特别是，这表明定理4.7的交易率是通用的，因为它既适用于纯投资问题（如[23,27]），也适用于期权对冲（如[3]）。唯一的挑战是无摩擦的目标战略。从定理4.3中展开的价值函数反过来又使我们能够计算效用系数a l a Hodges和Neuberger[29]以及Davis、Panas和Zariphopoulou[16]的一阶近似值。5.4与上述章节中具有比例和固定交易成本的模型的联系，我们认为，交易率（5.1）普遍存在于各种优化问题中，且线性价格影响很小。现在，我们想将这一政策与其他市场摩擦的对应政策进行比较，即比例和固定交易成本。乍一看，各自的政策大相径庭。在线性价格影响下，一个人总是以一个确定的、绝对连续的速度朝着无摩擦的目标交易。相比之下，比例交易成本和固定交易成本都会导致无摩擦计时器周围出现“无交易区域”。在这个地区，投资者仍然不活跃，只有在其边界上的交易才被突破。这种不同的“精细结构”是对各种规模的交易进行不同惩罚的结果：线性价格影响产生的二次交易成本对于小型交易而言较低，因此始终进行交易是最佳选择。相反，它们对于大订单来说高得令人望而却步，因此无法实施大宗交易（如固定成本）或“当地时间类型”的反映（如比例成本），并且无法保持无摩擦目标的位移，即使其非常小。与二次成本相比，比例交易成本对小额交易的惩罚更为严厉，导致了一个非贸易区。

然而，由于较大的交易受到的惩罚较少，因此该头寸始终可以通过在边界上的反映（“以固定利率推动”）在该区域内调整。在固定成本的情况下，所有交易都会受到同样的惩罚。因此，实际上，许多小型交易变得不可行，一旦突破了非贸易区的边界，头寸就会立即重新平衡到无摩擦目标。尽管存在这些根本性差异，但正如我们现在非正式讨论的那样，所有三种市场摩擦都会导致一种惊人相似的“粗糙结构”。事实上，在按比例交易成本∧t的情况下，投资者总是在无摩擦目标周围的非交易区域保持其实际头寸，该目标的半宽度可以通过小成本明确确定[43,54,34,33]。在这一地区的内部，投资者的投资组合发展不受控制，在边界处出现瞬时反应。在前导阶，这种扩散过程的分布可以用反射布朗运动的均匀定常定律来近似[49,32,25,35,34,33]。因此，实际位置与无摩擦目标的平均平方偏差是按比例交易成本的三分之一给出的，已经得到了许多相应的结果，正式的[58,35]和严格的[8,9,45]。这些论据可以像[33]中一样严格。对应的非贸易区的半宽度：√Rt∧t（σSt）2/3σθt4/3，其中σθt=pdhθit/dt是无摩擦优化器θ的波动率。对于固定的交易成本，在非贸易区内，投资组合再次不受控制地移动，但一旦其边界被打破，就会直接重新平衡到无摩擦的目标位置。

在主导顺序下，这会导致概率密度偏离“帽函数”给出的概率密度，这是布朗运动在到达对称区间边界时在原点终止并重新开始的平稳定律。因此，与无摩擦优化器对应的偏差方差等于相应非贸易区半宽度的六分之一：√Rt∧t（σSt）1/2σθt。因此，随着功率和常数的变化，最优策略由每种情况下的相同等式决定。具有线性价格影响的最优交易率（1.1）会导致偏差t=θ∧t- θt遵循均值回复扩散过程：dt=-s（σSt）2∧tRttdt+dθt.用于较小的冰冲击（λ~ 0）这是一个局部的Ornstein-Uhlenbeck过程（在全局范围内，如果无摩擦目标策略遵循布朗运动且平均回复速度恒定），具有高斯平稳律和前导阶方差√Rt∧t（σSt）1/2σθt.同样，特定的摩擦力贡献了相应的幂和一个普适常数。相比之下，输入参数和相应的比较静态是通用的：如果市场风险高于投资者的风险承受能力，如果交易成本是实质性的，或者如果无摩擦目标策略规定了大量的再平衡，那么小摩擦的影响是大的。综上所述，尽管不同的交易成本导致“微观”层面上的最优政策从根本上不同，“宏观”图景令人惊讶地稳健。6定理4.3的证明本节包含我们第一个主要结果的证明，即小价格imp作用λ∧（·）的值函数vλ的渐近展开~ 定理4.3中的0。自始至终，我们写λ=ε和∧（ζ）=E（ζ），以避免使用分数幂。

通过稍微滥用旋转，我们还通过ε对与价格影响问题相关的所有数量进行了索引。例如，我们在这里为摩擦值写vε，E是唯一的对称正定义矩阵，该表示成立。函数vλ，用θε等表示相应的最优投资组合θ∧。定理4.3的证明策略如下：引理4.1以及第6.3节（见命题6.3、6.4和6.5）和假设（A3）的结果*(ζ, θ(ζ)) ≥ u（ζ）≥ “u”*（ζ，θ（ζ）），对于所有ζ∈ D.另一方面，我们在命题6.6（函数u*你呢*其中定义了第6.2）条，即对于所有（ζ，θ）∈ D×Rd:\'u*(ζ, θ(ζ)) ≤ “u”*(ζ, θ) -  oξξ(ζ, θ) ≤ “u”*(ζ, θ) -  oξξ(ζ, θ) ≤ “u”*(ζ, θ(ζ)).这两个估计共同证明了定理4.3.6.1余数估计第一步——也是最繁琐的一步——是估计定理4.3中展开式的余数。这与[54，备注3.4，第4.2节]类似；另见[9，引理4.4]。引理6.1。假设假设（A1）满足，回忆ζξε（ζ，θ）=（θ）-θ(ζ))/ε. 固定ε>0，两个C1,2（D×Rd）-函数φ和w，并定义ψε：（ζ，θ）7-→ v（ζ）- εφ(ζ, θ) - εwε（ζ，θ），其中wε（ζ，θ）：=wo ξε（ζ，θ）=w（ζ，ξε（ζ，θ））。集合Dιε={xψε>0}∩ {εx（φ+εwε）/十五≤ ι} 对一些人来说ι<1。那么：Lθψε=εξξεσS二十五- Lθφ-TrcθDξw+ RεL,Hεψε=ε（Dξw）oξξε)E-4Dξwoξξε4xv+RεH+^Lεφ，在Dιε上，带^Lεφ：=（Dθφ）E-4（Dθφ+2εDξwoξξε)4xv+εxφ4(xv）（Dθφ）E-4Dθφ，（6.1）θ定义为（3.5），其中RεLand RεHare连续映射定义在Dιε上，使得：（Ri）对于每个有界集B D×Rd×Rd，存在εB>0，使得ε-1（|RεL |+|RεH |）（ζ，θ）：（ζ，θ，ξξε（ζ，θ））∈ B、 ε∈ （0，εB]是有界的；让B D是一个有界集。假设φ∈ C∞b（b×Rd）和满足性（4.4）。

然后，存在εB>0和CB>0，使得| RεL（ζ，θ）|+RεH（ζ，θ）|≤ CB公司1 + ε |ξξε| + ε|ξξε|,总之ε∈ （0，εB]和（ζ，θ）∈ B×Rd证明。为清楚起见，请写下：=θuS以及∑θ=θσS,对任何人来说θ∈ Rd.我们研究Dιε，为了简洁起见，省略了相应的参数。第一步：展开线性操作符。首先，使用θ=θ+εξε，得到Lθv=Lθv+？θεξεDζv+Trhσθ（？θεξε）Dζvi+εξξεσSxxv=Lθv+（εξξε）uSxv+σS′σD（s，y）(xv）+σSσSθ二十五+εξξεσSxxv=εξξεσSxxv，无摩擦DPE（3.3）和无摩擦优化器θ的一阶条件（3.5），由于假设（A1）成立。同样的计算也得到了Lθ（εφ）=εLθφ+εRε，其中Rε：=（εξε）uSxφ+σS′σD（s，y）(xφ）+σSσSθxxφ+εξξεσSxxφ。现在，观察ξε=ξ/ε，通过定义ξξ和wε：Dζwε=Dζw-εDζθDξw，Dζζwε=εDζθDξwDζθ-εDζθDζ（Dξw）+Dζ（Dξw）Dζθ+DζζθDξw+ Dζζw.因此（回忆（3.18））：Lθ（εwε）=εTrhDζθσθσθDζθDξwi+εRε，（6.2）带Rε：=εtwε+εμθ+εξξε·Dζwε+εTrσθ+εξξεσθ+εξεDζζwε-εDζθσθσθDζθDξw= εtw- εDtθ·Dζw+εuθ+εξε·Dζw-εμθ+εξε·DζθDξw+Trhσθσ0εξξε+ σ0εξξεσθ+ σεξξεσ0εξξεDζθDξwDζθi- Trhσθ+εξεσθ+εξξεεDζθDζ（Dξw）+Dζ（Dξw）Dζθ+DζζθDξw- εDζwi、 RεL:=Rε+Rε的断言估计值现在来自假设（A1），（4.4），以及SDE系数（2.1），（2.2），（2.4）和（2.5）的连续性。第二步：展开非线性算子。首先，请注意Dιε上的xψε>0；从何而来（注3.4）：Hεψε=（Dθψε）E-4Dθψε4εxv×1- εx（φ+εwε）/十五。右手边的一阶展开式依次给出εψε=（Dθψε）E-4Dθψε4ε十五1 + εxφ十五+ εRε，带| Rε|≤（Dθψε）E-4Dθψε4εxv×εxwεxv+（1）- ι)×εx（φ+εwε）(xv）=（Dθφ+εDξw）E-4（Dθφ+εDξw）4xv×εxw-εxθ·Dξwxv+2εxφ- εxθ·Dξw+εxw(1 - ι)(xv）！，其中我们使用了我们正在研究的Dιε的第一个估计值。

因此，我们计算εψε=ε（Dξw）E-4Dξw+（Dθφ）E-4（Dθφ+2εDξw）4xv+εxφ4(xv）（Dθφ）E-4Dθφ+ε（Rε+Rε），其中Rε：=2εxφ（Dθφ）E-4Dξw+ε（Dξw）E-4Dξw4(十五）。同样，对RεH:=Rε+Rε的断言估计现在遵循所涉及函数的连续性、假设（A1）和（4.4）。连同第1步，这就完成了证明。6.2半放松的限制*, U*与具有比例[54,46,9]或固定交易成本[5]的模型不同，放宽的半限制是uε=（v- vε）/ε确实取决于当前价格影响模型中投资者投资组合中的股票数量。因此，同质化带来的关键简化显然打破了道恩定律：一阶修正项中的变量数量与原始摩擦值函数中的变量数量相同，而不是简化为[54,46,9,5]中无摩擦对应项的变量。然而，至关重要的是，第3.3节中的启发性论点表明，uε仅取决于通过二次函数得到的风险股的初始数量 由FirstCorrector方程确定。对于中间时间，这是由于摩擦DPE的扩展，在最终时间，这是（2.6）中清算罚金定义的结果。事实上，后者的选择是精确的，这样一个简单的二次函数就可以完成这项工作，参见备注2。4.减去该惩罚条款后，剩余的一阶修正与当前投资组合无关，如比例成本和固定成本。要继续，定义所有ε>0的映射uε：D×Rd→ R byuε：=\'uε- ε o ξξε，（6.3），其中归一化偏差ξξε（ζ，θ）=（θ- 无摩擦目标θ的θ（ζ））/ε定义见（3.11）和（ξ） 是引理4.1中构造的第一个修正方程的解。

在（4.2）中，相应的松弛半极限定义为asu*（ζ，θ）：=lim supε→0,(ζ′,θ′)→（ζ，θ）uε（ζ′，θ′），u*（ζ，θ）：=lim-infε→0,(ζ′,θ′)→（ζ，θ）uε（ζ′，θ′）。显然，族{uε：ε>0}和{uε：ε>0}d没有相同的松弛半极限。的确，你*还有“你”*与θ-变量无关，这一点在t=t时很明显。在过去，我们都会看到*你呢*不要依赖于θ-变量（fort=T也很明显）。这将被事后验证，与[54]相反，在[54]中，这可以被预先检查为放松的半极限\'u*还有“你”*, 关键是用于确定主要结果。定义，对于所有ε>0和（ζ，θ）∈ D×Rd，uε*（ζ，θ）：=v（ζ）- vε*（ζ，θ）ε和uε*（ζ，θ）：=v（ζ）- vε*（ζ，θ）ε，其中vε*和vε*分别表示vε的上半连续包络和下半连续包络，并观察u*（ζ，θ）=lim supε→0,(ζ′,θ′)→（ζ，θ）uε*（ζ′，θ′），u*（ζ，θ）=lim infε→0,(ζ′,θ′)→（ζ，θ）uε*(ζ′, θ′). （6.4）以下是假设（A2）、（A1）以及引理4.1的简单结果：引理6.2。假设假设（A2）和（A1）满足。然后，对于所有（ζo，θo）∈ D×Rd，有ro，εo>0，这样-∞ < uε*≤ uε*< +∞, 关于Bro（ζo，θo）∩ D、 总之ε∈ （0，εo）。特别是松弛半极限u*你呢*是局部有界的。6.3沿着无摩擦优化器的PDE表征在本节中，我们显示ζ∈ D 7-→ U*（ζ，θ（ζ））=u*（ζ，θ（ζ））和ζ∈ D 7-→ U*（ζ，θ（ζ））=u*（ζ，θ（ζ））分别是第二修正方程（3.20）的粘度亚解和上解，其中（a，) 是在EMMA 4.1.6.3.1粘度-亚粘度-性质-比例6.3中构造的第一个校正方程（3.19）的解。假设假设满足假设3.3和A，则ζ∈ D 7-→ U*（ζ，θ（ζ））=u*（ζ，θ（ζ））是第二修正方程（3.20）在D<上的粘度亚解。证据

考虑ζo∈ D<和∈ C1,2（D<）使最大ζ∈D<（严格）（u）*（ζ，θo（ζ））- ν（ζ））=u*（ζo，θo）- θ（ζo）=0，（6.5），其中θo:=θ（ζo）。我们必须证明这一点-Lθψ（ζo）≤ a（ζo）。第一步：提供一个定位序列。通过（6.4）和连续性，存在（ζε，θε）ε>0D<×Rd，使得（ζε，θε）-→ε→0（ζo，θo），uε*(ζε, θε) -→ε→0件*（ζo，θo）和pε-→ε→00，（6.6）式中pε：=uε*(ζε, θε) - φ(ζε). （6.7）现在，一方面，引理6.2保证了ro的存在，ε>0，这样，对于Bo:=Bro（ζo）×Bro（θo），我们有b*:= sup{uε*(ζ, θ) , (ζ, θ) ∈ Bo，ε∈ (0, ε]} < ∞. 另一方面，根据假设（A1），存在α∈ （0，ro]对于哪个θ∈Bro（θo），关于Bα（ζo），（6.8），在这里和下面的粘度证明中，我们总是选择足够小的rosu，以保证相应的邻域包含在D<resp中。D.对于某些人来说，ι>0:2/ι>-二十五∧ xv>ι，在‘Bα（ζo）上。（6.9）现在，选择d>0，以便：ζ -ζ′≥ d、 对于所有（ζ，ζ′）∈\'Bα（ζo）\\Bα/2（ζo）××Bα/4（ζo）。通过连续性，我们有sup2+b*-φ(ζ) ; ζ ∈\'Bα（ζo）=: M<+∞, 我们反过来定义常数co:=M/（d）∧ （ro））。根据（6.6）、假设（A1）以及引理4.1，并在必要时减少εo>0，我们得到：|ζε- ζo|∨ |θε- θo|≤α,θε- θ(ζε)≤ 1/3co，| pε|≤ 1.和 o ξξ(ζε, θε) ≤ 1/3，所有ε∈ 然后，用Bα：=Bα（ζo）×Bro（θo），观察我们仍然有uε*(ζ, θ) ≤ B*, 对所有人（ζ，θ）∈βα和ε∈ （0，εo）。步骤2：为vε构造一个测试函数*和一系列局部内部极小值。对于每个ε∈ （0,1），定义φε：（ζ，θ）∈ D×Rd7-→ 有限公司|ζ - ζε|+θ - θ(ζ)并引入以下“Bα”子集：Bo，α：=“Bα/2（ζo）×”Br/2（θo）。回顾（6.8）、（6.10）和co的选择，得出φε（ζ，θ）≥ 2+b*-ψ（ζ），对于所有ε≤ εoand（ζ，θ）∈\'Bα\\Bo，α。（6.11）另一方面，（6.10）第一行中的最后一个估计给出：φε（ζε，θε）≤ 1/3.

（6.12）我们现在定义所有ε，η∈ （0，1），函数ψε，η：=v- ε（pε+φ+φε）- ε(1 + η) oξξε，并表明vε*-ψε，η（或相当于Iε，η：=（vε）*-ψε，η）/ε）允许一个内部局部极小值。通过（6.3）中uε的定义，Iε，η=-uε*+ （pε+φ+φε）+η oξξ.结合pε与（6.12）的定义以及（6.10）中的最后一项，我们首先注意到，对于所有（ε，η）∈ （0，εo）×（0，1）:inf‘BαIε，η≤ infBo，αIε，η≤ Iε，η（ζε，θε）≤ 2/3.另一方面，因为 ≥ 通过引理4.1，它由（6.10）和（6.11）得出iε，η（ζ，θ）≥ 1，适用于所有（ζ，θ）∈\'Bα\\Bo，α和ε∈ （0，εo。）因此，通过Iεη的下半连续性和Boα的紧性，存在一个极小值（△ζε，△ε）∈“Bo，α\'Bα。（后者也取决于η，但我们没有明确指出这种依赖性，因为它在这里并不重要。）对于所有ε∈ （0，εo]和η∈ （0,1）：Iε，η~ζε,~θε≤ 0和εξξε(~ζε,~θε)∨~ζε- ζo≤ r、 （6.13）对于一些常数r>0，我们记得εζξε（挈ζε，θε）=θε- θ(~ζε).步骤3：显示每个η∈ （0，1），存在Cη>0，使得|ζξε（|ζε，θε）|≤ Cη，ε ∈ （0，εo。）As（～ζε，～θε）是vε的内部局部极小值*-ψε，η通过第2步，vε的粘度上解性质（3.6）得到-Lθε+Hεψε,η~ζε,~θε≥ 0.（6.14）从（6.9）和（6.13）中观察到，在可能降低εo>0后，我们得到xψε，η>0和εx（φ+εwε）≤ ιxv，ε∈ （0，εo）。因此，引理6.1中（Ri）的要求得到满足，因此，对于所有ε∈ （0，εo）：Lθεψε，η（ζε，θε）=εξξεσS二十五-Lθ′φε-（1+η）TrcθDξ（ζε，εε）+εRεL（ζε，εε），Hεψε，η（ζε，εε）=ε（1+η）（Dξ） o ξξε)E-4Dξ o ξξε4xv+^Lε′φε！|ζε，θε（6.15）+εRεH.在这里（回忆（6.7）），φε：=pε+φ+φεε（6.16）和Rε：=RεL+RεH，满足|Rε|（|ζε，θε）≤ c、 总之ε∈ （0，εo]，（6.17）对于某些常数c>0。现在，用它重写上面的Lθεψε，η 是第一修正方程（3.19）的解。

总之ε∈ （0，εo），估算（6.14）得出：ηξξεσSxxv+Lθ′φε+（1+η）a- Rε+（1+η）（Dξ o ξξε)E-4Dξ o ξξε4十五-（1+η）（Dξ） o ξξε)E-4Dξ o ξξε4十五-^Lεφε（ζε，θε）≥ 0.（6.18）观察E为正定义，η≥ 0:[1 + η - （1+η）]（Dξ o ξξε)E-4Dξ o ξξε4十五≤ 0.我们在下面的第4步中证明，有一个常数c>0，使得f或ε∈ （0，εo]：-^Lε′φεε（～ζε，～θε）≤ c、 （6.19）将其与（6.18）、（6.9）、（6.17）和椭圆度条件（2.3）相结合，给出sc+c+n（1+η）a+Lθφεo（△ζε，△ε）≥ （ηηγo/2）|ξξε|（ιζε，θε），对于所有ε∈ （0，εo]，对于某些γo>0。现在，通过考虑a和Lθ′φε以及（6.10）和（6.13）的连续性，得出步骤3的结论。第四步：证明（6.19）。回想一下（6.1）中^Lε的定义；作为E和kare的积极定义，如下所示：-^Lε^φεε≤ -（1+η）（Dθθφε）E-4（Dξ） o ξξε)2ε十五-x′φε4(xv）（Dθφε）E-4Dθθφε≤ -（1+η）4co |ξξ|ξξE-4kξε十五-x′φε4(xv）（Dθφε）E-4Dθθφε≤ -x′φε4(xv）（Dθφε）E-4Dθφε，其中第二个不等式来自基于（6.16）中θφε的定义和 引理4.1。通过构造φε，以及（6.13）和（6.9），这就产生了所需的上边界cat（～ζε，～θε）。第五步：总结命题的证明。在上一步中，（§ζε，ξξε（§ζε，θε））ε∈（0，\'εη]是一致有界的。因此，存在（\'ζ，\'ξ），可能沿着一个子序列，（△ζε，ξξε（△ζε，θε））→（\'ζ，\'ξ）asε→ 此外，根据（6.5），粘度溶液理论中的经典参数给出了ζ=ζo，参见，例如[14]。（注意‘ξ’依赖于η，但我们将在下面看到这种依赖是无害的。）通过（6.14），limε→0-εLθε+Hεψε,η~ζε,~θε≥ 0.利用（6.15），我们进一步推导出thatlimε→0-ξξεσSxxv+Lθφ+Lθφε+1+ηTrcθ0dξ o ξξε-（1+η）（Dξ） o ξξε)E-4Dξ o ξξε4xv+Rε-^Lεφε！~ζε,~θε≥ 0，其中，引理6.1中的by（Ri）：Rε~ζε,~θε→ 0，作为ε→ 0

通过定义φε和步骤3，（Lθφε-^Lεφε（ζε，θε）→ 0为ε→ 0.因此，也考虑到 是第一个C orrector方程（3.19）的解：Lθη+ηTrcθDξ(·,ξ)-（2η+η）（Dξ） o (·,ξ))E-4Dξ(·,ξ)4xv+a（ζo）≥ 0.（6.20）现在，注意（2η+η）（Dξ o （ζo，\'ξ））E-4Dξ(·,ξ)4xv（ζo）≥ 0由于（6.9）。加上（6.20），这表明Lθη+ηTrcθDξ(·,ξ)+ A.（ζo）≥ 最后，注意ηTr[cθ0dξ（ζo，\'ξ）]=ηTr[cθ0 k（ζo）]不依赖于\'ξ。我们现在将η发送到零，以达到-Lθψ（ζo）≤ a（ζo）。这就完成了证明。6.3.2粘度上溶性粘度6.4。假设假设满足假设3.3和A，则ζ∈ D 7-→ U*（ζ，θ（ζ））=u*（ζ，θ（ζ））是第二修正方程（3.20）在D<上的粘度上解。证据考虑ζo∈ D<和∈ C1,2（D<）使最小ζ∈D<（严格）（u）*（ζ，θo（ζ））- ν（ζ））=u*（ζo，θo）- θ（ζo）=0，（6.21），其中θo:=θ（ζo）。我们必须证明-Lθψ（ζo）≥ a（ζo）。通过（6.4）和连续性，存在（ζε，θε）ε>0 D<×Rd，使得（ζε，θε）-→ε→0（ζo，θo），uε*(ζε, θε) -→ε→0件*（ζo，θo）和pε-→ε→00，其中pε：=uε*(ζε, θε)-φ(ζε). 根据假设（A1）和引理4.1，有ro>0和dεo∈ （0,1]满足|ζε- ζo|≤ro，| pε|≤ 1.和 oξξ(ζε, θε) ≤ 1/3，所有ε≤ ε. （6.22）此外，假设（A1）确保ι>0的存在，使得2/ι>-二十五∧ xv>2ι，在`Bro（ζo）上。（6.23）步骤1：对于每个ε∈ （0，ε），提供一个惩罚函数φε，以便在步骤2和3中为vε构造一个方便的测试函数。还提供一个常数ξ*, 与ε无关，这将在步骤5和6中使用。由于φ是光滑的，因此存在一个常数M<∞ 真是太棒了φ(ζ) ; ζ ∈\'Bro（ζo）≤ M- 4.（6.24）鉴于（6.22），有一个有限的d>0，因此|ζ- ζε|≥ d代表所有ζ∈ 兄弟(o） ，我们选择CO>0，这样cod≥ M

通过这种旋转，定义φε（ζ）：=φ（ζ）+pε- co |ζ-ζε|，并从（6.22）、（6.24）中观察，以及cothatφε（ζ）的选择≤ -3，对于所有ζ∈ Bro（ζo）和ε∈ （0，εo]。（6.25）回忆一下pε的定义和（6.22）中的最后一个术语，并观察以备以后使用- \'uε*(ζε, θε) + φε(ζε) ≥ -1/3，所有ε∈ （0，εo]（6.26）现在，一方面，将（6.23）与kE的正特性结合起来-4k产生了γE>0的存在，使得x（克-4k）（ζ）x4xv（ζ）≥ γE | x |，对于所有（ζ，x）∈另一方面，Bro（ζo）×Rd（6.27），以及E的连续性-4而且肯恩确信有这样的人E-4.|k |（ζ）4xv（ζ）≤ 克，尽管ζ∈\'Bro（ζo）。（6.28）也表示K，K，Kθ>0三个有限常数，以便以后使用，例如2 | K（ζ）|≤ K、 |cθ（ζ）|≤ 2Kθ，和Lθφ（ζ）≤ K、 总之ζ∈\'Bro（ζo），（6.29）式中φ（ζ）：=ν（ζ）-co |ζ-ζo |。通过对[46，引理5.4]的稍加修改，存在（hη）η∈(0,1]C∞（Rd；[0,1]）和（aη）η∈(0,1] (1, ∞) 满足hη=1，关于B（0），hη=0，关于Bcaη（0），|x|Dxhη（x）|≤ η和| x|dxhη（x）≤ C*,（6.30）对于所有x∈ 和一些常数C*> 0与η无关。最后，对于每个δ∈ （0，1），我们选择ξ*,δ> 0（ξ）*,δ） =1+2[K+KθK（6+C）*)γE（2δ）-δ).第2步：构建vε测试函数的“初稿”，用于构建第3步中的“真实”测试函数。对于每个（ε，η，δ）∈ （0，εo]×（0，1），定义ψε，η，δ：=v- εφε- ε(Hη，δ）oξε，其中hη，δ：ξ∈ Rd7-→ (1 - δ） hηξξ*,δ,归一化偏差ξξε的定义如（3.11）所示，以及 是Lemm a 4.1中第一个修正方程的解。我们想构造一个vε的局部最大化子*-ψε，η，δ（或等价物）ε，η，δ：=ε（vε*- ψε,η,δ)). 然而，它将使OUT低于需要进一步修改的ψε、η、δ，使之成为可能。实际上，considerIε，η，δ=-\'uε*+ φε+ ε(Hη，δ）o ξξε.到（6.26），因为Hη，δ≥ 0，Iε，η，δ（ζε，θε）≥ -1/3.

（6.31）另一方面 在引理4.1和（4.1）、（6.22）、（6.29）η中，δ∈（0,1）和0≤ Hη，δ（ξ）≤ 1{|ξ|≤aηξ*}意味着，对于所有（ζ，θ）∈\'Bro（ζo）×Rd:Iε，η，δ（ζ，θ）≤ φε（ζ）+Kε|ξξε|{124;ξξε|≤aηξ*,δ}(ζ, θ)≤ φε（ζ）+Kε（aηξ*,δ)≤ φε（ζ）+1，对于所有ε≤ εη，δ，（6.32），其中εη，δ：=εo∧ （K1/2aηξ）*,δ)-1.注意，在（6.32）中，与命题6.3中的亚解析性质证明不同，θ与θ（ζ）的偏差不受φε的惩罚。因此，即使是有限的，也没有必要达到这个上限。定义集合Qo:={（ζ，θ）∈ D<×Rd:ζ∈\'Bro（ζo）}，并从（6.32）thatsup（ζ，θ）观察∈QoIε，η，δ（ζ，θ）≤ supζ∈对于所有ε，Bro（ζo）{φε（ζ）+1}≤ εη,δ.因此，通过‘Bro（ζo）的紧性，φε（6.22）的连续性，以及εη，δ≤ εo，我们有：Iε，η，δ：=sup（ζ，θ）∈QoIε，η，δ（ζ，θ）<∞, ε ≤ εη,δ.因此，对于每个ε∈ （0，εη，δ），存在（^ζε，η，δ，ε，η，δ）∈Int（Qo）满足iε，η，δ^ζε,η,δ,^θε,η,δ≥ Iε，η，δ-ε. （6.33）步骤3：对于每个η，δ∈ （0,1）和ε∈ （0，εη，δ），最终提供一个测试函数ψε，η，δ和一个测试点（△ζε，η，δ，△ε，η，δ）∈Int（Qo），令人满意的maxqo（vε*-ψε，η，δ）=（vε*-ψε,η,δ)(~ζε,η,δ,~θε,η,δ).引入一个偶数实值函数f∈ C∞b（R）满足0≤ F≤ 1，f（0）=1和f（x）=0无论何时|x |≥ 1.也就是fixη，δ∈ （0,1）和ε∈ （0，εη，δ）。考虑¨ψε，η，δ（·，θ）：=ψε，η，δ（·，θ）- εfθ -^θε,η,δε，η：，以及vε*-ψε,η,δ（·，θ）=Iε，η，δ（·，θ）+εfθ -^θε,η,δ.由（6.33）和f（0）=1，\'Iε，η，δ^ζε,η,δ,^θε,η,δ= Iε，η，δ^ζε,η,δ,^θε,η,δ+ ε≥ Iε，η，δ+ε。

（6.34）此外，通过定义f，如果∈ Rdsatis|θ-^θε，η，δ|>1，然后Iε，η，δ（ζ，θ）=Iε，η，δ（ζ，θ）。因此，设置Qε：={（ζ，θ）∈ Qo:|θ-^θε,η,δ| ≤ 1} 因为（ζε，η，δ，ε，η，δ）∈ Qε，这个等式与（6.34）相结合意味着supqεIε，η，δ>supQoIε，η，δ≥ supQo\\QεIε，η，δ=supQo\\QεIε，η，δ。结果：sup（ζ，θ）∈Qo’Iε，η，δ（ζ，θ）=sup（ζ，θ）∈QεIε，η，δ（ζ，θ）。因此，通过Iε、η、δ的上半连续性和Qε的紧致性，存在（△ζε、η、δ、△ε、η、δ）∈ qoiε，η，δ。事实上，（ζεηδεηδ）∈Int（Qo），因为（6.22），（6.31），f≥ 0和ε∈ （0，εη，δ）给出Iε，η，δ~ζε,η,δ,~θε,η,δ≥\'Iε，η，δ（ζε，θε）≥ Iε，η，δ（ζε，θε）=0，而（6.25），（6.32），f≤ 1和ε∈ （0，εη，δ]带εη，δ≤ 1表示Iε，η，δ≤ Iε，η，δ≤ -2+ε<0，开Qo。第4步：显示每个η的δ∈ (0, 1), {ξξε(~ζε,η,δ,~θε,η,δ) ; ε ∈ （0，\'εη，δ]}是一致有界的，因此沿着一个子序列向某个\'ξη，δ]收敛∈ Rdasε→ 0.根据前面的步骤和命题3.6，-Lθε，η，δ+Hεψε,η,δ(~ζε,η,δ,~θε,η,δ) ≤ 此外，通过（6.23），Hη，δ，asξ的构造*不依赖于ε和f∈ C∞b（R），可能会减小εη，δ>0 y ieldsx′ψε，η，δ（△ζε，η，δ，△ε，η，δ）>0和εx（φ+ε）(Hη，δ）oξξε) ≤ ι十五。在引理6.1中应用（Rii）则给出-ξξεσSxxv+Lθ′φε+TrhcθDξ(Hη，δ）o ξεi-RεL-（Dθψε，η，δ）E-4Dθψε，η，δ4εx′ψε，η，δ(~ζε,η,δ,~θε,η,δ) ≤ 0，（6.35）式中φε（·，θ）：=φε- εf（|θ-^θε，η，δ|），对于某些常数C>0和所有ε∈ （0，εη，δ]：|RεL |（|ζε，η，δ，θε，η，δ）≤ Cε + |εξξε| + |εξξε|(~ζε,η,δ,~θε,η,δ).现在假设{ξξε（~ζε，η，δ，~θε，η，δ）；ε∈ （0，\'-εη，δ]}不是沿着某个子序列一致有界的。然后，通过构造Hη，δ和asξ*,δ不依赖于ε，因此(Hη，δ）oξξε及其所有导数消失。另一方面，f∈ C∞b（R）表示|（Dθψε，η，δ）E-4Dθψε，η，δ|≤ εcf对于某些常数cf。

最后，通过构造φε，η，δ和ζε，η，δ∈Bro（ζo），我们得出结论（Dθψε，η，δ）E-4Dθψε，η，δ4εx′ψε，η，δ（△ζε，η，δ，△ε，η，δ）→ 0，作为ε→ 在可能增加C>0之后-ξξεσSxxv+Lθ′φε(~ζε,η,δ,~θε,η,δ) ≤ C1 + |εξξε| + |εξξε|(~ζε,η,δ,~θε,η,δ).用γ>0表示（2.3）中对应于集合¨Bro（ζo）的常数。将（6.23）与Lθ′φε和∧ζε，η，δ的连续性结合起来∈Bro（ζo），然后我们得到γζε（ηζε，η，δ，θε，η，δ）≤ C1 + |εξξε| + |εξξε|(~ζε,η,δ,~θε,η,δ).这与{ξξε（＠ζε，η，δ，＠ε，η，δ）；ε∈ （0，\'εη，δ]}是无约束的。特别是，沿着一个子序列，（△ζε，η，δ，ξε（△ζε，η，δ，δ，θε，η，δ））因此收敛到某个有限点（\'）ζη，δ，δ，ξη，δ）∈D<×Rdasε→ 0.第5步：显示每个δ∈ （0,1），有‘ηδ∈ （0，1）使得{ξη，δ；η∈ (0, ηδ]}  Bξ*,δ（0），因此可能沿着子序列收敛到一个点^ξδ∈ Bξ*,δ(0).首先，请注意，前面的步骤意味着引理4.1中（Ri）的要求得到了满足，因此（6.35）中的余数RεL（ηζε，η，θε，η）收敛为零→ 0.通过所有相关函数的连续性，发送ε→ 0英寸（6.35）表示-(ξη,δ)σS二十五-[Dξ（Hη，δ)]E-4Dξ（Hη，δ）)4.十五(ζη,δ,ξη,δ)≤Lθφ+TrhcθDξξ（Hη，δ)我(ζη,δ,ξη,δ).（6.36）我们首先关注这种不平等的右侧。As（°ζη，δ）（η，δ）∈(0,1)\'Bro（ζo），结合引理4.1和（6.29）以及（6.30）中的最后一项，给出了所有（η，δ）∈ (0, 1):Lθφ+TrhcθDξξ（Hη，δ)我(ζη,δ,ξη,δ) ≤ K+Kθ（6K+C）*K） 。（6.37）现在考虑（6.36）中的左侧，并省略参数（‘ζη，δ，’ξη，δ），以简化注释。As0≤Hη，δ≤ (1 - δ） 还有E-4是积极的定义，我们-(ξη,δ)σS二十五-[Dξ（Hη，δ)]E-4Dξ（Hη，δ）)4.十五≥ -(ξη,δ)σS二十五- (1 - δ） [Dξ]E-4Dξ4.十五（6.38）-2(1 - δ） Hη，δξ*,δ[Dξ]E-xH4D·ξ*,δ4.十五（6.39）-(1 - δ)ξ*,δ[Dxh·ξ*,δ]E-4Dxh·ξ*,δ4.十五。

（6.40）因为 求解第一修正方程（3.19），其中（6.38）项满足-(ξη,δ)σS二十五- (1 - δ） [Dξ]E-4Dξ4.xv=（2δ）- δ） [Dξ]E-4Dξ4.十五≥ (2δ - δ） γEξη,δ,如果第二个不等式来自（6.27）和引理4.1，回想一下‘ζη，δ∈\'Bro（ζo）。接下来是引理4.1、（6.28）、（6.30）和‘ζη，δ∈\'Bro（ζo）表示以下估算值f或（6.39）：-2(1 - δ） Hη，δξ*,δ[Dξ]E-xH4D·ξ*,δ4.十五≥ -4(1 - δ） ηKEξη,δ.同样，对于（6.40），我们有-(1 - δ)ξ*,δhDxh·ξ*,δ我E-xH4D·ξ*,δ4.十五≥ -(1 - δ） ηKEξη,δ.这三者加在一起，就等于-(ξη,δ)σS二十五-[Dξ（Hη，δ)]E-4Dξ（Hη，δ）)4.十五≥ξη,δ(2δ -δ） γE- 柯（1）- δ)η (4 + (1 - δ)η).现在，注意（2δ-δ） 对于所有δ，γE>0∈ (0, 1). 因此，对于每个δ∈ （0,1），存在‘ηδ∈ （0，1）使-柯（1）-δ)η(4 + (1 - δ)η) ≥ -(2δ -δ） γE/2和-(ξη,δ)σS二十五-[Dξ（Hη，δ)]E-4Dξ（Hη，δ）)4.十五≥(2δ -δ） γEξη,δ. （6.41）最后，将（6.36）与（6.37）和（6.41）结合起来给出ξη,δ≤2[K+Kθ0（6K+C*K） [（2δ-δ） γE<（ξ）*,δ） ，完成第5步。第6步：总结命题的证明。首先，请注意ξη,δ< ξ*,δ、 总的来说η∈ （0，\'ηδ]，加上Hη的定义，δ给出Hη，δ（\'ξη，δ）=1-δ及其导数van ish forall（δ，η）∈ （0，1）×（0，ηδ）。设（ζδ，ξδ）表示（子）序列的极限（ζη，δ，ξη，δ）为η→ 0.根据粘性溶液理论中的经典论点（cf，例如[14]），（6.21）暗示^ζδ=ζo.结合（6.35）和以下事实： 依次求解第一个校正方程（3.19）yields0≥(2δ -δ） （Dξ）)E-4Dξ()4.xv+Lθ+（1）- δ） a（ζo，^ξδ）≥ Lθν（ζo）+（1）- δ） a（ζo）。这里，最后一个不等式直接来自δ∈ （0,1），引理4.1，（6.23），以及E-4.因为a（ζo）不依赖于δ，所以发送δ→ 0完成该职位的发布。6.3.3终端条件6.5。

假设假设满足假设3.3和A，那么*（ζ，θ（ζ））=u*（ζ，θ（ζ））=0，对于所有ζ∈ TD。证据根据定义，我们有*(ζ, θ(ζ)) ≥ U*(ζ, θ(ζ)) ≥ 因此，有必要向你展示*(ζ, θ(ζ))) ≤0，对于所有ζ∈ TD。相反，假设有（ζo，δ）∈ TD×（0，∞) 这样，随着θo:=θ（ζo）：u*（ζo，θo）≥ 5δ > 0. （6.42）步骤1：为vε提供一个测试函数ψε*以及vε的局部极小值*-ψε. 根据（6.4），存在（ζε，θε）ε>0 D×Rd使得（ζε，θε）-→ε→0（ζo，θo）和uε*(ζε, θε) -→ε→0件*（ζo，θo）。（6.43）假设沿着子序列，ζε∈ TD。然后，假设3.3和命题3.1中的终端条件与 ≥ 0（参见引理4.1）yielduε*（ζε，θε）=（uε）*-  o ξξ)(ζε, θε) ≤ 0，这与小ε的（6.42）相矛盾。因此，我们可以假定ζε∈ D<。（6.44）通过与命题6.3的证明类似的论证，假设（A1）和（A2）结合（6.42）和（6.43）使我们能够找到≥ α>0，co>0，ι>0，εo>0，这样，对于所有ε∈ （0，εo]：（ζε，θε）∈ 波，α，θε- θ(ζε)≤ δ/co和uε*(ζε, θε) ≥ 4δ,十五∧ (-二十五）≥ 2ι和 o ξξ≤ βα（6.45）uε上的δ*-βφ（·；ζε）<0在Bα上\\Bo，α，（6.46），其中Bα：=（Bα（ζo）∩ D） ×Bro（θo）以及bo，α：=n（ζ，θ）∈\'Bα：ζ∈\'Bα（ζo）和θ∈\'B\'ro（θo）o，\'φ：（ζ，θ；ζ′）∈ D×Rd×d7-→ 有限公司ζ -ζ′+θ - θ(ζ).通过E的积极不确定性和连续性-4结合假设（A1），存在γe>0，从而ξE-4ξxv（ζ）≥ γE |ξ|，对于所有ξ∈ Rd和所有ζ∈\'Bα。（6.47）另一方面，σ砂假设（A1）的连续性意味着‘γ>0，因此-ξσS二十五≤ \'γ|ξ|，对于所有ξ∈ Rd和所有ζ∈\'Bα。（6.48）因此，我们可以选择“φ足够大以满足”γ定义的恒定硬币- coγE≤ 0.（6.49）定义φε：（ζ，θ）∈ D×Rd7-→ δT- tT- tε+？（ζ，θ；ζε）。然后，通过假设（A1）和（6.44），函数ψε：=v- εφε是光滑的。

vε的低连续性*反过来，可以从（6.46）中得出，在Bα上，函数vε*-ψε有一个局部极小值（∧ζε，θε）∈ 波，αInt（Bα）。此外，通过（6.45），该最小值满足uε*(~ζε,~θε) ≥ δ、 重复导致（6.44）的参数，显示ζε∈ D<。第二步：总结证据。鉴于前面的步骤和假设3.3，我们-Lθε+Hεψε(~ζε,~θε) ≥ 0，对于所有ε∈ （0，εo）.通过构造ψε和因为（～ζε，～θε）∈\'Bα，可能减少εogives（～ζε，～θε）∈ {xψε>0}∩ {εx（φ+εwε）≤ ι所以（Ri）成立。因此，引理6.1产生-ξξεσSxxv+Lθφε-（Dθθφ）E-4Dθ′φ4ε十五-x′φ4(xv）（Dθθφ）E-4Dθ′φ+Rε(~ζε,~θε) ≥ 0，其中Rε（～ζε，～θε）一致有界于ε∈ （0，εo）。因此，通过假设（A1）和ψε的构造，存在一个与ε无关的常数C>0，从而：(-δT- tε-ξξεσS二十五-4co |ξξε|E-4|ξξε|4xv）（ζε，θε）≥ -C、 总之ε∈ （0，εo。）回想一下（ζε，εε）∈βα；因此，（6.47-6.49）收益率(-ξξεσS二十五-4co |ξξε|E-4|ξξε|4xv）（ζε，θε）≤ (γ - coγE）ξξε（＠ζε，＠θε）≤ 0.结果：δ/（T）- tε）≤ C、 总之ε∈ （0，εo）。注意ζois T的时间分量，因为ζo∈ TD。相比之下，ζε的时间常数为tε。对于小ε，这与（6.43）相矛盾，完成了证明。6.4 Eikonal方程本节致力于证明以下结果，这在证明我们的主要定理4.3时至关重要。提案6.6。假设假设假设3.3、（A1）和（A2）是满足的*(ζ, θ(ζ)) ≤ U*(ζ, θ) ≤ U*(ζ, θ) ≤ U*（ζ，θ（ζ）），对于所有（ζ，θ）∈ D×Rd.为了便于标注，定义为：（ζ，θ）∈ D×Rd7-→ -2.十五二十五ξξσS(ζ, θ). （6.50）根据假设（A1），这是一个非负光滑函数。引理6.7。假设假设满足假设3.3、（A1）和（A2）。

然后，你*还有“你”*分别是Eikonal方程（Dθu）的（不连续的）粘性子解和上解*)E-4Dθu*≤ n、 分别是（Dθu*)E-4Dθu*≥ n、 在D<×Rd.证明上。我们关注的是次解析属性；同样地得到了上解的性质。考虑（ζo，θo）∈ D<×Rd和平滑的functionа使得maxD<×Rd（严格的）（\'u*-~n）=（`u*-θ）（ζo，θo）=0。由“u”的定义*, 存在（ζε，θε）ε>0 D<×Rd，其中（ζε，θε）-→ε→0（ζo，θo），\'uε*(ζε, θε) -→ε→0\'u*（ζo，θo）和pε：=\'uε*(ζε, θε) - φ(ζε, θε) -→ε→00.（6.51）通过假设（A1）、（A2）和（6.51），有ro，εo，ι>0，使得2/ι≥ -二十五∧十五≥ ιon Bo，|pε|≤ 1 , (ζε, θε) ∈ Bro（ζo，θo）和b*:= sup{uε*(ζ, θ) : (ζ, θ) ∈ Bo，ε∈ （0，εo]}<∞,（6.52）式中，Bo:=B4ro（ζ，θo）。最后一个估计意味着d>0的存在，其中|ζ-ζε|+ |θ - θε|≥ d、 对所有人（ζ，θ）∈ Boandε∈ （0，εo。）另一方面，连续的φ产生1∨ sup{2+b*- φ(ζ, θ) : (ζ, θ) ∈ Bo}=:M<+∞, 所以我们可以选择一个常数≥ M/d>0，与ε无关。由此得出φε（ζ，θ）≥ 2+b*- ν（ζ，θ），适用于所有（ζ，θ）∈ Boandε∈ （0，εo]，（6.53）式中φε：（ζ，θ）∈ D×Rd7-→ 有限公司|ζ -ζε|+ |θ - θε|.现在，定义ψε：=v- ε（pε+ψ+φε）和Iε：=（vε）*- ψε）/ε。一方面，我们有iε（ζε，θε）=0。另一方面，通过定义pε，uε*, φε，以及（6.52）和（6.53）：Iε（ζ，θ）≥ 1代表所有（ζ，θ）∈ 波。通过Iε的上半连续性，可以得出Iε在Bo上允许一个内部极小值（ζε，θε）。此外，经典参数[14]显示（ζε，θε）→ （ζo，θo）asε→ 因此，假设3.3 imp中的粘性上解性质-（Lθε+Hε）ψε（ηε，θε）≥ 0，对于所有ε∈ （0，εo）。在可能降低εo>0后，我们得到xψε（△ζε，△ε）>0。

因此，引理6.1，φε的连续性，以及φε及其导数随ε消失的事实→ 0收益率-ξξσSxxv+εRε-（Dθ~n）E-4Dθθ4xφε(~ζε,~θε) ≥ 0，其中εRε→ 0为ε→ 0.发送ε→ 0依次给出-ξξσSxxv（ζo，θo）≥（Dθ~n）E-4Dθθ4xv（ζo，θo），它证实了所断言的粘度亚溶解特性。接下来，我们展示“u”*还有“你”*满足[14，定义7.4]：引理6.8中的广义终端条件。假设假设假设3.3、（A1）和（A2）满足，那么，\'u*还有“你”*分别是Minn’u的（不连续）粘度亚溶液和上溶液*- ξξkξξ；（Dθu*)E-4Dθu*- 不≤ 0，开TD×Rd和maxn\'u*-ξξkξξ；（Dθu*)E-4Dθu*- 不≥ 0，开TD×Rd证明。考虑（ζo，θo）∈ TD×Rd和平滑的function~n，使得0=（\'u*- θ）（ζo，θo）=maxD×Rd（严格）（\'u*- φ).假设存在δ>0，其中u*（ζo，θo）- ξξ（ζo，θo）k（ζo）ξ（ζo，θo）≥ δ. 重复命题6.5的论证，然后给出-ξξσSxxv（ζo，θo）≥（Dθ~n）E-4Dθθ4xv（ζo，θo），下面是亚固结性质。同样地得到了上解的性质。接下来，我们展示“u”*, “u”*如果ζ-变量是固定的，并且它们仅被视为θ-变量的函数，也可以求解Eikonal方程：引理6.9。假设假设满足假设3.3、（A1）和（A2）。那么，对于任何ζo∈ D<，函数θ7-→ “u”*（ζo，θ）和θ7-→ “u”*（ζo，θ）分别是（（Dθθθ）E-4Dθ~n=n，在Rd\\{θ（ζo）}，θ≥ “u”*（ζo，·）（分别为。≤ “u”*（ζo，θ（ζo）），在{θ=θ（ζo）}上。对于任何ζo∈ TD，函数θ7-→ “u”*（ζo，θ）和θ7-→ “u”*（ζo，θ）分别是minn\'u的粘度亚溶液和上溶液*（ζo，·）- ξξk（ζo）ξ（ζo，·），（Dθu*)E-4（ζo）Dθu*（ζo，·）- n（ζo，·）o≤ 0，最大*（ζo，·）- ξξk（ζo）ξ（ζo，·），（Dθu*)E-4（ζo）Dθu*（ζo，·）- n（ζo，·）o≥ 0.证明。

我们主要研究ζo在Rd\\{θ（ζo）}上的粘性上解性质∈ D<；其他性质要么是明显的，要么是类似的（比较引理6.8）。修正任意ζo∈ D<，并考虑光滑函数θ和θo∈ Rd\\{θ（ζo）}使得0=\'u*（ζo，θo）- θ（θo）=minRd\\{θo}（严格的）（\'u*（ζo，·）- φ(·)). （6.54）每n∈ N、 定义ψN：（ζ，θ）∈ D×Rd7-→ φ(θ) -n |ζ-ζo|和In:（ζ，θ）∈ D×Rd7-→ “u”*(ζ, θ) - ψn（ζ，θ）。根据引理6.2，有ro>0和bo≥ 0表示“u”*≥ -bo，on bo，（6.55），其中bo：=(R)Bro（ζo，θo）和ROI的选择使bo D<。通过波的紧致性和In的低连续性，有（ζn，θn）∈ 每一个n对应一个n∈ N.此外，还存在（ζ*, θ*) ∈ （ζn，θn）→ (ζ*, θ*) 作为n→ +∞, 可能是沿着一个子序列。现在，一方面，In（ζn，θn）在bo上的最小值是In（ζn，θn）≤ In（ζo，θo）=u*（ζo，θo）- θ（θo），它是有限的，不依赖于n。另一方面，如果ζ*6=ζo，（6.55）表示（ζn，θn）→ +∞ 作为n→ +∞. 因此，ζ*= ζo.现在，观察“u”*（ζo，θo）- θ（θo）=In（ζo，θo）≥ In（ζn，θn）表示“u”*（ζo，θo）- θ（θo）≥ 林恩芬→+∞In（ζn，θn）≥ “u”*（ζo，θ）*) - φ(θ*).因此θ*= θoby（6.54）中严格的最小属性。因此，（ζn，θn）∈ Int（Bo）表示足够大的n，通过构造，（ζn，θn）是In的局部最小值。引理6.7依次产生（Dθψn）E-4Dθψn（ζn，θn）≥ n（ζn，θn）。因此，发送n→ +∞ 在从引理4.1中回顾n是连续的之后，最终证明了断言。鉴于引理6.9和P位置6.5定义，对于每个ζ∈ D、 Rd的以下子集：Oζ*:=nθ∈ Rd:（Dθu）*)E-4Dθu*(ζ, θ) ≤ n（ζ，θ）o\\{θ（ζ）}，oζ*:=nθ∈ Rd:（Dθu）*)E-4Dθu*(ζ, θ) ≥ n（ζ，θ）o\\{θ（ζ）}。（在这里，不平等必须从正统意义上理解。）按结构，\'u*还有“你”*都是粘度低的。Eikonal方程的上解E-4Dθ~n（ζ，·）=n（ζ，·），在Oζ上*响应。Oζ*.

从引理6.9的第一部分观察到∈ D<（即，在终端时间之前），我们有以下简化：Oζ*= Oζ*= Rd\\{θ（ζ）}，或等效（Oζ）*)c=（Oζ）*)c={θ（ζ）}。因此，我们对所有ζ进行了以下估算∈ D<：\'u*(ζ, ·) ≤ “u”*(ζ, θ(ζ)) + ξξ(ζ, ·)k（ζ）ξ（ζ，·），on（Oζ）*)c、 “u”*(ζ, ·) ≥ “u”*(ζ, θ(ζ)) + ξξ(ζ, ·)k（ζ）ξ（ζ，·），on（Oζ）*)c、 （6.56）对于ζ∈ TD，Oζ的这种简化*或Oζ*没有。然而，结合引理6.9的第二部分和命题6.5，我们发现（6.56）适用于所有ζ∈ TD也是如此，因此f或所有ζ∈ D.对于以后的美国，也要注意以下几点。对于任何ζ∈ D、 我们有θ（ζ）/∈ Oζ*∪ Oζ*. 因此，假设（A1）和σSσ的椭圆度对于函数n定义的以下估计值（6.50）：n（ζ，θ）>0对Oζ*∪ Oζ*.现在引入，对于任何ζ∈ D、 算子hζ：（θ，r，q）∈ Rd×R×Rd7-→ -n（ζ，θ）r+qE-4（ζ）q.同样，对于M>0，C类-负函数→ R从下面以-然后我们可以对ζC的性质进行比较-M：引理6.10。假设假设（A1）满足任何ζ∈ D、 设Oζ是rdf的子集，其中n（ζ，·）>0在Oζ上，设v1ζ，v2ζ，v3ζ∈ C-M（对于某些M>0）为下半连续、光滑和上半连续函数，满足（在粘度意义上为v1ζ和v3ζ）：Hζ（·v1ζ，Dθv1ζ）≥ 0，Hζ（·v2ζ，Dθv2ζ）=0，Hζ（·v3ζ，Dθv3ζ）≤ 0，在Oζ上。（6.57）如果v1ζ≥ v2ζ≥ v3ζ在Rd\\Oζ上，我们有v1ζ≥ v2ζ≥ v3ζ在Rd证明上。固定ζ∈ D，为了清晰起见，将其从符号中删除。我们关注的是不平等v≥ 五、另一个类似地得到。对于引理陈述中的vand vas，假设有θ∈ O和α>0，使得v（θ）- v（θ）≤ -α<0，（6.58）并朝着一个矛盾的方向努力。

选择β∈ C∞（Rd），满足0≤ β ≤ 对于所有x，β（0）=1，Dθβ（0）=0和β（x）=0∈ Rd\\\'B（0）和定义，对于所有η>0：Φη：θ∈ Rd7-→ （五）- 五、- 2Mβη（·-其中βη（x）：=β（x/η）。由C-对于βη的有界性，我们已经研究了Φη>-∞. 因此，对于每个δ>0，就有θδ∈ Rd使得φη（δ）≤ infdΦη+δ。（6.59）选择一个函数χ∈ C∞（Rd）令人满意的0≤ χ ≤ 1，χ（0）=1，如果|x |>1，则χ（x）=0，以及|Dθχ|≤ c、 对于与δ无关的常数c>0。对于每个δ>0，设χδ：=χ（·- θδ）那么，对于所有δ>0:0≤ χδ≤ 1，χδ（θδ）=1，如果|θ，则χδ（θ）=0- θδ|>1和Dθχδ|≤ c、 现在确定，对于每个η，δ>0:ψη，δ：θ∈ Rd7-→ (Φη- 2Δχδ）（θ）=（v- 五、- 2Mβη（·-θ) - 2δχδ)(θ).一方面，（6.59）反过来使我们能够推断，对于所有η，δ>0，ψη，δ（δ）=Φ（δ）- 2δ ≤ infRdΦη- δ<infdΦη。另一方面：ψη，δ（θ）=Φη（θ）≥ 总的来说，信息θη∈ 因此|θ- θδ|> 1.因此，ψη，δ的下半连续性产生了我们可以找到一个最小序列（^θη，δ）η，δ>0的ψη，δ。此外，χδ≥ 0，（6.58），定义ψη，δ得到ψη，δ（^θη，δ）≤ Ψη,δ(θ) ≤ -α - 200万。（6.60）Asβ，χδ≤ 1.由此得出（v）-v） （η，δ）≤ -α+2δ<0，对于所有δ<α/2。因此，ηδ∈ 对于这么小的δ。作为v，v∈ C-Mandχδ≤ 1,Ψη,δ(^θη,δ) ≥ -M- 2Mβη（δ）-θ) - 2δ.再加上（6.60），这就得到了2mβη（δ）-θ) ≥ M- 2δ>0，对于所有（η，δ）∈ (0, ∞) ×（0，M/2）。通过βη的定义，进而得出βη，δ∈\'Bη（\'θ）f或全部（η，δ）∈ (0, ∞) ×（0，M/2）。因为ηδ∈ O、 （6.57）总产量（η，δ）∈ (0, ∞) ×（0，M/2）∧ α/2）：H（·，v，Dθ（v+2Mβη（·）-θ) + 2δχδ))(^θη,δ) ≥ 0和H（·，v，Dθv）（^η，δ）=0。当O上的n>0时，这将给出[（v）- （v） [（η，δ）-[D]θE-4Dθ(^θη,δ)]- [D]θvE-4Dθv（^η，δ）]n（^η，δ）≤ 0，与 := （v+2Mβη（·-θ) + 2δχδ). 正如我们在上面看到的，ηδ∈\'Bη（\'θ），存在\'θη∈\'Bη（\'θ），使得^η，δ→ηasδ→ 0，可能沿着一个序列，依次为η→θasη→ 0

因此，考虑到假设（A1），vand及其梯度的连续性，Dθβ（0）=0和|Dθχδ|≤ c在不考虑δ的情况下，在发送第一个δ后得到以下极限：→ 0然后η→ 0:lim infδ，η→0（v）（η，δ）- （v） （θ）≤ 0.因为θ7-→ （v） （θ）是下半连续的，它跟在（v+v）（v）后面- v） （θ）≤ 0，Asv+v<0，因为v，v∈ C-M、 这与（6.58）相矛盾，从而证明了这一论断。现在，为了所有人（ζ，θ）∈ D×Rd，定义映射“u”*,“u”*,~u*,~u*: D×D→ R如下所示：\'u*(ζ, θ) = -E-“u”*（ζ，θ）u*（ζ，θ）=-E-（‘u’*(ζ,θ(ζ))+ξξ（ζ，θ）k（ζ）ξ（ζ，θ）），u*（ζ，θ）=-E-“u”*（ζ，θ）u*(ζ, θ) = -E-（‘u’*(ζ,θ(ζ))+ξξ（ζ，θ）k（ζ）ξ（ζ，θ））。我们可以很容易地证明，变量的这种变化产生了引理6.10中Eikonalequation的有界解，对于引理6.10：引理6.11，比较原理适用于有界函数类。假设假设满足假设3.3、（A1）和（A2）。那么，对于所有ζo∈ D、 映射“u”*（ζo，·），~u*（ζo，·），\'u*（ζo，·），和*（ζo，·）分别是Hζo（·u）的粘度溶液、经典溶液、粘度上溶液和经典溶液*, Dθu*) ≤ 0，Hζo（·u）*, Dθu*) = 0，关于OζO*,Hζo（·u）*, Dθu*) ≥ 0和Hζo（·u）*, Dθu*) = 0.关于OζO*.此外，“u”*=~u*关于（OζO）*)坎德·u*=~u*关于（OζO）*)c、 综合前面的所有结果，我们现在可以证明命题6.6：命题6.6的证明。首先从（4.1）、（4.2）和“u”的定义中观察*还有“你”*那个-1.≤“u”*≤“u”*< 0，所以“u”*,“u”*∈ C-. Lemmata 6.10和6.11依次得出，对于任何（ζ，θ）∈ D×Rd:~u*(ζ, θ) ≤“u”*（ζ，θ）和“u”*(ζ, θ) ≤~u*(ζ, θ).作为“u”*≤“u”*根据定义，这会产生“u”*(ζ, θ(ζ)) + ξξ（ζ，θ）k（ζ）ξ（ζ，θ）≤ “u”*(ζ, θ) ≤ “u”*(ζ, θ) ≤ “u”*(ζ, θ(ζ)) + ξξ（ζ，θ）k（ζ）ξ（ζ，θ）。提案6.6现在来自美国的定义*你呢*在（6.3）中。

7假设的充分条件在本节中，我们为抽象假设a提供了一组充分条件，在这个抽象假设a下，我们的主要定理4.3成立。这些充分条件是验证定理的典型条件（比较，例如[57]），可以在具体模型中轻易验证，见第8节。此外，在这些条件下，定理4.7中的策略在小p riceimpact成本的领先顺序下确实是最优的。自始至终，我们假设给出了无摩擦值函数和相应的最优策略θ。功能VSaties十五∨(-xxv）>0，是无摩擦DPE（3.3）的经典C1,2-解。策略θ具有一阶条件（3.5）的特征，属于C1,2。特别是，假设（A1）满足任何正函数f:D→ R、 我们用cfg表示由fin控制的函数类g，其意义如下（这里，D表示D）：lim supζ的空间边界→D | g |（ζ）1+|f |（ζ）=0。（7.1）使用该符号，假设A有效性的充分条件如下：假设B。（B1）存在一个非负函数χ∈ C1,2令人满意-D<上的Lθχ>0；（B2）存在第二修正方程（3.20）的经典C1,2-解^u，其中：，) 是引理4.1中第一个修正方程（3.19）的解；（B3）^u和通过概率表示（4.5）定义的函数u属于Cχ；（B4）反馈策略θε（ζ，θ）：=-[E]-4Dξ] o ξξε(ζ, θ)2εxv（ζ）=E-2（E）-2σSσ东南方-2） 1/2Eε(-2.十五/xxv）1/2（ζ）×θ（ζ）- θ），从定理4.7是一个容许控制。（B5）集^vε：=v- ε^u- ε o ξξε.

对于每一个ε>0，就有一个函数γε，使得| vε|≤ γεonD×R，对于所有（ζ，θ，ε）∈ D×R×（0，∞):监督≤R≤Tγεr、 Sζr，Yζr，Xζ，θ，εr，θt，θ，εr∈ L.如果经典无摩擦验证定理适用，则这些假设是满足的，参见[57]及其引用。特别是，它们通常存在于可以显式求解的具体模型中。（B6）余数RεLof引理6.1，计算ψε=^vε，满足：EZTtRεL+~Rr、 Sζr，Yζr，Xζ，θ，εr，θt，θ，εr博士≤ εβ（ζ，θ），对于某些连续函数β：D×Rd→ R、 其中，对于所有人（ζ，θ）∈ D×Rd:~R（ζ，θ）：=[（Dξ）)E-4Dξ] o ξξ4(十五）^u- xθDξ o ξξ+ 十、 o ξξ(ζ, θ).备注7.1。假设（B5）需要假设（B4）中候选策略的额外可积性。这使我们能够在下面命题7.2的证明中的验证论证中，沿着局部停止时间序列应用支配收敛。在假设（B6）下，渐近展开的剩余部分可以沿着候选几乎最优策略控制。实际上，这个余数是ε级的，这不仅使我们能够恢复假设（A2），而且还可以证明所提出的策略在主导顺序O（ε）下是最优的。在具体环境中，这两个假设可以通过对驱动假设（B4）控制˙θε的差异的估计来验证，比较第8节。提议7.2。假设B意味着假设（A2）、假设（A3），其中C=Cχ和U*= U*= u=^u.证明。第一步：证明假设（A2）。Fix（ζ，θ，ε）∈ D<×Rd×（0，∞), 设置（X，θ）：=（Xζ，θ，ε，θt，θ，ε）和Υ：=（Sζ，Yζ，Xζ，θ，ε，θt，θ，ε）以简化符号，并定义停止时间τεn:=t∧ inf{u≥ t:Υu/∈ Bn（ζ，θ）}，n≥ 1.通过v，θ的光滑性和假设（B2），我们得到了^vε∈ C1,2（D×Rd）。

It^o在Turns中的公式得出^vε（ζ，θ）=E^vετεn，Υτεn-ZτεntLθεvε+ε[（Dξ)E-4Dξ] o ξξε4xv+εR（u，Υu）du.根据引理6.1，Lθ^vε（ζ，θ）=Lθv+εξξεσS二十五- Lθ^u-TrcθDξ o ξξε+^RεL(ζ, θ).现在，对v使用无摩擦DPE（3.4），对^u使用第二修正方程（3.20）（根据假设（B2）），并定义 （参见引理4.1），获得^vε（ζ，θ）=E^vετεn，Υτεn- εZτεnt^RεL+~Rε（u，Υu）du≤E^vετεn，Υτεn+ εβ（ζ，θ），其中等式遵循fr om（B6）。根据（B5）和终端条件^u（T，·）=0，支配收敛依次产生^vε（ζ，θ）≤ 埃胡Xζ，θ，εT- U′（Xζ，θ，εT）P（T，ΥT）i+εβ（ζ，θ）≤ vε（ζ，θ）+εβ（ζ，θ），（7.2）as n→ ∞. 这里，最后一个不等式来自财富过程Xζ、θ、ε的可容许性（参见假设（B4））和摩擦值函数的定义（2.6）。通过（4.1）中uε的定义，（7.2）给出了uε（ζ，θ）≤ （^u+εβ+ o ξξ)(ζ, θ). （7.3）假设（A2）依次来自^u、β和.第二步：证明假设（A3）成立，然后*= U*= u=^u.让^u∈ C1,2（D）∩ Cχ是（3.20）的经典解，让u∈ Cχ（分别为u∈ Cχ是（3.20）such thatu的较低（分别为上）半连续粘度上解（分别为下解）≥ ~u≥ uonTD。我们证明≥ ~u on D；不平等≤ uis也获得了类似的结果。相反，假设存在^ζ∈ D<因此（u- ~u）（^ζ）<0。如果κ>0足够小，我们就有（u- ~u+κχ（^ζ）<0。此外，正如（7.1）中Cχ的定义所暗示的（u- 在D的空间边界附近，u+κχ>0，因此存在ζκ∈ 我就是这样想的- ~u+κχ）=（u- ~u+κχ）（ζκ）≤ （u）- ~u+κχ（^ζ）<0。作为你≥ ~u onTD，ζκ∈ TD意味着χ（ζκ）<0，这与χ相矛盾≥ 0英寸（B1）。因此，ζkis是u的内部最小值- （~u）- κχ），以及ugives的粘度上解性质-Lθ（~u）- κχ)(ζκ) ≥ A.

因为u是-Lθu=a，它在Lθχ处跟随th≥ 0，这与（B1）相矛盾。因此，美国≥ 如所述，u在D上。将（7.3）应用于任何子类（ζε，θε）并使用^u∈ Cχ（cf（B3））产生u*, U*∈ Cχ。由于经典解^u也是（3.20）的粘性解，命题6.3、6.4和上面建立的比较结果表明*≥ ^u≥ U*. 作为你*≥ U*根据定义，这表明^u=u*= U*.（4.5）中定义的功能是局部扩展的，因为∈ Cχ和χ∈ C1,2。因此，u是（3.20）的粘性解，其如下所示：u=^u=u*= U*. 作为推论，我们得到了第二个主要结果，定理4.7：推论7.3。在假设3.3和B下，（B4）中定义的投资策略˙θε在前导顺序O（ε）处是最优的。也就是说，对于D×rd的每个紧致子集B和ε>0，都有一个常数KεB>0，使得KεB→ 0为ε→ 0和vε（ζ，θ）-εKεB≤ 埃胡Xζ，θ，εT- U′（Xζ，θ，εT）P（T，SζT，YζT，Xζ，θ，εT）i，对于所有（ζ，θ）∈ B和ε>0，其中（Xζ，θ，ε，θt，θ，ε）定义为（B4）。证据在命题7.2的证明中，我们展示了（7.2）：v（ζ）- εu（ζ）- ε o ξξ(ζ, θ) - εβ(ζ, θ) ≤ 埃胡Xζ，θ，εT- U′（Xζ，θ，εT）P（T，SζT，YζT，Xζ，θ，εT）i。因此，这一推论源自定理4.3中所示的Uλ的局部一致收敛。8例在本节中，我们展示了如何在具体环境中验证我们的所有技术假设。为了清晰起见，我们不追求最小的假设。自始至终，我们考虑一个具有指数效用函数的投资者-E-ηx对于常数绝对风险规避η>0.8.1投资组合选择，我们首先关注一个投资组合选择问题。

有一种单一的风险资产，其动态系数=uS（Yt）dt+σS（Yt）dWt，由一维自主差异驱动：dYt=uY（Yt）dt+σY（Yt）dρWt+p1-ρWt.这里，W=（W，W）是二维标准布朗运动ρ∈ [-1,1]，以及映射uS，uY，σS，σY:r7-→ R all有界且光滑，具有所有阶的有界导数，且波动率σS，σyar有界远离零。然后，Y和S都得到了很好的定义，其结果类似于[59]中的无摩擦值函数和无摩擦DPE的经典解，在这种情况下，它可以转化为线性一致抛物方程。asv（vce）=写入的vce值-ηxw（t，y），（8.1），相应的最优策略由θt=θ（t，Yt）=uS（Yt）ησS（Yt）+ρσy（Yt）ησS（Yt）给出yw（t，Yt）w（t，Yt）。与[59，定理3.1]类似，我们验证了w，θ也是有界且光滑的，具有所有阶的有界导数。特别是，第7节中对无摩擦问题的所有正则性假设都是满足的。此外，根据Novikov的条件和Girsanov的定理xv（t，Yt，Xθt）/xv（0，y，x）是等价鞅测度eq的密度过程，eq是优化问题的对偶极小值。现在，考虑恒定的线性价格影响，∧t=λ=ε>0。然后，我们所有的技术假设成立，我们得到以下结果：定理8.1。在第8节的设置中，假设3.3和B得到满足，因此定理4.3和7.3适用。因此，以反馈形式给出了一个具有小恒定价格影响∧t=λ=ε的领先订单最优策略，即˙θεt=rησS（Yt）2ε（θt）- θεt）。

（8.2）值函数的相应一阶修正如下：vε（t，y，x，θ）=vt、 y，x- CE（t，y，θ）+ o（ε），式中ce（t，y，θ）=ε√2η情商ZTtyθ（Yt，yr）σy（Yt，yr）σS（Yt，yr）博士+ σS（y）（θ（0，y）-θ).该规范允许可预测的回报，如[17,43,23,22,13]所示。为了确保arigorous验证定理具有足够的可积性，我们通过假设所有系数的有界性来截断状态变量的大值。非线性动力学和随机波动性可以轻松处理。对于w来说，这是由相应的Feynman-Kac表示法得出的。由于所有的系数都是平滑的，因此可以将偏微分方程与wand的所有导数进行类似的区分。证据由于指数效用不需要状态约束，（弱）动态规划，而摩擦值函数的粘性解性质（假设3.3）可以按照Bouchard和Touzi[11]的思路推导。现在让我们验证假设B。首先，请注意，由于所有系数函数的有界性和光滑性，它遵循f-rom支配收敛和it^o公式，即概率表示（4.5）是第二修正方程（3.20）的经典解。特别是，（B2）是满意的。接下来，我们很容易验证（B1）和（B3）也适用于χ（t，y，x）=e-在E-y+y+v（t，y，x）, 如果选择足够大的。（8.2）中的反馈策略˙θε意味着风险股的相应数量θε解（随机）线性方程。因此，它由θt，θ，ε=e显式给出-R·t√ησS（Yr）/2εdrθ+Z·t呃√ησS（Ys）/2εdsqησS（Yr）/2εθ（r，Yr）博士.因此，θε定义良好且一致有界。因此，相应的财富过程（2.5）也得到了很好的定义，相应的效用（2.7）可通过Novikov条件和θε、θ、us和σs的有界性进行积分。