扩展信用风险的精算应用与估计$^+$

2022-5-8 05:45:05

精算应用和扩展信用风险估计+乔纳斯·赫兹、乌韦·施莫克和帕维尔·V·舍甫琴科摘要。潜在死亡原因的联合建模和预测。死亡率趋势的参数家族可以自由选择。随着模型设置变得高维，马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）被用于参数估计。然后，我们将我们提出的模型链接到信用风险模型CreditRisk+的扩展版本。这允许通过有效的数值可调Panjer递归算法进行精确的风险聚合，并在信贷、人寿保险和年金投资组合中提供了大量应用，以推导损益分布。此外，该模型允许准确（无蒙特卡罗模拟误差）计算风险度量及其对P&L分布模型参数（如风险价值和预期短缺）的敏感性。本文给出了许多例子，包括Solvency II下使用澳大利亚和澳大利亚数据的部分内部模型的应用。内容1。导言22。另一种随机死亡率模型42.1。基本定义和符号42.2。一些经典的随机死亡率模型42.3。一个加性随机死亡率模型53。参数估计83.1。最大似然估计83.2。通过最大后验概率方法进行估计103.3。通过MCMC 123.4进行估算。通过矩匹配进行估计134。应用154.1。潜在死亡原因预测154.2。预测死亡概率185。扩展CreditRisk+模型和应用程序225.1的链接。ECRP型号22日期：2017年5月3日。关键词和短语。随机死亡模型；扩展信用风险+；风险聚合；部分内部模型；死亡风险；长寿风险；马尔可夫链蒙特卡罗。J

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2022-5-8 05:45:08

Hirz感谢澳大利亚政府通过2014年奋进研究奖学金，以及Oestreichische国家银行（周年基金，项目编号：14977）和算术提供的财政支持。P.V.舍甫琴科衷心感谢CSIRO莫纳什退休金研究集群的财政支持，该集群是CSIRO、莫纳什大学、格里菲斯大学、西澳大利亚大学、沃里克大学和退休系统利益相关者之间的合作，旨在为所有人带来更好的结果。arXiv:1505.04757v7[q-fin.RM]20172年4月30日J.HIRZ、U.SCHMOCK和P.V.SHEVCHENKO5。2.应用I：死亡风险、寿命风险和偿付能力II应用255.3。应用二：投资组合265.4中某些健康情景的影响。应用三：预测中心死亡率，并与Lee-Carter模型265.5进行比较。考虑风险285.6。通用型和替代型306。模型验证和模型选择306.1。通过互协方差306.2进行验证。通过独立性316.3进行验证。通过序列相关性进行验证316.4。通过风险因素实现进行验证326.5。型号选择327。结论32参考文献331。引言随着当前的低利率环境迫使保险公司更加关注生物特征风险，适当的死亡率随机建模变得越来越重要。偿付能力II等新监管要求允许使用内部随机模型，该模型针对不同的风险源对资本进行更为敏感的风险评估。

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能者818

2022-5-8 05:45:11

对于使用精算工具（如内部模型）的公司来说，收益主要取决于准确性。保险公司通常使用确定性建模技术，然后添加专门的风险保证金，以考虑与寿命、投资组合规模和公司相关的风险。推导大型信贷、人寿和养老金投资组合的损益分布通常是一种方法，因为它很容易在所有不同类型的随机环境中实现。然而，它在精确度和速度方面存在缺陷，尤其是在计算模型灵敏度方面。在数值试验的推动下，我们发现信用风险+[Schmock（2017），第6节]是蒙特卡罗的一个非常有效且灵活的替代方案，同时也适用于寿险精算设置。来自信用风险，常见的随机风险因素。ECRP模型依赖于Panjer递归（参见[Sundt（1999）]，与蒙特卡罗不同，Panjer递归不需要模拟。它允许一个高效的实现，在给定输入数据和与离散化相关的选定粒度的情况下，精确推导P&L分布。关于模型参数的风险度量衍生敏感性（即衍生工具）的速度2017。精算应用和扩展信用风险的估计+难以通过蒙特卡罗有限差分计算。此外，在第2节中，我们介绍了一个加性随机死亡率模型，该模型与[Cairns et al.（2009）]中讨论的Lee和Carter（1992）模型有关。它允许基于泊松假设对潜在的随机死亡原因进行联合建模，如[Wilmoth（1995）]和[Booth and Tickle（2008）]中所述，其中依赖性是内在的。然而，由于高维性，死亡原因的联合建模可能会产生计算问题，这就是为什么这方面的文献很少。

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大多数88

2022-5-8 05:45:14

[Alai等人（2015年）]研究了大量文献综述和用于死亡原因联合建模的多项式逻辑模型。给出合适的死亡率数据，在第3节中，我们提供了几种估计模型参数的方法，包括矩匹配、最大后验概率法和最大似然法以及马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）。死亡和人口数据通常可以在ZF网站或统计局免费获得。由于问题的高维性，我们建议将其用于具有常见随机风险因素的环境。然而，模型参数的估计通常不需要经常进行。我们建议采用李-卡特方法。然而，我们的方法允许使用任何其他类型的参数族，因为MCMC非常灵活。在第4节中，我们估计了澳大利亚死亡数据的模型参数，并对影响进行了估计。进一步的应用包括预测中心死亡率和预期未来寿命。在第5节中，我们接着介绍了ECRP模型，见[Schmock（2017），第6节]，这是一个集体风险模型，与我们提出的信贷组合随机分布一一对应，起源于[credit Suisse First Boston（1997）]引入的经典credit risk+模型。在信用风险模型中，它被归类为泊松混合模型。用死亡来识别违约使得该模型完全适用于精算应用。Extended CreditRisk+为建模多级依赖关系提供了灵活的基础，并允许快速且数值稳定的风险聚合算法。在ECRP模型中，死亡由独立的随机风险因素驱动。每个保单的死亡人数作为单一死亡真实案例的近似值，每个人可以在一段时间内多次死亡。

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2022-5-8 05:45:17

然而，如[Barbour et al.（1992）]或[Vellaisami and Chaudhuri（1996）]以及其中的参考文献所示，在适当的参数缩放下，近似值非常好，最终损失分布由于泊松近似而准确。例如，ECRP模型与（混合）泊松4 J.HIRZ、U.SCHMOCK和P.V.Shevchenko的闭合。ECRP模型的另一个巨大优势是，它自动整合了许多不同的风险来源，如趋势、统计波动性风险和参数风险。第6节简要说明了验证和模型选择技术。模型验证方法基于之前定义的依赖性和独立性结构。所有测试都表明，该模型适合澳大利亚的死亡率数据。2.另一种随机死亡率模型2。1.基本定义和符号。根据标准精算符号和定义，[Pitaco et al.（2009）]或[Cairns et al.（2009）]，letTa，g（t）表示一个人年龄的剩余寿命的随机变量∈ {，，…，A}，最大年龄A∈ N、还有根德格∈ {m，f}时/年∈ N.生存与τ≥τpa，gtPTa，gt>τ和τqa，g（t）=P（Ta，g（t）≤ τ）分别为。为了便于注释，我们写下qa，g（t）：=qa，g（t）。确定性死亡力（随机情况的理论也可用）aτgatua+τ，gt-τlogτpa，gtaat时间t和性别g由致命力的加权平均值给出，g（t）：=Rspa，g（t+s）ua+s，g（t+s）dsRspa，g（t+s）ds=qa，g（t）Rspa，g（t+s）ds≈qa，g（t）1- qa，g（t）/2。如果ua+s，g（t+s）=对于所有0≤ s<1和a，t∈ 恩维萨≤ A、即，低于MA、gtuA、gtqa、gt1- 经验(-ma，g（t））。LetNa，g（t）表示年龄A和性别A的记录死亡人数，以及年龄A和性别A的平均人数，g（t）表示风险暴露。

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2022-5-8 05:45:21

后者通常可以从人口普查欠计和移民等组件中检索到）arek，k是直接导致死亡的一系列疾病事件的始作俑者，letNa，g，k（t）表示每年因死亡原因而记录的实际死亡人数（Agna，gtNa，g，0t··Na，g，k和相关健康问题）在许多国家都可以找到死亡计数。澳大利亚的这些数据可在澳大利亚健康与福利研究所（AIHW）找到，该研究所按ICD-9和ICD-10.2.2分类。一些经典的随机死亡模型。我们从一个简单的模型开始，假设年龄a和性别a的人的年死亡率分布为Na，g（t）~ 泊松（Ea，g（t）ma，g（t））。在这种情况下，最大死亡人数，gtbNa，gt/Ea，gtbNa，g（t）是实际记录的死亡人数。文献中考虑的基准随机死亡率模型是传统的Lee–Carter模型[Lee and Carter（1992）]，其中对数中心应用和扩展信用风险+死亡率的估计采用对数bma，g（t）=αa，g+βa，gκt+εa，g，tεa，g，tκt，以及年龄和性别参数αa，和βa，g、使用合适的正态化，这些参数和κtca的估计值可以通过Kainhofer等人（2006）第4.5.1节得出。然后，可以通过对κt应用自回归模型来获得预测。请注意，[Fung et al.（2017）]和[Fung et al.（2015）]通过使用MCMC的状态空间框架，提供了Lee-Carter模型中参数和潜在因子κ的联合估计。文献中提出了这一经典方法的各种扩展，包括多个时间因素和队列成分；有关综述，请参见[Cairns et al.（2009）]。Carter方法[Brouhns et al.（2002）]提出通过泊松回归对死亡计数进行建模，其中错误项由有毒随机变量代替。

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2022-5-8 05:45:24

在这种情况下，na，g（t）~ 泊松（Ea，g（t）ma，g（t）），其中，在最简单的情况下，log ma，g（t）=αa，g+βa，gκt。相应地，假设我们想要预测不同潜在死亡原因k的中心脱色物，自然假设a，g，k（t）~Poisson（Ea，g（t）ma，g，k（t）），其中log ma，g，k（t）=αa，g，k+βa，g，kκk，t。然而，在这种情况下，不难看出ma，g，0（t）+··+ma，g，k（t）=ma，g（t），一般来说，因此[Na，g（t）]6=KXk=0E[Na，g，k（t）]Na，gt~ 泊松Ea，gtma，g，0t·ma，g，Kt澳大利亚75-79岁人口的失业率从1987年到2011年翻了一番），预测呈指数增长，未来将超过1。鉴于这一缺陷，我们将引入一个加性随机死亡率+[Schmock（2017）]2.3。一个加性随机死亡率模型。为了能够模拟不同的死亡原因，或者更一般地，显示一些常见死亡行为的不同协变量（然而，我们将限于本文中的第一种情况），t，Ktwa，g，KT不同的风险因素，其中满意度wa，g，0（t）+·+wa，g，K（t）=1。持有者。如果风险系数∧k（t）取大值或小值，则所有保单持有人的死亡可能性分别同时增加或减少，wa，g，Kagt，这对预测死亡原因特别重要。举个实际例子，假设有一种新的、非常有效的癌症治疗方法可用，因此死于肺癌的人数会减少。这种情况将对所有6名J.HIRZ、U.SCHMOCK和P.V.Shevchenko保单持有人产生长期影响。这样的情况将对应于肿瘤的风险因素显示出很小认识的情况。定义2.2（加性stoch.mort.模型）。给定风险因素∧（t），具有单位均值和方差σ（t）的∧K（t），σK（t），假设，g，K（t）~ 泊松Ea，g（t）ma，g（t）wa，g，k（t）∧k（t）, k=1。

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2022-5-8 05:45:27

假设K=0的特异性死亡a，g，0（t）与所有其他随机变量相互独立，如na，g，0（t）~ 泊松Ea，g（t）ma，g（t）wa，g，0（t）.正确地向上，即，假设e[Na，g（t）]=Ea，g（t）ma，g（t）=Ea，g（t）ma，g（t）KXk=0wa，g，k（t）=KXk=0E[Na，g，k（t）]为e[λk（t）]=1。备注2.3。在应用中，如果k=0，用更现实的二项式假设a，g，0（t）代替泊松假设是可行的~ 二项式Ea，g（t），ma，g（t）, 如第4.2节所述，用于说明。备注2.4。如果风险因素是独立的且呈伽马分布（如+Na，g，k二项分布。然后，死亡的方差由var（Na，g，k（t））=Ea，g（t）ma，g（t）wa，g，k（t）（1+Ea，g（t）ma，g（t）wa，g，k（t）σk（t））给出，σk（t）表示∧k（t）的方差。类似地，对于所有a6=aor g6=g，Cov（Na，g，k（t），Na，g，k（t））=Ea，g（t）Ea，g（t）ma，g（t）ma，g（t）wa，g，k（t）wa，g，k（t）wa，g，k（t）σk（t）。（2.5）该结果将在第6节中用于模型验证。类似的结果也适用于具有相关风险因素的更一般模型，见[Schmock（2017），第6.5节]。为了说明死亡率的改善和死亡原因随时间的变化，我们引入了以下时间相关的参数族，用于预测趋势。与李-卡特模型类似，我们可以简单地考虑对数死亡率的线性下降。然而，由于随着时间的推移，这会导致死亡率下降或爆炸式增长，因此我们选择了更复杂、具有趋势减少功能的类别。

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nandehutu2022

2022-5-8 05:45:32

首先，为了保证数值在单位区间内，让flapdenote使用均值为零且方差为2的拉普拉斯分布函数，即FLap（x）=+符号（x）1.- 经验(-|x |）, 十、∈ R，因此，对于x<0，表达式的两倍变成指数函数。确保权重和死亡概率严格为正→ ∞,我们使用趋势减少/加速技术*ζ、 η（t）=ηarctan（η（t）- ζ）），（2.6）和参数（ζ，η）∈ R×（0，∞) 安德特∈ R、受[Kainhofer et al.（2006）的启发，扩展信用风险+η的实际应用和估计很小，这说明了与Lee–Carter模型的密切联系。为了使估计更稳定，我们建议使用正态分布tζ，η（t）=（t*ζ、 η（t）-T*ζ、 η（t））/（t*ζ、 η（t）- T*ζ、 η（t）-1））带有归一化参数∈ R.自1970年以来，日本的死亡率改善趋势明显下降，见[Pasdika and Wolff（2005），第4.2节]，澳大利亚的女性也是如此。定义2.7（中心死亡率和体重的趋势家族）。年龄a、性别g在t年的中心脱色率由MA给出，g（t）=αa，g+βa，gTζa，g，ηa，g（t）+γt-A., （2.8）参数为αa，g，βa，g，ζa，g，γt-A.∈ 兰特ηi∈(0, ∞), 以及权重由wa，g，k（t）=exp给出的位置ua，g，k+va，g，kTφk，ψk（t）PKj=0expua，g，j+va，g，jTφj，ψj（t）, K∈ {0，…，K}，（2.9）带参数a，g，0，va，g，0，φ，ua，g，K，va，g，K，φK∈ 兰德ψ，ψK∈(0, ∞).上述假设产生了中心死亡率随时间的指数变化、模趋势下降tζ、η（t）和队列效应γt-a（t）-从出生α开始，β表示死亡率提高的速度，η表示趋势降低的速度，ζ表示S形反正切曲线上的位移，即趋势加速和趋势降低的位置。参数γt-amodels对同一出生年份的群体有协同效应。

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nandehutu2022

2022-5-8 05:45:35

这一因素也可以理解为分类变量，如吸烟者/非吸烟者、糖尿病/非糖尿病者或WA、g、K国家，以便进行适当的估计。在应用中，我们建议使用fixφ和ψ，以便将维度降低到合适的水平。此外，拟合趋势加速/还原参数（ζ、η、φ、ψ）会随着时间的推移产生稳定的结果，其行为与Lee-Carter模型类似。随着时间的推移，包含趋势减少参数可能会导致不太稳定的结果。然而，我们提出的模型允许自由调整参数家庭的死亡率和权重。备注2.10（长期预测）。使用（2.8）givelimt对死亡概率进行长期预测→∞ma，g（t）=FLapαa，g+βa，gπ2ηa，g.同样，IMT给出了使用（2.9）对权重的长期预测→∞wa，g，k（t）=expua，g，k+va，g，kπ2ψkPKj=0expua，g，j+va，g，jπ2ψj.ψktrend将在长期内占据主导地位。如果我们预先确定趋势还原ψkat参数的合适值，这种影响是可以控制的。或者，可以使用不同的权重参数族，例如线性族。请注意，我们的模型确保了风险因素的权重k=0，Kalways总结了toone，这就是为什么总死亡率MA，g（t）不受体重及其趋势的影响。8 J.HIRZ、U.SCHMOCK和P.V.舍甫琴科3。参数估计在本节中，我们根据定义2.2和2.7在我们提出的模型中提供了几种参数估计方法。这些方法包括最大似然、最大后验概率、矩匹配和MCMC。虽然矩估计的匹配很容易推导，但精度较低，但一般来说，最大后验概率和最大似然估计无法通过确定性数值优化进行计算。因此，我们建议MCMC作为一种速度较慢但功能强大的替代方案。

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2022-5-8 05:45:38

使用基于一个国家全体人口的公开数据。[McNeil et al.（2005）]在第8.6节中，考虑泊松混合模型和伯努利混合模型的统计推断。他们简要介绍了伯努利混合模型中同质群的动量估计器和最大似然估计器。或者，他们通过广义线性混合模型表示得出统计推断，该混合模型与我们的环境密切相关。在“注释和评论”部分，读者可以找到有趣参考文献的综合列表。然而，他们的大多数结果和论点并不直接适用于我们的案例，因为我们使用了不同的参数化和sincedefaults。简化时间独立性假设：定义3.1（时间独立性和风险因素）。给出定义2.2，考虑离散时间周期su:={，…，T}，并假设随机变量在时间6=tinU的不同点是独立的。此外，对于每个人来说∈ U、风险系数∧（t），假设∧K（t）是独立的，对于eachk∈ {，…，K}，∧K（1），λk（T）的伽马分布与均值1和方差σk相同≥ 0.上述假设似乎适用于奥地利和澳大利亚的数据，这些数据是由死亡概率和权重的趋势家庭得出的。对于生命表的估算，我们通常假设所有年龄和性别的k=0，k=1，w，g，1=1。为了估计和预测死亡原因，我们确定了潜在死亡原因的风险因素。注意，对于fixedaandg，方程（2.9）在参数（ua，g，k）k的恒定位移下是不变的∈{0，…，K}以及（va，g，K）K∈如果φ=···=φ和ψ=···=ψK，则分别为{0，…，K}。因此，对于eacha和g，我们始终可以为ua、g、0和va、g、0.3.1选择固定和任意值。通过最大似然估计。我们从经典的最大似然法开始。

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2022-5-8 05:45:43

似然函数可以以封闭形式导出，但不幸的是，由于高维性，确定性数值优化很快就会崩溃，因此必须通过MCMC导出估计值。引理3.2（似然函数）。给定定义2.2-3.1，定义（t）：=AXa=0Xg∈{f，m}bNa，g，k（t），k∈ {0，…，K}和t∈ U，精算应用和扩展CREDITRISK+的估计以及ρa，g，k（t）：=Ea，g（t）ma，g（t）wa，g，k（t）适用于所有年龄组a，最大年龄组a，性别g和ρk（t）：=AXa=0Xg∈{f，m}ρa，g，k（t）。然后，参数θm的似然函数`（bN |θm，θw，σ）：=（α，β，ζ，η）∈ E、 θwu，v，φ，ψ∈ Fσ∑k∈, ∞KbNbNa，g，kt∈NA×2×（K+1）×由`（bN |θm，θw，σ）=TYt=1给出AYa=0Yg∈{f，m}e-ρa，g，0（t）ρa，g，0（t）bNa，g，0（t）bNa，g，k（t）！×KYk=1Γ(σ-2k+bNk（t））Γ（σ-2k）σ2σ-2kk（σ）-2k+ρk（t））σ-2k+bNk（t）AYa=0Yg∈{f，m}ρa，g，k（t）bNa，g，k（t）bNa，g，k（t）！!.（3.3）证据。根据我们的假设，通过简单的计算，我们得到了`（bN |θm，θw，σ）=TYt=1AYa=0Yg∈{f，m}e-ρa，g，0（t）ρa，g，0（t）bNa，g，0（t）bNa，g，0（t）！×KYk=1E“PA\\A=0\\g∈{f，m}Na，g，k（t）=bNa，g，k（t）∧k（t）#!,其中，`（bN |θm，θw，σ）=P（N=bN |θm，θw，σ）表示给定参数下事件{N=bN}的概率。在上述yieldsE等式中计算期望值PA\\A=0\\g∈{f，m}Na，g，k（t）=bNa，g，k（t）∧k（t）=AYa=0Yg∈{f，m}ρa，g，k（t）bNa，g，k（t）bNa，g，k（t）！Z∞E-ρk（t）xtxbNk（t）txσ-2k-1te-xtσ-2kΓ（σ）-2k）σ2σ-2kkdxt。上面的被积函数是伽马分布的密度，它是归一化常数与参数σ的模-2k+bNk（t）和σ-2k+ρk（t）。因此，相应的积分等于正规化常数的乘法逆，即。，(σ-2k+ρk（t））σ-2k+bNk（t）Γ（σ）-2k+bNk（t））-1，k∈ {1，…，K}和t∈ {1，…，T}。把所有结果放在一起得到（3.3）。由于（3.3）中的产品可能变小，我们建议使用对数似然函数。

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2022-5-8 05:45:46

对于实施，我们建议使用loggamma函数，例如“R”中的lgamma函数，请参见[R Core Team（2013）]。定义3.4（最大似然估计）。回顾（3.3），并给出引理3.2的假设，参数θm、θ和σ的最大似然估计由10 J.HIRZ、U.SCHMOCK和P.V.SHEVCHENKO定义θMLEm，θMLEw，σMLE:= arg supθm，θw，σ`（bN |θm，θw，σ）=arg supθm，θw，σlog`（bN |θm，θw，σ）。由于高维性，似然函数的确定性优化可能很快导致数值问题。在“R”中，见[R Core Team（2013）]的确定性优化路线在简单示例中给出了稳定的结果。我们建议的替代方案是切换到贝叶斯设置，并使用MCMC，如第3.3.3.2节所述。通过最大后验概率方法进行估计。其次，我们提出了一种基于贝叶斯推断的最大后验概率估计的变异，Shevchenko（2011）hood函数，我们还可以推导出风险因素的后验密度，如下所示。这种方法的一个主要优点是可以获得风险因素的估计值，这对于情景分析和模型验证非常有用。此外，还得到了风险因素实现和方差估计的简便近似。外稃3.5（后密度）。给定定义2.2–3.1，考虑参数θm:=（α，β，ζ，η）∈ E、 θw:=（u，v，φ，ψ）∈ F、以及实现λ：=（λk（t））∈(0, ∞)K×Tof危险因素∧：=（K（t））∈(0, ∞)K×T，以及数据n:=（bNa，g，K（T））∈ NA×2×（K+1）×T.假设它们的先验分布由π（θm，θw，σ）表示。

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2022-5-8 05:45:49

然后，给定参数的后验密度π（θm，θw，λ，σ| bN）等于π（θm，θw，λ，σ| bN）给出的常数∝ π（θm，θw，σ）π（λ|θm，θw，σ）`（bN |θm，θw，λ，σ）=TYt=1AYa=0Yg∈{f，m}e-ρa，g，0（t）ρa，g，0（t）bNa，g，0（t）bNa，g，0（t）！KYk=1E-λk（t）σ-2kλk（t）σ-2k-1Γ(σ-2k）σ2σ-2kk×AYa=0Yg∈{f，m}e-ρa，g，k（t）λk（t）（ρa，g，k（t）λk（t））bNa，g，k（t）bNa，g，k（t）！!π（θm，θw，σ），（3.6），其中π（λ|θm，θw，σ）表示风险因素在∧=λ给定所有其他参数时的先验分布，其中`（bN |θm，θw，λ，σ）表示n=bN给定所有参数的可能性，其中ρa，g，k（t）=Ea，g（t）ma，g（t）wa，g，k（t）。证据第一个比例等式遵循贝叶斯定理，该定理也广泛用于贝叶斯推理，例如，参见[Shevchenko（2011），第2.9节]。此外，π（λ|θm，θw，σ）=KYk=1TYt=1E-λk（t）σ-2kλk（t）σ-2k-1Γ(σ-2k）σ2σ-2kk.如果θm∈ E、 θw∈ F，λ∈ (0, ∞)K×Tandσ∈ [0, ∞)K、然后注意`（bN |θm，θw，λ，σ）=AYa=0Yg∈{f，m}TYt=1E-ρa，g，0（t）ρa，g，0（t）bNa，g，0（t）bNa，g，0（t）！×KYk=1PNa，g，k（t）=bNa，g，k（t）∧k（t）=λk（t）,精算应用和扩展CREDITRISK+的估计，然后通过简单计算得出（3.6），如引理3.2所示。上述方法可能看起来像纯贝叶斯推理方法，但请注意，风险因素∧k（t）是真正随机的，因此，我们将其称为最大后验估计方法。

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能者818

2022-5-8 05:45:54

参数的先验分布有许多合理的选择，包括（不适当的）一致先验π（θm，θw，σ）：=1E（θm）1F（θw）1（0，∞)K（σ）为第4.2节中给出的平滑优先级。后验估计。定义3.7（最大后验估计）。回顾（3.6），并给出引理3.5的假设，给定唯一性，参数θm、θw、λ和σ的最大后验估计由θ映射，θ映射，λ映射，σ映射:= arg supθm，θw，λ，σπ（θm，θw，λ，σ| bN）=arg supθm，θw，λ，σlogπ（θm，θw，λ，σ| bN）。后验函数的高维性导致的数值问题，这也是我们推荐MCMC的原因。然而，我们可以为风险因子和方差估计提供方便的近似值。引理3.8（最大后验估计的条件）。给出定义3。7，估计每k的^λ映射和^σ映射满足∈ {1，…，K}和t∈ U、 λMAPk（t）=（σMAPk）-2.- 1+PAa=0Pg∈{f，m}bNa，g，k（t）（σMAPk）-2+PAa=0Pg∈{f，m}ρa，g，k（t）（3.9）if（σMAPk）-2.- 1+PAa=0Pg∈{f，m}bNa，g，k（t）>0，以及2 log^σMAPk+Γ（σMAPk）-2.Γ（σMAPk）-2.=TTXt=11+log^λMAPk（t）-λMAPk（t）, （3.10）其中，对于给定的λMAPk（1），^λMAPk（T）>0，（3.10）有一个唯一的正解。证据首先，设置π*（bN）：=logπ（θm，θw，λ，σ| bN）。那么，对everyk来说∈ {，…，K}和t∈ U、微分π*（bN）给予π*（十亿）λk（t）=σ-2k- 1λk（t）-σk+AXa=0Xg∈{f，m}bNa，g，k（t）λk（t）- ρa，g，k（t）.将该项设为零，求解∧k（t）得到（3.9）。同样，弗雷克∈ {1，…，K}，我们得到π*（十亿）σk=σkTXt=1对数σk- 1 +Γ(σ-2k）Γ（σ）-2k）- 对数λk（t）+λk（t）.同样，将该项设置为零，并重新排列这些项会得到（3.10）。对于（3.10）中解的存在唯一性，设λMAPk（1），λMAPk（T）>k∈ {，…，K}严格负除非λMAPk（1）=···=λMAPk（T）=1，aslog x≤ 十、-1表示所有x>12的J.HIRZ、U.SCHMOCK和P.V.SHEVCHENKOwith等式为x=1。

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2022-5-8 05:45:57

如果λMAPk（1）=···=λMAPk（T）=1，则风险因素中不存在σk=0的变量。从今往后，注意f（x）：=logx-Γ（x）/Γ（x）对于allx>0，是连续的（Γ（x）/Γ（x）被称为digamma函数或ψ-函数），2x<f（x）<2x+12x，x>0，（3.11），然后是[Qi等人（2005），推论1]和f（x+1）=1/x+f（x）对于allx>0。-f/x-cc>f∞好的，利姆斯→∞f（x）=0。因此，当f（1/x）在x>0时是连续的，就必须存在一个解。此外，f（x）=x-∞Xi=0（x+i）<x-Z∞xzdz=0，x>0，Chaudhry和Zubair（2001）f（x）和(-f（1/x））是严格递减的。因此，（3.10）中的解决方案是唯一的。可通过匹配第3.4节中给出的力矩或Lee–Carter等其他模型得出。IfPAa=0Pg∈{f，m}bNa，g，k（t）较大，合理定义^λMAPapprk（t）：=-1+PAa=0Pg∈{f，m}bNa，g，k（t）PAa=0Pg∈{f，m}ρa，g，k（t）（3.12）作为λk（t）的近似估计，其中ρa，g，k（t）：=Ea，g（t）ma，g（t）wa，g，k（t）。推导出λ的近似值后，我们可以使用（3.10）得到σ的估计值。或者，请注意，由于（3.11），我们得到-2 log^σMAPk-Γ（σMAPk）-2.Γ（σMAPk）-2.=（σMAPk）+O（σMAPk）.此外，如果我们对对数使用二阶泰勒展开，那么（3.10）getsTTXt的右边=1λMAPk（t）-1.-对数λMAPk（t）=2TXT=1λMAPk（t）-1.+OλMAPk（t）-1..λ的值越接近1，这种近似就越好。因此，利用这些观察结果，风险因素方差σ的近似值如下所示：^σMAPapprk:=TTXt=1λMAPapprk（t）- 1., （3.13）这是^λ映射的样本方差。注|λMAPk（t）-| < |λMAPapprk（t）-|,这意味着在大多数情况下，（3.13）将主导（3.10）得到的解。3.3.通过MCMC进行估算。正如我们在前面章节中所概述的，由于高维性（几百个参数），通过确定性数值优化导出最大后验估计和最大似然估计几乎是不可能的。

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2022-5-8 05:46:00

或者，我们可以使用McMcCunder进行贝叶斯设置。例如，可以在[Gilks（1995）]，[Gamerman AND Lopes（2006）]以及[Shevchenko（2011）第2.11节]中找到关于这一主题的介绍，精算应用和扩展CREDITRISK+的估计。我们建议使用Gibbsalgorithm中的随机游走Metropolis–Hastings，考虑到马尔可夫链是不可约且非周期的，生成收敛于平稳分布的样本链[Tierney（1994）]和[Robert and Casella（2004），第6-10节]。但是，请注意，可以使用各种MCMCalgorithms。MCMC需要贝叶斯设置，我们在maximuma-posteriori方法中自动设置，见第3.2节。类似地，我们可以通过将似然函数与参数的先验分布相乘，切换到最大似然法中的贝叶斯设置，见第3.1节。MCMC生成马尔科夫链，该链提供来自后验分布的样本，其中这些样本的模式对应于最大后验估计的近似值。通过从静态分布中提取MCMC链样本后，取所有样本的平均值，可以获得更稳定的均方误差估计值，[Shevchenko（2011），第2.10节]。当然，如果参数的后验分布是双峰分布，那么将所有样本的平均值作为估计值可能会导致问题，例如，我们最终会进入一个极不可能的区域。此外，采样后验分布可用于估计参数不确定性。该方法需要一定的磨合期，直到概率接近0.234，如[Roberts等人（1997）]所示，这对于多元高斯概率是渐近最优的。

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2022-5-8 05:46:03

为了减少较长的计算时间，可以运行几个具有不同起点的独立MCMC链。e、通过调整先验分布，平滑，最大后验估计。这种技术特别适用于回归，以及许多应用，如信号处理。在4.2节中预测死亡概率时，我们使用具有一定相关性结构的高斯先验密度。同样在MCMC下，请注意，最终我们会受到维数诅咒的困扰，因为我们永远无法在具有数百个参数的环境中获得联合后验分布的精确近似值。由于MCMC样本产生了参数估计的置信区间，因此可以很容易地检查它们在每个期望水平上的显著性，也就是说，如果置信区间覆盖零值，则参数不显著。在我们接下来的例子中，几乎所有的参数估计也可以用来测试参数是否显著适用于稀疏数据，因为生命表可以用作具有较少数据点的先验分布。3.4.通过矩匹配进行估计。最后，我们提供了一个精确的匹配。因此，我们建议仅使用这种方法来获取其他更复杂估算程序的起始值。此外，随着时间的推移，匹配相同的随机变量。14 J.HIRZ、U.SCHMOCK和P.V.舍甫琴科假设3.14。（Na，g，k（t））t∈Uto be i.i.d.with Ea，g：=Ea，g（1）=···=Ea，g（T）and ma，g：=ma，g（1）=······=ma，g（T），以及wa，g，k：=wa，g，k（1）=····=wa，g，k（T）。为了实现这样的i.i.d.设置，转换死亡SNA，g，k（t），使泊松混合强度随时间保持恒定，viaNa，g，k（t）：=Ea，g（T）ma，g（T）wa，g，k（T）Ea，g（T）ma，g（T）wa，g，k（T）Na，g，k（T）, T∈ U，以及相应的deneea，g:=Ea，g（T），以及asma，g:=ma，g（T）和wa，g，k:=wa，g，k（T）。

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nandehutu2022

2022-5-8 05:46:07

通过这种修改，我们成功地消除了长期趋势，并使Ea、g（t）、ma、g（t）和wa、g、k（t）随时间保持恒定。中心死亡率的估计值^mMMa，g（t）SMA，g（t）可通过最小化粗死亡率的均方误差获得，如果参数ζ、η和γ之前固定，可通过回归（FLap）获得-1.PKk=0bNa，g，k（t）Ea，g- γa-tonTζa，g，ηa，g（t）。对参数a、g、k、va、g、k、φk、ψkvia的估计^uMMa、g、k、^vMMa、g、k、k、φk、ψkvia将粗死亡率的均方误差最小化，如果参数φ和ψ之前已确定，可通过回归log（bNa、g、k（t））获得-在tφk，ψk（t）上记录（Ea，g^mMMa，g（t））。估算值^wMMa，g，k（t）由（2.9）给出。然后，确定权重的无偏估计值*a、 g，k（t）：=Na，g，k（t）/Ea，gma，g，以及*a、 g，k:=TTXt=1W*a、 g，k（t）。特别是，我们有E[W]*a、 g，k]=E[W*a、 g，k（t）]=wa，g，k引理3.15。假设3.1，定义∑a，g，k=T- 1text=1W*a、 g，k（t）- W*a、 g，k,尽管如此∈ {0，…，A}，g∈ {f，m}和k∈ {0，…，K}。那么，E[b∑a，g，k]=VarW*a、 g，k（1）=wa，g，kEa，gma，g+σkwa，g，k.（3.16）证明。注意（W）*a、 g，k（t））t∈Uis被认为是一个i.i.d.序列。因此，sinceb∑a，g，kis是w的标准偏差的无偏估计量*a、 g，k（1）和W*a、 g，k，参见[Lehmann and Romano（2005），示例11.2.6]，我们立即得到[b∑a，g，k]=Var（W*a、 g，k（1））=VarNa，g，k（1）Ea，gma，g.使用[Schmock（2017），引理3.48]中的总方差定律，以及定义5.6 givesEa，gma，gE[b∑a，g，k]=E[Var（Na，g，k（1）|∧k）]+Var（E[Na，g，k（1）|∧k]）。VarNa，g，k（1）|∧kENa，g，k（1）|∧kEa，gma，gwa，g，kk以上给出了结果。精算应用和扩展CREDITRISK的估计+获得方程式（3.16）后，我们可以确定以下风险因素方差的矩估计匹配。定义3.17（风险因素方差矩估计值的匹配）。给定σkk∈ {, . . .

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2022-5-8 05:46:10

，K}定义为^σMMk:= 最大值（0，PAa=0Pg）∈{f，m}σa，g，k-wMMa，g，k（T）Ea，gmMMa，g（T）PAa=0Pg∈{f，m}（wMMa，g，k（T）），其中^σa，g，kis是对应于估计量b∑a，g，k.4的估计。应用预测潜在死亡原因。提出的随机死亡率模型，以及一些进一步的应用，我们收集了澳大利亚1987年至2011年期间的年度死亡数据。我们使用矩匹配法以及马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）的最大似然法建立了我们的模型。澳大利亚历史人口的数据来源（按年龄和性别分类）取自澳大利亚统计局（Australian Bureau of Statistics）和按死亡原因分类的死亡人数数据，分为八个年龄组，即50-54岁、55-59岁、60-64岁、65-69岁、70-74岁、75-79岁、80-84岁和85岁以上，用A表示，a、每种性别分别取自AIHW。根据ICD-9或ICD-10分类，我们将提供的死亡数据分为19种不同的死因，其中我们确定了以下10种常见的非特异性风险因素：“某些传染病和寄生虫病”、“肿瘤”、“内分泌、营养和代谢疾病”、“精神和行为障碍”，由于个体对所有类别的总体死亡人数的贡献较小，因此对特殊风险的影响较小。如澳大利亚统计局网站所述，1997年的死亡数据分类发生了变化，因此数据处理需要谨慎。澳大利亚于1997年推出了第十版《国际疾病分类》（ICD-10，继ICD-9之后），过渡期为1997年至1998年。在此期间，可比性系数如表4所示。1.

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2022-5-8 05:46:13

因此，在1987年至1996年期间，死亡人数必须乘以相应的可比系数。为了减少必须估计的参数数量，不考虑队列效应，即γ=0，趋势减少参数固定为ζ=φ=0和η=ψ=。这对应于数据和预测期内缓慢的趋势减少（无加速），这使得设置t=1987。第4.2节显示了更高级的趋势减少建模结果。因此，在最大似然框架内，我们最终得到394个参数，其中362个有待优化。为了匹配我们followhttp://www.abs.gov.au/，于2016年5月10日访问。http://www.aihw.gov.au/deaths/aihw-deaths-data/#nmd，于2016年5月10日访问。http://www.abs.gov.au/，2016年5月10日查阅。16 J.HIRZ、U.SCHMOCK和P.V.Shevchenko表4.1。ICD-9和ICD-10的可比性因素。死亡原因因素影响1.25肿瘤1.00内分泌1.01精神0.78神经1.20循环1.00呼吸0.91消化1.05泌尿生殖1.14外部1.06非其他地方（独特）1.00第3.4节中给出的方法。然后通过最大后验概率法的近似值（3.12）和（3.13）估计风险因素方差，因为它们的结果比矩匹配更可靠。基于40000个MCMC步骤和10000个磨合期，我们能够完成（3.12）和（3.13）个瞬间。在磨合期间，经常会重新评估调整参数。我们的算法在标准计算机上的执行时间大致为偶数小时。运行多个并行MCMC链将执行时间减少到几分钟。

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2022-5-8 05:46:17

然而，请注意，风险因素的减少（例如，死亡率建模的一个或零风险因素）会使估计更快。对于伤害和中毒的外部原因σ，以及参数α2，ffordeath概率截距为55至59岁女性。我们在图4.1中观察到，风险因素方差MCMC链的平稳分布通常是右偏的。这表明由于对尾部事件的观察有限，与低估差异相关的风险。表4.2显示了使用矩匹配、近似值（3.13）以及相应5%和95%分位数的MCMC平均估计值以及标准误差对风险因素标准偏差的估计。首先，表4.2说明了（3.12）和（3.13）以及σ标准偏差的矩估计值的匹配很小，但对于死亡人数很少的死因，其估计值往往更高，因为与更常见的死亡原因相比，数据中的统计结果更高。仅对精神和行为障碍的风险因素标准差的估计值就更高。根据舍甫琴科（2011）的定义，标准误差方差始终小于3%。我们可以使用（3.9）中给出的近似值得出前几年的风险因素估计值。例如，我们观察到在2002年至2004年期间，呼吸系统疾病的风险因素意识增加。这主要是因为在这一时期，流感和肺炎导致了许多死亡。精算应用和扩展信用风险估算+0 5000 15000 250000.01 0.03（a）模拟步长值0 5000 15000 25000-4.50-4.46（b）模拟步长值（a）值密度0。00 0.01 0.02 0.03 0.040 40 80（b）值密度-4.50-4.48-4.46-4.440 10 30图4.1。

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2022-5-8 05:46:21

MCMC链和相应的密度组织图：图（a）中受伤和中毒的外部原因导致的死亡的风险因素方差σ和图（b）中的死亡α2。σ矩匹配（MM），近似值（3.13）（近似值）和偏差（标准偏差）分位数分别为5%和95%（5%和95%）。嗯。平均5%95%stdev。0.0148 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.05480.0943 0.0123外部0.1044 0.0912 0.1049 0.0787 0.1353 0.0176泌尿生殖系统0.0535 0.0284 0.0245 0.0141 0.0346 0.0066假设（2.9）提供了所有死亡原因强度（即权重）的联合预测，同时与分别预测每个死亡原因的标准程序相反。在过去几十年中，我们观察到，由于过去几十年的某些死因，粗死亡率出现了下降。这一事实可以通过我们的模型加以说明，如表4.3所示。该表列出了2011年估计的所有死亡原因的权重Swa、g、k（t），以及使用MCMC平均值（2.9）预测2031年80至84岁男性和女性的权重。模型预测表明，如果这些体重变化趋势持续下去，那么未来的体重预计将下降，而肿瘤将成为18岁以上的主要死因。J.HIRZ、U.SCHMOCK和P.V.Shevchenko预计老年人的体重将大幅上升。预测权重的高度不确定性反映在精神和行为障碍风险因素的宽置信区间（括号中的值）上。

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