给定定理15，对于任意x（比如x<0），limn→∞P(√n（τzn）- τz）≥ x） =P（Y（τz）>ax=1- ΦaxσY（τz）,式中Φ（x）：=Rx-∞E-y/2√2πdy是标准高斯随机变量的累积概率分布函数，σY是高斯过程的方差Y（t）。证据对于任何x<0，P(√n（τzn）- τz）≥ x） =P锌τz+x√N> 0= P√N锌τz+x√N- Zτz+x√N> -√新西兰τz+x√N.注意Limn→∞√新西兰τz+x√N= xZ′（τz），对于任何t>0，c6=-1，Eqn。（2.17）和Eqn。（2.11）导程至z′（τz）=-ac1+c-z+ab1+c公元前（1+c）za+bcc+1bc+1！-1+cc=-a、 类似地，当c=-1，我们有Z（t）=（a log（b- t） +zb- a日志b）（b）- t） 。因此Z′（t）=-A.-a原木（b）- t） +zb- a原木b, Z′（τZ）=-A.-原木-zab）+zb- a原木b= -a、 最后，重申√n（Zn（t）- Z（t））→ Y（t）on（D[0，τz），J）as n→ ∞, 因此出现了第一个等式。第二个方程由Y（t）得出，Y（t）是一个均值和方差为零的高斯过程，后者可以显式计算，尽管形式混乱，如附录B命题29所示。给定定理14，对于任意x（假设x<0），（i）limn→∞P(√n（τbn）- τb）≥ x） =1- Φsqbλvbψ+ψ+ψ- 2ψ-2ψ+2ψx, 式中Φ（x）：=√2πRx-∞E-y/2dy是标准高斯随机变量的累积概率分布函数，ψij:=Xk=1∑ik∑jkλ+\'Vi\'Vjvdλ，1≤ i、 j≤ 6.（4.3）（ii）limn→∞P(√n（τan）- τa）≥ x） =1- Φsqaλvaψ+ψ+ψ- 2ψ- 2ψ+2ψx！。（4.4）证据。与证明执行时间τzn的函数类似，我们可以证明，对于anyx<0，limn→∞P(√n（τzn）- τz）≥ x） =P（（ψ）-Ψ- ψ）（τb）>-（Qb）′（τb）x），来自Qb的表达式，τbin方程。（2.7）、（2.10）和（3.7），很明显（Qb）′（τb）=-qb（ψ）的平均值- Ψ- ψ）（t）为零，方差为（ψ+ψ+ψ）- 2ψ- 因此，limn→∞P(√n（τbn）-τb）≥ x） =1- Φsqbλvbψ+ψ+ψ- 2ψ- 2ψ+2ψx.同样地，我们也可以用s表示等式n。

（4.4）老年人。最后，我们得到了命中时间尾部的大偏差。事实上，假设1，2和3，我们在定理11中有流体极限，我们在τn处看到→ τ：=τb∧ τa.更一般地说，通过将假设1和2替换为更强的假设16，我们可以使用大偏差结果来研究命中时间τn的尾部概率∞. 注意，对于任何t>τ，P（τn≥ t） =PQbn（s）>0，Qan（s）>0，0≤ s<t= PQbn（s）>0，Qan（s）>0，0≤ s<t.对于任何t<τ，P（τn≤ t） =PQbn（s）≤ 0或Qan（s）≤ 0，对一些人来说≤ s≤ T,= PQbn（s）≤ 0或Qan（s）≤ 0，对一些人来说≤ s≤ T.现在回想一下P（Qbn（·）的大偏差原理∈ ·, Qan（·）∈ ·), i、 e.，T heorem 19，并重新计算fb（T）=qb+φ（T）- φ（t）- φ（t），fa（t）=qa+φ（t）- φ（t）- φ（t）。因此，我们有下面的推论30。给出定理19，对于任何t>τ，limn→∞nlog P（τn）≥ t） =- infqb+φ（s）-φ（s）-φ（s）≥0，qa+φ（s）-φ（s）-φ（s）≥0，对于任何0≤s≤tφ∈AC[0，∞)I（φ）。类似地，对于任何t<τ，limn→∞nlog P（τn）≤ t） =- infqb+φ（s）-φ（s）-φ（s）≤0代表0≤ s≤ tor qa+φ（s）-φ（s）-φ（s）≤0代表0≤ s≤ tφ∈AC[0，∞)I（φ）.5扩展和讨论5。1取消的一般假设在上一节中，我们通过简单假设取消在队列中是一致的，推导了订单位置的流量限制和流量。这一假设可以很容易地进行，分析也可以很容易地进行修改。例如，人们可能会（更实际地）假设订单离队列头越近，取消订单的可能性就越小。更一般地说，可以替换termZn（t-)Qbn（t-)在Eqn中。（2.2）带Υ锌（t）-)Qbn（t-)其中，Υ是从[0,1]到[0,1]的Lipschitz连续递增函数，Υ（0）=0，Υ（1）=1。

现在，规模化过程的动力学描述为asdQbn（t）Qan（t）Zn（t）=1.-1.-1 0 0 00 0 0 1 -1.-10-1.-Υ锌（t）-)Qbn（t-)0 0 0伊坎（t）-)>0，Qbn（t-)>0，Zn（t-)>0·d-→Cn（t）。（5.1）然后限制过程将继续进行Qb（t）Qa（t）Z（t）=1.-1.-1 0 0 00 0 0 1 -1.-10-1.-ΥZ（t）-)Qb（t）-)0 0 0IQa（t）-)>0，Qb（t-)>0，Z（t）-)>0·d-→C（t）（5.2）定理31。假设1、2和3，以及等式n定义的缩放过程（Qbn、Qan、Zn）。(5.1). 如果存在常数qb、qa和z，则（Qbn（0）、Qan（0）、Zn（0））=> （qb，qa，z），然后对于任何T>0，Eqn。（2.5）（Qbn、Qan、Zn）=> （Qb，Qa，Z）在（D[0，T]，J）中，其中（Qb，Qa，Z）由Eqn定义。（5.2）和（Qb（0），Qa（0），Z（0））=（Qb，Qa，Z）。（5.3）证据。首先，让我们通过Υ（x）=Υ（x）I0将Υ的定义从[0,1]扩展到R≤十、≤1+I1<x。那么Υ（仍然）是Lipschitz连续的，并且在R上增加。也就是说，存在K>0，比如f或任何z，z∈ R、 |Υ（z）- Υ（z）|≤ K|z- z |。接下来，用τb=inf{t|Qb（t）定义τ=min{τb，τa，τz}≤ 0}，τa=inf{t|Qa（t）≤ 0}，τz=inf{t|z（t）≤ 0}. 类似于引理6的论证，Υ∈ [0,1]和z，qb>0意味着Zn（t）≤ Qbn（t）和Z（t）≤ Qb（t）表示零之前的任何时间。因此τz≤ τb.除了等式n的解的整体存在性和局部唯一性之外，证明的剩余部分与定理11类似。（5.2），其中dz（t）dt=-λ“V+”VΥZ（t）-)Qb（t）-)信息技术≤τ. （5.4）表示等式n的右侧sid e。（5.4）由θ（Z，t）和定义θ（Z，qb/（λvb））=1。让{Ti}i≥1带limi的正序列→∞Ti=τ。那么对于任何z，z≥ 0和0≤ T≤ Ti，|θ（z，t）- θ（z，t）|=λ′VΥzqb- λvbt- Υzqb- λvbt≤ λ¨VKzqb- λvbt-zqb- λvbt≤λ′VKqb- λvbTi | z- z |。因此，θ（Z，t）在Z上是Lipschitz连续的，在t上对于任何t<tiandz>0都是连续的。根据皮卡存在定理，eqn存在唯一解。

（5.4）初始条件z（0）=z在[0，Ti]上。现在让我→ ∞, [0，τ]中存在唯一解。此外，通过θ（Z，τ）的有界性和Z（t）在τ处的连续性，在t=τ处也存在唯一解。对于t>τ，θ（Z，0）=0和Z（t）=Z（τ）。因此，t存在唯一解Z（t）≥ 0.注意τa=∞ （分别为τb=∞) 当va<0时（分别为vb<0）。然而，因为右手边的QN。（5.4）小于或等于-λ¨V，可以得出Z（t）在t中减小，在单位时间内达到0。因此，τ定义得很好。5.2订单到达和交易量之间的线性相关性。也可以用订单到达率与交易量线性相关的假设取代假设1和假设2。流体极限可以用类似的方法进行分析，只需很少修改。假设32。N（nt）是一个强度为Nλ+αnQan（t）的简单点过程-) + βnQbn（t-)在时间t，其中α、β为正常数。假设33。任何一个≤ J≤ 6，{Vji}i≥1是一个平稳、遍历和统一边界序列的序列。而且，对于任何一个我≥ 2和Gi=σ({-→Vk}1≤K≤i） ，E[-→Vi | Gi-1] =-→“V。定理34。在假设5、32和33的情况下，定理11成立，但有限过程将被qb（t）取代-αqavb-αqbva+λvbvaα+vbβ+vb（βqb+αqa+λ）βvb+αvae-（vbβ+vaα）t∧τ、 （5.5）质量保证（t）=-βqbva- βqavb+λvavaα+vbβ+va（βqb+αqa+λ）βvb+αvae-（vbβ+vaα）t∧τ、 （5.6）andZ（t）=ze-Rt∧τ′VhλQb（s）+β+αQa（s）Qb（s）ids（5.7）-Zt∧τ′V[λ+βQb（s）+αQa（s）]e-Rt∧τs′VhλQb（u）+β+αQa（u）Qb（u）iduds。证据回忆t之前的th≤ τ，假设为32，dQbn（t）Qan（t）Zn（t）=1.-1.-1 0 0 00 0 0 1 -1.-10-1.-锌（t）-)Qbn（t-)0 0 0伊坎（t）-)>0，Zn（t-)>0·d-→Cn（t），在哪里-→Cn（t）=nN（nt）Xi=1-→Vi=Mn（t）+Zt（λ+βQbn（s）-) + αQan（s）-))ds-→“V。在这里-→Mn（t）=nN（nt）Xi=1[-→六、--→\'V]+n-→\'V新界北- nZt（λ+βQbn（s）-) + αQan（s）-))ds这是一个鞅。

与前面的论点类似，我们可以证明（Qbn，Qan，Zn）=> （Qb，Qa，Z），其中（Qb，Qa，Z）满足颂歌：dQb（t）Qa（t）Z（t）=1.-1.-1 0 0 00 0 0 1 -1.-10-1.-锌（t）-)Qbn（t-)0 0 0IQa（t）-)>0，Z（t）-)>0·（λ+βQb（t-)+ αQa（t-))-→V dt，初始条件（Qb（0），Qa（0），Z（0））=（Qb，Qa，Z）。Qb（t）和Qa（t）的方程可以更明确地写为dqb（t）=（λ+βQb（t）-) + αQa（t-))（\'V-\'V-V）dt，dQa（t）=（λ+βQb（t）-) + αQa（t-))（\'V-\'V-V）dt，可进一步简化asdQb（t）Qa（t）=-vbβ-vbα-vaβ-vaαQb（t）Qa（t）-λvbλva.因此，对于t≤ τ、 我们得到Qb（t）Qa（t）= Cα-β+ 总工程师-（vbβ+vaα）tvbva-λβ,式中，c，可根据初始条件确定的care常数，c=-qavb-λvaβ- qbvavaα+vbβ，c=βqb+αqa+λβvb+αva。因此等式（5.5）和（5.6）如下。最后，Z（t）满足一阶ODEdZ（t）+Z（t）`VλQb（t）+β+αQa（t）Qb（t）dt=-V（λ+βQb（t）+αQa（t））dt，其解由等式n给出。(5.7).推论35。给出假设5、32和33，进一步假设vbβ+vaα>0和-λvbα<qavb- qbva<λvaβ。然后Qb（t）和Qa（t）将在某个特定的时间τ带τ达到零。此外，τb=-vbβ+vaα对数vbλ+qavbα- qbvaαvbβqb+vbαqa+λvb,τa=-vbβ+vaα对数-qavbβ+qbvaβ+λvaβqbva+αqava+λva,通过方程Z=ZτZ′V（λ+βQb（s）+αQa（s））eRs′V确定τzisλQb（u）+β+αQa（u）Qb（u）哑巴。5.3各种形式的扩散限制有多种可能的替代假设，根据这些假设可以得出适当形式的扩散限制。例如，可以对{Di}i施加比假设12更弱的条件≥1.假设36。任何时候都可以，林→∞N（nt）N=λt，a.s.此外，存在K>0，使得E[N（t）]≤ Kt，对于任何t。例如，如果点过程N（t）是平稳的，且具有有限平均值，则该假设成立。

为了弥补被削弱的假设36，我们可能需要一个更强的条件{-→Vi}i≥例如，假设33。请注意，在这组备选假设下，最终的极限过程实际上比eorem 14更简单。这是因为假设33意味着对于任何I6=i′和1，Vji实际上与Vji′无关≤ J≤ 6.因此Vjand Vji的协方差，i≥ 2在极限过程中可能会消失。下面我们将详细说明这一点。在假设33和36的基础上，定义了按比例计算的净订单流量流程的最新版本-→Ψ*nby-→Ψ*n（t）=√nN（nt）Xi=1-→六、--→\'V, （5.8）虽然缩放过程Rbn（t），Ran（t）仍然遵循等式。（3.3），第一次击球时间与等式相同。（3.5），以及等式n中相应的极限过程。（3.13）和Eqn。(3.12). 然后我们有以下内容。定理37。给定假设3、33和36，对于任何T>0，（i）-→Ψ*N=>-→Ψ*哪里-→Ψ*= （σjWj，1）≤ J≤ 6） ，其中（Wj，1≤ J≤ 6） 是标准的六维布朗运动，σj=λVar（Vj）。（ii）（Rbn，Ran）=> （Rb，Ra）in（D[0，T]，J）。证据根据假设33，很明显-→Ψ*n（t）=√nN（nt）Xi=1-→六、- E[-→Vi | Gi-1]这是一个鞅。现在定义j=1，2，6，Mjnt:=N（nt）Xi=1Vji- E[Vji | Gi-1]=N（nt）Xi=1（Vji-“Vj）。首先，Mjntis一致有界的s ince N（nt）的跳跃大小是一个简单的点过程，根据假设33，Vji是一致有界的。接下来，由[Mj]nt=Nj（nt）Xi=1（Vji）给出的mjnti的二次变化-“Vj）。根据假设33和36以及遍历定理→ ∞,[Mj]tt→ λVar[Vj]，a.s.此外，由于Mj和Mk对于j 6=k[Mj，Mk]t没有共同的跳跃≡ 因此，将FCLT应用于鞅[37，定理VIII-3.11]，对于任何T>0，我们-→Ψ*N=>-→Ψ*, 在（D[0，T]，J）中，为了参见权利要求的第二部分，首先请注意，根据假设36，nN（n·）Xi=1-→\'V=> λ-→\'ve，in（D[0，T]，J）a.s.as n→ ∞.

剩下的证明是检查定理10的条件，就像定理11的证明一样。Mnt的二次方差：=（Mjnt）1≤J≤ 6.再见√纳米新界=nX1≤J≤ 6E[N（nt）]EVji-EhVji | FTji-我≤ KtX1≤J≤ 6EVj,在n中一致有界。An:=nPN（nt）i=1的总变化量-→\'V satis fie[[T（An）]T]≤X1≤J≤ 6EnN（nt）Xi=1 | Vj|≤X1≤J≤ 6KtE[| | Vj |]，在n中一致有界。证明是完整的。参考文献[1]F.Abergel和A.Jedidi。订单建模的数学方法。《国际理论与应用金融杂志》，2013年第16期（05）。[2] F.阿伯格尔和A.杰迪。基于Hawkes过程的极限Order book的长时间行为。预印本，2015年。[3] A.阿方西、A.弗鲁思和A.希德。具有一般形状函数的极限订货书的最优执行策略。量化金融，10（2）：143-157，2010年。[4] A.阿尔芬斯一世、A.希德和A.斯林科。订单弹性、价格管理和积极的投资组合问题。《暹罗金融数学杂志》，3（1）：511–533，2012年。[5] S.Asmussen和H.Albrecher。破产概率。世界科学院，新加坡，2010年。[6] M.阿维拉内达和S.斯托伊科夫。在限价订单簿中进行频繁交易。量化金融，8（3）：217-2242008。[7] 贝拉克塔尔和卢德科夫斯基。在有控制强度的限制订单簿中进行清算。《数学金融》，24（4）：627–650，2014年。[8] P.比林斯利。概率测度的收敛性。约翰·威利，1968年，纽约。[9] J.布兰切特和X.陈。有限订单中买卖价差和价格动态的连续s时间建模。arXiv预印本arXiv:1310.1103，2013年。[10] R.C.布拉德利。强混合条件的基本性质。调查和一些开放性问题。概率调查，2:107–144，2005年。[11] 布莱曼。可能性应用数学中的经典。工业和应用数学学会，1968年。[12] P.Br’emaud和L。

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特别是当c<0且c 6=-1，σY（t）：=（b+ct）c+1-bc+1（2+c）（b+ct）cXj=1λ∑2j-∑3ja（1+c）λ′V+λvdc1+c’V!+bcλ′V（b+ct）c- bc（b+ct）cz+ab1+cXj=1λ∑2j-∑3ja（1+c）λ′V∑3j+λvdc1+c\'V\'V+t（b+ct）c+1bc-1λ（V）Xj=1λ（∑3j）+λvd（`V）z+ab1+c-2a（b+ct）c（1+c）λ′V·^α（b+ct）c+1- bc+12+c+（^β）- ^γc）（（b+ct）c- bc）+^γ（b+ct）堵塞（b+ct）- bclog（b）+^δ（（b+ct）c- bc）+^η1- c（（b+ct）c-1.- 公元前-1)+（b+ct）cz+ab1+cbcλ′V·^α（（b+ct）c- bc）+（β+γ）tb（b+ct）+γc日志bb-对数（b+ct）b+ct+^δ1 - c（（b+ct）c-1.- 公元前-1） +η2c（b）-2.- （b+ct）-2).这里α=αc+1，β=-bc+11+c- γbc+δbc-βlogbc，γ=βc，δ=γ，η=-δc，（B.1）与α=-(ψ- ψ- ψ) + (ψ- ψ- ψ） a（1+c）λ′V-a~nc（1+c）λ′V，β：=-(ψ- ψ- ψ)z+ab1+cbcλ′V+z+ab1+cηbccλ′V，γ：=ab~nc（1+c）λ′V，δ：=-φz+ab1+cbc+1cλ′V，ψ：=ψ+ψ+ψ- ψ- ψ- ψ- ψ+ ψ+ ψ. （B.2）备注。命题39只给出了情况C6=-1，c<0。情况c的方差σY（t）=- 1可以作为连续极限c→ -1.命题39的证明。乘以Eqn。（3.16）通过积分因子eRtλ¨VQb（s）从0积分到t，最后除以积分因子，我们得到y（t）=-中兴通讯-Rtsλ′VQb（u）dudψ（s）-中兴通讯-Rtsλ′VQb（u）duZ（s）Qb（s）dψ（s）（B.3）+中兴通讯-Rtsλ′VQb（u）duZ（s）（ψ（s）- ψ（s）-ψ（s））（Qb（s））λ′Vds，imp认为Y（t）是一个高斯过程-→ψ是一个高斯过程。自从-→ψ居中，即平均值为零，很容易看出Y（t）也居中。接下来，让我们确定Y（t）的方差。根据It^o的公式，我们得到了（Y（t））=2Y（t）dY（t）+dhY It（B.4）=dhY It- 2Y（t）Y（t）Qb（t）λ′Vdt-2Y（t）dψ（t）-2Y（t）Z（t）Qb（t）dψ（t）+2Y（t）Z（t）（ψ（t）- ψ（t）- ψ（t））（Qb（t））λ′Vdt。来自Eqn。（3.16），我们得到dhy it=dhψit+Z（t）Qb（t）dhψit+2Z（t）Qb（t）dhψ，ψit。（B.5）堵塞等式。（B.5）转化为等式。

（B.4），并考虑方程两侧的期望，我们得到[Y（t）]=dhψit+Z（t）Qb（t）dhψit+2Z（t）Qb（t）dhψ，ψit- 2E[Y（t）]Qb（t）λ′Vdt+2Z（t）（E[Y（t）ψ（t）]- E[Y（t）ψ（t）]- E[Y（t）ψ（t）]（Qb（t））λ′Vdt。通过使用积分因子eRt2λ′VQb（s）ds，我们得出结论E[Y（t）]（B.6）=Zte-Rts2λ′VQb（u）dudhψis+Zte-Rts2λ′VQb（u）duZ（s）Qb（s）dhψis+Zte-Rts2λ′VQb（u）du2Z（s）Qb（s）dhψ，ψis+Zte-Rts2λ′VQb（u）duZ（s）（Qb（s））λ′V（E[Y（s）ψ（s）]- E[Y（s）ψ（s）]- E[Y（s）ψ（s）]ds，让我们回忆一下-→Ψ = Σ-→Wo λe--→\'V vdλWo λe.我们还记得（ψij）1≤i、 j≤6是一个对称矩阵，定义为ψij:=Xk=1∑ik∑jkλ+‘Vi’Vjvdλ，1≤ i、 j≤ 6.因此，对于任何i，j和t>s，E[ψi（t）ψj（s）]=Xk=1∑ik∑jkλs+\'Vi¨Vjvdλs=ψijs。（B.8）对于任何i=1，2，3，从等式n。（B.3），我们可以计算E[Y（t）ψi（t）]asE[Y（t）ψi（t）]（B.9）=-中兴通讯-Rtsλ′VQb（u）dudE[ψi（t）ψ（s）]-中兴通讯-Rtsλ′VQb（u）duZ（s）Qb（s）dE[ψi（t）ψ（s）]+Zte-Rtsλ′VQb（u）duZ（s）（E[ψi（t）ψ（s）]- E[ψi（t）ψ（s）]- E[ψi（t）ψ（s）]（Qb（s））λ¨Vds。接下来，组合eqn。（B.7），（B.8），（B.9），（2.17）和（2.11），经过一些计算，wegetZte-Rts2λ′VQb（u）dudhψis+Zte-Rts2λ′VQb（u）duZ（s）Qb（s）dhψis+Zte-Rts2λ′VQb（u）du2Z（s）Qb（s）dhψ，ψis=λXj=1Zte-Rts2λ¨VQb（u）du∑2j+Z（s）Qb（s）∑3jds+λvdZte-Rts2λ¨VQb（u）du\'V+Z（s）Qb（s）\'Vds=（b+ct）c+1- bc+1（2+c）（b+ct）cXj=1λ∑2j-∑3ja（1+c）λ′V+λvdc1+c’V!+bcλ′V（b+ct）c- bc（b+ct）cz+ab1+cXj=1λ∑2j-∑3ja（1+c）λ′V∑3j+λvdc1+c\'V\'V+t（b+ct）c+1bc-1λ（V）Xj=1λ（∑3j）+λvd（`V）z+ab1+c, （B.10）andE[Y（t）（ψ（t）- ψ（t）- ψ（t））]=-(ψ- ψ- ψ） 中兴通讯-Rtsλ′VQb（u）哑弹- (ψ- ψ- ψ） 中兴通讯-Rtsλ′VQb（u）duZ（s）Qb（s）ds+（ψ+ψ+ψ）- ψ- ψ- ψ- ψ+ψ+ψ）中兴通讯-Rtsλ′VQb（u）duZ（s）s（Qb（s））λ′Vds=α（b+ct）+β（b+ct）-c+γ测井（b+ct）（b+ct）c+δ+η（b+ct）-C-1，（B.11）式中，α、β、γ、δ在等式n中定义。（B.2）和^α、^β、^γ、^δ、^η在等式中定义。（B.1）。

所以中兴-Rts2λ′VQb（u）du2Z（s）（Qb（s））λ′VE[Y（s）（ψ（s）-ψ（s）- ψ（s））]ds=（b+ct）cZt（b+cs）c-1.-a（1+c）λ′V+z+ab1+cbcλ′V（b+cs）-C-1!·^α（b+cs）+^β（b+cs）-c+γ对数（b+cs）（b+cs）c+δ+η（b+cs）-C-1.ds（B.12）因此，我们通过代入Eqn得到期望的结果。（B.10）和Eqn。（B.12）转化为等式。（B.6）。