按照这个计划，我们得到了=√2πs√TcTH+- cT3H++OT5H++π√2π12s√TcTH+- cT3H++OT5H++ OT5H+2=√2πcsTH+π√2πc12s-√2πcs！T3H+1+OT5H+2（99）作为T→ 0.现在，不难看出公式（98）来自（88）、（89）和（99）。这就完成了定理10的证明。备注3。显然，以下公式适用于（98）中的积分：u1/2:=Z∞p（u）udu=E“ZXsds#和u3/2:=Z∞p（u）udu=E“ZXsds#.定理10允许我们在知道货币隐含波动率的小时间行为的情况下恢复自相似指数H。定理11。以下公式适用：H=limT→0logI（T，s）logT。9数值说明为了说明我们的渐近公式在实践中的数值潜力，我们在本文的最后用一个简短的部分比较了精确（蒙特卡罗模拟）期权价格和IVs与我们推导出的渐近公式。（4）等公式可用于校准各种参数，假设已知H，这些参数可能与λ（1）明确或经验性地关联。我们参考[44]中我们之前工作中的数学家，了解可以做什么的细节，留给感兴趣的易读细节，如何将其中关于极端打击渐近的思想转化为小时间情况。[44]还包含如何模拟我们感兴趣的fBm驱动模型的描述，用于蒙特卡罗目的，如备注1所述；我们在这里不再重复这些信息。我们在at the money案例中的结果可能更难沿着这些思路加以利用，因为它们依赖于矩统计数据u1/2和u3/2（备注3），它们与模型参数没有明确的关联。这一观察结果的一个例外是具有波动率标度参数σ的模型，我们的意思是用DST=rStdt+σ| Xt | StdWt替换模型（1）。

（100）这里的参数σ并不重要，因为通过|X |的自相似性，该σ可以被吸收为线性时间变化，但它代表了一个方便的参数，用于将模型调整到现实的时间尺度和波动水平。我们将在本节中使用此设备。特别是在货币方面，从定理10很容易看出，一个hasI（T，s）=σu1/2h+σT3H+1hu1/2- u3/2i+OT5H+2其中，备注3中给出了u1/2和u3/2。因此，在money IV阶段，可以使用渐近性来校准模型（100）中的σ。我们在此不作进一步评论。相反，我们对我们的结果在H的校准中的使用进行了数值分析。事实上，参考文献[44]包含了校准H本身的功能，当其他参数已通过其他方法进行估计时，但仍有一些未经考虑的因素。我们发现，在实践中，H校准在某些情况下可以相对成功，尽管这不一定得到任何渐近理论的支持。在本节中，我们将展示无模型结果（如推论4和定理11）如何在许多情况下提供出色的H校准。我们选择在金钱案件中陈述这一点有两个原因。首先，它说明了无模型框架，因为我们获得的结果对u1/2和u3/2的值不敏感。第二，在实践中，接近到期的货币以外的期权的流动性较低，这几乎决定了货币IV的使用。我们使用的设置是模型（100），X=fBm，r=0，σ=3。

σ的选择是为了在1周或2周后提供真实的波动水平，时间以年为单位。具体而言，实践者可以通过公式[σ| Xt |]=σtHp2/π将σ与（100）中的平均波动幅度相匹配，简单地选择所需的σ幅度。例如，当H=0.6，σ=3时，我们得到E[σ| Xt |]≈ 一周后为0.22（t=7/365≈ 0.019，）和E[σ| Xt |]≈ 一周后为0.34（t=14/365≈ 0.038），这可能代表了波动性短期债券市场的现实情景。σ的值更接近于一，导致接近成熟期时的波动性值小得多；这些允许在理论调用和IV值以及我们的渐近性之间存在非常尖锐的差异，但通常会非常小，因此我们选择σ=3。在使用定理11之前，第一个问题可能是使用买入价格的渐近理论来估计参数是否有效。在许多文章中，包括本文引用的许多文章中，都提倡使用IV而非期权价格，但这个问题仍然是合理的，因为文献中很少有证据表明这在实践中确实是可取的。图1中的两幅图像比较了我们的渐近公式（推论6和定理10）与精确（模拟）call和IV值之间的拟合，时间从1天到2周。图1：呼叫（左）和IV（右），σ=0.3，t∈ [1天；2周]H=0.51我们选择极端情况H=0.51，因为事实证明，渐近解的准确度随着H的增加而增加。我们从上面看到，IV渐近在大约5%的误差水平下精确10天以上，并且在2周内保持相当准确，而呼叫渐近在5%的误差水平下仅精确2天，此后显著恶化。H的其他值显示了类似的图片。

在短时间内使用IV-over-call价格进行校准的选择是明确的。这当然可以在我们的公式上严格验证，因为我们的系数也可以用数字计算；我们的研究忽略了这一点。如我们所述，图2中的四张图片显示，随着H的增加，两周内静脉注射的渐近曲线非常尖锐。由于流动性随着到期时间的减少而减少，因此最好使用最大可能的时间tsuch，即IV近似中的相对误差不超过给定的误差水平，即1%，这将是一个高精度水平。下表通过计算上述实际情况下1%水平的TF，给出了这在实践中的意义：witht=maxt:模拟IV（t）- 渐近IV（t）模拟IV（t）<0.01图2:IV，σ=0.3，t∈ [1天；2周]，H=0.55,0.60（左上和右上），H=0.75,0.85（左下和右下）。我们发现：H0.510.550.600.750.85tin天2.34.610.414。由于选择了1%的准确度，这些t值可以被认为是相当保守的；从业者可能会决定选择一个稍微宽松一点的级别。

从下面最后一张表中可以明显看出这一点，其中我们通过定理11展示了根据精确（模拟）期权价格对H进行校准的结果。T=1 daysH用于模拟0.50 0.51 0.55 0.60 0.75 0.85H通过定理11从IV校准0.50 0.51 0.55 0.60 0.75 0.85T=2 daysH用于模拟0.50 0.51 0.55 0.60 0.75 0.85H通过定理11从IV校准0.50 0.51 0.55 0.60 0.75 0.85T=7 daysH用于模拟0.50 0.51 0.55 0.60 0.60 0.75 0.85H通过定理11从IV校准0.50 0.50 0.50 0.50 0.50 0.50 0.50 0.50 0.55 0.55 0.50模拟0.50 0.51 0.55 0.60 0.75 0.85H通过定理11从IV校准0.50 0.50 0.54 0.59 0.75 0.85在所有情况下，即使在14天的成熟期内，H校准的误差不超过百分之一（小于2%的相对误差）。我们经历的唯一困难似乎是区分布朗标度模型（H=0.50，波动性中没有记忆）和H>0.50的模型，除了非常短的成熟时间t=1,2天。如果这些水平的流动性是足够的，就像在交易量很大的债券市场一样，那么我们的校准可以在如此短的期限内使用。否则，一周的成熟度更可取，尤其是对于不太接近0.50的自相似性指数。在所有情况下，两周的到期日都适用于一个人在校准时可能出现百分之一误差的情况；对于许多目前不使用任何自相似或长记忆假设的随机波动性模型用户来说，这可能是一个现实的精度水平。参考文献[1]M.Abramovitz和I.A.Stegun（编辑），《数学函数手册》，应用数学系列55，国家标准局，华盛顿，1972年。[2] A.Alexanderian，关于Karhunen Lo`eve扩建的简要说明，技术说明，可用ONUSER。冰。尤特克斯。埃杜/~阿伦/文章/吉隆坡。pdf[3]E。

Al\'os，J.L\'eon和J.Vives，关于随机波动率跳跃扩散模型的隐含波动率的短期行为，Finance Stoch。11 (2007), 571-589.[4] J.Armstrong，M.Forde，M.Lorig和H.Zhang，局部随机波动率下的小时间渐近性与违约跳变：曲率和热核展开，可获得arXiv:1312.228112013。[5] X.Bardina，Kh。Es Sebaiy，双分数布朗运动的推广，通讯随机分析5（2）（2011）333-340。[6] C.拜耳、P.弗里兹和J.Gatheral，《粗波动下的定价》，可供查阅athttp://ssrn.com/abstract=2554754, 2015.[7] H.Berestycki，J.Busca和I.Florent，计算随机波动模型中的隐含波动率，Comm.Pure App。数学57（2004），1352-1373。[8] T.Bojdecki，L.G.Gorostiza和A.Talarczyk，与粒子系统有关的分数布朗运动和亚分数布朗运动的一些推广，选。Probab通讯员。，12(2007), 161-172.[9] F.Caravena和J.Corbetta，《有界成熟度的一般微笑渐近性》，可在atarXiv获得：1411.1624v1，2014年。[10] A.Chronopoulou和F.Viens，《离散和连续时间下具有长记忆的随机波动率模型》，定量金融，12（2012），635-649。[11] F.孔德和E.雷诺，《连续时间随机波动模型中的长记忆》，数学金融，8（1998），291-323。[12] F.Comte、L.Coutin和E.Renault，一个有效的分数随机波动率模型，Ann。《金融8》（2012），337-378。[13] S.Corlay，Quelques aspects de la Quantification optimale，et applications en Finance（英文，附法文摘要），博士论文，皮埃尔和玛丽·居里大学，2011年。[14] S.Corlay，《Nystr–om函数量化方法及其在分数布朗运动中的应用》，2010年，hal-00515488，第1版。[15] 美国。

Corlay，Ornstein-Uhlenbeck大桥的特性，可在https://hal.archivesouvertes.fr/hal-00875342v4, 2014.[16] S.Corlay和G.Pag`es，基于功能量化的分层抽样方法，avaliableonhttps://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00464088v3, 2014.[17] A.Daniluk和R.Muchorski，基于Karhunen-Lo`eve扩展的BlackKarasinski模型中债券和互换期权价格的近似值。参加：2013年第六届阿马梅夫和班纳赫中心大会。[18] P.Deheuvels和G.Martynov，由独立的指数随机变量对生成的高斯过程的Karhunen-Lo`eve分解，J.Funct。肛门。，255 (2008),23263-2394.[19] J-D.德乌谢尔、P.K.弗里兹、A.杰奎尔和S.维奥兰特。差异和随机波动的边际密度展开I：理论基础。纯数学和应用数学通讯67（2014），40-82。[20] J-D.德乌谢尔、P.K.弗里兹、A.杰奎尔和S.维奥兰特。扩散和随机波动的边际密度展开I:应用。《纯粹数学与应用数学通讯》67（2014），321-350。[21]P.Embrechts和M.Maejima，自相似过程，普林斯顿大学出版社，2002年。[22]冯杰，M.福特和J.-P.Fouque，《快速均值回复Ston随机波动率模型的短期渐近性》，暹罗J.金融数学。1 (2010), 126-141.[23]冯杰，傅杰，库马尔，快速均值回复随机波动率模型的小时间渐近性，人工神经网络。阿普尔。Probab。22 (2012), 1541-1575.[24]J.E.Figueroa-L\'opez和Ch.Houdr\'E，L\'evy过程转移分布的小时间展开，随机过程。阿普尔。119 (2009), 3862-3889.[25]J.E.Figueroa-L\'opez和M.Forde，《指数L\'evy模型的小成熟微笑》，暹罗J.金融数学。3 (2012), 33-65.[26]M.Forde和A。

Jacquier，赫斯顿模型下隐含波动率的小时间渐近性，IJTAF，12（2009），861-876。[27]M.Forde和A.Jacquier。不相关局部随机波动模型的小时间渐近性，应用数学金融，18（2011），517-535。[28]M.Forde和A.Jacquier，一般局部随机波动率模型下隐含波动率的小时间渐近性，Appl。数学《金融》杂志第18期（2011），517-535页。[29]M.Forde，A.Jacquier和R.Lee，赫斯顿模型下隐含波动性的小时间微笑和期限结构，暹罗J.菲南。数学3 (2012), 690–708.[30]M.Forde，A.Jacquier和A.Mijatovi\'c，Heston模型中隐含波动率的渐近公式，Proc。R.Soc。A 466（2010），3593-3620。[31]M.Forde和H.Zhang，粗糙随机波动率的渐近性和L’evy模型，2015年。[32]J.-P.Fouque，G.Papanicolaou，K.R.Sircar，《具有随机波动性的金融市场中的衍生品》，剑桥大学出版社，2000年。[33]M.Fukasawa，随机波动率的渐近分析：鞅展开，金融学。15 (2011), 635-654.[34]M.Fukasawa，《短期货币倾斜和部分粗糙波动率》，载于atarXiv:1501.06980v1，2015年。[35]K.Gao和R.Lee，《隐含波动率对任意顺序的渐近性》，发表于《金融与随机》，2015年。可获得的athttp://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstractid=1768383。[36]J.Gatheral（与C.Bayer、P.Friz、T.Jaisson、A.Lesniewski和M.Rosenbaum的联合工作），粗略波动，幻灯片，北京大学国家发展学院，2014年11月4日，星期二。[37]J.Gatheral（与C.拜耳、P.弗里兹、T.贾森、A.莱斯尼夫斯基和M.罗森鲍姆共同工作），波动性是粗糙的，第2部分：定价、幻灯片，随机和定量金融研讨会，伦敦帝国理工学院，2014年11月29日，星期六。[38]J.Gathereal、T.Jaisson和M。

Rosenbaum，《波动性是粗糙的》，arXiv:1410.33942014提供。[39]J.Gathereal，E.Hsu，P.Laurence，C.Ouyang和T-H.Wang，局部波动模型中隐含波动的渐近性，数学金融22（2012），591-620。[40]H.Guennon，A.Jacquier和P.Roome，分数Heston模型的渐近行为，可从arXiv获得：1411.76532014。[41]A.古利萨什维利。分析可处理的随机股价模型，Springer-Verlag-BerlinHeidelberg 2012。[42]A.Gulisashvili、B.Horvath和A.Jacquier，零击和小击时的质量暗示SABR模型中的挥发膨胀，提交出版，可在arXiv:1502.03254V12015和http://ssrn.com/abstract=2563510, 2015.[43]A.Gulisashvili和E.M.Stein，随机波动率模型中股价分布密度和隐含波动率的渐近行为，应用数学与优化61（2010），287-315。[44]A.Gulisashvili，F.Viens和X.Zhang，一般高斯随机波动率模型的极端走向渐近，可在arXiv上获得：1502.05442v1，2015。[45]P.S.哈根、D.库马尔、A.莱斯尼夫斯基和D.E.伍德沃德，《微笑风险管理》，威尔莫特马加津（2003年）。[46]P.S.Hagan，A.Lesniewski，D.Woodward，《随机波动的SABR模型中的概率分布》，P.K.Friz，J.Gathereal，A.Gulisashvili，A.Jacquier和J.Teichman著，编辑，《金融学中的大偏差和渐近方法》，瑞士斯普林格国际出版社，2015年。第1-36页。[47]P.Henry Laborder，《金融学中的分析、几何和建模：期权定价的高级方法》，查普曼和霍尔/CRC，金融数学系列，2008年。[48]C.Houdr\'e和J.Villa，有限维准螺旋的一个例子，Contemp。数学是数学Soc 336（2003），195-201。[49]R.Lee，极端冲击下隐含波动率的矩公式，数学。

《金融》第14期（2004），469-480页。[50]S.C.Lim，RiemannLiouville类型的分数布朗运动和多分数布朗运动，物理学杂志A:数学与一般34（2001），1301。[51]A.Medvedev和O.Scaillet，《跳跃扩散随机波动下短期隐含波动率的近似和校准》，修订版。金融研究20（2007），427-459。[52]R.Villela Mendez、M.J.Olivejra和A.M.Rodriguez，《分数波动率模型：无风险、杠杆和完整性》，可在arXiv上获得：1205.2866v11212。[53]P.Tankov和A.Mijatovi\'c，《资产价格跳跃模型中短期隐含波动的新视角》，将出现在《数学金融》上，可在arXiv:1207.08432012上获得。[54]J.Muhle Karbe和M.Nutz，期权价格的小时间渐近性和第一绝对矩，应用概率杂志，48（2011），1003-1020。[55]I.Nourdin，《分数布朗运动的某些方面》，Springer Verlag Italia 2012。[56]D.Nualart，《分数布朗运动：随机微积分与应用》，国际数学家大会论文集，西班牙马德里，欧洲数学学会，2006年，第1541-1562页。[57]L.Paulot，《二阶渐近隐含波动率及其在SABRmodel中的应用》，P.K.Friz，J.Gatherel，A.Gulisashvili，A.Jacquier和J.Teichman著，《金融学中的大偏差和渐近方法》编辑，斯普林格国际出版公司瑞士出版社2015年版。[58]E.Renault和N.Touzi，《期权对冲和隐性波动》，数学金融6（1996），279-302。[59]M.Roper和M.Rutkowski，关于接近到期的买入价格面和隐含可利用性面之间的关系，国际理论与应用金融杂志，12（2009），427-441。[60]米。

Rosenbaum，《离散观测扩散模型中波动持续性的估计》，随机过程及其应用118（2008），1434-1462。[61]S.Rostek，《分数布朗市场中的期权定价》，柏林海德堡斯普林格出版社，2009年。[62]E.Stein和J.Stein，《具有随机波动性的股票价格分布：分析方法》，修订版。财务部。螺柱。4 (1991), 727-752.[63]S.Torres，C.A.Tudor，F.G.Viens，分数色随机热方程的二次变化，电子。J.Probab。19 (2014), 1-51.[64]C.A.都铎，《自相似过程的变异分析》，瑞士斯普林格国际出版社，2013年。[65]A.M.Yaglom，《平稳和相关随机函数的相关理论》，第一卷，Springer Verlag纽约，1987年。