因此，对于每一个ε>0，就有一个正的x，即1-l+εxα≤ AFα（x）≤ 1.-L- εxα（10）对每一个x>\'x都成立，因此，假设ω足够大，严格大于\'x，立即检查不等式是否成立L- ε1 - θAFα（ω）1/α≤ （A（ω）Fα）-1(θ) ≤l+ε1- θAFα（ω）1/α（11）在每个θ>θ：=（1）处满足- （l）- ε） \'x-α） /AFα（ω）。通过将α<1的情况与α=1的情况分开进行证明。E.Perversi和E.Regazzini/21如果α<1和θ>θ，（11）包含φF（ω）α（θ）=1-M（A（ω）Fα）Zθ（A（ω）Fα）-1（t）dt≤ 1.-α（l）- ε） 1/αM（A（ω）Fα）（1）- α） AFα（ω）h1.- AFα（ω）)1.-1/α-1.- θAFα（ω）)1.-1/αi.在这个阶段，从（10）和简单的计算中，我们可以根据toM（A（ω）Fα确定m（A（ω）Fα）=Z\'x+Zω\'x(1 - A（ω）Fα（x））dx≤ K+ω1-αα（l+ε）+2ε（1）- α)(1 - α） AFα（ω），其中K是一个合适的常数。因此，当α<1时，这个界与（10）的结合就得出了证明，因为对于每一个θ>θ，limω→+∞νF（ω）α（θ）≤ limω→+∞h1-（l）- ε） 1/α2ε+α（l+ε）/（1）- α)α1 - α（l+ε）1-1/α- ωα-1(1 - θAFα（ω））1-1/αi=1-L- εl+ε1/α1 + 2ε(1 - α） /（l+ε）是正的，考虑到ε的ar位性，它任意地小。如果α=1和θ>θ，我们可以像在c aseα<1中那样论证，以获得φF（ω）（θ）≤ 1.-M（A（ω）F）Zθ（l）- ε)(1 - tAF（ω））-1dt1-L- εM（A（ω）F）AF（ω）hlog（1）- θAF（ω））- 日志（1）- AF（ω））i，模仿- 比照- 对有界M（A（ω）F进行同样的计算，很容易得到很小的ω→+∞νF（ω）（θ）≤ 1.-L- 鉴于ε的任意性，εl+ε完成了证明。给出了关于弱概率定律集中的有用信息，我们在前面几节的一些段落中描述了μt的概率表示。E.Perversi和E.Regazzini/225.2。Bassetti等人在第2.1节中回顾了对溶液utAs的众所周知的概率表示的评论（及其后果）。

（2011），溶液utto（3）的傅里叶-斯蒂尔杰斯变换可以表示为^ut（ξ）=Xn≥1e-t（1）- E-t） n-1^qn（ξ，^），其中^q（ξ；^）：=^u（ξ），且对于每n≥ 2，^qn（ξ；^）：=n- 1n-1Xj=1Z[0+∞)^qj（lξ）^qn-j（rξ）τ（dldr）。（12） 鉴于文中所解释的一个论点，而该论点又借鉴了之前的论文McKean（1966）、Gabetta和Regazzini（2006），其中一个验证是一个随机数的p.d.：对于每一个t>0，都是∧νtXj=1βj，∧νtXj，其中∧tv和Xj（j=1,2，…）随机元素是否定义在足够大的可测量空间上(Ohm, F） ，被赋予一个合适的职位。m、 P根据其中：oν：=（νt）t≥0是一个整数值随机过程，使得p{~nνt=n}=e-t（1）- E-t） n-1（n=1，2，…）每t>0.o~X:=（Xj）j≥1是一个具有公共p.d.u的i.i.d.随机数序列)β：=（)βj，n:j=1，…，n）n≥1是一个三角形数组，递归地定义为β1,1=1（β1，n+1，…，βn+1，n+1）=（β1，n，…，β）-1，n，n，n，n，n，n，n，n，n，rn，n，n，n，n，βn，n）（n）≥ 1） （13）式中，i:=（in）n≥1是一个独立的整数随机数序列，每个内禀均匀地分布在{1，…，n}上，并且（~l，~r）=（~ln，~rn））n≥1是一个i.i.d.随机向量序列，τ为公共p.d{ν，~X，~i，（~l，~r）}形成了一个独立的w.r.t.P.由此，ut变成了加权和的定律，带有随机权重。i、 d.随机数。这一事实有助于研究ut的极限行为→ +∞, 从概率论中心极限定理的角度。事实上，大致来说，E.Perversi和E.Regazzini/23 Vt的条件p.d.给定β，弱地转化为稳定的指数定律（1）- 2λ）以傅里叶变换为特征 ξ 7→ ^g（ξ（M）1-2λ)∞)1/(1-2λ); 1.- 2λ，χ，k1-2λ，γ），其中M（1-2λ)∞是一个随机数，p.d.是相同的ν1-2λ实际上是3。3和3.4。

读者可以参考Bassetti等人（201 1）来证明这一说法。值得注意的是，鉴于其中的命题2，如果（1- 2λ）是S（p）=0的两个不同根中最大的，然后是ν1-2λ将与零处的单位质量一致，这解释了在第1小节中采用（H）的动机。为了明确起见，我们回忆起参数k1-2λ和γ，出现在Fact3中引入的变换^g的表达式中。3，与常数C和cin（4）到HK1有关-2λ=（c+c）π2Γ（1）- 2λ）sin（π（1- 2λ）/2），γ=I{c+c>0}c- cc+c。本节最后给出了两个之前因不中断推理而省略的证明。5.3. 事实证明。1和3.5事实的真相3.1。很明显，任何s teady态也是ut的极限p.d.，如t→ + ∞. 为了证明反之亦然，将VT表达式中的求和分为两类：对于mer，包含系数为lin的求和，后者包括剩余的求和。然后Vt=~lVt，l+~rVt，rw其中Vt，l[Vt，r，分别]表示与第一[s秒]类中的和相关联的∧βj，~νtXj/~l[~βj，~νtXj/~r]的和。一个简单的事实是，如果Vt在分布上收敛，那么Vt，land Vt，r在分布上也收敛，并且三个极限定律必须一致。因此，通过法律来表示这一普通法∞, 一个得到了∞= Q+（u）∞),其中Q+与（3）中的运算符相同，表示u∞是s-uchan算子的固定点，或等效地，是μ∞这是一个稳定的状态。事实证明3.5。

就（i）而言，它来自于与事实3.3中关于c=c=0的情况相结合的假设。为了处理第（ii）点，为了解释清楚，引入s步：=[0, +∞)×R×[0, 1]×[0，1]及其坐标变量（Z，Z，Z），Sα，（~l，~r），U.E.Perversi和E.Regazzini/24此外，设PR是D的Bor E l子集B（D）上的一个P.m.使坐标随机独立，并具有以下附加分布性质：（i）Z，Z，Zare i.i.d.平均值等于1（i）Sα的非负随机数具有指数α（i）的非二次稳定定律（~l，~r）是根据τ分布的随机向量（i）U是均匀分布在（0，1）（i）上的随机数p.d.o f Z与我们（α）中的一个相同（~lαZ+~rαZ）。然后，定义G∞作为SαZ1/α的p.d.函数，可以使用Inbasetti和Ladelli（2012）中的定理2.2来说明t Gt（x）：=ut(-∞, xetS（α）/α]→ G∞（x） ，作为t→ +∞, 在G的每个连续点x处∞. 因此，对于每一个a>0，ut((-a、 a]）=Gt（ae-tS（α）/a）- 燃气轮机(-ae-tS（α）/a）≤ Gt（ε）- 燃气轮机(-ε - 0）适用于每一ε>0，只要t≥ （α/S（α））对数（a/ε）∨ 0.此外，lim supt→+∞[Gt（ε）- 燃气轮机(-ε - 0)] ≤ G∞(ε) - G∞(-ε - 0）和hencelim supt→+∞ut((-a、 a）≤ pr{SαZ1/α=0}。（14） 由于每个非简并稳定律都是绝对连续的，{SαZ1/α=0}的概率等于{Z=0}的概率。现在，从（i）开始，它遵循pr{Z=0}=pr{lαZ+~rαZ=0}。由于Pr{l=0}=Pr{r=0}=0来自（6），并且Zand-Zare是非负数，我们可以写出Pr{lαZ+~rαZ=0}=Pr{Z=0，Z=0}，然后，由于Z的平均值等于1，所以之前的等式与（i）的组合需要Pr{Z=0}=Pr Z=0}和Pr{Z=0}=0。

在这一阶段，为了完成这项计划，回忆一下就足够了。感谢我们非常感谢从一位不知名的裁判那里得到的有用的评论。我们还要感谢朱塞佩·托斯卡尼帮助我们在经济物理学文献中定位自己，以及詹卢卡·卡塞塞提出的许多有用的建议，这些建议无疑提高了论文的质量。参考Sajmone Mar sa n，G.，Bellomo，n.和Gibelli，L。。随机进化微分博弈是一种行为社会动力学的系统理论。数学模型和方法适用。Sci。26 1051-1093 (2016).E.Perversi和E.Regazzini/25Angle，J.社会分层的剩余理论和个人财富的规模分配。社会力量65 293–326（1986）。Angle，J.不平等过程是财富最大化的过程。Physica A367 388-414（2006）。阿罗，K.J。。风险理论的几个方面。贝瑞。赫尔辛基：Yrj"oJahnssoninS"ati"o（1965年）。阿特金森，A.B。。关于不平等的衡量。《经济学杂志》2 244-263（1970）。阿特金森，A.B。。不平等我们能做些什么？哈佛大学出版社。马萨诸塞州剑桥（2015年）。巴塞蒂，F.和拉德利，L。。一维动力学模型中的自相似解：概率观点。安。应用程序。问题。22 1928-1961 (2012).巴塞蒂，F.，拉德利，L.和马特斯，D。。一维动力学方程组的中心极限定理。Probab。理论相关领域15077-109（2011年）。巴塞蒂，F.和佩尔沃西，E。。类Kac动力学方程的Wasserstein度量收敛到平衡的速度。电子J.Probab。181-35 (2013).贝尼尼，R。我的统计结果可能是：政治经济。乔尔纳尔·德格利经济学者36 11-34（1908）。贝尼尼，R。。在社会和人民的共同利益下，我们的能力是相互矛盾的。《经济学人》21-19（1929）。贝尼尼，R。。

这是一场逻辑辩论，也是一场经济辩论。经济科学意大利里维埃塔10603-626（1938）。布里奇曼，P。。纽约现代物理学的逻辑。(1927).西法雷利，D.M.和雷加齐尼，E。。关于集中函数的一般定义。Sankhy’a S er。B 49 307-319（1987）Chakraborti，A.和Chakrabarti，B.K。。货币的统计机制：储蓄倾向的影响。欧元。菲斯。J.B 17 167-170（2000）。科迪耶，S.，帕雷斯基，L.和托斯卡尼，G。。关于简单市场经济的动力学模型。J.统计物理。120 253-277 (2005).道尔顿，H。。收入不平等的衡量。《经济杂志》30 348-361（1920）。集体农场的变化对企业家承担风险的影响。《农村合作杂志》37 242-260（2009）。德费内蒂，B。。在公用事业基地的努维康塞特基地，贝尼的“独立”之夜。《国际数学家大会论文集》（马萨诸塞州剑桥，1950年）。第一卷，第588-589页。美国数学学会（1952a）。德费内蒂，B。。苏拉更喜欢伊比利亚。乔尔纳尔·德格利经济研究院安娜利经济研究所11685-709（1952b）。阿奎尔斯库博士，A.和雅科文科，V.M。。货币的统计机制。欧元。菲斯。熟练工人。B 17 723-729（2000年）。加贝塔和雷加齐尼。（2006）McKean图的一些新结果及其在Kac的equatio n.J.Stat.Phys中的应用。125 94 7-974.格雷厄姆，C.和梅勒德，S。。广义E.Perversi和E.Regazzini/26玻尔兹曼模型的随机粒子近似和收敛估计。安。Probab。25 115-132(1997).赫泽尔，A。。Sulla Concentratione e su alcuni indici che la misurano。Metron，27，97-124（1968年）。曼德布罗特，B。。帕累托-莱维定律与收入分配。内特。经济。牧师。1 79–106 (196 0).小H.P.麦肯。。科航对麦克斯韦气体的讽刺画接近平衡的速度。拱老鼠离子。机修工。肛门。

21 343-367 (1966).经合组织。总之：为什么减少不平等会让所有人受益。经合组织出版社，巴黎。（2015）内政部：http://dx.doi.org/10.1787/9789264235120-enPareschi，L.和Toscani，G。。交互多智能体系统。动力学方程和蒙特卡罗方法。牛津大学出版社，牛津（2013）。佩尔沃西，E.和雷加齐尼，E。。一般一维动力学方程概率值解弱收敛的特征。J.国家统计学家。菲斯。159 823-852 (2015).皮凯蒂，T。。巴黎，第二十一世纪首都。(2013).普拉特，K.J。。小规模和大规模的风险规避。计量经济学32132-136（1964）。雷加齐尼，E。概率测度之间的集中度比较。Sankhy’a Ser。B 54 129-149 ISSN:0581-573 8（1992）。罗斯柴尔德，M.和斯蒂格利茨，J。。风险增加：I.定义。经济理论杂志2225-243（1970）。罗斯柴尔德，M.和斯蒂格利茨，J。。I.增加风险：II。它的经济后果。《经济理论杂志》366-84（1971）。罗斯柴尔德，M.和斯蒂格利茨，J。。“增加风险：I.A定义”附录。《经济理论杂志》5306（1972）。具有随机偏好的交换经济。经济理论杂志106417-435（2002）。斯蒂格利茨，J.E。。不平等的代价。企鹅图书，伦敦（2013）。斯图尔特，A.A.和奥德，K。。肯德尔的高级统计理论第1卷第6章。威利（1994）。托斯卡尼，G.，布鲁尼亚，C.和德米切利斯，S。。商品交易的动力学模型。J.统计物理。151 549-566 (201 3).