我们表示λtappers的比率是平均值回复到一个可以估计为130%左右的值≈ (86%75%).图8：波动率的波动率我们显示了平方VVIX指数和我们的理论值之间的比率，用固定的vol of vol参数计算。该比率的动态性表明，均值回复过程可以用来模拟vol-of-vol的随机性。例如：dλtλt=-kλ（对数λt）- （对数λ）∞+σλ2kλ））dt+σλdWλt带校准参数λ∞kλμλσλζλκλ126%16 0%152%0.78 2.66以及与其他因素的相关性ρδZtδWFtδWStδWλt-60%56%59%这将产生vol of vol等于toEt[logλu]=logλ的期限结构∞+ （对数λt）- 对数λ∞)E-kλ（u）-t） （16）在这个增强的框架内，瞬时方差将遵循一个扩散方程：dξutξut=rλtλ∞x nXα=1θαωα（t，u，ξt）dWα在vol-of-vol参数中的第一阶，只需要对我们的随机波动性框架进行轻微调整——然而，它将变得不那么容易处理。凸度校正将被改变，因此，随着vol的增大，凸度校正将略微增加。更重要的是，存在随机的交易量意味着VIX到期日的总方差将通过使用从等式16推导出的二阶近似值来反映交易量的均值回复行为，λut=Et[λu]=λ∞（λtλ）∞)E-kλ（u）-t） eσλ（u）-t） ，VIX到期日Ti的总方差将与公式15不同：Xα，βOhmgα，βe-σλt-（kα+kβ）Ti4（Ti- t） ZTitλutλ∞e（kα+kβ+σλ）uduth对于短期到期、小平均回归率kλ或小水平的vol，vol对vol的影响最小。在所有其他情况下，需要对上述积分进行数值评估。随着vol of vol的增加，从历史数据来看，期限结构变得更加陡峭。

为了将来的工作，我们在模型中集成了大量信息。因此，我们通过深入研究非线性的理论含义来探索spot/vol特性。WenInvestigate对衍生品定价和对冲的影响，这是一个活跃的研究领域[2,4,10,5,21]。我们首先关注标准香草选项，并回顾基础偏斜和隐含偏斜之间的联系（第4.1节）。然后仔细研究隐含偏差和ATM隐含波动率演变之间的关系（第4.2节）。最后，我们来看一下对年化方差波动性的一些影响（第4.3节）。4.1偏态和偏态我们研究了收益ζt的偏态和偏态、Tof隐含期权微笑之间的关系。众所周知，一个模型产生的收益偏斜与同一模型定价的期权隐含偏斜有关[2]。这并不奇怪，因为偏度和偏度都是现货波动相关性的函数。在vol-of-vol参数的vol中，关系可以表示为Skewt，T=ζTt√T-t、 然而，只有当模型是线性的时，这个表达式才成立。当存在一些非线性时，例如通过函数fα，质量会出现问题，如[21]所述。我们在模型的范围内研究了这种关系。我们验证了当忽略非线性时，即假设α=0，等式在一阶有效。非线性的存在改变了这种关系。

然而，在现货/成交量线性相关性占主导地位的股票中，其影响可以忽略不计。4.1.1收益的偏度收益的偏度可以很容易地从2阶和3阶矩中计算出来：ζTt=Et[（\\logSTSt）]Et[（\\logSTSt）]。按照与[3]相同的推导步骤，我们首先发现偏斜度可以表示为：ζTt≈Pu（ξutδu）（Puξutδu）ζZ（17）+3XαθαPuξutPv<upξvtωα（v，u，ξt）E[δ\'Zud\'Wαu]δuδv（Puξutδu）假设波动性的期限结构相对较低，上述方程进一步简化为ζTt≈ζ√N+3√T- tXαθαE[δ¨Zd¨Wα]|{z}-bαh（kα（T- t） 式中，h（x）定义为h（x）=xRxug（u）du=x-1+e-xx。到期收益率的偏态- t是时间尺度δt上现货过程的内在偏度和现货波动率相关性的结果。在没有vol的情况下，即θα=0，偏度在减小√Nas期望采用独立增量的fora流程。这个词很快就会被忽略。4.1.2挥发物的微笑为了研究vol对期权隐含微笑的影响，我们引入了一个标度参数λ作为θα→ λθα. 参数λ控制模型中的随机波动量。在没有vol的vol的情况下，即λ=0，我们的模型的恒常性等于var掉期波动率σVS（t，t）=pVt→Tt，期权的隐含波动率为FL。在vol of vol的存在下，隐含波动率的形状发生了改变，ATM波动率发生了变化，偏差从零开始。这一特性是随机波动率模型的一个众所周知的事实，在最近的工作[4,5]中，在二阶线性模型的情况下已被精确量化。当存在非线性时，随机参数对隐含波动率的影响是不同的，正如[21]在单因素GARCH模型中指出的那样。

我们进行了类似的分析，并在我们的增广非线性随机波动率模型中计算了隐含波动率。在走向K=St+dK的一阶，波动率近似为：∑λ（K，t，t）≈ σλATM（St，t，t）+Skewλt，t×dkst，其中σλ（K，t，t）是在罢工K时观察到的Black-Scholes隐含波动率。注意，对于罢工K，σλ=0（K，t，t）=σVS（t，t）。买入期权的价格FK（λ）=Et[（St-K） K的+]是通过参数λ的vol参数的vol的函数。定价是在风险中性度量下实现的，即我们假设δzt和δwt是标准正态分布，我们忽略了漂移分量。首先，由特定走向K的随机波动性的存在所暗示的波动性变化可以计算为：Δσ（K，t，t）=σλ（K，t，t）- σVS（t，t）=λFK（0）织女星，织女星是标准的Black Scholes织女星。我们推断：oATM价差ATM波动率移动σλ（St，t，t）- σVS（t，t）=λFSt（0）VegaSto倾斜由随机波动性产生的倾斜等于倾斜λt，t=λFK（0）VegaK-FSt（0）VegaStstdk经过一些繁琐的计算（见附录6.2），我们发现k（0）vegak的比率可以表示为：XαθαPuhξutδuPv<uδvωα（u，v）√δtEt[fα（Av+BvW）]i（T- t） pVt→其中，W是标准高斯变量，Av，bv定义为：Av=pξvtδv（T- t） Vt→Tt（（T- t） Vt→Tt+logKSt）Bv=s1-ξvtδv（T）- t） Vt→tt上述表达式与[21]中推导的表达式相同。这并不奇怪，因为外部波动对隐含微笑或扭曲的表达没有可测量的影响。通过对函数fα的定义，我们发现上述期望可以表示为：Et[fα（Av+BvW）]=aα（Av+Bv）- 1) - bαav线性情况我们首先考虑线性模型，通过简单假设aα=0忽略二次项。

然后可以直接检查表达式Skewt，T=ζTt√T-t在第一阶时有效（记住，对于定价，我们假设ζ=0——我们忽略了回报的内在偏度）。此外，我们可以精确地表示线性模型所隐含的ATM扩展和倾斜的值。为了简单起见，我们假设方差的期限结构相对灵活；我们发现：Spread | lin=-Xαθαbαh（kα（T- t） ）（t- t） σVS（t，t）歪斜| lin=-Xαθαbαh（kα（T- t） ）这正是[5]中更一般设置下得出的结果。vol of vol的存在会降低ATMvolatility，并与equalitySpread | lin=（T）成比例地产生倾斜-t） σVS（t，t）Skew | lin.非线性情况在存在非线性的情况下，Skew和Skew不再直接相关。在浮动期限结构的情况下，我们可以表示差异基特，T-ζTt√T-tas:Xαθαaαh（kα（T- t） ）σVS√δt非线性的影响通过αbασ与√δt≈fα2fασVS√δt.在SPXindex的情况下，主导因素仍然是点/体积的线性相关性。非线性影响可以忽略，比率为零。然而，当相关性变小和/或非线性变大时，差异和比率将变得可见。对于微笑程度较低且现货/成交量相关性接近于零的资产，如外汇资产，情况就是如此。还要注意的是，当观测的时间框架变小时，即δt→ 0，我们以线性情况结束。还可以计算对ATMvolatilities传播的影响，以发现：排列=排列|非lin- 扩散| lin=Xαθαaαh（kα（T- t） ）σVS√δt（（t- t） σVS- 1） 我们发现这也是可以忽略的。

虽然非线性会改变收益偏度和隐含波动率偏度之间的关系，但修正的幅度很小，可以安全地忽略。4.2歪斜粘性比率在最近的研究[4]中，Bergomi表明波动率模型的两个先验的非常不同的特征，即隐含微笑的静态形状和ATM波动率的动态，是紧密联系的。为了测量它们的相关性，他引入了倾斜粘性比R（t，t）作为：R（t，t）=Et[δσATM（t，t）δSt]倾斜（t，t）Et[dSt]这个比率提供了对粘性走向R=1、粘性增量R=0和局部体积冲击=2的定量解释。在我们的模型中，可以很容易地计算ATM波动性与点变化之间的相关性：Et[δσATM（t，t）δSt]Et[δSt]=XαθαRTtξutwα（t，u）Et[δWαtδZt]pξttVt→Tt（T- t） δt在波动率的期限结构中，它可以表示为asXαθαg（kα（t- t） g（x）=1时的E[δ′Ztδ′Wαt]-E-xx。忽略非线性（设置aα=0），我们因此发现倾斜粘性比可以表示为r（t，t）=Pαθαbαg（kα（t- t） Pαθαbαh（kα（t- t） 这正是Bergomi在[4]中发现的表达式。在小到期日的限制下，倾斜粘性比收敛到2。如果将微笑解释为期权伽马加权的所有波动路径的平均值，那么这个值就非常合理。

在长期债券的情况下，该比率趋于1。虽然非线性改变了倾斜粘性比的值，但我们并未发现差异对SPX指数有显著影响。4.3方差的波动性互换在最后一节中，我们进入了波动性衍生品的世界[9,1]，并研究了年化方差的波动性。方差互换提供固定期间内收益的累计年化方差敞口[T，T]。大多数情况下，收益率是近距离计算的，但也存在其他约定。在贸易生涯中≤ T≤ T、 年化方差标记为市价vt→Tt=Et[T- 特瓦特→T] 根据每日收益进行的变动，增加了累计实现的差异，但也由于与到期前剩余差异相对应的隐含可用性的变动。利用方差的可加性，计算了年化方差δVT的变化→ttt在时间步长内δt（对应于一天）可以写成两个显式项之和：T（δStSt）- ξttδt| {z}T+T- TT（δIt）- Et[δIt]）|{z}隐含方差（18）的变化，其中It=Vt→TT表示到期前的隐含年化方差。这个表达式清楚地表明，我们提供了一个简单的直观证明。在时间t时，观察到的到期日t+2δt的波动率σBS（K）可以用σBS（K=St+dK）=σBS（St）+SkewtdKSt来近似货币周围的冲击。在时间t，对应于时间间隔[t，t+δt]和[t+δt，t+2δt]的局部波动率分别表示为σ和σt+δt（St+dK）。在小δt和小dK的极限下，我们必须有σBS（K=St+dK）=σt+σt+δt（St+dK）。局部波动率σt+δt（St+dK）表示区间[t+δt，t+2δt]上定义的ATM波动率的时间t预期。

通过将σt+δt（St+dK）=σt+δt（St）+R×skewtdkstwi与代表歪斜粘性比的未知系数R相加，我们立即发现R=2。瞬时隐含方差ξtt必须验证ξttδt=Itδt- （T）- t） Et[δIt]。年化方差的波动性，即ET的平方根[TZTT（δVuVu）]，取决于协方差参数Ohmα、 β（通过第二项），但也取决于归一化返回δZt的峰度κ（通过第一项）。这意味着，即使在没有vol of vol的理想化场景下，也就是说。Ohmα、 β=0时，收益的离散化会产生一些波动。离散抽样对总方差的贡献是众所周知的。第三个贡献是存在的，尽管记录较少。大型意外冲击，即δ′Zt>>1，也通过其与隐含波动率的相关性对总波动率作出贡献。这最后一项是非线性的直接后果，伴随着巨大的意外冲击，通常是负的，与隐含的方差跳跃密切相关。我们用ρα冲击表示这种相关性，即ρα冲击=Et[δWαt×δZ]-1.√2+κ]. 使用公式11中定义的近似值，我们可以明确地计算相关性为ρα=aα√κ + 2 - bαζ√κ+2. 从我们估计的参数来看，这两种相关性都在25%左右。与波动率聚类效应类似，与负的现货量相关性相关的变量δzt的偏度本质上决定了相关系数的大小。根据我们通常的假设，方差的期限结构相对较低（见附录。

6.3对于推导），方差交换的总方差可以近似为三项之和：抽样影响κ+2NTimplied参数spα，βOhmα、 βl（kα，kβ，T）意外电击2qκ+2NTPαραθαh（kαT）用h（x）=x定义的函数-1+e-xxx和l（x，y，z）=xyz（z-1.-E-xzxz-1.-E-YZ+1-E-（x+y）z（x+y）z）。对于小到期日，他们验证了l（kα，kβ，（T）≈和h（kα（T）≈, 而对于大到期日，gα，β(（T）≈kαkβTand h（kα（T）≈kα根据估计的模型参数，我们可以定性地计算总方差。如图4.3所示，所有三个术语都有显著影响，包括非线性影响。事实上，不应忽视大型意外冲击的影响，因为其对短期波动的贡献可能很大（例如，对于3个月的掉期交易，约为10%）。方差互换方差将方差互换的预期方差绘制为到期日的函数。方差分解为三项，反映了非线性、离散采样和隐含参数标注的影响。我们还显示了数据集上计算的历史变量（黑色十字）。波动性衍生品的定价和对冲，如波动性掉期，以及波动性或方差期权，取决于我们刚刚计算的总方差。由于非线性有助于增加总方差，它们将影响衍生品的定价和套期保值。在这种情况下，这三个术语可以直接解释为伽马成本、现场伽马、参数标注伽马以及两者之间的交叉伽马。然而，重要的是要认识到，每天使用相同成熟度的即期方差互换对方差衍生工具进行套期保值可以同时对冲三个Gamma。

不同的是，只要一个人知道正确的对冲工具vega，三个条款就会同时对冲。最后，我们注意到方差的期限结构很少发生变化。在实践中，斜坡的存在应整合到总方差中（见附录6.3）。因此，波动性衍生品，如方差期权，将需要额外的中间交易T<T<T的方差互换套期保值。结论在本文中，我们从实证角度研究了现货和波动性的一些特征。我们总结了以下发现：1。方差曲线的Karhunen-Lo`eve分解表明，前两个本征模式几乎占方差的99%，证实了[12]中报告的结果。只有两个因素的随机波动率模型能够高度准确地捕捉长达半年的方差曲线的每日变化。2.现货和波动因子的密度明显偏离正态分布。它们表现出明显的倾斜、巨大的过度峰度和肥尾，这是一个经常被记录的已知事实[7]。现货和波动率之间的关系不是线性的；波动性是凸的。对于SPX指数，可以使用二次函数fα实现精确建模。随着成熟度的增加，非线性成分的强度减弱。由函数关系无法解释的方差的分数占三分之一。3.杠杆相关性量化了今天的即期汇率变动与明天的变现收益率之间的相关性，通过术语隐含方差结构（等式3）以及即期汇率与波动率之间的线性相关性精确建模[10,21]。

波动率聚类的建模用于测量今天和明天的实际波动率之间的相关性，需要更高阶的非线性效应来捕捉相关性E[δ¨Wtδ¨Zt]。我们发现，非线性成分解释了大约三分之一的波动性聚集，并且在短期内更为显著。点因子的倾斜与线性点/体积相关性相结合，解释了剩余的三分之二。5.波动率的波动性本身就是波动的，并且似乎遵循一个半衰期低于一个月的均值回复过程。增加随机时变波动率可能是一种有趣的方法，可以推广当前的方法，并整合VVIX指数（和VIX期权）提供的额外信息。我们研究了非线性对微笑动力学的影响。正如在[21]中首次指出的，非线性模型产生的波动偏斜通常与基础数据的偏斜不同。在PX指数的情况下，线性斑点/体积相关性仍然是主导因素，非线性影响可以忽略，并且[4]中定义的倾斜粘性比实际上没有变化。更平和/或更凸的波动性微笑，如外汇市场上的微笑，可能会产生明显的差异。7.非线性对年度化方差的总波动性有重要影响，因此，应将其纳入波动性衍生品的定价、建模和对冲中。凸性贡献的下降速度比离散采样影响的下降速度慢，但这两个贡献很快都小于通过对隐含参数进行注释而产生的波动率。

然而，我们注意到，只要计算出正确的VEGA，使用即期方差进行套期保值将对不同的贡献进行套期保值。6附录：通过考虑θα一阶小扰动的证明，在时间v观察到的未来瞬时方差ξuv≥ t可通过以下公式从之前的值ξut近似得出：ξuv=ξut×1+XαθαZvtωα（τ，u，ξX）dWατ|{z}表示χα，ux，t→五、= ξut×1+Xαθαχα，ux，t→五、（19） 其中，函数ωα在未扰动状态（θα=0）下计算，方差在时间x冻结≤ t（更多细节见[4,21]）。通常，冻结时间被视为开始日期（即x=0）或当前时间（即x=t）。通过冻结方差，函数ωα变得确定，没有随机成分。6.1凸性校正在等式3中定义的波动率模型下，可以很容易地以协方差参数的一阶计算VIX期货的价值Ohmα,β. 我们将时间T的方差结构表示为在时间T观察到的项结构的扰动，通过用dψuT（v）=ξuT×Pαθαωα（v，u，ξT）写出ξuT=ξuT+ψuT（T），扰动曲线ψ中的二阶扩展导致：VTt=EtsTZTTξuTdu= EtsTZTT（ξut+ψut（T））du≈ EtsTZTTξutdu+TRTTψut（T）duqTRTTξutdu-(TRTTψut（T）du）(TRTTξ（utdu）≈ KTt-Et[(TRTTψut（T）du）]（KTt），其中KTt=sTZTTξutdu≈ KTt-Et[PαθαRTtδWαvTRTTξutωα（v，u，ξt）du]（KTt）≈ KTt×1.-8（KTt）Xα，βOhmα、 βZTtdvTZTTξutωα（v，u，ξt）du×TZTTξutωβ（v，u，ξt）du |{z}凸性校正6.2波动率对隐含微笑的影响波动率的存在改变了隐含波动率表面的形状。我们引入一个标度参数λ作为θα→ λθα，考虑看涨期权的价格FK（λ）=E[（ST- K） 存在volλ6的vol时，走向K的+]等于0。定价是在风险中性措施下实现的，即。

δzt和δwt遵循标准正态分布。我们也忽略了漂移部分。由vol的vol的存在引起的走向k处的波动性变化为：Δσ（k，t，t）=σλ（k，t，t）- σVS（t，t）=FK（λ）- FK（0）VegaK=λFK（0）VegaK，其中Vegaki是标准的Black Scholes vega。为了计算FK（0），我们遵循与[21]中相同的步骤。我们将spotat成熟度表示为未扰动状态（λ=0）和一阶校正的函数：logSTSt=Xulog（1+δSuSu）≈徐pξuuδZu-ξuuδZu≈徐pξuuδZu-ξuuδu≈徐pξutδZu-ξutδu| {z}LN+λXαθαXupξutχα，ut，t→uδZu- ξutχα，ut，t→uδu| {z}LαN从上面的等式19中，我们得到F（λ）=E[（SteLN+λPαθα）~LαN- K） 所以F（0）=PαθαStE[~LαNeLNLN>logKSt]。为了简单起见，我们去掉α项，定义σu=pξutδt和moneyness MK=logStK≈ -dKSt。积分FK（0）的计算是痛苦的，而且计算量很大。它需要对变量和部分积分进行多次更改。我们在下面概述一下证据。首先，我们将积分FK（0）表示为两个积分之和：FK（0）=StEhLNeLNLN>logKSti=StE~LN-1eLN-1Φ（MK+LN）-1+PNi=NσiqPNi=Nσi）+ σNStE埃尔恩-1χNN-1.√2πe-（MK+LN）-1+PNi=Nσi√PNi=Nσi）= St×[I（N）]- 1） +σNJ（N）- 1） ]然后我们利用以下等式√2πe-xΦ（ax+b）=Φ（b√1+a）来推导递归等式：I（k- 1） =I（k）- 2） +σk-1qPNi=k-1σiJ（k）- 2） 积分J（k）- 1） 可计算为：J（k- 1） =e-MKXu<kλkusPNi=kσiPi6=uσiE“δ”Wu√2πe-（σu）u+MK-Pσi）Pi6=uσi#=√2πe-（MK+Pσi）PσiXu<kλkusPNi=kσiPσiEfα（σ）上σi（Xσi）- MK）+sPi6=uσiPσiU）我们将VaR表示为Black-Scholes总方差VaR=PNu=0σu≈RTtξutdu。综合所有因素，我们发现：FK（0）VegaK=Xαθαp（T- t） VaRXu“ξutδuXv<uδvωα（u，v）E”√δtfα（pξutδuVaR（VaR- MK）+rVaR- ξutδuVaRU）##6.3年化方差的波动性为了得出年化方差的总方差ET[TRTT（δVuVu）]。

18.我们假设方差的期限结构相对宽松。我们假设u的Vt、隐含方差Itan和瞬时方差ξ之间的差异≥ t应为二阶（与涉及协方差参数、峰度和相关项的不同积分项相比）。虽然这种近似很少得到精确验证，但它确实带来了获得精确闭式解的优势。在我们的假设下，可以导出以下近似值zttdξutdu=nXα=1θαZTtξute-kα（T-u） dudWαt≈ ItnXα=1θαgα（T- t） dWα细枝gα（t- t） =1- E-kα（T-t） kα（t- t） ，适用于公式18，导致按市价计价δVt的变化≈TξttδZt- δt+T- TTItXθαgα（T- t） dWαt从那里很容易计算总方差。我们的浮动期限结构假设意味着不同的波动率比率（见下文）可以忽略，而不会对最终解决方案产生太大影响。ET[TZTT（δVuVu）]≈TZTTET[（ξuuVu）（δZu）- δu）]+德克萨斯州Ohmα、 βkαkβZTTET[IuVu]（1）- E-kα（T-u） ）（1- E-kβ（T-u） ）杜+TXθαkαZTTET[（ξuiuvu）（δZu）- δu）dWαu]（1）- E-kα（T-u） )≈κ+2NT+Xα，βOhmα、 βkαkβT(T-1.- E-kαTkαT-1.- E-kβTkβT+1- E-（kα+kβ）T（kα+kβ）T） |{z}l（kα，kβ，T）+2rκ+2NTXαραθα（kαT-1.- E-kαT（kα）T）{z}h（kαT）参考文献[1]E.Ayache。方差互换的讽刺之处在于。WILLMOT杂志，第16-23页，2009年。[2] D.巴克斯、S.弗雷西、K.赖和L.吴。解释布莱克·斯科尔斯的偏见。纽约大学斯特恩商学院工作文件，1997年。[3] 贝戈米。微笑动力学2。风险，2005年10月，第67-73页。[4] 贝戈米。微笑动力学iv.风险，2009年。[5] 贝戈米。还有J.Guyon。她有条不紊地微笑着。风险，60-662012年。[6] 博勒斯列夫。从词汇表到arch（garch）。工作文件；时间序列计量经济分析研究中心，2008年。[7] J-P.Bouchaud和M.Potters。

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