限价订单簿中订单位置和相关队列的动态

2022-5-8 05:47:00

极限订单库中订单位置和相关队列的动力学*赵阮+朱令炯2018年9月26日抽象订单头寸是算法交易中的关键变量。本文研究了限价订单簿中订单位置和相关队列的限价行为。除了流程的流体和扩散限制外，还分析了订单位置的影响及其流体限制周围的相关队列。作为推论，导出了极限订货簿中各种利益量的显式解析表达式。1简介在现代金融市场中，自动和电子订单驱动的交易平台已经极大地取代了传统的基于地板的交易；订单到达交易所并在LimitOrder Book（LOB）中等待执行。市场参与者可以发布两种类型的买入/卖出订单，即市场订单和限价订单。限价指令是指以给定的特定价格交易一定数量的证券（股票、期货等）的指令。限价订单被收集并发布在LOB中，LOB包含所有限价买入和卖出订单的数量和每个价格级别的价格。市场指令是指以LOB中可用的最佳价格买入/卖出一定数量股权的指令；然后将其与最佳可用价格匹配，立即进行交易，并相应更新LOB。限价单保留在LOB中，直到针对市场订单执行限价单或取消限价单；可随时取消，无需罚款。市场订单和限额订单的可用性为市场参与者提供了管理和平衡风险和利润的机会。

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2022-5-8 05:47:03

因此，金融数学中增长最快的研究领域之一集中在建模LOB动态和/或最小化库存/执行风险，同时考虑LOB的微观结构。一些例子包括[3,4,6,7,17,18,22,21,26,27,28,38,41,42,45,47,50]。这些优化问题的核心是未执行限制订单的库存风险和市场订单的成本之间的权衡。虽然计算市场订单的成本和费用很简单，但评估限价订单的库存风险要困难得多。分析的关键是LOB中订单位置的动态。因为*加州大学伯克利分校工业工程与运筹学系，加利福尼亚州伯克利94720-1777。电子邮件：xinguo@berkeley.edu.电话：1-510-642-3615。+加州大学伯克利分校工业工程与运筹学系，加利福尼亚州伯克利94720-1777。电子邮件：zruan@berkeley.edu.——明尼苏达大学数学学院，明尼苏达州明尼阿波利斯市，邮编55455。电子邮件：zhul@umn.edu.price-时间优先（即，价格最优的订单优先和先进先出）在大多数交易所，根据监管指南，更好的订单位置意味着等待时间更短，订单执行的可能性更高。在实践中，减少交易的低延迟并获得良好的订单头寸是高频交易公司之间技术竞争背后的驱动力之一。Moallemi和Yuan[44]最近的实证研究表明，订单位置的值（如果定义适当）具有与半个spr相同的数量级。的确，分析订单头寸是研究算法交易策略的关键组成部分之一。

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2022-5-8 05:47:06

了解订单位置和相关队列长度不仅可以为“近期”的交易方向提供有价值的见解，还可以为订单提供额外的风险评估——如果排在任何队列的前面都是好事，那么排在队列的前面就更好了。因此，了解和分析订单位置及其相关队列的动态非常重要。这是我们工作的重点。AparticularpositionA market SellOrderA取消安装IMITBID orderQueueHeadQueue TailFigure 1：订单发生在最佳出价队列中。我们的贡献。队列中订单位置的动态将受到市场订单和取消的影响，其在队列中相对位置的动态也将受到限制订单的影响（见图1）。在不失去一般性的情况下，我们将关注最佳出价队列中的一个订单位置，以及最佳出价和询问问题。由于没有市场订单，其他地区的订单头寸将类似且更简单。首先，我们推导了订单位置和相关的最佳出价和询问队列的流量限制；从某种意义上说，这是过程的一阶近似值。我们证明（定理11和定理31），订单位置接近零的速率与订单到达敏感度的平均值、市场订单的平均大小和队列中取消订单的“修改”平均大小之和成正比；这种修改取决于订单取消的不同假设。我们还推导了执行订单位置所需的（平均）时间。推导过程分为两步。第一步是为相关的出价/询问队列建立功能强大的成员定律；这很简单。

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2022-5-8 05:47:09

第二步是直观的，但需要进行细致的分析，包括将相应的c`adl`ag空间中的随机过程的收敛关系与Skorokhod拓扑传递给积分方程。下一步，我们继续进行ord er位置和相关问题的二阶近似。第一步是为出价和询问队列建立适当形式的差异限制。我们利用随机领域的思想建立了多元泛函中心极限定理（FCLT）。在适当的技术条件下，我们证明了（定理14），队列是二维布朗运动，其均值和协方差结构由序大小和序强度的统计量明确给出。第二步是将FCLTs和fluidlimit结果结合起来，以表明（定理15）顺序位置的函数是具有“均值回归”的高斯过程。平均回复水平基本上是订单位置相对于订单簿净流量修改的队列长度的流动限制，其定义为限制订单减去市场订单和取消。平均值回复的速度与阶比强度和取消率成正比。我们的结果是基于订单到达过程和订单规模的相当一般的技术假设（平稳性和遍历性）。例如，订单到达过程（第4节）可以是泊松过程或霍克斯过程，这两种过程都广泛用于LOB建模；例如，参见Abergel和Jedidi[2]以及Huang、Lehalle和d Rosenbaum[33]。实际上，研究订单头寸可以更直接地估计订单头寸的“价值”，这在算法交易中很有用。

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2022-5-8 05:47:12

事实上，基于流体极限，我们推导出（第4节）订单执行的平均时间和任何相关队列耗尽的平均时间之间的显式分析比较。这是一个重要的信息，尤其是当与价格上涨概率的估计相结合时。后者是LOB的一个核心指标，已在Avellaneda和Stoikov[6]以及Cont和de Larrard[20,19]中针对特殊情况进行了研究。此外，我们从波动分析中得出了队列耗尽的起始时间、预期订单执行时间、订单执行时间和首次命中时间的波动的显式表达式。此外，通过大偏差理论，我们推导了队列偏离其流体极限的尾部概率。相关工作。我们的分析背后的主要思想是分析LOB和多类优先级队列之间的原始连接，因为带有取消的LOB让人想起了放弃队列；例如，见沃德和格林[51,52]。在数学金融文献中，有大量关于在排队框架中建模LOB dyn amics并为队列长度或订单价格确定适当的扩散和流动限制的论文。这项工作可以追溯到Kruk[39]，他在拍卖环境中建立了价格的扩散和流动限制，并表明最佳出价和出价队列在第一象限收敛到反映二维布朗运动。Cont和de Larrard[19]后来对重交易条件下的best Bid和best ask队列得出了类似的结果，他们还确定了在相同的“缩减形式”方法下，在队列长度上的固定条件下，价格动态的差异限制[20]。

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nandehutu2022

2022-5-8 05:47:15

Abergel和Jedidi[1]通过一个具有独立泊松顺序流动过程的连续时间马尔可夫链对订单簿的容量进行了建模，并表明中价具有扩散极限，订单簿是遍历的。Horst和Paulsen[32]在一个非常普遍的主题设置下，研究了包括价格和数量在内的整个限额订单簿的流量限额。他们的分析在Horst和Kreher[31]中得到了进一步扩展，其中theorder动力学可能取决于LOB的状态。在不同的时间和空间比例下，Blanchet和Chen[9]得出了每交易过程价格的纯跳跃极限，以及价格传播过程的跳跃差异极限。我们的结果之一，定理14，主要与[19]中的差异极限有关，但又有所不同。这是不同缩放方法的结果。为了让美国分析订单头寸的动态，我们需要区分市场订单和取消订单的限制订单，其中[19]订单流程是从限制订单、市场订单和取消订单汇总而来的。由于这种聚合，他们可以使用经典排队论中“重极限”的主要思想，并假设平均顺序流量由方差控制。虽然这一假设[19，假设3.2]对他们的分析至关重要，但在我们的环境中，它并不适用于每种独立订单类型。另一方面，如果我们强加这一假设，我们的结果将减少到他们的结果，因为等式n中的第二项。（3.7）将完全消失。据我们所知，顺序位置的动力学及其与队列长度的关系是我们工作的重点，以前还没有研究过。

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2022-5-8 05:47:18

事实上，经典的queuingtends更多地关注整个系统的稳定性，而不是分析单个请求。算法交易中的大多数现有建模方法都忽略了订单头寸，对其执行概率的影响非常有限。例如，这样的概率是在Cont和de Larrard[19,20]以及Guo，de Larrard和Ruan[29]中假设为常数，或者在Hultand Kiessling[34]中将整个LOB建模为马尔可夫链进行数值计算，或者在Cont和Stoikov[34]中使用齐次泊松过程对订单进行分析，和Talreja[22]。2订单位置和相关队列的流体极限2。1注释在不丧失一般性的情况下，考虑最佳出价和出价队列。然后有六种类型的订单：最佳出价订单（bb）、最佳出价市场订单（mbb）、最佳出价取消订单（cbb）、最佳任务（ba）、最佳任务市场订单（mba）和最佳任务取消订单（cba）。用N=（N（t），t表示订单到达过程≥ 0）具有到达时间{Di}i≥1.此处（t）=最大值（m:mXi=1Di）≤ t）。对于sim plicity，假设不同类型的订单不会同时到达。将这六种类型中任何一种的顺序到达视为一个点过程，并定义一个六维随机向量序列{-→Vi}i≥1.第i个订单在哪里-→Vi=（Vbbi，Vmbbi，Vcbbi，Vbai，Vmbai，Vcbai）：=（Vi，Vi，…，Vi），表示六种订单类型的大小；根据假设，只有一个条目-→这是积极的。例如，-→V=（0,0,0,4,0,0）表示第五个订单的大小为4，类型为ba，即在最佳要求下的限制订单。

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2022-5-8 05:47:21

在本文中，我们只考虑c`adl`ag过程。为了便于在正文中引用，我们将使用以下符号D[0，T]是[0，T]上一维c`adl`ag函数的空间，而DK[0，T]是[0，T]上K维c`adl`ag函数的空间。C接下来，除非另有规定，否则该空间中的收敛是在配备了Jtopology的DK[0，T]中弱收敛的意义上L∞[0，T]是函数f的空间[0，T]→ RK，配备uniformconvergence拓扑AC[0，T]是函数f[0，T]的空间→ 绝对连续且f（0）=0AC+[0，T]是非递减函数的空间f:[0，T]→ Rk是绝对连续的，f（0）=0。同样，我们定义了[0，∞), DK[0，∞), L∞[0, ∞), AC[0，∞), AC+[0，∞) 对于T=∞.2.2技术假设和准备为了研究订单位置和相关队列的流量限制，我们首先需要引入一些技术假设。假设1。{Di}i≥1是一个正随机变量的平稳数组，带有D+D+·Dii→λ、很可能就像我→ ∞, 其中λ是一个正常数。假设2。{-→Vi}i≥1是平方可积随机向量的平稳数组-→五+-→V+··+-→七、→-→“V，很可能就像我一样→ ∞, 哪里-→\'V=（\'V，\'V，\'V，\'V）是一个常数向量。假设3。{Di}i≥1独立于{-→Vi}i≥1.现在，我们定义了一个新流程-→具体如下：，-→Cn（t）=nN（nt）Xi=1-→Vi.（2.1）我们称之为这样一个过程-→C按比例计算的净订单流量过程。定理4。假设1和2，对于任何T>0，-→Cn=> λ-→\'ve，in（D[0，T]，J）作为n→ ∞,其中e是身份函数。证据

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能者818

2022-5-8 05:47:25

首先，我们定义了规模化过程SDnand-→SVnbySDn（t）=n新界Xi=1Di，-→SVn（t）=n新界Xi=1-→Vi.然后根据假设1和Glynn and Whitt[25，定理5]，大数定律（SLLN）也遵循，即limi→∞D+D+···+Dii=λ，a.s.然后通过SLLN和FSLLN的等价性[25，定理4]，很明显，对于任何T>0，SDn=nn·Xi=1Di=>eλ，a.s.in（D[0，T]，J）作为n→ ∞.而且,-→Vis square可积，因此E[Vj]<∞ 一个人≤ J≤ 6.注意{Vji}i≥1是静止的，应用Birkhoff的遍历定理[11，定理6.28]得出tonnXi=1Vji→ E[Vj | Ij]，a.s.作为n→ ∞,其中ij是{Vji}i的不变σ-代数≥1.鉴于{Vji}i的WLLN≥1，它遵循e[Vj | Ij]=“Vj”，和nnxi=1Vji→“Vj，a.s.作为n→ ∞.因此，在[25，Theorem 4]中，-→SV，jn=nn·Xi=1Vji=>\'Vje，a.s.in（D[0，T]，J）as n→ ∞因为{SDn}n的极限过程≥1和{SV，jn}n≥1, 1 ≤ J≤ 6是确定性的，那么根据[53，定理11.4.5](-→SVn，SDn）=>-→\'ve，eλ, a、 s.in（D[0，T]，J）作为n→ ∞.最后，根据[53，定理9.3.4]，-→Cn=> λ-→\'ve，in（D[0，T]，J）作为n→ ∞.接下来，我们继续研究最佳出价中的订单位置，以及最佳出价和最佳出价的相关队列。我们进一步假设假设5。取消在每个队列上均匀分布。我们将看到，关于取消的假设并不重要，除了影响订单位置流体限制的准确形式。

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2022-5-8 05:47:28

（见第5节定理31，无此假设。）现在，用QbN和QbN定义最佳出价队列和最佳ASK队列的缩放队列长度，以及缩放订单位置ZnbyQbn（t）=Qbn（0）+Cn（t）- Cn（t）- Cn（t），Qan（t）=Qan（0）+Cn（t）- Cn（t）- Cn（t），dZn（t）=-dCn（t）-锌（t）-)Qbn（t-)dCn（t）。（2.2）上述方程是向前的：根据相应的订单流程，买卖队列长度随限价订单增加而增加，随市场订单和取消而减少；随着取消订单和市场订单的到来，订单头寸将减少并向零移动；新的限制订单的到达不会改变这个特定的订单位置；然而，根据假设5，限制订单的到达可能会改变订单位置接近零的速度，因此Zn（t）的系数-)Qbn（t-).严格地说，Eqn。（2.2）只描述了三元组（Qbn（t）、Qan（t）、Zn（t））在它们中的任何一个达到零之前的动态：Zn达到零意味着下的订单已经执行，而Qanhitting零意味着最好的询问队列已经耗尽。由于我们的主要利益在于订单位置，我们可以在几乎没有风险的情况下截断流程，以避免边界上不必要的技术难题。也就是说，定义τn=min{τzn，τan，τbn}，（2.3），其中τbn=inf{t≥ 0:Qbn（t）≤ 0}，τan=inf{t≥ 0:Qan（t）≤ 0}，τzn=inf{t≥ 0:Zn（t）≤ 0}.现在，定义被截断的过程Qbn（t）=Qbn（t∧τn），~Qan（t）=Qan（t∧τn），~Zn（t）=Zn（t∧τn）。（2.4）尽管如此，目前尚不清楚这些被截断的过程是否会得到很好的定义，因为我们事先不知道该术语是否正确-锌（t）-)Qbn（t-)当qbn为零时，它是有界的。然而，这并不是一个问题。Eqn。（2.4）定义明确，含锌（t）≤ Qbn（t）表示任何时间t≤ min（τzn，τan）。特别是τzn≤ τbn。证据注意-→这是一个积极的过程。

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nandehutu2022

2022-5-8 05:47:31

因此，当δZn（t）=0时，我们有δCn（t）>0和δQbn（t）>0；当δCn（t）>0时，我们得到δQbn（t）=δZn（t）；当δCn（t）>0时，我们有δQbn（t）Qbn（t）-)=δZn（t）Zn（t）-). 因此，当0<Zn（t-) ≤ Qbn（t-), 我们有锌（t）≤ Qbn（t）。此外，在任何给定的时间范围内，订单到达的数量以概率1确定。这个引理虽然简单，但在确保订单位置和相关队列的流量限制在重新缩放后得到很好的定义方面发挥了重要作用。也就是说，我们可以在t的任何时间扩展Qbn、Qan和zn的定义≥ 0.为了简单起见，在本文的其余部分中，我们将使用Qbn、Qan和Zn，而不是t上定义的<<Qbn、<<Qan和>>Zn≥ 0.截断过程的动力学可以用以下矩阵形式描述。DQbn（t）Qan（t）Zn（t）=1.-1.-1 0 0 00 0 0 1 -1.-10-1.-锌（t）-)Qbn（t-)0 0 0伊坎（t）-)>0，Qbn（t-)>0，Zn（t-)>0·d-→Cn（t）。（2.5）修改后的流程在达到零之前与原始流程一致，这意味着≤τn=IQan（t-)>0，Qbn（t-)>0，Zn（t-)>0.为了建立联合过程（Qbn，Qan和Zn）的流体极限，我们发现，从存在各种形式的函数强大数定律的经典概率论中建立（Qbn，Qan）的极限过程是公平的标准。但是，检查Eqn。（2.5）对于Zn（t），我们看到，为了从QbN的流体极限传递到Zn（t）的流体极限，我们有效地需要传递一些c`adl`ag过程（Xn，Yn）到（X，Y）在斯科罗霍德拓扑图中的收敛关系，到nRxn和yntorxdy之间的收敛关系。也就是说，考虑一系列随机过程{Xn}n≥由SDEsXn（t）=Un（t）+ZtFn（Xn，s）序列定义-)dYn（s），（2.6）其中{Un}n≥1，{Yn}n≥1是两个随机过程序列和{Fn}n≥1是一系列函数。现在，假设{Un，Yn，Fn}n≥1以某种方式接近{U，Y，F}。

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2022-5-8 05:47:34

然后是方程的解的顺序。（2.6）收敛到解toX（t）=U（t）+ZtF（X，s）-)什么？事实证明，这种收敛关系是微妙的，很容易失败，下面的简单例子就说明了这一点。例7。让{Xi}i≥1是一系列相同分布的随机变量，取值为{-1，1}这样P（X=1）=P（X=-1） =P（Xi+1=1 | Xi=1）=P（Xi+1=-1 | Xi=-1） =对于i>1。定义序列号（t）=√NP新界i=1Xi。注意{Xi}i≥1是一个均值为零的严格平稳序列，是一个具有有限状态空间的马尔可夫链{-1, 1}. 由于转移概率矩阵的每个条目严格在0和1之间，因此序列ce{Xi}i≥1是ψ-混合，参见[46]。注意，ψ混合意味着φ-混合，例如参见[10]。根据平稳性，limn→∞氖nXi=1Xi！= σ=E[X]+2∞Xi=1E[XXi+1]。我们可以通过归纳法来计算，对于任何i≥ 1，E[XXi+1]=E[XXi]+E[X(-因此，我们有σ=1+2P∞i=1i=3。对于严格平稳中心φ-mixin g序列，与eh（Pni=1Xi）i→ ∞ 作为n→ ∞ E[|X | 2+δ]<∞ 对于某些δ>0的情况，不变性原理成立，例如[35]，即sn收敛到σB。因此sn收敛到√3B。现在定义一个序列，其中包含一个序列，其中一个序列是de的dYn（t）=Yn（t）dSn（t），一个序列是Yn（0）=1。显然，自从Xi∈ {±1}和| Xi|≤ 1，对于有效的大n，Yn（t）=新界Yi=11+Xi√N= eP新界i=1log（1+Xi）√n） =e√NP新界i=1Xi-2n新界+n，其中n |≤C√n、其中C>0是一个常数。因此，Yn收敛到exp描述的极限过程{√3B（t）-t} ，作为n→ ∞. 然而，dY（t）=Y（t）d的解(√Y（0）=1的3B（t））由Y（t）=exp给出{√3B（t）-3t}。然而，在假设1、2、5中规定的适当条件下，可以建立所需的收敛关系。使用Kurtz和Protter[40，定理5.4]的结果证明，这些假设是有效的。

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nandehutu2022

2022-5-8 05:47:37

为了完整起见，我们接下来给出这个结果，以及收敛所需的技术条件。2.3迂回：Kurtz和Protter[40]的随机过程收敛定义hδ（r）：[0，∞) → [0, ∞) 由hδ（r）=（1）- δ/r）+。定义Jδ：Dm[0，∞) → Dm[0，∞) byJδ（x）（t）=Xs≤thδ（|x（s）- x（s）-)|)（十）- x（s）-)).设Yn为一系列适用于Ft.定义Yδn=Yn的随机过程- Jδ（Yn）。LetYδn=Mδn+Aδnbe Yδn的分解为一个傅立叶局部鞅和一个具有有限差分的过程。条件8。对于每个α>0，存在停止时间ταnsuch，P{ταn≤ 1} ≤ 1/α和supne[[Mδn]t≤ταn+T（Aδn）T≤ταn]<∞, 其中[Mδn]t≤ταndente表示Mδnup对时间ταn和T（Aδn）T的总二次变化≤ταndente表示Aδnup随时间ταn的总变化。T[0，∞) 表示[0]的非递减映射λ的集合，∞) 到[0，∞) （特别是，λ（0）=0）使得λ（h+t）-λ（t）≤ h代表所有t，h≥ 0.设Mkmbe为实值k×m矩阵的空间，DMkm[0，∞) c`adl`ag函数的空间从[0，∞) 给Mkm。假设存在映射pin gs Gn，G:Dk[0，∞) ×T[0，∞) → DMkm[0，∞) 这样Fno λ=Gn（x）o λ、 λ）与f（x）o λ=G（x）o λ、 λ）对于（x，λ）∈ Dk[0，∞) ×T[0，∞).条件9。（i）对于每个紧致子集H Dk[0，∞) t>0，sup（x，λ）∈Hsups≤t | Gn（x，λ，s）-G（x，λ，s）|→ 0;（ii）对于{（xn，λn）}∈ Dk[0，∞)×T[0，∞), 小吃≤t | xn（s）-x（s）|→ 0和su-ps≤t |λn（s）-λ（s）|→ 0对于每个t>0意味着支持≤t | G（xn，λn，s）- G（x，λ，s）|→ 0.定理10。假设（Un，Xn，Yn）满足Xn（t）=Un（t）+ZtFn（Xn，s）-)戴恩（s）、（Un，Yn）=> （U，Y）在Skorokhod拓扑中，{Yn}满足条件8，对于某些0<δ≤ ∞. 假设{Fn}和F具有满足条件9的{Gn}和G的表示。

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2022-5-8 05:47:40

如果存在全局解X ofdX（t）=U（t）+ZtF（X，s-)dY（s），并且本地唯一性保持不变，然后（Un，Xn，Yn）=> （U，X，Y）。2.4订单位置和相关队列的流体限制我们现在准备好建立我们的第一个结果。定理11。在假设1、2、3和5的情况下，假设存在常数qb、qa和z（Qbn（0）、Qan（0）、Zn（0））=> （qb，qa，z）。然后，对于任何T>0，方程n。（2.5）（Qbn、Qan、Zn）=> （Qb，Qa，Z）在（D[0，T]，J）中，其中（Qb，Qa，Z）由Qb（T）=Qb给出- λvb（t）∧τ，（2.7）Qa（t）=Qa- λva（t）∧τ），（2.8）和对于t<τ，dZ（t）dt=-λ“V+”VZ（t-)Qb（t）-), Z（0）=Z.（2.9）这里τ=min{τa，τb，τZ}，τa=qaλva，τb=qbλvb，（2.10）和τZ=（1+c）za+bc/（c+1）b1/（c+1）c-1.- b/c/∈ {-1,0}，b（1）- E-zab）c=-1，b日志扎布+1c=0。（2.11）此外，如果vb>0，va>0，qa/va>qb/vb，则τzn→ τza。s、作为n→ ∞, 式中=λ′V，b=qb/（λ′V），c=-vb’V，（2.12）vb=-\'V+\'V+\'V，va=-“V+”V+”V.（2.13）证明。注意Eqns。（2.7）、（2.8）、（2.9）满足以下SDE\'sdQb（t）Qa（t）Z（t）=1.-1.-1 0 0 00 0 0 1 -1.-10-1.-Z（t）-)Qb（t）-)0 0 0IQa（t）-)>0，Qb（t-)>0，Z（t）-)>0λ-→\'V dt；（2.14）（Qb（0），Qa（0），Z（0））=（Qb，Qa，Z）。因此，我们首先展示了方程的收敛性。(2.14). 现在，s et Yn=-→Cn，Xn=（Qbn，Qan，Zn）和fn（x，s）-) = F（x，s）-) =1.- 1.-1 0 0 00 0 0 1 -1.-10- 1.-x（s）-)x（s）-)0 0 0九（s）-)>为了应用定理10，我们需要分解Yn。

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2022-5-8 05:47:44

现在取δ=∞, 定义过滤系数Fnt:=σ（{n（s）}0≤s≤新界{-→Vi}1≤我≤N（nt））和Gi:=σ({-→Vk}1≤K≤i），Mn（t）=nN（nt）Xi=1-→六、- E[-→Vi | Gi-1] ，andAn（t）=Yn（t）- Mn（t）。我们将证明mn是关于fn和{Yn}n的鞅≥满足OREM 10中的条件。对于s∈ [0，t），很容易看出假设3意味着[-→Vi | FnnPi-1k=1Dk]=E[-→Vi | Gi-1].图塞赫-→Vi | Gi-1iFns∩ （N（ns）<i）i=ehh-→Vi | FnnPi-1k=1DkiFns∩ （N（ns）<i）i=Eh-→六、Fns∩ （N（ns）<i）i.同时，FnnPik=1Dk∩ （N（ns）≥ （一） Fns∩ （N（ns）≥ i）。图塞赫-→Vi | Gi-1iFns∩ （N（ns）≥ i） i=ehh-→Vi | FnnPik=1DkiFns∩ （N（ns）≥ i） i=呃-→六、FnnPik=1Dk∩ （N（ns）≥ i） i=呃-→Vi | Gi-1.∩ （N（ns）≥ i）一,而且呢?-→六、Fns∩ （N（ns）≥ i）我=-→探视-→就Fns而言，Vi是可测量的∩（N（ns）≥ i）。因此，E锰（t）Fns= EN（nt）Xi=1-→六、- E[-→Vi | Gi-1] nFns=nN（ns）Xi=1嗯-→Vi | Fns∩ （N（ns）≥ i）我- EhE[-→Vi | Gi-1.∩ （N（ns）≥ i） ]Fnsi+氖N（nt）Xi=N（ns）+1-→六、- E[-→Vi | Gi-1]Fns∩ （N（ns）<i）=nN（ns）Xi=1-→六、- E[-→Vi | Gi-1.∩ （N（ns）≥ i） ]+nλn（t）- （s）E[-→六、Fns∩ （N（ns）<i）]- EhE[-→Vi | Gi-1]Fns∩ （N（ns）<i）i=nN（ns）Xi=1-→六、- E[-→Vi | Gi-1.∩ （N（ns）≥ i） ]= Mt（s）。E|Mn（t）|<∞ 直接遵循假设2。因此，Mn（t）是鞅。Mn（t）的二次方差如下：[Mn]t=ntnXj=1EλVji- 埃夫吉Gi-1i=tnXj=1λEVji- 2VjiEhVjiGi-1i+埃夫吉Gi-1i=tnXj=1λEVji- E埃夫吉Gi-1i≤tnXj=1λEVji,自从埃夫杰赫吉Gi-1ii=ehvjiehvjiGi-1iiGi-1i=EEhVjiGi-1i.因此E[[Mn]t]在n中是一致有界的，因为-→是平方可积的。设[T（An）]T表示Anup对时间T的总变化。那么E[[T（An）]T]也一致有界于n，asE[[T（An）]T]=tXj=1λE埃夫吉Gi-1i≤ tXj=1λehh | Vji|Gi-1ii（2.15）=tXj=1λE|Vj|<∞, （2.16）式中的不等式。（2.15）使用詹森不等式f或条件期望和Qn。

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2022-5-8 05:47:47

（2.16）遵循平方可积性假设。因此，用ταn=α+1满足条件8。此外，取Gn（xo e、 e）=Fn（x）=F（x），根据[40]很容易看出条件9是满足的。现在Qa（t）=0，当t=τaas在等式n中给出时。(2.10); τa>0，如果\'V-\'V-V<0；否则，qa（t）永远不会达到零，在这种情况下，定义τa=∞. τbis的情况类似。仍然需要找到极限方程的唯一解。(2.14). Z（t）whenZ（t）的方程-) > 0是具有解z（t）的一阶线性常微分方程=-a1+c（b+c（t∧ τ)) +z+ab1+cbb+c（t）∧ τ)1/cc/∈ {-1,0}（a日志（b）- （t）∧τ））+z/b- a日志b）·（b）-（t）∧ τ））c=-1，（z+ab）e-电汇- ab c=0。（2.17）根据该解，我们可以精确地解出τzexplicit，如等式n所示。(2.11). 注意，z（t）的表达式可能不是单调的，当c6=0时，可能有多个根。然而，很容易检查等式n中给出的解。（2.11）是最小的正r oot。例如，whenc/∈ {-1，0}，有两个根-b/c和（1+c）za+bc/（c+1）b1/（c+1）c-1.- b/c和当c=-1，有两个根b和b（1-E-扎布）。更多的计算证实，最小的正片是τz=（1+c）za+bc/（c+1）b1/（c+1）c-1.-b/c换c/∈ {-1,0}和τz=b（1-E-zab）对于c=-1.此外，τz<τb来自这些计算。

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2022-5-8 05:47:51

因此，τ=min{τa，τz}是定义明确的。下图显示了（Qb（t）、Qa（t）、Z（t））的流体极限，其中Qb（0）=Qa（0）=Z（0）=100，λ=1，\'V=\'V=1，\'V=0.6，\'V=0.8，\'V=0.7，\'V=0.8.0 10 20 40 50 70 80 90010203040507080901000时间队列长度图2：流体极限（Qb（t）、Qa（t）的说明，Z（t））.3波动分析上一节中的流体极限基本上是功能强大的大数定律，很可能被视为订单位置和相关队列的“一阶”近似值。在本节中，我们将继续获得这些过程的“二阶”近似值。我们将首先为队列推导出适当的扩散极限，然后分析这些过程如何围绕其相应的流动极限“流动”。此外，我们还将应用大偏差原则来计算这些过程偏离其流体极限的罕见事件的概率。3.1最佳出价和最佳出价队列的差异限制我们将采用与上一节相同的订单到达流程符号。然而，我们需要更有力的假设来进行扩散极限分析。关于某些混合条件下的多元中心极限定理（CLT）有丰富的文献，例如Tone[48]。然而，这些都不是具有混合条件的功能性CLT（FCLT）。在相关随机场的极限定理文献中，FCLT是在一些弱依赖条件下导出的，带有极限过程渐近协方差的显式公式。在这里，为{-→Vi}i≥1.我们将遵循[16]中的规定。读者可以在Bulinski和S hashkin[15，第5章，定理1.5]的框架中找到更多细节。假设12。

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2022-5-8 05:47:54

{N（i，i+1]}i∈zi是一个平稳的遍历序列，λ：=E[N（0，1]]∞ ,和∞Xn=1kE[N（0,1]- λ| F-∞-n] k<∞, （3.1）其中kY k=（E[Y]）1/2和F-∞-n:=σ（n（i，i+1），i≤ -n）。假设13。让n∈ N和M（N）表示Rn上的实值有界坐标系非减Borel函数类。设| I |表示当I是集合时I的基数，| |·| |表示L∞-标准让{-→Vi}i≥1是R值随机向量的平稳序列，对于任何有限集I N、 J N、还有f，g∈ M（6 | I |），一个哈斯科夫（f(-→六），g(-→VJ）≥ 0.此外，对于1≤ J≤ 6，vj=Var（vj）+2∞Xi=2Cov（Vj，Vji）<∞.评论请注意，i.i.d.序列{-→Vi}i≥1完全满足上述假设，如果-→Vis平方可积。不难看出假设12意味着假设1，假设13意味着假设2。特别是，定理11在假设12和13下成立。通过这些假设，我们可以确定集中和缩放的净订单流量-→ψn=(-→ψn（t），t≥0）由-→ψn（t）=√NN（nt）Xi=1-→六、- λ-→\'V nt. （3.2）在这里，-→\'V=（\'Vj，1≤ J≤ 6） =（E[Vji]，1≤ J≤ 6），是订单大小的平均向量。接下来，定义RB和Ran，分别为最佳出价和最佳询问重新调整时间的队列长度，bydRbn（t）=d（ψn（t）+λ¨Vt）-d（ψn（t）+λ′Vt）-d（ψn（t）+λ′Vt），dRbn（t）=d（ψn（t）+λ′Vt）-d（ψn（t）+λ′Vt）-d（ψn（t）+λ′Vt）。上述方程式的定义与流体极限方程式的定义一样直观。这里唯一的解释是，漂移项被添加回队列长度的动态中，因为-→ψ已重新居中。方程也可以写成更紧凑的矩阵形式，dRbn（t）Ran（t）！=A·d-→ψn（t）+λ-→V t, （3.3）用线性变换矩阵=1.-1.-1 0 0 00 0 0 1 -1.-1.. （3.4）然而，Eqn。（3.3）可能没有很好的定义，除非Rbn（t）>0和Ran（t）>0。

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2022-5-8 05:47:57

与流体分析一样，当其中一个队列消失时，可以截断流程。也就是说，defineιan=inf{t:Ran（t）≤ 0}，ιbn=inf{t:Rbn（t）≤ 0}，ιn=inf{ιan，ιbn}，（3.5）并通过drbn（t）Ran（t）！=美国在台协会≤ιn·d-→ψn（t）+λ-→V t用RBN（0）跑（0）=Rbn（0）跑（0）！。（3.6）现在，我们将展示定理14。假设3、12和13，对于任何T>0，我们有-→ψn=>-→ψd.=∑-→Wo λe--→\'V vdWo λe in（D[0，T]，J）。（3.7）这里是标准的标量布朗运动，Vd由等式n给出。(3.11),-→W是一个标准的六维布朗运动，与W无关，o 表示函数的组成，∑由∑∑T=（ajk）和ajk=（vjj表示j=k，ρj，kvvkf表示j 6=k，（3.8）和Vj=Var（Vj）+2给出∞Xi=2Cov（Vj，Vji），ρj，k=vvkcov（Vj，Vk）+∞Xi=2Cov（Vj，Vki）+Cov（Vk，Vji）!.（3.9）也就是说，-→ψ=（ψj，1）≤ J≤ 6）是一个具有零漂移和方差协方差矩阵（λ∑T∑+λvd）的六维布朗运动-→\'V·-→“VT.”如果（Rbn（0），Ran（0））=> （qb，qa），然后对于任何T>0，RbnRan！=>RbRa！in（D[0，T]，J）。这里，到边界第一次击中时间的扩散极限过程（Rb，Ra）Tup是一个带漂移的二维布朗运动-→u和方差-协方差矩阵为-→u：=（u，u）T=λA·-→V和∑T:=A·（λ∑T∑+λvd-→\'V·-→“VT）·在。（3.10）证据。首先，定义NnbyNn（t）=N（nt）- nλt√n、现在回想一下[8，197页]中的FCLT。对于平稳、遍历和平均零序（Xn）n∈Z、这令人满意≥1kE[X | F-∞-n] k<∞, 我们有√NPn·i=1Xi=> W（·）在（D[0，T]，J）上，vd=E[X]+2P∞n=1E[XXn]<∞, 这里是标准的一维布朗运动。因为序列{N（i，i+1]}i∈Z统计假设12，Nn·- λn·√N=> vdW（·），in（D[0，T]，J）作为n→ ∞, 式中vd=E[（N（0，1）]- λ)] + 2∞Xj=1E[（N（0，1）]- λ）（N（j，j+1）- λ)] < ∞.

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2022-5-8 05:48:00

（3.11）接下来，对于任何>0和n足够大的情况，Psup0≤s≤TNns- λns√N-Nns- λns√N> !≤ Pmax0≤K≤新界,K∈锌[k，k+1]>√N- λ≤ (新界 + 1） P（N[0,1]>√N- λ)≤新界 + 1(√N- λ）锌[0,1]>√N-λN[0,1]dP→ 0，作为n→ ∞. 因此，Nn=> vdWin（D[0，T]，J）as n→ ∞.此外，由于[16，定理2]，假设13意味着-→ΦVn=> Σ-→W in（D[0，T]，J），其中-→W是一个标准的六维布朗运动，∑是一个6×6的矩阵，代表极限过程的尺度。此外，∑的表达式为Eqn。（3.8）和Eqn。（3.9）可根据[16，定理2]显式计算。现在，根据假设3，联合收敛由[53，定理11.4.4]保证，即（Nn，-→ΦVn）=> （vdW，∑）-→W） in（D[0，T]，J）。此外，通过[53，推论13.3.2]，我们看到-→ψn=>-→ψd.=∑-→Wo λe--→\'V vdWo λe in（D[0，T]，J）。为了建立定理的第二部分，很明显，极限过程将满足ydrb（t）Ra（t）！=美国在台协会≤ι·d-→ψ（t）+λ-→V t,（Rb（0），Ra（0））=（qb，qa），（3.12）带ιa=inf{t:Ra（t）≤ 0}，ιb=inf{t:Rb（t）≤ 0}，ι=min{ιa，ιb}。（3.13）我们现在展示（Rbn，Ran）=> （Rb，Ra）in（D[0，T]，J）。（3.14）根据Cram’er-Wold装置，它相当于显示任何（α，β）∈ R、 αRbn+βRan=> αRb+β雨（D[0，T]，J）。（3.15）自-→ψn=>-→ψin（D[0，T]，J），再次通过克拉姆-沃尔德装置（α，β）·A·-→ψn=> （α，β）·A·-→ψin（D[0，T]，J）。通过定义，很容易看出αRbn（t）+βRan（t）=（α，β）·A·-→ψn（t）∧ιn）+-→V（t）∧ ιn）+ αqb+βqa。由于截断函数是连续的，根据连续映射定理，它断言eqn。（3.15）保持不变，期望的收敛性随之而来。而且因为-→ve是确定性的，αqb+βqa是常数，我们在qn中有收敛性。（3.15），以及等式n中的收敛性。(3.14).

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2022-5-8 05:48:03

注意ιn，n≥ [53，定理13.6.5]，（ιn，Rbn（ιn-), 冉（ιn）-)) => ι，Rb（ι-), Ra（ι）-)).评论定理14在没有假设3的情况下成立，只要（ΦDn，-→ΦVn）保证联合收敛。3.2队列和订单位置的波动分析基于订单位置和相关队列的扩散和流动极限分析，可以考虑订单位置和相关队列围绕其透视流动极限的波动。定理15。假设3、5、12和13，我们有√NQbn- QBchan- 卡赞- Z=>Ψ- Ψ- ΨΨ- Ψ- ψY, in（D[0，τ），J）作为n→ ∞. 这里（Qbn，Qan，Zn），（Qb，Qa，Z）在方程qn中给出。（2.2）和定理11，（ψj，1≤ J≤ 6）在等式中给出。（3.7）和Y满意度（t）=Z（t）（ψ（t）- ψ（t）- ψ（t））Qb（t）- Y（t）λ′VQb（t）dt-dψ（t）-Z（t）Qb（t）dψ（t），（3.16）与Y（0）=0。证据假设3，5，12和13，我们从定理14，-→ψn=√NN（N·）Xi=1-→六、- λn-→“V e=>-→ψ，in（D[0，τ），J）。因此，我们在（D[0，τ），J）中有以下收敛性，√n（Qbn）- （问题二）=> Ψ- Ψ- Ψ,√n（Qan）- （质量保证）=> Ψ- Ψ- Ψ.由于定理11在假设12和13下成立，我们现在使用Zn（t）inEqn的动力学。定理11中的Z（t）和getd（Zn（t）-Z（t））=-d（Cn（t）- C（t））-锌（t）-)Qbn（t-)dCn（t）+Z（t）-)Qb（t）-)dC（t）=-d（Cn（t）- C（t））-锌（t）-)Qbn（t-)d（Cn（t）- C（t））+Z（t）-)Qb（t）-)-锌（t）-)Qbn（t-)dC（t）。我们可以重写这个asd（Zn（t）- Z（t））+锌（t）-) -Z（t）-)Qb（t）-)dC（t）=dXn（t），Xn（t）=-（中国（t）- C（t））-ZtZn（s）-)Qbn（s）-)d(中国)- C（s））+ZtZn（s）-)（Qbn（s）-) - Qb（s）-))Qb（s）-)Qbn（s）-)dC（s）。现在√nXn=> -Ψ-Z·Z（s）-)Qb（s）-)dψ（s）+Z·Z（s）-)（ψ（s）-) - ψ（s）-) - ψ（s）-))（Qb（s）-))λ¨VdsAs极限过程-→ψ和Qb，qa是连续的，这可以变成√nXn=> -Ψ-Z·Z（s）Qb（s）dψ（s）+Z·Z（s）（ψ（s）-ψ（s）-ψ（s））（Qb（s））λ′Vds。因此√n（Zn）- Z）=> Y、其中Y满足等式。

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2022-5-8 05:48:07

（3.16）.3.3大偏差除了上一节中的波动分析外，还可以进一步研究标度过程（Qbn（t），Qan（t））偏离其流体极限的罕见事件的概率。非正式地说，我们对概率P（Qbn（t），Qan（t））感兴趣（fb（t），fa（t）），0≤ T≤ T）asn→ ∞, 其中（fb（t），fa（t））是一对给定的函数，可以不同于流体极限（Qb（t），Qa（t））。回想一下序列（Pn）n∈拓扑空间X上的Nof概率测度满足率函数I:X的大偏差原理→ R如果I是非负的，下半连续的，对于任何可测集A，我们有- infx∈AoI（x）≤ 林恩芬→∞nlog Pn（A）≤ 林尚→∞nlog Pn（A）≤ - infx∈AI（x）。如果水平集{x | I（x）为≤ α} 对于任何α都是紧凑的≥ 0.这里，AO是一个andA的内部，是它的闭合。最后，大偏差中的收缩原理表示，如果Pn满足X上的大偏差原理，则速率函数I（X）和F:X→ Y是一个连续映射，那么概率测度Qn:=PnF-1用速率函数I（Y）=infx | F（x）=yI（x）统计大偏差原则Y。感兴趣的读者可以参考Dembo和Zeitouni[24]以及Varadhan[49]的标准参考文献，了解大偏差的一般理论及其应用。回想一下，在假设1、2和3下，我们得到了（Qbn（t）、Qan（t））的FLL N结果，在假设12、13和3下，我们得到了（Qbn（t）、Qan（t）的FCLT结果。用更强的假设取代假设1、2，以获得（Qbn（t）、Qan（t）的大偏差结果，这是自然的。我们将通过假设(-→Vi）我∈Nand（N（i）-N（i）-1））我∈n满足以下假设16和17除了假设3，通过Bryc和Dembo[14]的大偏差结果，我们将得到大偏差f或（Qbn（t），Qan（t））。假设16。

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2022-5-8 05:48:11

让我∈Nbe一个具有σ代数F的平稳RK值随机向量序列lmde定义为σ（Xi，m≤ 我≤ l). 对于每一个C<∞, 有一个不减损的序列l（n）∈ N与p∞n=1l（n） n（n+1）<∞ 例如supnp（A）P（B）- El（n） P（A）∩B） | A∈ Fk，B∈ Fk+k+l（n） k+l（n），k，k∈ 不≤ E-中国，supnP（A）∩B）- El（n） P（A）P（B）|A∈ Fk，B∈ Fk+k+l（n） k+l（n），k，k∈ 不≤ E-中国。假设16在[24，第6.4节]的超混合条件下成立，在Bryc[13，（1.10），（1.12）]的ψ-mixin条件下成立，在Bryc和Dembo[14，命题2]的平稳过程的超指数α-混合率下成立。因此，如果(-→Vi）我∈Nand（N（i）- N（i）- 1））我∈n满足假设16，则假设1和2满足。如果Xi是m依赖的，则假设16也成立。为了得到大偏差的结果，我们还需要假设(-→Vi）我∈Nand（N（i）-N（i）- 1））我∈n满足以下条件：假设17。对于所有0≤ γ、 R<∞,gR（γ）：=supk，m∈N、 k∈[0，Rm]mlog EheγkPk+mi=k+1Xiki<∞,A:=supγlim supR→∞R-1gR（γ）<∞.注：如果Xi是有界的，则第17节是完全满足的。如果Xi是I.I.d.随机变量，则假设17与Xi矩母函数的完整性有关，这是Mogulskii定理的标准假设（[24，定理5.1.2]）。因此，假设17是大偏差的自然假设。在假设16和假设17下，Dembo和Zajic[23]证明了P（nP）的样本路径大偏差原理·Ni=1Xi∈ ·) （为了便于参考，我们在附录A中将其列为定理38）。由此，我们可以展示以下内容。引理18。两个都让(-→Vi）我∈Nand（N（i）-N（i）-1））我∈n满足假设16和假设17，让假设3成立。

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能者818

2022-5-8 05:48:15

然后，对于任何T>0，P（Cn（T）∈ ·) 满足大偏差原则∞[0，T]具有良好的速率函数i（f）=infh∈AC+[0，T]，g∈AC[0，∞)g（h（t））=f（t），0≤T≤T[IV（g）+IN（h）]，（3.17）与= ∞ andIV（g）=Z∞∧V（g′（x））dx，如果g∈ AC+[0，∞) 和IV（g）=∞ 否则，式中∧V（x）：=supθ∈R{θ·x- ΓV（θ）}，ΓV（θ）：=limn→∞nlog EhePni=1θ·-→Vii，（3.18）andIN（h）=ZT∧N（h′（x））dx，如果h∈ AC+[0，T]和IN（h）=∞ 否则，式中∧N（x）：=supθ∈R{θ·x- ΓN（θ）}，ΓN（θ）：=limn→∞nlog EheθNni。（3.19）证据。根据假设16和假设17，由附录A中的T heorem 38，P（nP·Ni=1-→六、∈ ·)满足L上的大偏差原则∞[0，M]具有良好的速率函数iv（f）=ZM∧V（f′（x））dx，如果f∈ AC+[0，M]和IV（f）=∞ 否则，式中∧V（x）和ΓV（θ）由等式n（3.18）和p（nN（n·）给出∈ ·) 满足L上的大偏差原则∞[0，T]具有良好的速率函数in（f）=ZT∧N（f′（x））dx，如果f∈ AC+[0，T]和IN（f）=∞ 否则，式中∧N（x）和ΓN（θ）由等式N（3.19）给出。辛斯(-→Vi）我∈Nand Ntare独立，P（nP·Ni=1-→六、∈ ·,nN（n·）∈ ·) 满足大偏差原则∞[0，M]×L∞[0，T]具有良好的速率函数IV（·）+IN（·）。我们声称以下超指数估计成立：lim supM→∞林尚→∞nlog P（N（N）≥ 纳米=-∞. （3.20）事实上，对于任何γ>0，通过切比雪夫不等式，P（N（N）≥ 纳米）≤ E-γnEheγN（N）i.因此，lim supn→∞nlog P（N（N）≥ 纳米）≤ -γ+lim-supn→∞nlog EheγN（N）i.（3.21）来自假设17，supγ>0lim supn→∞nlog EeγN（N）< ∞. 因此→ ∞ inEqn。（3.21），我们有等式。(3.20).对于任何闭集C∈ L∞[0，T]，林上→∞nlog PnN（n·）Xi=1-→六、∈ C= 林苏普→∞林尚→∞nlog PnN（n·）Xi=1-→六、∈ C、 nN（新界）≤ M(3.22)= - infM∈笨蛋∈中国∈AC+[0，T]，g∈AC[0，M]g（h（t））=f（t），0≤T≤Th（T）≤M[IV（g）+IN（h）]（3.23）=- inff∈辛夫∈AC+[0，T]，g∈AC[0，∞)g（h（t））=f（t），0≤T≤T[IV（g）+IN（h）]，式中：。（3.22）见等式。（3.20）和Eqn。

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2022-5-8 05:48:18

（3.23）遵循收缩原理。收缩原理在这里适用，因为对于h（t）=nN（nt）和g（t）=nP新界i=1-→Viwe havenPN（nt）i=1-→Vi=g（h（t）），此外，图（g，h）7→ Goh是连续的，因为f或任意两个函数fn，Gn→ F、在均匀拓扑中，并且是绝对连续的，我们有supt | Fn（Gn（t））-F（G（t））|≤ 监督| Fn（Gn（t））- F（Gn（t））|+支持| F（Gn（t））- F（G（t））|→ 0作为n→ ∞.对于任何开集G∈ L∞[0，T]，lim infn→∞nlog PnN（n·）Xi=1-→Vji∈ G≥ 林恩芬→∞nlog PnN（n·）Xi=1-→六、∈ G、 nN（新界）≤ M= - inff∈生长激素∈AC+[0，T]，g∈AC[0，M]g（h（t））=f（t），0≤T≤Th（T）≤M[IV（g）+IN（h）]。因为它适用于任何M∈ N、证明了下界。此外，根据收缩原理，定理19。在与引理18相同的假设下，P（（Qbn（t），Qan（t））∈ ·) 满足L上的大偏差原则∞[0, ∞) 速率函数i（fb，fa）=infφ∈GfI（φ），其中I（·）在引理18中定义，GfI是由从0开始满足fb（t），fa（t））t的绝对连续函数φ（t）组成=1.-1.-1 0 0 00 0 0 1 -1.-1.dφ（t），初始条件为（fb（0），fa（0））=（qb，qa）。否则I（f）=∞.证据自从P(-→Cn（t）∈ ·) 满足L上的大偏差原则∞[0, ∞) 通过速率函数i（φ），可以得出P（（Qbn（t），Qan（t））∈ ·) 这是L上的一个大偏差原则∞[0, ∞) 具有最高级函数I（f）：=I（fb，fa）=infφ∈GfI（φ），其中gf是绝对连续函数的集合φ（t）=（φj（t），1≤ J≤ 6）从0开始满足fb（t）fa（t）=1.-1.-1 0 0 00 0 0 1 -1.-1.dφ（t），初始条件为（fb（0），fa（0））=（qb，qa）。很明显fb（t）=qb+φ（t）- φ（t）- φ（t），fa（t）=qa+φ（t）-φ（t）- φ（t），以及映射φ7→ （fb，fa）是连续的，因为很容易检查φn（t）：=（φn（t），φn（t））→ φ（t）=（φ（t），L中的φ（t）∞正常，然后（fbn（t），fan（t））→ （fb（t），fa（t））在L∞标准

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2022-5-8 05:48:22

因为映射φ7→（fb，fa）是连续的，大偏差原理遵循收缩原理。现在让我们考虑定理19的一个特例：推论20。假设N（t）是强度λ与i.i.d.随机向量无关的标准泊松过程-→v等于E[Eθ·-→五] <∞ 对于任何θ∈ R.然后，等式n中的速率函数i（f）。（3.17）在引理18中有另一个表达式i（f）=Z∞∧（f′（t））dt，（3.24）对于任何f∈ AC[0，∞), 从0和I（φ）开始的绝对连续函数空间+∞否则，其中∧（x）：=supθ∈Rnθ·x- λ（E[Eθ）·-→V]- 1） o.证明。首先，请注意，当NTI是强度为λ的标准泊松过程时，与I无关。i、 d.随机向量-→维滕，N（i）- N（i）- 1）是一个具有参数λ的i.i.d.泊松随机变量序列，因此(-→Vi）我∈Nand（N（i）-N（i）-1））我∈n满足假设16，假设3也满足。在此假设下，E[Eθ·-→五] <∞ 对于任何θ∈ 此外，E[Eθ（N（i）-N（i）-1））]=eλ（eθ-1)< ∞ 对于任何θ∈ R.因此，两者(-→Vi）我∈Nand（N（i）-N（i）-1））我∈满足假设17。通过引理18，IV（g）+IN（h）=ZT∧V（g′（t））dt+Z∞∧N（h′（t））dt，其中∧V（x）=supθ∈Rnθ·x- 对数Eheθ·-→Vio和∧N（x）=x logxλ- x+λ。因为f（t）=g（h（t）），我们有f′（t）=g′（h（t））h′（t）和z∞∧V（g′（t））dt=ZT∧V（g′（h（t））h′（t）dt=ZT∧Vf′（t）h′（t）h′（t）dt。因此，infh∈AC+[0，T]，g∈AC[0，∞)g（h（t））=f（t），0≤T≤T（IV（g）+IN（h））=infh∈AC+[0，T]ZT∧Vf′（t）h′（t）h′（t）+h′（t）对数h′（t）λ-h′（t）+λdt。现在，英菲∧Vxyy+y对数yλ- y+λ= infysupθnθ·x- y对数E[Eθ·-→五] +y原木yλ- y+λo=supθinfynθ·x- y对数E[Eθ·-→五] +y原木yλ- y+λo=supθnθ·x- λ（E[Eθ）·-→V]- 1） o.因此，Eqn。（3.17）减少到Eqn。

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能者818

2022-5-8 05:48:26

（3.24）。向LOB4提交4份申请。1例在确定了流量限制、队列长度和订单位置的变化后，我们将给出满足我们分析中假设的订单到达过程N（t）的一些例子。例21。[泊松过程]设N（t）是强度为λ的泊松过程。显然，假设1和假设12是令人满意的。例22。[Hawkes过程]设N（t）为Hawkes过程[12]，即强度为λ（t）：=λ的单点过程Zt-∞h（t）- s） N（ds）, （4.1）在时间t，我们假设λ：R≥0→ R+是一个递增函数，α-Lipschitz，其中αkhkL<1和h:R≥0→ R+是一个递减函数∞h（t）tdt<∞. 在这些假设下，存在满足动力学方程n的平稳遍历霍克斯过程。（4.1）（参见例如Br’emaud和Massouli’e[12]）。根据遍历定理，N（t）t→ λ：=E[N（0，1]]，a.s.作为t→ ∞. 因此，假设1是令人满意的。朱[55]证明{N（i，i+1]}i∈Z假设12和h enceNn·-λn·√N=> vdW（·），on（D[0，T]，J）作为n→ ∞.在特殊情况下λ（z）=ν+z，等式n。（4.1）变成λ（t）=ν+Zt-∞h（t）- s） N（ds），这是霍克斯[30]提出的原始自激点过程，其中ν>0，khkL<1。在这种情况下，λ=ν1- khkL，vd=ν（1- khkL）。例23。[Cox p process with shot noise intensity]设N（t）是一个Cox process with shot noiseintensity（参见示例[5]）。也就是说，N（t）是一个单点过程，其强度在时间t给定λ（t）=ν+Zt-∞g（t）- s） N（ds），其中N是强度ρ，g:R的泊松过程≥0→ R+正在下降，kgkL<∞, 安德烈∞tg（t）dt<∞. N（t）是静止的，能态ic和N（t）t→ λ：=ν+ρkgkLa。s、，作为t→ ∞. 因此，假设1是满足的。此外，我们可以检查条件Eqn。（3.1）假设12满足。

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2022-5-8 05:48:28

按平稳性划分的独立需求，kE[N（0，1]- λ| F-∞-n] k=kE[n（n- 1，n]- λ| F-∞]k、我们有- 1，n]- λ| F-∞] = E兹恩-1λ（t）dt- λF-∞,式中λ（t）=ν+Z-∞g（t）- s） N（ds）+Ztg（t）- s）因此，E[N（N- 1，n]- λ| F-∞] =兹恩-1Z-∞g（t）- s） \'N（ds）dt+ρZnn-1Ztg（t- s） dsdt- ρkgkL。根据Minkowski不等式，kE[N（N- 1，n]- λ| F-∞]K≤兹恩-1Z-∞g（t）- s） \'N（ds）dt+ρZnn-1Ztg（t- s） dsdt- ρkgkL.注意ρZnn-1Ztg（t- s） dsdt- ρkgkL= ρZnn-1Z∞因此，tg（s）dsdt，∞Xn=1ρZnn-1Ztg（t- s） dsdt- ρkgkL=Z∞Z∞tg（s）dsdt=Z∞tg（t）dt。此外∞Xn=1兹恩-1Z-∞g（t）- s） \'N（ds）dt≤∞Xn=1Z-∞g（n）- 1.-s） \'-N（ds）=∞Xn=1sZ-∞g（n）- 1.- s） ρds+ρZ-∞g（n）- 1.- s） ds≤∞Xn=1sZ-∞g（n）- 1.- s） ρds+∞Xn=1ρZ-∞g（n）- 1.- s） ds≤√ρ∞Xn=1pg（n- 1） sZ-∞g（n）- 1.- s） ds+ρZ∞tg（t）dt≤√ρ\"∞Xn=1g（n- 1) +∞Xn=1Z-∞g（n）- 1.- s） ds#+ρZ∞tg（t）dt≤√ρg（0）+kgkL+Z∞tg（t）dt+ ρZ∞tg（t）dt<∞.因此，假设12满足。Nn·-λn·√N=> vdW（·）in（D[0，T]，J）as n→ ∞, 式中，Vd=ν+ρkgkL+ρkgkL。4.2价格上涨的概率和到达时间鉴于最佳出价和出价的排队长度的差异限制，我们还可以计算第一次到达时间ι（定义在等式（3.13））的分布和价格上涨/下跌的概率。我们的结果推广了[20]中对应于零漂移特例的结果。给出定理14，让我们首先用σ参数化σ=σp1- ρσρ0 σ,假设-1 < ρ < 1. 接下来，表示Iν第一类顺序的修正贝塞尔函数ν和νn:=nπ/α，并定义α：=π+tan-1.-√1.-ρρρ>0，πρ=0，tan-1.-√1.-ρρρ<0，r:=s（qb/σ）+（qa/σ）- 2ρ（qb/σ）（qa/σ）1- ρ,θ:=π+tan-1.质量保证/σ√1.-ρqb/σ-ρqa/σqb/σ<ρqa/σ，πqb/σ=ρqa/σ，tan-1.质量保证/σ√1.-ρqb/σ-ρqa/σqb/σ>ρqa/σ。然后根据周[54]，我们得到了推论24。

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