EGM将再次正确匹配经验不连续的位置和大小（因为pij，因此正权重的预期数量，在模型的离散和连续版本中是相同的）。对于正权重，实值EGM将连续插值整数值DEGM的离散点，因为这是具有相同期望值的几何分布和指数分布的一般性质。因此，在这两种情况下，EGM都很好地复制了严格正链接权重的经验分布和从中“跳出来”的尖峰，而GMM则没有。我们现在要检查的是，除了EGM预测的正确数量外，国际货币基金组织是否还将贸易联系放在了正确的国家对之间。4.2011年基于国家的真实ITN（红色）、通用汽车公司（绿色）和通用汽车公司（蓝色）网络配置。对于三个具有代表性的国家，我们展示了它们与世界上所有贸易伙伴的联系。数据中的国家总数（见附录）为N=208。这三个国家是根据其经验学位k选择的：学位最高的国家（美国，k=203）、学位最低的国家（西撒哈拉，k=13）和学位中等的国家（瓦努阿图，k=91）。GM总是产生最大可能的数量（N- 1） 联系的数量。相比之下，EGM以概率pij随机产生连接，因此链接会随着实现而变化。然而，预期程度独立于个体实现，并且接近所有国家的经验程度。我们选择了一种典型的实现方式，其产生的学位等于这三个国家的预期学位。同一型号。这意味着将我们的分析重点转移到纯粹的二进制全局拓扑结构上。

作为本分析阶段的第一个定性说明，在图4中，我们展示了学位最高的国家（美国）、学位最低的国家（西撒哈拉）和学位中等的国家（瓦努阿图）的所有贸易联系。我们还展示了标准GM（公式（1）首先适用于非零流量，然后扩展到所有国家对）和EGM下的相应预测。传统的GMG预测一个完全连接的网络，即预期的hkiiGM=N度- 1.对于所有i.如果网络中出现了一个或几个具有最高学位的国家，则该预测可能偶然正确（在这种情况下，这甚至不会发生，因为美国的最高观察学位为k=203），但随着其他国家学位的降低，该预测不可避免地急剧恶化。相比之下，EGM给出了hkiiEGM=Pj6=ipij的预期度数（见附录），这与整个连通性范围的经验度数非常一致。我们现在认为高阶拓扑性质是一个更严格的定量测试。在图5的左上角，我们绘制了每个国家i的贸易伙伴的平均度（knni）与这些伙伴的数量，即国家i本身的度（ki）。类似地，在图5的右上角面板中，我们绘制了聚集系数（ci），即国家i中相互贸易的贸易伙伴的比例，与此类伙伴的数量（ki）的对比。将经验量与GM和EGM下的预期量进行比较。经验量和预期量的精确表达式见附录。在这两个图中观察到的经验趋势均呈下降趋势，表明低关联国家（小ki）的贸易伙伴平均而言与世界其他地区（大KNI）以及它们之间（大ci）高度关联。

相比之下，与高学历国家（大ki）进行贸易的国家，无论是与世界其他地区（小KNI）还是与自身（小ci）的联系都很差。对于这两种性质，我们发现EGM与经验ITN非常一致，而不是经典GM，后者通过预测一个完整的网络，系统地生成几乎恒定且高得多的值。在检查了EGM在单独复制ITN的本地链路权重和全局拓扑方面做得很好之后，我们现在执行了一项最新、最严格的测试监控属性，将拓扑和加权信息结合在一起（所有定义在附录中再次给出）。在图5左下方的面板中，我们绘制了每个国家i的贸易伙伴的平均实力（snni），即平均交易量与国家i自身的实力（si）。在右下角的面板中，我们绘制了国家一的聚类系数（cwi）与国家一的强度（si）的加权版本。经验趋势与GM和EGM的预测进行了比较（所有定义见附录）。这两个图在某种意义上是上述纯二元图的加权对应图。我们发现，平均而言，与低贸易活动（小型si）国家相关的国家与世界其他地区（大型NNI）进行了大量贸易，但它们之间的贸易相对较少（小型cwi）。与贸易量大（si大）的国家相关的国家与世界其他地区的贸易活动较小（snni小），但彼此之间的贸易相对活跃（cwi大）。我们再次发现，EGM很好地复制了这两种趋势，而标准通用汽车系统性地失败了。五、讨论在本文中，我们介绍了EGM作为ITN和经济网络的一种新的、先进的模型。

从现象学角度来看，EGM允许我们调和两种迄今为止仍然相容的非常不同的方法：一方面，传统的GMM方法在经济学中已经确立，成功地复制了GDP和距离方面的非零贸易量，但未能预测正确的拓扑结构[22]；另一方面，最近出现在统计物理文献中的网络模型已经成功地复制了拓扑[25,44]，但在预测链路权重方面更为有限[42]。据我们所知，EGM是第一个能够同时可靠地再现ITN的二元和加权经验属性的模型。与标准GM、RM[11]或类似模型一样，EGM可以在额外的二元和特定国家的房地产方面考虑额外的经济因素。然而，它可以将这些因素中的每一个分配到两个不同的角色，通过将其对拓扑结构和贸易量的可测量影响彼此分开考虑，尽管是以组合的方式。例如，在本文的分析中，我们已经注意到，在解释联系的存在和强度时，EGM以两种不同的方式使用GDP。通过从确定实际贸易联系数量的同一因素的影响中扣除GDP在确定联系存在方面的影响，EGM产生了不同于GM的参数值。相比之下，后者缺乏这种可能性，并且往往高估GDP和距离对测量贸易量的影响。EGM和贸易数据之间的协议要求对模型中生成网络的过程进行解释。在这方面，我们注意到等式。

（15） （22）允许我们将EGM中的已实现交易量解释为链接创建和链接增强两个等价过程（串行和并行）的结果。在系列过程中，对于给定的国家i、j，我们首先建立一个单位重量的贸易联系，成功概率为Pijan，然后以单位步数增加其数量，每个步骤的成功概率为yij。在第一次失败后，我们停止正在考虑中的pairof国家的过程，并再次开始另一对，以此类推，直到所有对都被考虑。在同等的平行过程中，所有成对的国家都会同时探索第一个连接中的贸易和扩张的互惠互利，每个国家都有其概率pij。然后，前一个事件成功的所有节点对通过aunit权重（每个节点的概率为yij）来加强它们现有的连接。一旦没有更成功的事件，进程就会停止。在任何一种情况下，公式（15）给出了实现体积为w的结果概率。重要的是，公式（19）表明q*ij（w）是一个具有额外点质量q的修正几何分布*体积为零时的ij（0），即第一个事件的概率Pijj通常不同于w的概率yijofeach-1产生等于w的权重所需的后续事件。Bose-Fermi分布[48]的这一显著特性确保了一种现实的网络形成机制，其中首次建立贸易联系与加强现有贸易联系本质上不同（因此与不同的“成本”相关）。这一理想的区别，例如可以从贸易的可促进性的角度来解释，在之前的研究[9,10,21]中已经得到了提倡。在这里，它是在最大熵框架下通过等式自然实现的。

（13） ，其中（预期的）二进制拓扑与（预期的）链路权重分开实施。请注意，如果公式（13）中的参数αijin设置为零，即，如果像标准GM中那样，移除了对Θ（wij）（预期拓扑）的预期值的约束，那么这种区别就会消失。在这种情况下，pijbecomes等于yij（即，链接创建和链接加强变得相等），因此q*ij（w），不仅仅是q*ij（w | aij=1）成为几何分布。然而，这种操作将导致一个不切实际的密集网络，因为预期的拓扑结构将不再与链路权重分开控制。与贸易量通常以某种不可分割货币单位（如美元）的整数倍来报告这一事实一致，上述讨论和图。5.真实ITN（红色）、GM（绿色）和EGM（蓝色）中的网络属性。左上：所有节点的平均最近邻度KNI与Ki。右上角：所有节点的聚类系数与度。左下角：所有节点的平均最近邻强度SNNIVS强度SIF。右下角：所有节点的加权聚类系数。所有结果均为2000年ITN的截图。在分析样本的所有其他年份中，我们系统地获得了非常相似的结果。有关数据以及经验量和观测量的所有定义，请参见附录。我们的大多数分析都假设了非负整数链接权重。然而，我们也可以考虑货币单位消失的限制，在这种情况下，贸易量会变成非负实数，正如我们所展示的，q*ij（w）变成指数密度，在零体积下具有额外的点质量，如等式（25）所述，而q*ij（w | aij=1）变成纯指数密度，如式（26）所示。

关键的是，额外的一分质量*ij（0）确保，即使在这个连续极限下，Pijis保持不变，并且预期拓扑仍然由等式（5）描述。在没有拓扑约束的情况下，即如果我们施加αij=0，在这种实值情况下，网络将退化为一个完全连通的图，作为具有连续体积的GM的所有规格[39]。这是因为在体积为零的情况下，点质量消失，这意味着“缺失环节”成为概率为零的事件。我们的研究结果可能对贸易模型的理论基础和由此产生的政策影响都有重大影响。众所周知，传统GM与许多（可能有冲突的）微观基础模型规范一致[52–55]。例如，类似引力的关系可以作为贸易专业化和垄断竞争与产业内贸易模型的均衡结果出现[10,56]。标准GM的经验失败突显了这些微观基础模型之前未被认识到的局限性，至少在其当前形式下是如此，并表明需要进行适当的重新制定，使这些模型与EGM相一致，即与ITN的现实拓扑相一致。政策含义如何随着当前微观基础模型的重新制定而改变，这是未来研究议程中需要补充的一个重要问题。银行间网络领域的研究[45]表明，如果假设存在不现实的密集网络，那么中央银行通常为研究压力在金融机构之间传播而进行的压力测试的结果会严重偏向系统性低估系统性风险。

事实证明，在具有“正确”密度和拓扑结构的网络上运行压力测试对于实现可靠的风险传播估计至关重要[45]。这些结果使我们确信，在国际经济学领域，贸易风险的传播由ITN拓扑结构决定，EGM可能会提供一个支持改进的贸易理论和确定的政策情景的水平基准。附录从整数到实际链接权重如果链接权重采用非负实值而不是非负整数值，则概率（W）必须解释为PDF而不是aPMF。然后我们寻找它的最大熵函数形式P*（W） 通过最大化等式（12）中引入的熵的以下修改版本：S[P]=-XAZΘ（W）=AdWP（W）ln P（W），（29），其中对haiji和hwiji（对于所有pairsi 6=j）的约束仍然由等式给出。（5） 和（11），我们保持零对角矩阵（网络中没有自循环），即所有i的aii=wii=0。注意，从等式（12）到等式（29），具有非负整数的所有N×N零对角矩阵上的求和被具有非负整数项的所有N×N零对角矩阵上的一个积分rΘ（W）=adw所代替，并且它们的二元投影Θ（W）是给定的邻接矩阵A（即，对于所有i，j，使得Θ（wij）=aij），然后是所有可能的二元矩阵上的离散求和。由此产生的积分，以组合形式parΘ（W）=AdW而不是无约束形式rwdw写入，允许我们更自然地处理二元约束haiji，并恢复更一般的“混合”（即。

包含离散部分和连续部分的混合物）P的解*（W） 正如我们稍后确认的那样，这些信息在其他方面是无法访问的。由于约束集与整数值情况下的约束集相同，因此我们得出了P的相同表达式*（W） 由（14）给出，其中哈密顿量H（W）仍然由公式（13）给出，但重要的是，现在计算的分区函数Z为Z=XAZΘ（W）=AdW e-H（W）=XAZΘ（W）=AdWYi，je-αijΘ（wij）-βijwij=Yi，jXaij=0,1ZΘ（wij）=aijdwije-αijΘ（wij）-βijwij=Yi，jXaij=0,1e-αijaijZΘ（wij）=aijdwije-βijwij=Yi，j1+e-αijZ+∞德维耶-βijwij=易，j1+xijβij（30）我们再次使用定义xij=e-αij，而在这种情况下，我们发现不引入相应的转换yij=e更方便-βij，原因如下。将公式（30）插入公式（14）中，得到以下新形式的q*ij（w），替换等式（15）中出现的：q*ij（w）=xΘ（wij）ijβije-βijwxij+βij，w≥ 0.（31）使用等式。（6） 和（8），我们现在可以计算连接概率和（条件）预期权重Aspij=1- Q*ij（0）=xijxij+βij，（32）hwiji=Zw>0dw w q*ij（w）=pijβij，（33）hwij | aij=1i=hwijipij=βij。（34）等式（32）、（33）和（34）取代等式。（16） （17）和（18）在实值链接权重的情况下。将这些表达式插入等式（31），我们得到Q*ij（w）=1.- pijw=0，pijβije-βijww>0，（35），它取代了实值情况下的等式（19），并显示q*ij（w）现在是一个离散部分的混合物，其特征是概率质量为q级*ij（0）=1-pijat w=0，连续部分的特征是w>0的指数概率密度。如果我们想解释q*ij（w）作为PDF在其整个域（或在整个实轴上）的唯一形式，我们可以通过狄拉克δ（x）asq重写它*ij（w）=δ（w）（1）- pij）+Θ（w）pijβije-βijw，（36），允许完全连续治疗。

例如，规范化可以正确地表示为RDW q*ij（w）=（1）- pij）+pij=1。显然，如果我们使用等式（29）中的无约束积分RWDW，上述解将不会明显恢复，除非我们在零权重下预先施加类似三角形的尖峰。就条件概率而言，我们仍然发现，建立从i国到j国的联系是一项成功概率由EQ决定的伯努利试验。（5） 根据需要；如果实现，该链接将获得概率密度为q的权重w*ij（w | aij=1）=0 w=0，βije-βijww>0，（37），这是一个纯指数分布，具有（条件）平均β-1根据公式（34）规定。现在，将等式（32）与等式（5）相等，将等式（34）与等式（4）相等，可以使解原问题的xijandβij的值：xij=G~ψ（~ni，~nj，~Dij）F~φ（~ni，~nj，~Dij），（38）βij=F~φ（~ni，~nj，~Dij）。（39）注意，等式（11）在这种情况下也适用，因为它不取决于链接权重是整数还是实数。插入等式。（38）和（39）转化为等式。（36）和（37），我们得到了q的显式形式*ij（w）和q*ij（w | aij=1）是~nian~Dij因子的函数，如Eqs的正文所述。分别为（25）和（26）。数据我们使用了Gleditsch[57]管理的数据库中19501960、1970、1980、1990和2000年的国际贸易和GDP数据。该数据库包括年度贸易量wij（我们通过wij+wji之和对称化）、年度GDP值和（与时间无关的）距离矩阵Rij。随着时间的推移，N个国家的数量从1950年的大约8500个增加到2000年的大约200个。GDP和贸易数据均以美元为单位，因此均为整数值。为了绘制图4，我们使用了BACI数据库[58]，该数据库报告了2011年N=208个国家之间的进出口情况。

BACIdata最初是以分门别类的形式出现的，其中totaltrade被分解为96个不同的、不重叠的商品类别。我们将所有这些商品类别汇总在一起，并再次对称化，以获得与早些年使用的Gleditsch数据一致的adataset。观察到的网络属性给定一个加权无向网络，其权重矩阵为W，邻接矩阵为a，条目通过aij=Θ（wij）关联，节点i的度定义为aski=Xj6=iaij，（40）节点i的平均最近邻度定义为Asknni=Xj6=Iaijki=Pj6=iPk6=jaijajkPj6=iaij，（41），节点i的（二进制）聚类系数定义为nedasci=Pj6=iPk6=i，jaijajkakiPj6=iPk6=i，jaijaki。（42）节点i的平均最近邻强度定义为assnni=Xj6=iaijsjki=Pj6=iPk6=jaijwjkPj6=iaij（43）（其中si=Pj6=iwij是节点i的强度），节点i的加权聚类系数定义为ascwi=Pj6=iPk6=i，j（wijwkki）Pj6=iPk6=i，jaijaki。（44）预期网络属性上述每个网络属性的预期值（在EGM下）可以通过对多个网络实现（独立于概率P）进行平均来进行数值计算*（W） 伊内克。（14） ，或使用以下方法进行分析。首先，在这个模型中，所有比率的预期值可以用预期值的比率来近似[40,41]。其次，所有分子和分母只涉及不同节点对上的积，这些节点对在模型中是统计独立的。使用公式（15），可以精确地计算出此类产品的预期值，具体如下：*Xi，j，k，。。。aij·ajk·+=Xi，j，k，。。。海吉·哈吉·h。。。i、 （45）*Xi，j，k，。。。wαij·wβjk·+=Xi，j，k，。。。hwαiji·hwβjki·h。。。i、 （46）式中，haiji=pij，由等式给出。

（16） ，andhwγiji≡∞Xw=0wγqij（w）=xij（1）- yij）李-γ（yij）1- yij+xijyij，（47）林（z）=P∞l=1zLn表示所谓的n-从上述两个方面考虑，所有感兴趣量的预期性质都可以用完整的解析表达式近似，通过简单地用Pijan替换Aij，用HWγ替换Eqs中的wγij得到。（40）、（41）、（42）、（43）和（44）。通过xijandyij，预期值最终只是GDP和距离的函数。在我们的分析中，在初步检查分析表达式是否与实现的数值平均值非常匹配后，我们系统地采用了分析方法，该方法不需要对网络进行采样，因此效率极高。感谢Dutcheophysics基金会（Stichting Econophysics，荷兰莱顿）对TSAA和DG的支持。这项工作也得到了荷兰科学研究组织（NWO/OCW）的支持。[1] F.施韦策、G.法乔洛、D.索内特、F.维加·雷东多、A.维斯皮格纳尼、D.R.怀特。《经济网络：新挑战》，科学325（5939），422（2009）。[2] R.Kali和J.Reyes，《全球化的架构：国际经济一体化的网络方法》，国际商业研究杂志38595（2007）。[3] R.Kali和J.Reyes，《国际贸易网络上的金融传染》，经济调查481072（2010）。[4] S.Schiavo，J.Reyes，G.Fagiolo，《国际贸易和金融一体化：加权网络分析》，定量金融10（4），389-399（2010）。[5] J.Spitz，T.Kastelle，《贸易收益：国际贸易对国家经济趋同的影响》；复杂网络分析方法，东部经济协会年会，2010年。[6] S.Battiston等人，《复杂性理论与金融监管》，科学351:6275818-819（2016）。[7] P。

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