S=50，o波动率17%，对应于σ=0.53，o假设市场交易量在Vt=4500000的一天内是恒定的，o执行成本函数为L（ρ）=η|ρ| 1+φ+ψ|ρ|，η=0.0255，φ=0.5，ψ=0.005。假设两项资产之间的相关性为0.5。对于第一个例子，我们假设q=300000和q=675000，即每项资产日市场容量的15%。假设最大参与率为ρm=ρm=40%。0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00 200000 400000 600000 TimePositionAsset 1资产2在没有资产2的情况下进行清算时资产1图3：2资产长期投资组合的清算。风险规避：γ=4.10-7.结果如图3所示。作为基准，我们绘制了仅使用资产1的投资组合清算的最佳策略。我们发现，投资组合中两项资产的存在加速了资产1的清算。由于这两项资产正相关，资产2的存在增加了价格风险。因此，资产2存在时，资产1的清算速度自然会更快。

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2022-5-6 11:20:51

值得注意的是，当考虑完整投资组合时，清算发生的速度。这些数据来源于法国股票总量。如果没有参与限制，这将更加重要。在两种资产的情况下，资产1的约束在前10%的时间窗口内确实具有约束力。多资产情况下的清算速度比单资产情况下的清算速度慢的相反情况可能对应于具有两个正相关资产的长/短组合的清算，或者对应于具有两个负相关资产的仅长或仅短组合的清算。0.0.2 0.4 0.6 0.8 1.00 50000 150000 250000时间位置-1000000-600000-20万资产1资产2无资产清算时的资产1图4：2资产长/短组合的清算。风险规避：γ=4.10-7.左轴对应于资产1，右轴对应于资产2。为了说明前者，我们考虑与上述相同的资产，但投资组合为q=300000和q=-675000.假设最大参与率为ρm=ρm=30%。结果如图4所示。正如预期的那样，由于第二种资产的存在降低了价格风险，因此在两种设定情况下，资产1的清算速度比在一种资产情况下慢。然而值得注意的是，在这两种情况下，As set 1的约束从一开始就具有约束力。我们考虑的第三种情况是纯粹的套期保值情况，交易员对资产2没有初始位置，但第二种资产将用于套期保值目的。

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2022-5-6 11:20:55

我们考虑资产2比资产1更具流动性的情况：o股票价格S=50，o波动率17%，对应于σ=0.53，o假设市场容量在Vt=10000000的一天内保持不变，o执行成本函数为L（ρ）=η|ρ| 1+φ+ψ|ρ|，η=0.002，φ=0.5，ψ=0.001.0.0.2 0.4 0.6 0.8 1.00 50000 150000时位-300000-200000-10万资产1资产2无资产清算时的资产2理论享乐图5：有对冲和无对冲的单一资产组合的清算。风险规避：γ=1.10-6.左轴对应于资产1，右轴对应于资产2。假设两种资产价格之间的相关性为0.5。就最大参与率而言，我们取ρm=50%，且ρm足够大，以使约束不具有约束力。结果如图5所示。作为基准，我们还在虚线中绘制了理论套期保值曲线q=-ρσSσSq，如果没有执行成本。事实上，为了避免支付太多的往返费用，交易者通过停留在平台上（这是与比例项的联系）来限制往返。我们还发现，正如预期的那样，由于套期保值工具，执行过程减慢了。附录A：提案2.1的证明：在定义XT时按部分积分后，我们得到：XT=q\'S-兹特维斯利维斯ds+ZTσiqisdWis。因此，如果（v，…，vd）∈ Adet，（q，…，qd）是确定性的，Xt是高斯的。因此j（v，…，vd）=E[-经验(-γXT）]可以用封闭形式计算，因为我们知道高斯变量的拉普拉斯变换：J（v。

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2022-5-6 11:20:59

，vd）=-经验-γq′S-dXi=1ZTVisLi维斯ds-γZTq′s∑qsds！！。定理2.1的证明：可以使用与[16]中定理2.1相同的方法获得存在性。唯一性直接来自于二次型x7→ x′∑x是严格凸函数。现在，我们来讨论哈密顿特性，我们考虑广义函数：Li（ρ）=（Li（ρ）if |ρ|≤ ρim+∞ 如果|ρ|>ρim，因此，问题（P）等价于inf（q，…，qd）∈bCdXi=1ZTVisLi˙齐（s）与ds+γZTq（s）∑q（s）dsbc=nq∈ W1,1（（0，T），Rd），q（0）=q，q（T）=0o。将[27]中的定理6及其推论应用于这个问题，我们得到了定理2.1中所述的哈密顿特征。定理2.2的证明：证明与[16]和[30]完全相同。这是吉尔萨诺夫定理的一个简单推论。命题3.1的证明：使用引理3.1，我们有：pk+1-pk=-θγ商标 Σ-1pk+1-θT~J（pk）。参与约束的存在甚至简化了证明，避免了邓福德-佩蒂斯定理的使用。因此，为了证明pk+1是pk的唯一定义，我们需要证明matrixINd+θγ商标 Σ-1是可逆的。为此，我们写∑=QDQ-1∑的谱分解，D是对角的，具有正系数。请注意+θγ商标 D-1是严格对角占优矩阵，因此是可逆的。

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2022-5-6 11:21:04

因此，INd+θγ商标 Σ-（1=） Q）印第安纳州+θγ商标 D-1.（在 Q-1）是可逆的。定理3.1的证明：为了提高可读性，让我们引入a=γM Σ-1和B=INd+θ助教。然后，使用引理3.1，简单的计算得到：pk+1- pk=-θ肺结核-1.~J（pk）。现在，我们分解J（pk+1）-~J（pk）等于~J（pk+1）-~J（pk）+~J（pk+1）-~J（主键）。o对于第一部分，我们有J（pk+1）-~J（pk）=~J（pk）′（pk+1- pk）+（pk+1- pk）′At（pk+1）- pk）=-θT~J（pk）′B-1.~J（pk）+θT~J（pk）′B-1A肺结核-1.~J（主键）。o对于第二部分，我们有J（pk+1）-~J（pk）≤ ~J（pk）′（pk+1- pk）+Ktkpk+1- 库尔德工人党≤ -θT~J（pk）′B-1.~J（pk）+KTθT~J（pk）′B-2.~J（pk）。求和，我们得到：~J（pk+1）-~J（pk）≤ -θT~J（pk）′B-1.~J（pk）+θT~J（pk）′B-1.KtINd+ATB-1.~J（pk）≤ -θT~J（pk）′B-1.B-θTKtINd+AT| {z}=RB-1.~J（pk）。因此，写作θT~J（pk）′B-1RB-1.~J（pk）≤~J（pk）-~J（pk+1）并对k求和，我们得到κ∈ N:θtκXk=0~J（pk）′B-1RB-1.~J（pk）≤~J（p）- 现在，R=B-θTKtINd+AT=1.-Kθ印第安纳州+θTAI是一个正定义矩阵θ<K。因此，正项序列~J（pk）′B-1RB-1.~J（pk）是收敛的。由于R和B是正定义矩阵，我们可以得出以下结论：~J（pk）kis也收敛。现在，自从pk+1- pk=-θ肺结核-1.~J（pk），序列pkpk+1- pkkis收敛，我们可以得出结论，序列（pk）KC向向量p靠拢*以至于~J（p*) = 0–如果我们定义q，那么这对应于最小值J*= q、 q*N=0，且N∈ {1，…，N- 1} ，q*n=q1*N量子点*N′=γ锡 Σ-1.p·，*N- p·，*N-1.,很容易验证（p*, Q*) 是（~SH）的解决方案。附录B：离散模型本附录专用于我们模型的离散对应物。为此，我们认为时间是分为若干段的我们用t=0表示≤ . . . ≤ tn=nT≤ . . . ≤ tN=T离散模型的相关时间序列。因为我∈ {1, . . .

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2022-5-6 11:21:07

，d}，我们用vin+1表示t交易人在tn和tn+1之间出售的股票数量。因此，投资组合q=（q，…，qd）的状态是给定的i、秦+1=秦- vin+1t、 0≤ n<n.确定性策略是最优的这一事实，可以在离散框架中使用与连续时间模型中类似的技术来显示。价格过程的模型为：Sin+1=Sin+σi√tin+1，其中（σn，…，σddn）是i.i.d.n（0，∑）随机变量。交易员为vin+1获得的现金金额t他售出的股票i的股份（tn，tn+1）取决于vin+1t本身和库存i的市场容量超过（tn，tn+1），假设为Vin+1t、现金账户的结果动态为：Xn+1=Xn+dXi=1vin+1英寸- 锂vin+1 vin+1Vin+1T, X=0。我们考虑的最大化标准是：E[-经验(-γXN）。在连续时间模型中，最终财富可以计算为：XN=dXi=1qiSi+σi√tN-1Xn=0千英寸+1英寸+1英寸-N-1Xn=0Livin+1 vin+1Vin+1T因此，XNis是一个均值为dxi=1qiSi的高斯变量-N-1Xn=0Livin+1 vin+1Vin+1T和差异tN-1Xn=0q′n+1∑qn+1。因此，E[-经验(-γXN）]=-经验-γdXi=1qiSi-N-1Xn=0Livin+1 vin+1Vin+1T-γtN-1Xn=0q′n+1∑qn+1！！，问题归结为最小化dxi=1N-1Xn=0锂秦-秦+1Vin+1TVin+1T+γN-1Xn=0q′n+1∑qn+1t、超过＠C=n（q。

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2022-5-6 11:21:11

，qd）\'∈RN+1Di、齐=齐，秦=0，|秦- 秦+1|≤ ρimVin+1t、 0≤ N≤ N- 1o。这个问题可以写成离散时间的布尔扎问题：inf（qin）0≤N≤N、一,≤我≤d、 q=q，qN=0I（（秦）0≤N≤N、一,≤我≤d），其中（（秦）0≤N≤N、一,≤我≤d） =N-1Xn=0锂秦- 秦+1Vin+1TVin+1T+γN-1Xn=0q′n+1∑qn+1t、其中Li（ρ）=（Li（ρ）if |ρ|≤ ρim+∞ 如果|ρ|>ρim。然后，使用与[23]中开发的技术相同的技术，但在离散时间内，可以证明这个问题的对偶公式是问题（~D）：inf（pin）0≤n<n，1≤我≤dJ（（引脚）0≤n<n，1≤我≤d），式中J（（pin）0≤n<n，1≤我≤d） =dXi=1N-1Xn=0Vin+1Hi（引脚）t+2γtN-1Xn=1（pn-pn-1)Σ-1（请注意-pn-1） +dXi=1piqi。与这两个问题相关的一阶条件对应于哈密顿方程（SH）：（SH）：（pn+1=pn+tγ∑qn+1，0≤ n<n- 1琴+1=琴+tVin+1Hi′（引脚），0≤ n<n，我∈ {1，…，d}q=q，qN=0。参考文献[1]R.阿尔姆格伦。具有随机流动性和波动性的最优交易。《暹罗金融数学杂志》，3（1），163-181，2012年。[2] 阿尔姆格伦和克里斯。清算中的价值。风险，12（12）：61-631999。[3] 阿尔姆格伦和克里斯。投资组合交易的最佳执行。《风险杂志》，2001年3:5-40。[4] 阿尔姆格伦和洛伦兹。自适应到达价格。交易杂志，（1）：59-662007。由于His函数属于C类，因此对于对偶问题，该系统的推导非常简单。对于原始问题，当函数Lis是类Cand且没有参与约束时，它也很简单。然而，在一般情况下，需要依赖经典的对流优化技术——如[23]中介绍的非常普遍的技术——并在连续时间情况下模拟（相当长但经典的）证明，以获得离散时间情况下原始问题、对偶问题和哈密顿方程之间的等价性。[5] R.阿尔姆格伦、C.图姆、E.豪普特曼和H.李。

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mingdashike22

2022-5-6 11:21:14

直接估计股权市场影响。风险，2005，18。[6] 阿尔姆格伦。具有非线性影响函数和交易增强的最优执行。应用数学金融，10（1）：1-18，2003年。[7] 贝拉克塔尔和卢德科夫斯基。在有控制强度的限制订单簿中进行清算。数学金融，2012年。[8] B.布查德、N.M.邓和C.-A.莱哈勒。交易算法的最优控制：一般脉冲控制方法。暹罗金融数学杂志，2（1），404-438，2011年。[9] P.Cannarsa和C.Sinestari。函数、哈密顿-雅可比方程和最优控制。Birkh"auser Boston，2004年。[10] P.A.福赛斯、J.S.肯尼迪、谢世泰和d.H.温德克利夫。最优交易执行：平均二次变异法。量化金融，2009年。[11] J.Gatheral。没有动态套利和市场影响。数量金融，10（7）：749-7592010。[12] J.Gatheral和A.Schied。almgren和chriss框架下几何布朗运动下的最优交易执行。《国际理论与应用金融杂志》，14（03）：353-3681011。[13] O.盖恩特和C.-A.莱哈勒。一般强度形状处于最佳状态。2014年发表于《数学金融》。[14] O.盖恩特、C.-A.莱哈勒和J.费尔南德斯·塔皮亚。带限制指令的最优投资组合清算。暹罗金融数学杂志，3（1），740-7642012。[15] 盖恩特。永久的市场影响可能是非线性的，2013年预印本。[16] 盖恩特。最优执行和大宗交易定价：一般框架，托阿佩林应用数学金融，2014年。[17] S.Jaimungal和D.Kinzebulatov。价格限制器的最优执行。预印本，2013年。[18] P.克拉茨和T.舍内伯恩。黑暗池中的最优清算。《2009年全民教育伯根会议论文》，2012年。[19] P.克拉茨和T.舍内伯恩。连续时间在黑暗池中清算投资组合。数学金融，2013年。[20] M。

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