Barndorff-Nielsen和Shephard模型的局部风险最小化

1021

收藏 2022-05-08

英文标题：
《Local risk-minimization for Barndorff-Nielsen and Shephard models with
volatility risk premium》
---
作者：
Takuji Arai
---
最新提交年份：
2015
---
英文摘要：
We derive representations of local risk-minimization of call and put options for Barndorff-Nielsen and Shephard models: jump type stochastic volatility models whose squared volatility process is given by a non-Gaussian rnstein-Uhlenbeck process. The general form of Barndorff-Nielsen and Shephard models includes two parameters: volatility risk premium $\\beta$ and leverage effect $\\rho$. Arai and Suzuki (2015, arxiv:1503.08589) dealt with the same problem under constraint $\\beta=-\\frac{1}{2}$. In this paper, we relax the restriction on $\\beta$; and restrict $\\rho$ to $0$ instead. We introduce a Malliavin calculus under the minimal martingale measure to solve the problem.
---
中文摘要：
我们推导了Barndorff-Nielsen和Shephard模型的局部风险最小化表示：跳跃型随机波动率模型，其平方波动率过程由非高斯rnstein-Uhlenbeck过程给出。Barndorff-Nielsen和Shephard模型的一般形式包括两个参数：波动风险溢价$\\beta$和杠杆效应$\\rho$。Arai和Suzuki（2015，arxiv:1503.08589）在约束$\\beta=-\\frac{1}{2}$下处理了相同的问题。在本文中，我们放宽了对$\\beta$的限制；并将$\\rho$限制为0$。我们在最小鞅测度下引入Malliavin演算来解决这个问题。
---
分类信息：

一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Mathematical Finance 数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
--
一级分类：Mathematics 数学
二级分类：Probability 概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
--

---
PDF下载：
-->

Local_risk-minimization_for_Barndorff-Nielsen_and_Shephard_models_with_volatilit.pdf
大小:(178.13 KB)

马上下载

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

全部回复

可人4

2022-5-8 07:27:44

具有波动风险溢价的Barndorff-Nielsen和Shephard模型的局部风险最小化*2018年8月22日摘要我们推导了Barndorff-Nielsen和Shephard模型的看涨期权和看跌期权的局部风险最小化表示：跳跃型随机波动率模型，其平方波动率过程由非高斯的Ornstein-Uhlenbeck过程给出。BarndorffNielsen和Shephard模型的一般形式包括两个参数：波动率风险溢价β和杠杆效应ρ。Arai和Suzuki[1]在约束β=-. 本文放宽了对β的限制；并将ρ限制为0。我们在最小马尔廷格尔测度下引入了Malliavin演算来解决这个问题。关键词：局部风险最小化，Barndorff-Nielsen and Shephard模型，随机波动率模型，Malliavin演算，L’evy过程。1引言讨论了Barndorff-Nielsen和Shephardmodels（简称BNS模型）的局部风险最小化（简称LRM）。LRM是一种广为人知的不完全金融市场未定权益套期保值方法。另一方面，BNS模型是Barndorff Nielsen和Shephard[2]，[3]提出的随机波动率模型。众所周知，BNS模型捕捉到了一些金融时间序列的程式化事实。BNS模型的平方波动过程σ是一个由无漂移的从属变量驱动的Ornstein-Uhlenbeck过程，即一个非减量纯跳跃L′evy过程。因此，σ是一个跳跃过程，作为以下随机微分方程（简称SDE）的解给出：dσt=- λσtdt+dHλt，σ>0，*庆应大学经济系，电子邮件：arai@econ.keio.ac.jpwhereλ>0，H是无漂移的从属函数。现在，我们用S表示基础资产价格过程。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

nandehutu2022

2022-5-8 07:27:48

S的一般形式为b ySt=SexpZtu+βσsds+ZtσsdWs+ρHλt,其中S>0，u，β∈ R、 ρ≤ 0，W是一维布朗运动。最后一项ρHλt表示水平效应；这被称为波动性风险溢价，被认为是持有波动性资产的投资者所需的补偿。从下面（2.1）的观点来看，当β=-. 所以β的值大于或等于-. 有关BNS模型的更多详细信息，请参见Cont和Tankov[4]以及Schoutens[9]。我们的目的是在约束ρ=0且不约束β的情况下，得到BNS模型的看涨期权和看跌期权的LRM表示。另一方面，Arai和Suzuki[1]在约束β=-对ρ没有约束。也就是说，他们处理的是不考虑波动性风险溢价的情况。相反，我们将使用波动性风险溢价来处理BNS模型。换句话说，我们放宽了对β的限制。相反，我们将ρ限制为0，这导致S的连续性。然后，S是writenasst=SexpZtu+βσsds+ZtσsdWs. （1.1）实际上，S的连续性使问题易于处理。为了计算Rm，我们需要考虑最小马尔廷加测度（简称MMM）。当S是连续的时，即使在MMM下，从属H仍然是一个L’evy过程。另一方面，β的推广使问题变得复杂。当β=-, 将MMM的密度过程Z作为具有Lipschitz连续性的SDE的解给出。因此，如[1]所示，Z具有Malliavin可微性，这在[1]中起到了至关重要的作用。然而，这个性质并不适用于β6=-. 因此，我们需要采取与[1]不同的方法。为了克服这一困难，充分利用H的L’evy性质被保留的事实，我们在MMM下创新了一种Malliavincalculus。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

能者818

2022-5-8 07:27:51

因此，我们可以在不考虑Z的性质的情况下计算LRM。据我们所知，除了[1]之外，之前对BNS模型LRM的研究只有一个：Wang、Qian和Wang[13]。此外，他们在和我们相同的参数限制下处理这个问题，尽管他们没有使用Malliavin演算。然而，他们的讨论似乎在数学上不准确。本文概述如下。第2部分给出了精确的模型描述和长期假设。在2.1-2.3小节中，我们分别定义了LRM、MMM和Malliavin衍生物。我们的主要结果见第3部分；结论将在第4.2节序言中给出。我们考虑一个金融市场模型，其中只有一项风险资产和一项无风险资产是可交易的。为简单起见，我们假设利率为0。设T>0b为有限时间范围。风险集的波动被描述为（1.1）中给出的过程。我们考虑一个完全概率空间(Ohm, F、 P）过滤F={Ft}t∈[0，T]作为底层空间。假设F由wth和λt生成；满足通常的条件，即F是右连续的，F包含P的所有空集。在（1.1）中给出的资产价格过程S是以下SDE的解决方案：dSt=St-udt+β +σtdt+σtdWt. （2.1）表示At:=RtSs-hu+β +σsids和Mt:=St- s- At，我们有St=S+Mt+At，这是S的正则分解。此外，t的wedenote Lt:=log（St/S）∈ [0，T]，即Lt=uT+βZtσsds+ZtσsdWs。定义Jt:=Hλt，我们用N表示J的泊松随机测度，也就是说，我们有Jt=R∞xN（[0，t]，dx）。用v表示J的L′evy度量，我们有thateN（dt，dx）：=N（dt，dx）- ν（dx）dt是补偿泊松随机测度。注意N和ν在[0，T]×（0，∞) 和（0，∞),分别地和ν（dx）=λνH（dx），其中νHis是H的L′evy度量。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

何人来此

2022-5-8 07:27:54

此外，[4]中的命题3.10暗示∞（十）∧1） ν（dx）<∞. （2.2）我们需要对[1]中的ν施加以下长期假设。如下注2.2所述，尽管参数受到限制，但现有假设并不排除BNS模型的代表性示例。假设2.1（A1）上的L’evy测度ν相对于（0）上的Lebesgue测度是绝对连续的，∞).（A2）存在一个κ>0，使得oκ>β +++ 1.B（T），oκ≥β +B（T）和oR∞e2κxν（dx）<∞,其中B（t）：=Rte-λsds=1-E-λtλ代表t∈ [0，T]。备注2.2.1。当β=-, （A2）等价于ε>0的存在∞e（2+ε）B（T）xν（dx）<∞. 在[1]处理β=-,R∞e2B（T）xν（dx）<∞ 在假设2.2中假设，这与上述（A2）中β=-.2.我们不需要假设与[1]中假设2.2的第二个条件相对应的条件，因为在我们的设置中，MMM会自动成为概率度量，这确保了下面定义的MMM密度的正性。3.条件（A2）确保∞xν（dx）<∞, 也就是说E[JT]<∞. 此外，我们还有E[e2κJT]<∞ 根据[4]的第3.14条。条件（A1）保证了Nocolato和Venardos[6]中的假设Z1，这是我们在下面引理2.9的证明中需要的。5.假设2.1不排除σ的两个代表性示例，“IG-OU”和“Gamma-OU”。“IG-OU”指的是给定的νHis为νH（dx）=a的情况√2πx-（1+bx）e-bx（0，∞)（x） dx，其中a>0，b>0。σ的不变分布遵循a>0和b>0的逆高斯分布。然后σ被称为一个输出过程。如果B>2（“β +++ 1#∨β +)B（T），则满足假设2.1。接下来，“Gamma OU”是指σ的变量分布由a>0和B>0的Gamma分布给出的情况。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

kedemingshi

2022-5-8 07:27:58

在这种情况下，νHis被描述为νH（dx）=abe-bx（0，∞)（x） dx。与IG-OU案例一样，假设2.1在B>2的情况下满足（“β +++ 1#∨β +)B（T）。有关此主题的更多详细信息，请参见[6]和[9]。2.1本地风险最小化在本小节中，我们定义了LRM。为此，我们明确了SC条件；并证明在假设2.1下，S满足它。如果以下三个条件成立，则S满足SC条件：[M] 1/2T+RT | dAs|L（P）<∞.（b）定义过程∧t:=St-u+（β+）σtσt，我们有A=R∧dhMi。（c）均值-方差权衡过程Kt:=Rt∧是有限的，即Kt是有限的P-a。s、命题2.3满足假设2.1下的SC条件。证据仅显示（a）项即可。注意我们有[M] 1/2T+ZT | dAt|L（P）≤ 2E“[M]T+ZT | dAt|#≤ 2E“ZTSt-σtdt+ZTSt-u +β +σtdt#≤ 2E“sup0≤s≤TSs（ZTσtdt）+|uT+β +ZTσtdt)#.如果支持0≤s≤TSs∈ L2a（P）适用于足够小的a>1，而（a）项适用于下面的H？older不等式和引理2.4。现在，我们取a>1，这样(aβ+a++ a） B（T）<κ。（2.3）注意，我们可以从假设2中（A2）的角度找到这样一个a>1。1.我们再见≤s≤TSs∈ L2a（P）。因为我们有v eZtσsds=σZte-λsds+ZtZse-λ（s）-u） dJuds=σB（t）+ztue-λ（s）-u） dsdJu=σB（t）+ZtB（t- u） dJu≤ σB（t）+B（t）Jt≤ σB（T）+B（T）Jt（2.4）对于任何T∈ [0，T]，我们得到了ealt=expaut+aβZtσsds+aZtσsdWs= 前任警察微特-aZtσsds+aZtσsdWs+aβ+aZtσsds≤ C经验-aZtσsds+aZtσsdWs+ZtZ∞bxeN（ds，dx）+ZtZ∞[bx+1- ebx]ν（dx）ds=: CYa，bt，其中b：=aβ+a+B（T）和C:=exp{a |u| T+Bσ+RTR∞（ebx）-1） ν（dx）dt}。考虑到假设2.1中的（2.3）和（A2），引理2。5.Ya，bis是一个平方可积鞅。因此，杜布的不平等性是“sup0”≤s≤TS2as#=E“S2asup0≤s≤二氧化钛#≤ S2aCE“sup0≤s≤T（是，bs）#≤ 4S2aCE[（是，英国电信）]<∞.引理2.4RTσtdt∈ n（P）表示任何n≥ 1.证据。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

点击查看更多内容…

何人来此

2022-5-8 07:28:01

从（2.4）的观点来看，有必要展示JT∈ n（P）表示任何n≥ 1.ByRemark 2.2，我们有E[exp{2κJT}]<∞, 哪个JT∈ Ln（P）跟在n后面≥ 1.引理2.5为a∈ R和b≥ 0，我们表示是，bt:=exp-aZtσsds+aZtσsdWs+ZtZ∞bxeN（ds，dx）+ZtZ∞[bx+1-ebx]ν（dx）ds.1.如果a和b满意∞经验2b+aB（T）十、ν（dx）<∞, （2.5）然后过程Ya，bis是鞅。2.当我们加强（2.5）托兹∞exp{（4b+2aB（T））x}ν（dx）<∞, （2.6）Ya，bis是一种平方可积的马丁酒。证据1.从石川[5]定理1.4的观点来看，我们只需要证明（1）R∞[bx+（1）- ebx）]ν（dx）<∞,（2） R∞[ebx·bx+1-ebx]ν（dx）<∞, 和（3）EhexpnaRTσtdtoi<∞.通过（2.2）和（2.5），条件（1）和（2）得到满足。接下来，[4]中的（2.5）和命题3.14暗示了EhexpnaB（T）JToi<∞, 条件（3）后面跟着条件（2.4）。表示γ：=2b+aB（T），我们有（Ya，bT）=exp- aZTσsds+2aZTσtdWt+ZTZ∞2bxeN（dx，dt）+ZTZ∞2[bx+1-ebx]ν（dx）dt≤ 前任警察-2aZTσsds+2aZTσtdWt+aσB（T）+aB（T）JT+ZTZ∞2bxeN（dx，dt）+ZTZ∞2[bx+1-ebx]ν（dx）dt= 前任警察-2aZTσsds+2aZTσtdWt+ZTZ∞γxeN（dx，dt）+ZTZ∞hγx+2- 2ebxiν（dx）dt+aσB（T）= 前任警察ZTZ∞h1-2ebx+eγxiν（dx）dt+aσB（T）Y2a，γT.在（2.6）下，我们有∞exp{2γx}ν（dx）<∞. 因此，我们可以看到Y2a，γ是一个鞅，其排序参数与第1项相同。此外，我们还有∞h1-2ebx+eγxiν（dx）<∞, 由此得出Ya，bt的平方可积性。接下来，我们根据Schweizer[11]的定理1.6给出了LRM的定义。定义2.6 1。Θsde注意到满足EhRTξtdhMit+（RT|ξtdAt |）i<∞.2.L-策略由一对φ=（ξ，η）给出，其中ξ∈ ΘSandη是一个自适应过程，因此V（Θ）：=ξS+η是一个严格的连续过程，其中e[Vt（Θ）]<∞ 每一个t∈ [0，T]。注意，ξt（分别为ηt）代表投资者在t.3时持有的风险资产（分别为无风险资产）的单位数量。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

大多数88

2022-5-8 07:28:04

索赔F∈ L（P），由CFt（φ）定义的过程CF（φ）：=F1{t=t}+Vt（φ）-RtξsdSsis称F.4的成本过程为φ=（ξ，η）。如果VT（~n）=0且CF（~n）是一个与M正交的鞅，即[CF（~n），M]是一个统一的可积鞅，则称L-策略ν为索赔F的局部风险最小化（LRM）。5.F∈ L（P）允许F¨ollmer-Schweizer分解（简称FS分解），如果它可以用F=F+ZTξFtdSt+LFT来描述，（2.7），其中F∈ R、 ξF∈ ΘSand LF是LF=0的平方可积正交鞅toM。有关LRM的更多详细信息，请参见Schweizer[10]，[11]。现在，我们介绍LRM和FS分解之间的关系。命题2.7在假设2.1下，当且仅当ifF允许FS分解时，F列的LRM~n=（ξ，η）；其关系式为ξt=ξFt，ηt=F+ZtξFsdSs+LFt- F1{t=t}- ξFtSt。证据这来自[11]的命题5.2，以及命题2.3。因此，有必要得到ξFin（2.7）的表示，以获得索赔F的LRM。此后，我们用LRM F或F.2.2最小鞅测度确定ξF。我们需要研究MMM，以讨论FS分解。概率测度P*~ 如果S是P，则P称为最小鞅测度（MMM）*-鞅；任何平方可积的P-鞅正交toM都是P下的鞅*. 现在，我们考虑以下SDE:dZt=-Zt-∧tdMt，Z=1。（2.8）（2.8）的解是-R·∧tdMt。更准确地说，表示：=λtSt-σt=σt+β +σt（2.9）表示t∈ [0，T]，我们有∧tdMt=utdWt；andZt=exp-Ztusds-ZtusdWs. （2.10）看到ZT成为MMM的密度，就足以显示ZT的平方可积性。提案2.8 ZT∈ L（P）。证据首先，存在一个常数Cu>0，使得UT=uσt+2uβ ++β +σt≤ 特写+β +σtby（2.9）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

能者818

2022-5-8 07:28:07

因此，（2.10）意味着ZT=ex p-2ZTutdt-ZT2utdWt+ZUTDT≤ 前任警察(-2ZTutdt-ZT2utdWt+TCu+β +ZTσtdt）≤ 前任警察(-2ZTutdt-ZT2utdWt+TCu+β +[σB（T）+B（T）JT]）≤ 前任警察TCu+β +σB（T）+ZTZ∞[eκx-1] ν（dx）dt×exp-2ZTutdt-ZT2utdWt+ZTZ∞κxeN（dx，dt）+ZTZ∞[κx+1-eκx]ν（dx）dt,自从β +B（T）≤ κ-by（A2）。此外，备注2.2暗示经验ZTutdt≤ E“exp（2TCu+2β +ZTσtdt）#≤ ex pn2TCu+2κσoEhe2κJTi<∞.因此，我们可以通过与引理2.5中第1项的证明相同的方式看到Zt是可积的。从今以后，我们用P表示MMM*, 也就是说，我们有ZT=dP*数据处理注意，dWP*t:=dWt+utdt是P下的布朗运动*; 在P下，andeN仍然是一个鞅*. 请注意，我们可以重写（2.1）和LTas dSt=St-σtdWP*tand LT=RTσsdWP*s-RTσsds分别为。下面的引理对于在P下建立Malliavin演算是必不可少的*.引理2.9 WP*是独立的；和WP*t+RtR∞禅（ds，dz）（=：X）*t）艾尔维耶夫的过程是什么*.证据这是由[6]中的定理3.2给出的。请注意[6]中的假设Z1 Z3是他们的长期假设。假设Z1和Z2在假设2.1的设置中得到满足。另一方面，假设Z3不一定成立，但[6]中的定理3.2不需要它。备注2.10过滤F与WP产生的强化过滤一致*安登。2.3 P下的Malliavin演算*这里，关于(Ohm, F、 P*) 作为潜在的概率spac e，我们为X公式化了Malliavin演算*在P之下*基于Petrou[7]和REAULD[8]的第5章。尽管[1]采用了Sol\'e等人[12]提出的规范L\'evy空间框架，但我们需要采用不同的方法来定义Malliavin导数，因为规范L\'evy空间的性质在度量变化下不会保持不变。首先，我们需要准备一些符号；并定义与WP有关的itera ted积分*安登。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

大多数88

2022-5-8 07:28:12

表示U:=[0，T]和U:=[0，T]×（0，∞),我们定义（A）：=ZAdWP*t任何∈ B（U），Q（A）：=ZAeN（dt，dx）表示任何A∈ B（U），hQi:=m，hQi:=m×ν，其中m是U上的勒贝格测度。我们d enoteG（j，…，jn）：=（（uj，…，ujnn）∈N∏k=1Ujk:0<t<·n<t）∈ N和（j，…，jn）∈ {0，1}n，其中ujkk:=tkif jk=0；和：=（tk，x）如果k=1时jk=1，n、我们将n次迭代积分定义为：J（J，…，jn）n（g（J，…，jn）n:=ZG（J，…，jn）g（J，…，jn）n（uj，…，ujn）Qj（duj）·Qjn（dujn），其中g（J，…，jn）是L中的确定函数G（j，…，jn），Nnk=1hQjki. 然后，文献[7]中的定理1确保*) 随机变量F表示为迭代积分之和，也就是说，我们可以找到确定性函数G（j，…，jn）n∈ LG（j，…，jn），Nnk=1hQjki为了n∈ N和（j，…，jn）∈ {0，1}n表示F具有以下混沌展开式：F=EP*[F]+∞∑n=1∑（j，…，jn）∈{0,1}nJ（j，…，jn）n（g（j，…，jn）n）。（2.11）注意，（2.11）中的有限级数收敛于L（P*).现在，我们定义了Malliavin可微随机变量的空间；和一个Malliavin导数算子D，表示1≤ K≤ n和t∈ （0，T），Gk（j，…，jn）（T）：=（uj，…，ujk）-1k-1，ujk+1k+1，ujnn）∈ G（j，…，jk）-1，jk+1，。。。，jn）：0<t<·tk-1<t<tk+1<tn<t,我们定义DasD：=F∈ L（P*), F=EP*[F]+∞∑n=1∑（j，…，jn）∈{0,1}nJ（j，…，jn）n（g（j，…，jn）n）：kg（0）kL（m）+∞∑n=2∑（j，…，jn）∈{0,1}nn∑k=1{jk=0}×ZTg（j，…，jk）-1,0，jk+1，。。。，n（…，t，…）LGk（j，…，jn）（t）dt<∞.此外，对于F∈ 丹特∈ [0，T]，我们定义tf:=g（0）（T）+∞∑n=2∑（j，…，jn）∈{0,1}nn∑k=1{jk=0}×J（J，…，jk）-1，jk+1，。。。，jn）n-1.g（j，…，jk）-1,0，jk+1，。。。，n（…，t，…）1Gk（j，…，jn）（t）.3主要结果我们给出了买入和卖出期权的LRM的显式表示作为主要结果。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

可人4

2022-5-8 07:28:15

正如[1]中所述，我们考虑第一看跌期权，因为看跌期权的Malliavin导数是有界的。买入期权的LRM将作为一种必然结果诞生。如果我们先处理看涨期权，那么我们需要引入额外的假设。在陈述我们的主要定理之前，我们准备了两个命题，一个是阿马里亚文导数f或看跌期权；另一个是D中Random变量的Clark-Ocone型表示结果。命题3.1对于K>0，我们有（K- （圣）+∈ D、安德特（K）- ST）+=-1{ST<K}STσt.证明。[1]的命题4.1给出了同样的结果。然而，正如第2.3小节开头所说，他们的Malliavin微积分框架与我们的不同。因此，我们用与[1]相同的方法给出了一个新的证明。首先，通过与[1]中引理A.1相同的参数，我们得到Dtσs=0。[7]中的定理2以与[1]中的引理A.2相同的方式暗示Dtσs=0。此外，通过与[1]中引理A.3和A.4相同的方式，我们可以看到dtrtσsds=0；和DtRTσsdWP*使用[7]中的命题6，s=σtb。因此，我们获得了LT∈ Dand DtLT=σt。下一步，表示fk（r）：=（Ser，如果r≤ 对数（K/S），Kr+K（1-log（K/S）），如果r>log（K/S）。我们有fK∈ C（R）和0<f′K（R）≤ K代表任何r∈ 因此，文献[7]的定理2暗示了fK（LT）∈ DandTfk（LT）=f′K（LT）DtLT=f′K（LT）σt（3.1）自（K）- ST）+=（K）- fK（LT））+，我们只需要看到（K）- fK（LT））+∈D然后计算Dt（K）- fK（LT））+。为此，我们采用了一个molli fier函数，即C∞-函数从R到[0，∞) 带supp（~n） [-1,1]安德烈∞-∞~n（x）dx=1。我们不需要注意n（x）：=n（nx）和gn（x）：=R∞-∞（K）-y） +n（x）- y）任何人都可以≥ 1.注意到gn（x）=Z∞-∞K- x+yn+~n（y）dy=Z∞-n（K）-十）K- x+ynν（y）dy，我们有g′n（x）=-R∞-n（K）-x） ν（y）dy，因此∈ 坎德|格恩|≤ 1.因此，[7]中的定理2再次暗示，对于任何n≥ 1，gn（fK（LT））∈ DandDtgn（fK（LT））=g′n（fK（LT））DtfK（LT）=g′n（fK（LT））f′K（LT）σt（3.2）乘以（3）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

何人来此

2022-5-8 07:28:18

1). 我们有≥1kDgn（fK（LT））kL（m×P*)≤ 基普*ZTσtdt< ∞.此外，注意到t | gn（x）-（K）- x） +|=Z-1.K- x+yn+-（K）- 十）+ν（y）dy≤新西兰-1 | y |~n（y）dy≤对于任意x∈ R、我们有limn→∞E[| gn（fK（LT））-（K）- fK（LT））+|]=0。因此，下面的引理3.2意味着（K- fK（LT））+∈ D.此外，[7]的引理2确保子序列nknk的存在，使得Dgnk（fK（LT））收敛到D（K）- L（m×P）意义上的fK（LT））+*). 另一方面，我们有limn→∞g′n（x）=-1{x<K}-1{x=K}R∞ν（y）dy；和P*（fK（LT）=K）=0由[6]中的推论2.3得出，其中limn→∞g′n（fK（LT））=-下面是{fK（LT）<K}a.s。因此，如果需要，通过进一步的子序列，（3.2）提供DT（K- ST）+=Dt（K）- fK（LT））+=limk→∞Dtgnk（fK（LT））=limk→∞g′nk（fK（LT））f′K（LT）σt=- 1{fK（LT）<K}f′K（LT）σt=-1{ST<K}STσt，m×P*-a、美国。引理3.2设F在L（P）中*), 和（Fn）n≥1a数据序列收敛到F inL（P*). 如果有≥1kDFnkL（m×P*)< ∞, 然后F∈ D.证据。这是由[8]中引理5.5.5的证明给出的。F提案3.3∈ D、我们有*[F] +ZTEP*[DtF |英尺-]dWP*t+ZTZ∞一类可预测过程ψ的ψt，xeN（dt，dx）∈ L（m×ν×P）*).证据通过（2.11）表示F的混沌展开，我们得到F=EP*[F]+∞∑n=1∑（j，…，jn）-1)∈{0,1}n-1nJ（j，…，jn）-1,0）n（g（j，…，jn）-1,0）n）+J（J，…，jn-1,1）n（g（j，…，jn）-1,1）n）o=EP*[F] +ZTg（0）（t）dWP*t+∞∑n=2∑（j，…，jn）-1)∈{0,1}n-1ZTJ（j，…，jn）-1） n-1.g（j，…，jn）-1,0）n（…，t）1Gn（j，…，jn）（t）dWP*t+ZTZ∞g（1）（（t，x））eN（dt，dx）+∞∑n=2∑（j，…，jn）-1)∈{0,1}n-1ZTZ∞J（J，…，jn）-1） n-1.g（j，…，jn）-1,1）n（…，（t，x））1Gn（j，…，jn）（t）eN（dt，dx）=EP*[F] +ZTg（0）（t）+∞∑n=2∑（j，…，jn）-1)∈{0,1}n-1J（j，…，jn）-1） n-1.g（j，…，jn）-1,0）n（…，t）1Gn（j，…，jn）（t）dWP*t+ZTZ∞g（1）（（t，x））+∞∑n=2∑（j，…，jn）-1)∈{0,1}n-1J（j，…，jn）-1） n-1.g（j，…，jn）-1,1）n（。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

mingdashike22

2022-5-8 07:28:21

，（t，x）1Gn（j，…，jn）（t）eN（dt，dx）（3.3）=:EP*[F] +ZTφtdWP*t+ZTZ∞ψt，xeN（dt，dx）。上述第三等式（3.3）在下面的引理3.4中得到了证明。另一方面，注意到F∈ D、我们有*[DtF |英尺-]=EP*g（0）（t）+∞∑n=2∑（j，…，jn）∈{0,1}nn∑k=1{jk=0}×J（J，…，jk）-1，jk+1。。，jn）n-1.g（j，…，jk）-1,0，jk+1。。，n（…，t，…）1Gk（j，…，jn）（t）英尺-=g（0）（t）+∞∑n=2∑（j，…，jn）∈{0,1}nn∑k=1{jk=0}×EP*J（J，…，jk）-1，jk+1。。，jn）n-1.g（j，…，jk）-1,0，jk+1。。，n（…，t，…）1Gk（j，…，jn）（t）英尺-=g（0）（t）+∞∑n=2∑（j，…，jn）∈{0,1}n{jn=0}J（J，…，jn）-1） n-1.g（j，…，jn）-1,0）n（…，t）1Gn（j，…，jn）（t）=因此，φ属于L（m×P）*). 因此，RTR∞ψt，xeN（dt，dx）是平方可积的，即ψ∈ L（m×ν×P）*). 这就完成了命题3的证明。3.命题3.3的证明中的引理3.4（3.3）为真。换句话说，对于l=0，1，∞∑n=2∑（j，…，jn）-1)∈{0,1}n-1ZUlJ（j，…，jn）-1） n-1.g（j，…，jn）-1，l）n（…，bul）1Gn（j，…，jn）（t）Ql（dbul）=ZUl∞∑n=2∑（j，…，jn）-1)∈{0,1}n-1J（j，…，jn）-1） n-1.g（j，…，jn）-1，l）n（…，bul）1Gn（j，…，jn）（t）Ql（dbul），其中bu=t∈ Uandbu=（t，x）∈ 美国证据。回想一下，cha os扩展中的有限系列在THL（P*)-感觉现在，对于l=0，1，我们表示Φl，N（bul）：=N∑n=2∑（j，…，jn）-1)∈{0,1}n-1J（j，…，jn）-1） n-1.g（j，…，jn）-1，l）n（…，bul）1Gn（j，…，jn）（t）为了N≥ 2和Φl（bul）：=∞∑n=2∑（j，…，jn）-1)∈{0,1}n-1J（j，…，jn）-1） n-1.g（j，…，jn）-1，l）n（…，bul）1Gn（j，…，jn）（t）.我们得到了，对于l=0，1，（Φl，N）N≥2是L（hQli×P）的序列*) 收敛到Φlin的L（hQli×P）*)-感觉因此，我们有了Limn→∞EP*\"ZUlΦl，N（bul）Ql（dbul）-ZUlΦl（bul）Ql（dbul）#= 0下面的定理是我们的主要结果。定理3.5对于K>0，LRMξ（K-出售期权（K）的ST）+- ST）+表示为ξ（K）-ST）+t=-第一-EP*[1{ST<K}ST|Ft-]. （3.4）证据。通过ζt表示（3.4）的右侧，我们将看到过程ζ为ΘS。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

mingdashike22

2022-5-8 07:28:24

注意到|ζt |≤KSt-, 我们有“ZTζtdhMit”+ZT|ζtdAt|#≤ E“ZTKσtdt+ZTKu +β +σtdt#< ∞,自从ERTσtdt< ∞ 引理2.4。因此，ζ∈ ΘSholds。接下来是定义（K-ST）+t：=E（K）-（圣）+-EP*（K）- （圣）+-ZTζsdSs英尺,我们证明了（K-ST）+=EP*（K）- （圣）++ZTζtdSt+L（K-ST）+Tgives是（K）的组成-ST）+。自从L（K）-ST）+是带l（K）的P-鞅-ST）+T∈ L（P），我们只需要证明L（K）的正交性-ST）+至M.自（K）- （圣）+∈ 从命题3.1开始，我们有命题3.3和命题3。1，（K）- ST）+=EP*（K）-（圣）++ZTEP*hDt（K-ST）+英尺-idWP*t+ZTZ∞ψt，xeN（dt，dx）=EP*（K）-（圣）+-ZTEP*h{ST<K}ST|Ft-iσtdWP*t+ZTZ∞ψt，xeN（dt，dx）=EP*（K）-（圣）++ZTζtdSt+ZTZ∞一类可预测过程ψ的ψt，xeN（dt，dx）∈ L（m×ν×P）*), 意思是L（K）-ST）+t=RtR∞ψs，xeN（ds，dx）对于任何t∈ [0，T]。因此，L（K）-ST）+与M正交。根据看跌期权平价，以下结论成立：看跌期权的推论3.6 LRM（ST-K） +表示为ξ（ST-K） +=1+ξ（K）-ST）+4结论我们给出了约束ρ=0的BNS模型的看涨期权和看跌期权的LRM表示。与文献[1]相比，我们放宽了对β的限制；并将ρ限制为0。定理3.5中的表示（3.4）与定理3中的表示（3.1）一致。[1]中的1，用0代替ρ。注意，尽管MMM的密度取决于β，但β并不出现在LRM的代表中。与BNS模型的LRM相关的一些重要问题仍有待于未来的研究：数值格式的发展，与deltahedge的比较，BNS模型的完全一般情况的扩展，等等。感谢作者感谢Jean-Pierre Fouque的富有成效的讨论；并感谢石井纪念证券研究促进基金会的财务支持。参考文献[1]Arai，T.，Suzuki，R.：BarndorffNielsen和Shephard模型的局部风险最小化。提交。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

kedemingshi

2022-5-8 07:28:29

可获得的athttp://arxiv.org/pdf/1503.08589v1[2] Barndorff Nielsen，O.E.，Shephard，N.：金融计量经济学的L’evy过程建模。摘自：Barndorff Nielsen，O.E.，Mikosch，T.，Resnick，S.（编辑S.）：Le\'E v y p过程——理论与应用，第283-318页。Birkh–auser，Basel（2001）[3]Barndorff Nielsen，O.E.，Shephard，N.：基于非高斯的OrnsteinUhlenbeck模型及其在金融计量经济学中的一些应用。J.R.统计。Soc。63167–241（2001）[4]续，Tankov P.，带跳跃过程的金融建模。伦敦查普曼和霍尔（2004）[5]石川，Y.：跳跃过程的随机变分法。WalterDe Gruyter，Berlin（2013）[6]Nicolato，E.，Venardos，E.：Ornstein-Uhlenbeck型随机波动率模型中的期权定价。妈妈。资金13（4），445–466（2003）[7]Petrou，E.Malliavin演算在L’evy空间中的应用和金融。概率电子杂志。27852-879（2008）[8]雷诺，J.F.：Malliavin计算，evyet应用程序财务：quelques贡献。论文，蒙特勒大学（2007年）出版athttp://neumann.hec.ca/pages/bruno.remillard/Theses/JFRenaud.pdf[9] 资深大律师houtens，W.：金融学中的列维过程：金融衍生品定价。John Wiley&Sons，Hoboken（2003）[10]Schweizer，M.：通过二次套期保值方法的导游。摘自：Jouini，E.，Cvitani\'c，J.，Musiela，M.（编辑）：期权定价，利率和风险管理（数学金融手册），第538-574页。剑桥大学出版社，C ambridge（2001）[11]Schweizer，M.：多维资产和支付流的局部风险最小化。巴纳赫公共中心。83，213–229（2008）[12]索尔·e，J.L.，尤兹·t，F.，维维斯，J.：标准的L’evy过程和马利文微积分。随机过程。阿普尔。117，165–187（2007）[13]王伟，钱，L。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

何人来此

2022-5-8 07:28:32

Wang，W.：随机波动率模型中单位关联人寿保险合同的对冲策略。WSEAS数学交易，第12卷，第4期（2013年）

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

分享

扫码加好友，拉您进群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群