这将测量代理在{ti}i时刻退出网络的联合概率∈Vif代理的信息发送速度并不是按链接数量来衡量的。如果没有网络效应，exante社会福利可以使用Emma 1给出的命中次数分布直接计算。然而，由于网络效应，每个^ε的实际命中时间可能不同。我们可以定义M:[0，∞]N→ [0, ∞]Nbe命中时间映射函数，将无网络影响的命中时间映射到有网络影响的实际命中时间。在附录中，我们提出了一种计算M的算法，该算法通过将每个代理在每次t时的信息速度按其当前邻居数进行缩放，并在邻居被排斥时更新代理发送信息的速度。请注意，如果ti=∞ 在这个事件中，它也是∞ 在映射事件εtii中。这意味着一个永远不会离开网络且没有缩放效果的代理在缩放时间时也不会离开。然后，在给定^ε的情况下，可以用w（^ε）=Xi来计算事后社会剩余1.- E-ρMi（t）ρXj:gij=1，tj=∞uj- cP（Sj）（12） 因此，事前社会福利为W=E^ε[W（^ε）]。我们注意到，对于给定任何网络结构和代理集的事前社会福利，这是一个易于处理的等式。命题1给出了P（Sj）的显式表达式，引理1给出了^ε的分布。因此，我们的模型允许对任何类型的网络的事前社会福利进行简单易懂的计算。下面的定理2将这个结果形式化。定理2。

鉴于Ohm, 初始质量分布和链接成本c，以及总体事前社会福利可计算如下W=E^εxi1.- E-ρMi（t）ρXj:gij=1，tj=∞uj- cP（Sj）（13） 其中，^ε的分布使用引理1计算，命中时间映射函数m在附录中给出。六、 信息和学习的影响在本节中，我们研究了在给定初始网络G的情况下，学习对个体和整体事前福利的影响。特别是，我们将展示代理人的信号精确度、学习率的表示方式如何影响个体代理人福利以及整体社会福利。作为基准，我们考虑没有学习时的社会福利，我们用W表示*. 如果没有学习，现有的链接将不会被切断。因此，无需学习的管理者i的社会福利可以通过将其最初与之相关的所有人的平均素质相加来计算：*i=Xj:gij=1Z∞E-ρt（uj）- c） dt=ρXj:gij=1（uj- c） （14）未经学习的事先整体社会福利由个人福利的总和给出：W*=XiW*i=ρXiXj:gij=1（uj- c） （15）A.学习的总体影响让W（τ，…，τN）成为代理人在信号精度为τ，…，的情况下了解彼此真实品质的事前社会福利。。。，τN.我们还让Wi（τ，…，τN）表示给定这些信号精度的代理i的exante福利。下一个定理指出，在任何网络中，对于任何信号精度值，学习的增加都会对每个人的事前福利产生负面影响。这立即意味着它也降低了总体的事前社会福利。定理3。Wi（τ，…，τN）<W*如果所有的我和所有的τ。。。τN.证明。见附录。在这个结果中有两个主要因素在起作用。首先，代理人的近视导致学习效率低下。

其次，切断联系会给被排斥的代理人带来负外部性，因为该代理人不再能从邻居那里获得利益。综上所述，这些因素导致整体社会福利下降。更准确地说，当代理j的声誉达到c而导致链接被切断时，代理i与未经学习的情况相比并不能获得福利。这是因为从t开始与i链接的期望值*jon是0，因此有没有链接没有区别。然而，与没有学习的情况相比，代理j失去了福利，因为代理i的声誉仍然高于链接成本，因此拥有链接比没有链接更有利于代理j。这一结果支持上述文献综述中提到的社会心理学文献中发现的排斥的破坏性影响。社会心理学文献通常从被排斥者的角度记录排斥的有害影响，这些人已经被排斥，无法再从与其他人的互动中获益。然而，我们的结果进一步说明，从事前的角度来看，排斥的可能性实际上会降低每个代理人的社会福利。通过允许他人的排斥，代理人也会接受排斥，这会降低他们自身的福利，比他们从排斥其他代理人中获益更多。定理3表明，每一个代理在被排斥之前都会受到伤害，即使是那些自己不会在网络的大多数事后实现中被排斥的代理。B.个体信息的影响先前的结果表明，学习对总体有害：学习不足的个体和整体网络福利都低于没有学习的个体和整体网络福利。

然而，在这一小节中，我们展示了学习在个人层面上不一定有害，因为单个代理发现信息的速度会发生变化。我们现在更仔细地研究单个代理的信息生成率（即代理的信号精度）如何影响福利。代理生成有关其自身声誉的信息的速度越快，其他代理了解其真实质量的速度就越快（如果链接没有中断）。首先，我们描述了一个代理的信号精度对该代理自身福利的影响。下一个命题表明，发送更多关于自身的信息总是会损害管理层。提议2。Wi（τi，τ）-i） 在τi证明中是严格递减的。考虑任何事后实现ε={εtii}i∈V.如果ti=∞, 那么改变τialone并不能改变agent i将永远留在网络中的事实，因为它不会影响hittingAgent近视导致截止值太高，因此agent不会从其学习中受益。声誉学习的这一特征与范德沙尔和张（2014）的研究结果相似。在第八节中，我们讨论了通过向代理商提供补贴以增加试验来解决此问题的可能性。任何其他代理的时间实现。因此，代理人i的福利Wi（ε）不受影响。如果∞, 那么，代理人i的福利取决于（1）其tj=∞ （2）它自己的击球时间ti。由于（1）不受τi变化的影响，我们只需要研究τi如何影响ti。直观地说，τisince agent i的信息发送速度由于精度更高而更快。我们提供了一个更严格的矛盾证明，如下所示。假设agenti的新命中时间增加到ti=ti+ > ti。在这个新的实现中，考虑从0到ti的持续时间。

由于ti>ti，所有其他代理的信息发送过程和速度在ti之前都不会改变。因此，特工i在t的瞬时精度≤ t变化为（τti）=τiτiτti。因此，在ti之前的任何时刻，代理i发送的信息都会更快。由于停止时间ti大于ti，因此给定τIIs的代理i发送的信息总量大于给定τi发送的信息总量。由于发送的信息总量应保持不变，这导致了矛盾。因此，对于较大的τi，t应小于t。该结果符合定理3，并表明发送自身信息的代理将严格降低其自身福利。这是因为在每一次实现中，当代理从网络中被排斥时，代理现在将被排斥得更快，因此它将从其他人那里获得更少的利益。由于代理一开始就已经拥有了它所能获得的最大数量的链接，因此，允许自己的声誉发生变化，实际上没有任何好处，也没有任何损失。我们在扩展部分中放宽了这个假设，允许代理与他们最初没有联系的人建立新的链接；在这种情况下，代理将能够通过生成更多关于自身的信息而受益。虽然提高信息发送速度对代理本身总是有害的，但它实际上对其直接邻居是有帮助的。下一个命题为初始网络提供了一个充分的条件，使其成立。提议3。给定初始网络G，对于通过唯一路径（即直接链接）链接的任何两个初始连接的代理i和j，提高一个人的精度会增加另一个人的福利。证据考虑任何事后实现ε={εtii}i∈V.如果ti=∞, 那么，增加agent i的信号精度τi不会改变实现εtii。因此，TJI不受影响。

如果ti<∞, 然后根据命题1，如果代理i的信号精度更高，新的命中时间会更快。图2。例如，推论3这会导致代理i和j之间的链接更快（弱）断开，导致代理j的命中时间（弱）延迟，因为代理j将在较长时间内以较慢的速度发送信息。由于改变代理i的信号精度不会改变所有其他代理的命中时间，代理j的福利因其自身的命中时间更长而增加。由于agent i被排斥后，agent j的信息发送速度变慢，agent j的排便时间变长。因此，代理j更喜欢其直接邻居发送更多信息，以便在邻居不好的情况下可以更快地切断。链接断开后，代理j也将能够透露较少的关于自身的信息，这是有益的，根据命题2。通过这种方式，j特工将在更长时间内从与其他邻居的联系中获得更多利益。当两个代理通过唯一路径连接时，我们可以将此分析扩展到更遥远的代理。这在下文命题3的推论中进行了总结。推论3。给定任何初始网络G，对于在它们之间具有唯一路径的任何两个代理i和j，如果它们之间的跳数为奇数/偶数，则增加一个代理的信号精度会降低/增加另一个代理的福利。上述结果显示了两个代理之间的距离对代理膨胀的奇偶效应。在所有最小连接网络（如星形、树形、森林网络）中，任何两个代理之间都有一条唯一的路径，因此可以完全描述任何代理的信息发送速度对任何其他代理的福利的影响。例如，考虑一个网络，其中四个代理i、j、k、l通过唯一路径连接，如图2所示。

代理i与代理j链接，代理j与代理k链接，代理k与代理l链接。如果代理i发送更多关于自身的信息，它与代理j的连接时间会更短。这导致代理j发送的关于自身的信息更少，如果j被排斥，代理k会更慢地切断与j的链接。然后，代理k能够在预期的更短时间内与其其他邻居连接，从而降低了k的事前福利。因此，当其邻居代理i的邻居发送更多信息时，代理k受到了伤害。然而，特工l现在与自己的邻居联系的时间更长了，因此当我发送更多信息时，它会受益。然而，当代理之间存在多条路径（这意味着网络中存在循环）时，代理的信号精度对其他代理的福利的影响就不那么明显了。原因是，在循环中，代理i的邻居也可能与代理i本身联系在一起，因此推论3中信息的正面和负面影响纠缠在一起。下面的命题表明，即使是一个近邻，当网络中存在周期时，影响也可能与命题3完全相反。提议4。如果初始网络Ghas循环，则增加某个代理的信号精度可能会降低其近邻的福利。证据我们通过构造一个反例来证明，如图3所示。考虑与K>3个代理的网络。代理1、2、3形成一条线，另一个K- 3个代理同时连接两个代理，仅连接代理1和2。我们假设代理3的真实质量是完全已知的（初始方差0）并且很大。因此，代理3的声誉永远不会达到c。我们还假设代理4到K的平均质量接近c。

因此，代理2几乎不会从这些代理中获益，即使在K→ ∞.考虑代理1的声誉在t<∞ 代理人2的声誉在t<∞. 通过提高agent 1的信号精度，其命中时间减少到t<t。如果t>t，则agent 2的命中时间不受影响，即t=t。否则，新的命中时间可能不同于t。为了简化分析，我们考虑了τi→ ∞, 因此→ 因此，在任何实现中，代理2从一开始就失去了与代理1的链接。然而，由于从一开始代理3到K也会失去与代理1的链接，对于命中时间早于t的那些人，他们的命中时间将增加2倍。如果4到K中至少有三个代理的命中率在[t/4，t/2]之间，那么代理2的信息发送速度将大大提高，这在社交网络文献中被称为三元闭合。图3。4号提案的反例：匹配时间更短。通过使K变大，我们总是可以使这个事件的概率足够大。因此，代理2的命中时间将平均减少。我们已经看到，提高单个代理i的信息发送速度对其他代理可能是好的，也可能是坏的，这取决于他们在网络中的位置以及他们与代理i的关系。我们注意到，这对整体社会福利可能是好的，也可能是坏的。因此，与定理3相反，增加单个代理的信息量可以使整个网络受益。例如，如果有三个代理i、j和k以链接ij和jk连接在一起，就会发生这种情况。假设代理k的平均质量比其他两个代理的平均质量高很多。然后，这个网络中的大部分福利都是通过代理j和k之间的链接实现的。

如果代理i发送更多信息，代理j将能够在更长时间内保持与代理k的联系，总体社会福利将增加。本例强调了网络结构在确定单个代理的更多信息的总体影响方面的重要性。七、优化网络在本节中，我们将研究哪些底层网络约束Ohm 最大限度地提高exante整体社会福利。同样地，我们可以想象一个仁慈的网络规划者，希望通过设计网络约束来实现社会福利的最大化Ohm 通过指定哪些代理可以与哪些其他代理建立联系。例如，在金融网络设置中，我们可以考虑一个监管机构，规定允许哪些类型的金融机构与哪些其他类型的机构进行交易，以最大限度地提高整体社会福利。A.完全连接的网络一种直觉是，一个完全连接的网络，没有链接限制，将是最佳的，因为它最初会产生最大数量的链接，并且我们假设所有代理的初始声誉都高于链接成本c。这种直觉在某些情况下是准确的，例如设计师非常不耐烦（即ρ→ ∞). 由于设计者只关心初始时间段，而且当时间很短时几乎无法了解新信息，因此最好根据代理的初始声誉来设计网络。然而令人惊讶的是，当设计者完全耐心（即ρ）时，完全连接的网络在另一个极端也是最优的→ 0). 在这种情况下，设计师关心的是最终发展的稳定网络的社会福利，允许所有代理连接最初会导致最终稳定网络中链接的最大概率。

我们在下面的命题中证明了这些福利结果。此外，请注意，设计师的耐心水平与学习速度成反比，因为更快的学习意味着信息披露得更快，因此需要更少的耐心。因此，学习速度也有类似的结果：随着学习速度变得极端，完全连接的网络也变得最优。因此，例如，如果金融监管机构非常耐心或非常不耐烦，或者信息生产速度极快或极慢，那么金融监管机构应该最佳地让所有类型的金融机构彼此进行交易。提议5。1.如果设计师完全没有耐心（即ρ→ ∞) 或完全性患者（即ρ→ 0），最佳Ohm 是完全连接的网络。2.固定模型的其他参数，并假设代理的信号精度都乘以相同的常数λ。如果学习变得非常快（即λ→ ∞) 或非常慢（即λ→ 0），然后是最佳值Ohm 是完全连接的网络。证据见附录。我们注意到，许多其他类型的反对功能也可以代替整体事前社会福利。例如，设计师可能希望在一定的时间间隔内，或在设定的截止日期之前，最大限度地提高网络福利。或者设计师可能会比其他人更看重某些代理人的福利。考虑到我们模型的可处理性，我们的许多结果可以扩展到这些替代设置。当设计师完全耐心或不耐烦时，社会福利只取决于网络∞, 分别地准确的击球时间不影响社会福利。同样，如果学习非常慢，那么网络结构始终保持在G，如果学习非常快，那么G∞实现速度非常快，因此在这两种情况下，完全连接的网络都是最佳的。

其想法是，在两个极端情况下，学习的确切路径不再是关键的，因此信息的负外部性得到了缓解。然而，对于中等程度的耐心或学习，由于联系而导致的个体代理命中次数的变化可能会对社会福利产生重大影响。我们将在后面展示，让所有代理彼此完全连接并不总是最佳选择。在下一个命题中，我们证明了当代理是同质的并且具有很高的初始质量时，全连通网络仍然是最优的。提议6。假设所有代理都是事先相同的。固定其他参数时，存在“u”，如果ui>ui、 然后是最优Ohm 是完全连接的网络。证据我们将证明，对于足够大的“u”，任何未完全连接的网络的社会福利都将通过添加任何新链接而增加。因此，完全连接的网络的福利将大于任何其他网络的福利。考虑任意网络约束Ohm 这并不是完全相连的。假设网络中添加了代理iand j之间的链接，并考虑新网络约束的福利Ohm.首先考虑代理i福利的变化。在任何代理i被排斥的情况下，其福利通过与j的额外链接减少不超过（N）-2） 当它立即失去与其他代理的所有联系时，福利损失。在agenti未被排斥的任何情况下，其福利与附加链接增加了uρ，即考虑到代理j的预期质量，新链接的贴现值。因此，代理i的福利变化以P（Si）uρ+（1）为界- P（Si））（N-2） uρ=u（P（Si）（N-1)ρ-（N）-2)ρ).

类似地，我们可以证明，代理人j的福利变化在u（P（Sj）（N）以下-1)ρ-（N）-2)ρ).现在考虑一下网络中所有其他代理的福利变化。在不排斥代理i和代理j的任何情况下，网络中所有代理的命中时间都不受新链接的影响。在代理i或代理j被排斥的任何实现中，所有其他代理的福利变化的界限如下（N）-2） （N）-1)uρ.因此，网络中所有其他代理的福利总变化在[P（Si）（1）的范围内- P（Sj））+（P（Sj）（1）- P（Si））+（1- P（Si））（1- P（Sj））]（N-2） （N）-1)uρ.结合以上两个观察，我们注意到整个网络的福利变化以u[P（Si）（N）为界-1)ρ-（N）-2） ρ+P（Sj）（N）-1)ρ-（N）-2） ρ+P（Si）（1）-P（Sj））+（P（Sj）（1）-P（Si））+（1-P（Si））（1-P（Sj））（N-2） （N）-1)ρ]. 当μ较大时，P（Si）通过命题1收敛到1。因此，对于足够大的μ，agentsi和j福利变化的下限收敛到2（N）-1） ρ，一个正数。当μ大时，P（Si）和P（Sj）通过命题1收敛到1。因此，福利变化的下限收敛到2μρ，即正。B.核心-外围网络由于代理在初始预期质量方面变得更加异构，因此限制代理之间的连接可能是最佳的。假设试剂被分为两个分离类型，高类型试剂的初始平均质量为uH，而低类型试剂的初始平均质量为uL<uH。我们表明，当两种类型的预期质量完全不同时，最优网络约束具有核心-外围结构。定理4。假设有两组代理，一组具有初始声誉uland，另一组具有初始声誉uH。

修正所有其他参数后，存在¨uuH>’u，最佳Ohm 是一个核心外围网络，其中所有高级代理都与分配代理连接，没有两个低级代理连接。（¨u将取决于其他网络参数。）证据我们首先表明，所有高级代理都应该连接到所有其他高级代理。这是基于一个与命题6的证明相似的论点。从什么时候开始→ ∞, 所有高级代理都将以非常高的概率留在稳定的网络中，在两个高级代理之间添加链接将严格提高他们的福利，同时以非常低的概率影响分配代理的福利。因此，当所有高级代理连接到初始网络中的其他高级代理时，必须存在足够大的uh值，以使高级代理的福利最大化。接下来，我们将说明，在任何网络中，所有低类型代理都不应该相互连接，每个网络中至少有一个高类型代理。当uH→ ∞, 虽然该定理假设有两种类型，但如果代理由两个组组成，并且每个组内的参数足够接近，则类似的结果成立。任何低类型代理j都由与高类型代理的链接控制，即我们可以假设，与另一低类型代理的链接相比，与高类型代理的链接所获得的福利大约为零。与其他低类型的代理建立额外的链接会减少代理j的命中时间，Mj（t），如果它被排斥，从而减少代理j的福利，减少的幅度超过额外链接的福利收益。因此，低类型的代理不会在最优初始网络中相互连接。最后，我们展示了所有低类型代理都应该与每个高类型代理连接。

由于高类型代理被排斥的概率接近于零，相对于低类型代理获得的额外福利，这种联系不会影响他们。因此，我们只考虑对低型代理人福利的影响与所有高型代理人有关。在不排斥低类型代理的实现中，这对所有代理都是最佳的，因为当高类型代理足够大时，高类型代理以非常高的概率留在网络中。Thusboth代理人的福利有所增加，但不影响所有其他代理人的福利。我们发现，在排斥低类型代理的实现中，它也是最优的。我们将再次假设高类型代理没有被排斥，这将保持足够高的uh。lowtype代理从每个与其有活动联系的high type代理获得uh的流量回报。请注意，在命中时间映射函数中，被排斥的代理i的命中时间按1/K缩放，其中K是高类型邻居的总数。因此，在不打折的情况下，打车时间的减少与流量回报的增加完全平衡，而在打折的情况下，对于低类型的代理商来说，拥有额外的链接是绝对更好的。上述结果表明，在最优网络约束下，高信誉度代理应置于核心并与所有其他代理连接，而低信誉度代理应置于外围且不与其他低信誉度代理连接。因此，初始声誉较低的代理人应在网络中处于较不重要的位置，以减轻排斥的负面影响。

允许低声誉代理与太多其他代理进行连接将提高他们发送信息的速度，导致他们更快地被排斥，对他们的伤害超过他们通过额外链接获得的直接利益。这种核心-外围结构常见于许多现实世界的金融网络中，核心是资本充足的大型银行，外围是较小的银行。原因可能是，大型银行的声誉越高，它们就越容易承受负面冲击，而不会被对手排斥。较小的银行通过较少的交易产生较少的信息，使它们能够迅速避免被排斥。我们注意到，上述结果在很大程度上取决于所呈现的学习环境类型。从命题6中，我们知道，如果设计师非常耐心或不耐烦，或者学习非常慢或非常快（相对于代理的参数），那么最佳初始网络将是完全连接的网络。为了修复代理声誉，核心-外围约束结构仅在中等学习水平下是最优的。C.星形网络星形网络是现实世界中常见的网络，其中一个中央代理与多个外围代理连接。例如，一个老板和许多下属，一个政党的负责人协调该党不同的分支，或者一个与许多小交易者交易的大交易者。在星型网络中放置代理时，需要考虑几个重要因素。这样的网络在很大程度上依赖于中央代理，因为该代理与所有其他代理连接，因此它拥有最多的链接。

因此，中心代理是需要考虑的最重要的代理，选择最佳代理作为中心对网络的整体福利至关重要。中心代理的初始均值和信号精度是选择中心代理时必须仔细考虑的两个外生参数。较高的初始平均值是有益的，因为它增加了所有与中心代理相连的其他代理将获得的预期流量效益。然而，更高的信号精度是有害的，因为它允许更大的可能性，即中央代理很快被排斥，从而导致网络崩溃。这样的活动会大大降低社会福利。因此，在中央代理的初始平均值和信号精度之间存在权衡：希望中央代理的平均值较高，但信号精度较低。特别是，仅根据其初始平均预期质量选择代理不是最优的，而在完全信息下，始终将实现的最高质量代理放在中心是最优的。我们注意到，金融监管机构已开始在各种金融网络上施加核心-外围结构，以鼓励可孕性。许多银行现在被要求通过中央结算对手（CCP）进行交易，CCP是一家大型金融机构，理想情况下非常稳定。其想法是，与中国共产党的交易将缓解个别银行对其他银行素质的不确定性，从而有助于防止金融危机期间的流动性挤兑。我们将在下一个命题中正式展示这些结果。具体来说，假设网络中的中心代理由代理1表示。这些试剂的外生参数的定义与之前相同。提议7。

整体社会福利在u上严格增加，在τ和σ上严格减少。证据我们可以将社会福利分为两部分：中央机构的福利和每个外围机构的福利。注意，外围代理的福利严格以u为单位增加，但不依赖于σ或τ，原因与定理3的证明类似。此外，中央代理的福利严格地以u为单位增加，因为这允许中央代理在网络中停留更长的时间。因此，总体社会福利正在增加。由于与位置2相同的原因，中央代理的福利在τ中严格降低。因此，在这个参数中，整体社会福利正在下降。图4通过模拟显示了中央代理的平均值和信号精度之间的权衡。它绘制了网络整体事前福利的等高线，表明社会福利随着初始平均值的增加而增加，信号精度则降低，因此选择最佳的中央代理取决于这两个因素。另一方面，我们注意到，对于外围代理而言，外部参数与整体社会福利之间的关系并不明显。事实上，我们可以通过例子说明，社会福利可以增加或减少这些因素中的每一个。与中央代理的关系相同，一个简单的例子是两人网络。然而，一个外围设备的平均值稍高或信号精度稍低，实际上会降低整体福利。例如，考虑一个网络，其中中心代理的初始预期质量接近c，由代理i表示的一个外围代理的初始预期质量也接近c，并且所有其他外围代理的质量都非常高。

在这种情况下，少量提高agent i的预期质量，或降低agent i的信号精度，将损害整体社会福利。这些更改将导致中央代理与代理i连接的时间更长，这是不可取的，因为其他外围代理的预期质量要高得多，因此导致中央代理发送更多信息是有害的。因此，在这样的网络中，agenti最好更快地发送信息，以便更快地退出网络。图4。演示命题7的模拟：模拟使用6个代理组成的网络。这5种外围试剂的ui=2、σi=2和τi=1。中央代理的σ=2，而其初始平均值范围为2到2.5，其信号精度范围从1.7提高到-100到-95的幂。在每个不同的代理平均值下，对代理命中次数进行了4000次实现，总共有32000次不同的命中次数。当绘制不同方法的实现时，代理质量的分位数是固定的，以确保更快的收敛。我们注意到，只有在学习速度足够快的情况下，上述权衡才是重要的，而如果学习变得非常慢（或者设计师变得非常不耐烦），那么这种权衡才是重要的。这一点总结如下。提议8。如果学习速度变得非常慢（即λ→ 0），然后将初始信誉最高的代理置于中心，得到最优的星型网络。证据

在学习速度非常慢的情况下，只有最初的福利产生了问题，将期望质量最高的代理放置在中心，在初始网络结构上产生了最高的福利。命题8表明，在学习速度非常慢的情况下，将代理置于中心的决定仅取决于每个代理的初始平均值（对于非常高的设计师不耐烦，也有类似的结果）。当网络被限制为星型网络时，如果学习速度非常慢，则通过在中心有最高初始期望质量的代理来获得最高的初始福利。D.环形网络在本节中，我们重点介绍一种特殊类型的网络：环形网络。为了方便起见，假设代理在初始预期质量和方差方面是同质的。假设在网络约束下Ohm 每个代理最多只能有两个邻居。因此，对于给定数量的代理，它们只能形成一个或多个不同大小的环形网络。这可能代表一种工作环境，在这种环境中，代理人可以在项目上成对工作，并且一次最多可以在两个项目上工作，或者代表一种金融机构寻求两个合作伙伴进行交易的金融网络。我们研究不同环的大小如何影响一个代理获得的福利，因此，我们可以确定代理应该一起形成的环的最佳大小。设W（n）表示在网络约束下，当一个代理位于一个大小为n的环中时，它能获得的福利Ohm. 我们认为，有三个代理环的网络（代理之间存在三元闭合）将使代理福利和整体社会福利最大化。提案9。环形网络的最佳规模为3个代理。证据考虑一个由三个代理i，j，k组成的环网络。我们关注代理i的福利，并证明与其他大小的环相比，它是最大的。

由于代理人是相同的，这意味着总的社会福利也是最大化的。代理人i在两种情况下获得正收益：（1）代理人j和k的计算从未达到c的实现；（2） 其中j和k的声誉中只有一个不超过c的实现。根据命题1，这两种情况发生的概率与网络结构无关。在第一种情况下，代理人j和k之间有额外的代理人并不影响代理人i的实现，因此代理人i的福利不受影响。在第二种情况下，在代理j和k之间添加代理将以正概率改变i的实现。为了方便起见，我们假设代理数N可被社交网络整除。文献认为，三元封闭是共同偏好或信任的结果，而我们的模型推导出了这类网络的声誉原因。考虑这样一种情况：代理k的声誉永远不会达到c，代理j的声誉达到cat tj。在大小为3的环中，除了i之外，代理j的直接邻居（即代理k）从未命中c。如果有其他代理，则代理j的新直接邻居在实体中之前从未命中c。如果代理j的新直接邻居在确定之前命中c，那么代理j的新命中时间可能会增加，因此代理i的新命中时间可能会减少，从而导致代理i的福利降低。这个结果背后的直觉类似于命题3的推理，即让直接邻居发送更多信息对代理有利。在每个代理中只有三个代理时，代理可以快速了解将被排除在稳定网络之外的邻居，因为当另一个邻居被排除在稳定网络中时，该邻居仍与另一个邻居保持连接，直到第一个邻居被排斥。

这保证了快速了解低期望质量邻居的速度，允许代理本身有更多时间与未被排斥的高期望质量邻居保持联系。如果有三个以上的代理，被排除在稳定网络之外的邻居可能会提前建立自己的邻居连接，从而降低被排斥邻居产生信息的速度，并伤害代理本身。我们可以将这个结果推广到具有三个以上代理的环形网络。与推论3中强调的奇数/偶数效应类似，我们可以证明，代理数为奇数的环总是比代理数为偶数的环网络具有更高的预期社会福利。然而，随着代理数量的增长，偶数和奇数代理的社会福利差异最终会变为零。推论4。如果n是奇数，那么W（n）>W（m），如果n是偶数，那么W（n）<W（m），m>n。此外，当n接近于一个单位时，W（n）收敛到一个极限。证据这个证明与命题7相似，只是我们考虑了推论3中讨论的奇偶效应。我们仍然只需要考虑代理j和k的声誉中恰好有一个从未达到c的情况。在不丧失普遍性的情况下，假设j不包含在稳定网络中。有四个代理的社会福利低于三个代理的社会福利，因为j的第八个代理称为l，可能在j被排斥之前就被排斥，导致j的信息速度减慢。五个代理的社会福利高于四个代理，因为在同一情况下，在代理l被排斥之前，代理l的另一个邻居有可能被排斥，导致代理l的信息速度降低，代理j的信息速度增加。这一论点可以不确定地推广到任何数量的代理人，以证明上述结果。

我们注意到，社会福利的限制是相同的，因为当代理数量变得非常大时，一个非常遥远的移民发出影响代理j命中时间的信号的概率接近于零。只有当中间的所有代理的排斥时间小于代理j本身时，才会发生这种事件，随着代理数量的增加，这种事件的概率接近于零。八、扩展如上所述，在各种网络中，学习可能会对社会福利产生负面影响，其中一个重要原因是代理人的短视。由于代理人没有进行足够长时间的实验，学习效率低下，社会福利丧失。在本节中，我们考虑了四种可能的扩展，它们可以缓解这个问题，并提供更高的社会福利。A.联系补贴解决学习负面影响的一种潜在方法是为学生提供与他人联系的补贴。例如，一家公司可能希望给予员工奖励或与同事合作的责任。或者在金融环境中，监管机构可以为进行相互投资的企业提供金融激励，或者在金融危机期间为银行间交易提供担保，以降低违约风险。我们通过假设代理维护的每一个链接都会从网络设计师那里获得δ的额外流量收益来建立补贴模型。这种链接补贴不会影响社会福利计算，因为它是从网络设计师到代理的直接转移，但它会改变代理何时中断alink的决定。由于代理人是短视的，当且仅当代理人j的声誉降至c以下时，代理人i才会中断与代理人j的联系-δ. 因此，链接补贴会使代理了解更多有关其邻居质量的信息，只有在质量很可能不好时才会中断。

我们在下文中表明，与不了解代理人素质的情况相比，通过适当选择关联补贴，社会福利可以得到改善。当关联补贴等于δ时，W（δ）表示事前社会福利。定理5。“δ”的存在使得δ>δ，W（δ）>W*. 此外，limδ→∞W（δ）=W*.证据见附录。注意，根据定理3，这个结果也表明，在没有补贴的情况下，社会福利高于标准网络模型。因此，通过向代理人提供补贴，鼓励他们进行更长时间的试验，社会福利比以前更高。直觉是，当链接补贴足够高时，任何中断的链接都将涉及一个预期质量相对较低的代理。因此，尽管被排斥的代理人可能仍然会因为被隔离而受到伤害，但其邻居将从整体社会福利增加的足够大的金额中受益。因此，学习现在是有益的，可以改善整体福利。该定理的第二部分指出，如果链接补贴过高，那么社会福利将在没有学习的情况下收敛到社会福利。这是因为当补贴太高时，链路几乎不可能断开，因此高概率的网络不会改变，就像没有学习的情况一样。因此，联网补贴对网络有利，但也不能为了社会福利最大化而将补贴设定得太高。B.新链接的形成学习更具社会效益的另一种方式是，如果代理商能够与声誉非常高的其他代理商建立新的链接。在这个扩展中，我们假设一对最初没有根据网络约束链接的代理Ohm 可以通过产生瞬时成本γ>0来形成新的链接。

与他们根据本协议所联系的代理建立联系不需要任何费用Ohm. 因此，与之前不同的是，在没有根据法律进行连接的代理之间存在一个硬屏障Ohm, 代理人现在可以通过支付即时费用来打破这一障碍。这种成本可能是外生的，例如熟悉一种新药剂所需的时间和精力成本，或者减少药剂之间的物理屏障（距离或地理屏障）的成本。费用也可以由网络设计师设定，比如对链接创建征税。由于我们假设形成成本是瞬时的，因此它在社会福利计算中是有限的，因此仅通过对代理人行为的影响来影响福利。我们认为，像往常一样，以这种方式建立联系需要双方同意。如果代理j的声誉高于c+γ，代理i将希望与代理j建立联系。因此，当且仅当uti时，试剂i和j在时间t处形成新的连接≥ c+γ和utj≥ c+γ。我们模型的动态特性是，一些代理获得了较高的声誉水平，并且能够与其他以前无法访问的代理联系，这些代理也获得了较高的声誉水平。允许这两个高期望质量的代理人联系在一起，将改善社会福利，因为他们的联系产生了巨大的互惠互利。我们可以将允许这种额外联系形成的社会福利与基本模型中的社会福利进行比较。假设W（γ）表示链接形成成本等于γ时的事前社会福利，并假设W是基本模型中没有额外链接形成的社会福利。定理6。“γ”的存在使得γ ≥ γ，W（γ）>W。证据当不允许形成链路时，考虑任何实现ε。

事后福利W（ε）只有在有一段时间t时才发生变化*这样就存在两个代理i和j，它们最初并没有连接，因此ut*我≥ c+γ和ut*J≥ c+γ。在最初的实现ε中，条件是t*, 有两种情况oζ：两位代理人的声誉在t之后从未达到c*.o ζ：至少有一名代理人的声誉在t之后达到c*.当ζ出现时，允许链路形成可能会改变网络中所有代理的命中时间，因此福利W（ε|ζ）可能会改变。然而，ζ发生的概率趋于零，因为“γ”在命题1中趋于一致。当ζ出现时，社会福利至少会增加-ρt*ρ（c+’γ）-(1-P（ζ）cP（ζ）。当ζ出现时，福利最多减少B（ζ），这是一个函数，随着其增大，在γ中最多呈线性，因为试剂组及其初始质量是固定的。因此，福利的总体变化可以写成w（ε）- W（ε）≥ P（ζ）e-ρt*ρ（c+’γ）- (1 - P（ζ）cP（ζ）- P（ζ）e-ρt*B（ζ）（16）通过选择足够大的γ，我们可以确保P（ζ）足够小，使得在所有这些实现ε中的变化都是正的。因此W（γ）>W。这个定理表明，如果链接形成成本足够高，那么社会福利会比基础模型得到改善，因为两个决定形成新链接的代理将获得较高的声誉。因此，新链接产生的社会福利也可能很高，这主导了该链接可能产生的任何潜在信息外部性。然而，请注意，γ太低实际上可能会损害福利。例如，假设存在一组中等预期质量的代理，它们都与一个非常高的预期质量代理相关联，但根据Ohm. 这类似于定理4中检查的核心-外围设置。

在这种情况下，允许中等声誉的代理相互链接会导致他们通过链接的负面信息效应相互伤害。与基本模式相比，这将降低整体福利。因此，允许新的链接形成可以改善福利，但正在形成的链接的阈值也必须足够高。最佳“γ”取决于网络的特定属性。如果如本例所示，存在一组与中等声誉代理相关联的声誉非常高的代理，那么“γ”可能也会更高，因为对于中等声誉代理而言，不相互关联变得更重要。C.代理入口我们的模型也可以进行简单的扩展，允许代理随着时间的推移进入网络。具体地说，假设V中的N个代理集有一组对应的进入时间{ei}i∈五、 和艾未未≥ 0i、 ei=0的代理在开始时出现在网络中，而ei>0的代理稍后进入。这些进入时间是固定的，模型中的代理知道。网络约束Ohm 现在定义了所有N个潜在代理和允许哪些代理相互连接的特定代理，包括稍后到达的代理。这种网络约束有效地决定了代理在进入时进入网络的位置。学习过程与之前相同，网络中的代理会根据其当前邻居数量进行学习，而尚未进入的代理不会进行学习。代理仍然会做出短视的决定，只要邻居的声誉高于连接成本，代理就会与邻居进行连接。由于我们假设所有代理的初始声誉都高于成本，因此，现有代理总是希望与新加入的代理联系。

然而，新的代理不想与之前在网络中被排斥的邻居连接。这种动态将与之前类似地演变，代理与邻居连接，直到邻居的声誉下降得太低，此时邻居将被排斥。现在的区别是，新的代理将在一定的时间到达，当他们到达时，他们将改变网络产生的效益和信息量。我们可以将带有代理条目的模型与基础模型进行比较，其中所有代理在开始时都存在，即ei=0我∈ 五、我们定义了一个网络约束Ohm 并对代理的进入时间进行比较统计。我们首先表明，加入代理入口不会改变稳定网络的集合或分布。提议10。稳定网络的集合在代理进入时保持不变。每个稳定网络出现的概率与推论2中给出的概率相同，并且与没有代理条目的情况相同。证据首先要注意的是，无论具体的进入时间如何，命题1仍然适用于每个代理。这是因为代理稍后的进入只会改变它被排斥的时间，但不会改变它曾经被排斥的事实。由于每个代理被隔离的概率不受影响，因此稳定网络集和每个稳定网络合并的概率也不会改变。因此，稳定网络上的概率分布将与推论1中的概率分布相同。虽然最终稳定网络的性质不受代理进入的影响，但总体社会福利将受到影响。可以用与定理2类似的方法计算社会福利，因为我们可以通过适当地重新调整网络中代理的命中时间来解释代理进入。

合并代理进入对社会福利有两个单独的影响：首先，进入代理的链接开始得较晚，因此这些链接带来的好处也实现得较晚，因此折扣更大；其次，进入代理的邻居在该代理进入之前发送的信息较少，如果其邻居中的一个在进入之前被排斥，则代理本身发送信息的速度可能会较慢，从而延迟代理及其邻居可能被排斥出网络的时间。第一个效应损害了社会福利，因为任何一个环节的收益预期都是正面的。然而，第二个效应可以通过推迟代理人的被排斥时间和增加每个代理人能够从网络中获取的利益来改善社会福利。第二种效应可能会主导第一种效应，因此推迟代理人入境会提高整体社会福利。定理7。对于某些网络参数，增加单个代理的进入时间可以增加社会福利。证据我们用一个例子来证明，如图5所示。在这个由三个代理组成的网络中，假设白人代理的预期质量非常高。假设红色（大圆和粗体线）和蓝色（小圆和细线）的预期质量都非常接近toc。由于白人代理的预期质量非常高，网络的社会福利将完全取决于蓝色代理与白人代理连接的时间。通过延迟红色代理的进入，蓝色代理可以在inFig中保持更长时间的连接。5.举例说明定理7每一次实现，社会福利就会增加。在图5的示例中，请注意，虽然延迟输入红色（大圆圈和粗体线）代理是有帮助的，但最好让代理在某个特定时间输入，而不是从不输入。

这是因为蓝色代理的声誉最终将根据大数定律收敛到其真实质量，如果蓝色代理（小圆和细线）具有良好的真实质量，那么与红色代理建立联系将产生积极的效益。此外，在等待足够长的时间后，如果蓝色代理尚未归零，则其被排斥的概率，因此红色代理不太可能影响蓝色代理与白色代理的连接。因此，推迟红色代理的进入是有益的，但不应将红色代理完全排除在网络之外。图6通过一个突出显示图5所示示例的模拟明确显示了这种权衡。当新代理进入后，社会福利最初会增加，因为现任代理有更多的时间从他们的联系中受益。然而，如果在社会福利下降时，进入时间变得太长，因为现任代理人的声誉已经稳定。6.演示定理7的模拟：模拟使用由3个代理组成的网络，这些代理按照图5进行链接。所有代理的σi=20和τi=1，贴现率为1。高期望质量代理的初始平均值为100，而其他两个代理的初始平均值为1。输入代理的输入时间范围为0.0005到2，增量为0.05。y轴显示每次进入时网络的平均社会福利。

根据每个代理人的排便时间和真实质量水平进行80000次抽签，然后通过改变进入时间计算社会福利。因此，让新代理更快地进入并从网络中受益是更好的。这意味着，金融监管机构可能希望在存在大量不确定性的危机时期推迟新企业进入网络，然后在危机结束、声誉更加稳定后允许它们进入。或者，在一个组织中，企业可能希望不要扩张得太快，而是花时间让现有员工先更好地相互了解。D.代理重新进入你的模型可以被简单地扩展，允许代理被原谅，然后再回到网络中。例如，假设一家公司的员工在被排斥后可以通过一些外生手段来提高自己的素质，比如重返学校以提高自己的能力，或者通过咨询来改善自己的个性。在金融网络中，假设一家银行被排除在网络之外后，政府可以对其进行资本重组，从而提高其预期质量。在代理经历了这个外生过程之后，代理的计算能力提高了，因此其他代理再次愿意与它联系。我们表明，以这种方式的代理自由可以增加社会福利，同时减轻学习的负面影响。事实上，学习现在实际上可能变得有益。我们通过假设当一个代理被排斥在网络之外时，该代理可以稍后重新进入网络来模拟代理的宽恕。代理必须等待多长时间才能重新进入是一个外生参数，我们用L表示。